高数同济第六版下高等数学2第十章答案

习题10-1 二重积分的概念与性质
1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()D
x y d σ+⎰⎰与3()D
x y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 是圆周22
(2)(1)2x y -+-=所围成；
（2）
ln()D
x y d σ+⎰⎰与2
[ln()]D
x y d σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，
(1,1)，(2,0)；
2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22
sin sin D
I x yd σ=
⎰⎰，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；
（2）22(49)D
I x y d σ=
++⎰⎰，其中22
{(,)|4}D x y x y =+≤.
（3）
.D
I =
，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤
解()
,f x y =
，积分区域的面积等于2，在D 上
()
,f
x y
的最大值
()10
4M x y =
==，最小值()1
1,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤
习题10-2 二重积分的计算法
1.计算下列二重积分： （1）
22
()D
x y d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；
（2）
cos()D
x x y d σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域。

2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1）
x y D
e d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤
（2）
2
2()D
x
y x d σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。

3.化二重积分(,)D
I f x y d σ=
⎰⎰为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次
积分），其中积分区域D 是：
（1）由直线y x =及抛物线2
4y x =所围成的闭区域；
（2）由直线y x =，2x =及双曲线1
(0)y x x
=
>所围成的闭区域。

4.求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积。

5.画出积分区域，把积分
(,)D
f x y dxdy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，
其中积分区域D 是： （1）2
2
{(,)|2}x y x y x +≤；
（2）{(,)|01,01}x y y x x ≤≤-≤≤
6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：
（1）
2
x
dx f dy ⎰
；
（2）
1
1(,)x
dx f x y dy -⎰
7.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：
（1）
2220
)a
dx x y dy +⎰
；
（2）
211
222
()x
x
dx x y dy -+⎰
⎰
8.利用极坐标计算下列各题： （1）
22
x y D
e
d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。

（2）
22ln(1)D
x y d σ++⎰⎰，其中D 是由圆周22
1x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。

9.选用适当的坐标计算下列各题： （1）
22
()D
x y d σ+⎰⎰，其中D 是由直线y x =，y x a =+，y a =，3y a =(0)a >所围成的闭区域。

（2
）
D
σ，其中D 是圆环形闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤.
（3
）计算积分1
121112
2
4
y y x
x
y
I dy dx dy dx =
+⎰
⎰
解(
)211
112
2
38y x
x x
x
e I dx e dy x e e dx =
=-=
⎰
⎰⎰习题10-3 三重积分
1.化三重积分(,,)I f x y z dxdydz Ω
=
⎰⎰⎰为三次积分，其中积分区域Ω分别是：
（1）由曲面22z x y =+及平面1z =所围成的闭区域；
（2）由曲面222z x y =+及2
2z x =-所围成的闭区域；
2.计算
23xy z dxdydz Ω
⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z xy =及平面y x =，1x =和0z =所围成的闭区域。

3.计算
xyzdxdydz Ω
⎰⎰⎰，其中Ω为球面2
221x
y z ++=及三个坐标面所围成的在第一卦限内
的闭区域。

4.计算
zdxdydz Ω
⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面z =
z h =(0,0)R h >>所围成的闭区域。

5.利用柱面坐标计算下列三重积分：
（1）
zdv Ω
⎰⎰⎰
，其中Ω是由曲面z =22
z x y =+所围成的闭区域；
（2）
22()x y dv Ω
+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22
2x y z +=及平面2z =所围成的闭区域；
6.选用适当的坐标计算下列三重积分： （1）
xydv Ω
⎰⎰⎰，其中Ω是柱面2
21x
y +=及平面1z =，0z =，0x =，0y =所围成的
在第一卦限内的闭区域；
（2）
22
()x y dv Ω
+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域；
7.计算
()x y z dv Ω
++⎰⎰⎰
，其中Ω是由222
,0x y z z h +≤≤≤所围成。

解由于Ω关于,yoz xoz 坐标面都对称，故
0xdv ydv Ω
Ω
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
原式20
xy h h h
D zdv dxdy d d zdz πρ
θρρΩ
=
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()()2
2
2340
011
224
h h h d h d h πρρρπρρρπ=-⋅=-=⎰
⎰
8.求上、下分别为球面2222x y z ++=和抛物面22
z x y =+所围成立体的体积。

习题10-4 重积分的应用
1.求球面2222x y z a ++=含在圆柱面22x y ax +=内部的那部分面积。

2.设薄片所占的闭区域D 是介于两个圆cos a ρθ=，cos b ρθ=(0)a b <<之间的闭区域，求均匀薄片的质心：
3.已知均匀矩形板（面密度为常量μ）的长和宽分别为b 和h ，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。

4.设均匀柱体密度为ρ，占有闭区域2
2
2
{(,,)|,0}x y z x y R z h Ω=+≤≤≤，求它对于位于点0(0,0,)M a ()a h >处的单位质量的质点的引力。

复习题十
1.计算下列二重积分：
（1）(1)sin D
x yd σ+⎰⎰
，其中D 是顶点分别为(0,0)，(1,0)，(1,2)和(0,1)的梯形闭区域；
（2）
D
σ，其中D 是圆周22x y Rx +=所围成的闭区域；
（3）
2(369)D
y x y d σ+-+⎰⎰，其中222{(,)|}D x y x y R =+≤.
2.交换下列二次积分的次序： （1）
1
2330
1
(,)(,)y
y
dy f x y dx dy f x y dx -+⎰
⎰
⎰⎰
；
（2）
1
1
(,)dx f x y dy ⎰.
3.把积分
(,
)D
f x y d x d y ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域
2{(,)|1,11}D x y x y x =≤≤-≤≤.
4.计算下列三重积分： （1）
2z dxdydz Ω
⎰⎰⎰，其中Ω是两个球：2222x y z R ++≤和222
2x y z Rz ++≤(0)R >的
公共部分；
（2）222222
ln(1)1z x y z dv x y z Ω
++++++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面222
1x y z ++=所围成的闭区域；
5.求平面
1x y z
a b c
++=被三坐标面所割出的有限部分的面积。

21 6.计算积分⎰⎰⎰Ω
+zdv y x )(22，其中Ω为由222,2z x y z =+=所围的区域.
解 由2222
24,2,2,
z x y x y z z ⎧⎧=++=⇒⎨⎨==⎩⎩
积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域4:2
2≤+y x D xy ， 用柱面坐标20,20,22:2
≤≤≤≤≤≤Ωr z r πθ
⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+Ωπθ202022
/3222)(r zdz dr r d zdv y x
⎰=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⋅=204
3
844212ππdr r r。