云南省德宏州潞西市芒市中学高中数学教案：对数函数及其性质 必修一

一、内容及解析１．内容：本节内容是在学习了对数的概念与运算性质后，进一步学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用；研究方法与指数函数性质的研究方法是一样的。

２．解析：由于学生已经学习了指数函数的性质，本节的研究方法与指数函数的性质的研究方法是一样的，因此，在教学时可以类比指数函数图象和性质的研究，引导学生自己研究对数函数的性质。

二、目标及解析１、目标（１）理解对数函数的性质，掌握对数函数的图像和性质；（２）掌握运用对数函数的单调性比较两个数的大小；了解对数函数在实际生活中的运用；理解同底的对数函数与指数函数互为反函数；（３）注重函数思想，等价转化、分类讨论等思想的渗透，提高数学建模能力。

２．解析认识底数a对函数值变化的影响；三、教学问题诊断对数函数的图像和性质是本小节的重点，也是教学的一个难点。

突破难点的关键在于认识底数a对函数值变化的影响。

四、教学支持条件应用基本教学设施教学五、教学过程设计第一课时（一）教学基本流程1． 新课导入以课本P67例6为背景引入对数函数，让学生利用生物死亡的年数t 与生物内碳１４的含量P的关系logt P =和计算器完成表２—３中的数据。

２．新课探究问题１你能根据logt P =抽象出对数函数的模型吗？学生：思考、交流； 教师：板书对数函数的定义：一般的，我们把函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 叫做自变量，函数的定义域是()0,+∞。

问题２ 对数函数解析式log a y x =中，为什么要求0,1,0a a x >≠>且？ 师生活动：教师启发学生将对数式log a y x =化回指数式获解。

设计意图：导出对数函数的概念，培养学生的概括归纳能力、抽象思维能力。

问题３ 我们如何来研究对数函数的性质呢？学生：类比研究指数函数的思路，确定研究对数函数的方法与步骤：通过画一些具体的对数函数的图像，观察、分析、归纳出一般对数函数的图像与性质。

教师：引导学生利用描点法，在同一坐标系中画出对数函数2log y x =和12log y x =的图像。

问题４ 观察2log y x =和12log y x =的图像，你能得到这两个图像的关系吗？师生活动：师生共同讨论的出：由换底公式，得122log log y x x ==-，又由点(),x y 与点(),x y -关于x 轴对称，所以2log y x =和12log y x =图像关于x 轴对称。

因此，函数12log y x =的图像可以由函数2log y x =的图像画出来。

问题５ 请同学们在同一坐标系中画出函数3log y x =和 13log y x =的图像，观察2log y x =，3log y x =，12log y x =和13log y x =的图像，你能发现它们有哪些共同特点吗？请据此得出对数函数的性质。

教师：引导学生类比指数函数的研究思路，从图象的范围、图像的升降、图像是否过定点等方面观察，分析对数函数的定义域、值域、单调性等性质。

设计意图：通过学生回顾研究函数性质的具体方法，类比前面研究指数函数的方法，引导学生独立研究对数函数的性质，从而培养学生探究能力及分析问题、解决问题的能力。

问题6 对数函数的底数01a <<及1a >时的性质有什么相同与不同点？类比指数函数xy a =的图像和性质，比较其联系与区别。

师生活动：完成表格图象基本性质（１）定义域：（0,+∞） （２）值域：R（３）定点：（１,0）（４）在（0,+∞）是增函数 （４）在（0,+∞）是减函数 特殊性质x>１时，y>0； 0<x<１时，y<0．x>１时，y<0； 0<x<１时，y>0．底越大图象越靠近坐标轴底越小图象越靠近坐标轴 当x>１时，底越大图象越低； 当0<x<１时，底越大图象越高。

设计意图：将对数函数的底数01a <<及1a >时的性质加以比较，将对数函数的性质与指数函数的性质进行比较，进一步巩固对数函数的性质，体现了知识的内部联系与知识间的联系，通过比较便于学生对知识的整体建构。

3． 例题：课本P7１例7 师生活动：共同解决问题4． 课堂练习：课本P7３练习３题 学生：独立解题，讨论、交流；教师：结合学生的解答，给出第（４）小题的规范步骤。

设计意图：使学生熟练解决有关对数函数的定义域问题。

５．作业：课本P7４习题２．２A 组7，１0题 （二）目标检测 １．函数()12log 32y x =- （ ）Ａ．[)1,+∞ Ｂ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ Ｃ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ Ｄ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦２．已知函数()1lg 1x f x x -=+，若()12f a =，则()f a -等于 （ ） Ａ．12 Ｂ．12- Ｃ．2- Ｄ．2３．若log 1a<，则a 的取值范围为 。

４．求()22log 45y x x =--的值域。

设计意图：考察学生对例题题型的掌握程度。

（三）配餐作业１．函数y = （ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,+∞ Ｃ．()1,+∞ Ｄ．[)1,+∞ ２．函数1()lg4xf x x -=-的定义域为 （ ） Ａ．()1,4 Ｂ．[)1,4 Ｃ．()(),14,-∞+∞ Ｄ．(](),14,-∞+∞３．函数()2log 2y x =+的定义域为 （ ）Ａ．()(),13,-∞-+∞ Ｂ．()[),13,-∞-+∞Ｃ．(]2,1-- Ｄ．()[)2,13,--+∞４．函数y =（ ）Ａ．{}0x R x ∈≠ Ｂ．{}3x x ≥ Ｃ．{}12x x ≥ Ｄ．{}2x x >５．设函数()()2lg 32f x x x =-+的定义域为F ，函数()()()lg 1lg 2g x x x =-+-的定义域为G ，则 （ ）Ａ．G 是F 的真子集 Ｂ．F 是G 的真子集 Ｃ．G F = Ｄ．GF =∅6．函数121log y x =+的图像一定经过点 （ ）Ａ．()1,0 Ｂ．()0,1 Ｃ．()2,0 Ｄ．()1,17．函数()25log 1y x x =+≥的值域是 （ ） Ａ．()5,+∞ Ｂ．(),5-∞ Ｃ．[)5,+∞ Ｄ．[)6,+∞8．函数y =（ ）Ａ．[)1,+∞ Ｂ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ Ｃ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ Ｄ．2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦设计意图：对课本中习题做同等程度或降低程度的变式，考查学生对基础知识的掌握程度。

B 组9．函数y = （ ）Ａ．()10,1000,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭Ｂ．[)10,1000,10⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦Ｃ．()1,1000,10⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦Ｄ．()1,1000,10⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭１0．设函数()1lg 1f x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()10f 的值是 （ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．10 Ｄ．110１１．设1a >，函数()log a f x x =在区间[],2a a 上的最大值与最小值之差为12， 则a = （ ）Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．4１２．函数()12log f x x =的单调递增区间是 （ ）Ａ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦Ｂ．(]0,1 Ｃ．()0,+∞ Ｄ．[)1,+∞１３．当01a <<时函数（１）xy a =与（２）log a y x =在区间(),0-∞上的单调性为（ ）Ａ．都是增函数 Ｂ．都是减函数Ｃ．（１）是增函数，（２）是减函数 Ｄ．（２）是增函数，（１）是减函数 设计意图：适当提高难度，考查学生的基本思维和数学思想方法。

C 组()2log 1,2x x -≥１４．设函数()f x = ，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ ）Ａ．()(),02,-∞+∞ Ｂ．()0,2 Ｃ．()(),13,-∞-+∞ Ｄ．()1,3-１５．函数()log a f x x =在区间[]3,5上的最大值比最小值大１，则a = 。

设计意图：加深学生对对数性质的认识，并会运用对数性质解决相对复杂的问题。

教学反思：第二课时（一）教学基本流程1． 复习引入问题１ 对数函数的性质有哪些？ 学生：回顾对数函数的性质并回答问题； 教师：引导学生复习回顾知识。

2． 新知探究问题２ 如何利用对数函数的性质比较两个对数的大小？ 设计意图：复习旧知识，以引出新知识。

11,22xx ⎛⎫-< ⎪⎝⎭师生活动：教师引导学生思考、交流、探讨解决问题的方案及步骤：（1） 若底数已经确定，则看底数是大于１还是小于１，确定函数的单调性，再利用单调性比较大小； （2） 若底数不确定，要先讨论底数的范围，确定相应函数的单调性，再利用单调性比较大小； 例8 比较下列各组数中两个值的大小： （１）4.32log ，5.82log （２）8.13.0log ，7.23.0log（３）1.5log a，9.5log a（a ＞0，且a ≠１）分析：本题利用对数函数的性质来解决。

注意（３）的分类讨论。

学生：根据刚才分析的解题步骤，自己先尝试解决问题；教师：对学生采用的不同方法所得到的正确结果进行分析，然后由学生构造出对数函数，利用对数函数的单调性解题，教师板书阶梯步骤。

设计意图：通过运用对数函数的性质比较两个数的大小，熟悉对数函数的性质。

3． 课堂练习：P7３练习３题 学生：独立完成题目；教师：巡视课堂，做个别辅导，评说结果。

设计意图：巩固利用对数函数的单调性来比较两个数的大小的方法及过程。

例9 （题目略）学生：结合化学中PH 值的变化情况，讨论、交流、计算；教师：引导学生阅读，理解题意，弄清题目中的有关量的关系，介绍溶液酸碱度的测量背景，给出计算pH的计算公式，在()0,+∞上，随着H +⎡⎤⎣⎦增大，1H +⎡⎤⎣⎦减小，相应的1lg H +⎡⎤⎣⎦减小，这里运用了对数的单调性。

设计意图：了解对数函数在实际生活中的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识与能力，体验解决实际问题的关键是如何把具体问题化归为数学问题，即如何根据实际问题建立数学模型。

问题３ 在指数函数2xy =中，x 是自变量，y 是因变量，如果把y 当成自变量，x 当成因变量，那么x是y 的函数吗？如果是，它的对应关系是什么？如果不是，请说明理由。

学生：独立思考、合作交流，探究问题解决的突破口；教师：提示学生结合函数的概念及对数函数的图像，找出x 与y 的对应关系。

问题４ 在指数函数2xy =中， x 是自变量，y 是因变量，那么过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2xy =的图像有几个交点？学生：思考、回答、得出对于任意的x ，通过2xy =都有唯一的y 和它对应，教师：出示问题：根据指数式与对数式的关系，把指数式2xy =化为对数式。