云南省德宏州潞西市芒市中学高中数学教案：对数函数及其性质 必修一

一、内容及解析

１．内容：本节内容是在学习了对数的概念与运算性质后，进一步学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用；研究方法与指数函数性质的研究方法是一样的。

２．解析：由于学生已经学习了指数函数的性质，本节的研究方法与指数函数的性质的研究方法是一样的，因此，在教学时可以类比指数函数图象和性质的研究，引导学生自己研究对数函数的性质。

二、目标及解析

１、目标

（１）理解对数函数的性质，掌握对数函数的图像和性质；

（２）掌握运用对数函数的单调性比较两个数的大小；了解对数函数在实际生活中的运用；理解同底的对数函数与指数函数互为反函数；

（３）注重函数思想，等价转化、分类讨论等思想的渗透，提高数学建模能力。

２．解析

认识底数a对函数值变化的影响；

三、教学问题诊断

对数函数的图像和性质是本小节的重点，也是教学的一个难点。突破难点的关键在于认识底数a对函数值变化的影响。

四、教学支持条件

应用基本教学设施教学

五、教学过程设计

第一课时

（一）教学基本流程

1． 新课导入

以课本P67例6为背景引入对数函数，让学生利用生物死亡的年数t 与生物内碳１４的含量P

的关系

log

t P =和计算器完成表２—３中的数据。

２．新课探究

问题１

你能根据log

t P =抽象出对数函数的模型吗？

学生：思考、交流； 教师：板书对数函数的定义：

一般的，我们把函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 叫做自变量，函数的定义域是

()0,+∞。

问题２ 对数函数解析式log a y x =中，为什么要求0,1,0a a x >≠>且？ 师生活动：教师启发学生将对数式log a y x =化回指数式获解。

设计意图：导出对数函数的概念，培养学生的概括归纳能力、抽象思维能力。 问题３ 我们如何来研究对数函数的性质呢？

学生：类比研究指数函数的思路，确定研究对数函数的方法与步骤：通过画一些具体的对数函数的图像，

观察、分析、归纳出一般对数函数的图像与性质。

教师：引导学生利用描点法，在同一坐标系中画出对数函数2log y x =和12

log y x =的图像。

问题４ 观察2log y x =和12

log y x =的图像，你能得到这两个图像的关系吗？

师生活动：师生共同讨论的出：

由换底公式，得122

log log y x x ==-，又由点(),x y 与点(),x y -关于x 轴对称，所以2log y x =和

12

log y x =图像关于x 轴对称。因此，函数12

log y x =的图像可以由函数2log y x =的图像画出来。

问题５ 请同学们在同一坐标系中画出函数3log y x =和 13

log y x =的图像，观察2log y x =，

3log y x =，12

log y x =和13

log y x =的图像，你能发现它们有哪些共同特点吗？请据此得出对数函数的

性质。

教师：引导学生类比指数函数的研究思路，从图象的范围、图像的升降、图像是否过定点等方面观察，分析对数函数的定义域、值域、单调性等性质。

设计意图：通过学生回顾研究函数性质的具体方法，类比前面研究指数函数的方法，引导学生独立研究对数函数的性质，从而培养学生探究能力及分析问题、解决问题的能力。

问题6 对数函数的底数01a <<及1a >时的性质有什么相同与不同点？类比指数函数x

y a =的图像和

性质，比较其联系与区别。 师生活动：完成表格

图象

基本

性质

（１）定义域：（0,+∞） （２）值域：R

（３）定点：（１,0）

（４）在（0,+∞）是增函数 （４）在（0,+∞）是减函数 特殊

性质

x>１时，y>0； 0

x>１时，y<0； 00．

底越大图象越靠近坐标轴

底越小图象越靠近坐标轴 当x>１时，底越大图象越低； 当0

设计意图：将对数函数的底数01a <<及1a >时的性质加以比较，将对数函数的性质与指数函数的性质进行比较，进一步巩固对数函数的性质，体现了知识的内部联系与知识间的联系，通过比较便于学生对知识的整体建构。 3． 例题：课本P7１例7 师生活动：共同解决问题

4． 课堂练习：课本P7３练习３题 学生：独立解题，讨论、交流；

教师：结合学生的解答，给出第（４）小题的规范步骤。 设计意图：使学生熟练解决有关对数函数的定义域问题。 ５．作业：课本P7４习题２．２A 组7，１0题 （二）目标检测 １．函数()12

log 32y x =

- （ ）

Ａ．[)1,+∞ Ｂ．2,3⎛⎫+∞

⎪⎝⎭ Ｃ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ Ｄ．2,13⎛⎤

⎥⎝⎦

２．已知函数()1lg 1x f x x -=+，若()1

2

f a =，则()f a -等于 （ ） Ａ．

12 Ｂ．1

2

- Ｃ．2- Ｄ．2

３．若log 1a

<，则a 的取值范围为 。

４．求()

22log 45y x x =--的值域。 设计意图：考察学生对例题题型的掌握程度。 （三）配餐作业

１．函数y = （ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,+∞ Ｃ．()1,+∞ Ｄ．[)1,+∞ ２．函数1()lg

4

x

f x x -=-的定义域为 （ ） Ａ．()1,4 Ｂ．[)1,4 Ｃ．()(),14,-∞+∞ Ｄ．(](),14,-∞+∞

３．函数()2log 2y x =+的定义域为 （ ）

Ａ．()

(),13,-∞-+∞ Ｂ．()[),13,-∞-+∞

Ｃ．(]2,1-- Ｄ．()[)2,13,--+∞

４．函数y =

（ ）

Ａ．{}

0x R x ∈≠ Ｂ．{}3x x ≥ Ｃ．{}12x x ≥ Ｄ．{}

2x x >

５．设函数()()

2lg 32f x x x =-+的定义域为F ，函数()()()lg 1lg 2g x x x =-+-的定义域为G ，则 （ ）

Ａ．G 是F 的真子集 Ｂ．F 是G 的真子集 Ｃ．G F = Ｄ．G

F =∅

6．函数12

1log y x =+的图像一定经过点 （ ）

Ａ．()1,0 Ｂ．()0,1 Ｃ．()2,0 Ｄ．()1,1

7．函数()25log 1y x x =+≥的值域是 （ ） Ａ．()5,+∞ Ｂ．(),5-∞ Ｃ．[)5,+∞ Ｄ．[)6,+∞