反常积分

第十一章反常积分

教学要点：

反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。

教学内容：

§1 反常积分的概念（4学时）

反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。

§2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时）

无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。

§3 瑕积分的性质与收敛判别

瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。

教学要求：

掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。

1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点.

2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。

§1 反常积分概念

教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法．

教学内容：无穷积分；瑕积分．

教学建议：

讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出

1、为什么要推广Riemann 积分

定积分()b

a f x dx ⎰有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间；

其二，若[,]f R a b ∈，则0M ∃>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。

例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？

解： 设地球半径为

，火箭质量为

，地面重力加速度为，有万有引

力定理，在距地心处火箭受到的引理为

于是火箭上升到距地心处需要做到功为

当

时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功

在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使

例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？

解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为

时，水从小孔里流出的速度为

设在很短一段时间内，桶里水面降低的高度为，则有下面关系：

由此得

所以流完一桶水所需的时间应为

但是，被积函数在上是无界函数，，所一我们取

相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。

2、怎么推广

通过极限工具，把常规积分向两个方向推广：1、无穷区间；2、无界函数。这两种情形可统一在下面的定义中。

二、反常积分的定义

1、无穷限反常积分的定

义

，.

无穷限反常积分几何意义

例1、⑴讨论积分, , 的敛散性 .

⑵计算积分.

例 2 、讨论以下积分的敛散性 :

⑴; ⑵.

例3、讨论积分的敛散性 .

2、瑕积分的定义:以点为瑕点给出定义. 然后就点为瑕点、点

为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.

例4、判断积分的敛散性 .

例5、讨论瑕积分的敛散性 , 并讨论积分的敛散性 .

瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续 , 为瑕点. 有

, 把瑕积分化成了无穷积分;

设, 有，把无穷积分化成了瑕积分

作业： P-269： 1，2.

§2 无穷积分的性质与收敛判别

教学目标：掌握无穷积分的性质与收敛判别准则．

教学内容：无穷积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法．

(1) 基本要求：掌握无穷积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分的敛散性．

(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议：

(1) 本节的重点是掌握判别无穷积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别无穷积分的敛散性．

(2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题．

(3)举例说明：当⎰∞

a

dx x f |)(|收敛时，不一定有lim ()0x f x →+∞

=，由此使学生

对柯西准则有进一步的理解． 教学过程：

一、无穷积分的性质:

⑴ 在区间

上可积 , — Const , 则函数

在区

间

上可积 ,

且

.

⑵

和

在区间

上可积 ,

在区间

上可积 , 且.

⑶无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译)

定理积分收敛

.

⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.

绝对收敛收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分。

二、无穷积分收敛判别法

非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.

⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且

，又对任何>, 和在区间上可积 . 则

< , < ；, . ( 证 )

例1、判断积分的敛散

性.

比较原则的极限形式 : 设在区间上函数

,. 则

ⅰ> < < , 与共敛