华理线性代数第8册参考答案

华东理工大学

线性代数 作业簿（第八册）

学 院____________专 业____________班 级____________ 学 号____________姓 名____________任课教师____________ 6.1 二次型及其标准型 1. 填空题

(1)设三阶矩阵A 的行列式为0,且有两个特征值为1，1-，矩阵A 与B 合同,B 与C 合同,则矩阵C 是_____阶矩阵,其秩

_____)(=C r .

解：三，2.

(2) 设n 阶矩阵A 与正交阵B 合同，则_____)(=A r . 解：n . 因B 为正交阵，故B 可逆.A 与B 合同即存在可逆矩阵C ，使得B AC C =T ，故)()(B r A r ==n .

(3)二次型21

1

221)(),,,(∑∑==-=⋅⋅⋅n

i i n

i i n x x n x x x f , 则此二次型的

矩阵=A , 二次型的秩为______, 二次型的正交

变换标准型为________________.

解：⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡---------1 (11)

...

1...111...

11n n n ，1-n ，222121,n ny ny ny -++⋅⋅⋅+ 提示：二次型的秩就是二次型的矩阵的秩，也是其标准型中非零项的个数（注：标准型不唯一）. 因此求二次型的秩有两种方法：1) 直接求二次型的矩阵A 的秩，2）先求A 的特征值，A 有几个非零特征值（重根按重数计算），二次型的秩就是几.

(4) 二次型,)(T Ax x x f = 其中A A ≠T ，则二次型的矩阵为_____ ____.

解：)(2

1

T A A +. 提示：A 不是二次型的矩阵，因A 不是对

称阵。

注意到Ax x x f T )(=的值是一个数，即)()(T x f x f =，故有

x A A x x f x f x f )(21)]()([21)(T T +=+=. 而)(2

1

T A A +为对称阵.

(5) 设n 元(n >2)实二次型()T f x x Ax = )(T A A =其中的正

交变换标准型为2

2212y y -，则=A ______，矩阵A 的迹为 _____.

解：0, 1-. 提示：A 的特征值为11,λ=22,λ=-

30n λλ=⋅⋅⋅==，根据A A tr n

i i

n

i i ==∏∑==1

1

),

(λ

λ 易得.

(6) 如果二次型222

12312

31213(,,)5526f x x x x x cx x x x x =++-+ 236x x - 的秩为2，则参数c = _____，1),,(321=x x x f 表示的曲面

为__________.

解：3, 椭圆柱面. 提示：二次型的矩阵33⨯A 的秩为2，故

0||=A ，由此可求得c = 3. 再求出A 的特征值为

9,4,0321===λλλ，即标准型为232294y y f +=，由此知

1),,(321=x x x f 为椭圆柱面.

2. 已知二次型322

322213212332),,(x ax x x x x x x f +++=（0a >） 通过正交变换化成标准型2

32

22

152y y y f ++=，求a 的值及所用

的正交变换矩阵Q .

解：二次型的矩阵为⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=3030002a a A ，)9(22a A -=，由123A λλλ=即10)9(22=-a 得 2=a .A 有三个不同的特征值1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。分别求出对应的特征向量T 1]1,1,0[-=ξ,T 2]0,0,1[=ξ,T 3]1,1,0[=ξ并把它们单位

化，得正交变换矩阵为01000

Q ⎡⎤

⎢⎥

⎢

=⎢⎢⎢⎢⎣

. 3. 已知二次曲面方程 4222222=+++++yz xz bxy z ay x 可以通过正交变换

化为椭圆柱面2244ηζ+=. 求a ,b 的值和正交矩阵Q .

解: 由111111b A b a ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦与⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=410B 相似，故()()5tr A tr B ==，A B ==0，

进而得1,3==b a . 代入后分别求出A 的线性无关的特征向量T 1]1,0,1[-=ξ, T 2]1,1,1[-=ξ,

T 3]1,2,1[=ξ, 显然他们两两正交，把它们单位化，可得正交变换矩阵为

Q

⎢

=⎢

⎢

.

6.2 正定二次型与正定矩阵

1. 选择题

(1) 设矩阵

211300

121,000

112002

A B

--

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

=--=

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

--

⎣⎦⎣⎦

，则A与B（）.

(A) 合同，但不相似；(B) 合同，且相似；

(C) 不合同，也不相似；(D) 不合同，但相似.

解：A.

(2)下列二次型中，正定的二次型是( ).

解：D.

(3) 设n阶方阵B

A,都正定，则下述选项不正确的是（）.

(A) B

A+正定；(B) AB正定；

(C)

A

B

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

正定；(D) 1

*-

+B

A正定.

解：B. AB未必对称，故不正定.

(4) 与“实二次型Ax

x

x

f T

)

(=（其中A

A=

T）是正定的”等价的选项是（）.

(A) 对任意x，恒有0

)

(>

x

f；

(B) 二次型的负惯性指数为零；

(C) 存在可逆阵P，使得P

P

A T

=；

(D) A的特征值均不小于零.

解：C.

(5)若用A O

<表示A为负定矩阵，则下述选项正确的是 ( ).