数二考研线代公式

第一章

1.1 行列式展开式

1.1.1 定义

1.1.2 按行按列展开

1.1.3 上下三角行列式

1.1.4 副对角线

1.1.5 拉普拉斯展开式

设A 是m 阶矩阵,B 是n 阶矩阵

1.1.6 特征值形式

1n D [a (n 1)b](a b)n a b b

b b a b

b b b a

b b b b a -==+--

1.2 公式

B

A A

B A A A A

A B A A A

k kA A

A B A n n n n T =⇒======∏=-相似的特征值，则为均为方阵

，以下n 1

i i

i 1

*A ,B λλ 第二章

2.1 矩阵运算

2.1.1 矩阵乘法运算

2.1.1.1.

O

AO OA A

EA AE klAB

lB kA BC AC C B A AC

AB C B A C

AB BC A =====++=++=+=)()()()()()( 2.1.1.2.

2

2222222B 2)(B 2B BA ))((B)(A BA

++=+++≠+++=++=+≠A A E A AB A AB A B A B A AB 但一般

2.1.1.

3.

C B AC AB ,

)(r A O A AC,AB O

B =⇒==⨯+≠>≠===≠>=则由矩阵，为但若或n A n m C

B O A O AB

2.1.1.4. 一个成立另三个成立，1111,,B A ----====B A B A B A

[]βαT n n b b a a A A r n =⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⇒= 1

11)(阶矩阵 其中T

α为矩阵中的第一列，β为第一列的倍数

2.1.2 矩阵逆的运算

2.1.2.1. 二阶矩阵逆的运算公式

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a c b bc ad d c b d 1a 1

2.1.2.2.

2.1.3 矩阵转置的运算

T T A A)(λλ=

2.1.4 矩阵伴随的运算

2.1.5 矩阵的秩 n B r A r s n n m B r BA r A B r A r ≤+=⨯⨯==≤+≤+=≠==)()(,O AB B A )

()(r )AB ())

(),(min(r(AB)r(B)

r(A)B)r(A r(A)

r(kA)0,k r(A)

A)r(A )

r(A r(A)T T 则则矩阵，

是矩阵，是若可逆，则若当

2.1.6 分块矩阵运算

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----11***11***)1(B )1(A )1(A 0

0B 00B O O A B A O A B O O B A O B O O A B A B A B A mn mn mn 分块矩阵：⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡sr T 1r T s1T 11T sr s11r 11A A A A A A A A T 2.1.6.1. 矩阵分块乘法

A B

(1)A =B (2)A =B ⨯列组数行组数

第k 列组含的列数第k 行组含的行数

（3）把子块看做矩阵元素，矩阵运算规则仍可用

2.1.7 矩阵乘法转化为方程组

2.1.8 r(B)}

min{r(A),<=r(C)，C 则0,B 0,A 即，B 、A ，C =AB 若因为线性无关线性无关

≠≠

2.1.9 矩阵的高次幂

∑=--=====⇒≠≠==n i i i T

T n n n b a l A A l r A 111T ,)tr (A A 0

0A 1)A (n βαβαβααβ，，其中，阶矩阵，当为

E

E b A A bE A b A A A

E b A A A A

b bA k k k k k n

k k =⇒===⇒=⎩⎨⎧=====⇒==⇒=+-424k 424k 212k 22212A -E A 44A )3(bE A )2(A A )1(）若（）（若）（）（，若，若 n n n i n i i n n n n

i n i i n n n n B C B A C n A A bE A C nb E E A bA A E A AB A AB A B A B A +++=+=+++=+++=+++≠+++=++=+----B A B A BA AB )(A b )b (,

b 2)b (B 2B BA ))((B)(A 1n 12222

2222）时（当但个简单的矩阵

矩阵高次幂可以拆成两

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=⇒--n n 11n 11A AP P A n k n P P P λλλλ ，存在可逆矩阵可相似对角化若

2.2 幂零矩阵的性质

性质1：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0。

性质2：A 为幂零矩阵的充分必要条件为0k k Z trA +∀∈=

性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-=

性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵

性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三角形

性质11：若A 为幂零矩阵，则,,,()A A A mA m Z *+'-∈都为幂零矩阵，特别有2()0A *=

2.3 方阵可逆等价条件

第三章

3.1 线性表出与线性相关

12t ,?··ααα⇔线性相关其中必有一个向量可用其余的向量线性表出