锐角三角函数——正弦
锐角三角函数(正弦、余弦和正切)
2．同一锐角三角函数的关系：
如图， 在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， sin A
a ，cos A
b
，
c
c
则 sin2 A cos2 A
2
a
c
2
b
c
a2 b2 c2
c2 c2
1，即同一锐角的
正弦、余弦的平方和等于
1，或者说若
α
为锐角， 则
sinห้องสมุดไป่ตู้
2
2
α+cos α =1．
规律 学习锐角三角函数时，应明确三角函数值的两个变化规律： 1．特殊角的三角函数值的记忆规律：
Rt△ ABC中，∠ A+∠ B=90°，由
三角函数定义得
sin A
a ，cos(90
a
b
A) cosB ，cos A
sin B sin(90
A) ，
c
c
c
所以 sin A=cos（90° - A），cos A= sin （90° - A）．即任意锐角的余弦值等于它的余角的正
弦值，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．
锐角三角函数教案
概念
1．在直角三角形中，斜边大于直角边且各边均为正数，正弦、余弦都是直角边与斜边
的比值，正切是两直角边的比值，因此正弦值、余弦值都是小于
1 的正数，正切值是大于零
的数，并且都没有单位，即 0<sin A<1，0<cos A<1， tan A>0（∠ A为锐角）．
2．每一个三角函数都是一个完整的符号， 如 sin A不能理解为 sin · A，sin A 中的“ A”
2．锐角三角函数值的增减性：锐角 α 的正弦 sin α 值随着∠ α 的增大而增大；锐角
锐角三角函数-正弦、余弦
C
你想知道小明是 怎样计算的吗？
A 1米 B
30
10米
?
E D
25.2.1锐角三角函数 正弦、余弦
• 1、通过探究知道当直角三角形的锐角固 定时，它的对边与斜边、邻边与斜边的 比值也固定（即正弦值、余弦值不变） 这一事实。 • 2、了解正弦、余弦的概念，能根据正弦、 余弦概念正确进行计算。
100倍，sinA的值（ C
A.扩大100倍
C.不变
B 6.如图 A 3
） cosA的值（ C ） 1 B.缩小 100 D.不能确定
则
1 2 sinA=______
.
300 7
C
7.如图,在Rt △ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5 B 求sinA和sinB的值. 13 解:在Rt △ABC中, 5
1.每人拿出含30°的三角板，算一算30°角的 对边与斜边的比是多少？并和同伴交流，由此 你发现了什么？
2。45 °的等腰直角三角板中， 45 °角的对边 与斜边的比又是多少？
3.任何两个相似但不全等的直角三角形，对应 角的对边与斜边的比相等吗？
• 观察图中的Rt△AB1C1、 Rt△AB2C2和Rt△AB3C3， 它们之间有什么关系？
边与斜边的比是否也是一个固定值？
直角三角形的一个锐角的对边与斜边 的比值为这个锐角的正弦
如：∠A的正弦 记作：sinA 即
sinA=
∠A的对边 斜边
a = c
B
a
对 边
C 斜边
锐角三角函数-正弦
《锐角三角函数-正弦》教案
沙溪初级中学梁亮亮
教学目标
知识与技能：初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的意义，会求已知直角三角形的边长时的一个锐角的正弦并会利用正弦求直角三角形的边长.
过程与方法：通过从特殊的角度到任意角度来探究，发现在直角三角形中一个确定的锐角的对边与斜边的比值是不变的规律.
情感、态度与价值观：经历在探究直角三角形中一个确定的锐角的对边与斜边的比值是不变的规律的过程，体会研究数学问题的一般方法和所采取的思考问题的方法.
教学重难点
重点：理解锐角的正弦的概念，通过探究让学生知道在直角三角形中一个确定的锐角的对边与斜边的比值是不变的规律。
难点：引导学生探究发现：在直角三角形中一个确定的锐角的对边与斜边的比值
二、实践探索
问题1
为了绿化荒山，某地打算从位于
山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，
问题2
如图，任意画一个Rt
AB
猜想
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90
2
°时，我们有
2
=
2．如图，sinA=_____
观察在同一个直角三角形中sinA
例2 如图，在Rt△ABC中，∠
3
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C
90°，sinA=1
2
，求sinB.
例4 如图，Rt△ABC中，
度，CD⊥AB，图中sinB可由哪两条
练习3 如图，AB是直径，
AB=9,求sinD
四、课后小结
如图，在Rt△ABC中，
我们学习了哪些知识？
五、作业布置。
锐角三角函数—余弦和正切 课件
tan A BC 6 3 . AC 8 4
巩固 1、如图，分别求出下列两个直角三角 形两个锐角的余弦值和正切值。
C 5
B
12
13 （1）
A A
B
13
2 C 3
（2）
随堂练习
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的 值为( C )
A. 2 B． 5 C． 1
当A确定时，它的 邻边与斜边的比值 也是固定的。
探究
三、如图，Rt△ABC和Rt△A’B’C’中， ∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’=α，那么
BC 与 B,C, 有什么关系？
AC A,C,
B
B
Aα
C A'
C'
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
cos A AC 4，tan B AC 4 .
AB 5
BC 3
练习
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=10，tanA=
3 4
，求sinA、AC的值。
B
C
A
小结
在Rt△ABC中
sinA
A的对边 A的斜边
a c
cosA A的的邻边 b A的的斜边 c
tanA
A的的对边 A的的邻边
a b
三角函数的定义：
锐角A的正弦、余弦、正切统称为 锐角三角函数。
B. 3
C. 3
D. 4
3
4
5
5
A
5K
3K
B
4K C
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
中考数学三角函数公式汇总与解析
中考数学三角函数公式汇总与解析1.锐角三角函数锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(si n),余弦(c o s)和正切(t a n),余切(c o t)以及正割(se c)，余割(c sc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(si n)：对边比斜边，即si n A=a/c余弦(c o s)：邻边比斜边，即c o sA=b/c正切(t a n)：对边比邻边，即t a n A=a/b余切(c o t)：邻边比对边，即c o t A=b/a正割(se c)：斜边比邻边，即se c A=c/b余割(c sc)：斜边比对边，即c s c A=c/a2.3.互余角的关系s i n(π-α)=c o sα,c o s(π-α)=si nα,t a n(π-α)=c o tα,c o t(π-α)=t a nα.4.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)5.积的关系s i nα=t a nα·c o sαc o sα=c o tα·si nαt a nα=si nα·se cαc o tα=c o sα·c s cαs e cα=t a nα·c scαc s cα=se cα·c o tα6.倒数关系t a nα·c o tα=1s i nα·c scα=1c o sα·se cα=17.诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：s i n(2kπ+α)=si nαk∈zc o s(2kπ+α)=c o sαk∈zt a n(2kπ+α)=t a nαk∈zc o t(2kπ+α)=c o tαk∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：s i n(π+α)=-si nαc o s(π+α)=-c o sαt a n(π+α)=t a nα8.两角和差公式(1)si n(A+B)=si n A c o sB+c o sA si n B(2)si n(A-B)=si n A c o s B-si n B c o sA(3)c o s(A+B)=c o sA c o sB-si n A si n B(4)c o s(A-B)=c o sA c o sB+si n A si n B(5)t a n(A+B)=(t a n A+t a n B)/(1-t a n A t a n B)(6)t a n(A-B)=(t a n A-t a n B)/(1+t a n A t a n B)(7)c o t(A+B)=(c o t A c o t B-1)/(c o t B+c o t A)(8)c o t(A-B)=(c o t A c o t B+1)/(c o t B-c o t A)除了以上常考的三角函数公式外，掌握下面半角公式，积化和差和万能公式有利于快速解决选择题，达到事半功倍的效果哦！1.半角公式注：正负由α/2所在的象限决定。
【教案】锐角的三角函数——正弦与余弦
锐角的三角函数——正弦与余弦教课目的【知识与技术】认识锐角三角函数的观点, 可以正确应用 sinA 、cosA 表示直角三角形中两边的比 .【过程与方法】经过锐角三角函数的学习进一步认识函数 , 领会函数的变化与对应的思想 , 领会数学在解决实质问题中的应用 .【感情、态度与价值观】1.经过学习培育学生的合作意识 .2.经过研究提升学生学习数学的兴趣 .要点难点【要点】锐角三角函数的观点【难点】锐角三角函数观点的理解.教课过程一、创建情境 , 导入新知师：前方我们学过在一个直角三角形中，假如一个锐角等于30o，那么这个角的对边与斜边的比值都等于如图，随意画一个o o，计算∠ A 的对边与斜边的比，Rt△ABC，使∠ C=90，∠A=45能获得什么结论？生：由勾股定理得，故结论：在一个直角三角形中，假如一个锐角等于45o，那么不论三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于师：回答的很对，一般地，当∠A取其余必定度数的锐角时，它的对边与斜边的比能否也是一个固定值？二、共同研究 , 获得新知教师多媒体课件出示 :师: 在这个图中 , 这些直角三角形都是相像的 , 当锐角 A 的大小确立后 , 不单∠A 的对边与邻边的比随之确立 , 还有一些量也是确立的 , 你知道还有哪些量也是确立的吗 ?学生思虑、沟通 .教师提示 : 还有哪两条边的比值也是确立的 ?生甲 : ∠ A的对边与斜边的比值也是确立的 .生乙 : 邻边与斜边的比值也是确立的 .师: 对.教师画一个图形 :师: 在这个直角三角形 ABC中, 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦 , 记作 sinA, 即 sinA===. 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦 , 记作 cosA,即 cosA===.锐角 A 的正弦、余弦、正切称为锐角 A 的三角函数 . 我们介绍了正弦、余弦 , 下边我们经过详细的实例加深对这些函数的印象 .三、举例应用 , 稳固新知老师多媒体课件出示 :【例 1】如图 , 在 Rt △ABC中, 两直角边 AC=12,BC=5求.∠ A 的各个三角函数值 .师: 要求这三个三角函数的值, 需要知道几条边的长 ?生: 三条.师: 此刻已知了哪几条边的长?生:AC、 BC两条边的长 .师: 那么我们需要求什么才能求出三个三角函数的值?生: 还要求出 AB的长 .师: 如何求呢 ?生: 用勾股定理 .师: 很好 ! 此刻请同学们求出AB的长 , 并进一步求出∠ A 的各个三角函数的值 .学生做题 .师: 请同学们将你的步骤和结果与课本上的解答相对比 , 对不正确的地方加以纠正 .学生比较 .教师多媒体课件出示 :【例 2】如图 , 在平面直角坐标系内有一点P(3,4), 连结 OP.求 OP与 x 轴正方向所夹锐角α的各个三角函数 .教师读题 , 学生思虑 .师: 从前是在直角三角形中 , 用直角三角形的边长之比求三角函数的 , 此刻没有直角三角形怎么办 ?学生思虑 .生: 作协助线 .师: 如何作 ?生: 过点 P 向 x 轴作垂线 , 垂足为 Q.这样在直角三角形 OPQ中求角α的三角函数值就行了 .师: 很好 ! 作出这样的协助线就方便了 , 就变为了我们从前碰到过的种类 , 同学们能求出吗 ?生: 能.师: 好! 此刻请同学们画出协助线, 并求出角α的三角函数值 .学生作图 , 计算 .师: 请同学们将结果与课本上的解答比较, 加以修正 .学生比较 , 修正 .四、练习新知师: 请同学们看课本第116 页练习的第 1、2 题.学生看题 .教师找两生疏别板操练习第1、2 题, 其余同学在下边做 , 而后集体校正。
锐角三角函数——正弦函数说课
学法分析
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锐角三角函数——正弦函数
归纳概念：
教材分析
教法分析
在△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边 与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
学法分析
A的对边 BC a sin A 斜边 AB c
指出：“sinA”是一个完整的符号，不要误解sin ， A，记号里习惯省去角的符号“∠”． 单独写出符 号sin是没有意义的，因为它离开了确定的锐角无法 显示它的含义．
情感、态度与价值观：
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锐角三角函数——正弦函数
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教法分析
重点：
使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜 边的比值是固定的这一事实．
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难点：
正弦概念建立及表示 ．
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锐角三角函数——正弦函数
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教法分析
确定本节主要教法为：
1.探究式教学
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锐角三角函数——正弦函数
引入新知识，发现新问题：
教材分析
教法分析
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红 旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？
如图（1）所示，九年级（1）班的 同学们，站在离旗杆AE底部10米处的 D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水 平线的夹角∠ABC为34°，并已知目 高BD为1米．便算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？
2．体会这种研究问题的方法。
学法分析
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锐角三角函数——正弦函数
布置作业
教材分析 1．课本P92
教法分析 2．目标P85
锐角三角函数（含习题及答案）
锐角三角函数——正弦一、教学目标1.通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．2.能根据正弦概念正确进行计算3.经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力．二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．三、教学过程（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34º，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30º，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=35m，求AB根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即==可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90º，∠A=45º，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在Rt△ABC 中，∠C=90º，由于∠A=45º，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2 = AC2+BC2 = 2BC2，AB =BC故===结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45º，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．认识正弦如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c．师：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．记作sinA．板书：sinA＝= (举例说明：若a = 1，c = 3，则sinA=)注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56º、sin∠DEF；3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位．提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C = 90º，求sinA和sinB的值.分析：可利用勾股定理分别求出两个三角形中未知的那一边长，再根据正弦的定义求解.解答按课本.锐角三角函数——余弦和正切一、教学目标1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．二、教学重点、难点重点：理解余弦、正切的概念难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算三、教学过程（一）复习引入1.口述正弦的定义2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，CD⊥AB于点D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A． B． C．D．（二）实践探索一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90o，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90o，∠B=∠B’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；即cosA ==类似地，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA =锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C = 90º，BC=6，sinA =，求cosA和tanB的值．解：∵sinA =，∴AB == 6×= 10又AC === 8∴cosA ==，tanB ==30°、45°、60°角的三角函数值一、教学目标1.能推导并熟记30º、45º、60º角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．2.能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式二、教学重点、难点重点：熟记30º、45º、60º角的三角函数值，能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式难点：30º、45º、60º角的三角函数值的推导过程三、教学过程(一)复习引入还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin30º =，sin45º=你还能推导出sin60º的值及30º、45º、60º角的其它三角函数值吗？(二)实践探索让学生画30º、45º、60º的直角三角形，分别求sin30º、cos45º、tan60°归纳结果（三）教学互动例1、求下列各式的值：(1) cos260º+cos245º+sin30ºsin45º(2)+解：(1)原式 = ()2+()2+××=++= 1(2)原式 =+=+= −(1+)2−(1−)2=−3−2−3+2= −6说明：本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值．易错点因没有记准特殊角的正弦余弦值，造成计算错例2、(1)如图(1), 在RtΔABC中，∠C = 90º，AB =，BC =，求∠A的度数．(2)如图(2)，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求α.解：(1)在图(1)中，∵sinA ===，∴∠A = −45º，(2)在图(2)中，∵tanα ===，∴α = 60º用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角一、教学目标1.让学生熟识计算器一些功能键的使用2.会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角二、教学重点、难点重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题难点：知道值求角的处理三、教学过程（一）复习引入通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以用计算器来求锐角的三角函数值．（二）实践探索1.用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）sin37º24′sin37°23′cos21º28′ cos38°12′tan52°tan36°20′ tan75°17′2.熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如：sinA=0.9816.∠A＝；cosA＝0.8607，∠A＝；tanA＝0.1890，∠A=；tanA＝56.78，∠A＝．典型例题1．若把ΔABC中锐角A的两边AB、AC分别缩小为原来的，已知其中∠C = 90º，则锐角A的正弦，则sinA的变化情况为( )A．nsinA B．sinA C． D．保持原值不变答案：D说明：因为当一个锐角大小不变时，其正弦值是固定的，与∠A的两边大小无关，所以正确答案为D．2．已知ΔABC中，∠C = 90º，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c、且c = 3b，则cosA = ( )A． B． C．D．答案：C说明：因为cosA =，而c = 3b，所以cosA =，答案为C．3．a、b、c是ΔABC的三边，a、b、c满足等式(2b)2= 4(c+a)(c−a)，且有5a−3c = 0，求sinA+sinB的值．分析：用正弦的定义把正弦换为边的比，再由所给的边与边的关系即可求值．解：由(2b)2 = 4(c+a)(c−a)得b2 = c2−a2，∴c2 = a2+b2，∴ΔABC是直角三角形，且∠C = 90º；由5a−3c = 0，得=，即sinA =设a = 3k，则c = 5k，∴b == 4k，∴sinB ===∴sinA+sinB =+=．4．如图，∠POQ = 90º，边长为2 cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC = 30º；分别求点A、D到OP的距离．分析：由正方形的性质可证ΔABE≌ΔBCO≌ΔCDG，再由∠OBC = 30º，即可求出OC、CG、AE的长．解：过点A、D分别作AE⊥OP、DF⊥OP，DG⊥OG，垂足分别为E、F、G．在正方形ABCD中，∠ABC =∠BCD = 90º∵∠OBC = 30º，∴∠ABE =∠BCO = 60º同理可求∠CDG = 60º，又AB = BC = CD = 2 cm，∴RtΔABE≌RtΔBCO≌RtΔCDG∴CG = AE = AB•sin∠ABE = 2•=(cm)OC = BC•sin∠OBC = 2•= 1(cm)∴DF = OG = GC+OC = (+1)(cm)即点A到OP的距离为cm，点D到OP的距离为(+1)cm．习题精选选择题：1．如图，CD是RtΔABC斜边上的高，AC = 4，BC = 3，则cos∠BCD的值是( )A．B．C． D．答案：D说明：因为CD⊥AB，所以∠BCD+∠B = 90º；又∠A+∠B = 90º，所以∠BCD =∠A；由BC = 3，AC = 4，得AB === 5，∴cos ∠BCD = cosA ==，所以答案为D．2．如图，以平面直角坐标系的原点为圆心，以1为半径作圆，若点P是该圆在第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标是( )A．(cosα，1)B．(1，sinα)C．(sinα，cosα)D．(cosα，sinα)答案：D说明：如图，作PA⊥x轴于点A；由锐角三角函数定义知，cosα =，sinα =，所以OA = OPcosα = cosα，PA = OPsinα，所以点P的坐标为(cosα，sinα)，所以答案为D．3．如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，下列结论不一定成立的是( )A．AD = BC’B．∠EBD =∠EDBC．ΔABE与ΔBCD相似D．sin∠ABE =答案：C说明：因为ΔBC’D≌ΔBCD，所以BC’ = BC；又BC = AD，所以AD = BC’；因为AD//BC，所以∠EDB =∠CBD，而∠CBD =∠EBD，所以∠EDB =∠EBD，所以EB = ED；而sin∠ABE ==，所以A、B、D都是成立的，答案为C．4．如图，RtΔABC中，∠C = 90º，D为BC上一点，∠DAC = 30º，BD = 2，AB = 2，则AC的长是( )A． B．2 C．3D．答案：A说明：在RtΔACD中，因为∠CAD = 30º，设CD = x，因为tan∠DAC =，则AC =x，在RtΔABC中，由勾股定理得AB2= AC2+BC2= AC2+(CD+DB)2，即(2)2= (x)2+(x+2)2，∴x2+x−2 = 0，解得x1 = 1或x2 = −2(舍去)，即DC = 1，AC =，答案为A．5．在RtΔABC中，∠C = 90º，如果∠A = 30º，那么sinA+cosB的值等于( )A．1 B． C．D．答案：A说明：因为在RtΔABC中，∠C = 90º，∠A = 30º，所以∠B = 60º，所以sinA = sin30º =，cosB = cos60º =，故sinA+cosB =+= 1，所以答案为A．6．在矩形ABCD中，BC = 2，AE⊥BD于E，∠BAE = 30º，那么ΔECD的面积是( )A．2 B． C．D．答案：C说明：如图，由题意得，ΔABE与ΔBDC相似，∴∠CBD =∠BAE = 30º，∴CD = BC•tan∠CBD = 2•=，AB = CD =，BE = AB•sin30º =×=，EF = BE•sin30º =×=，∴SΔECD = SΔBCD−SΔEBC =BC•CD−BC•EF =×2×−×2×=，答案为C．7．如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分(图中黄色部分)的面积为( )A． B．sinα C． D．cosα答案：C说明：如图，过点A作AN⊥CD于N，过点D作DM⊥BC于M，则AN = DM = 1，∠DCM =α，在RtΔDCM中，CD == ，所以S平行四边形ABCD = CD•AN =，答案为C．解答题：1．如果α是锐角，且cosα =，求sinα及tanα的值．分析：事实上，因为α为锐角，所以可构造一个RtΔABC，使∠C = 90º，∠A = α，则有AC = 4k，AB = 5k，由勾股定理得BC == 3k，从而可求sinα；还可直接用公式sinA =求解．解：构造RtΔABC，使∠A = α，∠C = 90º，如图，∵cosα = cosA =，∴可令AC = 4k，AB = 5k，∴BC == 3k，∴sinA ===，tanA ===，即sinα =，tanα =．2．若tan2x−(+1)tanx+= 0，求锐角x．分析：这是以tanx为未知数的一元二次方程，可先求出tanx，再求x．解：tan2x−(+1)tanx+= 0，(tanx−1)(tanx−) = 0，得tanx = 1或tanx =；当tanx = 1时，x = 45º；当tanx =时，x = 60º；∴x1 = 45º，x2 = 60º．。
锐角三角函数——正弦
30°
45°
填表
30°
第一次的海拔
45°
第二次的海拔
第三次的海拔
小结
1、在直角三角形中，30°角所对的直角边是 斜边的一半。
2、勾股定理 直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边 的平方。
计算
如图所示，在Rt△ABC中，已知AC的长 度和∠C=60°，计算AB的长度。 （1）AC=2；（2）AC=4；（3）AC=6。 A
B
C
填表
AB AC=2
AC=4
AC=6
猜想
在直角三角形中，任意锐角所对的直角边和斜 边的比值都是一个定值,并且这个定会随着 锐角的角度的变化而变化。
验证
几何画板 （1）长度变化 （2）角度变化
证明
A c B a b g C F E f e G
新知
A
B
C
练习
拓展
直角三角形中，锐角的邻边和斜边的比值会不 会也是一个定值呢？ 那对边与邻边呢？
小结
1、数学知识 （1）在直角三角形中，30°角所对的直角边 是斜边的一半。 （2）勾股定理 （3）相似三角形的判定 2、数学思想方法 （1）从定量到变量的观察。 （2）从特殊到一般的猜想。
选自人教版九年级下册第二十八章第一节
锐角三角函数——正弦
情境引入
小明和小华相约去登山，但是他们分别选择了不同的山路登山， 小明选择的是西侧倾斜角为30°的山路，小华选择的则是东 侧倾斜角为45°的山路，他们为了安全起见，定时打电话告 诉对方自己的位置，第一次打电话时，小明走了300米，小华 走了200米；第二次打电话时，小明走了600米，小华走了 400米；第三次打电话时小明走了800米，小华走了600米。 请问，他们分别是在海拔多少米的地方打这三次电话？（如图 1所示，假设他们走的山路都是直线）
锐角三角函数----正弦
28．1锐角三角函数（第1课时）教学设计【教学目标】1、知识技能：初步了解锐角三角函数的意义，初步理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。
2、数学思考：在体验探求锐角三角函数的定义的过程中，发现对同一锐角而言它的对边与斜边的比值不变的规律，从中思考这种对应关系所揭示的数学内涵。
从实际问题入手研究，经历从发现到解决直角三角形中的一个锐角所对应的对边与斜边之间的关系的过程，体会研究数学问题的一般方法以及所采用的思考问题的方法。
3、情感态度：在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度，进一步激发学习需求。
学习重点：锐角正弦的定义学习难点：理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比值的对应关系。
【教学过程】活动一、探究发现，形成概念问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？（1）解决问题，初步体验隐去引例中的背景材料后，直观显示出图中的直角三角形，追问1：你能用数学语言来表述这个实际问题吗？如何解决这个问题？师生活动：学生组织语言与同伴交流。
教师及时了解学生语言组织情况，并适时引导。
把上述实际问题抽象出数学问题为：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求AB。
设计意图：培养学生用数学语言表达的意识，提高数学表达能力。
追问2：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？追问3：对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边有怎样的数量关系？可以用一个怎样的式子表示？设计意图：在学生用“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”解决问题的基础上，引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式—研究锐角和它的对边与斜边之比之间的关系，为下一环节奠定基础。
三角函数——正弦余弦正切
一、锐角三角函数——正弦、余弦、正切一、新课教学（一）、认识正弦、余弦、正切1、认识角的对边、邻边。
（2分钟）如图，在Rt △ABC 中，∠A 所对的边BC ，我们称为∠A 的对边；∠A 所在的直角边AC ，我们称为∠A 的邻边。
2、认识正弦、余弦、正切如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c 。
在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。
记作sinA 。
sinA ＝A a A c ∠=∠的对边的斜边、cosA=斜边邻边A ∠、tanA=对边邻边注意：1、sinA 不是 sin 与A 的乘积，而是一个整体； 2、正弦的三种表示方式：sinA 、sin56°、sin ∠DEF 3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
3、尝试练习：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和tanB 的值．（二）探究：（1）一个锐角的正弦值与边的长短无关，与锐角的大小有关；锐角越大，正弦值越大，反之亦然。
（2）下面我们来验证一下吧！观察图中的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3，它们之间有什么关系 分析：由图可知Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3，所以有：k AB C B AB C B AB C B ===333222111，即sinA=k 可见，在Rt △ABC 中，锐角A 的正弦值与边的长短无关，而与∠A 的度数大小有关。
也即是对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是惟一确定的.(1)CB 4319.3.2CB（三）例题教学：【例1】在△ABC中，∠C=90°．（1）若cosA=12，则tanB=______;（•2）•若cosA=45，则tanB=______．例2、在△ABC中，∠C为直角。
锐角三角函数。
锐角三角函数。
锐角三角函数是数学中的一个重要概念，它在解决三角函数问题时起着关键作用。
锐角指的是小于90度的角，锐角三角函数包括正弦、余弦和正切三种函数，它们分别表示了锐角三角形中的比例关系。
下面我们将逐一介绍这三种函数的定义和性质。
1. 正弦函数（sine function）正弦函数是锐角三角函数中最常见的一种函数，它表示了锐角三角形中的对边与斜边之间的比例关系。
设锐角为θ，对边长度为a，斜边长度为h，则正弦函数的定义为sinθ = a/h。
正弦函数的取值范围是[-1, 1]，当θ为0度时，正弦函数的值为0；当θ为90度时，正弦函数的值为1。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数也是锐角三角函数中常用的一种函数，它表示了锐角三角形中的邻边与斜边之间的比例关系。
设锐角为θ，邻边长度为b，斜边长度为h，则余弦函数的定义为cosθ = b/h。
余弦函数的取值范围也是[-1, 1]，当θ为0度时，余弦函数的值为1；当θ为90度时，余弦函数的值为0。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是锐角三角函数中最特殊的一种函数，它表示了锐角三角形中的对边与邻边之间的比例关系。
设锐角为θ，对边长度为a，邻边长度为b，则正切函数的定义为tanθ = a/b。
正切函数的取值范围是(-∞, +∞)，当θ为0度时，正切函数的值为0；当θ为45度时，正切函数的值为1。
锐角三角函数在数学和物理中有着广泛的应用。
例如，在三角函数的图像中，正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的图像呈现出波浪形状，常用于描述周期性的现象；而正切函数则常用于描述角度的变化率，例如在物体运动的分析中。
除了上述三种常见的锐角三角函数外，还有其余的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数，它们的定义和性质与前述三种函数类似，但使用频率相对较低。
在实际问题中，锐角三角函数可以用于解决各种与角度相关的计算和分析问题。
例如，可以利用正弦函数计算在斜面上物体的下滑速度，利用余弦函数计算在斜面上物体的压力分量，利用正切函数计算两个物体之间的相对速度等等。
三角函数知识点总结
三角函数知识点总结高考考卷中70%的试题都是基础题，抓住了基础题就是抓住了高考分数。
数学学科抓基础，首先是掌握必备知识点，下面是小编与大家分享的三角函数知识点总结，以供大家复习!锐角三角函数定义锐角角a的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角a的锐角三角函数。
正弦(sin)等于对边比斜边;sina=a/c余弦(cos)等于邻边比斜边;cosa=b/c正切(tan)等于对边比邻边;tana=a/b余切(cot)等于邻边比对边;cota=b/a正割(sec)等于斜边比邻边;seca=c/b余割(csc)等于斜边比对边。
csca=c/a互余角的三角函数间的关系sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)积的关系sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα倒数关系tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1特殊角三角函数值角度a030456090120180sina01/2√2/2√3/21√3/20cosa1√3/2√2/21/20-1/2-1tana0√3/31√3无穷大-√30cota/√31√3/30-√3/3/锐角三角函数公式两角和与差的三角函数：sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-cosasinb?cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota)cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota)三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式：asinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=b/(a^2+b^2)^(1/2)cost=a/(a^2+b^2)^(1/2)tant=b/aasinα+bcosα=(a^2+b^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=a/b倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/ sinα降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]推导公式：tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b)=0函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xoy中，从点o引出一条*线op，设旋转角为θ，设op=r，p点的坐标为(x，y)有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y正弦(sin):角α的对边比上斜边余弦(cos):角α的邻边比上斜边正切(tan):角α的对边比上邻边余切(cot):角α的邻边比上对边正割(sec):角α的斜边比上邻边余割(csc):角α的斜边比上对边三角函数万能公式万能公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2*下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tana+tanb+tanc=tanatanbtanc*:a+b=π-ctan(a+b)=tan(π-c)(tana+tanb)/(1-tanatanb)=(tanπ-tanc)/(1+tanπtanc)整理可得tana+tanb+tanc=tanatanbtanc得*同样可以得*,当x+y+z=nπ(n∈z)时,该关系式也成立由tana+tanb+tanc=tanatanbtanc可得出以下结论(5)cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1(6)cot(a/2)+cot(b/2)+cot(c/2)=cot(a/2)cot(b/2)cot(c/2)(7)(cosa)^2+(cosb)^2+(cosc)^2=1-2cosacosbcosc(8)(sina)^2+(sinb)^2+(sinc)^2=2+2cosacosbcosc万能公式为：设tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)(a≠2kπ+π，k∈z)tana=2t/(1-t^2)(a≠2kπ+π，k∈z)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)(a≠2kπ+π，且a≠kπ+(π/2)k∈z)就是说sina.tana.cosa都可以用tan(a/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.三角函数关系倒数关系tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1商的关系sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)同角三角函数关系六角形记忆法构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
锐角三角函数
位于山脚下的机井房沿着山坡铺 设水管，在山坡上修建一座扬水 站，对坡面的绿地进行喷灌．现 测得斜坡与水平面所成角的度数 是30°，为使出水口的高度为 35m，那么需要准备多长的水管？
思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水 管？ ； 如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水 管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值是 值________
B
自做
思考：对于锐角A的每一个确定的值，其
对边与斜边的比值也是惟一确定的 吗？
画图：Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和 Rt△AB3C3， 用度量法用度量法计算∠A的对边与斜边比 值, 比较∠A的对边与斜边有什么关系？
所以
B2C2 B1C1 B3C3 ． AB2 ＝__________ AB1 ＝__________ AB3
B a 对边 C
A的对边 a sin A 斜边 c
斜边 A
c
b
例如，当∠A＝30°时，我们有
一个角的正弦 1 表示定值、比 sin A sin 30 2 值、正值．
当∠A＝45°时，我们有
2 2 注意：“sinA”是一个完整的符号，不要误解成“sin×A”，单 独写符号sin是没有意义的,记号里习惯省去角的符号“∠” 。 sin A sin 45
自做
思考4：当∠A取其他一定度数的锐角时，• 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
任意画 Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°， ∠A=∠A′=a，那么有什么关系．你能解释一下吗？
B B
A
C
A
A C
自悟
1.这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠A的对边与斜边的比值________ 2：当∠A的度数一定时，∠A的对边和 斜边的比值是一个定值。这个比值随着 角度的变化而 当角度一定时， 这个比值也是 ，所以∠A的对 边和斜边的比值是关于∠A度数的
锐角三角函数 正弦
师生行为与设计意图
活动7课后作业：
1．在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是.
2．在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，AB=5，AC=4，则sinA的值是.
3．在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，AC=6，BC=8，则sinB的值是.
4．在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比值是（）
老师抓住∠A的对边与斜边的比，给出正弦的定义，并在黑板上板书这节课的课题。
28．1锐角三角函数——正弦
并对正弦的定义加以强调。
（1）sinA表示∠A的正弦，角的符号可省略，但用三个大写字母表示角时不可省略，例sin∠ABC
(2)sinA是在直角三角形中给出的定义，它是个比值。
（3）sinA是一种函数。并指出它的自变量和因变量。
解决问题
从特殊三角形入手，经历从发现到解决直角三角形中的一个锐角所对应的对边与斜边之间的关系过程，体会从特殊到一般的数学方法．
情感态度
在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度。
重点
锐角的正弦的定义
难点
理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比值的对应关系
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
A．小于0 B．大于1 C．可以等于1 D．大于0且小于1
5．在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，BC=2，sinA= ,则AC等于（）
A． B．3 C． D．
6．如图所示，求sinD,sinE值.
7.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8，求sinB的值.
8.如图所示，CD、BE是锐角三角形ABC的两条高，如果CD : BE=3 : 2，
求sin∠ABC : sin∠ACB的值。
《锐角三角函数——正弦》教学设计
《锐角三角函数——正弦》教学设计教学目标：知识与技能：1、理解锐角正弦的意义，并能运用sinA表示直角三角形中两边的比.2、能根据正弦概念正确进行计算.过程与方法：经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力.情感态度价值观：1、在主动参与探索概念的过程中，发展学生的形象思维、合情推理能力和合作交流、探究发现的意识.2、培养学生由特殊到一般的演绎推理能力、独立思考的习惯以及使学生获得成功的体验，建立自信心.教学重点、难点：重点：理解认识正弦（sinA）概念，能用正弦概念进行简单的计算.难点：引导学生比较、分析并得出：对任意给定锐角，它的对边与斜边的比值是固定值.教学设计：（一）创设情境，引入新知教学楼前有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．（演示学校教学楼前的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34º，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）探究新知、发现规律教师活动：多媒体展示教材76页引例.问题为了绿化荒山，市绿化办打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？提出问题：你能将实际问题归结为数学问题吗？学生活动：熟悉背景，从中发现数学问题.同时思考、探求解决问题的途径和方法.【设计意图：结合实际情况为背景创设情境，引发学生兴趣.培养学生发现数学并将实际问题转化为数学问题的能力】1.解决问题(1)想一想：你能用数学语言来表述这个实际问题吗？与同伴交流.教师活动：多媒体出示问题；了解学生语言组织情况并适时引导；学生活动：组织语言与同伴交流.【设计意图：培养学生用数学语言表达的意识，提高数学语言表达能力. 】(2)出示学生总结的数学问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.（3）议一议（出示教材76页的思考）：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？教师活动 1：出示问题. 2：观察学生解决问题的表现，适时引导.学生活动：应用旧知解决问题.（4）结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于1/2.教师活动：引导学生用准确的语言组织.学生活动：独立思考，得出结论.【设计意图：使学生体会到“无论直角三角形的大小如何，30°角所对的直角边与斜边的比总是一个常数”。
锐角三角函数——正弦与余弦
12.1锐角三角函数（2）——正弦、余弦学习目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦的意义和与现实生活的联系.2.能够用sinA,cosA 表示直角三角形中斜边与直角边的比，体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力. 学习过程:知识回顾：1.在Rt △ABC 中,如果锐角A 确定，那么∠A 的对边BC 与邻边AC 的比也随之确定，这个比叫做∠A 的________,记作________2.已知△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，则tanB=_______3. Rt △ABC, ∠C=900，BC=6，tanA=1312，则AC=________ 任务一:正弦、余弦的概念：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比也随之确定吗？∠A 的邻边与斜边的比也随之确定吗？根据图形给予说明. 正弦、余弦的概念：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比，叫做∠A 的正弦。
记作sinA. 即：sinA =________________ ∠A 的邻边与斜边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的余弦. 记作cosA. 即：cosA =__________________注意的问题：（1）sinA,cosA 没有单位，它表示一个比值 （2）由于斜边大于直角边，所以0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1（3）通常把(sinA)2， (cosA)2,(tanA)2表示成sin 2A ， cos 2A ,tan 2A 任务二：锐角三角函数定义:正弦siaA=斜边的对边A ∠,余弦cosA=斜边的邻边A ∠,正切tanA=的邻边的对边A A ∠∠，都是∠A 的三角函数. 锐角A 是自变量，三个比值是因变量.任务三：梯子的倾斜度与sinA 、cosA 的关系上节课，明确了梯子摆放的“陡”与“缓”，与锐角的正切值有关.与正弦、余弦也有关吗？ 如图：由同一架梯子的不同摆放方法，可以得到梯子的倾斜程度与sinA,cosA 的关系： sinA 的值越大，梯子AB 越陡； cosA 的值越小，梯子AB 越陡 任务四：例题分析：例1：如图:在Rt △ABC 中,∠C=900,AB=5,AC=2.求:sinA ，cosA ，tanA （说出∠B 的三角函数值）例2：如图:在Rt △ABC 中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求BC 的长. (请直接写出cosA,tanA,sinC,cosC 和tanC 的值.)例3．如图:在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=10，cosA=1312，求:AB,sinB （你发现了什么？）3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?课堂小结：本节课的收获8C3ABOACBD随堂练习1.在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100倍,sinA 的值（ ）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定 2.如图,分别根据下面两图，求出∠A 的三个三角函数值.3、若∠AOB在如图的正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为（ ）C.12D. 24、如图，在△ABC 中, ∠ACB=90°, CD ⊥AB 于点D ,则下列线段比中不等于sin A 的是（ ）A ．CD AC B.DB BC C.CB AB D ．CDCB5.如右图, ∠C=90°CD ⊥AB. 若BD=6,CD=12.求cosA 的值.7.在梯形ABCD 中,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18求:sinB,cosB,tanB.（老师提示:作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以转化为直角三角形.）探究：在Rt △ABC 中,∠C=90° ，sin 2A+cos 2A=__________AB A C达标检测1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______. 2.在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______,sinB=_______. 3.在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______,cosB=________. 4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______. 5.在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____. 6.已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( ) A.tan α<tan β B.sin α<sin β; C.cos α<cos β D.cos α>cos β 7.在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )A.sinA=34B.cosA=35C.tanA=34D.cosB=358.Rt △ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等于( ) A.43 B.34 C.45 D.549.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则sinA=______, tanA= _______, cosA=_______. 10.某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )mA.100sin β B.βsin 100 C.100cos β D.βcos 100。
(完整版)第28章_锐角三角函数全章教案
课题 锐角三角函数——正弦一、教学目标1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（sinA ）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
三、教学过程 （一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。
（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度。
这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。
下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦 （二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。
现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 分析：问题转化为，在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB 根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即341米10米?可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在Rt△ABC 中，∠C=90o，由于∠A=45o，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得，故结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠A=∠A`=α，那么与有什么关系分析：由于∠C=∠C` =90o，∠A=∠A`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，，即结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
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50
当∠A=30°时
A的对边 斜边
BC AB
1 2
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡 铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行 喷灌．
（3）现测得斜坡与水平面所成角的度数是45°，为使出 水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
B
C A
当∠A=45°时
A的对边 斜边
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡 铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行 喷灌．
（1）现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使 出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
B
C A
当∠A=30°时
A的对边 斜边
BC AB
1 2
70
B
35
A
C
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡 铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行 喷灌． （2）若测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出 水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
AD AB
求一个角的正弦值，除 了用定义直接求外，还 可以转化为求和它相等
=2AO·sin∠1
=2×5×4
=8
5
角的正弦值。
答：线段AD的长为8
1.在Rt△ABC中，
4
①若∠C=90°, BC=6，sinB=
3
5，3 则AC=
②若AC=4,BC=3，则sinA=
或
54
;
8。
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB
A
上的中线，已知CD=5，AC=6，则
3
D
sin∠BCD= 5 。
B
C
3.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，
21
则sinB的值是 14 。
D
1.正弦的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做 ∠A的正弦，记作sinA，即
a c
c
a
2.经验体会：
①在直角三角形中，某锐角的正弦和三边中，已知任意两个 量可以求其余各量；
BC AB
2 2
B
352a2 35 a
A aC
在Rt△ABC中，∠C=90°，
当∠A=30°时,
A的对边 斜边
BC AB
1 2
当∠A=45°时,
当∠A取其他一定度数的锐角时，它的 对边与斜边的比是否也是一个固定值？
任意画 RtABC和 RtABC，使得 C C 90，
②若sinA=153 ,AB=39,求BC的长。
5
解：①在Rt△ABC中，
AC AB2 BC2 132 52 12
sin
B
AC
AB
12 13
②在Rt△ABC中，sinA=
BC AB
∴BC=AB·sinA
=39×153
=15
答：①sin B 12 13
②BC=15
问题2.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求
A
A
，那么
BC AB
与
BC AB
有什么关系？
解：BC BC
AB AB
理由如下：
∵∠A=∠A′，∠C=∠C′
∴△ABC∽ ABC
AB BC AB BC
BC BC AB AB
在直角三角形中， 当锐角A的度数一 定时，不管三角形 的大小如何，∠A 的对边与斜边的比 都是一个固定值。
定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦 ，记作sinA，
①底角B的正弦值；②∠BAC的正弦值。
解：①过点A作AD⊥BC于D，
E
则∠ADB=90°
又∵AB=AC
∴BD=
1 BC 1 12 6
2
2
D
在Rt△ABD中，
AD AB2 BD2 102 62 8
∴sinB= AD 8 4 AB 10 5
若无直角三角形可以通过 作垂线构造直角三角形。
即
a c
斜边
c
a
∠A的对边
当∠A=30°时, sinA =
sin30°=
1 2
当∠A=45°时,
sinA =
sin45°=
2 2
对于锐角A的每一个确定的值， sinA有唯一 确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。
问题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若AB=13，BC=5，求sinB的值。 3193
作业：
《课时》P76-77
问A求B题线⊥段3C.如ADD图，的，连长已接。知AD⊙、OB的C，直若径⊙ABO与的弦半C径D相为交5，于s点inED，= 54 ，
问A求B题线⊥段3C.如ADD图，的，连长已接。知AD⊙、OB的C，直若径⊙ABO与的弦半C径D相为交5，于s点inED，= 54 ，
②使用正弦的前提是直角三角形，若无直角三角形可以通 过作垂线构造直角三角形。
③求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化 为求和它相等角的正弦值；
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边与斜边的比 是一个固定值，
（1）∠A的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？ （2）∠A的对边与邻边的比是否也是一个固定值？
问A求B题线⊥段3C.如ADD图，的，连长已接。知AD⊙、OB的C，直若径⊙ABO与的弦半C径D相为交5，于s点inED，= 54 ， 解：连接BD ∵AB为直径 ∴∠ACB=90° ∴∠1+∠2=90°
∵AB⊥CD
∴∠3=90°
3
∴∠2+∠4=90°
∴∠1=∠4 在Rt△ABD中，sin 4
∴AD=AB·sin∠4