锐角三角函数——正弦

BC AB
2 2
B
352a2 35 a
A aC
在Rt△ABC中，∠C=90°，
当∠A=30°时,
A的对边 斜边
BC AB
1 2
当∠A=45°时,
A的对边 斜边
BC AB
2 2
当∠A取其他一定度数的锐角时，它的 对边与斜边的比是否也是一个固定值？
任意画 RtABC和 RtABC，使得 C C 90，
即
a c
斜边
c
a
∠A的对边
来自百度文库
当∠A=30°时, sinA =
sin30°=
1 2
当∠A=45°时,
sinA =
sin45°=
2 2
对于锐角A的每一个确定的值， sinA有唯一 确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。
问题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若AB=13，BC=5，求sinB的值。 3193
①底角B的正弦值；②∠BAC的正弦值。
解：①过点A作AD⊥BC于D，
E
则∠ADB=90°
又∵AB=AC
∴BD=
1 BC 1 12 6
2
2
D
在Rt△ABD中，
AD AB2 BD2 102 62 8
∴sinB= AD 8 4 AB 10 5
若无直角三角形可以通过 作垂线构造直角三角形。
A
上的中线，已知CD=5，AC=6，则
3
D
sin∠BCD= 5 。
B
C
3.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，
21
则sinB的值是 14 。
D
1.正弦的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做 ∠A的正弦，记作sinA，即
a c
c
a
2.经验体会：
①在直角三角形中，某锐角的正弦和三边中，已知任意两个 量可以求其余各量；
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡 铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行 喷灌．
（1）现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使 出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
B
C A
当∠A=30°时
A的对边 斜边
BC AB
1 2
70
B
35
A
C
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡 铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行 喷灌． （2）若测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出 水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
②若sinA=153 ,AB=39,求BC的长。
5
解：①在Rt△ABC中，
AC AB2 BC2 132 52 12
sin
B
AC
AB
12 13
②在Rt△ABC中，sinA=
BC AB
∴BC=AB·sinA
=39×153
=15
答：①sin B 12 13
②BC=15
问题2.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求
作业：
《课时》P76-77
问A求B题线⊥段3C.如ADD图，的，连长已接。知AD⊙、OB的C，直若径⊙ABO与的弦半C径D相为交5，于s点inED，= 54 ，
问A求B题线⊥段3C.如ADD图，的，连长已接。知AD⊙、OB的C，直若径⊙ABO与的弦半C径D相为交5，于s点inED，= 54 ，
AD AB
求一个角的正弦值，除 了用定义直接求外，还 可以转化为求和它相等
=2AO·sin∠1
=2×5×4
=8
5
角的正弦值。
答：线段AD的长为8
1.在Rt△ABC中，
4
①若∠C=90°, BC=6，sinB=
3
5，3 则AC=
②若AC=4,BC=3，则sinA=
或
54
;
8。
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB
问A求B题线⊥段3C.如ADD图，的，连长已接。知AD⊙、OB的C，直若径⊙ABO与的弦半C径D相为交5，于s点inED，= 54 ， 解：连接BD ∵AB为直径 ∴∠ACB=90° ∴∠1+∠2=90°
∵AB⊥CD
∴∠3=90°
3
∴∠2+∠4=90°
∴∠1=∠4 在Rt△ABD中，sin 4
∴AD=AB·sin∠4
②使用正弦的前提是直角三角形，若无直角三角形可以通 过作垂线构造直角三角形。
③求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化 为求和它相等角的正弦值；
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边与斜边的比 是一个固定值，
（1）∠A的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？ （2）∠A的对边与邻边的比是否也是一个固定值？
A
A
，那么
BC AB
与
BC AB
有什么关系？
解：BC BC
AB AB
理由如下：
∵∠A=∠A′，∠C=∠C′
∴△ABC∽ ABC
AB BC AB BC
BC BC AB AB
在直角三角形中， 当锐角A的度数一 定时，不管三角形 的大小如何，∠A 的对边与斜边的比 都是一个固定值。
定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦 ，记作sinA，
100
50
当∠A=30°时
A的对边 斜边
BC AB
1 2
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡 铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行 喷灌．
（3）现测得斜坡与水平面所成角的度数是45°，为使出 水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
B
C A
当∠A=45°时
A的对边 斜边