人教版高一数学必修二第四章 圆与方程教案

教学课题人教版必修二第四章圆与方程
一、知识框架
4.1圆的方程
1. 圆的标准方程
（1）基本要素：当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是半径和圆心，标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是
2
2
2)
(
)
(r
a
y
a
x=
-
+
-
图示:
说明：若点M(x，y)在圆C上，则点M的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点M在圆上
[拓展]特殊位置圆的标准方程
如下表所示.
条件方程形式
圆过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)
圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在原点x2＋y2＝r2(r≠0)
（2）点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，
设d＝|PC|＝(x0－a)2＋(y0－b)2.
位置关系d与r
的大小
图示点P的坐标的特点
点在圆外
d __>__r
(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2
点在圆上
d __=__r
(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2
点在圆内
d __<__r
(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2
2. 圆的一般方程
(1)方程：当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程， 其中圆心为)2,2(E D --
，半径为r ＝F E D 42
122-+ (2)说明：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不一定表示圆． 当且仅当D 2＋E 2－4F >0时，表示圆： 当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点)2
,2(E
D --
； 当D 2＋E 2－4F <0时，不表示任何图形． (3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤： ①根据题意，选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； ③解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程．
（4）若一个二元方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是： ①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4F >0 [拓展]
1.圆的标准方程和一般方程的对比
(1)由圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，可以直接看出圆心坐标(a ，b)和半径r ，圆的几何特征明显．
(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显．
(3)相互转化，如图所示．
2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
剖析：已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：
位置关系代数关系
点M在圆外x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F<0
3. 轨迹方程
点M的坐标(x，y)满足的关系式称为点M的轨迹方程．
[拓展]当动点M的变化是由点P的变化引起的，并且点P在某一曲线C上运动时，常用中间量法(又称为相关点法)来求动点M的轨迹方程，其步骤是：
(1)设动点M(x，y)；
(2)用点M的坐标来表示点P的坐标；
(3)将所得点P的坐标代入曲线C的方程，即得动点M的轨迹方程．
4.2 直线、圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
（1）直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
（2）圆的弦长:若圆心到弦的距离为2
22,,d r l l r d -=，则弦长是圆的半径为。

即半径、弦
心距、半弦长构成一个直角三角形。

2. 圆与圆的位置关系
（1）判断圆与圆的位置关系及其判断 ①几何法：
圆O 1：(x －x 1)2＋(y －y 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －x 2)2＋(y －y 2)2＝r 2
2(r 2>0)，
两圆的圆心距d ＝|O 1O 2|＝221221)()(y y x x -+-，则有：
②代数法：圆O 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，圆O 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，两圆的方程联立得方程组，则有： 方程组解的个数
2组
1组
0组
d
r
两圆的公共点个数 2 个 1 个0 个
两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含
（2）圆系方程
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系．常用的圆系有以下几个：
(1)圆心为定点(a，b)的同心圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中a，b为定值，r是参数．
(2)半径为定值r的圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中a，b为参数，r>0是定值．
(3)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线Ax＋By＋C＝0的交点的圆系方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．
(4)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，λ∈R)，此圆系中不含圆C2.
当λ＝－1时，得到(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，此为两圆公共弦所在的直线方程．因此，如果两圆相交，两圆的方程相减就得到两圆公共弦所在的直线方程．
4.3 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
（1）定义：以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、x Oz平面
画法：在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝90°，∠yOz＝90°
图示：
说明：本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
[疑点]将空间直角坐标系画在纸上时，
①x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)；
②y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的1 2.
（2）坐标
如图所示，设点M 为空间直角坐标系中的一个定点，过点M 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P ，Q 和R .设点P ，Q 和R 在x 轴，y 轴和z 轴上的坐标分别是x ，y 和z ，那么点M 就和有序实数组(x ，y ，z )是唯一确定的关系，有序实数组 (x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标． （3）[拓展]
①．空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点为P 0(x 0，y 0，z 0)，则
⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝
x 1＋x 2
2，
y 0
＝y 1
＋y 22，
z 0
＝z 1
＋z 2
2.
这个公式称为空间直角坐标系中的中点坐标公式，是平面直角
坐标系中点坐标公式的拓展．
②．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标
③ 空间直角坐标系中特殊对称点的坐标 设点P (a ，b ，c )为空间直角坐标系中
的点，则
对称轴(或中心或平面) 点P 的对称点坐标 原点
(－a ，－b ，－c )
点的位置 点的坐标形式 原点
(0,0,0)
x 轴上 (a,0,0) y 轴上 (0，b,0) z 轴上 (0,0，c ) xOy 平面上 (a ，b,0) yOz 平面上 (0，b ，c ) xOz 平面上
(a,0，c )
的直线被圆
11。