计算方法(2)-插值法

]
特例
jk
n 1,线性插值
L1 ( x)

y0

y1 x1

y0 x0
(x

x0 )
9
特例 n 2, 二 次 插 值(抛 物 插 值)
L2 (x)

y0
(x (x0

x1 )( x x2 ) x1 )( x0 x2 )

y1
(x ( x1

x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
存在且唯一.
1
证:aa00

a1 x0 a1 x1
an x0n an x1n

y0 y1
V

1
x0 x02 x1 x12

x0n x1n

1 xn
xn2

x
(x0 , x2 )
y y1 x x1 y y2 x x2
即
y

y1

x x1 x2 x1
( y2

y1 )
14
例1 用线性插值和抛物插值求近似值
100 10, 121 11, 144 12,求 115
例3 用事后估计法估计例1中的误差
解: 取 节 点x0 100 , x1 121, 近 似 值y1 10.714
用线性插值和二次插值求ln0.54近似值
解: 线性插值 取 节 点x0 0.5, x1 0.6,
ln 0.54 0.620219
二次插值 取 节 点x0 0.5, x1 0.6, x2 0.7
ln 0.54 0.6168382
16
§3 牛顿插值多项式
牛顿插值多项式 Nn (xi ) yi (i 0,1, , n)
xn
) xn
)
3.插值基函数定义
l0 (x),l1 (x), , ln (x)称 为 节 点x0 , x1, , xn 上 的n次 基 本 插 值 多 项 式(插 值 基 函 数)
8
二.拉格朗日插值多项式
Ln (x) y0l0 (x) y1l1 (x) ynln (x)
n n
a0 a1xn an xnn yn
n i1

(xi x j ) 0
i1 j 0
6
§2 拉格朗日插值多项式
一.插值基函数
1.问题的提出
对 节 点xi (i 0,1, , n)中 任 一 点xk (0 k n),作 一n次 多 项 式 lk (x),使 它 在 该 点 值 为1, 在 其 余 点xi 值 为0
Nn (x0

th)

y0

ty0

t(t 1) 2!
2
y0



插值余项
t(t

1)


(t n!

n

1)
n
y0
Rn (x0

th)

t(t
1) (t (n 1)!
n)
h n1
f
(n1) ( ),
(x0 , xn )
20
二.向后差分与牛顿向后插值公式
的n次插值多项式,则 x [a,b]
有
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!

n1
(
x)
n
其中 n1(x) (x xi ), (a,b) 且依赖于x
iห้องสมุดไป่ตู้0
12
例1 用线性插值和抛物插值求近似值
100 10, 121 11, 144 12,求 115

10.714
11
三.插值余项
1.定义
记Rn (x) f (x) Pn (x),
称 为 插 值 多 项 式Pn (x)的 余 项
2.定理2 设f(x)在区间[a,b]上有直到n+1阶
导数,x0 , x1, , xn 为[a,b]上n+1个互异的节点, Pn (x) 为满足条件 Pn (xi ) f (xi )(i 0,1, , n)
n)
h n1
f
(n1) ( ),
(x0 , xn )
22
例5 从给定的表出发,计算 sin(0.12),sin(0.58)
并估计截断误差.
xk
yk
0.1 0.09983
0.2 0.19867
0.3 0.29552
0.4 0.38942
0.5 0.47943
0.6 0.56464
yk 0.09884 0.09685 0.09390 0.09001 0.08521

n k 0
yk
(x x0 ) (x (xk x0 ) (xk

xk1 )(x xk1 ) (x xk1 )(xk xk1 ) (xk
xn ) xn )

n
[ yk
k 0
n j0

x xj xk x j

y2
(x (x2

x0 x0
)( x x1 ) )( x2 x1 )
10
例1 用线性插值和抛物插值求近似值
100 10, 121 11, 144 12,求 115
解: 线性插值: 取 节 点x0 100 , x1 121
1)一次插值基函数
l0 (x)

x x1 x0 x1
2)插值的目的 在一性质优良便于计算的
函 数 类中, 求 一 简 单 函 数P( x), 使 P(xi ) yi (i 0,1, , n)
而 在 其 它 点x xi上, P(x)作 为f (x)的 近 似.
3)相关定义 插值区间、插值节点、插值条件、
插值函数类、插值法
3
3.多项式插值 用代数多项式作插值函数
用x0 , x1两 点 作 线 性 插 值, 得y f (x)的 近 似 值y1
y

y1

1 2
f
" (1 )(x

x0 )(x

x1 ),1
(x0 , x1)
用x0
,
x
两
2
点
作
线
性
插
值, 得y

f (x)的 近 似 值y2
y

y2

1 2
f
"(2 )(x

x0 )(x

x2 ),2
x0 ) (xk
1 xk1 )( xk
xk1) (xk

xn )
lk
(x)

(x x0 ) (x (xk x0 ) (xk

xk1 )( x xk1 ) (x xk1 )( xk xk1 ) (xk
(i 0,1, k 1, k 1, n),
即
1,i k lk (xi ) 0, i k
7
2.问题的求解
设 lk (x) Ak (x x0 )(x x1) (x xk1)(x xk1) (x xn )
Ak

(xk
(k 0,1, , n)处 的 函 数 值f (xk ) yk为 已 知, 其中h为正常数, 称为步长.
17
一阶向前差分 yk yk1 yk
二阶差分
2 yk (yk ) yk1 yk
m阶差分
m yk m1 yk 1 m1 yk
an (x x0 )(x x1 ) (x xn1 )
a0
a2
y0

y2

y0

y0 h
(
(x2 x0 )( x2
a1
x2 x0 x1)
)
y1 x1


y2
y0 y0 x0 h
2 y1 y0 2h h
2 y0 2!h 2

x 121 21
l1 ( x)

x x0 x1 x0

x 100 21
2)线性插值多项式
L1 ( x)

y0l0
(x)

y1l1 ( x)

10
x 121 21
11
x
100 21
115

L1
(115)

10

115 121 21

11
115 100 21
xk yk
y k
2 yk
3 yk
4 yk
x0 y0
y0
x1 y1
2 y0
y1
3 y0
x2 y2
2 y1
4 y0
y 2
3 y1
x3 y3
2 y2
y3
x4 y4
18
牛顿插值多项式 Nn (xi ) yi (i 0,1, , n)
N n (x) a0 a1 (x x0 ) a1 (x x0 )(x x1 )
等距节点xk x0 kh(k 0,1, , n) 1.向后差分 yk yk yk1
m yk m1 yk m1 yk1, m 2,3,
2.中心差分
yk

y
k

1

y
k

1
2
2
m yk


m1
y
k

1


m1
y
k

1
,
m

2,3,
计算方法
第二章 插值法
§1 引言 §2 拉格朗日插值多项式 §3 牛顿插值多项式 §4 分段低次插值 §5 三次样条插值 §6 数值微分
1
§1 引言
一.插值问题的提法
1.插值法的背景及思想

函数f(x)在区间[a,b]上存在且连续,只
知在有限个点的函数值,或函数表达式太复
取 节 点x0 100 , x2 144 , 近 似 值y2 10.682
y1的 误 差:
115

y1

115 144
121 121
(10.682
10.714 )
0.00835
15
例4 给出f(x)=lnx的数值表
x
0.4
0.5
0.6
0.7
lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675
杂.

根据f(x)函数表或复杂的解析表达式构
造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似.
2
2.问题的提法
1)已知条件 设函数y f (x)在区间[a,b]上
连 续, 且 在n 1个不 同点a x0 , x1, , xn b 上 分 别 取 值y0 , y1, , yn
例2 估计例1中的截断误差
解: 线性插值
f (x) x
R1 (x)

1 2
f "( ) 2 (x),
[x0 , x1 ]
抛物插值
f (x) x
R2
(x)

1 3!
f
'''( )3 (x),
[x0 ,
x2 ]
13
四.插值误差的事后估计法
设x0 x x1 x2 , 且f (xi )(i 0,1,2)为 已知
Nn (x) a0 a1 (x x0 ) a2 (x x0 )(x x1 ) an (x x0 )(x x1 ) (x xn1 )
一.向前差分与牛顿向前插值公式
1.向前差分定义 步长 设 函 数f (x)在 等 距 节 点xk x0 kh


2
2
yk1 2

f (xk

h
2
),
y
k

1 2

f (xk

h) 2
21
3.牛顿向后插值公式
Nn (xn

th)

yn

tyn

t(t 1) 2!
2
yn



t(t

1)


(t n!

n

1)

n
yn
(t 0)
插值余项
Rn
(xn

th)

t(t
1) (t (n 1)!
其
中a0
,

,
a
为
n
实
数.
2)n次插值多项式
4
求插值多项式的几何意义
5
二.插值多项式的存在唯一性
定理1 若节点 x0 , x1, , xn 互不相同,
则满足插值条件 Pn (xi ) yi (i 0,1, , n)
的n次插值多项式 Pn (x) a0 a1x an xn
ak

k y0 k!h k
(k
1,2, , n)
19
Nn
(x)

y0

n!nhyhy0n0((xxxx00))( x2!2hyx210
(x )
x0 )(x x1 ) (x xn1 )
2.牛顿向前插值公式 令x x0 th(t 0)
2 yk
0.00199 - 0.00295 - 0.00389 - 0.00480
3 yk
- 0.00096 - 0.00094 - 0.00091
1)基本问题
函数y f (x)在[a,b]上连续, 且在点 a x0 , x1, , xn b 上 分 别 取 值y0 , y1, , yn
求 一 次 数 不 超 过n次 的 代 数 多 项 式
Pn (x) a0 a1 x an x n
使 Pn (xi ) yi (i 0,1, , n)