2020届江西省临川一中高三下学期开学考试数学(文)试卷及解析

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江西省临川一中2020届高三年级教学质量检测(二)(理数)

江西省临川一中2020届高三年级教学质量检测（二）数学（理科）注意事项：1．考试范围：集合与简单逻辑用语，函数与初等函数，导数及其应用，三角函数，解三角形，平面向量，数列，不等式，立体几何，解析几何（直线、直线与圆的位置关系为主，可少量涉及圆锥曲线）。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}0)5)(2(≤-+=x x x M ， {}x y y N 2==，则=N M I A ．]2,0(B ．]5,0(C ．]5,2[D ．),2[+∞2．已知向量)2,1(-=m ),4(,λ=n ，其中.R ∈λ若n m ⊥，则=mn A ．5B ．2C ．52D ．23．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，点)5,2(-P 是角α终边上的一点，则=α2cos A ．2920B ．2921C ．2921-D ．2920-4．现有如下命题：命题),0(:+∞∈∀x p “”0ln ,<-x x 的否定为”“0ln ],0,(000≥--∞∈∃x x x ；命题”“02sin :>x q 的充要条件为”“)(2)12(Z k k x k ∈+<<ππ，则下列命题中的真命题是 A ．pB ．q p ∧C ．)(q p ⌝∨D ．q p ∧)(⌝5．已知椭圆13964:22=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ⋅，点P 在椭圆C 上，若6|1=PF ，则 21F PF ∠的余弦值为A ．103B ．107 C ．52 D ．536．如图，在正六边形ABCDEF 中，=EC A ．32- B ．23- C ．52-D ．25-7．已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+=32,6,sin 4cos 3)(2ππx x x x f ，则)(x f 的值域为 A ．)417,4[B ．)417,4(C ．]313,4[D ．]313,4( 8．已知长方体1111D C B A ABCD -中，2221===AA BC AB F E ,分别是线段111,CC D A 的中点，若E '是E 在平面11B BDD 上的射影，点F '在线段1BB 上，且,//BC FF 则=''F EA ．15215B ．10215C ．15430D ．104309．函数xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛⋅+--=32)2(4)(的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．已知函数221)(-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f ，()28log 3f a =()2ln 3,f b =，21=c ，则c b a ,,的大小关系为 A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>11．若关于x 的不等式01ln 2≥--x m x 在]3,2[上有解，则实数m 的取值范围为 A ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-2ln 3,B ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-3ln 8,C ．(]1,2-∞-eD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3ln 8,2ln 312．四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，ο120=∠ADC ，连接BD AC ,交于点⊥O A O 1,平面ABCD ，41==BD O A ，点C '与点C 关于平面D BC 1对称，则三棱锥ABD C -'的体积为A ．33B ．32C ．36D ．34二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上） 13．记等比数列}{n a 的前n 项和为n s ,若41105=s s，则=72a a14．若椭圆C 过点)2,2(，)3,2(，则椭圆C 的离心率为15．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≥,4062,4y y x x y ，则44-+=x y z 的最大值为16．已知首项为3的正项数列}{n a 满足),1)(1(3))((11-+=-+++n n n n n n a a a a a a 记数列{})1(log 22-n a 的前n 项和为n S ，则使得440>n s 成立的n 的最小值为三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数.1432)(23+--=x x x x f (1)求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的方程； (2)求函数)(x f 的极大值． 18．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,13,,,=a c b a且⋅-+=-++ba AC a b c C A C A sin sin sin cos cos sin(1)求ABC ∆外接圆的半径；(2)若3=c ，求ABC ∆的面积． 19．（本小题满分12分）直角梯形ABCD 如图(1)所示，其中CD AB //，AD AB ⊥，过点B 作CD BM ⊥，垂足为M ，得到面积为4的正方形ABMD ，现沿BM 进行翻折，得到如图(2)所示的四棱锥.ABMD C -(1)求证：平面⊥CBM 平面;CDM(2)若ο90=∠CMD ，平面CBM 与平面CAD 所成锐二面角的余弦值为13133，求CM 的长．20．（本小题满分12分）已知圆C 过点)1,4()1,0(,)3,2(,，过点)0,2(-P 的直线与圆C 交于N M ,两点． (1)若圆9)4()2(:22=-++'y x C ，判断圆C 与圆C '的位置关系，并说明理由； (2)若135=，求MN 的值． 21．（本小题满分12分）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且,42=a .)1(2n a S n n +=&等比数列{}n b 满足：32b a =， ⋅++=3213b b b a(1)求数列{}n b 的通项公式以及前n 项和n T . (2)求数列{}n a 的通项公式． 22．（本小题满分12分）已知函数e x x f x2)(=,其中Λ718.2=e 为自然对数的底数． (1)求函数)(x f 在[]1,5--上的最值； (2)若函数x a x x f x g ln 1)()(-+=,求证：当()e a 2,0∈时，函数)(x g 无零点．数学（理科）参考答案1．B 2．B3．C4．D5．A 6．B8．D9．C10．A11．B12．D13．31 14．2215．72-16．2117．解：(1)依题意310)1(,-=f （1分）而,4)1(,422)(2-=--='f x x x f （3分）故所求切线方程为)1(4310--=⎪⎭⎫⎝⎛--x y ，即.02312=-+y x （4分） (2)依题意)2)(1(2)2(2)(2-+=--='x x x x x f （5分）令0)(='x f ，解得1-=x 或.2=x （6分）故当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ；当)2,1(-∈x 时0)(,<'x f ；当),2(+∞∈x 时，0)(>'x f （8分）故函数)(x f 的极大值为310)1(=-f （10分） 18．解：(1)依题意b a a b c A C C A --+=++sin sin )sin(,，1sin sin sin --=+b a cA CB （1分）由正弦定理得1--=+ba ca cb （2分）整理得bc a c b -=-+222，所以212cos 222-=-+=bc a c b A （4分）因为π<<A 0，所以32π=A （5分）故所求外接圆半径339313sin 2===A a r （6分） (2)因为13=a ，3=c ，32π=A 所以由余弦定理,cos 2222A bc c b a -+=得32cos329132π⨯⨯⨯-+=b b （8分）即0432=-+b b ，解得1=b 或4-=b （舍去），（10分）所以433233121sin 21=⨯⨯⨯==A bc S （12分）19．解：(1)在图(1)中，因为,CM BM ⊥,DM BM ⊥所以翻折后，在图(2)中有CM BM ⊥，,DM BM ⊥（2分）又M DM CM =I ，所以⊥BM 平面CDM （3分）因为⊂BM 平面CBM ，故平面⊥CBM 平面.CDM （4分）(2)因为DM CM ⊥，BM CM ⊥，M BM DM =I ，所以⊥CM 平面ABMD又MD BM ⊥，以M 为原点，分别以MD ，MB ，MC 所在直线为x 轴，y 轴，z 油，建立如图所示的空间直角坐标系，（5分）设)0(>=a a CM ，)0,0,2(D ，),0,0(a C ，)0,2,2(A ，则),0,2(a CD -=，),2,2(a -= 设平面CAD 的法向量为),,(z y x n =由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0220200az y x az x CA n n取a x =0,=y ，2=z ，即)2,0,(a n =（9分）取平面CBM 的法向量为)0,0,2(=MD （10分）13133=，即131334222=+a a ，解得3=a ，即.3=CM （12分） 20．解：(1)设圆,0:22=++++F Ey Dx y x C则⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=+++03213,01,0417F E D F E F E D ，解得4-=D ，2-=E ，1=F （3分）故圆,0124:22=+--+y x y x C 即4)1()2(22=-+-y x 而2353422+==+='C C ，故圆C 与圆C '外切．（5分）(2)当直线MN 与x 轴重合时，令0=y ，得32-=M x ，32+=N x ，可得PN PM 3434+-=，不符合题意。

江西省临川一中2020届高三下学期第一次联考(文数)

江西省临川一中2020届高三下学期第一次联考数学（文科）满分：150时间：120分钟一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=I ，}4,3,2,1{=A ，}6,5,4,3{=B ，则(∁I )A I (∁=)B I （） A ．}8,7{B ．}4,3{C ．}8,7,4,3{D ．}6,5{2．已知复数z 满足)2()1(i z i +=+，则=||z （）A ．310B ．52 C ．510 D ．610 3．下列命题中，是假命题的是（）A ．若c a b a ⋅=⋅，则)-(c b a ⊥B ．R x ∈∀，0332>+-x x C ．函数|cos sin |)(x x x f +=的最小正周期为π2 D ．323log 2=4．下图中，样本容量均为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如下，则其中标准差最大的一组是（）5．已知单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ，若点Q 的横坐标为－21，则点P 的横坐标为（） A ．31 B ．21 C ．22D ．23 6．函数x e y xsin =的大致图像为（）7．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（） A ．28B ．56C ．84D ．1208．已知平面向量,满足1||||==，21=⋅，若)(21+=， b a d )1(λλ-+=，)(R ∈λ，则d c ⋅的值为（）A ．31B ．23 C ．43D ．与λ有关9．己知双曲线)0(1:222>=-b b y x C ，)0,(c F 为双曲线的右焦点，过⎪⎭⎫⎝⎛0,23c M 作斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线分别交于B A ,两点，若F 为OAB ∆的内心，则双曲线方程为（） A ．1422=-y xB ．1222=-y xC ．1322=-y xD ．1422=-y x10．己知函数)(x f 是定义在R 上的单调减函数且为奇函数，数列}{n a 是等差数列，且01010>a ，则)()()()()(20192018321a f a f a f a f a f +++++Λ的值（）A ．恒为负数B ．恒为正数C ．恒为0D ．可正可负11．己知ea 3=，3e b =，则下列选项正确的是（）A ．b a >B ．e ba <+2lnC ．e ba ab>+2lnD ．e ba <+2ln ln 12．已知直角三角形ABC 中1=AC ，3=BC ，斜边AB 上两点M ，N ，满足︒=∠30MCN ，则MCN S ∆的最小值是（）A ．43 B ．83 C ．2336- D ．4336-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．=︒︒15sin 15cos ．14．已知⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=0,10,22)(x xx x x f ，若a a f >)2(，则实数a 的解集是．15．已知直线1-=kx y 与焦点在x 轴上的椭圆)0(14:222>=+b by x C 总有公共点，则椭圆 C 的离心率取值范围是．16．己知三棱锥ABC P -中，满足1==BC PA ，3==AB PC ，2=AC ，则当三棱锥体积最大时，直线AC 与PB 夹角的余弦值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下 2×2（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关？（2）若已经从40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取了5名，现从这5名被调（注：参考公式：))()()(()(22c ad b d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=）18．（12分）已知非零数列}{n a 满足11=a ，1211+=+nn a a ；（1）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n a 为等比数列，并求}{n a 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n S ．19．（12分）己知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别为棱1111C D DD BB 和D A 1的中点，（1）证明：//MN 平面1EFC ；（2）求点1A 到平面1EFC 的距离． 20．（12分）己知函数1ln sin )(-+=x x x f（1）求函数)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2ln ,2ππ处的切线方程；（2）当),0(π∈x 时，讨论函数)(x f 的零点个数．21．（12分）己知圆)1()1(:222>=-+r r y x C ，设点A 为圆C 与y 轴负半轴的交点，点P 为圆C 上一点，且满足AP 的中点在x 轴上．（1）当r 变化时，求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线E ，M ，N 为曲线E 上两个不同的点，且在M ，N 两点处的切线的交点在直线2-=y 上，证明：直线MN 过定点，并求此定点坐标．（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3cos 2t y t x （t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ．（1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求3πα=时直线l 的普通方程；（2）若直线l 和曲线C 交于两点B A ,，点P 的直角坐标为)3,2(，求||||PB PA +的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ．证明：（1）411≥++c b a ；（2）3212121≥+++++ac c b b a ．数学（文科）参考答案一、选择题11．解析．对于选项A ：构造函数x x y ln =，则2ln 1'xxy -=，所以函数在),(+∞e 上单调递减，所以33ln ln >e e ，即3ln ln 3e e >，即e e 3ln ln 3>，即ee 33>，故A 错；对于选项B ：由A 可得e e e e ee e >==+>+3ln 3ln 233ln 23ln 3，故B 错；对于选项D ：e e e e ee e >==+>+3ln 3ln 23ln 3ln 2ln 3ln 3，故D 错；对于选项C ：e e e b a e ee e >==+>+=+3ln 3ln 31312ln 1312ln 112ln 3，故C 正确．12．解析（法一）：设x CM =，y CN =，MCN S ∆记为S ，则在MCN ∆中有xy xy S 4130sin 21==ο，即S xy 4= 在ACB ∆中，点C 到斜边的距离为23=d ，故||43||21MN MN d S =⋅=，即34||S MN =由余弦定理可得：xy xy xy y x xy y x MN o 32330cos 222222-≥-+=-+=即S S 4)32(342⋅-≥⎪⎭⎫⎝⎛，可得4336-≥S 故选D ．（法二）：设θ=∠ACM ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πθ，x CM =，y CN =则在ACM ∆和BCN ∆中，由正弦定理可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-6sin 2sin 3sin 32sin πθππθπCN CB CM CA ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛-21cos 32332sin 1y x θθπ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθπcos 2332sin 23y x 所以3432sin 83cos 32sin 43416sin 21+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅==πθθθππxy S⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πθΘ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴πππθ,332 ∴面积的最小值为43363483-=+=S ，故选D ．二、选择题 13．32+14．()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-,320,Y15．⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0 16．510 16．解析：如右图所示，当平面⊥PAC 平面ABC 时，三棱锥PAC 体积最大，过P 作PE //=AC ，过点P 作AC PD ⊥， AC EF ⊥，则23==EF PD ，21=AD ，所以 472332123412=⋅⋅⋅-+=BD ，则2547432=+=BP ，472112121412=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅-+=BF ，则2547432=+=BE ，所以510252225425cos =⋅⋅-+=∠BPE三、解答题17．（1）828.101110055455050)3001050(10022<=⨯⨯⨯-⨯=k ……………………4分∴没有99.9%的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关．…………6分（2）由题得40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取的5名人员中有3名对手机游戏很有兴趣，设为a 、b 、c ；有2名对手机游戏无兴趣，设为d 、e ，从a 、b 、c 、d 、e 中随机选取3名的基本事件有},,{c b a 、},,{d b a 、},,{e b a 、},,{d c a 、 },,{e c a 、},,{e d a 、},,{d c b 、},,{e c b 、},,{e d b 、},,{e d c 共10个．……………………8分其中d ，e 恰有1个的有},,{d b a 、},,{e b a 、},,{d c a 、},,{e c a 、},,{d c b 、},,{e c b 共6个．∴这3名被调查者中恰有1名对手机游戏无兴趣的概率为53．…12分 18．解:（1）依题意：nn a a 2111+=+，所以211111=+++nn a a ，即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n a 为等比2=q 的等比数列……………………3分所以1121111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n a a ，可得121-=n n a ，所以121-=n n a ……………………6分（2）由（1）可知n n a nn n-⋅=2，令n n n T 223222132⋅++⋅+⋅+⋅=Λ，则143222322212+⋅++⋅+⋅+⋅=n n n T Λ，所以1221)21(2222212+⋅---=⋅-++=-+n n n n n n n T Λ ………………9分即12)1(2+⋅-+=n n n T ，……………………10分所以22)1(221n n n S n n +-⋅-+=+……………………12分19．（1）证法（一）如图连结1AC 交EF 于点G ，则点G 为1AC 的中点，连结1AD ，NGN Θ为1AD 的中点， NG ∴为11D AC ∆的中位线11||D C NG ∴，1121D C NG =， M Θ为11D C 的中点M C NG 1||∴，M C NG 1=∴四边形M NGC 1为平行四边形， G C MN 1||∴， ⊂/MN Θ平面1EFC ，⊆G C 1平面1EFC||MN ∴平面1EFC……………………6分证法（二）如图取1CC 中点P ，连接AF ，AE ，FP ，PB ，因为正方体1111D C B A ABCD -，P F E ,,分别为 111,,CC DD BB 中点，所以可得四边形E BPC 1和四边形ABPF 均为平行四边形，所以1////EC BP AF ，所以平面1EFC 即为平行四边形F AEC 1所在平面，因为N 为D A 1的中点，所以也为1AD 中点，且M为11D C 中点，所以MN //=121AC ，||MN ∴平面1EFC ． ……………6分（2）解法（一）延长1DD 至点O ，使得O D DD 112=，连结O A 1，则||1O A 平面1EFC ，则A 到平面1EFC 的距离即O 到平面1EFC 的距离211=∆F OC S ，点E 到平面F OC 1的距离为1，461=∆EF C S设1A 到平面1EFC 的距离为h ，则F OC E EFC O EFC A V V V l 111---==，即463121131⋅⋅=⋅⋅h可得36=h ，即点1A 到平面1EFC 的距离为36……………………12分解法（2）由证法二知点1A 到平面1EFC 的距离为点1A 到平面F AEC 1的距离，所以AF A E A V V AEF 11-=-，且4623221=⨯⨯=AEF S ，211=AF A S ，所以1A 到平面1EFC 的距离为36462111==⨯AEF AF A S S ……………………12分20．解：（1）因为x x x f 1cos )('+=，所以ππ22'=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f k ，所求切线方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-222lnπππx y ，即12ln2-+=ππx y ．……………………4分（2）x x x f 1cos )('+=Θ，∴当⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πx 时，0)('>x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎝⎛2,0π单调递增，且02ln 2>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf ，0216ln 6<-=⎪⎭⎫⎝⎛ππf ，所以)(x f 在⎥⎦⎤⎝⎛2,0π内有唯一零点．……………………6分当⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,2x 时，由01sin )(2<--=''x x x f ，知)(x f '在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2单调递减，且022>=⎪⎭⎫ ⎝⎛'ππf ，011)(<+-='ππf ，知存在唯一⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,20x 使得0)(0='x f ， ……………………9分当⎪⎭⎫⎝⎛∈0,2x x π时0)(>'x f ，)(x f 单调递增；当),(0πx x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减且02>⎪⎭⎫⎝⎛πf ，01ln )(>-=ππf ，所以)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2无零点， ……………………11分综上可知)(x f 在区间),0(π内有且只有一个零点………………12分21．解：（1）依题意)1,0(r A -，设),(y x P ，则弦AP 中点⎪⎭⎫⎝⎛0,2x D ，由0=⋅DP CD 得0,21,2=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x，即)0(42>=y y x……………………6分（2）设),(11y x M ，),(22y x N ，依题意可设抛物线在M ，N 两点处的切线交点为)2,(0-x Q ，直线MN 的方程为b kx y +=，易求抛物线在点M 处的切线为)(21111x x x y y -=-，即2114121x x x y -=，抛物线在点N 处的切线为)(21222x x x y y -=-，即2224121x x x y -=，所以⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=--=-22022*********1212x x x x x x ，……………………8分即21,x x 为方程2041212x x x -=-，即02214102=--x x x 的两个根，所以821-=⋅x x ，……………………10分且⎩⎨⎧+==bkx y y x 42可得0442=--b kr x ，所以b x x 421-=⋅，即2=b ，所以直线MN 过点)2,0(．……………………12分22 ．（1）因为θθπθρcos 2sin 24sin 22+=⎪⎭⎫⎝⎛+=，得θρθρρcos 2sin 22+=，……………………2分∴曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ． ……………………3分当3πα=时，直线l 过定点)3,2(，斜率3=k ．∴直线l 的普通方程为，即03323=+--y x ；……………………5分（2）把直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3cos 2t y t x 代入02222=--+y x y x ，得03)sin 4cos 2(2=+++t t αα． ……………………6分设B A 、的参数分别为21,t t ，11 所以3),sin 4cos 2(2121=⋅+-=+t t t t αα，则1t 与2t 同号，012)sin 4cos 2(2>-+=∆αα，得32sin 4cos 2>+αα或32sin 4cos 2-<+αα． ………………8分 52|)sin(52||sin 4cos 2|||||||21≤+=+=+=+∴θαααt t PB PA ， ||||PB PA +∴的最大值为52．……………………10分 23．证明：（1）因为+∈R c b a ,,，且4211)(≥++++=⎪⎭⎫⎝⎛++⋅++a c b c b a c b a c b a ，又因为1=++c b a ，所以411≥++cb a ． ……………………5分（2）令b a x 2+=，c b y 2+=，b c z 2+=，则3=++z y x ，且+∈R z y x ,,，所以zy x a c c b b a 111212121++=+++++，而=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++z y x z y x 111)(313331≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++y z x z z y x y z x y x ． ……………………10分。

江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题 Word版含解析

临川一中2019-2020学年高一（下）入学考试数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =-≤，则{}22xB x =≤，A B =( )A. 112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B. 102x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭C. 102x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ D. 112xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】计算{}02A x x =≤≤，12B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，再计算交集得到答案. 【详解】{}{}22002A x x x x x =-≤=≤≤，{}1222xB x x x ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭，故102A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭. 故选：B.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 2.若实数1122log log a b <，则( )A. ()ln 0a b ->B. 33a b <C. 330a b ->D. sin sin a b >【答案】C 【解析】【分析】根据函数单调性得到0a b >>，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】1122log log a b <，故0a b >>，取1a =，12b =，则()ln 0a b -<，A 错误；33a b >，B 错误； 33a b >，故330a b ->，C 正确；取a π=，2b π=，sin sin a b <，D 错误.故选：C.【点睛】本题考查了不等关系的判断，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.3.如图，若OA a =，OB b =，OC c =，B 是线段AC 靠近C 的一个三等分点，则下列等式成立的是( )A. 4133c b a =-B. 3122c b a =+ C. 3122c b a =-D. 2136c b a =+【答案】C 【解析】【分析】代换3122OC OA AC OB OA =+=-，计算得到答案. 【详解】()333131222222OC OA AC OA AB OA OB OA OB OA b a =+=+=+-=-=-.故选：C.【点睛】本题考查了向量加法的运算法则，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递减的函数是( ) A. 23y x = B. 1cos y x =+ C. 2xy -= D. 1lny x= 【答案】D【分析】依次判断每个函数的单调性和奇偶性得到答案.【详解】()23y f x x ==，则()()()2233y f x x x f x =-=-==，函数为偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，故A 不满足；()1cos y f x x ==+，则()()1cos f x x f x -=+=，函数为偶函数，在区间()0,∞+上有增有减，故B 不满足；()2x y f x -==是非奇非偶函数，故C 不满足；()1lny f x x ==，()()1ln f x f x x-==，函数为偶函数，当()0,x ∈+∞时，()ln f x x =-，函数单调递减，满足. 故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 5.在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，角α终边上有一点)3,1P-，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A. 362-26-26+【答案】B 【解析】【分析】根据任意角三角函数定义可求得sin α,cos α代入两角和的正弦公式可求得结果. 【详解】(3,1)P -在终边上, 133sin ,cos 223131αα∴==-==++. 123262sin sin cos cos sin 444222πππααα-⎛⎫⎛⎫∴+=+=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查利用两角和的正弦公式求解三角函数值的问题,涉及到任意角三角函数的定义,属于基础题.6.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数()tan 12f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()0ω>图象中的两条相邻“平行曲线”与直线2020y =相交于A ，B 两点，且2AB =.则()f x 的一个增区间为( ) A. 72,12⎛⎫--⎪⎝⎭B. ()1,1-C. 51,6⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,3【答案】C 【解析】【分析】由题意可知函数()tan 12f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期2T AB ==，从而求出2πω=，再整体代入法求出函数的单调递增区间，从而得出答案．【详解】解：由题意可知函数()tan 12f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2T AB ==，∴2πω=，解得2πω=，∴()tan 212f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,22122k x k k Z ππππππ-+<+<+∈得7522,66k x k k Z -+<<+∈，当1k =-时，得197,66x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故A 错；当0k =时，得75,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故B 错、C 对；当1k =时，得517,66x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故D 错；故选：C ．【点睛】本题主要考查正切函数的周期性与单调性，考查数学想象能力，属于基础题．7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩，若()6f a =-，则a 为( ) A. 116- B. 5- C. 116-或5D. 116-或5- 【答案】D 【解析】【分析】利用()f x 是奇函数，以及函数()f x 在0x >上的解析式，合理转化，列出方程，即可求解.【详解】由题意，当0x >时，()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩， ①当01a <<时，由()12log 26f a a =+=-，解得82a =，此时无解；②当1a ≥时，由16a +=-，解得7a =-，此时无解；又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f a f a =--，因为()6f a =-，所以()6f a -=，③当10a -<<时，则01a <-<，可得()12log ()26f a a -=-+=，解得116a =-；④当1a ≤-，则1a -≥，可得()16f a a -=-+=，解得5a =-，综上可得，实数a 的值为116-或5-. 故选：D.【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式的应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的解析，结合函数的奇偶性合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.8.已知函数()()411f x x x x =+>-，则()f x 的最小值为( ) A. 4 B. 5C. 6D.163【答案】B 【解析】【分析】易得()4111f x x x =+-+-,再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题, 10x ->,故()()44111+1511f x x x x x =+-+≥⋅-=--,当且仅当411x x =--,即3x =时取等号. 故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式求和的最小值问题,属于基础题.9.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A. 17(1)a r + B. 17[(1)(1)]a r r r +-+C. 18(1)a r +D. 18[(1)(1)]a r r r+-+【答案】D 【解析】【分析】由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可.详解】解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +，同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，⋯⋯孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：17171618(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r aS a r a r a r r r r r++-=++++⋯⋯++==+-++-；故选D ．【点睛】本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.10.已知函数()()21,1ln 1,1x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩,则方程()()1ff x =根的个数为( )A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】C 【解析】【分析】令()u f x =,先求出方程()1f u =的三个根11u =,211u e=+,31u e =+,然后分别作出直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的图象,得出交点的总数即为所求结果. 【详解】令()u f x =,先解方程()1f u =.（1）当1u ≤时,则()211f u u =-=,得11u =；（2）当1u >时,则()()ln 11f u u =-=,即()ln 11u -=±,解得211u e=+,31u e =+. 如下图所示：直线1u =,11u e=+,1u e =+与函数()u f x =的交点个数为3、2、2, 所以,方程()1f f x ⎡⎤=⎣⎦的根的个数为3227++=. 故选：C.【点睛】本题考查复合函数的零点个数,这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数,求出外层函数的若干个根,再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数,考查数形结合思想,属于中档题． 11.将函数()4cos 2f x x ⎛π=⎫⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，n A ⋅⋅⋅，若P 点坐标为()0,2，则12n PA PA PA ++⋅⋅⋅+=( )A. 55B. 355 D. 0【答案】A 【解析】【分析】画出函数图像，根据图像知共有5个交点，交点关于()1,0对称，则12535PA PA PA PA ++⋅⋅⋅+=，计算得到答案.【详解】()4cos 2f x x ⎛π=⎫⎪⎝⎭，函数周期为4T =，函数图像关于()1,0中心对称，画出函数图像：根据图像知，共有5个交点，交点关于()1,0对称，()31,0A ，则125333322555PA PA PA PA PA PA PA ++⋅⋅⋅+=++==. 故选：A.【点睛】本题考查了三角函数交点问题，向量的模，确定共有5个交点，交点关于()1,0对称是解题的关键.12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数()1,0,R x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，以下关于狄利克雷函数()f x 的五个结论中，正确的个数是( )个. ①函数()f x 偶函数； ②函数()f x 的值域是{}0,1； ③若0T ≠且T 为有理数，则f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立；④在()f x 图象上存在不同的三个点A ，B ，C ，使得ABC 为等边角形. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D 【解析】【分析】当x Q ∈时，x Q -∈，当R x C Q ∈时，R x C Q -∈，函数为偶函数，①正确，函数()f x 的值域是{}0,1，②正确，T 为有理数，则当x Q ∈时，x T Q +∈，当R x C Q ∈时，R x T C Q +∈，故f x T f x ，③正确，()0,1，33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭构成等边三角形，故④正确，得到答案.【详解】当x Q ∈时，x Q -∈，当R x C Q ∈时，R x C Q -∈，故()()f x f x =-，函数为偶函数，①正确；函数()f x 的值域是{}0,1，②正确；T 为有理数，则当x Q ∈时，x T Q +∈，当R x C Q ∈时，R x T C Q +∈，故f x T f x ，③正确；()01f =，30f ⎛= ⎝⎭，30f =⎝⎭，故()0,1，3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3⎫⎪⎪⎝⎭构成等边三角形，故④正确；故选：D.【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的理解能力和对于函数性质的灵活运用.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上. 13.已知向量()2,3a =，(),1b x =，若a b ⊥，则实数x 的值是______. 【答案】32- 【解析】【分析】直接利用向量垂直公式计算得到答案.【详解】a b ⊥，则230a b x ⋅=+=，解得32x =-. 故答案为：32-. 点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若231018a a a ++=，则9S =______. 【答案】54 【解析】【分析】计算得到56a =，()1995992a a S a +==，计算得到答案. 【详解】()231011531234318a a a a d a d a ++=+=+==，故56a =，()199599542a a S a +===. 故答案为：54.【点睛】本题考查了等差数列求和，意在考查学生的计算能力.15.已知实数x ，y 满足：210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩，221z x y =--，则z 的取值范围是______.【答案】[)0,5 【解析】【分析】如图所示，画出可行域和目标函数1221z x y =--，根据几何意义得到15,53z ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数1221z x y =--，即112z y x +=-， 112z +-表示直线在y 轴上的截距，根据图像知：当直线过点()2,1-，即2x =，1y =-时，1z 有最大值为5；当直线过点12,33⎛⎫⎪⎝⎭，即13x =，23y =时，1z 有最小值为53-，故15,53z ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故[)0,5z ∈. 故答案为：[)0,5.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.16.如图，在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，D ，E 分别边AB ，AC 上的点，1AE =且12⋅=AD AE ，若P 是线段DE 上的一个动点，则⋅BP CP 的最小值为______.【答案】116- 【解析】【分析】计算1AD =，设()1123DP DE AE AD AC AB λλλ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，则211416BP CP λ⎛⎫=-- ⎪⋅⎝⎭，计算得到答案.【详解】11cos 22AD AE AD AE A AD ⋅=⋅==，故1AD =.设()1123DP DE AE AD AC AB λλλ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭，[]0,1λ∈，则()()()()BP CP AP AB AP AC AD DP AB AD DP AC ⋅=-⋅-=+-⋅+-222111113323322416AB AC AB AC λλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++⋅-+-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故14λ=时，⋅BP CP 有最小值为116-. 故答案为：116-.【点睛】本题考查了向量的数量积的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知()()()222121f x ax a x a =-+++，a R ∈.（1）当2a =时，解不等式()0f x ≥；（2）求关于x 的不等式()0f x ≥的解集. 【答案】（1）(]5,2,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）当0a =时，解集为(],2-∞；当0a <时，故解集为1,2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；当1a =时，解集为R ；当0a >且1a ≠时，故解集为(]1,2,a a ⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】（1）将2a =代入不等式，解得答案.（2）()()()221f x x ax a ⎡⎤=--+⎣⎦，讨论0a =，0a <，1a =和0a >且1a ≠几种情况，计算得到答案. 【详解】（1）当2a =时，()229100f x x x =-+≥，解得2x ≤或52x ≥，故解集为(]5,2,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭. （2）()()()()()222212121f x ax a x a x ax a ⎡⎤=-+++=--+⎣⎦当0a =时，()20f x x =-+≥，解得2x ≤，故解集为(],2-∞；当0a <时，12a a +<，故解集为1,2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；当1a =时，()()220f x x =-≥恒成立，故解集为R ；当0a >且1a ≠时，12a a +>，故解集为(]1,2,a a ⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎣⎭. 综上所述：当0a =时，解集为(],2-∞；当0a <时，故解集为1,2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；当1a =时，解集为R ；当0a >且1a ≠时，故解集为(]1,2,a a ⎡⎫-∞++∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了解不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要灵活掌握. 18.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，3116a =，1218a a -=，数列{}n b 满足13b =-，且11n b ++与1n b -的等差中项是n a . （1）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求242n S b b b =++⋅⋅⋅+的值.【答案】（1）112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，1122n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）221222343nS n n ⎛⎫=⋅--- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用等比数列公式得到112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1122nn n b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用累加法计算得到答案. （2）212142n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）231116a q a ==，121118a a a a q -=-=，解得12q =或1q =-（舍去），114a =，故11111422n n n a -+⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.11n b ++与1n b -的等差中项是n a ，故1112n n n b b a +++-=，故1122nn n b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ()()()112211...n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+1211111122...2322222n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++--=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）212142n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()22421144121242212234314nnn n n S b b b n n ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=--=⋅--- ⎪⎝⎭-.【点睛】本题考查了数列的通项公式，数列求和，累加法，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 19.将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()fϕ的值；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围．【答案】（1）0；（2）,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）首先化简()g x 解析式，然后求得左移ϕ个单位后函数()f x 的解析式，根据()f x 的奇偶性求得ϕ的值，进而求得()fϕ的值.（2）根据（1）中求得的()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求得226x πϕ++的取值范围，根据ϕ的取值范围，求得22πϕ+的取值范围，根据()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，以及正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得ϕ的取值范围. 【详解】（1）()()314sin cos sin 321cos 222g x x x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭，又()f x 为偶函数，则262k ϕππ+=+π（k Z ∈），02πϕ<≤，6πϕ∴=．()06f f πϕ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭．（2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫∴++∈++++⎪⎝⎭， 02πϕ<≤，72,666πππϕ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， ()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数．262ππϕ∴+≥且02πϕ<≤．,62ππϕ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦．【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题. 20.已知函数()2xxag x e e =-，是奇函数. （1）求a 的值，并证明函数()g x 的单调性；（2）若对任意的()1,9t ∈，使得不等式()()31log log 30t g t g k -+⋅>成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =，证明见解析；（2）[)2,k ∈+∞ 【解析】【分析】（1）根据()00g =得到2a =，设12x x <，计算()()210g x g x -<得到证明.（2）根据函数的单调性和奇偶性得到221124k m m m ⎛⎫>-=-- ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】（1）函数()2xx a g x e e =-是奇函数，故()00220a g e a e =-=-=，故2a =. 当2a =时，()22x x g x e e =-，()()22xx g x e g x e-=-=-，函数为奇函数.函数单调递增，证明：设12x x <，则()()()21212112212212221xx x x x x x xg x g x e e e e e e e +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为12x x <，故210x x e e ->，12110x x e++>，故()()210g x g x ->，故函数单调递增.（2）()()31log log 30t g t g k -+⋅>，故()()31log log 3t g t g k ->-⋅，即31log log 3t t k ->-⋅，设3log t m =，则()0,2m ∈，故1k m m->-，即221124k m m m ⎛⎫>-=-- ⎪⎝⎭，当2m =时，211224m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故2k ≥. 【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，利用函数性质解决不等式恒成立问题，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.21.已知数列{a n }的首项135a =，1321nn n a a a +=+，n *∈N ．(1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； (2)记12111n nS a a a =+++，若S n <100，求最大正整数n ； (3)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m －1，a s －1，a n －1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）99；（3）不存在【解析】试题分析：（1）根据1321n n n a a a +=+可得111111133n n n a a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，根据135a =，可知1110a -≠，即1111131n n a a +-=-，据此即可求证；（2）根据等比数列的通项公式可得11213nn a ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，进而即可表示出n S ，对其进行整理可得113n n S n =+-，由于100n S <，所以有111003nn +-<，即1993n <，至此，即可得到最大正整数n ；（3）首先假设存在，根据等差数列的性质可得2m n s +=，再根据等比的性质可得()()()2111m n s a a a --=-，结合（2）中得到的通项公式可将其化简为3323m n s +=⋅，接下来再根据均值不等式可知333323m n m n s ++≥=⋅，当且仅当m n =时等号成立，至此，再根据,,m n s 互不相等即可得结果.试题解析：(1)因为＝＋，所以－1＝－.又因为－1≠0，所以－1≠0(n ∈N *)．所以数列为等比数列．(2)由(1)可得－1＝·n －1，所以＝2·n＋1.S n ＝＋＋…＋＝n ＋2＝n ＋2·＝n ＋1－，若S n <100，则n ＋1－<100，因为函数y= n ＋1－单调增，所以最大正整数n 的值为99. (3)假设存在，则m ＋n ＝2s ，(a m －1)(a n －1)＝(a s －1)2，因为a n ＝，所以＝2，化简得3m＋3n＝2·3s，因为3m＋3n≥2·＝2·3s，当且仅当m ＝n 时等号，又m ，s ，n 互不相等，所以不存在． 22.已知()22log 21f x ax x a =-+-，a R ∈.（1）求()f x 的解析式；（2）设()()2xh x f x -=，当0a >时，任意1x ，[]21,1x ∈-，使()()1212a h x h x +-≤成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()22221xxf x a a =⋅-⋅+-；（2）5745a ⎤-∈⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）设2log x t =，则2t x =，代入化简得到答案.（2）设2x t =，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()12a h t at t -=+-，讨论1a >，1a =，105a <<，1152a ≤≤，1425a <≤，415a <<几种情况，根据函数的单调性求最值，计算得到答案. 【详解】（1）()22log 21f x ax x a =-+-，设2log x t =，则2t x =，()()2222212221t t t t f t a a a a =-⋅+-=⋅-⋅+-，则()22221x xf x a a =⋅-⋅+-.（2）()()()22212xx x h x f x a a --==⋅-+-，设2x t =，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()12ah t at t-=+-，当1a >时，函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()()()12max 16312222a a h x h x h h -+⎛⎫-=-=≤⎪⎝⎭，解得45a ≤，不成立；当1a =时，()2h t t =-，函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()()()12max 16312222a a h x h x h h -+⎛⎫-=-=≤ ⎪⎝⎭，解得45a ≤，不成立；当01a <<时，根据双勾函数性质知：()12ah t at t -=+-在1a a ⎛- ⎝上单调递减，在1,a a ⎫-+∞⎪⎪⎭上单调递增.若105a <<12a a->，故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()()12max 13612222a a h x h x h h -+⎛⎫-=-=≤⎪⎝⎭，27a ≥，不成立；若1152a ≤≤，1122aa-≤≤，且()122h h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故()()()12max 1131212222a a a h x h x h h a a a -+⎛⎫-=-=---≤⎪⎝⎭， 5712a -≤≤；若1425a <≤，1122aa-≤≤，且()122h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()()()()12max1331221222a a a h x h x h h a a a --+-=-=--≤，解得1425a <≤；若415a <<112a a -<，故()()()12max 16312222a a h x h x h h -+⎛⎫-=-=≤ ⎪⎝⎭，无解. 综上所述：5745a ⎤-∈⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了求函数解析式，不等式恒成立问题，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网- 21 -。

2020届江西省名校(临川一中、南昌二中)高三下学期联合数学(文)试题及答案

2020届江西省名校（临川一中、南昌二中）高三下学期联合数学（文）试题及答案一、单选题1．已知集合{|1}M x x =≥，1{|21}x N x -=<，则M N =（）A ．{|1}x x ≤-B ．{|1}x x ≤C ．{|11}x x -≤≤D ．{|1}<x x【答案】A【解析】先求出两个集合对应的不等式的解集，然后二者取交集即可。

【详解】由题意知，集合{}{}|1|11M x x x x x 或=≥=≥≤-，{}{}1|21|1x N x x x -=<=<，所以{|1}M N x x ⋂=≤-.故选A. 【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系与运算，属于基础题。

2．已知复数z 满足(1)1z i +=+，则复平面内与复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．【详解】()(1111111344i iz i++====++，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．若x，y满足约束条件22,2,20,x yy xx+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2yx+的取值范围为A．1[,1]2-B．1(,][1,)2-∞-⋃+∞C．[0,1]D．1[,1]2【答案】A【解析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．【详解】作出x，y满足约束条件22220x yy xx+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩的可行域如图：△ABC，2yx+表示区域内的点与点（﹣2，0）连线的斜率，联方程组222xx y=⎧⎨+=⎩可解得B（2，﹣2），同理可得A（2，4），当直线经过点B时，M取最小值：21222-=-+，当直线经过点A时，M取最大值4=1．则2y x +的取值范围：[12-，1]．故选：A ．【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）.”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）A ．一鹿、三分鹿之一B ．一鹿C ．三分鹿之二 D ．三分鹿之一【答案】B【解析】由题意得在等差数列{}n a 中，15121354552a S a d ⎧=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩，求出13d =-，由此能求出簪裹得一鹿．【详解】由题意得在等差数列{}n a 中，151********a S a d ⎧=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩，解得13d =-，3121212()133a a d ∴=+=+⨯-=．∴簪裹得一鹿．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的某一项的求法，考查等差数列的性质等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．函数()sin ln f x x x =的部分图像象是（） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：∵()sin()ln sin ln ()f x x x x x f x -=--=-=-，令()0f x =，则sin 0x =或ln 0x =，所以x k π=或1x =±，所以，当6x π=时，()sinln066f x ππ=⨯<所以选A.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数图象.6．已知向量1e ，2e 为单位向量，若)()121222e e e -⊥+，则向量1e ，2e 的夹角大小为（） A ．0 B ．4πC ．2πD ．π【答案】C【解析】设向量1e ，2e 的夹角为α，化简)()121222=0e e e -⋅+即得解. 【详解】设向量1e ，2e 的夹角为α，由题得)()121222=0e e e -⋅+，所以)()121222=220,2e e e παααα-⋅++-==∴=.故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算和向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．设F 为抛物线214y x =-的焦点，与抛物线相切于点(4,4)P --的直线l 与x 轴的交点为Q ，则PQF ∠的值是（） A ．90 B ．60 C ．45 D ．30【解析】先求出F 的坐标，利用导数求直线l 的斜率，点斜式写出直线l 的方程，由此方程求出直线l 与x 轴的交点Q 的坐标，计算QF k 的值，由斜率之积等于-1得到PQ ⊥QF ．【详解】易知F (0,−1)，又1',22QF y x k =-∴=，所以，直线l 的方程为()424y x +=+，令y =0，得Q (−2,0)，101022QF k --∴==-+，所以PQ ⊥QF ，即90PQF ∠=，故选A.8．已知数列{}n a 的通项公式81n a n n=+，则12238081a a a a a a -+-++-=（） A ．150 B ．162C ．128D ．210【答案】C【解析】判断当19n 时，数列{}n a 递减，9n 时，数列{}n a 递增，由裂项相消求和，化简计算可得所求和．【详解】8181218n a n n n n=+⋅，可得当19n 时，数列{}n a 递减，9n 时，数列{}n a 递增，可得1122301223898118081098101||||||a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+⋯+-=-+-+⋯+-+-+-+⋯+- 198191818112(99)128a a a a =-+-=+++-+=．故选：C ．本题考查数列的单调性的判断和运用，考查裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（）A ．38cm 3 B ．320cm 3C ．34cmD ．35cm【答案】A【解析】先找到几何体原图，再利用割补法求几何体的体积得解. 【详解】由三视图得几何体是图中的四棱锥P-ABCD. 所以该几何体的体积为311182222222V V V V =--=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：A 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A ．201921-B ．201922-C ．202022-D ．202021-【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．故选：C ．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11．已知1F ，2F 为双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点，P 为C 上异于顶点的点．直线l 分别与1PF ，2PF 为直径的圆相切于A ，B 两点，则||(AB =)A ．7B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】设1PF ，2PF 的中点分别为M ，N ，则NM c =，121()2AM NB PF PF a -=-=，可得2222()3AB MN MA NB c a b =--=-==【详解】解：如图，设1PF ，2PF 的中点分别为M ，N ，则NM c =，121()2AM NB PF PF a -=-=， 2222()3AB MN MA NB c a b ∴=--=-==故选：B ．【点睛】本题考查了圆的性质，充分应用双曲线的定义是解题的关12．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()0f x >，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，则（）A ．()()1111624f f <<B ．()()111824f f <<C ．()()111422f f << D ．()()111822f f <<【答案】B【解析】分别构造函数2()()f x g x x =，(0,)x ∈+∞，3()()f x h x x =，(0,)x ∈+∞，利用导数研究其单调性即可得出．【详解】令2()()f x g x x=，(0,)x ∈+∞， 3()2()()xf x f x g x x '-'=， (0,)x ∀∈+∞，2()()3()f x xf x f x <'<恒成立，()0f x ∴>，所以3()2()0xf x f x x '-<， ()0g x ∴'>，∴函数()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递增， ∴(1)(2)14f f <，∴(1)1(2)4f f <．令3()()f x h x x =，(0,)x ∈+∞， 4()3()()xf x f x h x x '-'=， (0,)x ∀∈+∞，2()()3()f x xf x f x <'<恒成立， 4()3()()0xf x f x h x x '-∴'=<， ∴函数()h x 在(0,)x ∈+∞上单调递减，综上可得：1(1)18(2)4f f <<，故选：B ．【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．已知x 与y 之间的一组数据：()()()()11232537，，，，，，，，则y 与x 的线性回归方程必过点______ ．【答案】()24，【解析】24x y ==，，∴数据的样本中心点是()24，，y ∴与x 的线性回归方程必过点()24，，故答案为()24，． 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若513210a a -=，则25S =______.【答案】250【解析】先化简513210a a -=得13=10a ，再求25S 得解. 【详解】由题得111133(4)210,1210a d a a d a +-=∴+==，所以251325250S a ==. 故答案为：250【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．在面积为4的正方形ABCD 中，M 是线段AB 的中点，现将图形沿,MC MD 折起，使线段,MA MB 重合，得到一个四面体A CDM -（其中点B 重合于点A ），则该四面体外接球的表面积为______．【答案】193π【解析】先确定三角形ACD 外心1O ，再根据MA ⊥平面ACD ，确定外接球球心在过1O 且平行于MA 直线上，最后解方程得球半径，根据球表面积公式得结果. 【详解】作出图形如图所示，由图可知在四面体A CDM -中，MA AD ⊥，MA AC ⊥，AC AD A ⋂=，故MA ⊥平面ACD ，将图形旋转得到如图所示的三棱锥M ACD -，其中ACD 为等边三角形，过ACD 的中心1O 作平面ACD 的垂线1l ，过线段MC 的中点2O 作平面MAC 的垂线2l ，易得直线1l 与2l 相交，记12l l O ⋂=，则O 即为三棱锥M ACD -外接球的球心.设外接球的半径为R ，连接OC 、1O C ，可得11123O C OO ==,在1Rt OO C 中，2222111912OC OO O C R =+==，故外接球的表面积21943S R ππ==，故答案为193π.【点睛】求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． 16．若直线y kx =与曲线2log (2)21x y x +=--恰有两个公共点，则实数k 的取值范围为________. 【答案】{}(,0]1-∞⋃【解析】根据函数()2log 2y x =+的图像，将曲线方程中的绝对值去掉，化为分段函数的形式，然后画出这个分段函数的图像，根据图像和直线y kx =的交点有两个，求得实数k 的取值范围. 【详解】如图，可知()()()222log2,1log2log2,21x xxx x⎧+≥-⎪+=⎨-+-<<-⎪⎩()2log221xy x+∴=--()()22log2log221,121,21xxx xx x+-+⎧--≥-⎪=⎨---<<-⎪⎩3,121,1111,212xx xx xx⎧⎪≥⎪=+-≤<⎨⎪⎪+--<<-+⎩由图可知，直线y kx=与曲线()2log221xy x+=--恰有两个公共点，则0k≤或1k=【点睛】本小题主要考查对数函数的图像，考查含有绝对值函数的处理方法，考查了数形结合的数学思想方法.属于中档题.三、解答题17．已知()sin cos,2sinm x x x=+，()cos sin3n x x x=-，若()f x m n=⋅（1）求()f x在区间[]0,π的单调增区间；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，()1f A =，其ABC ∆的周长为6，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2【解析】（1）先求出()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求函数的增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈,再求()f x 在区间[]0,π的单调增区间；（2）先求出3A π=,6b c =+再利用基本不等式求面积的最大值. 【详解】（1）()()()sin cos cos sin 2sin cos2f x m n x x x x x x x x =⋅=+⋅-+=2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令22226236k x k k x k πππππππππ-≤+≤+∴-≤≤+，k Z ∈.当0k =时，36x ππ-≤≤，当1k =时，2736x ππ≤≤，0x π≤≤,故函数的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3.（2）()11,2sin(2)1,sin(2),662f A A A ππ=∴+=∴+= 因为1350,2,2,666663A A A A πππππππ<<<+<∴+=∴=.2a b =+，6a b c ++=所以6b c =+4bc ≥⇒≤，当且仅当b=c=2等号成立所以max 134322S =⋅⋅=. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．如图，PA ⊥面ABC ，90ACB ∠=︒，2PA AC BC ===，E 为PC 的中点，F 为PB 的中点且2AM MB =（1）求证：面AEF ⊥面PBC （2）求三棱锥M AEF -的体积【答案】（1）证明见解析（2）29【解析】（1）证明AE ⊥平面,PAC 平面AEF ⊥平面PBC 即得证；（2）根据2233M AEF B AEF A EFB V V V ---==求解. 【详解】（1）PA ⊥面ABC BC PA ∴⊥,，因为BC AC ⊥，,,ACPA A AC PA =⊂平面PAC,所以BC ⊥平面,PAC BC AE ∴⊥AE PC ⊥，,,PCBC C PC BC =⊂平面PAC所以AE ⊥平面,PAC 因为AE ⊂平面AEF,所以平面AEF ⊥平面PAC . （2）由题得11122224422EFB PBC S S ∆∆==⨯⨯⨯=.由题得2221222333329M AEF B AEF A EFBV V V ---===⋅⋅⋅=. 【点睛】本题主要考查线面位置关系的证明，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．在某大学自主招生考生中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有20人.（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（2）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（ii ）若该考场共有7人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，3人8分，从这7中随机抽取两人，求两人成绩之和大于等于18的概率.【答案】（1）6（2）（i）2.9（ii）47【解析】（1）先计算出该考场共有80人，再根据()⨯----求解；（2）（i）直接利用频率分8010.3750.3750.150.025布直方图中的平均数公式求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（ii）利用古典概型的概率求解.【详解】（1）该考场共有200.2580÷=人所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数为()⨯----=⨯=.8010.3750.3750.150.025800.0756（2）（i）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为()()()()() 1800.22800.13800.3754800.255800.075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯80=2.9（ii）设10分的人为A,B,9分的人为C,D,8分的为E,F,G,从中任意取两个人的基本事件有（A,B）,(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G), (C,D),(C,E),(C,F),(C,G), (D,E),(D,F),(D,G), (E,F),(E,G),(F,G).共21个基本事件.其中两人成绩之和大于等于18的基本事件有（A,B）,(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G), (B,C),(B,D), (B,E),(B,F),(B,G), (C,D),共12个基本事件.由古典概型的概率得124P==.217【点睛】本题主要考查频率分布直方图中的频率和平均数的计算，考查概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M . （Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）求||||AB MF 的最小值.【答案】(Ⅰ) 24y x = (Ⅱ)2【解析】（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p 的值，再写出抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）①当动弦AB 所在的直线斜率不存在时，求得AB MF=2；②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB |；写出FM 所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF |，再求AB MF的最小值，从而得出结论．【详解】（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为()1,0∴抛物线的焦点为()1,0F ，∴2p =，抛物线的标准方程为24y x =.（Ⅱ）①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时，易得：24AB p ==，2MF =，2AB MF=.②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，易知，AB 的斜率不为0.设AB 所在直线方程为()1y k x =-，且()11,A x y ，()22,B x y .联立方程组：()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222220k x k x k -++=；()212222k x x k++=，121x x⋅=，()21610k ∆=+>，12AB x =-=()2241k k += FM 所在的直线方程为()11y x k=--，联立方程组：()111y x k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，得点21,M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴MF ==∴()22412k ABMF +==>，综上所述：AB MF的最小值为2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21．设22(),()11x ef x xe axg x nx x x a =-=+-+-．（1）求()g x 的单调区间；（2）讨论()f x 零点的个数；（3）当0a >时，设()()()0h x f x ag x =-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()g x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞。

江西省临川第一中学2020届高三数学寒假收心考试题一文

江西省临川第一中学2020届高三数学寒假收心考试题一文一、单选题1．已知集合{}2{|320},21xA x x xB x Z =-+≤=∈>，则A B =I （） A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,2]D ．{1,2}2．已知复数(1)3z i i +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数．．．．所对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A ．B ．C ．D ．4．221x y +≤是“||||2x y +≤”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知曲线()(21)xf x a e =+在0x =处的切线过点(2,1),则实数a =( ) A ．3B ．3-C ．13D ．13-6．已知非零向量,a b r r 满足1,2a b ==r r 且(2()a b a b -⊥+)r r r r ，则a r 与b r 的夹角为( )A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π 7．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π38．已知公差不为零的等差数列{}n a 中，35712,a a a ++=136,,a a a 成等比数列，则等差数列{}n a 的前8项和n S 为（） A ．20B ．30C ．35D ．409．已知实数x ，y 满足不等式组210x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，目标函数13y z x +=+的最大值是（）A ．23B ．49C ．59D ．1310．已知321()(4)1(0,0)3f x x ax b x a b =++-+>>在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为（） A ．3223+ B ．322+C ．3D ．911．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A ．21+B ．31+C ．2D ．512．函数()121x xf x e e b x -=---在()0,1内有两个零点，则实数b 的取值范围是（）A ．()(),11,e e e e --⋃-B ．()()1,00,1e e -⋃-C ．()()1,00,1e e -⋃-D ．()()1,,1e e e e --⋃-二、填空题13．函数()()2log 5(0a f x x a =++>且1)a ≠恒过定点的坐标为______．14．若函数1132()32x xe ef x x x ---=-+，则12()()20202020f f ++⋯40384039()()20202020f f ++=______． 15．已知函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是．16．已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示,其中四边形ABCD 是边长为32的正方形,若在该正四面体纸盒内放一个正方体,使正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值是．三、解答题17．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组，第4组，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a 的值；（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.18．已知△ABC 的面积为3，且1AB AC ⋅=-u u u r u u u r 且AB AC >.(1)求角A 的大小；(2)设M 为BC 的中点，且32AM =，∠BAC 的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度.19．如图1，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，3AB =，6CD =，过A ，B 分别作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ，已知1DE =，3AE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，使得平面ADE ⊥平面ABFE ，平面ADE ∥平面BCF ，得到图2.（1）证明：BE ∥平面ACD ；（2）求三棱锥C AED -的体积.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，且与抛物线2y x =交于M ，N 两点，OMN ∆ （O 为坐标原点）的面积为22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）1F ，2F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值．21．设函数2333()()22x f x e x a =---. （1）若0a >且()f x 在x 0=处的切线垂直于y 轴，求a 的值；（2）若对于任意[0,)x ∈+∞，都有()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x 2tcos αy tsin α(t =-+=为参数).以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()22ρ45sin θ36+=．()1求l 和C 的直角坐标方程；()2设()P 2,0-，l 和C 相交于A ，B 两点，若PA PB 4⋅=，求sin α的值．23．已知函数()12,=+--∈f x x m x m R ．（1）当3m =时，求不等式()1f x >的解集；（2）当[]1,2x ∈-时，不等式()21f x x <+恒成立，求m 的取值范围．文科数学复习卷答案（一)一、单选题1~5 DAAAD 6~10 DBBDC 11~12 BD 二、填空题13．()4,2- 14．8078- 15．() 16．2三、解答题17．【答案】（1）0.035（2）35【详解】（1）由10(0.0100.015a 0.0300.010)1⨯++++=，得0.035a =（2）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为12123,,,,a a b b b . 设从5人中随机抽取3人，为()()()()()121122123112113,,,,,,,,,,,,,,a a b a a b a a b a b b a b b ()()()()()123212213223123,,,,,,,,,,,,,,a b b a b b a b b a b b b b b 共10个基本事件其中第2组恰好抽到2人包含()()()()()112113123212213,,,,,,,,,,,,,,a b b a b b a b b a b b a b b ()223,,a b b 共6个基本事件,从而第2组抽到2人的概率63105P == 18．【答案】（1）23π （2）7【详解】（1）1AB AC ⋅=-u u u r u u u r||||cos cos 1AB AC A bc A ⇒⋅⋅==-u u u r u u u r ，又13sin 2ABC S bc A ∆==，即sin 3bc A = ∴sin sin tan 3cos cos bc A A A bc A A ===- 又(0,)A π∈ ∴23A π=（2）如图所示：在△ABC 中，AM 为中线 ∴2AM AB AC =+uuu ruu u ruuu r∴2222224||()||2||AM AB AC AB AB AC AC c b =+=+⋅+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴225b c +=. 由（1）知：sin 3bc A =2bc ⇒=，又c b > ∴2c =，1b =，由余弦定理可得：2222cos 527a b c bc A =+-=+=⇒7a =，11||sin ||sin 22ANC S AN b CAN AN CAN ∆=⋅∠=∠， 1||csin ||sin 2BANS AN BAN AN BAN ∆=⋅∠=∠，又CAN BAN ∠=∠， ∴||1||2B N AN A C S CN S BN ∆∆==，又||||7CN BN a +==， ∴7||3CN =，∴1777||||||||2236MN CM CN a CN =-=-=-=. 19．【答案】（1）见证明；（2）32C AED V -=【详解】（1）设AF BE O =I ，取AC 中点M ，连接OM ， ∵四边形ABFE 为正方形，∴O 为AF 中点， ∵M 为AC 中点，∴12OM CF P且12OM CF =，因为平面ADE ⊥平面ABFE ，平面ADE I 平面ABFE AE =，DE AE ⊥，DE Ì平面ADE ，所以DE ⊥平面ABFE ，又∵平面ADE ∥平面BCF ，∴平面BCF ⊥平面ABFE ，同理，CF ⊥平面ABFE ，又∵1DE =，2FC =，∴11,22DE CF DE CF =P， ∴OM DE P ，且OM DE =，∴四边形DEOM 为平行四边形，∴DM OE P ， ∵DM ⊂平面ADC ，BE ⊄平面ADC ，∴BE ∥平面ADC .（2）因为CF DE P ，DE Ì平面ADE ，CF ⊄平面ADE ，所以CF ∥ADE ∴点C 到平面ADE 的距离等于点F 到平面ADE 的距离. ∴三棱锥的体积公式，可得113313322C AED F AED V V --==⨯⨯⨯⨯=. 20．【答案】（1）22184x y +=（2）42【详解】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2y x =交于M ，N 两点，可设(,)M x x ，(,)N x x -，∵OMN ∆的面积为=2x =，∴M，(2,N ，由已知得222222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =2b =，2c =，∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A，(2,B，(2,C -，故142ABC ∆=⨯=；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22(2)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222218880k x k x k +-+-=，则()()()222264421883210k k k k ∆=-+-=+>，2122821k x x k +=+，21228821k x x k -⋅=+，||AB ==22121k k +=+，点O 到直线20kx y k --=的距离d ==，因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d =，∴1||22ABCS ABd ∆=⋅2211221k k ⎛⎫+=⋅⎪+⎝⎭=∵()()()()22222222211211k k k k kk k ++=⎡⎤+++⎣⎦()()222211441k k k k +=+…，又221k k ≠+，所以等号不成立.∴ABC S ∆=综上，ABC ∆面积的最大值为21．【答案】（1）1；（2）01a ≤≤. 【详解】（1）2333()()22x f x e x a =--- 则22()33()x f x e x a '=-- ∴2(0)33f a '=- ∵0a >且()f x 在0x =处的切线垂直于y 轴∴2330a -= ∴1a =±,又0a > ∴1a = （2）对于任意[)0,x ∈+∞,都有()0f x ≥恒成立则3333(0)()022f a a =---=≥ 所以0a ≥ 22()33()x f x e x a '=--,[0,)x ∈+∞ 2(0)330f a '=-≥ 得21a ≤,所以11a -≤≤,即01a ≤≤下面证明01a ≤≤成立∴0a ≥,令()()()22'33x g x f x e x a ==--,[)0,x ∈+∞ ∴令()()()266xh x g x ex a '==--,[0,)x ∈+∞∴2()126(0)12660xh x eh ''=-≥=-=>∴函数()h x 在[0,)x ∈+∞上单调递增由()()0h x h ≥ ∴()()'0660g x g a '≥=+>∴22()33()xf x ex a '=--在[0,)x ∈+∞上单调递增()2'03f a =-.01a ≤≤时,(0)0f '≥∴()'0f x ≥ ,函数()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增 ∴3()(0)0 f x f a ≥=≥成立故01a ≤≤22．【答案】（1）l 的直角坐标方程为x 2=-，或()y x 2tan α=+；C 的直角坐标方程为22194x y +=；（2）【详解】解：()π1αk π,k Z ,l x 22=+∈=-当时： παk π,k Z 2≠+∈当时，由()x 2tcos αy ,tan α,l y x 2tan αy tsin αx 2得：⎧=-+⎪==+⎨=+⎪⎩综上，l 的直角坐标方程为x 2=-，或()y x 2tan α=+ 由C 的极坐标方程()22ρ45sin θ36+=得()2224xy 5y 36++=，22x y C 194∴+=的直角坐标方程为()2将()x 2tcos α,t y tsin α为参数=-+⎧⎨=⎩代入22x y 194+=，得()2245sin αt16tcos α200+--=12220t t P(245sin α-∴=-+Q ，0)在l 上， 12220PA PB t t 445sin α-∴===+sin α∴= 23．【答案】（1）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）13m >. 【详解】（1）当3m =时，()132f x x x =+--，由()1f x >，得1271x x <-⎧⎨->⎩或12451x x -≤≤⎧⎨->⎩或2271x x >⎧⎨-+>⎩，解得：322x <≤或23x <<，故不等式的解集是3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）当[]1,2x ∈-]时，()1(2)f x x m x =+--，因此()21f x x <+恒成立，即1(2)21x m x x +--<+恒成立，整理得：(2)m x x ->-，当2x =时，02>-成立，当[)1,2x ∈-时，2122x m x x ->=---，令2()12g x x=--， ∵12x -≤<，∴023x <-≤，∴1123x ≥-，∴21123x -≤-，故max 1()3g x =，故13m >．。

江西省抚州市临川第一中学2020届高三数学下学期考前模拟考试试题文(含解析)

江西省抚州市临川第一中学2020届高三数学下学期考前模拟考试试题文（含解析）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上.1.已知i 为虚数单位,复数z 满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数z 对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】先求出z 并化简，从而确定复数z 对应的点的坐标为13(,)22-，进而判断其位于第四象限.【详解】因为2(2)(1)131312222i i i i z i i ----====-+，所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-，位于第四象限，故选D .【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题.2.已知集合{}0,1,2A =，若(z A B Z ⋂=∅ð是整数集合)，则集合B 可以为( ) A. {}|2,x x a a A =∈ B. {}|2,ax x a A =∈C. {}|1,x x a a N =-∈D. {}2|,x x a a N =∈【答案】C 【解析】【分析】从选项出发，先化简集合B ，然后判断z A B ⋂ð是否等于∅，即可判断出正确的答案. 【详解】A 选项：若B ={}|2,{0,2,4}x x a a A =∈=，则{1}z A B ⋂=≠∅ð，不符合； B 选项：若B ={}|2,{1,2,4}ax x a A =∈=，则{0}z A B ⋂=≠∅ð，不符合；C 选项：若B ={}|1,={|1,}x x a a N x x x Z =-∈≥-∈且，则z A B ⋂=∅ð，符合；D 选项：若B ={}2|,x x a a N =∈，则B 集合的元素为所有整数的平方数：0,1,4,9,L ，则{2}z A B ⋂=≠∅ð，不符合.故答案选C.【点睛】本题主要考查了集合的化简和集合的运算，属于基础题.对于数集的化简，一般用列举法表示，或者化为范围的形式.3.已知向量(2,1),(,1)a b m ==-r r ，且()a a b ⊥-rr r ，则m的值为（）A. 1B. 3C. 1或3D. 4【答案】B 【解析】【分析】先求出a b -r r ，再利用向量垂直的坐标表示得到关于m 的方程，从而求出m . 【详解】因为(2,1),(,1)a b m ==-r r ，所以(2,2)a b m -=-rr ，因为()a a b ⊥-r r r ，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=rr r ，解得3m =所以答案选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，属于基础题.4.某民航部门统计2020年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表如图所示，根据图表，下面叙述不．正确的是( )A. 同去年相比，深圳的变化幅度最小且厦门的平均价格有所上升B. 天津的平均价格同去年相比涨幅最大且2020年北京的平均价格最高C. 2020年平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 同去年相比，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京【答案】A 【解析】【分析】弄清楚条形图的意义，以及折线图的意义，即可对选项进行判断.【详解】根据条形图，可以判断2020年平均价格前三位分别为北京、深圳、广州，根据折线图，可以判断涨幅前三位分别为天津、西安、南京，涨幅最小的是厦门，由此可判断B 、C 、D 均正确，A 不正确. 故选A.【点睛】本题主要考查了统计图的理解与判断，属于基础题.5.已知平面直角坐标角系下，角α顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(4,3)P ，则πcos 2α2⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2425B. 2425-C.2425或2425-D.725【答案】B 【解析】【分析】根据角α的终边经过点(4,3)P ，即可利用公式求出sin α与cos α，再利用诱导公式和二倍角公式对式子πcos 2α2⎛⎫+⎪⎝⎭进行化简，然后代入求值. 【详解】因为角α的终边经过点(4,3)P ，所以34sin ,cos 55αα===，因为3424cos 2sin 22sin cos 225525παααα⎛⎫+=-=-=-⨯⨯=-⎪⎝⎭，故答案选B .【点睛】本题主要考查了已知角终边上一点坐标求三角函数值，以及诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题. 已知角α终边上一点坐标(,)P x y ，则2222sin ,cos ,tan (0)y x yx xx y x y ααα===≠++.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 33+B. 323+C. 23+D. 223+【答案】A 【解析】【分析】先根据三视图还原几何体，结合几何体的特征求解表面积.【详解】该几何体为两个三棱锥组合体，直观图如图所示，所以表面积为141122S =⨯⨯⨯+()2321334⨯⨯+=+.故选A.【点睛】本题主要考查三视图组合体的表面积，考查空间想象能力.7.已知直线2y kx =-与抛物线24x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率等于( )36 3 5【答案】B 【解析】【分析】利用导数的几何意义，以及切线的相关知识即可建立方程求出2k ，再利用双曲线的标准方程以及相关性质，即可求出离心率.【详解】设切点坐标为00(,)x y ，而抛物线方程为214y x =，则12y x '=，因为直线2y kx =-与抛物线24x y =相切，所以有0002001 224k x y kx x y ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，解得208x =，则220124k x ==，所以双曲线方程为2221x y -=，即标准方程为22112y x -=，所以有2211,2a b ==，则22232c a b =+=，所以离心率212c e a ===，故答案选B.【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，切线方程问题以及双曲线离心率的求解，属于中档题.对于切线问题，关键是抓住这三个关系：（1）切点在曲线上；（2）切点在切线方程上；（3）曲线在切点处的导数等于切线的斜率.8.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A.253B.503C.507D.1007【答案】D 【解析】根据题意可知，羊马牛的三主人应偿还的量构成了公比为2的等比数列，而前3项和为50升，即可利用等比数列求和公式求出1a ，进而求出马主人应该偿还的量2a . 【详解】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,a a a ，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S =则31(21)5021a -=-，解得1507a =，所以马主人要偿还的量为：2110027a a ==，故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量求解，以及数学文化，属于基础题.9.设0.231log 0.6,log 20.6m n ==，则（） A. m n mn m n ->>+B. m n m n mn ->+>C. mn m n m n >->+D. m n m n mn +>->【答案】B 【解析】【分析】利用单调性，通过取中间值，即可得到0,0m n ><.再不等式的性质，以及对数的运算，即可得到0>+n m .再通过作差法，即可得到m n m n ->+，从而得到,,m n m n mn -+的大小比较.【详解】因为0.30.32211log 0.6log 10,log 0.6log 1022m n =>==<=，所以0,0mn m n <->，因为0.60.60.6112log 2log 0.250,log 0.30n m -=-=>=>，而0.60.6log 0.25log 0.3>，所以110n m->>，即可得0>+n m ，因为()()20m n m n n --+=->，所以m n m n ->+，所以m n m n mn ->+>，【点睛】本题主要考查了比较大小的问题，涉及到单调性的运用、对数运算公式以及不等式的性质应用，属于中档题.对于比较大小问题，常用的方法有：（1）作差法，通过两式作差、化简，然后与0进行比较，从而确定大小关系；（2）作商法，通过两式作商、化简（注意分母不能为零），然后与1进行比较，从而确定大小关系；（3）取中间值法，通过取特殊的中间值（一般取0,1±等），分别比较两式与中间值的大小关系，再利用不等式的传递性即可得到两式的大小关系；（4）构造函数法，通过构造函数，使得两式均为该函数的函数值，然后利用该函数的单调性以及对应自变量的大小关系，从而得到两式的大小关系.10.已知如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上异于其中点的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（）A. 1//m D QB. 1m Q B ⊥C. //m 平面11B D QD. m ⊥平面11ABB A【答案】C 【解析】【分析】根据正方体性质，以及线面平行、垂直的判定以及性质定理即可判断.【详解】因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11//D B BD ，且11D B ⊄平面BDP ，BD ⊂平面BDP ，所以11//D B 平面BDP ，因为11D B ⊂平面11B D P ，且平面11B D P I 平面BDP m =，所以有11//m D B ，而1111D Q D B D =I ，则m 与1D Q 不平行，故选项A 不正确；若1m Q B ⊥，则111B Q D B ⊥，显然1B Q 与11D B 不垂直，矛盾，故选项B 不正确；若m ⊥平面11ABB A ，则11D B ⊥平面11ABB A ，显然与正方体的性质矛盾，故C 不正确；而因为11D B ⊂平面11B D P ，m ⊄平面11B D P ，所以有//m 平面11B D P ，所以选项C 正确，.【点睛】本题考查了线线、线面平行与垂直的关系判断，属于中档题.11.若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( ) A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C. ()0,∞+D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，当12a ≤时，()f x 在(1,)+∞上为增函数，且()(1)0f x f >=，即可判断其没有零点，不符合条件；当12a >时，()f x 在(1,)+∞上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定a 的范围.【详解】因为函数()ln f x x a x =，所以22()12a x af x x x'=-=令()22g x x a =-，因为()2g x '==当(1,)x ∈+∞ 时，10,0>>，所以()0g x '> 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点. 当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞，故答案选D.【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.12.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点(0,),(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（）A. sin 34x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. 3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C. sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D.3sin 94x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题意画出函数()f x 的图像，然后结合图像以及题目的条件，利用特殊点代入，结合参数范围，即可求出函数的解析式.【详解】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==，由图可知，32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以3()sin()4f x x πω=+，因为3()sin()0444f πππω=+=，由图可知，3244k ππωππ+=+，解得18,k k Z ω=+∈，又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=，所以3()sin(9)4f x x π=+，故答案选D.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图像与性质，属于中档题.这类型题的关键在于结合图像，以及各个参数的几何意义，利用特殊点代入求解.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13.已知实数,x y 满足101020x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-⎩…，则3z x y =-的最小值为_______.【答案】1- 【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，然后结合目标函数的几何意义找出最优解，从而求出最小值. 【详解】根据约束条件，画出的平面区域如阴影部分所示：由目标函数3z x y =-，得3y x z =-，画出直线3y x =并平移，当直线:3l y x z =-经过点A 时，y 轴上的截距最大，则z 取得最小值，因为1010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得(0,1)A ，所以min 3011z =⨯-=-.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，属于基础题.利用线性规划求最值的一般步骤：（1）根据线性规划约束条件画出可行域；（2）设0z =，画出直线0l ；（3）观察、分析、平移直线0l ，从而找出最优解；（4）求出目标函数的最大值或最小值.14.已知函数())f x x x =-，则不等式(lg )0f x >的解集为________.【答案】()1,100 【解析】【分析】根据()f x 的定义域以及()0f x >的解集，即可得到(lg )0f x >的等价条件，从而求出其解集.【详解】因为())f x x x =-，则0 30x x ≥⎧⎨->⎩，解得03x ≤<，所以定义域为[0,3)，因为())0f x x x =->等价于0ln(3)0x x ⎧>⎪⎨->⎪⎩，解得02x <<，因为(lg )0f x >，所以0lg 30lg 20 x x x ≤<⎧⎪<<⎨⎪>⎩，解得1100x <<，所以解集为(1,100).【点睛】本题主要考查了不等式的求解，涉及到对数运算以及函数定义域的求解，属于中档题.15.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,a b c ，,若cos cos 2cos b C c B a B +=,且4,6a b == ，则ABC ∆的面积为_______.【答案】+ 【解析】【分析】利用余弦定理将恒等式cos cos 2cos b C c B a B +=中的角转化为边，化简即可求出cos B ，再利用余弦定理求出c ，即可用面积公式求解.【详解】因为cos cos 2cos b C c B a B +=，由余弦定理可得2222222222222a b c a c b a c b b c a ab ac ac+-+-+-⋅+⋅=⋅，化简得222122a cb ac +-=，即1cos 2B =，因为0B π<<，所以3B π=，又因为4,6a b ==，代入2222cos b a c ac B =+-，得24200c c --=解得2c =+2c =-，所以11sin 4(2222S ac B ==⨯⨯+⨯=【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的运用，以及面积公式得应用，属于中档题.对于解三角形中恒等式的处理，主要有两个方向：（1）角化成边，然后进行代数化简；（1）边化角，然后利用三角恒等变换相关公式进行化简.16.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线22(0)y px p =>，如图，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，经过抛物线的焦点F 反射后射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为6，则此抛物线的方程为_______.【答案】26y x = 【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，消去x 得到关于y 的方程，利用韦达定理得到1212,y y y y +的值，然后表示两平行光线距离，并求出其最小值为2p ，而由题意可知最小值为6，从而得到26p =，抛物线方程得解.【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，设两平行光距离为d ，由题意可知，12d y y =-，因为(,0)2p F ，而直线PQ 过点F ，则设直线PQ 方程为：2px my =+，m R ∈因为22{2y pxp x my ==+，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理可得21212,2y y pm y y p +==-，则22221244212d y y p m p p m p =-=+=+≥，所以26p =，故抛物线方程为26y x =.【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，涉及到韦达定理的应用，属于难题.对于涉及到直线与曲线相关的距离问题，常常运用到韦达定理以及弦长公式进行求解.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列{}n a 中，1a m =，且()*1321,n n n n a a n b a n n N +=+-=+∈.（1）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（2）当2m =时，求数列{}(1)nn a -的前2020项和2020S .【答案】（1）①01x ≠时，不是等比数列；②1m ≠-时，是等比数列；（2）2021340434-.【解析】【分析】（1）将递推公式1321n n a a n +=+-变形为()113n n a n a n +++=+，则当01x ≠时，首项为零，{}n b 不是等比数列；当1m ≠-时，数列{}n b 是等比数列.（2）先求出{}n a 的通项，然后利用分组求和法、并项求和法以及公式法即可求出2020S . 【详解】（1）1321n n a a n +=+-Q ，()111321133n n n n n b a n a n n a n b ++∴=++=+-++=+=，∴①当01x ≠时，10b =，故数列{}n b 不是等比数列；②当1m ≠-时，数列{}n b 是等比数列，其首项为110b m =+≠，公比为3.（2）由(1)且当1m ≠-时有：1333n n n n b a n -=+=⨯=，即3nn a n =-，(1)(3)(1)n n n n a n ∴-=---，2020202031(3)S [(12)(34)(20192020)]1(3)⎡⎤-⨯--⎣⎦∴=--++-++⋯+-+--202120213334043101044-+-=-=. 【点睛】本题主要考查了等比数列证明、数列前n 项和的求解，属于中档题. 对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得*1,0)(2,n n a qq n n N a -≠=≥∈即可，其中q 为常数；（2）等比中项法：证得211n n n a a a +-=即可.18.三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点，点E 在侧棱1CC 上，//DE 平面11.AB C(1) 证明：E 是1CC 的中点；(2) 设603024x -=,四边形11ABB A 为边长为4正方形，四边形1ACCA 为矩形，且异面直线DE 与11B C 所成的角为30o ，求该三棱柱111ABC A B C -的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)32. 【解析】【分析】（1）利用棱柱的性质以及相似三角形判断定理，证得11~ADM B MA ∆∆，从而得到12A M MD =；连接11,A D A E 分别交11,AB AC 于,M N ，连MN ，利用线面平行性质定理证得//DE MN ，从而得到12A N NE =；再证得11~A NA ENC ∆∆，从而得到112CC EC =，结论得证.（2）取1BB 的中点F ，连接,EF DF ，则DEF ∠或其补角为异面直线DE 与11B C 所成的角，结合题目条件，设AC x =，分别求出,,DE DF EF ，再利用余弦定理，即可建立方程求出AC ，从而求出三棱柱111ABC A B C -的体积.【详解】(1)证明：连接11,A D A E 分别交11,AB AC 于,M N ，连MN ，∵//DE 平面11AB C ，DE Ì平面1A DE ，平面1A DE ⋂平面11AB C =MN ，∴//DE MN , 又∵在三棱柱侧面11A ABB 中，D 为AB 的中点，112A B AD ∴=由11//AD A B 可得，1111,MAD MB A MDA MA B ∠=∠∠=∠，所以11~ADM B MA ∆∆，故12A M MD =，//DE Q MN ，∴12A N NE =，在平面11A ACC 中同理可证得11~A NA ENC ∆∆，1112CC AA EC ∴== 故有E 是1CC 的中点.(2)取1BB 的中点F ，连接,EF DF ，可知11//EF B C ，故DEF ∠或其补角为异面直线DE 与11B C 所成的角，设AC x =，则在DEF ∆中，可求DE DF EF BC ====则余弦定理可求：22cos 2DEF ∠==4x =，故1111(44)4322ABC A B C V -=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了线面平行性质定理的应用，相似三角形的判断与性质应用，异面直线所成角以及三棱柱体积计算，属于中档题.19.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一,为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村扶贫. 此帮扶单位为了了解某地区贫困户对其所提供的帮扶的满意度，随机调查了40个贫困户，得到贫困户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名贫困户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；（3）在（2）条件下，若贫困户的满意度评分在(,)x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”.运用样本估计总体的思想，现从（1）中抽到的10个样本的满意度为“A 级”贫困户中随机地抽取2户，求所抽到2户的满意度均评分均“超过80”的概率.5.92≈≈≈）【答案】（1）92，84，86，78，89，74，83，78，77，89；（2）83，33；（3）310. 【解析】【分析】（1）根据系统抽样的规则，第一组编号为4，则随后第k 组编号为44(1)k +-，即可确定系统抽抽取的样本编号，从而得到对应的样本的评分数据。

2020届江西省抚州市临川区第一中学高三上学期适应性考试数学(文)试题(PDF版)

临川一中 2019--2020学年度高三暑期适应性考试数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求） 1．已知集合{}2|430A x x x =-+<，{}|24B x x =<<，则AB = ( )A ．()1,3B ．()2,4C ．()1,4D ．()2,32．在复平面内,复数23iz i+=对应的点的坐标为（） A ．()3,2B ．()2,3C ．()–2,3D ．()3,2-3．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{a n }中，12a =，公和为5，则18=a （） A ．2 B ．﹣2C ．3D ．﹣34．命题1:1p x>，命题:>q x a ，若命题p 的必要不充分条件是q ，则a 的取值范围为（） A ．0a < B ．0a ≤C ．0a ≥D ．0a >5．若22log 5a =，30.4b =，ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a c b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b c a <<6．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（） A ．xxy e e -=+B ．ln(||1)y x =+C ．sin ||xy x =D ．1y x x=-7．已知），（ππα2∈，且33cos sin -=+αα，则cos 2=α （）A ．3 B ． C ．3D ．3-8．已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a 的取值范围为（）A ．34a >B ．304a <<或43a > C ．304a <<或1a > D ．1a >9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x =-，当[]0,1x ∈时，()41xf x =-，则21()2f =（） A ．0B ．1C ．1-D ．12-10．函数ln ||()1||x f x x =+的图象大致是（）A． B ． C ．D ．11．已知函数()22211315x x f x x x x ，，⎧+-<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()102f x kx -=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A．(220625⎛⎤⋃-- ⎥⎝⎦，，B．(110325⎛⎤⋃-- ⎥⎝⎦，，C ．(](013⋃--，， D ．(](026⋃--，， 12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,A B 是圆222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（）A．23B．34+C．43+ D．54+ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．函数()1ln x f x x+=的图像在1e x =处的切线方程为_______.14．函数3y x x =-的单调减区间为______.15．若直角坐标系内B A 、两点满足：（1）点B A 、都在)(x f 的图像上；（2）点B A 、关于原点对称，则称点对），（B A 是函数)(x f 的一个“姊妹点对”，点对），（B A 与），（A B 可看作一个“姊妹点对”.已知函⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=)0(,20,2)(2x ex x x x f x ，则()f x 的“姊妹点对”有__________个．16．已知椭圆G ：2221(06x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+. 当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称； ②OP 的最小值为2； ③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是_____________．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面ABB 1A 1为菱形，侧面ACC 1A 1为正方形，侧面ABB 1A 1⊥侧面ACC 1A 1．（1）求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；（2）若AB ＝2，∠ABB 1＝60°，求三棱锥C 1－COB 1的体积．19．（本小题满分12分）已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线交于,A B 两点，且||8AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）若平行于AB 的直线l 与抛物线C 相切于点P ，求PAB ∆的面积.20．（本小题满分12分）已知函数2()log (2)()xf x k k R =+∈的图象过点(0,1)P ．（1）求k 的值并求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程(),[0,1]f x x m x =+∈有实根，求实数m 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x a b x =++，,a b ∈R （1）当0a =，1b =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的最小值；（2）设1b =，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21f x x 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的普通方程为y =，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||||OA OB ⋅的值.23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．已知函数()()23f x x x a a R =+--∈. （1）当1a =时，解不等式()2f x ≥；（2）若关于x 的不等式()3f x x ≥-的解集包含[]3,5，求a 的取值范围.参考答案DDCBC DACCC AB13. 2e e y x =- 14.），（323(开闭区间均可） 15.2 16.①② 17.函数是奇函数，，故，故；(2) 当时，恒成立，即在恒成立，令，，显然在的最小值是，故，解得：．18. 解：（1）因为侧面11ABB A ⊥侧面11ACC A ，侧面11ACC A 为正方形，所以AC ⊥平面11ABB A ，1A B AC ⊥,又侧面11ABB A 为菱形，所以11A B AB ⊥，所以1A B ⊥平面1AB C .（2）因为11//AC AC ，所以，11//A C 平面1AB C ，所以，三棱锥11C COB -的体积等于三棱锥11A COB -的体积; 1A B ⊥平面1AB C ，所以1AO 为三棱锥11A COB -的高，因为12,60AB ABB =∠=︒，111112122COB S OB CA ∆=⨯⨯=⨯⨯=,所以111111133C COB COB V AO S -∆=⨯⨯== 19.解：（1）因为AB 过焦点F ，所以AB AF BF =＋，抛物线的准线方程为2px =-，设点,A B 坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，则121222p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++，设直线AB 方程为2p y x =-，代入抛物线方程得2224p x px px -+=，即22304p x px -+=，则123x x p +=，48AB p ==，所以2p =，抛物线方程为24y x =；（2）设直线l 的方程为y x t =+，与抛物线方程24y x =联立，消去y 得：()22240(0)x t x t x +-+=>（*），由直线l 与抛物线相切得，()2224416160t t t ∆=--=-=且240t -<，所以1t =，代入方程（*）得1x =，所以切点P 的坐标为()1,2，而直线AB 的方程为10x y --=，点P 到直线AB的距离h =所以PAB ∆的面积11822S AB h ==⨯=20.1）因为函数()f x 图象过点()P 0,1，所以()2log 2k 1+=，解得k 1=.则()()x2f x log 21=+，因为x 211+>，所以()()x2f x log 210=+>，所以函数()f x 的值域为()0+∞，（2）方程有实根，即()m f x x =-有实根，构造函数()()()x2h x f x x log 21x =-=+-，则()()()x xxx2222x21h x log 21log 2log log 212-+=+-==+，因为函数x y 21-=+在R 上单调递减，而2y log x =在（0，1）上单调递增，所以复合函数()()x2h x log 21-=+是R 上单调递减函数.所以()h x 在[]0,1上最小值为()()122h 1log 21log 31-=+=-，最大值为()()2h 0log 211-=+=，即所以当m ∈[2log 311-，]时，方程有实根. 21.（1）当0a =，1b =-时，()21ln 2f x x x =-，则()()2110x f x x x x x -=-=>'∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>()f x ∴在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增()()min 112f x f ∴== （2）当1b =时，()211x ax f x x a x x='++=++12,x x ∴是方程210x ax ++=的两根 12x x a ∴+=-，121=x x12x x <且1>0x ，20x > 21x >∴，221a x x =-- ()()2222221221ln 12ln 12x a x f x x x x x x ++∴==+ 令()()1ln 12g x x x x x =+>，则()21ln 102g x x x=-++>' ()g x ∴在()1,+∞上单调递增 ()()112g x g ∴>=即：()211,2f x x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭22.解:(Ⅰ) 极坐标方程为π3θ=(R ρ∈) 曲线C 的普通方程为22(2)9x y -+=(2)将直线l 的参数方程直线l的参数方程为122x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入曲线22:(2)9C x y -+=中，得2250t t --=，设点,A B 对应的参数分别是12,t t ，则122t t +=，125t t =-1212||||5OA OB t t t t ∴⋅=⋅==23（Ⅰ）当1a =时，不等式()2f x ≥，即2312x x +--≥，所以3242x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或312322x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+≥⎩或142x x >⎧⎨+≥⎩，解得6x ≤-或0x ≥，所以不等式()2f x ≥的解集为(][),60,-∞-+∞.（Ⅱ）关于x 的不等式()3f x x ≥-的解集包含[]3,5，即233x x x a +--≥-在[]3,5恒成立，即6x x a +≥-在[]3,5恒成立，即626a x -≤≤+在[]35,x ∈恒成立，解得612a -≤≤，∴a 的取值范围是[]6,12-.。

江西省抚州市临川第一中学2020届高三5月模拟考试数学(文)试题 Word版含解析

高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网 - 1 - 2020届临川一中暨临川一中实验学校高三文科数学月考试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+，所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 2.已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，(){}20Q x x x =->，则P Q 为( )A. ()0,2B. ()1,9C. ()2,9D. ()1,2 【答案】D【解析】【分析】解出集合P 、Q ，利用交集的定义可求得集合PQ . 【详解】{}{}()0lg 2lg3lg1lg lg91,9P x x x x =<<=<<=， (){}(){}()20200,2Q x x x x x x =->=-<=，因此，()1,2PQ =. 故选：D . 【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了对数不等式和一元二次不等式的求解，考查计。

江西省重点中学协作体(高安中学、临川一中、玉山一中等) 2020届高三数学下学期联考试题文(答案不全)

主视图俯视图323 222侧视图江西省重点中学协作体（高安中学、临川一中、玉山一中等） 2020届高三数学下学期联考试题文（答案不全）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、已知全集R U =，集合}02|{<-=x xx A ，则A C U 等于（）A ．]0,(-∞B ．),2[+∞C ．]2,0[D ．⋃-∞]0,(),2[+∞2、若复数i z )54(sin )53(cos -+-=θθ是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A.-7B.17-C.7D.7-或17-3、已知数列{an}为等比数列，a5 =1，a9= 81，则a7= ( ) A ．9或-9 B ．9 C ．27或-27 D ．-274、直线x －y ＋m ＝0与圆2x 2＋y －2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3＜m ＜1B ．－4＜m ＜2C ．m ＜1D ．0＜m ＜15、某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值是（） A ．63 B ．31 C ．27 D ．156、在△ABC 中，AB =AC =3，∠BAC= 30o ，CD 是边AB 上的高，则CD u u u r ·CB u u u r=( )A ．94-B ．94C ．274D ．274-7、某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（） A. 33结束输出i否是1=50S >21S S =+21i i =+开始 0S =B. 23C. 332 D. 2338、半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（）A ．6:5πB ．2:6πC ．2:πD ．12:5π9、已知，1,1>>y x ，且ln x ，21，ln y 成等比数列，则xy 有（）A ．最小值eB ．最小值 eC ．最大值eD ．最大值 e10、设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=2,1)21(2,2)(x x ax x f x，对于任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．0<aB ．0≤aC ．811-≤a D ．811-<a11、函数|1|,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解,则a 的取值范围是（）A.(1,2)B.33(1,)(,2)22⋃C.3[,2)2D. 3(1,)2 12、定义在(0,)2π上的函数()(),f x f x '是它的导函数,且恒有()()tan f x f x x '<成立,则（）A 3()2()43ππ>B 2()()64f ππ> 201514年江西省九所重点中学联合考试数学（文）试卷第页共页C ． ()12()sin16f f π<D ．3()()63f f ππ< 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个，则取出的这两数字之和为偶数的概率。

江西省临川一中2020届高三年级教学质量检测(二)(文数)

江西省临川一中2020届高三年级教学质量检测（二）数学（文科）注意事项：1．考试范围：集合与简单逻辑用语，函数与初等函数，导数及其应用，三角函数，解三角形，平面向量，数列，不等式，立体几何，解析几何（直线、直线与圆的位置关系、圆锥曲线），概率（不含统计内容）。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}33<<-∈=x N x M {},4,2,0,2,4,--=N 则=N M I A ．}2,0,2{-B ．}2,0{C ．}0{D ．}2{2．若)6,3(∈x ，则不等式01032≥--x x 成立的概率为 A ．31 B ．41 C ．32 D ．43 3．若53)23cos(-=+απ，则=α2cos A ．2519- B ．2519C ．2522-D ．2522 4．现有如下命题：命题p ：“),0(+∞∈∀x ，0ln <-x x ”的否定为“0ln ],0,(000≥--∞∈∃x x x ”；命题:q “02sin >x ”的充要条件为“)(2)12(z k k x k ∈+<<ππ”，则下列命题中的真命题是 A ．pB ．q p ∧C ．q p ∧)(⌝D ．)(q p ⌝∨5．已知正四面体BCD A -外接球的表面积为121π，则该正四面体的表面积为 A ．34B ．36C ．38D ．3126．已知函数)(x f 的定义域为R ，)2(+x f 是偶函数2)4(=f ，)(x f 在)2,(-∞上单调递增，则不等式2)14(>-x f 的解集为 A ．)45,41(B ．),45()41,(+∞-∞Y C ．),17()1,(+∞--∞YD ．)17,1(-7．已知向量b a ,满足2||,6||==b a ，且b a 23-在b 方向上的投影为4，现有如下说法①;38=⋅b a②向量a 与b 夹角的余弦值为94； ③,)43(b b a ⊥-则其中说法正确的个数为 A ．0 B ．1C ．2D ．38．已知函数⎪⎭⎫⎝⎛-=43sin 3)(πx x f ，⎪⎭⎫⎝⎛∈65,2ππx ，则函数)(x f 的值域为 A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-26,3 B ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-26,3 C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-26,26 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-26,26 9．若关于x 的不等式01ln 2≥--x m x 在]3,2[上有解，则实数m 的取值范围为 A ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-2ln 3,B ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-3ln 8,C ．(]1,2-∞-eD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3ln 8,2ln 310．已知长方体1111D C B A ABCD -中，2221===AA BC AB ，F E ,分别是线段111,CC D A 的中点，若E '是E 在平面11B BDD 上的射影，点F '在线段1BB 上，BC F F //'，则=''F E A ．15215B ．10215C ．15430D ．1043011．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=-1,21411,)1lg()(1x x x x f x ，若函数4)(3--=m x f y 有5个零点，在实数m 的取值范围为 A ．⎪⎭⎫⎝⎛211,4B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,25C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-211,25 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-4,25 12．已知首项为3的正项数列}{n a 满足),1)(1(3))((11-+=-+++n n n n n n a a a a a a 记数列{})1(log22-n a 的前n 项和为n S ，则使得440>n S 成立的n 的最小值为A ．23B ．22C ．20D ．21二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上） 13．曲线)(3x e x y x+=在点)0,0(处的切线方程为 .14．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≥,4062,4y y x x y ，y x z -=的最大值为 .15．若直线03:=-y x l 与圆01648:22=+--+y x y x C 交于N M ,两点，则=MN .16．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，点M 满足a MF MF 212=-，若点N 是双曲线虚轴的一个顶点，且2MNF ∆的周长的最小值为实轴长的3倍，则双曲线C 的渐近线方程为 .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）某校将一次测试高三年级学生的数学成绩统计如下表所示，在参加测试的学生中任取1人，其成绩不低于120分的概率为.41 分数 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [ 120,130) [130,140) 频数4050706080m50(1)求(2)若按照分层抽样的方法从成绩在[70，80）、[110，120）的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽再2人进行错题分析，求这2人中至少有1人的分数在[70，80）的概率． 18．（本小题满分12分）四棱锥BCED A -中，BC DE //,ο90=∠BCE ,ED AE ⊥,EC AE =,,CD BC = BC DE 21=(1)求证：;AC BC ⊥(2)若4=AB ,AB 与平面AEC 所成的角为ο45,求三棱锥BCE A -的体积．19．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为13,,,=a c b a 且⋅-+=-++ba AC a b c C A C A sin sin sin cos cos sin（1）求ABC ∆外接圆的半径 (2)若3=c ，求ABC ∆的面积.20．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足.4)35(1272321n a n a a a n =-++++Λ (1)求数列}{n a 的通项公式：(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3的前n 项和⋅n S21．（本小题满分12分）已知椭圆134:22=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ,直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，且点M 满足=.(1)若点⎪⎪⎭⎫⎝⎛43,1M ,求直线l 的方程; (2)若直线l 过点2F 且不与x 轴重合，过点M 作垂直于l 的直线l '与y 轴交于点),0(t A ，求实数t 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数.)1(ln )(2-+=x m x x f(1)若函数)(x f 在]4,2[上单调递减，求实数m 的取值范围； (2)讨论函数)(x f 的单调性.数学（文科）参考答案1．B 2．A3．B 4．C 5．C6．A7．C8．B9．B10．D 11．A12．D13．x y = 14．2 15．5106 16．x y 26±= 17．解：(1)依题意4135050=++m m ，解得.50=m （3分）(2)依题意，成绩在[70，80）的学生抽取2人，记为B A ,（4分）成绩在[ 110，120）的学生抽取4人，记为d c b a ,,,，则任取2人，所有的情况为),,(),,(a A B A,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(c d b c b d a c a b a d B c B b B a B d A c A b A )d ，共15种，（7分）其中满足条件的为),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(d B c B b B a B d A c A b A a A B A ，共9种，故所求概率⋅==53159P （10分） 18．解：(1)因为ο90=∠BCE ，故EC BC ⊥，又DE BC //，故EC DE ⊥（2分）又ED AE ⊥，而E AE EC =I ，故⊥DE 平面AEC ，即⊥BC 平面,AEC （4分）因为⊂AC 平面AEC ，故.AC BC ⊥（5分）(2)由(1)可知，⊥BC 平面AEC ，故AB 与平面AEC 所成的角即为BAC ∠（7分）在BCA Rt ∆中，ο45=⊥BAC ，4=AB ，所以,22==CA BC故,22=CD 2=DE ，故6=CE ，故,22)2()6(222122=-⨯⨯=∆ACE s故⋅=⨯⨯==--38222231ACE B BCE A V V 三棱锥三棱锥（12分） 19．解：(1)依题意,1sin sin sin ,sin sin )sin(,--=+--+=++ba c AC B ba abc AC C A （1分）由正弦定理得1--=+ba ca cb ．（2分）整理得bc a c b -=-+222，所以212cos 222-=-+=bc a c b A （4分）因为π<<A 0，所以32π=A （5分）故所求外接圆半径⋅===339313sin 2A a r （6分）(2)因为13=a 3,=c ，32π=A ，所以由余弦定理,cos 2222A bc c b a -+= 得32cos329132π⨯⨯⨯-+=b b （8分）即,0432=-+b b 解得1=b 或4-=b （舍去），（10分）所以433233121sin 21=⨯⨯⨯==A bc s （12分）20．解：(1)当1=n 时，421=a ，解得21=a ；（1分）当2≥n 时，n a n a a a n 4)35(1272321=-++++Λ )1(4)85(12721321-=-++++-n a n a a a n Λ（3分）两式相减可得4)35(=-n a n ，解得354-=n a n ，（5分）易知21=a 也符合上式，综上所述，*N n ∈∀，⋅-=354n a n （6分） (2)依题意43)35(3nnn n a ⋅-=，下面先求数列{}n n 3)35(⋅-的前n 项和n T ,3)35(3123732321nn n T ⋅-++⋅+⋅+⋅=Λ ,3)35(312373231432+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n T Λ 两式相减可得，,3)35(3535353221321+⋅--⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T Λ（8分）即93)35(3535353521321-⋅--⋅++⋅+⋅+⋅=-+n n n n T Λ ,93)35(3131151-⋅----⋅=+n nn化简可得，1341125433+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n n T （11分）故1316118516334+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==n n n n T s （12分） 21．解：(1)设),(11y x P ),(,22y x Q ，则1342121=+y x ，1342222=+y x两式相减可得03))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x因为221=+x x ，2321=+y y ，则,32121-=--x x y y 故直线l 的方程为)1(343--=-x y ，即⋅+-=4353x y （5分）(2)当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为),0)(1(=/-=k x k y设),(00y x M ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y ，消去y 得.01248)34(2222=-+-+k x k x k 则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x ，所以344220+=k k x ，343)1(200+-=-=k k x k y 因为l '的方程为),(100x x ky y --=- 令0=x ，得,341341200kk k k y x k t +=+=+=当0>k 时3434,≥+k k ，则;123,0⎥⎦⎤⎝⎛∈t 当0<k 时，3434-≤+k k ，则,0,123⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈t 当l 的斜率不存在时，显然0=t 综上t ,的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-123,123（12分） 22．解：(1)依题意xx m x f 1)1(2)(+-='（1分）故0)(≤'x f 在]4,2[上恒成立，故min212⎪⎭⎫⎝⎛+-≤x x m （2分）而41)21(1122+--=+-x xx ，故当]4,2[∈x 时，,121,2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈+-x x 故212-≤m ，解得41-≤m ，即实数m 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-41,（5分）(2)由(1)可得),0(,122)(,2+∞∈+-='x xmx mx x f ①若0=m ，则01)(>='xx f （6分）若0=/m ，则函数1222+-=mx mx y );2(4842-=-=∆m m m m若0<m 或,2>m 则0>∆，令01222=+-mx mx ，解得,2)2(mm m m x -±=记m m m m x 2)2(1--=mm m m x 2)2(,2-+=其中121=+x x ，mx x 2121=（7分） ②若20≤<m ，则0≤∆，故当),0(+∞∈x 时0)(,≥'x f （8分）③若0<m ，则121=+x x ，021<x x ，其中210x x >>，故当),0(1x x ∈时0)(,>'x f当),(1+∞∈x x 时，0)(<'x f ；（10分）④若2>m ，则121=+x x ,0,21>x x 其中210x x <<，故当),0(1x x ∈时，,0)(>'x f当),(21x x x ∈时，,0)(<'x f 当),(2+∞∈x x 时，0)(>'x f .（11分）综上所述，当20≤≤m 时，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增；当0<m 时，函数)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m m m 2)2(,0上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞--,2)2(m m m m 上单调递减；当2>m 时，函数 )(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m m m 2)2(,0，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞-+,2)2(m m m m 上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--m m m m m m m m 2)2(,2)2(上单调递减．（12分）。

江西临川一中2020届高三模拟试卷(含解析)

A． B． C． D．
11．在中，内角、、的对边分别为，，，已知，，则（）
A． B． C． D．
12．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，，，抛物线的准线与轴交于点，于点，则四边形的面积为（）
A． B． C． D．

∴当时，函数有最大值，，
又当时，，；当时，，
∴当时，函数没有零点；
当或时，函数有一个零点；
当，函数有两个零点．
（2）证明：函数的零点即直线与曲线的交点横坐标，
不妨设，由（1）知，，得，
∵函数在上单调递增，
∴函数在上单调递减，
要证，只需证，∴只需证，
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．
（1）写出曲线和的普通方程；
（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值．
故使得成立的最小的正整数的值为．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为平面，可得，
在中，由余弦定理可得，
从而有，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
（2）由已知得，，平面，所以，，
由（1）知，，则，
因为，平面，平面，
13．【答案】
【解析】，
由导数的几何意义知函数在点处的切线斜率，
则函数在点处的切线方程为，即．

2020年5月江西省临川一中暨临川一中实验学校2020届高三高考模拟考试数学(文)试题(解析版)

A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌
B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高
C. 2019年我国居民每月消费价格逐月递增
D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降
【答案】D
【解析】
【分析】
根据统计折线图以及同比和环比的概念,对四个选项逐个分析可得答案.
2.已知集合，，则为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解出集合、，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】，
，
因此， .
故选：D
【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了对数不等式和一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
3.若点在直线上，则的值等于（）
A. B. C. D.
10.若将双曲线绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象,则双曲线的离心率等于（）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
分和两种情况分类讨论,结合题意得出的值,再由离心率公式可求得双曲线的离心率.
【详解】若 ,则双曲线的焦点在轴上, , ,
所以,双曲线的一条渐近线方程为 ,
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.
【详解】由题意，复数z满足，可得，
所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限
故选：A.
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

临川一中2020届高三模拟考试文科数学答案

2020届临川一中暨临川一中实验学校高三文科数学月考答案一、单选题1-5．ADADB 6-10．BCDBC 11-12．BC 二、填空题 13．214．25 15． 23 16．()2,+∞三、解答题17．【答案】（1）见解析，有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）0.6 解：（1）2245(161694)8.712 6.63525202520K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯Q ∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” (6)（2）抽到线上学习时间不足于6小时的学生165420⨯=人，设为1A ，2A ，3A ，4A 线上学习时间不足6小时的学生1人，设为1B所有基本事件有：()21A A ，、()31A A ，、()41A A ，、()32A A ，、()42A A ，、()43A A ，、()11A B ，、()21A B ，、()31A B ，、()41A B ，共10种 (8)其中2人每周线上学习时间都不足6小时有：()21A A ，、()31A A ，、()41A A ，、()32A A ，、()42A A ，、()43A A ，共6种 (10)故2人每周线上学习时间都不足6小时的概率为35（或0.6）…………………………12 18.【答案】（I ）13n n a -=（Ⅱ）23312n n n n S ---=（I ）设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，由题可知133221131323a a a a a a ⎧⎪⎨+=++=⎪⎩所以21112111131323a a q a q a a q a q⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩．所以1113n n n a a q --=⋅=．…………………4 （Ⅱ）当2n ≥时，由1(1)1n n n b nb ---=知11111(1)1n n b b n n n n n n--==----．于是111n b b n n-=-，所以31n b n =-．…………………………8 ()()21231233321n n n n n n S a c a b b b b a -=++++-++--+⋅⋅⋅+=L (12)19．【答案】（1）见解析（2）3:11.解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ， ∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A =I ，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .………………4 （2）过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接BG BM 、，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=，………………6 取DG 中点N ，连CN ，则1ND GN EG ===，且GM //N C 则M 为EC 中点，1331=224EGM S ∆=⨯⨯…………………………………………8 131393334324E GFBM B EFG B EGM V V V ---∴=+=⨯⨯+⨯⨯= (10)E-GFBM ABCDEF V 923V 42114∴=⋅= V 3V 11∴=上下 (12)20．【答案】(1) 24y x = ；(2) 32或165 （1）由已知可得122p+=，得2p = 抛物线E 的方程为24y x = (4)（2）设()11,A x y ，()22,C x y ，菱形ABCD 的中心()00,M x y ,当AC x ⊥轴，则B 在原点，()4,0M ，8AC =，8BD =，菱形的面积1322S AC BD =⋅=，……………………………………6 当AC 与x 轴不垂直时，设直线AC 方程：x ty m =+，则直线BD 的斜率为t -24y x x ty m⎧=⎨=+⎩消去x 得：2440y ty m --=, 121244y y t y y m +=⎧⎨=-⎩,()22212122121224244y y y y y y x x t m +-++===+………………8 202x t m =+，02y t =，∵M 为BD 的中点∴()2428,4B t m t +-，点B 在抛物线上，且直线BD 的斜率为t -．()()2221644282,028t t m tt t t m ⎧=+-⎪⎨=-≠⎪+-⎩解得：4m =，1t =±………………………………10 ()4,4B ±，BD =,12AC y y =-===12S AC BD ==32s =或12 21．【答案】（1）()G x 在(0,1)上单调递增（2）1k ≤【详解】解：（1）()()ln G x f x x =-+= ()sin ln sin ln x x x x -+=-+，()1'cos G x x x =-+1cos x x =-，由于()0,1x ∈，所以11x>，cos 1x <，所以1cos 0x x->，即()'0G x >在()0,1上恒成立，故()G x 在()0,1上单调递增.………………4 （2）()()()sin x f x g x F x e x a⋅==，由题意：对0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x e x kx -≥恒成立，设()sin xh x e x kx =-，()'sin cos xxh x e x e x k =+-………………………………6 又设()sin cos xxm x e x e x k =+-则()sin cos cos sin xxxxm x e x e x e x e x +-'=+ 2cos 0x e x =≥，因此()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()()01m x m k ≥=-， (8)1o当1k ≤时，()0m x ≥，即()'0h x ≥，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故有()()00h x h ≥=，即1k ≤适合题意 (9)2o当1k >时，()010m k =-<，22m e k ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若20e k π-<，则取02x π=，()000,x x ∈时，()0m x <，若20e k π-≥，则在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上()m x 存在唯一零点，记为0x ，当()00,x x ∈时，()0m x <，总之，存在00,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使()00,x x ∈时，()0m x <，即()'0h x <，所以()h x 单调递减，()()00h x h <=，故1k >时存在()00,x 使()0h x <不合适题意，综上，1k ≤为所求.…………………………12 22.【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠，由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．（2分）由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．…………………………5 （2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠， (7)当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=|||||A B AB ρρ=-=-=．……………………10 23.【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立；当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立；当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >， (3)所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞U .…………………………5 （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，………7 由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++, 当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥ (10)。

江西省临川一中2020届高三下学期联合检测(理数)

江西省临川一中2020届高三下学期联合检测数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为 120分钟。

2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效。

3．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}1->∈=x Z x A ,集合{}2log 2<=x x B ，则=B A I A ．{}41<<-x xB ．{}40<<x xC ．{}3,2,1,0D ．{}3,2,1 2．设复数)(1R b bi z ∈+=，且i z 432+-=，则z 的虚部为 A ．i 2B ．i 2-C ．2D ．2-3．在等比数列}{n a 中，11=a ，2715386=++a a a a ，则6a 的值为 A ．271B ．811 C ．2431D ．7291 4．右图的框图中，若输入1615=x ，则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．65．已知8.0log 3=a ，8.03=b ，1.23.0=c ，则A ．c ab a <<B ．c b ac <<C ．C a ab <<D ．b ac c <<6．已知某函数的图像如图所示，则其解析式可以是 A ．)sin(xx e e y -+= B ．)sin(xxe e y --= C ．)cos(xxe e y --= D ．)cos(xxe e y -+=7．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式h L y 2361≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似值为.3那么近似公式h L v 21123≈相当于将圆锥体积公式中的π近似值为 A ．722B ．825C ．928D ．27828．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，)1(+x f 是偶函数，且当(]1,0∈x 时，23)(-=xx f ，则=+)2020()2019(f fA ．1-B ．0C ．1D ．29．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制，在一局比赛中，先得l1分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球，若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为21，甲接发球赢球的概率为,52则在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局的概率为 A ．252B ．103C ．101 D ．253 10．己知()、0,1x A ()0,2x B 两点是函数()()),0(,01sin 2)(πϕωϕω∈>++=x x f 与x 轴的两个交点，且满足3min21π=-x x ，现将函数)(x f 的图像向左平移6π个单位，得到的新函数图像关于 y 轴对称，则ϕ的可能取值为 A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π11．已知直线a x 2=与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线交于点,P 双曲线C 的左，右焦点分别为21,F F ,且41cos 2-=∠F PF ，则双曲线C 的渐近线方程为A ．x y 15±=B ．x y 11153±= C ．x y 11152±= D ．1115315±=±=或x y12．已知R k ∈，设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=1,)1(1,22)(32x e e k x x k kx x x f x ，若关于x 的不等式0)(≥x f 在R x ∈上恒成立，则k 的取值范围为 A ．],0[2eB ．],2[2eC ．]4,0[D ．]3,0[第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置． 13．已知向量)1,1(-=a ，向量)1,0(=b =-b a14．已知抛物线)0,(:2=/∈=m R m mx y C 过点)4,1(-P ,则抛物线C 的准线方程为 15．已知数列{}n a ,{}n b ,其中数列{}n a 满足)(10++∈=N n a a n n ,前n 项和为n S 满足21ln 22+--=n S n )10,(≤∈+n N n ；数列{}n b 满足)(12++∈=N n b b n n ，且,11=b )12,(,1.1≤∈+=++n N n b n n b n n ，则数列}{n n b a ⋅的第2020项的值为 16．如图，四棱锥ABCD P -中，底面为四边形ABCD .其中 ACD ∆为正三角形，又AB DB DC DB DB DA ⋅=⋅=⋅3 设三棱锥ABCD P -,三棱锥ACD P -的体积分别是,1V2V ,三棱锥ABD P -，三棱锥ACD P -的外接球的表面积分别是21,S S .对于以下结论：①21V V <;②21V V =;③21V V >;④21S S <;⑤;21S S =⑥21S S >其中正确命题的序号为三、解答题：共70分。

【附加15套高考模拟试卷】江西省师大附中、临川一中2020届高三下学期联考数学(文)试题含答案

江西省师大附中、临川一中2020届高三下学期联考数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从圆C ：22220x y x y +--=内部任取一点P ，则点P 位于第一象限的概率为 A ．24ππ- B ．24π+πC ．12ππ+D ．22ππ+2．已知直线l ，m 和平面α，β，有如下三个命题： ①若存在平面γ，使αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；②若l ，m 是两条异面直线，l α⊂，m β⊂，l β//，//m α，则//αβ； ③若l α⊥，m β⊥，//l m ，则//αβ. 其中正确命题的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．33．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（） A ．201520172⨯ B ．201420172⨯C ．201520162⨯ D ．201420162⨯4．若直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[]0,2C ．[]2,1-D ．(]2,2-5．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．153B ．5C ．64D ．1046．函数sin ln y x x =+在区间[3,3]-的图像大致为（）．A ．B ．C ．D ．7．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（）A ．74B ．32 C ．2 D ．548．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（） A ．23岁B ．32岁C ．35岁D ．38岁9．如图，()(1,2,3,4)i f x i =是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质“12,[0,1]x x "?，且(0,1)λ∈，[]()()1212(1)(1)f x x f x f x λλλλ+-<+-恒成立”的为（）A ．B ．C ．D ．10．直线与圆交于不同的两点，则（）A ．B ．C ．D ．11．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，满足()()()2372,0233,2log x x f x f x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则()()()()1232020(f f f f +++⋯+= )A ．25log B ．25log - C ．2- D ．012．以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于两点，若，则双曲线的离心率是（）.A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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2020届江西省临川一中高三下学期开学考试
数学（文）试卷
★祝考试顺利★
(解析版)
一、单选题
1.已知集合{}2{|320},21x A x x x B x Z =-+≤=∈>,则A B =（）
A. (1,2)
B. (1,2]
C. [1,2]
D. {1,2}
【答案】D
【解析】分别解出两个集合,注意集合B 中元素全为整数,然后求出交集.
【详解】解2320x x -+≤,即(1)(2)0x x --≤,所以{12}A x x =≤≤,
解0212,x x Z >=∈,所以{0,}B x x x Z =>∈
所以{1,2}A B =
故选：D
2.已知复数(1)3z i i +=+,其中i 为虚数单位,则复数z 的共轭复数．．．．
所对应的点在（） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【解析】
根据复数运算法则求出z ,再求出其共轭复数即可得出对应点所在象限. 【详解】由题：23(3)(14221(1(11i i i i z i i i i i ++--====-++--）））, 其共轭复数2z i =+,对应点(2,1)
在第一象限.
故选：A
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合
时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】详解：由题意知,题干中所给的是榫头,是凸出的几何体,求得是卯眼的俯视图,卯眼是凹进去的,即俯视图中应有一不可见的长方形,
且俯视图应为对称图形
故俯视图为
故选A.
4.221x y +≤是“||||2x y +≤ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件
D. 既不充分又不必要条件【答案】A
【解析】
根据不等式的性质结合不等式表示的几何意义,充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．
【详解】“x 2+y 2≤1”表示单位圆内以及圆周上的点,
“|x |+|y |2≤2,0）,（2）,（2-）,（0,2-）为正方形内及边界上的点,
由图象可知,圆是正方形的内切圆,
所以“x 2+y 2≤1”是“|x |+|y |2≤,
故选：A ．。