二次函数与一次函数

二次函数与一次函数、反比例函数综合

一次函数()0y kx n k =+≠的图象l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象G 的交点,由方程组2

y kx n y ax bx c =+⎧⎨=++⎩

的解的数目来确定: ⑴方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ⑵方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点; ⑶方程组无解时⇔l 与G 没有交点、

【例1】二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则反比例函数a

y x

=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象就是(

)

D

C

B

【例2】二次函2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y bx a =+与反比例函数 a b c

y x

++=

在同一坐标系内的图象大致为(

) D

B

A

【变式】已知M ,N 两点关于y 轴对称,且点M 在反比例函数1

2y x

=

的图象上,点N 在一次函数3y x =+的图象上,设点M 的坐标为()

,a b ,则二次函数

()2y abx a b x =++( )

A.有最小值,且最小值就是

92 B.有最大值,且最大值就是9

2-

C.有最大值,且最大值就是

92

D.有最小值,且最小值就是9

2

-

【例3】已知方程2210x px ++=的两个实根一个小于1,一个大于1,求p 的取值范围. 【例4】如图,已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点

()

3,3A .

⑴求正比例函数与反比例函数的解析式;

⑵把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点()

6,B m ,求m 的值与这个一次函数的解

析式;

⑶第⑵问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ,求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式;

⑷在第⑶问的条件下,二次函数的图象上就是否存在点E ,使四边形OECD 的面积1S 与四边形OABD 的面积S 满足:123S S

=

？若存在,求点E 的坐标;若不存在,请说明理由.

二次函数的应用

例2、 如图2,在△ABC 中,∠ACB=0

90, AC=30,BC=40,在矩形DEFG 的一边FG 在AB 上,点D,E 分别在AC,BC 上,若设DG=x,y S DEFG =矩形,则当x 为何值时,y 的值最大？最大值就是多少？

变式:如图,ABC ∆中,︒=∠90B ,cm AB 6=,cm BC 8=,点P 从A 点开始沿AB 向点B 以s cm /1的速度移动,

同时点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以s cm /2的速度移动、 ⑴求PBQ ∆的面积S (2cm )与运动时间t (s )之间的函数关系式、 ⑵当t 为何值时,三角形PBQ 与三角形ABC 相似？

已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的图象经过三点(10)，,(30)-，,3

(0)2

-，。

⑴求二次函数的解析式,并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象;

⑵若反比例函数22

(0)y x x

=>图象与二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的图象在第一

象限内交于点()00A x y ，,0x 落在两个相邻的正整数之间。请您观察图象,写出这两个相邻的正整数;

⑶若反比例函数2(0,0)k

y k x x

=>>的图象与二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的图

象在第一象限内的交点为A ,点A 的横坐标为0x 满足023x <<,试求实数k 的取值范围。

(3)某抛物线()02

≠++=a c bx ax y 如图3 示,求此抛物线的解析式.

D C B A

o

y

x o y x o

y x o y x

4、二次函数c bx ax y ++=2图像如图,有以下结论:

(1)0<++c b a ;(2)1>+-c b a (3)0>abc ;(4)024<+-c b a ; (5)1>-a c 。则其中正确的有: 、

5函数2ax y =与()0,0>>+=b a b ax y 在同一坐标系中的大致图象就是( )

6、抛物线c bx x y +-=2

图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为322

--=x x y ,则b 、c 的值为

7、已知关于x 的二次函数2122

++-=m mx x y 与2

222

++-=m mx x y ,这两个二次函数的

图像中的一条抛物线与x 轴交于Ａ,Ｂ两个不同的点、 （1）试判断哪个二次函数的图象经过Ａ,Ｂ两点; （2）若Ａ点的坐标为(-1,0)求出Ｂ点的坐标;

（3）在(2)的条件下,对于经过Ａ,Ｂ两点的二次函数,当x 取何值时,y 的值随x 值的增大而减小？