二次函数与一次函数
一次函数与二次函数
(1)注意k≠0这一条件，当k＝0时，函数为y＝b，它不再
是一次函数，其函数图象是平行于x轴或与x轴重合的一条
直线．
(2)b为任意的常数.特别地，当b＝0时，函数y＝kx(k≠0) 为正比例函数．
[例1] 已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，试求m为何值时，
(1)这个函数为正比例函数；
(2)这个函数为一次函数；
开口向下．
二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)的图象是一条抛物线， 对称
3．二次函数的单调性及最值 (1)当 a＞0
b 递减 时，函数在－∞，－2a上______，
4ac－b ＝________. 4a
b 递增 ，并且当 在 －2a，＋∞ 上 ______ 2
[例3] (12分)已知f(x)为一次函数且满足4f(1－x)－2f(x－1)
＝3x＋18，求函数f(x)在[－1,1]上的最大值，并比较f(2 012)和
f(2 013)的大小．
[思路点拨] 首先用待定系数法求解析式，再研究其性质．
[精解详析] 由已知可得.
设 f(x)＝kx＋b(k≠0).
x x 解析：由 y1>y2，得不等式 ＋2> ＋3，解得 x>6. 2 3 ∴当 x∈(6，＋∞)时，y1>y2.
答案：(6，＋∞)
6．已知一次函数y＝(a＋1)xa
2－ 3
＋b是奇函数，且在定义
域R内单调递减，求a，b的值． 解：因为函数是一次函数，所以a2－3＝1，解得a＝±2. 又一次函数是减函数，所以a＋1<0，即a＝－2.
4＝－3k＋b， 则 2＝－k＋b， k＝－1， 解得 b＝1.
∴一次函数解析式为 y＝－x＋1. 其图象如图.
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较在数学领域中，函数是一种非常重要的概念。
函数可以描述数学关系中的变化规律，并在各个学科中广泛应用。
而二次函数和一次函数是最基础、最常见的两种函数类型之一。
它们都具有一定的特点和应用场景，下面我们将对二次函数和一次函数进行比较。
一、定义与形式首先，我们来看二次函数的定义和形式。
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以向上开口也可以向下开口，具体取决于a的正负。
而一次函数是指形如y=kx+b的函数，其中k和b都是常数且k≠0。
一次函数的图像是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜方向和程度，截距b决定了直线与y轴的交点。
二、图像特点二次函数和一次函数在图像特点上有明显的区别。
对于二次函数，它的图像是一个抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点是函数的极值点，也是图像的最高点或最低点。
通过顶点的坐标可以确定抛物线的对称轴。
此外，二次函数的图像可能与x轴有两个交点、一个交点或者没有交点。
而一次函数的图像是一条直线。
直线的斜率k决定了直线的倾斜程度，斜率越大，直线越陡峭；斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜。
直线的截距b决定了直线与y轴的交点，即直线在y轴上的高度。
三、变化规律二次函数和一次函数在变化规律上也有所不同。
对于二次函数，它的自变量x的平方项决定了函数的增减性。
当a>0时，二次函数是开口向上的，自变量越大，函数值也越大；当a<0时，二次函数是开口向下的，自变量越大，函数值越小。
此外，二次函数的增减性还与顶点的位置有关，顶点在抛物线的最高点或最低点，其左右两侧的函数值变化规律也不同。
而一次函数的变化规律比较简单。
一次函数的斜率k决定了函数的增减性，斜率为正表示函数递增，斜率为负表示函数递减。
当斜率为0时，函数是水平的，不增不减。
一次函数的变化是线性的，即自变量每增加一个单位，函数值也相应增加或减少一个单位。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较二次函数和一次函数是高中数学中常见的两种函数类型，它们在数学建模、物理、经济等领域具有重要的应用价值。
本文将从函数表达式、图像特征以及应用领域等方面对二次函数和一次函数进行比较。
一、函数表达式一次函数的表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。
而二次函数的表达式为f(x) = ax² + bx + c，同样a、b和c为常数，a表示二次函数的抛物线的开口方向和大小，b表示抛物线的对称轴情况，c表示抛物线与y轴的截距。
二、图像特征1. 一次函数的图像是一条直线，具有方向性，方程的斜率决定了直线的斜率，截距决定了直线与y轴的位置关系。
直线的斜率为正表示图像上升，为负表示图像下降，斜率为零表示水平直线。
2. 二次函数的图像是一条抛物线（或者是一条直线），具有曲线性。
对于抛物线而言，当a的值为正时，抛物线开口向上；当a的值为负时，抛物线开口向下。
对称轴由b决定，而c则决定了抛物线与y轴的位置关系。
三、函数性质1. 一次函数是线性函数，其图像可通过两个点确定一条直线。
直线的斜率反映了函数增长的速度和方向，斜率越大表示函数增长越快。
2. 二次函数是非线性函数，其图像为抛物线。
抛物线的顶点坐标为（h, k），其中h是对称轴的纵坐标，k则是抛物线的最小值（若a>0）或最大值（若a<0）。
四、应用领域1. 一次函数常常用来描述线性关系，例如，速度与时间的关系、价格与数量的关系等。
在经济学中，一次函数可以用来分析市场供求关系、成本与收益关系等。
2. 二次函数在物理学中具有广泛的应用，例如，自由落体运动和抛体运动等。
此外，在工程学和生物学领域中也有多种应用，例如研究物理系统的振动、优化问题的求解，以及描述生物曲线的形状等。
综上所述，二次函数与一次函数在数学表达式、图像特征、函数性质以及应用领域等方面存在明显的区别。
一次函数是线性函数，其图像为直线，具有单一的增长趋势；而二次函数是非线性函数，其图像为抛物线，具有开口方向和对称轴等特征。
一次函数 二次函数
一次函数与二次函数一次函数和二次函数是初等数学中最基本的函数类型，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本文将对一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及应用进行详细的介绍。
一、一次函数1. 定义：一次函数是指形如y = ax + b（a≠0）的函数，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。
一次函数又称为线性函数。
2. 性质：（1）一次函数的图像是一条直线，且斜率为a，截距为b。
（2）当a>0时，一次函数的图像从左到右呈上升趋势；当a<0时，一次函数的图像从左到右呈下降趋势。
（3）当a>0且b>0时，一次函数的图像在第一象限；当a>0且b<0时，一次函数的图像在第四象限；当a<0且b>0时，一次函数的图像在第二象限；当a<0且b<0时，一次函数的图像在第三象限。
3. 图像：一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距可以通过公式y = ax + b计算得出。
4. 应用：一次函数在实际生活中有很多应用，例如速度与时间的关系、距离与时间的关系、价格与数量的关系等。
二、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax² + bx + c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
二次函数又称为抛物线函数。
2. 性质：（1）二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），对称轴为x = -b/2a。
（2）当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
（3）当Δ= b² - 4ac > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ= b² - 4ac = 0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ= b² - 4ac < 0时，二次函数没有实根。
3. 图像：二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标、对称轴和判别式可以通过公式y = ax² + bx + c计算得出。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数一、二次函数的定义与性质二次函数是指函数的自变量为二次方的多项式函数，一般的二次函数可以表示为：\[f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) \]其中，a、b、c为实数，且a不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是函数的值。
1. 定义二次函数中的平方项\(ax^2\)是二次项，一次项\(bx\)是一次项，常数项c是常数。
对于二次函数，它的图像通常是一个开口向上或者开口向下的抛物线。
2. 函数图像：开口方向和顶点位置根据二次函数的形式，可以得知函数的开口方向和顶点位置：- 如果a大于0，表明抛物线的开口向上；- 如果a小于0，表明抛物线的开口向下。
而抛物线的顶点位置可以通过一定的方法求解，其中，顶点的横坐标为\(x_v = \frac{-b}{2a}\)，纵坐标为\(y_v = f(x_v)\)。
3. 对称轴对于二次函数的图像，存在一条对称轴，即抛物线左右两侧的图像关于该直线对称。
对称轴的方程可以表示为\(x = \frac{-b}{2a}\)。
4. 判别式与根的情况对于二次函数的解析式\(f(x) = ax^2 + bx + c\)，其中判别式为\(D =b^2 - 4ac\)。
根据判别式可以判断二次函数的根的情况：- 当D大于0时，函数有两个不相等的实根；- 当D等于0时，函数有两个相等的实根；- 当D小于0时，函数无实根。
5. 求根公式当二次函数存在实根时，可以根据求根公式得到实根的解析表达式：\[ x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \quad x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \]二、一次函数的定义与性质一次函数是指函数的自变量是一次方的多项式函数，一般的一次函数可以表示为：\[ f(x) = kx + b \]其中，k和b为实数。
1. 定义一次函数是指只有一次方的函数，它的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，b表示直线与y轴的交点。
二次函数与一次函数的关系
二次函数与一次函数的关系二次函数与一次函数是高中数学中比较基础的两个概念，它们之间具有紧密的联系。
一、二次函数的定义二次函数是指形如$f(x)=ax^2+bx+c$的函数，其中$a,b,c$均为实数，且$a\neq 0$。
二次函数的定义域为实数集$\mathbb{R}$，值域为$[f_{\min},+\infty)$或$(-\infty,f_{\min}]$，$f_{\min}$为函数的最小值。
当$a>0$时，二次函数的图像开口向上，最小值为$f_{\min}$；当$a<0$时，二次函数的图像开口向下，最大值为$f_{\min}$。
一次函数的图像是平面直角坐标系中的一条直线，其斜率$k$表示该直线的倾斜程度，截距$b$表示该直线与$y$轴的交点。
具体地，对于一般的二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，我们有：\begin{aligned}f(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c-\frac{b^2}{4a}\\&=a\left (x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}\end{aligned}上式中，$-\frac{b^2}{4a}$为二次函数的最小值或最大值，$-\frac{b}{2a}$为二次函数的对称轴，即当$a=0$时，二次函数$f(x)$化为一次函数$f(x)=bx+c$，其图像为一条斜率为$b$，截距为$c$的直线。
因此，一次函数是二次函数在$a=0$时的特殊情形。
四、总结二次函数与一次函数相比具有更加丰富的几何性质，但通过配方法可以将二次函数化为一次函数的形式，从而用一次函数的知识来处理二次函数的问题。
同时，一次函数是二次函数的特殊情形，二次函数与一次函数具有密切的联系，二者可以相互转化。
因此，在学习和应用二次函数和一次函数的知识时，我们应该充分理解二者之间的关系，加深对它们的理解和掌握。
一次函数与二次函数
一次函数、二次函数1. 一次函数、二次函数的定义⑴一般地，如果)0,,(≠+=k b k b kx y 为常数，那么y 就叫做x 的一次函数。
其中k 是一次项的系数，b 是图象与y 轴交点的纵坐标，叫做直线在y 轴上的截距。
特别地，当0=b 时，一次函数就变成了正比例函数)0,(≠=k k kx y 为常数。
⑵函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫二次函数，它的定义域是R 。
c bx ax y 2++=（a ≠0）是二次函数的一般形式，另外还有顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，其中),(k h 是抛物线顶点的坐标。
两根式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中21x ,x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
2. 一次函数与二次函数的图象和性质⑴一次函数）为常数0,,(≠+=k b k b kx y 的图象与性质⑵ 二次函数的图象是一条抛物线，经过配方，可得到c bx ax y ++=2a b ac a b x a 44)2(22-++=，顶点为)44,2(2ab ac a b --，对称轴为直线bx -=，其图象及主要性质如下表：知识点一：用待定系数法求函数的解析式：待定系数法是一种求未知数的方法。
一般用法是：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，从而得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，最后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。
k≠），当x＝4时，y的值为9；当x＝2例1. 已知一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，0时，y的值为－3；求这个函数的关系式。
2已知一个二次函数的图象经过点（0，1），它的顶点坐标为（8，9），求这个二次函数的关系式。
3抛物线的图象经过（0，0）与（12，0）两点，其顶点的纵坐标是3，求它的函数关系式。
知识点二：二次函数的性质及应用例4 求函数322++-=x x y 的顶点坐标，对称轴及函数的单调区间。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数二次函数（quadraticfunction）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
一次函数（linearfunction）,也作线性函数,在x,y坐标轴中可以用一条直线表示。
设一次函数为：y=kx+b,k≠0二次函数为：y=ax2+bx+c,a≠01.首先，我们从一次函数的自变量进行对比：一次函数：存在自变量x,并且最高次数是1，x可以为x轴上任意值；二次函数：存在自变量x,并且最高次数是2，x可以为x轴上任意值；2.在直角坐标系中他们的表现形式进行对比：一次函数：在直角坐标系中，y=kx+b，（k≠0）为一条直线，与x轴，y轴分别交于点（-b/k,0），（0，b）.并且当b=0时，一次函数y=kx+b，（k≠0）过原点，直线关于原点对称。
当K＞0时，一次函数y=kx+b，（k≠0）随x值变大而变大；当k＜0时，一次函数y=kx+b，（k≠0）随x值变大而减小；当k＝0时，一次函数y=kx+b，（k≠0）为常量，即y=b,与x轴平行。
二次函数：在直角坐标系中，y=ax2+bx+c,a≠0为一条曲线，同时也是一条抛物线，关于x=-b/2a对称，存在一个顶点（-b/2a,4ac-b2/4a）.并且当△=b2-4ac＞0时，与x轴有两个交点，当△=b2-4ac＜0时，与x轴无交点。
当△=b2-4ac=0时，与x轴有一个交点。
并且当a＞0时，开口向上，当a＜0是，开口向下。
3.一次函数与二次函数的解析式的求解方法：一次函数解析式：一般常用的有两种方法a.两点式，如一次函数y=kx+b，（k≠0），过点（x1,y1）（x2,y2）,那么k=(x1-x2)/(y1-y2)求出k值，将点（x1,y1）代入函数y=kx+b，（k≠0）中，求出b值，即得出一次函数的解析式。
b交点是，根据一次函数与x轴、y轴的交点，求出k,b值，即得出一次函数解析式。
二次函数解析式：一般常用的有三种方法a.y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,4ac-b2/4a）.把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数一、介绍在数学中，函数是一个基本的概念，常见的有线性函数（一次函数）和二次函数。
本文将介绍二次函数与一次函数的性质、图像特征以及它们在实际中的应用。
二、一次函数一次函数又称线性函数，其数学表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
一次函数的图像是一条直线，斜率决定了线的倾斜方向和变化速率，截距决定了线与y轴的交点。
三、二次函数二次函数是一种具有二次项的函数，其数学表达式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
其中，a决定了抛物线的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；顶点（最值点）则对应抛物线图像的最低或最高点。
四、性质比较1. 斜率和倾斜性：一次函数的斜率始终保持不变，代表了函数的变化速率，而二次函数的斜率则会随着x的变化而变化，代表了变化的加速度。
2. 对称性：一次函数在图像上没有对称轴，而二次函数的图像关于一个垂直于x轴的直线具有对称性。
3. 极值点：一次函数不存在极值点，而二次函数的极值点对应横坐标为顶点的坐标，是函数的最低点（若开口向上）或最高点（若开口向下）。
五、图像特征1. 一次函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率。
2. 二次函数的图像是一个抛物线，开口方向和变化速率由系数a的正负决定。
3. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，横坐标对应了抛物线的轴对称线。
六、应用举例1. 一次函数的应用：- 物体的直线运动问题：通过相关数据计算速度、位移等。
- 成本与产量的关系：用来计算单位产量的成本。
- 单位价格与需求量的关系：计算价格对需求的弹性。
- 薪酬计算：根据工作时间确定工资。
2. 二次函数的应用：- 抛物线的弧线问题：如计算喷泉水柱的最远射程或高空抛物体的落地点。
- 汽车制动距离：计算汽车刹车时的停车距离。
- 投影问题：确定抛出物的落地点。
一次函数、二次函数
b叫做该直线在y轴上的截距。 轴上的截距 截距。
一次函数又叫做线形函数。 一次函数又叫做线形函数。 线形函数
对k的理解 的理解
在直线y=kx+b上任取两点 P( x1 , y1 ) Q( x2 , y2 ) 上任取两点 则 y1 = kx1 + b ①
b 4ac − b 2 顶点坐标是 (− , ) 2a 4a
在(-∞,− b ]上是增函数 b 2a 在( − ， ∞)上是减函数 +
2a
2a
当x = −
b 4 ac − b 2 时 ， y min = 2a 4a
当x = −
b 4 ac − b 2 时 ， y max = 2a 4a
b = 0时为偶函数b ≠ 0时为非奇非偶函数
y
5
当x取何值时，f ( x) > 0, f ( x) = 0, f ( x) < 0?
o
x
f ( x) > 0
x ≥ −2或x ≤ −6
f ( x) = 0
f ( x) < 0
x = −2或 − 6
-6 ≤ x ≤ -2
1 2 x + 4x + 6 > 0 2 1 2 x + 4x + 6 = 0 2 1 2 x + 4x + 6 < 0 2
1、一次函数的概念
函数y=kx+b（k≠0）叫做一次函数。 （ 函数 ）叫做一次函数。
注意： 注意： （1）若k=0，则函数是常数函数 k=0， （2）x的最高次项为1，否则，就不是一次函数 的最高次项为1 否则， （3）b为任意常数。 为任意常数。
教学知识点二次函数与一次函数的比较
教学知识点二次函数与一次函数的比较二次函数与一次函数是高中数学中的重要知识点之一。
它们在数学以及实际问题中的应用广泛而又深远。
本文将就二次函数与一次函数的定义、性质、图像以及应用等方面进行比较和分析。
一、定义与性质1. 二次函数的定义：二次函数是指具有形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
2. 一次函数的定义：一次函数是指具有形如f(x) = ax + b的函数，其中a、b为实数且a≠0。
3. 关系式：可以看出，二次函数和一次函数的定义中都有类似的构造。
而不同之处在于二次函数多了一个x²的项。
4. 推广性质：二次函数是一次函数的推广，即一次函数是二次函数当a=0时的特殊情况。
这也就意味着，一次函数是二次函数的一种特例。
二、图像比较1. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向取决于系数a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点是二次函数的最值点。
2. 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率k。
当k>0时，直线向上倾斜；当k<0时，直线向下倾斜。
直线和x轴的交点为一次函数的零点。
三、性质比较1. 增减性：一次函数的增减性一直保持一致，即要么递增，要么递减。
而二次函数由于开口方向的不同，其增减性在顶点处有转折，即开口向上时，顶点为最小值点，增减性转折为递增；开口向下时，顶点为最大值点，增减性转折为递减。
2. 最值点：一次函数没有最值点，因为它没有曲线。
而二次函数有顶点，顶点即为其最值点。
当抛物线开口向上时，顶点为最小值点；开口向下时，顶点为最大值点。
3. 零点：一次函数和二次函数都有零点，即函数与x轴相交的点。
不同的是，一次函数只有一个零点，而二次函数可以有两个或零个零点。
二次函数的零点个数取决于其判别式，即b²-4ac的正负。
四、应用比较1. 一次函数的应用：一次函数在现实生活中有许多应用，如速度和时间的关系、直线运动问题等。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较一、引言数学函数是数学中的重要概念，它描述了数与数之间的关系。
在代数学中，二次函数和一次函数是两种常见的函数类型。
本文将重点讨论二次函数与一次函数的特点、图像形状、性质以及它们在实际问题中的应用，并进行比较分析。
二、二次函数的定义和特点二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数的特点如下：1. 二次函数的图像呈抛物线状，开口方向由a的正负决定。
2. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，对称轴为直线x = -b/2a。
3. a的值决定了抛物线的开口程度和方向，当a > 0时开口向上，当a < 0时开口向下。
4. 二次函数的对称中心为顶点，对称中心具有最小值或最大值。
三、一次函数的定义和特点一次函数是形如y = kx + b的函数，其中k、b为实数且k ≠ 0。
一次函数的特点如下：1. 一次函数的图像呈直线状，斜率k决定了直线的倾斜程度和方向。
2. 一次函数的截距b决定了直线与y轴的交点位置。
3. 一次函数的解析式中没有x的二次幂项。
四、二次函数与一次函数的图像形状比较二次函数和一次函数的图像形状有明显区别，二次函数的图像为抛物线，而一次函数的图像为直线。
1. 抛物线的特点二次函数的图像呈抛物线状，有平滑的曲线弧度。
二次函数的开口方向可以根据二次函数中的a的正负来判断。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
2. 直线的特点一次函数的图像为线性的直线，直线的倾斜程度由斜率k决定。
斜率k越大，直线的倾斜程度越大；斜率k越小，直线的倾斜程度越小。
一次函数的截距b决定了直线与y轴的交点位置，当b > 0时，交点在y轴上方；当b < 0时，交点在y轴下方。
五、二次函数与一次函数的性质比较二次函数和一次函数在性质上也存在一些差异。
1. 极值点与特殊点在二次函数中，函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，对称轴为直线x = -b/2a。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数二次函数和一次函数是高中数学中的常见函数类型。
本文将从图像、性质和应用三个方面介绍二次函数和一次函数。
一、图像1. 二次函数的图像二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以分为三种情况：情况一：a > 0时，抛物线开口朝上。
此时抛物线的顶点是最小值点。
情况二：a < 0时，抛物线开口朝下。
此时抛物线的顶点是最大值点。
情况三：a = 0时，二次函数退化为一次函数。
2. 一次函数的图像一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为实数且k ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。
二、性质1. 二次函数的性质（1）顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
其中f(x)为二次函数。
（2）对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。
（3）开口方向：二次函数开口方向由系数a的正负决定。
（4）最值：当抛物线开口朝上时，最小值点为顶点；当抛物线开口朝下时，最大值点为顶点。
2. 一次函数的性质（1）斜率：斜率k表示直线的倾斜程度。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，直线平行于x 轴。
（2）截距：截距b表示直线与y轴的交点，当x=0时，函数值为b。
三、应用1. 二次函数的应用（1）物体抛体运动：考虑到重力的作用，物体在抛体运动中的轨迹可以由二次函数的图像表示。
（2）开口朝上的喷水池：喷水池的喷水高度可以用二次函数来描述，根据喷水池的造型可以确定二次函数的系数。
2. 一次函数的应用（1）成本与效益分析：通常情况下，成本与效益之间呈线性关系，可以用一次函数进行建模与分析。
（2）人口增长预测：根据过去的人口数据可以用一次函数对未来的人口增长进行预测。
综上所述，二次函数和一次函数在数学中具有重要地位。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较一次函数和二次函数是高中数学中常见的两种函数形式。
它们在数学模型的建立和分析中扮演着重要的角色。
本文将对二次函数和一次函数进行比较，从函数的定义、图像、性质和应用等方面进行综合分析。
一、函数的定义1. 一次函数：一次函数又称为线性函数，其定义可以表示为f(x) = ax + b，其中a 和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
一次函数是二次函数的特例，其二次项系数为零。
一次函数的定义域和值域都是整个实数集，没有任何限制。
一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的斜率和方向，截距决定了直线与y轴的交点位置。
2. 二次函数：二次函数的定义可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于零。
二次函数的图像是一个抛物线。
二次函数的定义域是整个实数集，因为平方项的平方根没有定义问题。
二次函数的值域取决于二次项系数a的正负情况，若a大于零，则值域是大于等于顶点纵坐标的所有实数；若a小于零，则值域是小于等于顶点纵坐标的所有实数。
二、图像的比较1. 一次函数：一次函数的图像是一条直线。
直线具有明显的斜率和方向，斜率决定了直线的陡峭程度，斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负表示直线向下倾斜。
截距决定了直线与y轴的交点位置，通过截距可以确定直线与y轴的交点坐标。
2. 二次函数：二次函数的图像是一个抛物线。
抛物线的开口方向由二次项系数a的正负决定，若a大于零，则抛物线开口向上，若a小于零，则抛物线开口向下。
抛物线的顶点是函数的最值点，对于开口向上的情况，顶点是函数的最小值点；对于开口向下的情况，顶点是函数的最大值点。
三、性质的比较1. 一次函数：一次函数是一阶多项式函数，其函数图像是直线。
一次函数的增减性与斜率的正负有关，若斜率为正，则函数递增；若斜率为负，则函数递减。
一次函数的解析式中只有一项是x的幂次项，因此其次数为一。
2. 二次函数：二次函数是二阶多项式函数，其函数图像是抛物线。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型，它们在形态、特性及应用方面存在着显著的差异。
本文将从函数图像、导数、极值、定义域与值域等方面进行比较，以便更全面地理解二次函数与一次函数之间的关系。
1. 函数图像比较一次函数的形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
它的图像为一条直线。
而二次函数的标准形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
二次函数的图像有以下几种可能的形态：a）当a > 0时，抛物线开口向上，称为正向开口抛物线；b）当a < 0时，抛物线开口向下，称为负向开口抛物线；c）当a = 0时，就变成了一条直线。
因此，二次函数的图像可以比一次函数的图像更加多样化，同时也具有更多的特性。
2. 导数比较导数描述了函数曲线上每一点的斜率，它是刻画函数变化率的重要工具。
一次函数的导数恒定且为常数，即斜率为常量。
而二次函数的导数则是一个一次函数。
对于一次函数y = kx + b，它的导数等于斜率k。
而对于二次函数y = ax^2 + bx + c，它的导数是 y' = 2ax + b。
从导数的计算公式中可以看出，二次函数的导数是关于x的一次函数。
3. 极值比较极值是函数在定义域内局部最大或最小的值。
对于一次函数，由于其为直线，所以不存在极值。
而对于二次函数，它的极值取决于抛物线的开口方向。
当二次函数开口向上时，有最小值，称为极小值。
当二次函数开口向下时，有最大值，称为极大值。
极值点的求解可以通过求导数并令导数为零得到。
4. 定义域与值域比较定义域是函数自变量的取值范围，值域是函数因变量（即函数值）的取值范围。
对于一次函数来说，其定义域是所有实数集，值域也是所有实数集。
而二次函数的定义域与值域则取决于二次函数所处的特殊情况。
当二次函数开口向上时，定义域为全体实数，值域有最小值。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数二次函数和一次函数都是高中数学课程中的重要内容，它们在代数学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍二次函数和一次函数的定义、特征以及它们之间的关系。
一、二次函数的定义和特征二次函数是一个非常常见的函数形式，其一般表达式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
二次函数的图像通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。
1. 零点和解析式二次函数的零点是指使函数等于零的 x 值。
对于二次函数 f(x) = ax²+ bx + c，其零点可以通过求解二次方程 ax² + bx + c = 0 来获得。
一般情况下，二次函数有两个零点，除非该函数没有实数解。
2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是垂直于函数图像的一条直线，它通过抛物线的最高点或最低点，也称为顶点。
对称轴的方程可以通过将二次函数的 x 换成 -b/2a 来得到。
3. 开口和凹凸性二次函数的开口方向由 a 的正负决定。
当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。
凹凸性是指在对应开口的一侧，抛物线的曲率是向上还是向下，与开口的方向相反。
4. 函数图像二次函数的图像形状是一个抛物线。
根据 a 的正负和顶点的位置，抛物线的形态可以有所不同。
当 a > 0 时，抛物线开口朝上，顶点位于图像的最低点；当 a < 0 时，抛物线开口朝下，顶点位于图像的最高点。
二、一次函数的定义和特征一次函数也被称为线性函数，其一般表达式为 f(x) = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。
一次函数的图像通常是一条直线。
1. 斜率和截距一次函数的斜率 k 表示函数图像的倾斜程度。
斜率可以表示为两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
截距 b 表示函数图像与 y轴的交点的纵坐标。
2. 与二次函数的关系一次函数与二次函数在数学中有着密切的联系。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较在数学中，二次函数和一次函数是两种常见的函数形式。
它们在图像形状、性质以及实际应用中有着显著的差异。
本文将对二次函数和一次函数进行比较和分析。
一、定义和表达式一次函数也被称为线性函数，其一般形式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，且a ≠ 0。
一次函数图像为一条直线。
二次函数是指二次多项式构成的函数，其一般形式为 y = ax^2 + bx+ c，其中 a、b 和 c 是常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线。
二、图像特征对比1. 斜率和曲率在一次函数中，斜率恒定，即直线的倾斜角度保持不变。
而在二次函数中，斜率是可变的，在抛物线上不同点的曲率也不同。
2. 极值点一次函数没有极值点，因为直线是无限延伸的。
而二次函数的抛物线有一个极值点，即顶点，其 x 坐标为 -b/2a。
当 a 大于 0 时，抛物线开口向上，顶点是最小值点；当 a 小于 0 时，抛物线开口向下，顶点是最大值点。
3. 对称性一次函数没有对称轴，因为直线没有对称性。
而二次函数的对称轴是通过顶点的直线，对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
三、函数性质对比1. 增减性和单调性一次函数的增减性是恒定的，即直线是单调的。
二次函数在顶点左侧和右侧有不同的增减性，可以是增函数、减函数或者先增后减（凸函数）。
2. 零点和交点一次函数的零点是 x = -b/a，即直线与 x 轴的交点。
二次函数可能有两个、一个或零个零点，即 x 轴和抛物线的交点。
3. 解析式和方程通过解析式可以直接得到一次函数的斜率和截距，通过方程可以确定二次函数的顶点、零点和对称轴。
四、实际应用对比1. 一次函数的应用一次函数常用于描述直线运动、平均速度、线性关系等。
例如，在物理学中，直线上的运动可以通过一次函数来描述。
2. 二次函数的应用二次函数广泛应用于物理学、经济学和工程学等领域。
例如，在物理学中，自由落体运动可以通过二次函数来描述；在经济学中，成本函数和收益函数也常用二次函数表示。
一次函数与二次函数
解 (1)由题意知，2x＋1≤3，解之，得 x≤1；
(2)因 y∈[ －3,3] ，所以－3≤2x＋1≤3，
解之，得－2≤x≤1；
(3)一次函数 y＝2x＋1 (0,1)，
1 与两个坐标轴的交点分别为－2，0、
1 1 1 所以图象与两坐标轴围成的三角形的面积 S＝2×2×1＝4.
当 a<0 时，函数 y＝ax2(a≠0)的图象张口向下，|a|越小图象 开口就越大，|a|越大图象开口就越小．
探究点二
二次函数的性质 1 2 例 1 试述二次函数 f(x)＝ x ＋4x＋6 的性质， 并作出它的图象． 2 1 2 1 1 2 解 (1)配方 f(x)＝2(x ＋8x＋12)＝2[(x＋4) －4] ＝2(x＋4)2－2. 1 由于对任意实数 x，都有2(x＋4)2≥0，因此 f(x)≥－2，当且仅
3.一元二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质：当 a>0 时，函 b b 数在区间 ( －∞，－ ] 上是 减函数 ，在 [ － ，＋∞) 上 2a 2a 4ac－b2 b 是增函数 ，当 x＝－ 时，ymin＝ ；当 a<0 时，函数 2a 4a b b 在区间(－∞， － ]上是增函数， 在[ － ， ＋∞)上是减函数 ， 2a 2a 4ac－b2 b 当 x＝－ 时，ymax＝ . 2a 4a
跟踪训练 1
解析
函数 y＝2mx＋3－m 是正比例函数， 则 m＝_____. 3
由正比例函数的定义可知，2m≠0，
且 3－m＝0，所以 m＝3.
例2
已知一次函数 y＝3x＋12.
求：(1)一次函数 y＝3x＋12 的图象与两条坐标轴交点的坐 标； (2)x 取何值时，y<0? (3)当 y 的取值限定在(－6,6)内时，x 允许的取值范围．
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较二次函数和一次函数是高中数学中常见的两类函数，二次函数是一元二次方程的图像，而一次函数则是一元一次方程的图像。
本文将通过比较二次函数和一次函数在形式、性质和应用等方面的差异，帮助读者更好地理解这两类函数并应用于实际问题中。
一、形式比较1. 二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
a称为二次项的系数，b称为一次项的系数，c称为常数项。
2. 一次函数的一般形式为：f(x) = kx + m，其中k和m都是常数，且k ≠ 0。
k称为斜率，表示函数直线的倾斜程度；m称为截距，表示函数直线与y轴交点的纵坐标。
二、性质比较1. 增减性：二次函数的增减性由二次项的系数a决定。
若a > 0，则函数图像开口向上，呈现开口向上的抛物线形状，函数值随x的增大而增大；若a < 0，则函数图像开口向下，呈现开口向下的抛物线形状，函数值随x的增大而减小。
一次函数的斜率k决定了其增减性。
若k > 0，则函数图像从左到右递增，函数值随x的增大而增大；若k < 0，则函数图像从左到右递减，函数值随x的增大而减小。
2. 平移性：二次函数和一次函数均可通过平移改变其位置。
二次函数的平移可通过调整顶点坐标来实现，平移后保持抛物线的形状不变；一次函数的平移可通过调整截距来实现，同时保持直线斜率不变。
3. 零点：二次函数和一次函数的零点分别对应方程 f(x) = 0的解。
二次函数可以有0、1或2个不同的零点，而一次函数只有一个零点。
4. 最值：二次函数具有极值，最值的位置由顶点坐标决定。
若a > 0，则抛物线的顶点是最小值点；若a < 0，则抛物线的顶点是最大值点。
而一次函数没有最值，因为其图像为一条直线。
三、应用比较1. 二次函数的应用：二次函数广泛应用于抛物线的研究、物理和工程问题中。
例如，抛物线的运动轨迹、物体的抛射高度、天桥的设计等均可以建模为二次函数来计算和分析。
二次函数与一次函数的比较
二次函数与一次函数的比较一、介绍二次函数与一次函数是数学中的两种常见函数形式。
二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0；而一次函数的一般形式为y=mx+n，其中m和n也是常数。
本文将从图像特点、方程式、导数与斜率、应用等多个角度对二次函数和一次函数进行比较。
二、图像特点的比较1. 二次函数的图像特点二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
抛物线关于其对称轴对称。
2. 一次函数的图像特点一次函数的图像通常是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜方向和程度。
斜率m>0时，直线向上倾斜；斜率m<0时，直线向下倾斜。
三、方程式的比较1. 二次函数的方程式二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c。
二次函数的方程式有多种变形，如顶点形式y=a(x-h)²+k和因式分解形式y=a(x-p)(x-q)等。
不同形式的方程式可以通过变换和平移得到。
2. 一次函数的方程式一次函数的一般形式为y=mx+n。
一次函数的方程式较为简单，通过斜率和截距可以确定直线的位置和倾斜程度。
四、导数与斜率的比较1. 二次函数的导数与斜率二次函数的导数是一次函数。
对于二次函数y=ax²+bx+c，其导数为y'=2ax+b。
二次函数的导数表示了二次函数曲线在某点处的切线斜率。
2. 一次函数的斜率一次函数的斜率就是一次函数的导数，即斜率为m。
一次函数的斜率恒定，表示了直线的倾斜程度和方向。
五、应用的比较1. 二次函数的应用二次函数在物理学、经济学等领域有广泛应用。
例如，抛物线的形状可以用来描述自由落体运动的轨迹，二次函数也可以用来建模和预测经济增长等。
2. 一次函数的应用一次函数在线性方程组、经济学等领域有广泛应用。
例如，一次函数可以用来描述两个变量之间的线性关系，也可以用来预测和分析经济数据等。
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二次函数与一次函数、反比例函数综合
一次函数()0y kx n k =+≠的图象l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象G 的交点,由方程组2
y kx n y ax bx c =+⎧⎨=++⎩
的解的数目来确定: ⑴方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ⑵方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点; ⑶方程组无解时⇔l 与G 没有交点、
【例1】二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则反比例函数a
y x
=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象就是(
)
D
C
B
【例2】二次函2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y bx a =+与反比例函数 a b c
y x
++=
在同一坐标系内的图象大致为(
) D
B
A
【变式】已知M ,N 两点关于y 轴对称,且点M 在反比例函数1
2y x
=
的图象上,点N 在一次函数3y x =+的图象上,设点M 的坐标为()
,a b ,则二次函数
()2y abx a b x =++( )
A.有最小值,且最小值就是
92 B.有最大值,且最大值就是9
2-
C.有最大值,且最大值就是
92
D.有最小值,且最小值就是9
2
-
【例3】已知方程2210x px ++=的两个实根一个小于1,一个大于1,求p 的取值范围. 【例4】如图,已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点
()
3,3A .
⑴求正比例函数与反比例函数的解析式;
⑵把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点()
6,B m ,求m 的值与这个一次函数的解
析式;
⑶第⑵问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ,求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式;
⑷在第⑶问的条件下,二次函数的图象上就是否存在点E ,使四边形OECD 的面积1S 与四边形OABD 的面积S 满足:123S S
=
？若存在,求点E 的坐标;若不存在,请说明理由.
二次函数的应用
例2、 如图2,在△ABC 中,∠ACB=0
90, AC=30,BC=40,在矩形DEFG 的一边FG 在AB 上,点D,E 分别在AC,BC 上,若设DG=x,y S DEFG =矩形,则当x 为何值时,y 的值最大？最大值就是多少？
变式:如图,ABC ∆中,︒=∠90B ,cm AB 6=,cm BC 8=,点P 从A 点开始沿AB 向点B 以s cm /1的速度移动,
同时点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以s cm /2的速度移动、 ⑴求PBQ ∆的面积S (2cm )与运动时间t (s )之间的函数关系式、 ⑵当t 为何值时,三角形PBQ 与三角形ABC 相似？
已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的图象经过三点(10)，,(30)-，,3
(0)2
-，。
⑴求二次函数的解析式,并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象;
⑵若反比例函数22
(0)y x x
=>图象与二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的图象在第一
象限内交于点()00A x y ，,0x 落在两个相邻的正整数之间。
请您观察图象,写出这两个相邻的正整数;
⑶若反比例函数2(0,0)k
y k x x
=>>的图象与二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的图
象在第一象限内的交点为A ,点A 的横坐标为0x 满足023x <<,试求实数k 的取值范围。
(3)某抛物线()02
≠++=a c bx ax y 如图3 示,求此抛物线的解析式.
D C B A
o
y
x o y x o
y x o y x
4、二次函数c bx ax y ++=2图像如图,有以下结论:
(1)0<++c b a ;(2)1>+-c b a (3)0>abc ;(4)024<+-c b a ; (5)1>-a c 。
则其中正确的有: 、
5函数2ax y =与()0,0>>+=b a b ax y 在同一坐标系中的大致图象就是( )
6、抛物线c bx x y +-=2
图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为322
--=x x y ,则b 、c 的值为
7、已知关于x 的二次函数2122
++-=m mx x y 与2
222
++-=m mx x y ,这两个二次函数的
图像中的一条抛物线与x 轴交于Ａ,Ｂ两个不同的点、 （1）试判断哪个二次函数的图象经过Ａ,Ｂ两点; （2）若Ａ点的坐标为(-1,0)求出Ｂ点的坐标;
（3）在(2)的条件下,对于经过Ａ,Ｂ两点的二次函数,当x 取何值时,y 的值随x 值的增大而减小？。