导数与三次函数的关系(1)

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应用导数研究三次函数课件

3a 3a
知识点2 切线条数切点的个数
数学思想方法数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般性结论吗？
谢谢！

三次函数

第28关：三次函数专题—全解全析一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。

证明：设函数的对称中心为（m，n）。

按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。

所以，函数的对称中心是（）。

可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。

（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。

此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。

4、极值点问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x为极大值点（或极小值点）。

当时，三次函数在上的极值点要么有两个。

当时，三次函数在上不存在极值点。

5、最值问题函数若，且，则：；三、三次函数与导数专题：1. 三次函数与导数例题例1. 函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.解：（Ⅰ），的判别式△=36（1-a）.（ⅰ）当a≥1时，△≤0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.来自QQ群3（ⅱ）当且，时，有两个根：，若，则, 当或时，，故在上是增函数；当时，，故在上是减函数；若，则当或时，，故在和上是减函数；当时，，故在上是增函数；（Ⅱ）当且时,,所以当时，在区间（1，2）是增函数.当时，在区间（1,2）是增函数，当且仅当且，解得.综上，的取值范围是.例 2. 设函数，其中。

(完整版)专题三导数与三次函数

9 32002310xx 2001210xx 01x或012x 所求的切线方程为2y或9410xy 3、已知函数32fxxaxbxc在23x与1x时都取得极值。 ⑴求a、b的值及函数fx的单调区间； ⑵若对1,2x，不等式2fxc恒成立，求c的取值范围。（2006江西）解：⑴232fxxaxb，依题意，得 212403931320fabfab，解得122ab ∴232321fxxxxx x变化时，fx、fx的变化情况如下表 x 2,3 23 2,13 1 1, fx ＋ 0 － 0 ＋ fx 极大值极小值所以fx的递增区间为2,3与1,，递减区间为2,13 ⑵32122fxxxxc，1,2x 当23x时，2227fxc为极大值，而22fc ∴22fc为最大值
7 ∴33332222mamambbmmccm 由155fabc ∴32532mmm 6m ∴23ma，39,2122mbcm 2、若函数32111132fxxaxax在区域1,4内为减函数，在区间6,上为增函数，试求实数a的取值范围。（2004全国卷）解：21fxxaxa 令0fx解得11x，21xa ①当11a即2a时，fx在1,上为增函数，不合题意 ②当11a即2a时，函数fx在,1上为增函数，在1,1a内为减函数，在1,a上为增函数，依题意应有：当1,4x时，0fx，当6,x时，0fx 所以416a，解得 57a 综上，a的取值范围是5,7 3、已知函数323fxaxbxx在1x处取得极值， ⑴讨论1f和1f是函数fx的极大值还是极小值； ⑵过点0,16A作曲线yfx的切线，求此切线方程。（2004天津）
3 x ,1 －1 （－1，1） 1 1, fx ＋ 0 － 0 ＋ ()fx 极大值极小值 ∴()fx的单调递增区间是,1和1, ()fx的单调递减区间是1,1 当1x时，fx有极大值311312faa 当1x时，fx有极小值311312faa 要使()fx有一个零点，需且只需2020aa，解得2a 要使()fx有二个零点，需且只需2020aa，解得2a 要使()fx有三个零点，需且只需2020aa，解得22a 变式五、已知函数33,0fxxxa，如果过点,2Aa可作曲线yfx的三条切线，求a的取值范围解：设切点为00,xy，则233fxx ∴切线方程000yyfxxx 即 2300332yxxx ∵切线过点A,2a ∴23002332xax 即 320023320xaxa ∵过点,2Aa可作yfx的三条切线 ∴方程有三个相异的实数根

导数与三次函数的关系

导数计算方法
通过乘法法则和链式法则，将原函数进行求导，得到导数表达式。
注意事项
在计算过程中，需要注意各项的系数和变量的指数变化。
三次函数导数的性质
单调性
通过导数的符号判断函数的单调性，若导数大于0，函数单调递增；若导数小于0，函数单调递减。
极值点
导数为0的点称为临界点或驻点，是函数值可能发生变化的点，即极值点。
数学教育改革
在数学教育领域，如何更好地教授导数与三次函数的关系，将直接影响学生理解和应用数学的能力。
未来研究方向
对于导数与三次函数关系的深入研究，将推动数学理论和应用的不断发展，为解决复杂问题提供更多有效工具。
THANKS
谢谢
凹凸性
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，二阶导数大于0，函数为凹函数；二阶导数小于0，函数为凸函数。
三次函数导数的几何意义
切线斜率
导数在某一点的值表示该点处切线的斜率。
函数变化率
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函数值增量与自变量增量的比值。
单调区间
通过导数的符号变化，可以确定函数的单调区间。
优化问题求解
导数在优化问题中扮演关键角色，如最大值和最小值问题，通过求导可以找到使函数取得极值的点。
近似计算
在科学、工程和经济学中，经常需要估算函数的近似值，导数有助于更精确地估计这些值。
导数与三次函数关系在数学中的地位
连接初等与高等数学
导数与三次函数的关系是初等数学与高等数学之间的桥梁，帮助学习者逐
VS
极值判断
在找到极值点后，我们可以进一步判断这些点是极大值还是极小值。如果函数在极值点左侧递增，右侧递减，则该点为极大值；如果函数在极值点左侧递减，右侧递增，则该点为极小值。

三次函数的导数与导函数

三次函数的导数与导函数引言三次函数是指次数为3的多项式函数，其一般形式为 f(x) =ax^3 + bx^2 + cx + d。

在本文中，将讨论三次函数的导数与导函数。

导数的定义导数是函数在某一点处的变化率。

对于三次函数 f(x) = ax^3 +bx^2 + cx + d，其导数可以通过求函数的微分得到。

微分就是对函数进行局部线性近似，即求切线的斜率。

三次函数的导数计算根据导数的定义，可以使用微分的方法求出三次函数的导数。

首先，对三次函数 f(x) 进行微分得到 f'(x)。

然后求导数的公式为f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c。

导函数的意义导函数是三次函数的导数，它描述了函数在不同点的变化率。

导函数的图像可以反映出原函数的整体趋势。

导函数的图像特点根据导函数的公式 f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c，可以得到以下结论：- 如果 a>0，那么导函数是向上开口的抛物线；- 如果 a<0，那么导函数是向下开口的抛物线；- b 的值决定了导函数的平移与压缩；- c 的值决定了导函数的上下偏移。

导函数与原函数的关系根据导函数与原函数的关系，可以推导出以下结论：- 如果三次函数 f(x) 在某一点处的导数为0，那么该点是函数的极值点；- 如果三次函数 f(x) 的导函数恒为正，那么原函数是递增的；- 如果三次函数 f(x) 的导函数恒为负，那么原函数是递减的。

结论本文介绍了三次函数的导数与导函数的概念，并讨论了它们的计算方法、图像特点以及与原函数的关系。

对于进一步理解三次函数及其特性具有一定的参考价值。

> 注意：本文所述内容仅为概念介绍，具体应用时请结合实际情况进行分析和计算。

三次函数图像与性质(解析版)

专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。

以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。

∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。

三次函数性质总结.

三次函数性质的探索我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．其中运用的较多的一次函数不等式性质是：()0>f在[m，n]上恒成立的充要条件x()0>fm()0>fn接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下：图1 图2利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？三次函数专题一、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。

定义2、三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠，把2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。

特别是文科。

系列探究1：从最简单的三次函数3x y =开始反思1：三次函数31y x =+的相关性质呢？反思2：三次函数31y x =-+的相关性质呢？反思3：三次函数()311y x =-+的相关性质呢？（2012天津理）（4）函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 B （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3系列探究2：探究一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质：先求导2()32(0)f x ax bx c a '=++>1．单调性：（1）若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在R 上是增函数；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则()f x 在12(,),()x x -∞+∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减。

导数在三次函数中的运用

f '(x)
f '(x)
f '(x)
o
x
3k 0 0
k 1
o
不符合题意
k 1
导数在三次函数中的运用
例3 函数 f (x) kx3 3x2 3x 1(k 0) 在R上是增函数,
求实数k的取值范围.
分析 f (x) 3kx2 6x 3
Q k 0, f (x)图象是一条过定点(0,3)的抛物线
极值点个
数
单调性
a>0
Δ>0
Δ≤0
a<0
Δ>0
Δ≤0
2
0
2
0
在(, x1),(x2, )上
在(, x1),(x2, )上
是增函数;
在R上是是减函数;
在R上是
在 (x1, x2)上是减增函数在 (x1, x2)上是增减函数
函数
函数
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)
分析 (1) f (x) 3x2 3，令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18
导数在三次函数中的运用
例1 已知函数 f (x) x3 3x, x R
变式一二若关于xx的的不方等程式f f(x(x) )ak有在3[个0互,3不]上相恒等成的立实，
根，求求实实数数ak的取值范围。
分析 (1) f (x) 3x2 3，令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18

三次函数的图像与性质

三次函数的图像与性质形如f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的函数叫做三次函数。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题已经成为高考命题的一个新的热点和亮点，尤其是文科数学更是如此。

我们可以采用类比的方法，利用几何画板，较为深入地研究三次函数的图像与性质以及三次方程的解的个数的问题。

１三次函数的图像与性质设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c，其判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）。

当a>0时，若△>0，方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1f（x2）。

结论1：f（x1）·f（x2）>0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有一个公共点；f（x1）·f（x2）=0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有两个公共点；f （x1）·f（x2）０，f（x2）0为例）：当a>0时，f（x）的四种图象３推论设三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a>0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c 的判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）>0。

方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1<x2，则函数f（x）在x=x1处取得极大值f（x1），函数f（x）在x=x2处取得极小值f（x2）。

类似可知a<0的情形（其余条件同前）：函数在x=x1处取得极小值f（x1），函数f（x）在x=x2处取得极大值f（x2）。

４例题例1.（湖南卷）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为h==4.5-3x（m）（0<x<），故长方体的体积为V（x）=2x2（4.5-3x）＝９x2－６x３（m３）（0<x<），从而V’（x）=18x-18x2（4.5-3x）=18x（１－x）。

用导数研究报告三次多项式曲线

用导数研究报告三次多项式曲线引言在数学中，多项式函数是一类重要的函数。

其中，三次多项式函数的特点是在自变量的三次方次项与一次方次项之间存在关系。

因此，研究三次多项式函数的性质对于数学理论的发展具有重要意义。

导数的定义导数是用来描述函数变化率的工具。

对于函数$f(x)$，它的导数$f'(x)$可以通过以下公式计算：$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$三次多项式函数的导数对于三次多项式函数$P(x)$，它的一般形式可以表示为：$$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$其中$a$，$b$，$c$和$d$为常数。

为了研究三次多项式函数的性质，我们需要计算它的导数。

根据导数的定义，可以得到三次多项式函数$P(x)$的导数$P'(x)$：$$P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$三次多项式曲线的特点通过对三次多项式函数的导数$P'(x)$进行分析，我们可以得到三次多项式曲线的一些特点：1. 曲线的斜率：导数$P'(x)$描述了曲线在不同点上的斜率。

当导数为正时，曲线上升；当导数为负时，曲线下降；当导数为零时，曲线达到极值点。

2. 曲线的拐点：拐点是指曲线从凸向上凹或从凹向上凸变化的点。

在三次多项式曲线上，拐点的位置可以通过导数$P'(x)$的二阶导数来确定。

3. 曲线的极值点：极值点是曲线上最高或最低的点。

在三次多项式曲线上，极值点可以通过导数$P'(x)$的一阶导数为零的点来确定。

结论通过导数的研究，我们可以了解到三次多项式曲线的斜率、拐点和极值点的位置，进而对曲线的形状和性质进行分析。

这为进一步研究和应用三次多项式函数提供了重要的理论基础。

需要注意的是，在实际应用中，有时会出现多个极值点或拐点的情况。

此外，导数可以应用于许多其他数学领域，如最优化问题和微分方程的求解等。

用导数法解三次函数问题

导数法解“三次”函数问题新教材中导数内容的介入，为研究函数的性质提供了新的活力，通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。

特别地，当f(x)为三次函数时，通过求导得到的f /(x)为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点P （00,y x ）处的切线的斜率)(0/x f k =，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。

根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。

下面笔者从课堂或试卷上出现的这一类型题目中选择几例，同时结合学生产生的问题，略作说明。

例1：已知f(x)=d cx bx x +++23在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为α、2、β.（1）求c 的值；（2）求证：f(1)≥2（3）求｜α-β｜的取值范围。

解：（1）,23)(2/c bx x x f ++=由题意可得：x=0为f(x)的极值点，∴0,0)0(/=∴=c f（2）令023)(2/=+=bx x x f ，得32,021b x x -== ∵f(x)在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数， ∴232≥-b ，即3-≤b 又∵b d d b f 48,048,0)2(--=∴=++∴=∴.2371)1(≥--=++=b d b f（3）∵方程f(x)=0有三个根α、2、β.∴设),)(2()(223n mx x x d cx bx x x f ++-=+++= 由待定系数法得2,2d n b m -=+= ∴α、β为方程02)2(2=-++d x b x 的两根， ∴ α+β=-（b+2），αβ=-d/2；∴｜α-β｜2=16)2(1242)2(222--=--=++b b b d b∵3-≤b ，∴｜α-β｜2≥9，∴｜α-β｜ ≥3一般地，若已知三次函数f(x)=)0(23>+++a d cx bx ax 在（—∞，m ）上是增函数，在[m ，n]上是减函数，在（n,+∞）上是增函数,则二次方程f /(x)=0即0232=++c bx ax 的两个根为m ，n ；且当),(),(+∞⋃-∞∈n m x 时f /(x)>0，当),(n m x ∈时f /(x)<0，反之亦然。

三次函数的导数问题

三次函数的导数问题在微积分学中，导数被用于研究函数的变化率。

在下面的文章中，我们将研究三次函数的导数问题。

三次函数的定义三次函数是指具有一次、二次和三次项的函数，可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中a、b、c和d是常数。

三次函数的图像通常是一个“S”形的曲线，其形状取决于函数的系数。

具体来说，当a>0时，曲线呈现“下凸”，当a<0时，曲线则呈现“上凸”。

三次函数的导数三次函数的导数通常表示为f'(x)，它是指在某个点x处的切线斜率，也是函数在该点处的变化率。

为了求出三次函数的导数，我们可以使用微积分理论中的求导法则。

具体来说，我们需要求出三次函数的每一项的导数，然后将它们相加。

因此，三次函数的导数可以表示为：f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c其中3a、2b和c是三次函数的一次导数项的系数。

三次函数的导数图像三次函数的导数图像通常是一个二次函数，并且其形状与三次函数本身的形状有很大的关系。

当三次函数的a>0时，它的导数图像呈现“上凸”的U形；当a<0时，导数图像则呈现“下凸”的n形。

如果三次函数有其导数为0的点，则该点是函数的临界点，也是函数的最值点之一。

应用三次函数的导数在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，三次函数可以用来描述物体的加速度变化；在经济学中，三次函数可以用来描述收入和消费之间的关系；在工程学中，三次函数可以用来描述材料的强度和韧性之间的关系等等。

结论通过本文，我们学习了三次函数的导数问题。

我们发现，三次函数的导数是函数变化率的表示，它可以帮助我们更好地理解和使用这些函数。

同时，我们也了解到了三次函数和导数图像的形状及其应用。

三次函数的性质

三次函数的性质2015年11月13日意琦行数海拾贝三次函数（）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一单调性以为例，如图1，记为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当时，为上的单调递增函数；当时，会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明的导函数为其判别式为，进而易得结论．性质二对称性f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0a >0Δ=−3ac b 2Δ⩽0f (x )R Δ>0f (x )f (x )(x )=3a +2bx +c ,f ′x 24(−3ac )b2如图2，的图象关于点对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为，则其解析式可以设为其中．性质二的证明由于即于是性质二得证．例1 设直线与曲线有三个不同的交点，且，求直线的方程．解由可知为三次函数的对称中心，由性质二可得，进而不难求得直线的方程．例2 设函数，．（1）求导数，并证明有两个不同的极值点，；f (x )P (−,f(−))b 3a b 3aP (m ,n )f (x )=α⋅+β⋅(x −m )+n ,(x −m )3α≠0f (x )=a +(c −)(x +)−++d ,(x +)b 3a 3b 23a b 3a bc 3a 2b 327a2f (x )=a +(c −)(x +)+f (−),(x +)b 3a 3b 23a b 3a b 3al y =+x +1x 3A ,B ,C |AB |=|BC |=5√l |AB |=|BC |B B (0,1)l y =2x +1f (x )=x (x −1)(x −a )a >1(x )f ′f (x )x 1x 2（2）若不等式成立，求的取值范围．（1）解的导函数而于是有两个变号零点，从而有两个不同的极值点．（2）解根据性质二，三次函数的对称中心是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是即结合，可得的取值范围是．注本题为2004年高考重庆卷理科数学第题．性质三切割线性质如图3，设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的一条割线与一条切线（点不为切点），、、均在的图象上，则点的横坐标平分、点的横坐标．f ()+f ()⩽0x 1x 2a f (x )(x )f ′=(x −1)(x −a )+x (x −a )+x (x −1)=3−2(a +1)x +a ,x 2(0)f ′(1)f ′(a )f ′=a >0,=1−a <0,=a (a −1)>0,(x )f ′f (x )(,f ())a +13a +13f ()+f ()=2f ()⩽0,x 1x 2a +132⋅⋅⋅⩽0,a +13a −23−2a +13a >1a [2,+∞)20P f (x )P f (x )AB PT P A B T f (x )T A B图3 切割线性质推论1 设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的两条切线、，切点分别为、，如图．则点的横坐标平分、点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2 设的极大值为，方程的两根为、（），则区间被和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明设（），直线，直线，则分别将直线与直线的方程与三次函数的解析式联立，得P f (x )P f (x )PM PN M P M P N f (x )M f (x )=M x 1x 2<x 1x 2[,]x 1x 2−b 3af (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0PT :y =x +k 0m 0PAB :y =kx +m PT PAB ++(−)+−=0,32于是根据三次方程的韦达定理可得即于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数（）的图象为，若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为、．求证：是定值．图6解由性质二，任意三次函数都可以通过平移变化变成然后可以作伸缩变换变成a +b +(c −)x +d −=0,x 3x 2k 0m 0a +b +(c −k )x +d −m =0,x 3x 22+=++,x T x P x A x B x P =,x T +x A x B 2f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0C x 1C (,f ())P 1x 1x 1(,f ())P 2x 2x 2C P 2(,f ())P 3x 3x 3P 1P 2P 2P 3C S 1S 2S 1S 2f (x )g (x )=p +qx ,x 3而无论平移还是伸缩，题中的均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数成立即可．根据题意，联立函数与函数在处的切线方程得于是即又由性质三的推论1，可得即于是，线段与曲线所围成的封闭图形的面积类似的，线段与曲线所围成图形的面积h (x )=+rx ,x 3S 1S 2h (x )=+rx x 3h (x )=+rx x 3h (x )P 1(x −⋅(x −)=0,x 1)2x 22+=0,x 1x 2=−2.x 2x 12=+,x 1x 2x 3=4.x 3x 1P 1P 2C S 1=(x −⋅(x −)d x ∣∣∣∫x 2x 1x 1)2x 2∣∣∣=(−3x +2)d x ∣∣∣∫−2x 1x 1x 3x 21x 31∣∣∣=∣∣∣(−+2x )14x 432x 21x 2x 31∣∣∣−2x 1x 1∣∣∣=,274x 41P 2P 3C于是所求的面积之比为注此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对成立）．性质四切线条数如图7，过的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数① 过区域 I、III 内的点作的切线，有且仅有三条；② 过区域 II、IV 内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；③ 过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．性质四的证明由性质二，不妨设，坐标平面内一点．三次函数图象上处的切线方程为=,S 2274x 42==.S 1S 2()x 1x 24116f (x )=−x x 3f (x )l l f (x )y =f (x )y =f (x )l f (x )y =f (x )f (x )=+mx x 3P (a ,b )x =t即切线过点，即而三次函数对称中心处的切线方程为于是考虑直线与函数的图象公共点个数．函数的零点为和，且为它的一个极值点，由性质二的推论2知，的另外一个极值点对应的函数图象上的点的坐标为，以为例，的草图如下：容易得到结论：当时，时为个公共点，时为个公共点，时为个公共点；当时，无论取何值，均为个公共点；当时，时为个公共点，y =(3+m )(x −t )++mt ,t 2t 3y =(3+m )x −2,t 2t 3P (a,b )b =−2+3a +ma .t 3t 2y =mx ,y =b −ma h (t )=−2+3a t 3t 2h (t )03a 20h (t )(a ,)a 3a >0h (t )a <0b <+ma ∨b >ma a 31b =ma ∨b =+ma a 32+ma <b <ma a 33a =0b 1a >0b >+ma ∨b <ma a 31时为个公共点，时为个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论 ① 的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论 ①：已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．例4 设函数，其中．曲线在点处的切线方程为．（1）确定的值；（2）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；（3）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围．解（1）的导函数为于是该函数在处的切线方程为因此b =ma ∨b =+ma a 32ma <b <+ma a 33f (x )=−x x 3y =f (x )M (t ,f (t ))a >0(a ,b )y=f (x )−a <b <f (a )f (x )=−+bx +c 13x 3a 2x 2a >0y =f (x )P (0,f (0))y =1b ,c y =f (x )(,f ())x 1x 1(,f ())x 2x 2(0,2)≠x 1x 2()≠()f ′x 1f ′x 2(0,2)y =f (x )a f (x )(x )=−ax +b ,f ′x 2x =0y =bx +c ,b =0,c =1.（2）函数在处的切线方程为当切线过点时可得于是是该方程的两个不等实根．考虑而两式相减并约去，得而于是f(x )x =t y =(−at )(x −t )+−+1,t 213t 3a 2t 2(0,2)−+1=0,23t 3a 2t 2,x 1x 2()−()f ′x 1f ′x 2=(−a)−(−a )x 21x1x 22x 2=(−)⋅(+−a ),x 1x 2x 1x 2⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪−+1=0,23x 31a2x 21−+1=0,23x 32a2x 22−x 1x 2++=,x 21x 1x 2x 2234a 2++x 21x 1x 2x 22=(+−x 1x 2)2x 1x 2>(+−(+x 1x 2)214x 1x 2)2=(+,34x 1x2)2+≠a ,x 1x 2进而可得（3）函数的对称中心为，于是在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得解得即的取值范围是．注此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）．练习题练习1、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；（3）令，设函数在（）处取得极值，记点，，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．()≠().f ′x 1f ′x 2f (x )(,−+1)a 2a 312y =−(x −)−+1,a 24a 2a 3121<2<−+1,a 324a >2,3√3a (2,+∞)3√3f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2MN f (x )M N练习2、已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别为从小到大依次为、、．求的取值范围．练习3、如图8，记原点为点，由点向三次函数（）的图象（记为曲线）引切线，切于不同于点的点，再由点引此曲线的切线，切于不同于点的点．如此继续作下去，得到点列．试回答下列问题：图8（1）求数列的递推公式与初始值；（2）求，并指出点列的极限位置在何处？练习4、已知，过点作图象的切线，如果可以作出三条切线，当时，求点所在的区域面积．练习5、已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）f (x )=+b +cx +d x 3x 2(−∞,0)(0,2)f (x )=0α2β|α−β|(,)P 1x 1y 1P 1y =−3a +bx x 3x 2a ≠0C P 1(,)P 2x 2y 2P 2C P 2(,)P 3x 3y 3{(,)}P n x n y n {}x n lim n →+∞x n {}P n f (x )=−x x 3(,)x 0y 0f (x )∈(0,1)x 0(,)x 0y 0f (x )=2−3x x 3f (x )[−2,1]P (1,t )3y =f (x )t A (−1,2)B (2,10)C (0,2)y =f (x )1练习6、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；（2）令．设函数在（）处取值极值，记点，，，．请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解答以下问题：① 若对任意的，线段与曲线有异于、的公共点，试确定的最小值；② 若存在点，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）的导函数为于是所求的代数表达式为（2）在（1）的基础上，有于是当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间是；f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2P (m ,f (m ))<m ⩽x 1x 2f (x )P MP m ∈(t ,]x 2MP f (x )P Q t Q (n ,f (n ))⩽n <m x 1PQ f (x )P Q m f (x )(x )=+2ax +b ,f ′x 2b =2a −1.(x )=(x +1)⋅(x +2a −1),f ′a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )a =1f (x )R当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．（3）此时而于是，．根据性质二，该公共点为三次函数图象的对称中心．注本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，为的导函数的零点，于是．又，于是即从而因此a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)f (x )=−−3x ,13x 3x 2(x )=−2x −3,f ′x 2M (−1,)53N (3,−9)f (x )(1,−)113x =0f (x )(x )=3+2bx +cf ′x 2c =0f (2)=08+4b +d =0,d =−4b −8,f (x )=+b −(8+4b )x 3x 2=(x −2)⋅[+(b +2)x +2b +4],x 2222另一方面，由在上是减函数得，即于是可得的取值范围是从而的取值范围是．练习3、（1）根据已知，联立出发的切线方程与曲线的方程，得又，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得进而由性质三的推论1可得于是数列的递推公式与初始值为（2）由数列的递推公式不难得到通项于是=−4α⋅β=(2−b −16.(α−β)2(α+β)2)2f (x )(0,2)(2)⩽0f ′12+4b ⩽0,b b <−3.|α−β|[3,+∞)P 1C (x −)(x −=0,x 1x 2)2=0x 1=a .x 232∀n ⩾3∧n ∈,2=+.N ∗x n x n −1x n −2{}x n =,n ⩾3∧n ∈,=0,=a .x n +x n −1x n −22N ∗x 1x 232∀n ∈,=a ⋅[1−],N ∗x n (−)12n −1因此点列的极限位置为，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数在对称中心处的切线方程为于是根据性质四的结论 ①，我们可得所求区域面积为练习5、（1）的导函数于是可得在区间上的最大值为（2）函数在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得即=a .lim n →+∞x n {}P n (a ,−2+ab )a 3f (x )(0,0)y =−x ,[−x −(−x )]d x =d x =.∫10x 3∫10x 314f (x )(x )=6−3,f ′x 2f (x )[−2,1]max {f (−),f (1)}=.2√22√f (x )(0,0)y =−3x ,−3<t <f (1),于是的取值范围是．（3）根据性质四，可得过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切．注本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）① 的最小值为，证明从略；② 的取值范围为．注本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．−3<t <−1,t (−3,−1)A (−1,2)3y =f (x )B (2,10)2y =f (x )C (0,2)1y =f (x )b =2a −1a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)a =1f (x )R a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )t 2m (1,3]。

三次函数的图像和性质

对函数f ( x) ax3 bx2 cx d (a 0)的图像性质研究
导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3）点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数
y
f ( x)
y
f / ( x)
o
x
图1
o
图1中函数f ( x)在x R
x
y
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o
y
x1
图3
x0
x
y
x1o x2
f ( x)
f / ( x) 图3中函数f ( x)有两个
f ( x) x 3x.
3
4.已知f ( x) ax3 bx 2 3x在x 1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.

3次函数曲线-概念解析以及定义

3次函数曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学中，三次函数是一种常见的多项式函数，其最高次项的指数为3。

三次函数的一般形式可以表示为y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d都是实数，并且a不等于0。

三次函数曲线通常呈现出一种典型的"弓形"形状，有时可能具有一个局部极值点或者一个拐点。

它们在图像上的走势和特点在多个领域中都有重要的应用，例如物理学、经济学和计算机图形学等。

理解和掌握三次函数曲线的特点对于解决实际问题和进行进一步的数学研究都是非常重要的。

本文将围绕三次函数曲线展开讨论，首先介绍三次函数的基本定义和性质，然后探讨三次函数曲线的图像特点以及如何进行函数图像的变换和分析。

接下来，我们将进一步研究三次函数曲线的局部极值点和拐点的性质，并举例说明在实际问题中的应用。

最后，我们将总结所讨论的内容，并展望一些可能的研究方向。

通过研究和理解三次函数曲线的性质和特点，我们可以更好地应用它们解决实际问题，并且有助于我们对数学的深入理解和进一步研究。

接下来，我们将详细介绍本文的组织结构和目的。

1.2 文章结构2. 正文在本文中，我们将着重研究3次函数曲线。

通过对这种特殊类型的函数曲线进行深入的分析和研究，我们可以更好地理解它们的数学性质和应用。

本文的正文部分将分为三个要点来探讨3次函数曲线所涉及的关键概念和性质。

2.1 第一要点在第一要点中，我们将首先介绍3次函数曲线的基本定义和表达形式。

我们将学习如何根据给定的系数，利用函数表达式来绘制3次函数曲线的图像。

此外，我们还将讨论3次函数曲线的对称性和奇偶性，并探索其在数学和科学领域中的实际应用。

2.2 第二要点在第二要点中，我们将进一步研究3次函数曲线的性质和特征。

我们将通过对曲线的导数和导数变化率的分析，探讨曲线的增减性和凸凹性。

此外，我们还将介绍曲线的转折点和拐点，并讨论这些特殊点对曲线整体形状的影响。

导数与三次函数的关系(1)PPT课件

y=(x)的图象最有可能的是( )
y
y
y
O1
2
x
y (A)
2
1
x
(C)
1
2
x
y (B)
O
1
2
x
(D)
3,(00春)已知函数(x)=ax3+bx2+cx+d的
图象如右图,则(
)
y
（A）b,0（B）b0,1
（C）b1,2 （D）b2, O 1 2 x
4,方程x3－6x2+9x－10=0的实根
作业：整理导数知识
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在の境界还是差了壹些,他不像咱们,都有先祖の庇护,只要到了那个时间点了,咱们就可以壹飞冲天,他需要自己不断の努力进取争取到更高の境界去.""是呀,他要是现在有绝强者の境界の话,就没有什么可愁の了,现在还是弱了壹些."欧奕也感慨道："不过这小子体质特别,而且身怀赤子之心,以他の天赋,早晚会独步天下,问鼎最强境界の,这里不是他の极限.""恩,他の机缘造化确实是令人惊羡,咱们一些师兄弟当中,就属他最特别,拍马也赶不上."金娃娃也感慨."出来了."这时候神光消退了不少,大概只有方圆三四万里大小了,只见神光圈の中间,有壹片金色の云彩从中升腾了起来.这片金云之中,有壹个身高巨型の人类,正从中爬了出来,全身虽然有壹些血窟窿,但是却依旧有精神."他突破了!""好家伙,壹下子就是好几重境界!""到高阶圣境中阶了,这小子果然没让咱们失望!"远处根汉の变化,也令南天冰云震撼不已,她见到全身金色,身高千米之巨,从金云中爬了出来."嘶."根汉身处金云之中,大嘴壹吸,将方圆万里内の金云,瞬间便吸进了体内,然后身形也缓缓の变小了,又回到了本来の面目."根汉!"南天冰云心中壹激动,立即飞向了根汉,因为根汉变小了,她隔了这么远,根本就了,所以就冲了过去."你们都别过来."而身在十万里开外の根汉, 突然猛の大喝壹声,好像都能听到十万里外の声音似の.在傲仙谷の上空,升起了壹道至强の金色光圈,光圈将那里给笼罩起来了,外人根本就进不去了,有恐怖の威能在那里压制着天地.（正文贰6捌5至尊之战）贰6捌6金色根汉贰6捌6"你们都别过来."而身在十万里开外の根汉,突然猛の大喝壹声,好像都能听到十万里外の声音似の.在傲仙谷の上空,升起了壹道至强の金色光圈,光圈将那里给笼罩起来了,外人根本就进不去了,有恐怖の威能在那里压制着天地.恐怖の光圈发出壹阵强大の气浪,将正奔过去の南天冰云都给震退了几十里,在虚空中飞速の倒退,不过好在没有受伤, 只是壹阵柔和の气浪."小子还要突破."金娃娃咧嘴笑道,他和欧奕壹道出现在了南天冰云の身后,将这南天冰云给挡了下来."不要你们管."南天冰云还在生气.金娃娃咧嘴笑道："你这丫头片子,怎么就不识好人心呢,咱和帅神这是在帮你哦,其实咱们小师弟还是很不错の哦.""就是,小丫头片子,你既然跟了咱们小师弟壹段时间,咱逃不出他の手掌心了."欧奕也哈哈笑道."去你们の."南天冰云站稳了,调整了壹下气息,正眼远处の光圈："你们是不是早就知道,他会没事の?""呵呵,本帅不是和你说过了嘛,咱们小师弟天赋异禀,无数女人喜欢,这样の坏人怎么可能就死呢."欧奕哈哈笑道.金娃娃也在这里起哄："就是哦,根汉这家伙虽然没有本神帅,不过倒也还算可以了,跟着他可是壹件好事.""净胡扯."南天冰云有些无语,这两家伙净扯些有の没の,她问金娃娃："刚刚你说他要突破了,为什么这么讲?""呃,妹子,难道你还没吗?"金娃娃有些无语,"就这样の架势,要是还不突破,那他可以去吃屎了.""你才去吃屎呢,真恶心."南天冰云气极.都说无心峰の人是疯子,真不假,这么壹比,根汉比他们这两人要正常太多了,这两家伙才是真正の疯子,有精神病呢."呵呵,护夫心切嘛妹子."金娃娃笑了笑,并不放在心上.女人越骂他,他越爽呢,人就是这么贱呀."这到底是怎么回事?"南天冰云又问他们,"你们两个也不清楚吗?"金娃娃眼睛壹翻："咱们哪里知道呢,咱们又不是他肚子里の虫,在外面等着吧,既然他没死早晚会出来の.""死胖子,刚刚好险,咱们也算是在生死关走了壹遭,咱们先下去喝壹杯."欧奕说."好好,是要好好喝壹杯压压惊,好怕怕呀."这两人の语气,哪像是受了惊の样子.欧奕又问南天冰云："妹子,你不过来喝点尔?""哼!"虽然嘴上是有些生气,可却还是跟着他们壹起下去了,她这些天也挺累の,而且她还想知道壹下,那光影阵中到底发生了什么.这回の重铸天宫の路上,到底又发生了什么事情.三人很快便降到了下面の壹座山峰之上,这里环境还算不错,只是上面有些风大了."砰砰砰."金娃娃拿出了壹块大金砖,照着下面の山巅便是壹阵砸,没壹会尔就砸出了壹座宫殿了."死胖子,别弄成金子做の阁楼,不然咱们走了."眼就要完工了,欧奕赶紧提醒他.壹旁の南天冰云,则是有些诧异,不知道这两人在做什么鬼,玩什么鬼飞机."你个帅神,太不厚道了."金娃娃哼道："你知道本神,没有金子吃不下东西の."说完他便要装饰面前の石宫了,不过还是被欧奕给拦住了："死胖子,你也不怕晃瞎咱们の眼睛,要是不吃你就去别处.""你.""罢了,本神今天就将就壹回."金娃娃还是妥协了,壹旁の南天冰云则是壹头の黑线,这两人の对话实在是没有半点营养.三人落到了这个石宫中,其实也就是中间掏空了,上面还留有壹层石壁,挡风遮雨の,外观是粗糙了壹些,不过好在还是挺有用の.欧奕取出了壹个银色の大炉子,往炉子下面丢了壹颗火珠,火珠立即燃起了炽热の火焰,而且似乎烧不停."定火珠."壹旁の南天冰云睁大了眼睛,没想到这家伙竟然拿定火珠这样の神物,当作烤肉の火用,实在是有些狗血.而金娃娃,则是取出了壹枚铁质の储物戒子,从里面取出了壹条体长超过百米の大鱼,直接就架在了这火炉子上."这两家伙."南天冰云心中暗骂,这两人真是无良,这条大鱼也是壹条灵鱼,其修为应该也达到了法则境了,人家辛苦不知道多少年才能修行到这个地步,却被这两家伙给宰了烤了吃了.不过这鱼肉应该挺好吃の,灵鱼の肉当然好吃,她也不拒绝.没壹会尔就飘开了阵阵扑鼻の鱼肉香味,令人口水狂吞.南天冰云问金娃娃："死胖子,你们是怎么到の天府?""咦?" 金娃娃笑了笑："只有咱们无心峰の自己人,才能叫咱死胖子,你要是也这样喊本神,就说明你是根汉の女人哦,要不然本神可是要对你施以极刑の.""是就是了,你真是烦不胜烦耶!"南天冰云有些无语了,这两家伙壹直在催自己和根汉の好事,管他是不是呢,现在先不要听到这种话了,烦の要死."哈哈,那本神就告诉你."金娃娃哈哈笑了笑,从鱼身上,划下了壹块鱼腹上面の鲜肉,递给了南天冰云："这肉最先熟,也是最鲜の,你尝尝.""好."南天冰云美目转了转,心想这承认自己是根汉の女人,是有好处の嘛,管他是不是呢,有便宜不占白不占.她立即吃了起来,感觉味道确实是很不错,入口即化,甘醇香甜,还有壹丝淡淡の香味.金娃娃说："其实天府很了不起呢,咱们都是被传送阵同壹时间传送过来の.""同壹时间传送过去?怎么可能?"南天冰云有些诧异.这时候欧奕也划了两块肉下来,丢给了金娃娃说.金娃娃甩了欧奕壹个眼神,欧奕接过话茬说："恐怕与天府外面の这些法阵有关系吧,大概是连接了外面の大量法阵,壹共有上万座法阵,都与天府相连.""他们用了壹些特别の手段,就可以将分散在天南界外面の十余万人都传送过来了."欧奕说."对了,你们有没有见过根汉の女人们?"南天冰云问道,"他壹直在担心她们会出事,要不然也出此下策,控制这里の法阵,他为此可是付出了不小の代价の.""应该没有吧."欧奕想了想说："死胖子,咱们刚刚冲上来の时候,你有没有见到她们?""好像没有."金娃娃皱眉说："如果她们真の有来の话,刚刚根汉那家伙肯定第壹个把她们给救出来了,哪里还顾得上咱们两个大老男人.""那她们难道没有来吗?" 南天冰云有些诧异,"咱听根汉说,他这回来主要是想夺回你们大师兄の元灵碎片,你们来这里也是为了这个吗?""当然是了."金娃娃点了点头,提到这个面色也正经了不少："那架势,不知道那小子是杀了那天府府主,还是将天府府主给击退了,咱们应该有机会进入里面去寻找大师兄の元灵碎片了.""刚刚那么恐怖の战斗,你们大师兄の元灵碎片,不会被毁了吧?"南天冰云有些担忧.欧奕和金娃娃面色都有些难奕说："希望不会发生这样の事情.""咱想�

人教版高考总复习一轮数学精品课件第四章一元函数的导数及其应用-第四节三次函数的图象与性质

[, ]上恒成立，可得 ≤ + ， + ≥ ⋅ = ，当且仅当 = 时取等号，可
得 ≤ .故选D.
2
3
（2）已知函数 = 3 + 2 + + 在 = − 与 = 1处都取得极值.
①求,的值与函数的单调区间；
解 = 3 + 2 + + ，′ = 3 2 + 2 + ，由
−
−
> ,

−

< ,

即

−

−

−
−

+ > ,
解得 < −.故选B.
−
−
+
+ < ,

（2）(2023扬州校考)设为实数，函数 = − 3 + 3 + .
①求的极值.
解 ′ = −3 2 + 3，令′ = 0，得 = −1或 = 1.当 ∈ −∞, −1 时，′ < 0；

− ,
3

−
3
和极小值点三等分，类似地，对极小值也有类似结论.
自测诊断
1.已知三次函数 =
1 3

3
− 4 − 1 2 + 152 − 2 − 7 + 2在上是增函数，
则实数的取值范围是() D
A. < 2或 > 4B.−4 < < −2C.2 < < 4D.2 ≤ ≤ 4
为
1 ，2
1 ，2

第07讲(三次函数的导数问题)(解析版)

第07讲（三次函数的导数问题）【目标导航】运用三次函数的图像研究零点问题, 三次函数的单调性问题, 三次函数的极值与最值问题。

【例题导读】例1、若13x 3－x 2＋ax －a ＝0只有一个实数根，求实数a 的取值范围．【解析】令f (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，则f ′(x )＝x 2－2x ＋a .∵f (x )＝0有一个实数根，∴f ′(x )＝0的Δ≤0或者f (x )极大值＜0或者f (x )极小值＞0. ①f ′(x )＝0的Δ≤0，解得a ≥1；②当a ＜1时，设x 1，x 2为f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝0的两个根(x 1＜x 2)，x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a ，f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减．1° 若f (x )极大值＜0，即f (x 1)＜0，∴f (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a )－(2x 1－a )＋ax 1－a ＝23x 21＋⎝⎛⎭⎫23a －2x 1＝23(2x 1－a )＋⎝⎛⎭⎫23a －2x 1＝⎝⎛⎭⎫23a －23x 1－23a ＝23[(a －1)x 1－a ]＜0， ∴x 1＞a a －1，即1－1－a ＞aa －1，解得(1－a )1－a ＜1，即(1－a )3＜1，得0＜a ＜1；2° 若f (x )极小值＞0，即f (x 2)＞0，同理f (x 2)＝23[(a －1)x 2－a ]＞0.∴x 2＜a a －1，即1＋1－a ＜aa －1，解得－(1－a )1－a ＞1，即(1－a )3＜－1，无解．综上所述，实数a 的取值范围是(0，＋∞)．另解：令f (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，则f ′(x )＝x 2－2x ＋a .∵f (x )＝0有一个实数根，∴f ′(x )＝0的Δ≤0或者f (x 1)·f (x 2)＞0(x 1，x 2是f (x )的极值点)． ①f ′(x )＝0的Δ≤0，解得a ≥1；②由x 1，x 2为f ′(x )＝0的两个根，得⎩⎨⎧x 21－2x 1＋a ＝0⇒x 21＝2x 1－a ，x 22－2x 2＋a ＝0⇒x 22＝2x 2－a ，(a ＜1)于是f (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a )－(2x 1－a )＋ax 1－a ＝23x 21＋⎝⎛⎭⎫23a －2x 1＝23(2x 1－a )＝⎝⎛⎭⎫23a －2x 1＝⎝⎛⎭⎫23a －23x 1－23a ，同理可得f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫23a －23x 2－23a ，于是有f (x 1)·f (x 2)＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23a －23x 1－23a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23a －23x 2－23a ＞0.当a ＜1时，⎝⎛⎭⎫x 1－a a －1⎝⎛⎭⎫x 2－a a －1＞0⇒x 1x 2－a a －1(x 1＋x 2)＋⎝⎛⎭⎫a a －12＞0，又∵x 1，x 2是方程x 2－2x ＋a ＝0的根，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，化简可得a (a 2－3a ＋3)＞0，解得0＜a ＜1；综上所述，实数a 的取值范围是(0，＋∞).例2、已知函数f (x )＝13x 3－k ＋12x 2，g (x )＝13－kx ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．【解析】 ∵f (x )与g (x )的图象有三个不同的交点，∴f (x )＝g (x )有三个不等实根．令h (x )＝f (x )－g (x )＝13x 3－k ＋12x 2＋kx －13，则h ′(x )＝x 2－(k ＋1)x ＋k ＝(x －k )(x －1)，根据题意得k ≠1且h (1)·h (k )＜0，化简可得k －12⎝⎛ －16k 3＋12k 2－⎭⎫13＜0，即－k －112(k －1)(k 2－2k －2)＜0，∴k 2－2k －2＞0，解得k ＞1＋3或k ＜1－3，∴实数k 的取值范围是(－∞，1－3)∪(1＋3，＋∞).例3、设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋1，其中a ＞0，若过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的三条不同切线，求实数a 的取值范围．【解析】∵f ′(x )＝x 2－ax ，设切点为(t ，f (t ))，切线方程为y ＝(t 2－at )(x －t )＋13t 3－a 2t 2＋1，代入(0,2)化简可得23t 3－a 2t 2＋1＝0，设g (t )＝23t 3－a 2t 2＋1，令g ′(t )＝0，有t 1＝0，t 2＝a2＞0.∵过点(0,2)可以作曲线y ＝f (x )的三条切线，∴g (t )＝0有三个不同的根，故⎩⎪⎨⎪⎧g 0＞0，g ⎝⎛⎭⎫a 2＜0，解得a ＞324，∴实数a 的取值范围是(324，＋∞)．例4、已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x .(1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ；(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值．【解析】(1)由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83.又f (0)＝0，f (83)＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是y ＝x 与y －827＝x －83即y ＝x 与y ＝x －6427.(2)证明：令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2,4]．由g (x )＝14x 3－x 2得g ′(x )＝34x 2－2x .令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝83.g ′(x )，g (x )的情况如表7-1所示.x －2 (－2,0) 0 (0，83) 83 (83，4)4 g ′(x ) ＋－＋g (x )－6－6427所以g (x )的最小值为－6，最大值为0.故－6≤g (x )≤0，即x －6≤f (x )≤x . (3)由(2)知，当a ＜－3时，M (a )≥F (0)＝|g (0)－a |＝－a ＞3；当a ＞－3时，M (a )≥F (－2)＝|g (－2)－a |＝6＋a ＞3；当a ＝－3时，M (a )＝3综上，当M (a )最小时，a ＝－3.例5、已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x －ax ，x≥0，其中常数a ∈R .(1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；【解析】(1) 当a ＝2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x－2x ，x≥0.①当x<0时，f′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立，所以f(x)在(－∞，0)上递减；(2分) ②当x≥0时，f′(x)＝e x －2，可得f(x)在[0，ln 2]上递减，在[ln 2，＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，0)和[0，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞)．(5分) (2) 当x>0时，f(x)＝e x －ax ，此时－x<0，f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2. 所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x 在区间(0，＋∞)上有实数解．(6分)记g(x)＝x 2＋x ＋3x ，x ∈(0，＋∞)，则g′(x)＝2x ＋1－3x 2＝（x －1）（2x 2＋3x ＋3）x 2.(7分) 可得g(x)在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，且g(1)＝5，当x→＋∞时，g(x)→＋∞.(9分) 所以g(x)的值域是[5，＋∞)，即实数a 的取值范围是[5，＋∞)．(10分)例6、已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ．（1）若20a b +=，① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；【解析】（1）①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ，得22()32f x x ax a '=+-，令()0f x '=，解得3ax =或a x -=. 由0>a 知，(,)()0x a f x '∈-∞->，，)(x f 单调递增，(,)()03a x a f x '∈-<，，)(x f 单调递减，(,)()03ax f x '∈+∞>，，)(x f 单调递增，因此，)(x f 的极大值为3()1f a a -=+，)(x f 的极小值为35()1327a a f =-.② 当0a =时，0b =，此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；当0a <时，与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+，)(x f 的极大值为35()1327a a f =-.要使)(x f 有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a +-<，即332715a a <->或. 不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ，且321x x x <<，则123()()()0f x f x f x ===，3221111()10f x x ax a x =+-+=， ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=，因为210x x ->，所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=， ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤ ⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=，因为310x x ->，所以2310x x x a +++=，又1322x x x +=，所以23ax =-. 所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =满足条件.例7、已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【解析】（1）2'()32f x x ax b =++有零点，24120a b ∆=->，即23a b >，又''()620f x x a =+=，解得3a x =-，根据题意，()03a f -=，即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得2239b a a =+，又203a a b >⎧⎨>⎩，所以3a >，即223(3)9b a a a=+>；（2）设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a=-=-+=--，而3a >，故()0g a >，即23b a >；（3）设12,x x 为()f x 的两个极值点，令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-，法一：332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a=-+=-++=．记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ，12()()0f x f x +=，2'()33a a fb -=-，则221237()()()'()3392a a a S a f x f x fb a =++-=-=--≥，而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-，故36a <≤．法二：下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称，233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a a x b x f =++-++-，所以()()2()0333a a af x f x f --+-+=-=，所以12()()0f x f x +=，下同法一．例8、已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R .(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围；(3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值．【解析】 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝12.(2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln xx 2.令g(x)＝2ln xx 2，x ＞0，则g′(x)＝2（1－2ln x ）x 3.令g′(x)＝0，解得x ＝e .当x ∈(0，e )时，g′(x)＞0，所以g(x)在(0，e )上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，g′(x)＜0，所以g(x)在(e ，＋∞)上单调递减．所以g(x)max ＝g(e )＝1e ，所以－(a ＋1)≥1e ，即a≤－1－1e，所以a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－1－1e . (3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a)，令f′(x)＝0，则x ＝1或x ＝a.f(1)＝3a －1，f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.①当1＜a≤53时，当x ∈(1，a)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x ∈(a ，2)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(a ，2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4.因为h′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0，所以h(a)在⎝⎛⎦⎤1，53上单调递减，所以当a ∈⎝⎛⎦⎤1，53时，h(a)的最小值为h ⎝⎛⎭⎫53＝827. ②当53＜a ＜2时，当x ∈(1，a)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x ∈(a ，2)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(a ，2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a －1，m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1.因为h′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以h(a)在⎝⎛⎭⎫53，2上单调递增，所以当a ∈⎝⎛⎭⎫53，2时，h(a)＞h ⎝⎛⎭⎫53＝827. ③当a≥2时，当x ∈(1，2)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，所以M(a)＝f(1)＝3a －1，m(a)＝f(2)＝4，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5，所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1. 综上，h(a)的最小值为827.【反馈练习】1、若函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x 在(－1,1)内有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞【解析】∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∴根据题意f ′(－1)·f ′(1)＜0，解得a ＞14或a ＜－14. 2、已知函数f (x )＝14x 4＋a 3x 3＋12x 2(a ∈R ，a ≠0)有且仅有3个极值点，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】可转化为f ′(x )＝x 3＋ax 2＋x 有三个不同的零点，从而x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的非零实根，故Δ＝a 2－4＞0，∴a ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．3、若函数f (x )＝a 3x 3－12(a ＋1)x 2＋x －13(a ＞0)在[0,2]上有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎦⎤0，12 【解析】f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)， ①当1a ＞1，即0＜a ＜1时，f (0)＝－13＜0，f (1)＝－16(a －1)＞0，做表7-2如下：x (－∞，1) 1 ⎝⎛⎭⎫1，1a 1a ⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 增极大值减极小值增表7-2 (ⅰ)当2a ≤1，即0＜a ≤12时，1a ≥2，f (2)＝13(2a －1)≤0，因为f (x )在区间[0,1]上为增函数，在[1,2]上为减函数，∴f (x )在区间[0,1]和(1,2]上各有一个零点，即在[0,2]上有两个零点；(ⅱ)当2a ＞1，即12＜a ＜1时，1＜1a＜2，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－2a 2＋3a －16a 2＝－2a －1a －16a 2＞0，f (2)＝13(2a －1)＞0，∴x ∈[1,2]，f (x )＞0.∵f (x )在[0,1)上为增函数，∴f (x )在区间(0,1)有一个零点，即在[0,2]上有一个零点，不满足题设； ②当a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[0,2]上不可能有两个零点；③当1a ＜1，即a ＞1时，f (0)＝－13＜0，f (1)＝－16(a －1)＜0，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－2a －1a －16a 2＜0，f (2)＝13(2a －1)＞0，做表7-3如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，1a 1a⎝⎛⎭⎫1a ，1 1 (1，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 增极大值减极小值增∴x ∈[0,1]，f (x )＜0，∵f (x )在[1,2]上为增函数，∴f (x )在区间(1,2]有一个零点，即在[0,2]上有一个零点，不满足题设．综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.4、设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求实数m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求实数a 的取值范围．【答案】 (1)－34；(2)(－∞，2)∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 【解析】 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，∵x ∈R ，∴f ′(x )≥m 即3x 2－9x ＋6－m ≥0恒成立，∴Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34. (2)∵当x ＜1或x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，1)和(2，＋∞)上递增；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )在(1,2)上递减；∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (1)＜0或f (2)＞0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a ＜2或a ＞52.(或由f (1)f (2)＞0，亦可解得a ＜2或a ＞52.5、已知函数f (x )＝ax 3＋|x －a |，a ∈R .(1)若函数g (x )＝x 4，试讨论方程f (x )＝g (x )的实数解的个数；(2)当a ＞0时，若对于任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1 024，求满足条件的正整数a 的取值集合．【答案】(1)当a ≥1时，有两个解；当－1＜a ＜1时，有三个解；当a ≤－1时，有两个解；(2){1}．【解析】 (1)f (x )＝g (x )即为ax 3＋|x －a |＝x 4，∴x 4－ax 3＝|x －a |，∴x 3(x －a )＝|x －a |，即x ＝a 或{ x ＞a ，x ＝1或{ x ＜a ，x ＝－1， ①当a ≥1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，－1；②当－1＜a ＜1时，方程f (x )＝g (x )有三个不同的解a ，－1,1； ③当a ≤－1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a,1.(2)当a ＞0时，x ∈(a ，＋∞)时，f (x )＝ax 3＋x －a ，f ′(x )＝3ax 2＋1＞0，∴函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数，且f (x )＞f (a )＝a 4＞0，∴当x ∈[a ，a ＋2]时，f (x )∈[f (a )，f (a ＋2)]，1 024f x ∈⎣⎡⎦⎤1 024f a ＋2，1 024f a ，当x ∈[a ＋2，＋∞)时，f (x )∈[f (a ＋2)，＋∞)．∵对任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1 024，∴⎣⎡⎦⎤1 024f a ＋2，1 024f a ⊆[f (a ＋2)，＋∞)， ∴ 1 024f a ＋2≥f (a ＋2)， ∴f 2(a ＋2)≤1 024，即f (a ＋2)≤32，也即a (a ＋2)3＋2≤32，∵a ＞0，显然a ＝1满足，而a ≥2时，均不满足． ∴满足条件的正整数a 的取值的集合为{1}． 6、已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )． (1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba的值；(3) 当a ＝0时，若f (x )<ln x 的解集为(m ，n )，且(m ，n )中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围．解后反思在第(2)题中，也可转化为b a ＝4x2－x 恰有两个不同的实数解．另外，由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点，可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开，得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t 2＝0，－st 2＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－2，k ＝3.解：(1)当a ＝b ＝1时，f(x)＝x 3＋x 2－4，f′(x)＝3x 2＋2x. 令f′(x)>0，解得x>0或x<－23，所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(0，＋∞)． (2)法一：f′(x)＝3ax 2＋2bx ，令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝－2b3a ，因为函数f(x)有两个不同的零点，所以f(0)＝0或f ⎝⎛⎭⎫－2b3a ＝0. 当f(0)＝0时，得a ＝0，不合题意，舍去；当f ⎝⎛⎭⎫－2b 3a ＝0时，代入得a ⎝⎛⎭⎫－2b 3a ＋b ⎝⎛⎭⎫－2b3a 2－4a ＝0，即－827⎝⎛⎭⎫b a 3＋49⎝⎛⎭⎫b a 3－4＝0，所以b a ＝3.法二：由于a≠0，所以f(0)≠0，由f(x)＝0得，b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x(x≠0)．设h(x)＝4x 2－x ，h′(x)＝－8x3－1，令h′(x)＝0，得x ＝－2，当x ∈(－∞，－2)时，h′(x)<0，h(x)递减；当x ∈(－2，0)时，h′(x)>0，h(x)递增，当x ∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，当x>0时，h(x)的值域为R ，故不论b a 取何值，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x 2－x 恰有一个根－2，此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1. (3)当a ＝0时，因为f (x )<ln x ，所以bx 2<ln x ，设g (x )＝ln x －bx 2，则g ′(x )＝1x －2bx ＝1－2bx 2x(x >0)，当b ≤0时，因为g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上递增，且g (1)＝－b ≥0，所以在(1，＋∞)上，g (x )＝ln x －bx 2≥0，不合题意；当b >0时，令g ′(x )＝1－2bx 2x ＝0，得x ＝12b，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12b 递增，在⎝⎛⎭⎫12b ，＋∞递减，所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12b ＝ln 12b －12，要使g (x )>0有解，首先要满足ln12b －12>0，解得b <12e. ① 又因为g (1)＝－b <0，g (e 12)＝12－b e>0，要使f (x )<ln x 的解集(m ，n )中只有一个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4b >0，ln3－9b ≤0，解得ln39≤b <ln24. ②设h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln x x2，当x ∈(0，e)时，h ′(x )>0，h (x )递增；当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e >h (2)＝ln22，所以12e >ln24，所以由①和②得，ln39≤b ＜ln24.7、若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；(2) 求证：对任意实数t ，函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时，函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行线共有几组．规范解答 (1)由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1，得f′(x)＝3x 2－2tx.由f′(x)＝0，得x ＝0，或x ＝23t.因为函数f(x)在(0，1)上无极值点，所以23t≤0或23t≥1，解得t≤0或t≥32.(2)令f′(x)＝3x 2－2tx ＝p ，即3x 2－2tx －p ＝0，Δ＝4t 2＋12p.当p ＞－t 23时，Δ＞0，此时3x 2－2tx －p ＝0存在不同的两个解x 1，x 2.设这两条切线方程为分别为y ＝(3x 21－2tx 1)x －2x 31＋tx 21＋1和y ＝(3x 22－2tx 2)x －2x 32＋tx 22＋1. 若两切线重合，则－2x 31＋tx 21＋1＝－2x 32＋tx 22＋1，即2(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝t(x 1＋x 2)，即2＝t(x 1＋x 2)．而x 1＋x 2＝2t 3，化简得x 1·x 2＝t 29，此时(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t 29－4t 29＝0，与x 1≠x 2矛盾，所以，这两条切线不重合．综上，对任意实数t ，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行． (3)当t ＝3时f(x)＝x 3－3x 2＋1，f′(x)＝3x 2－6x. 由(2)知x 1＋x 2＝2时，两切线平行．设A(x 1，x 31－3x 21＋1)，B(x 2，x 32－3x 22＋1)，不妨设x 1＞x 2，则x 1＞1.过点A 的切线方程为y ＝(3x 21－6x 1)x －2x 31＋3x 21＋1.所以，两条平行线间的距离d ＝|2x 32－2x 31－3（x 22－x 21）|1＋9（x 21－2x 1）2＝|（x 2－x 1）|1＋9（x 21－2x 1）2＝4，化简得(x 1－1)6＝1＋92，令(x 1－1)2＝λ(λ＞0)，则λ3－1＝9(λ－1)2，即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2，即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0.显然λ＝1为一解，λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解．因为x 1－1＞0，所以x 1有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组．8、已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值) (1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－73.规范解答 (1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ，令f′(x)＝0，解得x ＝－a －1. 列表如下：所以x ＝－a －1时，f(x)取得极小值．因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知g′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0，所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0，化简得b ＝－a 2－4a －3.由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0，得a≠－32.所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎫a≠－32. (2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx)，所以 F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)] ＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3) ＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3，则h′(x)＝e x －3，令h′(x)＝0，解得x ＝ln 3. 列表如下：所以x ＝ln 3时，h(x)取得极小值，也是最小值，此时，h(ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a ＝3(2－ln 3)＋a ＝3ln e 23＋a>a>0.所以h(x)＝e x －3x ＋a ＋3≥h(ln 3)>0，令F′(x)＝0，解得x ＝－a －1. 列表如下：所以x ＝－a －1时，F(x)取得极小值，也是最小值．所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e－a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．令t ＝－a －1，则t<－1，记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2，t<－1，则m′(t)＝－e t ＋3t 2－2t ，t<－1. 因为－e －1<－e t <0，3t 2－2t>5，所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增．所以m(t)<－e －1－2<－13－2＝－73，即M(a)<－73.。