高中绝对值不等式-(精华版)-适合高三复习用--可直接打印

高中绝对值不等式-(精华版)-适合高三复

习用--可直接打印 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

绝对值不等式

绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+

基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5

即函数的最小值是-5，最大值是5

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5

［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－

x ；(2)|2x －2x －6|<3x

［思路］利用｜f(x)｜g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：(1)原不等式等价于

x +1>2－x 或x +1<－(2－x )

解得x >

12

或无解，所以原不等式的解集是{

x

|x >12

}

(2)原不等式等价于－3

x <2x －2x －6<3x

即

222

226360

(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩

或 2<

x <6

所以原不等式的解集是{

x |2

1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234

x x -≤1

解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2-3x-4 ①

或x-x 2-2<-(x 2

-3x-4) ② 解①得：1-2-3

故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝

分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜

而x 2

-x+2＝(x-1

4

)2

+

74

>0

所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3

∴ 原不等式解集为｛x>-3｝

（2）分析 不等式可转化为-1≤234

x

x -≤1求解，但过程较繁，由于不

等式

234

x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解.

原不等式等价于2

234

x x -≤1

⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0 ⇒x 2≤1或x 2≥16

⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4

注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.

第2变 含两个绝对值的不等式

［变题2］解不等式（1）|

x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.

［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。

［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有：

|

x －1|2<|x +a |2

即有

2

x－2x+1<2x+2ax+2a，整理得(2a+2)x>1－2a

当2a+2>0即a>－1时，不等式的解为x>

1

2(1－

a)；

当2a+2=0即a=－1时，不等式无解；

当2a+2<0即a<－1时，不等式的解为x<1(1)

2

a

-

（2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5.

解：当x≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5⇒-2x>6⇒x<-3. 当-35⇒5>5无解.

当x≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5⇒2x>4⇒x>2.

综合得：原不等式解集为｛x｜x>2或x<-3｝.

［请你试试4—2］

1 解关于x的不等式|log(1)||log(1)|

a a

x x

->+(a>0且a≠1)

解析：易知－1

lg(1)lg(1)

||||

lg lg

x x

a a

-+

>

∴

22 |lg(1)||lg(1)|

x x

->+

于是

22

lg(1)lg(1)0

x x

--+>

∴

[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0 x x x x

-++--+>

∴

2

1

lg(1)lg0

1

x

x

x

-

->

+

∵－1<

x<1

∴0<1－

2

x<1

∴

lg(1－2x)<0