现代数学思想发展

重庆三峡学院现代数学进展课程论文

现代数学思想发展

院系数学与统计学院

专业数学与应用数学（师范）

姓名李春花

年级 2012级

学号 201206034123

指导教师刘学飞

2015年5月

现代数学思想发展

李春花

（重庆三峡学院数学与统计学院12级数本1班）

摘要：现代数学与计算机相结合而产生的威力无穷的“数学技术”，渗透到了与人类生存息息相关的各个领域. 数学的固有特点（抽象性、精确可靠性、广泛应用性等）相互间是彼此联系. 数学的涵义从数学的研究对象、数学的内容两方面谈.

关键词：“现代”的理解；现代数学的特点；“数学”的涵义；现代数学思想的意义

引言

数学在19世纪已经发展成独立的学科.到了19世纪下半叶，随着不断从实际中获取营养以及自身的蓬勃发展，数学本身积累了大量丰富的资料（成果、方法和理论等），在繁荣的同时，也留下了众多没有解决的难题.在这种变革与积累的基础上，20世纪以来的数学呈现出指数式的飞速发展.随着经典数学的繁荣和统一、许多新的应用数学方法的产生，特别是计算机的出现及其与数学的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面都得到了空前的拓展.其中所谓的数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的.

1 对现代数学思想中"现代"的理解

纵观数学的历史发展，可以清楚地划分为初等数学，高等数学，现代数学三个阶段.从古代到17世纪初为初等数学阶段；从17世纪初到19世纪末为高等数学阶段，从19世纪末开始，数学进入了现代数学阶段.按着数学的研究对象即"数"与"形"来说，在三个阶段中层次是不一样的.在初等数学阶段，"数"是常量，"形"是孤立、简单的几何形体.初等数学分别研究常量间的代数运算和几何形体内部以及相互间的对应关系，形成了代数和几何两大领域.高等数学阶段以笛卡尔建立解析几何为起点，17世纪80年代微分学的建立是这一阶段的最显赫的成就和标志.在高等数学阶段，数是变量，形是曲线和曲面，高等数学研究它们之间各种函数和变换关系.这就是数与形紧密联系起来，但大体上还是各成系统的.由于以微积分为源头的分析数学的兴起和发展，数学形成为代数、几何和分析三大领域. 现代数学阶段以康托尔建立集合论为起点.正如数学家陈省身所说："康托尔建立集合论独具新意，高瞻远瞩，为数学立了就厘时微."20世纪以后，用公里化体系和结构观点来统观数学，成为现代数学阶段的明显标志.现代数学阶段研究的对象“数”为集合，"形"为各种空间和流形，它们都能用集合和映射的概念统一起来，数与形的界限已难以划分了.

现在数学得到了空前的应用，具有了“技术”的品质.今日的数学，已不甘于站在后台，而是大步地从科学技术的幕后直接走到了前台.现代数学不单只是通过别的科学间接地起作用了，它已经直接进入科技的前沿，直接参与创造生产价值——数学已经走到前线了.现代

数学与计算机相结合而产生的威力无穷的“数学技术”，渗透到了与人类生存息息相关的各个领域，成为一个国家综合国力的重要组成部分.国家的繁荣昌盛，关键在于高新科技的发达和经济管理的高效率，而高新科技的基础是应用科学，应用科学的基础则是数学，数学对国家的建设和发展具有巨大的作用.对此，我国著名数学家王梓坤院士指出：“由于计算机的出现，今日数学已不仅是一门科学，还是一种普适性的技术，从航天到家庭，从宇宙到原子，从大型工程到工商管理，无一不受惠于数学技术.因而今日的数学兼有科学与技术两种品质，这是其他学科所少有的.”

2 现代数学的特点

现代数学作为数学发展的新阶段，它必然在数学的固有特点（抽象性、精确可靠性、广泛应用性等）方面有所发展，这些特点相互间又是彼此联系的.

1.高度的抽象和统一

抽象性是数学这门科学的一个最基本、最显著的特点.而现代数学更加充分、加积极主动的发挥着这一特点.现代数学的研究对象、研究内容和研究方法，都呈现出高度的抽象和统一.所谓抽象和统一，就是把不同对象中共同的、本质的东西抽象出来，作为高一层次的对象加以研究，从而把原来许多不同的对象统一起来，求得共同的本质的规律.一个最简单的例子就是各种算术应用问题可以用代数统一起来，掌握算术的最好的方法就是学会代数.抽象和统一是一个完整概念的两个方面.为了统一必须抽象，有了抽象就能统一，并且还扩大了范围.集合概念是对数学所研究的各种对象的抽象概括.把一般的集合作为现代数学的研究对象，这就能把数学的个不同领域统一起来，并极大地扩大了数学的范围.

2.注重公理化体系的建立和结构的分析

希腊数学家欧几里德在其《几何原本》中首创的公理化方法为数学家和物理学家树了如何建立科学理论体系的光辉典范.所谓公理化方法，就是以尽可能少的原始概念和不加证明的公理作为基础，用逻辑推理来建立演绎的科学理论.公理化方法，不仅能系统地总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，并能促进新数学理论的建立和发展.一个突出的例子就是在欧氏几何的公理系统中，只要换一条平行公理，就导致肺欧几何的建立.非欧几何的发现是数学史上一个重要的里程碑，而欧氏几何与非欧几何的天壤之别，根源仅仅在于一条平行公理的不同，这就充分显示出公理化方法的威力.形成于20世纪30年代的法国数学家团体——布尔巴基学派，以康托尔的几何论为出发点，系统地运用Hilbert 的公理化思想方法，提出用结构的观点统观数学.他们用全局观点分析和比较了各个数学分支的公理体系结构，并按照结构的不同和内在联系对数学加以分类和重建，力图将整个数学大厦组建成一个渊源统一、脉络清晰、枝繁叶茂、井然有序的理论体系.他们认为，“数学.至少纯数学是研究抽象结构的理论.”这一观点对现代数学的发展有着深刻的影响.

3.注意不同数学学科的结合、不断开拓新领域

现代数学的一个显著特征就是其不同分支间的相互渗透和联系.其结果有的使原来的学科面貌完全改观，有的相互结合发展成新的数学分支.前者典型的例子是微分几何、微分方程、概率论等，这些学科的名称前都可以分别加上“古典”或“现代”二字，以区别这些学科从研究对象到研究方法都发生了巨大变化.者的例子有代数几何，代数拓扑、微分拓扑、积分几何等，从这些学科的名称可以知道它们是由哪些学科相结合的产物.数学中不同分支和不同领域的相互结合和渗透，使得现代数学完全改变了经典数学中代数、几何、分析三足鼎立的局面.本来三者各自形成独立的体系，个有其独特的研究方法.代数方法注重公理体系结构，几何方法富有几何的直观，分析方法则以精细的分析见长.现代数学则把这三者结合起来，综合运用代数、几何和分析的研究方法.“泛函分析”作为现代数学的基础之一和主