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E(G){e1,e2,…,ei }中选取ei+1： (a) ei+1与vi 相关联； (b) 除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为
Gi = G{e1,e2,…,ei }中的桥. (3) 当 (2)不能再进行时，算法停止.
可以证明算法停止时所得简单通路 Pm = v0e1v1e2…emvm (vm=v0)为G 中一条欧拉回路. 用Fleury算法走出上一页图(1),(2)从A出发（其实从任何一点
(1)
(2) 18
哈密顿图与半哈密顿图
定义15.2 (1) 哈密顿通路——经过图中所有顶点一次仅一次的通路. (2) 哈密顿回路——经过图中所有顶点一次仅一次的回路. (3) 哈密顿图——具有哈密顿回路的图. (4) 半哈密顿图——具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图. 几点说明： 平凡图是哈密顿图. 哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路. 环与平行边不影响哈密顿性. 哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上.
(1) 完全图Kn（n3）是欧拉图. (2) n （n2）阶有向完全图是欧拉图.
(3) 当r,s为正偶数时，完全二部图Kr,s是欧拉图.
10
有向欧拉图举例
V2
V2
V1
V2
V3
V1
V3 V1
V3
V8
V4
Biblioteka Baidu
V4
V4
V7
V6
V5
(a)
(b)
(c)
图(a)存在一条的欧拉通路：v3v1v2v3v4v1； 图(b)中存在欧拉回路v1v2v3v4v1v3v1； 图(c)中有欧拉回路v1v2v3v4v5v6v7v8v2v4v6v8v1。
几点说明： 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是生成的简单通路，欧拉回路是生成的简单回路. 环不影响图的欧拉性.
3
实例
图a和图d是欧拉图；图b和图e不是欧拉图，但存在欧拉 通路；图c和图f不存在欧拉通路。
4
无向欧拉图的判别法
定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶点. 证 若G 为平凡图无问题. 下设G为 n 阶 m 条边的无向图. 必要性 设C 为G 中一条欧拉回路. (1) G 连通显然. (2) viV(G)，vi在C上每出现一次获2度，所以vi为偶度顶点.
Ａ
规则如下：
（1）选择起点A或B，终点是C
Ｂ
Ｃ
（2）至少经过图中的每条边一次
问：如果他们的速度相同,哪只蜗牛获胜？
答：赢在起跑点B上。
17
15.2 哈密顿图
历史背景：哈密顿周游世界问题与哈密顿图 它是1859年哈密顿首先提出的一个关于12面体的数学游戏：能否 在 图（2）中找到一个回路，使它含有图中所有结点一次且仅一次？ 若把每个结点看成一座城市，连接两个结点的边看成交通线，那么 这个问题就变成能否找到一条旅行路线，使得沿着该旅行路线经过 每座城市恰好一次，再回到原来的出发地呢？为此，这个问题也被 称为周游世界问题。
出发都可以）的欧拉回路各一条.
15
实例
在右图所示的欧拉图 中，求从v1出发的欧拉回 路。
如果P4＝v1e1v2e2v3e3v4e7v7，再往下走（注意别走桥）， 就可以走出欧拉回路： P＝v1e1v2e2v3e3v4e7v7e6v6e5v5e4v4e8v2e9v7e10v1
16
游戏
题目：两只蜗牛赛跑，跑道如右图，比赛
离散数学
15.1 欧拉图
历史背景：哥尼斯堡七桥问题与欧拉图
2
欧拉图定义
定义15.1 (1) 欧拉通路——经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶
点的通路. (2) 欧拉回路——经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶
点的回路. (3) 欧拉图——具有欧拉回路的图. (4) 半欧拉图——具有欧拉通路而无欧拉回路的图.
G =G(u,v) 则G 连通且无奇度顶点，由定理15.1知G 为欧拉图，因而 存在欧拉回路C，令
=C(u,v) 则 为 G 中欧拉通路.
7
有向欧拉图的判别法
定理15.3 有向图D是欧拉图当且仅当每个顶点的入度都等于 出度.
显然，欧拉图D是强连通的. 定理15.4 有向图D是半欧拉图当且仅当，D中恰有两个奇度
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
见如下示意图：
PLAY
6
半欧拉图的判别法
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G 连通且恰有两个奇 度顶点. 证 必要性略. 充分性（利用定理15.1） 设u,v为G 中的两个奇度顶点，令
顶点，且其中一个奇度顶点的入度比出度大1，另一个奇 度顶点的出度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度. 显然，半欧拉图D是单向连通的. 定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干 个边不重的圈之并. 说明：该定理提供了构造欧拉回路的方法即逐步插入回路法。
8
构造欧拉回路
1
2 5
6
1
12
一笔画问题
13
一笔画问题
1
11
10
12 2
9
2
8
5
6
3
4
7
4
(a)
对于上图，有 图(a)能一笔画并且能回到出发点的， 图(b)能一笔画但不能回到出发点的。
1 3
5
(b)
14
Fleury算法
算法：
(1) 任取v0V(G)，令P0=v0. (2) 设Pi = v0e1v1e2…eivi 已经行遍，按下面方法从
11
例题
例1设G为n（n2）阶无向欧拉图，证明 (G)2.（G中无桥)
方法一：直接证明法. 命题 (*)：设C为任意简单回路，e为C上任意一条边，则Ce 连通. 证 设C为G中一条欧拉回路，任意的eE(C)，可知Ce是Ge 的子图，由()知 Ce 连通，所以e不为桥.
方法二：反证法. 利用欧拉图无奇度顶点及握手定理的推论. 否则，设e=(u,v)为G中桥，则Ge产生两个连通分支G1, G2， 不妨设u在G1中，v在G2中. 由于从G中删除e时，只改变u,v 的度数(各减1)，因而G1与G2中均只含一个奇度顶点，这与 握手定理推论矛盾.
3
2
C1=(1,2,3,1)
3
C2=(3,4,5,3)
4
5
4 C3=(4,6,5,2,4)
6
C=(1,2,3,4,6,5,2,4,5,3,1)
9
七桥问题有解吗？
七桥图中四个顶点都是奇度顶点。根据欧拉图的判定定理 易知，该图中无欧拉回路，所以七桥问题是无解的。
请问：至少要架几座桥使得七桥问题有解？
练习：判断下列命题的真假
Gi = G{e1,e2,…,ei }中的桥. (3) 当 (2)不能再进行时，算法停止.
可以证明算法停止时所得简单通路 Pm = v0e1v1e2…emvm (vm=v0)为G 中一条欧拉回路. 用Fleury算法走出上一页图(1),(2)从A出发（其实从任何一点
(1)
(2) 18
哈密顿图与半哈密顿图
定义15.2 (1) 哈密顿通路——经过图中所有顶点一次仅一次的通路. (2) 哈密顿回路——经过图中所有顶点一次仅一次的回路. (3) 哈密顿图——具有哈密顿回路的图. (4) 半哈密顿图——具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图. 几点说明： 平凡图是哈密顿图. 哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路. 环与平行边不影响哈密顿性. 哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上.
(1) 完全图Kn（n3）是欧拉图. (2) n （n2）阶有向完全图是欧拉图.
(3) 当r,s为正偶数时，完全二部图Kr,s是欧拉图.
10
有向欧拉图举例
V2
V2
V1
V2
V3
V1
V3 V1
V3
V8
V4
Biblioteka Baidu
V4
V4
V7
V6
V5
(a)
(b)
(c)
图(a)存在一条的欧拉通路：v3v1v2v3v4v1； 图(b)中存在欧拉回路v1v2v3v4v1v3v1； 图(c)中有欧拉回路v1v2v3v4v5v6v7v8v2v4v6v8v1。
几点说明： 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是生成的简单通路，欧拉回路是生成的简单回路. 环不影响图的欧拉性.
3
实例
图a和图d是欧拉图；图b和图e不是欧拉图，但存在欧拉 通路；图c和图f不存在欧拉通路。
4
无向欧拉图的判别法
定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶点. 证 若G 为平凡图无问题. 下设G为 n 阶 m 条边的无向图. 必要性 设C 为G 中一条欧拉回路. (1) G 连通显然. (2) viV(G)，vi在C上每出现一次获2度，所以vi为偶度顶点.
Ａ
规则如下：
（1）选择起点A或B，终点是C
Ｂ
Ｃ
（2）至少经过图中的每条边一次
问：如果他们的速度相同,哪只蜗牛获胜？
答：赢在起跑点B上。
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15.2 哈密顿图
历史背景：哈密顿周游世界问题与哈密顿图 它是1859年哈密顿首先提出的一个关于12面体的数学游戏：能否 在 图（2）中找到一个回路，使它含有图中所有结点一次且仅一次？ 若把每个结点看成一座城市，连接两个结点的边看成交通线，那么 这个问题就变成能否找到一条旅行路线，使得沿着该旅行路线经过 每座城市恰好一次，再回到原来的出发地呢？为此，这个问题也被 称为周游世界问题。
出发都可以）的欧拉回路各一条.
15
实例
在右图所示的欧拉图 中，求从v1出发的欧拉回 路。
如果P4＝v1e1v2e2v3e3v4e7v7，再往下走（注意别走桥）， 就可以走出欧拉回路： P＝v1e1v2e2v3e3v4e7v7e6v6e5v5e4v4e8v2e9v7e10v1
16
游戏
题目：两只蜗牛赛跑，跑道如右图，比赛
离散数学
15.1 欧拉图
历史背景：哥尼斯堡七桥问题与欧拉图
2
欧拉图定义
定义15.1 (1) 欧拉通路——经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶
点的通路. (2) 欧拉回路——经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶
点的回路. (3) 欧拉图——具有欧拉回路的图. (4) 半欧拉图——具有欧拉通路而无欧拉回路的图.
G =G(u,v) 则G 连通且无奇度顶点，由定理15.1知G 为欧拉图，因而 存在欧拉回路C，令
=C(u,v) 则 为 G 中欧拉通路.
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有向欧拉图的判别法
定理15.3 有向图D是欧拉图当且仅当每个顶点的入度都等于 出度.
显然，欧拉图D是强连通的. 定理15.4 有向图D是半欧拉图当且仅当，D中恰有两个奇度
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
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见如下示意图：
PLAY
6
半欧拉图的判别法
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G 连通且恰有两个奇 度顶点. 证 必要性略. 充分性（利用定理15.1） 设u,v为G 中的两个奇度顶点，令
顶点，且其中一个奇度顶点的入度比出度大1，另一个奇 度顶点的出度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度. 显然，半欧拉图D是单向连通的. 定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干 个边不重的圈之并. 说明：该定理提供了构造欧拉回路的方法即逐步插入回路法。
8
构造欧拉回路
1
2 5
6
1
12
一笔画问题
13
一笔画问题
1
11
10
12 2
9
2
8
5
6
3
4
7
4
(a)
对于上图，有 图(a)能一笔画并且能回到出发点的， 图(b)能一笔画但不能回到出发点的。
1 3
5
(b)
14
Fleury算法
算法：
(1) 任取v0V(G)，令P0=v0. (2) 设Pi = v0e1v1e2…eivi 已经行遍，按下面方法从
11
例题
例1设G为n（n2）阶无向欧拉图，证明 (G)2.（G中无桥)
方法一：直接证明法. 命题 (*)：设C为任意简单回路，e为C上任意一条边，则Ce 连通. 证 设C为G中一条欧拉回路，任意的eE(C)，可知Ce是Ge 的子图，由()知 Ce 连通，所以e不为桥.
方法二：反证法. 利用欧拉图无奇度顶点及握手定理的推论. 否则，设e=(u,v)为G中桥，则Ge产生两个连通分支G1, G2， 不妨设u在G1中，v在G2中. 由于从G中删除e时，只改变u,v 的度数(各减1)，因而G1与G2中均只含一个奇度顶点，这与 握手定理推论矛盾.
3
2
C1=(1,2,3,1)
3
C2=(3,4,5,3)
4
5
4 C3=(4,6,5,2,4)
6
C=(1,2,3,4,6,5,2,4,5,3,1)
9
七桥问题有解吗？
七桥图中四个顶点都是奇度顶点。根据欧拉图的判定定理 易知，该图中无欧拉回路，所以七桥问题是无解的。
请问：至少要架几座桥使得七桥问题有解？
练习：判断下列命题的真假