聊城市中考数学专题复习讲义 动手操作
山东省聊城市中考数学专题复习讲义 折叠
一、选择题1．用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根数的火柴棒不能围成梯形的是(▲) ． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】B 二、填空题1．做如下操作：在等腰三角形ABC 中,AB= AC,AD 平分∠BAC, 交BC 于点D.将△ABD 作关于直线AD 的轴对称变换,所得的 像与△ACD 重合.对于下列结论:①在同一个三角形中,等角对等边;②在同一个三角形中,等边对等角;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和高互相重合.由上述操作可得出的是 (将正确结论的序号都填上).【答案】②③2．将一块正五边形纸片（图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形ABCD ，则BAD 的大小是_______度.【答案】72三、解答题 1．（本小题满分10分）小沈准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x 、y 表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小沈记得这11个数字之和是20的整数倍． （1）求x+y 的值；（2）求小沈一次拨对小陈手机号码的概率．BC AD①②第16题图C第15题图【答案】（1）因为1393705803620x y x y n ++++++++++=++=（n 为正整数）双因为0909,x y ≤≤，≤≤所以0,x y +≤≤18所以3636,x y ++≤≤54即3620,n ≤≤54所以，2n =，所以4x y += （2）因为4x y +=，且0909,x y ≤≤，≤≤所以有0,4;1,3;2,2;3,1;4,0x y x y x y x y x y ==========①②③④⑤，这5种情况，因此，一次拨对小陈手机号的概率为0.2 2．问题再现 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究. 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O 周围围绕着4个正方形的内角.试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个 正六边形的内角． 问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程： ()82180903608x y -⨯+=，整理得：238x y +=，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为12x y =⎧⎨=⎩ ．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 验证2：结论2： ． 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．O问题拓广请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3： . 验证3：结论3： .【答案】解：3个； 1分验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a 个正三角形和b 个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：60120360a b +=．整理得：26a b +=，可以找到两组适合方程的正整数解为22a b =⎧⎨=⎩和41a b =⎧⎨=⎩． 3分结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时 用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 5分猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？ 6分验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m 个正三角形、n 个正方形和c 个正六边形的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程： 6090120360m n c ++=，整理得：23412m n c ++=，可以找到惟一一组适合方程的正整数解为121m n c =⎧⎪=⎨⎪=⎩. 8分结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正 六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边 形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌.（说明：本题答案不惟一，符合要求即可.） 10分 3． 如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．A 1 C A﹙1﹚将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B 重合，点B1在AC 边的延长线上，连接CC1交BB1于点E ．求证：∠B1C1C＝∠B1BC．﹙2﹚若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B 重合，点A1在AC 边的延长线上，连接CC1交A1B 于点F ．试判断∠A1C1C 与∠A1BC 是否相等，并说明理由．﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC 相似的三角形 ．【答案】（1）证明：由题意，知△ABC ≌△A1B1C1， ∴ AB= A1B1，BC1=AC ，∠2=∠7，∠A=∠1．∴ ∠3=∠A=∠1． ……………………………………………………………………1分 ∴ BC1∥AC ．∴ 四边形ABC1C 是平行四边形． ………………2分∴ AB ∥CC1．∴ ∠4=∠7=∠2． …………………………………3分 ∵ ∠5=∠6，∴ ∠B1C1C ＝∠B1BC ．……………………………4分 ﹙2﹚∠A1C1C =∠A1BC ． …………………………5分 理由如下：由题意，知△ABC ≌△A1B1C1， ∴ AB= A1B1，BC1=BC ，∠1=∠8，∠A=∠2．∴ ∠3=∠A ，∠4=∠7． ………………………6分AB (A 1) CB 1C 1图 ②E 1 43 2 5 67 A 1C 1 CAB (B 1)图 ③ F 364 5 1 2 7 8AB (A 1)C B 1 C 1 图 ②E A 1C 1CB (B 1)图 ③F∵ ∠1＋∠FBC=∠8＋∠FBC ，∴ ∠C1BC ＝∠A1BA ． …………………………7分∵ ∠4=21(180°－∠C1BC)，∠A=21(180°－∠A1BA)．∴ ∠4=∠A ． …………………………………8分 ∴ ∠4=∠2． ∵ ∠5=∠6，∴ ∠A1C1C=∠A1BC ．……………………………………………………………………9分 ﹙3﹚△C1FB ，…………10分； △A1C1B ，△ACB ．…………11分﹙写对一个不得分﹚ 4．（1）探究新知：①如图，已知AD∥BC，AD ＝BC ，点M ，N 是直线CD 上任意两点． 求证：△ABM 与△ABN 的面积相等．②如图，已知AD∥BE，AD ＝BE ，AB∥CD∥EF，点M 是直线CD 上任一点，点G 是直线EF 上任一点．试判断△ABM 与△ABG 的面积是否相等，并说明理由．（2）结论应用：如图③，抛物线c bx ax y ++=2的顶点为C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点D ．试探究在抛物线c bx ax y ++=2上是否存在除点C 以外的点E ，使得△ADE 与△ACD 的面积相等？ 若存在，请求出此时点E 的坐标，若不存在，请说明理由．﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚图 ③A BD C M N 图 ① C 图 ② A B D M FE G【答案】﹙1﹚①证明：分别过点M ，N 作 ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为点E ，F ．∵ AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴ 四边形ABCD 为平行四边形． ∴ AB ∥CD ． ∴ ME= NF ．∵S △ABM ＝ME AB ⋅21，S △ABN ＝NF AB ⋅21，∴ S △ABM ＝ S △ABN ． ……………………………………………………………………1分②相等．理由如下：分别过点D ，E 作DH ⊥AB ，EK ⊥AB ，垂足分别为H ，K ．则∠DHA=∠EKB=90°．∵ AD ∥BE ，∴ ∠DAH=∠EBK ． ∵ AD ＝BE ，∴ △DAH ≌△EBK ．∴ DH=EK ． ……………………………2分 ∵ CD ∥AB ∥EF ，∴S △ABM ＝DH AB ⋅21，S △ABG ＝EK AB ⋅21，∴ S △ABM ＝ S △ABG. (3)分﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4分解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为4)1(2+-=x a y .ABDCMN图 ①EF HC图 ②ABDMFEGK备用图又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得()41302+-=a ，解得1-=a .∴ 该抛物线的表达式为4)1(2+--=x y ，即322++-=x x y ． ………………………5分 ∴ D 点坐标为（0，3）．设直线AD 的表达式为3+=kx y ，代入点A 的坐标，得330+=k ，解得1-=k . ∴ 直线AD 的表达式为3+-=x y ．过C 点作CG ⊥x 轴，垂足为G ，交AD 于点H ．则H 点的纵坐标为231=+-． ∴ CH ＝CG －HG ＝4－2＝2． …………………………………………………………6分设点E 的横坐标为m ，则点E 的纵坐标为322++-m m ．过E 点作EF ⊥x 轴，垂足为F ，交AD 于点P ，则点P 的纵坐标为m -3，EF ∥CG ．由﹙1﹚可知：若EP ＝CH ，则△ADE 与△ADC 的面积相等．①若E 点在直线AD 的上方﹙如图③-1﹚，则PF=m -3，EF ＝322++-m m ．∴ EP ＝EF －PF ＝)3(322m m m --++-=m m 32+-． ∴ 232=+-m m ．解得21=m ，12=m ． ……………………………7分当2=m 时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3．∴ E 点坐标为（2，3）．同理 当m=1时，E 点坐标为（1，4），与C 点重合． ………………………………8分 ②若E 点在直线AD 的下方﹙如图③－2,③－3﹚，则m m m m m PE 3)32()3(22-=++---=． ……………………………………………9分∴232=-m m ．解得21733+=m ，21734-=m ． ………………………………10分当2173+=m时，E点的纵坐标为2171221733+-=-+-；当2173-=m时，E点的纵坐标为2171221733+-=---．∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；)21712173(2+-+，E；)21712173(3+--，E．……………………12分﹙其他解法可酌情处理﹚5．如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC=8， BD=6.(1)请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形.并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出拼成的平行四边形.(注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)【答案】解：(1)A图③－3CDB O xyHGFPEA图③－2CDB O xyHGFPE(第21题)(图2) (图3) (图4)周长为▲周长为▲(图1)1分周长为26 2分3分周长为22 4分 (2)6分注:画法不唯一.6． (1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E,F 分别在边BC, CD 上,AE,BF 交于点O,∠AOF ＝90°. 求证：BE ＝CF.(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E,H,F,G 分别在边AB, BC,CD,DA 上,EF,GH 交于点O,∠FOH ＝90°, EF ＝4.求GH 的长.(3) 已知点E,H,F,G 分别在矩形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 上，EF,GH 交于点O,第23题图1第23题图2∠FOH ＝90°,EF ＝4. 直接写出下列两题的答案：①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长；②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长(用n 的代数式表示).【答案】(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD 为正方形， ∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ∴ ∠EAB+∠AEB=90°. ∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EA B =∠FBC， ∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF ． (2) 解：如图2,过点A 作AM//GH 交BC 于M ，过点B 作BN//EF 交CD 于N,AM 与BN 交于点O/， 则四边形AMHG 和四边形BNFE 均为平行四边形， ∴ EF=BN,GH=AM ，∵ ∠FOH ＝90°, AM//GH ，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,故由(1)得, △AB M ≌△BC N ， ∴ AM=BN ，∴ GH=EF=4．(3) ① 8．② 4n ．7．如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转， DE ，DF 分别交线段AC 于点M ，K ． （1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0° 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM+CK_______MK ，证明你所得到的结论．（3）如果222AM CK MK =+，请直接写出∠CDF的度数和AM MK的值．【答案】 （1）① = ② ＞ 分第23题图3 第23题图4 第23题图1第23题图2O ′ N M图1图2图3EKF M EKCF MEK C F 图4LM C A(F ,K )（2）＞证明：作点C 关于FD 的对称点G ， 连接GK ，GM ，GD ，则CD=GD ，GK = CK ，∠GDK=∠CDK ， ∵D 是AB 的中点，∴AD=CD=GD ． ∵=∠A 30°，∴∠CDA=120°， ∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°， ∠ADM+∠CDK =60°． ∴∠ADM=∠GDM ， ∵DM=DM ，∴△ADM ≌△GDM ，∴GM=AM ． ∵GM+GK ＞MK ，∴AM+CK ＞MK ．（3）∠CDF=15°，23=AMMK ． 8．如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm 的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AMCN 裁剪成一个平行四边形ABCD （如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满． （1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD ；（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．【答案】（1）由图2的包贴方法知：AB 的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30图1图3∵纸带宽为15，∴sin ∠DAB=sin ∠ABM=151302AMAB==，∴∠DAB=30°．（2）在图3中，将三棱柱沿过点A 的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，将图甲种的△ABE 向左平移30cm ，△CDF 向右平移30cm ，拼成如图乙中的□ABCD ，此平行四边形即为图2中的□ABCD由题意得，知：BC=BE+CE=2CE=2×cos 30CD=︒∴所需矩形纸带的长为MB+BC=30·cos30°+=cm ．9． 观察思考某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以 左右滑动，在Q 滑动的过程中，连杆PQ 也随之运动，并且 PQ 带动连杆OP 绕固定点O 摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P 在以OP 为半径的⊙O 上运动．数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点O 作OH ⊥l 于点H ，并测得 OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米． 解决问题（1）点Q 与点O 间的最小距离是 分米； 点Q 与点O 间的最大距离是 分米；点Q 在l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米．（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q 滑动到点H 的位 置时，PQ 与⊙O 是相切的．”你认为他的判断对吗？ 为什么？（3）①小丽同学发现：“当点P 运动到OH 上时，点P 到l 的距离最小．”事实上，还存在着点P 到l 距离最大 的位置，此时，点P 到l 的距离是 分米； ②当OP 绕点O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形， 求这个扇形面积最大时圆心角的度数．C 图甲ll图14-2图14-1【答案】解：（1）4 5 6； （2）不对．∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且42≠32 + 22，即OQ2≠PQ2 + OP2， ∴OP 与PQ 不垂直．∴P Q 与⊙O 不相切． （3）① 3；②由①知，在⊙O 上存在点P ，P '到l 的距离为3，此时，OP 将不能再向下转动，如图3．OP 在绕点O 左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P 'OP ． 连结P 'P ，交OH 于点D ．∵PQ ，P 'Q '均与l 垂直，且PQ =P '3Q '=，∴四边形PQ Q 'P '是矩形．∴OH⊥P P '，PD =P 'D ． 由OP = 2，OD =OH -HD = 1，得∠DOP = 60°． ∴∠PO P ' = 120°．∴ 所求最大圆心角的度数为120°．10． ●探究 (1) 在图1中，已知线段AB ，CD ，其中点分别为E ，F ． ①若A (-1，0)， B (3，0)，则E 点坐标为__________；②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F 点坐标为__________ (2)在图2中，已知线段AB 的端点坐标为A(a ，b) ，B(c ，d)，求出图中AB 中点D 的坐标（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示），并给出求解过程． ●归纳 无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a ，b)，B(c ，d)， AB 中点为D(x ，y) 时， x=_________，y=___________．（不必证明） ●运用 在图2中，一次函数2-=x y 与反比例函数x y 3=的图象交点为A ，B ．①求出交点A ，B 的坐标；②若以A ，O ，B ，P 为顶点的四边形是平行四边形， 请利用上面的结论求出顶点P 的坐标．【答案】解： 探究 (1)①(1，0)；②(-2，21)；(2)过点A ，D ，B 三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为A '，D '，B ' ，则A A '∥B B '∥C C '．∵D 为AB 中点，由平行线分线段成比例定理得A 'D '=D 'B '．D lO 图3 P P ' xy y =xy =x -2AB O第22题图3Oxy D B第22题图2 A 第22题图1 O x yDB AC A ′D ′ B ′ O xyDBA∴O D '=22ca a c a +=-+．即D 点的横坐标是2ca +同理可得D 点的纵坐标是2db +． ∴AB 中点D 的坐标为(2c a +，2db +)． 归纳：2c a +，2d b +．运用 ①由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 32.， 解得⎩⎨⎧==13y x .，或⎩⎨⎧-=-=31y x .，． ∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1) ． ②以AB 为对角线时，由上面的结论知AB 中点M 的坐标为(1，-1) ． ∵平行四边形对角线互相平分， ∴OM=OP，即M 为OP 的中点． ∴P 点坐标为(2，-2) ．同理可得分别以OA ，OB 为对角线时， 点P 坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) ．∴满足条件的点P 有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．11．课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。
山东省聊城市2012年中考数学专题复习讲义 相似
专题复习精品讲义第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CE AC CB=；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值X围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE AC CB=．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE AC CB=.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE AC CB=，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝12AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证CD CEAC CB=转化为证明△CDE∽△CAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a cb d=，33a cb d=或abcdef=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a cb d=，可设法证a cb x=，a xb d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。
山东省聊城市中考数学专题复习讲义 不等式与不等式组
复习精品讲义第九章不等式与不等式组本章小结小结1 本章概述本章知识是在学习了一元一次方程(组)的基础上研究简单的不等关系的.教材首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集及解不等式的概念，然后具体研究了一元一次不等式的解、解集、一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用等.通过具体实例渗透一元一次不等式与一元一次方程的内在联系.最后研究一元一次不等式组的解、解集、一元一次不等式组的解法以及一元一次不等式组的简单应用等．小结2 本章学习重难点【本章重点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质.会解简单的一元一次不等式,能在数轴上表示出不等式的解集,会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.能够根据具体问题中的不等关系,列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单的问题.【本章难点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质;会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集,会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并用数轴确定解集.能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题．小结3 中考透视本章内容在中考中所占比重较大,直接考查不等式的基本性质.一元一次不等式(组)的解法,在数轴上表示不等式(组)的解集;间接考查将不等式(组)应用于二次根式、绝对值的化简与求值讨论、一元二次方程根的情况及求函数自变量的取值范围.以填空、选择形式为主,计算题形式也不少,其中应用不等式知识进行方案设计及比赛分析题目难度较大,不易得分．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 不等式（组）的实际应用【专题解读】利用不等式（组）解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤类似，所不同的是，前者需寻求的不等关系往往不止一个，而后者只需找出一个不等关系即可. 在列不等式(组)时,审题是基础,根据不等关系列出不等式组是关键.解出不等式组的解集后,要养成检验不等式的解集是否合理,是否符合实际情况的习惯.即审题→设一个未知数→找出题中所有的数量关系,列出不等式组→解不等式组→检验.例1 2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行.观看帆船比赛的船票分为两种:A种船票600元/张,B种船票120元/张.某旅行社要为一个旅行团代购部分船票,在购票费不超过5000元的情况下,购买A,B两种船票共15张,要求A种船票的数量不少于B 种船票数量的一半.若设购买A种船票x张,请你解答下列问题.(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程.(2)根据计算判断哪种购票方案更省钱.解: (1)由题意知购买B种船票(15-x)张.根据题意,得15,2600120(15)5000.xxx x-⎧≥⎪⎨⎪+-≤⎩解得20 5.3x≤≤因为x为正整数,所以满足条件的x为5或6.所以共有两种购票方案.方案一:购买A种票5张,B种票10张.方案二:购买A种票6张,B种票9张.(2)方案一的购票费用为600×5+120×10=4200(元);方案二的购票费用为600×6+120×9=4680(元).因为4500元<4680元,所以方案一更省钱.【解题策略】运用不等式知识解决实际问题,关键是把实际问题的文字语言转化为数学符号语言.二、规律方法专题专题2 求一元一次不等式（组）的特殊值【专题解读】在此类问题中，一般给出一个一元一次不等式（组），然后在解集的范围内限制取值，解决的方法通常是先求出不等式（组）的解集，再由题意求出符合条件的数值.例2 求不等式12123x x+-≥的非负整数解.分析先解不等式,求出x的取值范围,在x的取值范围内找出非负整数解,求非负整数解时注意不要漏解.解:解不等式12123x x+-≥,得x≤5.所以不等式的非负整数解是5,4,3,2,1,0.【解题策略】此题不能忽略0的答案.专题3 一元一次不等式(组)中求参数的技巧【专题解读】由已知不等式(组)的解集或整数解来确定选定系数的值或待定系数的取值范围,常用的方法是先用解不等式(组)的方法解出含待定系数的不等式(组)的解集,再代入已给出的条件中,即可求出待定系数的值.例3 已知关于x的不等式组0,245x bx-≤⎧⎨-≥⎩的整数解共有3个,则b的取值范围是______.分析化简不等式组,得,4.5.x bx≤⎧⎨≥⎩如图9-59所示,将其表示在数轴上,其整数解有3个,即为x=5,6,7.由图可知7≤b<8.故填7≤b<8.例4 已知关于x的不等式(2-a)x>3的解集为32xa-<-,则a的取值范围是( )A.a>0B.a>2C.a<0D.a<2分析分析题中不等式解集的特点,结合不等式的性质3,可知2-a<0,即a>2.故选B.三、思想方法专题专题4 数形结合思想【专题解读】在解有关不等式的问题时，有些问题需要我们借助图形来给出解答.解决此类问题时，要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到有数思形，有形思数，顺利解决问题.例5 关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图9-60所示，则a的取值是（）A．0B．-3C．-2D．-1分析由图9-60可以看出，不等式的解集为x≤-1，而由不等式2x-a≤-1，解得x≤12a-,所以12a-=-1，解这个方程，得a=-1.故选D.专题5 分类讨论思想【专题解读】在利用不等式(组)解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨.例6某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件,学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.(1)设租用甲种汽车x辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案;(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，那么请你帮助学校选出最省钱的一种租车方案.分析本题考查利用不等式组设计方案并做出决策的问题.根据题中的不等关系可列出不等式组,解不等式组求出x的取值,从而解答本题.解:(1)设租用甲种汽车x辆,则租用乙种汽车(8-x)辆.根据题意得4030(8)290,1020(8)100,x xx x+-≥⎧⎨+-≥⎩解得5≤x≤6.因为x为整数,所以x=5或x=6.故有两种租车方案,方案一:租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.方案二、租用甲种汽车6辆、乙种汽车2辆.（2）方案一的费用：5×2000+3×1800=15400（元）.方案二的费用:6×2000+2×1800=15600(元).因为15400元<15600元,所以方案一最省钱.答:第一种租车方案更节省费用,即租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.【解题策略】解答设计方案的问题时,要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求,不能把数学问题与实际问题相混淆.2011中考真题精选一、选择题1. （2011江苏无锡，2，3分）若a＞b，则（）A．a＞﹣b B．a＜﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．﹣2a＜﹣2b考点：不等式的性质。
聊城市中考数学专题复习讲义动手操作
中考数学专题：动手操作题（含答案）操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、 合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯， 符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科 研”活动，培养学生乐于动手、 勤于实践的意识和习惯， 切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想. 类型之一折叠剪切问题折叠中所蕴含着丰富的数学知识，解决该类问题的基本方法就是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称图形”，求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴.折叠问题不但能使有利于培养我 们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力.1. 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形. 将纸片展开，得到的图形是3. 如下左图：矩形纸片 ABCD AB=2,点E 在BC 上，且AE=EC 若将纸片沿 AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是.4. 如上右图，在正方形纸片 ABCD 中，对角线 AC BD 交于点0,折叠正方形纸片 ABCD 使AD落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后，折痕 DE 分别交AB AC 于点E 、G.连接GF.下列结论：①/ AGD=112.5 :②tan△ 0GD ④四边形 AEFG 是菱形；⑤BE=20G 其中正确结论的序号是类型之二 分割图形问题分割问题通常是先给出一个图形（这个图形可能是规则的，也有可能不规则）你用直线、线段等把该图形分割成面积相同、形状相同的几部分。
解决这类问题的时 候可以借助对称的性质、面积公式等进行分割。
5.如图所示的方角铁皮， 要求用一条直线将其分成面积相等的两部分，请你设计两种不同的分割方案（用铅笔画图，不写画法，保留作图痕迹或简要的文 字说明）.6. 如图1 , △ ABC 中，/ C =90 ,请用直尺和圆规作一条直线， 把厶ABC 分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）A C D匚口-0-H2.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为-----------AB 再以AB 的中点0为顶点把平角/ AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠 A ----------------后的图形剪出一个以 0为顶点的等腰三角 后得到的平面图形- -定是 A.正三角形 B .正方形 C .正五边形 D .正六边形/ AED=2(2)已知内角度数的两个三角形如图 2、图3所示•请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.示，在6X 6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点， 以格点为顶点的图形称为格点图 形，如图①中的三角形是格点三角形.(1) 请你在图①中画一条直线将格点三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同图① 图② 图③类型之二 拼合图形问题拼图是几个图形按一定的规则拼接在一起的一种智 力游戏，此类试题不仅可以考查学生的观察能力、空间想象能力、判断能力和综合分析能力,通过拼图也能加强同学们对图形的直观认识，能更好地判定所求图形的具体特征7.如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形， 这个新的图形可以是下列图形中的()A.三角形 B .平行四边形 C.矩形D .正方形8.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图形.对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边 长度之间关系的一个正确结论：9. 从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为.(只填写拼图板的代码)10. 如图，方格纸中有一透明等腰三角形纸片，按图中裁剪线将这个纸片裁剪成三部分.请你将这三部分小纸片重新分别拼接成； (1) 一个非矩形的平行四边形；(2 )一个等腰梯形；(3) 一个正方形.请 在图中画出拼接后的三个图形，要求每张三角形纸片的顶点与小方 格顶点重合.11.如的格点四边形，并将这两个格点四边形分别画在图②，图③中; (2 )直接写出这两个格点四边形的周长.图I 图2 E3(2)所示的一个菱非矩形的平行四边形等緩梯形正方形」一- 一 T Mln类型之四探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系•此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念.12•小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中/ ACB=z，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△ EFD纸片的直角顶点D 落在△ ACB纸片的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上.（1 ）若ED与BC相交于点G 取AG的中点M连接MB MD当厶EFD纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量MB MD的长度，猜想并写出MB与MD的数量关系，然后证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，求出/ BMD的大小（用含a的式子表示），并说明当a =45°时，△ BMD是什么三角形？（3）在图3的基础上，将△ EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°）,此时△ CGD变成A CHD同样取AH的中点M,连接MB MD（如图4）,请继续探究MB与MD 的数量关系和/ BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明a为何值时，△ BMD为等边三角形•【答案】①④⑤.5.【解析】通过计算可以得知整个图形的面积为 可以把图形面积一分为二。
山东省聊城市中考数学专题复习讲义 函数型
中考数学专题：函数型问题(含答案)我们目前所学的函数主要有一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数，在解决函数问题的时候要注意每种函数的时候要注意各自的特点形式：“靠近课本，贴近生活，联系实际”是近年中考函数应用题编题原则，因此在广泛的社会生活、经济生活中，抽取靠近课本的数学模型是近年来中考的热点问题，解决次类问题经常使用待定系法求解析问题，但这类问题蕴含有代入消元法等重要的数学思想方法，又极易与方程、不等式、几何等初中数学中的重要知识相融合.类型之一分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
1.年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农．下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图．请结合图象回答以下问题：（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？（2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，求果园共销售了多少吨脐橙？（3）①求出台该项优惠政策后y与x的函数关系式；②去年“绿荫”果园销售30吨，总收入为10.25万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平．类型之二与二次函数有关的最优化问题二次函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型．二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用，求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用．2.枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树。
每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？3.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：y（间）关于x（元）的函数关系式．（1）房间每天的入住量（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？类型之四 存在探索性函数问题 存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论．探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注．4.在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。
山东省聊城市中考数学专题复习讲义 一次函数
专题复习精品讲义第十四章一次函数本章小结小结1 本章概述本章的主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示方法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质以及应用举例，用函数观点认识一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组，课题学习“选择方案”．函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际，又服务于客观实际，而一次函数又是函数中最简单、最基本的函数，它是学习其他函数的基础，所以理解和掌握一次函数的概念、图象和性质至关重要，应认真掌握．小结2 本章学习重难点【本章重点】理解函数的概念，特别是一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的图象及性质，会利用待定系数法求一次函数的解析式．利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，初步体会方程与函数的关系及函数与不等式的关系，从而建立良好的知识联系．【本章难点】1．根据题设的条件寻找一次函数关系式，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象和性质，求出一次函数的表达式，会利用函数图象解决实际问题．2．理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组的关系．小结3 学法指导1．注意从运动变化和联系对应的角度认识函数．2．借助实际问题情境，由具体到抽象地认识函数，通过函数应用举例，体会数学建模思想．3．注重数形结合思想在函数学习中的应用．4．加强前后知识的联系，体会函数观点的统领作用．5．结合课题学习，提高实践意识和综合应用数学知识的能力．知识网络结构图一、知识性专题 专题1 函数自变量的取值范围【专题解读】 一般地，求自变量的取值范围时应先建立自变量满足的所有不等式，通过解不等式组下结论．例1 函数21+=x y 中，自变量x 的取值范围是 ( )A ．x ≠0B ．x ≠1C ．x ≠2D ．x ≠－2分析 由x ＋2≠0，得x ≠－2．故选D ．例2 函数x x y -+=21中，自变量x 的取值范围是 ( )A ．x ≥－1B ．－1＜x ＜2C ．－1≤x ＜2D ．x ＜2分析 由⎩⎨⎧≥+-,01,0＞2x x 得⎩⎨⎧-≥,1,2＜x x 即－1≤x ＜2．故选C ． 专题2 一次函数的定义【专题解读】 一次函数一般形如y ＝kx ＋b ，其中自变量的次数为1，系数不为0，两者缺一不可．例3 在一次函数y ＝(m －3)xm －1＋x ＋3中，符x ≠0，则m 的值为 ．分析 由于x ≠0，所以当m －1＝0，即m ＝1时，函数关系式为y ＝x ＋1．当m －3＝0，即m ＝3时，函数关系式为y ＝x ＋3；当m －1＝1，即m ＝2时，函数关系式为y ＝(m －2)x ＋3，当m ＝2时，m －2＝0，此时函数不是一次函数．所以m ＝1或m ＝3．故填1或3． 专题3 一次函数的图象及性质【专题解读】 一次函数y ＝kx ＋b 的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,k b ，(0，b)．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置． 例4 已知一次函数的图象经过(2，5)和(－1，－1)两点．(1)画出这个函数的图象；(2)求这个一次函数的解析式．分析 已知两点可确定一条直线，运用待定系数法即可求出对应的函数关系式．解：(1)图象如图14－104所示．(2)设函数解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧-=+-=+,1,52b k b k 解得⎩⎨⎧==,1,2b k 所以函数解析式为y ＝2x ＋1．二、规律方法专题专题4 一次函数与方程(或方程组或不等式)的关系【专题解读】 可根据一次函数的图象求出一元一次方程或二元一次方程(组)的解或一元一次不等式的解集，反之，由方程(组)的解也可确定一次函数表达武．例5 如图14－105所示，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是 ．分析 由图象知当x ＞－2时，y ＝3x ＋b 对应的y 值大于y ＝ax －3对应的y 值，或者y ＝3x ＋b 的图象在x ＞－2时位于y ＝ax －3的图象上方．故填x ＞－2．专题5 一次函数的应用【专题解读】在应用一次函数解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题． 例6 假定拖拉机耕地时，每小时的耗油量是个常最，已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升，耕地3小时油箱中余油22升．(1)写出油箱中余油量Q(升)与工作时间t(小时)之间的函数关系式；(2)画出函数的图象；(3)这台拖拉机工作3小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时?分析 由两组对应量可求出函数关系式，再画出图象(在自变量取值范围内)． 解：(1)设函数关系式为Q ＝kt ＋b(k ≠0)．由题意可知⎩⎨⎧+=+=,322,228b k b k ∴⎩⎨⎧=-=.40,6b k ∴余没量Q 与时间t 之间的函数关系式是Q ＝－6t ＋40．∵40－6t ≥0，∴t ≤320．∴自变量t 的取值范围是0≤t ≤320．(2)当t ＝0时，Q ＝40；当t ＝320时，Q ＝0．得到点(0，40)，(320，0)．连接两点，得出函数Q ＝－6t ＋40(0≤t ≤320)的图象，如图14－106所示．(3)当Q ＝0时，t ＝320，那么320－3＝323(小时)．∴拖拉机还能耕地323小时，即3小时40分． 规律．方法 运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问题，如利润最大、成本最小、话费最省、最佳设计方案等问题，我们应善于总结规律，达到灵活运用的目的．三、思想方法专题专题6 函数思想【专题解读】 函数思想就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数思想可以解决许多数学问题．例7 利用图象解二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=-②.5①,22y x y x分析 方程组中的两个方程均为关于x ，y 的二元一次方程，可以转化为y 关于x 的函数．由①得y ＝2x －2，由②得y ＝－x －5，实质上是两个y 关于x 的一次函数，在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解．解：由①得y ＝2x －2，由②得y ＝－x －5．在平面直角坐标系中画出一次函数y ＝2x －2，y ＝－x －5的图象，如图14－107所示． 观察图象可知，直线y ＝2x －2与直线y ＝－x －5的交点坐标是(－1，－4)．∴原方程组的解是⎩⎨⎧-=-=.4,1y x 规律·方法 解方程组通常用消元法，但如果把方程组中的两个方程看做是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解．例8 我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0．05 mL ．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x 小时后，水龙头滴了y mL 水．(1)试写出y 与x 之间的函数关系式；(2)当滴了1620 mL 水时，小明离开水龙头几小时?分析 已知拧不紧的水龙头每秒滴2滴水，又∵1小时＝3600秒，∴1小时滴水(3600×2)滴，又∵每滴水约0．05 mL ，每小时约滴水3600×2×0．05＝360(mL)．解：(1)y 与x 之间的函数关系式为y ＝360x(x ≥0)．(2)当y ＝1620时，有360x ＝1620，∴x ＝4．5．∴当滴了1620 mL 水时，小明离开水龙头4．5小时．专题7 数形结合思想【专题解读】 数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法．数形结合思想在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．例9 如图14－108所示，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为(2，0)，且OA ＝OB ，试求一次函数的解析式．分析 通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B 点的坐标即可，因为OB ＝OA ＝2，所以点B 的坐标为(0，－2)，再结合A 点坐标，即可求出一次函数的关系式．解：设一次函数的关系式为y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，且k ≠0)．∵OA ＝OB ，点A 的坐标为(2，0)，∴点B 的坐标为(0，－2)．∵点A ，B 的坐标满足一次函数的关系式y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧-=+=+,20,02b b k ∴⎩⎨⎧-==.2,1b k ∴一次函数的解析式为y ＝x －2．【解题策略】 利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用，在解决有关函数问题时有着重要的作用．专题8 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论思想是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法．分类讨论思想既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学方法．分类的关键是根据分类的目的，找出分类的对象．分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结．例10 在一次遥控车比赛中，电脑记录了速度的变化过程，如图14－109所示，能否用函数关系式表示这段记录?分析 根据所给图象及函数图象的增减性，本题要分三种情况进行讨论．电脑记录提供了赛车时间t(s)与赛车速度v(m ／s)之间的关系，在10 s 内，赛车的速度从0增加到7．5 m ／s ，又减至0，因此要注意时间对速度的影响．解：观察图象可知．当t 在0～1 s 内时，速度v 与时间t 是正比例函数关系，v ＝7．5t(0≤t ≤1)． 当t 在1～8 s 内时，速度v 保持不变，v ＝7．5(1＜t ≤8)；当t 在8～10 s 内时，速度v 与时间t 是一次函数关系，设一次函数为v ＝kt ＋b(k ≠0)，又一次函数图象过(8，7．5)和(10，0)，则⎩⎨⎧+=+=,100,85.7b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.5.37,75.3b k ∴v ＝－3．75t ＋37．5(8＜t ≤10)．即7.5(01),7.5(18),3.7537.5(810).t t v t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩专题9 方程思想【专题解读】 方程思想是指对通过列方程(组)使所求数学问题得解的方法．在函数及其图象中，方程思想的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式．例11 已知一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象经过点A(－3，－2)及点B(1，6)，求此函数关系式，并作出函数图象．分析 可将由已知条件给出的坐标分别代入y ＝kx ＋b 中，通过解方程组求出k ，b 的值，从而确定函数关系式．解：由题意可知⎩⎨⎧=+-=+-,6,23b k b k ∴⎩⎨⎧==.4,2b k ∴函数关系式为y ＝2x ＋4．图象如图14－110所示．2011中考真题精选一、选择题1. （2011新疆乌鲁木齐，5，4）将直线y＝2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为（）A、y＝2x－1B、y＝2x－2C、y＝2x＋1D、y＝2x＋2考点：一次函数图象与几何变换。
聊城市中考数学专题复习讲义平面直角坐标系
复习精品讲义第六章平面直角坐标系本章小结 小结1本章概述直角坐标系是由两个互相垂直的数轴构成的，它是联系有序数对和平面内点的对应关系的桥 梁，它更是整个数学领域的重要工具•它是在数轴上的点的坐标的基础上研究数与形的对应 关系的.教材通过实例用有序数对来表示点的位置.运用有序数对建立了数学模型，将有序数 对转化为平面直角坐标系中的点，验证了平而直角坐标系在实际生活中的广泛应用. 小结2本章学习重难点【本章重点】掌握平而内点的坐标的表示方法及求法；能建立适当的坐标系来描述某些点所 处的位置.【本章难点】用坐标表示平而内点的位垃及判断坐标平而上点的坐标. 【学习本章应注意的问题】在本章的学习过程中，要正确理解有序数对的含义，熟悉平面直角坐标系的组成.在学习中, 注意随时复习有关队列、方阵、班级座位以及在小学了解的长方形的性质，还要复习垂线和 垂直的含义.在本章的学习中充分体现了数形结合思想，体会用有序数对表示物体位巻的必要性. 小结3中考透视从近几年的考试题看，平面直角坐标系这一章主要考査已知点的坐标，确左点的位置及求其 对称点的坐标，这类问题多以填空、选择形式岀现，虽然难度不是很大，但有些问题的知识 集合性还是较强的•可能会由于相关的其他章肖的知识不扎实，而导致对点的位置的判断失 误,还有就是考查通过建立适当的平而直角坐标系描述物体的位置的能力，该问题难度不大, 一般情况下，都是建立常规的平面直角坐标系(如向东为x 轴正向，向北为y 轴正向)同时 给出单位长(有网格)•基本上占4分. 知识网络结构图专题总结及应用 一、知识性专题专题1平面直角坐标系中的点与坐标的对应关系【专题解读】平而直角坐标系中，坐标与点的对应关系，那平面内一点M 有唯一的有序数对(x,y)和它对应；对于任意一有序数对(x,y),在坐标平而内都有唯一的一点H 和它对应.平确定平面内点的位置用坐标表示地理位置用坐标表示平移点的坐标建立平面直角坐标系有序数对而内点的坐标由横坐标和纵坐标确立，横、纵坐标的符号决泄点所在的象阴，横坐标为0或 纵坐标为0,说明点在y 轴上或X 轴上.例 1 如图 6-38 所示,标出下列各点:A (5, 3), B (-1.5,3. 5), C (-4, -1), D (2, -3), E (3, 0), F (0, -2),并写出图中下列各点的坐标：G ( ), H ( ), I ( ), J( ),K ( ).解：各点位置如图6-38所示.G (-3, 1), H (2, 2), I (-2, -4), J (3, -2), K (0, 2).B 4r*3! 2 十T ・ 1 1I 1 - A -J H ! .if.!.十4扫. c ! -2 :一 3广T o\ 2 ；3 4 5 6 X F J '----丿 ----- D•图 6-38【解题策略】要掌握确左平而内点的坐标的方法，注意不要把横纵坐标弄混. 二、 规律方法专题 专题2利用方程解题【专题解读】抓住平而直角坐标系的特征和点的坐标的意义是解决此类问题的关键. 例2若点(9-a,a-3)在第一、三象限的角平分线上，求a 的值. 解：因为点(9-a,a-3)在第一、三象限的角平分线上， 所以9-a 二a-3,所以a 二6.【解题策略】把点的位程关系转化为数量关系，利用数疑关系列方程求解. 三、 思想方法专题 专题3数形结合思想【专题解读】运用数形结合思想归纳总结特殊点的坐标特点.(1) 四个象限内的点的坐标特征：如图6-39所示.若点在第一象限，则a>0,b>0; 若点人広/)在第二象限，则a<0,b>0; 若点A ("“)在第三象限，则a<0,b<0; 若点A(a 'b)在第四象限，则a>0,b<0;(2) 两坐标轴上的点的坐标特征：若点A ("")在％轴上,则a 为任意实数,b=0; 若点人広/)在y 轴上，则a 二0,b 为任意实数； 若点A{a 'b)在原点， 则 a=b=0.(3) 两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征：若点A(Chb)在第一、三象限的角平分线上，则沪b 或a-b=0;•(一 •+) V (+, + > O(一•一〉( + ,-)图6・39若点A（""）在第二、四象限的角平分线上，则a-b或a+b二0.（4）点到两坐标轴的距离：点P （x, y）到x轴的距离为y|：点P （x,y）到y轴的距离为|x|；（5）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同：平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同.（6）关于坐标轴及坐标原点对称的点的坐标特征.点P（x, y）关于X轴对称的点的坐标为（x, -y）;点P（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y）;点P （x,y）关于原点对称的点的坐标为（-X, -y）.例3已知点B （3a+5, -6a-2）在第二、四象限的角平分线上.求（严7分析由已知求岀a的值，代入茁 -"中再求代数式的值，所以3a+5二-（-6a-2）,所以a二1,故~a = 1""' 一1 = ° .【解题策略】在第二、四象限的角平分线上的点的坐标特征是横坐标与纵坐标互为相反数. 2011中考真题平而直角坐标系精选一、选择题1.（2011山西，2, 2分）点（一2, 1）所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三彖限D.第四象限考点：点的坐标专题：直角坐标系分析：点（一2,1）的横坐标在尤轴的负半轴上，纵坐标在『轴的正半轴上，所以点（一2,1）在第二象限，故选B.解答：B点评：根据点的横坐标、纵坐标的位豊来确定.只要理解点的坐标的意义，掌握务象限及坐标轴上的点的坐标特征，就可以轻松地解答.2.在平而直角坐标系中，点P （-3, 2）所在象限为（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限考点：点的坐标.分析：根据点在第二象限的坐标特点即可解答.解答：解：•••点的横坐标-3V0,纵坐标2>0,・•・这个点在第二象限.故选B.点评：解决本题的关键是记住平而直角坐标系中各个象限内点的符号：第一象限（+, +）：第二象限（-，+）；第三象限（-，-）：第四象限（+,-）.3.（2011湖南长沙，4, 3分）如图，在平面直角坐标系中，点P （—1, 2）向右平移3个单位长度后的坐标是（）A. （2, 2）B. （一4, 2）C. （一1, 5）D. （一1, -1）1 1::C< *4<• 一亠 -3^2…+ ■ ■< r1 1•I' 1< .11 f1■ ■厂一f »<I •考点：平移，直角坐标系专题：平移，直角坐标系分析：本题有两种方法解答：从一直接操作法，即在图中将点P （—1, 2）向右平移3个单位长度后，画出对应点，即可从图中得到对应点的坐标：二是根据点的平移规律：在平而直角坐标系中，将点向左右平移，点的横坐标发生变化，其纵坐标不变，且横坐标是左减右加, 从而平移后对应点的坐标是（一1 + 3, 2）即（2, 2）.解答：A点评：设点P（m, n）,有：在平而直角坐标系中，图形向右（左）平移m个单位，则图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）m个单位（m>0）；图形向上（下）平移n个单位，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）n个单位（n>0）.4（2011年广西桂林，10, 3分）若点PW, °—2）在第四象限，则°的取值范围是（）.A. -2<a<0B. Q<a<2C. a>2D. ° VO考点：根据第四象限点的坐标符号，得出a>0, a-2V0,即可得出0<a<2,选岀答案即可. 分析：根据第四象限点的坐标符号，得出a>0, a-2V0,即可得出0<a<2,选岀答案即可. 答案：解：•・•点P （a, a-2）在第四象限，a > 0, a-2 V 0 ♦0<a<2.故选B.点评：此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及不等式的解法，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+, +）;第二象限（-, +）：第三象限（-，-）；第四象限（+,-）.5.（2011福建莆田，3, 4分）已知点P（a,a-1）在平而直角坐标系的第一象限，则a的取值范用在数轴上可表示为（）考点：在数轴上表示不等式的解集：点的坐标.专题：计算题.分析：由点P （a, a-1）在平而直角坐标系的第一象限内，可得，分别解出其解集，然后, 取其公共部分，找到正确选项：解答：解：•••点P （a, a-1）在平而直角坐标系的第一象限内，a. > 0 <• a — 1 > 0 I e解得，a>l ： 故选A.点评：本题考査了点的坐标及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表 示出来（>,鼻向右画：V, W 向左画），在表示解集时"2”，”要用实心圆点表示: 要用空心圆点表示.6. （2011台湾，17, 4分）如图，坐标平而上有两直线L. 其方程式分別为y=9. y= -6.若L 上有一点P, M 上有一点Q, PQ 与y 轴平行，且PQ 上有一点R, PR ： PQ=1： 2, 则R 点与x 轴的距离为何（ ）考点：坐标与图形性质。
山东省聊城市中考数学专题复习讲义 阅读理解
中考数学专题： 阅读理解题(含答案)所谓数学的阅读理解题,就是题目首先提供一定的材料,或介绍一个概念,或给出一种解法等,让你在理解材料的基础上,获得探索解决问题的方法,从而加以运用,解决实际问题.其目的在于考查学生的阅读理解能力、收集处理信息的能力和运用知识解决实际问题的能力. 阅读理解题的篇幅一般都较长，试题结构大致分两部分：一部分是阅读材料，别一部分是根据阅读材料需解决的有关问题．阅读材料既有选用与教材知识相关的内容的，也有广泛选用课外知识的．考查目标除了初中数学和基础知识外，更注重考查阅读理解、分析转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质和能力．因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理． 解决型阅读题的关键是首先仔细阅读信息，弄清信息所提供的数量关系，然后将信息转化为数学问题，感悟数学思想和方法,形成科学的思维方式和思维策略，进而解决问题.类型之一 考查掌握新知识能力的阅读理解题 命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查解题者自学能力和阅读理解能力，能考查解题者接收、加工和利用信息的能力。
1.让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1=5 ，计算n12+1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2； 第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n23＋1得a3； …………依此类推，则a=____________．2.用“⇒”与“⇐”表示一种法则：（a ⇒b ）= -b ，（a ⇐b ）= -a ，如（2⇒3）= -3， 则()()2010201120092008⇒⇐⇒= ．3.符号“a bc d ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b ad bc c d =-，请你根据上述规定求出下列等式中x 的值： 2111111xx =--类型之二 模仿型阅读理解题在已有知识的基础上，设计一个陌生的数学情景，通过阅读相关信息，根据题目引入新知识进行猜想解答的一类新题型．解题关键是理解材料中所提供的解题途径和方法，运用归纳与类比的方法 去探索新的解题方法．问题解答并不太难，虽出发点低，但落脚点高．是“学生的可持续发展”理念的体现． 4.阅读材料，解答下列问题． 例：当0a >时，如6a =则66a ==，故此时a 的绝对值是它本身当0a =时，a =，故此时a 的绝对值是零当0a <时，如6a =-则66(6)a =-==--，故此时a 的绝对值是它的相反数∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当当当这种分析方法涌透了数学的分类讨论思想．问：（1的各种展开的情况．（2与a的大小关系．5.阅读理解：若m q p 、、为整数，且三次方程023=+++m qx px x 有整数解c ，则将c 代入方程得：023=+++m qc pc c ,移项得：qc pc c m ---=23，即有：()q pc c c m ---⨯=2，由于m c q pc c 及与---2都是整数，所以c 是m 的因数．上述过程说明：整数系数方程023=+++m qx px x 的整数解只可能是m 的因数．例如：方程023423=-++x x x 中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程023423=-++x x x 进行验证得：x=－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解．解决问题：（1）根据上面的学习，请你确定方程07523=+++x x x 的整数解只可能是哪几个整数？（2）方程034223=+--x x x 是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由6.实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人．为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型： 在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？ 为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3=4（如图①）；（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7（如图②）（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×3=10（如图③）：L L（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×（10-1）=28（如图⑩）模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20分（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是；（2）若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是；（3）若要确保摸出的小球至少有n个同色（20n<），则最少需摸出小球的个数是．模型拓展二：在不透明口袋中装有m种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是．（2）若要确保摸出的小球至少有n个同色（20n<），则最少需摸出小球的个数是．问题解决：（1）请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型；（2）根据（1）中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生．类型之三操作型阅读理解题操作型阅读理解题通常先提供图形变化的方法步骤．解题的时候，你只要根据题目所提供的操作步骤一步步解题即可．它能有效检测学生的创新意识和创新能力的好题型,是中考改革的必然产物.这类问题能较好地考查学生用数学的能力，具有很强的开放性并具有一定的趣味性和挑战性．7.阅读理解：对于任意正实数a、b，∵2a b≥0，∴2a ab b-+≥0，∴a b+≥2ab，只有当a＝b时，等号成立．结论：在a b+≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2p，只有当a＝b时，a+b有最小值2p．根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m＝时，1mm+有最小值．思考验证：如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上任意一点（与点A 、B 不重合），过点C 作CD⊥AB，垂足为D ，AD ＝a ，DB ＝b ．试根据图形验证a b +≥2ab ，并指出等号成立时的条件．探索应用：如图2，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P 为双曲线x y 12=（x ＞0）上的任意一点，过点P 作PC⊥x 轴于点C ，PD⊥y 轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．8.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0，-3)，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为(1,0)，半圆半径为2.请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C 的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D 的“蛋圆”切线的解析式.9.请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A,B,E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG,PC ．若60ABC BEF ∠=∠=o ，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC 的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC 的值；（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<o o，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC 的值（用含α的式子表示）． 解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；PGPC =．参考答案1.【解析】本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律。
山东省聊城市中考数学专题复习讲义 分类讨论
中考数学专题：分类讨论题(含答案)在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50° B．80° C．65°或50°D．50°或80°2.某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3.如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心， r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．5.在△ABC中，AB=AC=5，3cos5B．如果圆O10B、C，那么线段AO的长等于．6.如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE 的长．8.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD 翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。
聊城市中考数学专题复习讲义 平面直角坐标系
复习精品讲义第六章平面直角坐标系本章小结小结1 本章概述直角坐标系是由两个互相垂直的数轴构成的，它是联系有序数对和平面内点的对应关系的桥梁，它更是整个数学领域的重要工具.它是在数轴上的点的坐标的基础上研究数与形的对应关系的.教材通过实例用有序数对来表示点的位置.运用有序数对建立了数学模型，将有序数对转化为平面直角坐标系中的点，验证了平面直角坐标系在实际生活中的广泛应用．小结2 本章学习重难点【本章重点】掌握平面内点的坐标的表示方法及求法；能建立适当的坐标系来描述某些点所处的位置.【本章难点】用坐标表示平面内点的位置及判断坐标平面上点的坐标.【学习本章应注意的问题】在本章的学习过程中，要正确理解有序数对的含义，熟悉平面直角坐标系的组成.在学习中，注意随时复习有关队列、方阵、班级座位以及在小学了解的长方形的性质，还要复习垂线和垂直的含义.在本章的学习中充分体现了数形结合思想，体会用有序数对表示物体位置的必要性．小结3 中考透视从近几年的考试题看，平面直角坐标系这一章主要考查已知点的坐标，确定点的位置及求其对称点的坐标，这类问题多以填空、选择形式出现，虽然难度不是很大，但有些问题的知识集合性还是较强的.可能会由于相关的其他章节的知识不扎实，而导致对点的位置的判断失误，还有就是考查通过建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置的能力，该问题难度不大，一般情况下，都是建立常规的平面直角坐标系（如向东为x轴正向，向北为y轴正向）同时给出单位长（有网格）.基本上占4分．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 平面直角坐标系中的点与坐标的对应关系【专题解读】平面直角坐标系中，坐标与点的对应关系，那平面内一点M有唯一的有序数对(x,y)和它对应；对于任意一有序数对(x,y)，在坐标平面内都有唯一的一点M和它对应.平面内点的坐标由横坐标和纵坐标确定,横、纵坐标的符号决定点所在的象阴，横坐标为0或纵坐标为0，说明点在y轴上或x轴上.例1 如图6-38所示，标出下列各点：A（5，3），B（-1.5,3.5），C（-4，-1），D（2，-3），E（3，0），F（0，-2），并写出图中下列各点的坐标：G（），H（），I（），J （），K（）.解：各点位置如图6-38所示.G（-3，1），H（2，2），I（-2，-4），J（3，-2），K（0，2）.【解题策略】要掌握确定平面内点的坐标的方法，注意不要把横纵坐标弄混.二、规律方法专题专题2 利用方程解题【专题解读】抓住平面直角坐标系的特征和点的坐标的意义是解决此类问题的关键.例2 若点（9-a,a-3）在第一、三象限的角平分线上，求a的值.解：因为点（9-a,a-3）在第一、三象限的角平分线上，所以9-a=a-3,所以a=6.【解题策略】把点的位置关系转化为数量关系，利用数量关系列方程求解.三、思想方法专题专题3 数形结合思想【专题解读】运用数形结合思想归纳总结特殊点的坐标特点.（1）四个象限内的点的坐标特征：如图6-39所示.若点(,)A a b在第一象限，则a＞0,b＞0;若点(,)A a b在第二象限，则a＜0,b＞0;若点(,)A a b在第三象限，则a＜0,b＜0;若点(,)A a b在第四象限，则a＞0,b＜0;（2）两坐标轴上的点的坐标特征：若点(,)A a b在x轴上，则a为任意实数，b=0;若点(,)A a b在y轴上，则a=0,b为任意实数；若点(,)A a b在原点，则a=b=0.（3）两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征：若点(,)A a b在第一、三象限的角平分线上，则a=b或a-b=0;若点(,)A a b 在第二、四象限的角平分线上，则a=-b 或a+b=0.（4）点到两坐标轴的距离：点P （x,y ）到x 轴的距离为|y|；点P （x,y ）到y 轴的距离为|x|；（5）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同；平行于y 轴的直线上的所有点的横坐标相同.（6）关于坐标轴及坐标原点对称的点的坐标特征.点P(x,y)关于x 轴对称的点的坐标为(x,-y);点P(x,y)关于y 轴对称的点的坐标为(-x,y);点P （x,y ）关于原点对称的点的坐标为(-x,-y).例3 已知点B （3a+5,-6a-2）在第二、四象限的角平分线上.求2005aa -. 分析 由已知求出a 的值，代入2005a a -中再求代数式的值，所以3a+5=-(-6a-2),所以a=1，故20052005110a a -=-=.【解题策略】在第二、四象限的角平分线上的点的坐标特征是横坐标与纵坐标互为相反数.2011中考真题平面直角坐标系精选一、选择题1. （2011山西，2，2分）点（－2，1）所在的象限是（ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限考点：点的坐标专题：直角坐标系分析：点（－2，1）的横坐标在x 轴的负半轴上，纵坐标在y 轴的正半轴上，所以点（－2，1）在第二象限，故选B ．解答：B点评：根据点的横坐标、纵坐标的位置来确定．只要理解点的坐标的意义，掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征，就可以轻松地解答．2.在平面直角坐标系中，点P （-3，2）所在象限为（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限考点：点的坐标．分析：根据点在第二象限的坐标特点即可解答．解答：解：∵点的横坐标-3＜0，纵坐标2＞0，∴这个点在第二象限．故选B ．点评：解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．3. （2011湖南长沙，4，3分）如图，在平面直角坐标系中，点P （－1，2）向右平移3个单位长度后的坐标是（ ）A ．（2，2）B ．（－4，2）C ．（－1，5）D ．（－1，－1）考点：平移，直角坐标系专题：平移，直角坐标系分析：本题有两种方法解答：从一直接操作法，即在图中将点P（－1，2）向右平移3个单位长度后，画出对应点，即可从图中得到对应点的坐标；二是根据点的平移规律：在平面直角坐标系中，将点向左右平移，点的横坐标发生变化，其纵坐标不变，且横坐标是左减右加，从而平移后对应点的坐标是（－1＋3，2）即（2，2）．解答：A点评：设点P(m，n)，有：在平面直角坐标系中，图形向右（左）平移m个单位，则图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）m个单位（m＞0）；图形向上（下）平移n个单位，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）n个单位（n＞0）．4（2011年广西桂林，10，3分）若点 P（a，a－2）在第四象限，则a的取值范围是（）． A．－2＜a＜0 B．0＜a＜2 C．a＞2 D．a＜0考点：根据第四象限点的坐标符号，得出a＞0，a-2＜0，即可得出0＜a＜2，选出答案即可．分析：根据第四象限点的坐标符号，得出a＞0，a-2＜0，即可得出0＜a＜2，选出答案即可．答案：解：∵点P（a，a-2）在第四象限，∴a＞0，a-2＜0，0＜a＜2．故选B．点评：此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及不等式的解法，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．5. （2011福建莆田，3，4分）已知点P（a,a-1）在平面直角坐标系的第一象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（）考点：在数轴上表示不等式的解集；点的坐标．专题：计算题．分析：由点P（a，a-1）在平面直角坐标系的第一象限内，可得，分别解出其解集，然后，取其公共部分，找到正确选项；解答：解：∵点P（a，a-1）在平面直角坐标系的第一象限内，∴.010 aa>⎧⎨->⎩，解得，a＞1；故选A．点评：本题考查了点的坐标及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．6. （2011台湾，17，4分）如图，坐标平面上有两直线L．M，其方程式分别为y＝9．y＝－6．若L上有一点P，M上有一点Q，PQ与y轴平行，且PQ上有一点R，PR：PQ＝1：2，则R点与x轴的距离为何（）A．1 B．4 C．5 D．10考点：坐标与图形性质。
山东省聊城市中考数学专题复习讲义 平面直角坐标系
复习精品讲义第六章平面直角坐标系本章小结小结1 本章概述直角坐标系是由两个互相垂直的数轴构成的，它是联系有序数对和平面内点的对应关系的桥梁，它更是整个数学领域的重要工具.它是在数轴上的点的坐标的基础上研究数与形的对应关系的.教材通过实例用有序数对来表示点的位置.运用有序数对建立了数学模型，将有序数对转化为平面直角坐标系中的点，验证了平面直角坐标系在实际生活中的广泛应用．小结2 本章学习重难点【本章重点】掌握平面内点的坐标的表示方法及求法；能建立适当的坐标系来描述某些点所处的位置.【本章难点】用坐标表示平面内点的位置及判断坐标平面上点的坐标.【学习本章应注意的问题】在本章的学习过程中，要正确理解有序数对的含义，熟悉平面直角坐标系的组成.在学习中，注意随时复习有关队列、方阵、班级座位以及在小学了解的长方形的性质，还要复习垂线和垂直的含义.在本章的学习中充分体现了数形结合思想，体会用有序数对表示物体位置的必要性．小结3 中考透视从近几年的考试题看，平面直角坐标系这一章主要考查已知点的坐标，确定点的位置及求其对称点的坐标，这类问题多以填空、选择形式出现，虽然难度不是很大，但有些问题的知识集合性还是较强的.可能会由于相关的其他章节的知识不扎实，而导致对点的位置的判断失误，还有就是考查通过建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置的能力，该问题难度不大，一般情况下，都是建立常规的平面直角坐标系（如向东为x轴正向，向北为y轴正向）同时给出单位长（有网格）.基本上占4分．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 平面直角坐标系中的点与坐标的对应关系【专题解读】平面直角坐标系中，坐标与点的对应关系，那平面内一点M有唯一的有序数对(x,y)和它对应；对于任意一有序数对(x,y)，在坐标平面内都有唯一的一点M和它对应.平面内点的坐标由横坐标和纵坐标确定,横、纵坐标的符号决定点所在的象阴，横坐标为0或纵坐标为0，说明点在y轴上或x轴上.例1 如图6-38所示，标出下列各点：A（5，3），B（-1.5,3.5），C（-4，-1），D（2，-3），E（3，0），F（0，-2），并写出图中下列各点的坐标：G（），H（），I（），J （），K（）.解：各点位置如图6-38所示.G（-3，1），H（2，2），I（-2，-4），J（3，-2），K（0，2）.【解题策略】要掌握确定平面内点的坐标的方法，注意不要把横纵坐标弄混.二、规律方法专题专题2 利用方程解题【专题解读】抓住平面直角坐标系的特征和点的坐标的意义是解决此类问题的关键.例2 若点（9-a,a-3）在第一、三象限的角平分线上，求a的值.解：因为点（9-a,a-3）在第一、三象限的角平分线上，所以9-a=a-3,所以a=6.【解题策略】把点的位置关系转化为数量关系，利用数量关系列方程求解.三、思想方法专题专题3 数形结合思想【专题解读】运用数形结合思想归纳总结特殊点的坐标特点.（1）四个象限内的点的坐标特征：如图6-39所示.若点(,)A a b在第一象限，则a＞0,b＞0;若点(,)A a b在第二象限，则a＜0,b＞0;若点(,)A a b在第三象限，则a＜0,b＜0;若点(,)A a b在第四象限，则a＞0,b＜0;（2）两坐标轴上的点的坐标特征：若点(,)A a b在x轴上，则a为任意实数，b=0;若点(,)A a b在y轴上，则a=0,b为任意实数；若点(,)A a b在原点，则a=b=0.（3）两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征：若点(,)A a b在第一、三象限的角平分线上，则a=b或a-b=0;若点(,)A a b 在第二、四象限的角平分线上，则a=-b 或a+b=0. （4）点到两坐标轴的距离：点P （x,y ）到x 轴的距离为|y|； 点P （x,y ）到y 轴的距离为|x|；（5）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同； 平行于y 轴的直线上的所有点的横坐标相同.（6）关于坐标轴及坐标原点对称的点的坐标特征. 点P(x,y)关于x 轴对称的点的坐标为(x,-y); 点P(x,y)关于y 轴对称的点的坐标为(-x,y); 点P （x,y ）关于原点对称的点的坐标为(-x,-y).例3 已知点B （3a+5,-6a-2）在第二、四象限的角平分线上.求2005a a -.分析 由已知求出a 的值，代入2005aa -中再求代数式的值，所以3a+5=-(-6a-2),所以a=1，故20052005110aa -=-=.【解题策略】在第二、四象限的角平分线上的点的坐标特征是横坐标与纵坐标互为相反数. 2011中考真题平面直角坐标系精选 一、选择题1. （2011山西，2，2分）点（－2，1）所在的象限是（ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限 考点：点的坐标 专题：直角坐标系分析：点（－2，1）的横坐标在x 轴的负半轴上，纵坐标在y 轴的正半轴上，所以点（－2，1）在第二象限，故选B ． 解答：B点评：根据点的横坐标、纵坐标的位置来确定．只要理解点的坐标的意义，掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征，就可以轻松地解答．2.在平面直角坐标系中，点P （-3，2）所在象限为（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限考点：点的坐标．分析：根据点在第二象限的坐标特点即可解答．解答：解：∵点的横坐标-3＜0，纵坐标2＞0， ∴这个点在第二象限． 故选B ．点评：解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．3. （2011湖南长沙，4，3分）如图，在平面直角坐标系中，点P （－1，2）向右平移3个单位长度后的坐标是（ ） A ．（2，2） B ．（－4，2） C ．（－1，5） D ．（－1，－1）考点：平移，直角坐标系专题：平移，直角坐标系分析：本题有两种方法解答：从一直接操作法，即在图中将点P（－1，2）向右平移3个单位长度后，画出对应点，即可从图中得到对应点的坐标；二是根据点的平移规律：在平面直角坐标系中，将点向左右平移，点的横坐标发生变化，其纵坐标不变，且横坐标是左减右加，从而平移后对应点的坐标是（－1＋3，2）即（2，2）．解答：A点评：设点P(m，n)，有：在平面直角坐标系中，图形向右（左）平移m个单位，则图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）m个单位（m＞0）；图形向上（下）平移n个单位，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）n个单位（n＞0）．4（2011年广西桂林，10，3分）若点 P（a，a－2）在第四象限，则a的取值范围是（）． A．－2＜a＜0 B．0＜a＜2 C．a＞2 D．a＜0考点：根据第四象限点的坐标符号，得出a＞0，a-2＜0，即可得出0＜a＜2，选出答案即可．分析：根据第四象限点的坐标符号，得出a＞0，a-2＜0，即可得出0＜a＜2，选出答案即可．答案：解：∵点P（a，a-2）在第四象限，∴a＞0，a-2＜0，0＜a＜2．故选B．点评：此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及不等式的解法，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．5. （2011福建莆田，3，4分）已知点P（a,a-1）在平面直角坐标系的第一象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（）考点：在数轴上表示不等式的解集；点的坐标．专题：计算题．分析：由点P（a，a-1）在平面直角坐标系的第一象限内，可得，分别解出其解集，然后，取其公共部分，找到正确选项；解答：解：∵点P（a，a-1）在平面直角坐标系的第一象限内，∴.010aa>⎧⎨->⎩，解得，a＞1；故选A．点评：本题考查了点的坐标及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．6. （2011台湾，17，4分）如图，坐标平面上有两直线L．M，其方程式分别为y＝9．y＝－6．若L上有一点P，M上有一点Q，PQ与y轴平行，且PQ上有一点R，PR：PQ＝1：2，则R点与x轴的距离为何（）A．1 B．4 C．5 D．10考点：坐标与图形性质。
山东省聊城市2022年中考数学专题复习讲义 二次函数
中考复习《二次函数》二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，是近几年河北中考热点之一。
学习二次函数，对于学生数形结合、函数方程等重要数学思想方法的培养，对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力具有十分重要意义。
二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。
其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。
利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题以解答题形式出现：一类是二次图象及性质的纯数学问题，如2022年河北中考11题，2022河北中考22题，2022河北中考22题；一类是利用二次函数性质结合其它知识解决实际问题的题目，如2022年河北中考26题，2022河北中考25题，2022河北中考24题。
考点1：二次函数的有关概念一般的，形如=abc（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。
例m取哪些值时，函数是以为自变量的二次函数考点2：二次函数的图象性质（1）抛物线的形状二次函数=abc（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
a和b共同决定对称轴。
C决定与轴交点。
（5）抛物线顶点坐标、对称轴、最大（小）值顶点式：=a-h2顶点坐标（h，），对称轴=h, 最大（小）值。
一般式：=abc顶点坐标，对称轴，最大（小）值为。
例1如图4，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂直．若小正方形的边长为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（）（m）与开始刹车时的速度（m/）之间满足二次函数（＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（）A．40 m/ B．20 m/C．10 m/ D．5 m/例3如图5，已知抛物线的对称轴为，点A，B均在抛物线上，且AB与轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为A．（2，3） B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）例4（2022河北中考8题）一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式h=-5t-126,则小球距离地面的最大高度是（）A 1米B 5米C .6米D .7米（t，0），且t ≠0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，请通过观察图象，指出此时的最小值，并写出t的值；（2）若，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．例6如图15，在平面直角坐标系中，点40m）与飞行时间t（单位：）之间具有关系h＝20t-5t2。
山东省聊城市中考数学专题复习讲义 勾股定理
复习精品讲义 第十八章 勾股定理本章小结小结1 本章概述本章主要学习勾股定理、勾股定理的逆定理及它们的应用.通过从特殊到一般的探索过程过程验证了直角三角形三边之间的数量关系——勾股定理，又由生活实例及三角形全等方法验证由三边关系得到直角三角形——勾股定理的逆定理.学习时应注意区分并把它们运用到实际问题中，同时了解定理、互逆命题、互逆定理的相关内容． 小结2 本章学习重难点 【本章重点】会灵活运用勾股定理进行计算及解决一些实际问题；掌握勾股定理的逆定理的内容及其证明过程，并会应用其解决一些实际问题.【本章难点】掌握勾股定理探索过程，并掌握其适用范围；理解勾股定理及其逆定量． 【学习本章注意的问题】在学习本章内容的过程中，主要注意勾股定理及其逆定理的应用.在解决实际问题的过程中常用下列方法：（1）直接法；（2）转化法；（3）构造图形法（即构造直角三角形以达到解题的目的）；（4）图形结合法；（5）数形结合法；（6）方程的思想方法. 小结3 中考透视本节知识在中考中以考查已知直角三角形的两边求第三边，运用勾股定理解决实际问题为主.其中定理在实际生活中的应用是热点，一般以选择题、填空题或解答题的形式出现，有时也与其他知识一起综合命题． 知识网络结构图专题总结及应用 知识性专题专题1 勾股定理及其逆定理的应用【专题解读】要证明以三条线段（或线段所在的直线）为边的三角形是直角三角形，应设法求出三边的长或关系式，利用勾股定理的逆定理证明.例1 如图18-69所示，在等腰直角三角形ABC 的斜边上取两点M ，N ，使∠MCN=45°，设AM=a,MN=x,BN=b,判断以x,a,b 为边长的三角形的形状. 分析 要判断三角形的形状，就应设法将x,a,b 放到一个三角形中，由于∠MCN=45°，因此可过点C 作CD ⊥MC ，截取CD=CM ，这样就可以得到全等的三角形，并把x,a,b 放到一个三角形中，进而利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状.直角三角形勾股定理拼图法验证 应用勾股定理的逆定理判断直角三角形 勾股数 应用解：作CD ⊥CM，且CD=CM，连接ND，BD，∵AC⊥BC，CD⊥CM，∴∠ACB=∠MCD=90°.∴∠ACM=∠BCD.又∵AC=BC，CM=CD，∴△CAM≌△CBD.∴∠CBD=∠A=45°,AM=BD=a.∴CM=CD,∠MCN=∠DCN=45°,CN=CN,∴△MCN≌△DCN. ∴ND=MN=x.∴∠CBA=∠CBD=45°, ∴∠NBD=∠CBA+∠CBD=90°.∴NB2+BD2=ND2,即b2+a2=x2,∴△NBD为直角三角形,即以x,a,b为边长的三角形是直角三角形.【解题策略】巧用已知条件构造全等三角形,将线段x,a,b放到一个三角形中,为应用勾股定理的逆定理创造了条件.例2 李老师让同学们讨论这样一个问题:如图18-70所示,有一个长方体盒子,底面正方形的边长为2 cm,高为3 cm.在长方体盒子下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面的F点处的食物,则怎样爬行路程最短?最短路程是多少?过了一会儿,李老师问同学们答案,甲生说:先由A点到B点,再走对角线BF.乙生说:我认为应由A先走对角线AC,再由C点到F点.丙生说:将长方形ABCD与长方形BEFC展开成方长形ABFG,利用勾股定理求AF的长.哪位同学的说法正确?还有其他方法吗?若有,请叙述出来,并说明理由.(参考数据:29≈5.392)分析要使蚂蚁爬行的路程最短,可直接连接AF,再求出AF,但AF在盒子里面,不符合题目要求,甲生和乙生的方法类似,只是顺序不同;丙生和丁生的方法类似,只是长方形的长、宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了.解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，如图18-71所示，则AE=AB+BE=4 cm,EF=3 cm,连接AF，在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=42+32=25，∵AF=5 cm.连接BF,∵AF＜AB+BF,∴丙的方法比甲的好.按丁生的办法:将长方形ABCD与正方法CFGD展开成长方形ABFG,如图18-72所示,则BF=BC+CF=3+2=5(cm),AB=2 cm,连接AF.在Rt△ABF中,AF2=BF2+AB2=52+22=29≈5.392,∴AF≈5.39(cm).连接AC,∵AF＜AC+CF,∴丁的方法比乙的好.比较丙生与丁生的计算结果,丙生的说法正确.规律方法专题专题2 利用勾股定理解决折叠问题【专题解读】折叠问题与轴对称和图形全等是密不可分的.做题时一定要抓住这一点,以免有无从下手之感.例3 如图18-73所示,将长方形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在点C′处,BC′交AC于E,AD=8,AB=4,求△BED的面积.分析由于12ABCS DE ABVg,所以只要求出DE的长即可,而DE=BE,AE=AD-DE=8-BE,在Rt △ABE 中,利用勾股定理列方程求解. 解:∵AD ∥BC,∴∠2=∠3.∵△BC ′D 与△BCD 关于直线BD 对称, ∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴EB=ED. 设EB=x,则ED=x,AE=AD-ED=8-x. 在Rt △ABE 中,AB2+AE2=BE2. ∴42+(8-x) 2=x2,∴x=5,∴DE=5.∴11541022ABC S DE AB ==⨯⨯=V g .专题3 利用面积关系解决问题【专题解读】利用勾股定理求出直角三角形的边长,进而求出面积,再利用面积的关系列出方程,从而解决问题.例4 如图18-74所示,在三角形ABC 中, ∠C=90°,两直角边AC=6,BC=8,在三角形内有一点P,它到各边的距离相等,则这个距离是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.无法确定分析 要想直接计算,需找出表示这个相等距离的线段,由角平分线的性质可知,点P 应是△ABC 各角平分线的交点,再由面积关系列方程求解. 设P 点到三边的距离为x,连接PA,PB,PC. 在Rt △ABC 中,AC=6,BC=8,所以AB2=AC2+BC2=62+82=36+64=100. 所以AB=10. 又因为ABC PAB PAC PBC S S S S =++V V V V ,所以11116810682222x x x⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯.即48=10x+6x+8x.所以x=2,故选B.【解题策略】这是一道方程与几何图形相结合的数学题,在几何图形问题中经常涉及解方程、求面积等相关计算.本题考查了勾股定理的实际应用. 三、思想方法专题 专题4 建模思想【专题解读】能运用勾股定理解决简单的实际问题，将其转化为数学问题，建立直角三角形的模型，体现了学数学、用数学的思想，通过建模解决问题. 例5 一船在灯塔C 的正东方向8海里的A 处，以20海里/时的速度沿北偏西30°方向行驶. 多长时间后,船距灯塔最近?多长时间后,船到灯塔的正北方向?此时船距灯塔有多远?(其中:162-82≈13.92)分析 最近距离就是点C 到船航线AB 的垂线段的长度,所以构造出直角三角形,再运用勾股定理及逆定理即可.解: (1)如图18-75所示,由题意可知,当船航行到D 点时,距灯塔最近, 此时,CD ⊥AB.因为∠BAC=90°-30°=60°,所以∠ACD=30°.所以AD=11822AC=⨯=4(海里).又因为4÷20=0.2(小时)=12(分),所以12分后,船距灯塔最近.(2)当船到达灯塔的正北方向的B点时, BC⊥AC.此时∠B=30°,所以AB=2AC=2×8=16(海里).所以16÷20=0.8(小时)=48(分).所以BC2=AB2-AC2=162-82≈13. 92.所以BC≈13.9(海里).所以48分钟后,船到达灯塔的正北方向,此时船距灯塔约13.9海里.【解题策略】在运用勾股定理及其逆定理时,一定要区别它们各自的适用条件,不要混淆. 例6 如图18-76所示,如果电梯的长、宽、高分别是1.2 m,1.2 m,2.1 m,那么能放到电梯内的竹竿的最大长度是多少？分析所放竹竿的最大长度应是图中线段AB的长度，利用勾股定理即可求解.解：连接AB，BC，在Rt△ABC中，BC2=1.22+1.22=2.88,AC2=2.12=4.41,∴AB2=BC2+AC2=2.88+4.41=7.29.∴AB=2.7 m.∴能放入电梯内的竹竿的最大长度是2.7 m.例7 有一圆柱形油罐，如图18-77(1)所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点正上方B点，则梯子最短需多少米？（已知油罐口的周长是12 m，高AB是5 m）分析把圆住体沿AB剪开，平铺在平面上，就会得到矩形ABB′A′，对角线AB′就是梯子的长度，如图18-77（2）所示.解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平，则ABB′A′为长方形AB=A′B′=5 m,AA′=BB′=12 m,∠BAA′=∠A′=∠A′B′B=90°,因此沿AB′建梯子,材料最省,梯子最短.在Rt△AA′B′中,AB′=2222125AA A B'+''=+=13(m).答:梯子最短需13 m.2011中考真题精选1. （2011内蒙古呼和浩特，9，3）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A. 14B. 15C. 23 D. 32考点：勾股定理．专题：计算题．分析：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股定理即可求出BD 的长．解答：解：以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF ． 可证∠FDB=90°，∠F=∠CBF ，∴DF=CB=1，BF=2+2=4，∴BD=2215BF DF -=．故选B ．点评：本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A 为圆心，AB 长为半径的圆，构建直角三角形，从而求解．2. （2011四川达州，6，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB=10，CD=8，那么线段OE 的长为（ ）A 、5B 、4C 、3D 、2考点：垂径定理；勾股定理。
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二、解题策略与解法精讲
• 选择题解题旳基本原则是：充分利用选择题旳特点，小题 小做，小题巧做，切忌小题大做.
• 解选择题旳基本思想是既要看到各类常规题旳解题思想， 但更应看到选择题旳特殊性，数学选择题旳四个选择支中 有且仅有一种是正确旳，又不要求写出解题过程. 因而， 在解答时应该突出一种“选”字，尽量降低书写解题过程， 要充分利用题干和选择支两方面提供旳信息，根据题目旳 详细特点，灵活、巧妙、迅速地选择解法，以便迅速智取， 这是解选择题旳基本策略. 详细求解时，一是从题干出发 考虑，探求成果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支 出发探求是否满足题干条件. 实际上，后者在解答选择题 时更常用、更有效.
• 例3 下列四个点中，在反百分比函数y＝− 旳图象上旳是（ ）
• A．（3，-2） B．（3，2） C．（2，3） D．（-2，-3）
• 思绪分析：根据反百分比函数中k=xy旳特点进行解答即可．
• 解：A、∵3×（-2）=-6，∴此点在反百分比函数旳图象上，故本选项正确； B、∵3×2=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误； C、∵2×3=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错误； D、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在反百分比函数旳图象上，故本选项错 误． 故选A．
• 思绪分析：反百分比函数旳图象是中心对称图形， • 则与经过原点旳直线旳两个交点一定有关原点对称． • 解：因为直线y=mx过原点，双曲线 旳两个分支有关原点对称，
所以其交点坐标有关原点对称，一种交点坐标为（3，4），另一种交 点旳坐标为（-3，-4）． 故选：C． • 点评：此题考察了函数交点旳对称性，经过数形结合和中心对称旳定 义很轻易处理．
• 一. 一次函数、反百分比函数和二次函数图象旳分析问题
中考数学专题复习(五)动手操作
五、动手操作问题第1课一、例题导引例1 将一张长为70㎝的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图所示的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60㎝，则原纸片的宽AB 是 ㎝.例2 用三种不同方法将正三角形ABC 分割成四个等腰三角形。
例3 直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如图1所示，请你用这种方法解决下列问题：（1）对任意三角形（如图2）设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形。
（2）对任意四边形（如图3），设计一种方案，将它们分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形。
例4 蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室，计划做长120㎝，宽30㎝的长条形桌面，现只有长80㎝，宽45㎝的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼起来的桌面符合要求。
（只要求画出裁剪、拼接图形，并标上尺寸）二、练习升华1、小亮拿着一张如图①所示的矩形纸，沿虚线对折一次得图②，再将对角两顶点重合折叠得图③，按图④沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，〔 〕A 、都是等腰三角形B 、都是等边三角形C 、两个直角三角形，一个等腰三角形D 、两个直角三角形，一个等腰梯形2、将一张菱形纸片，按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是〔 〕3、如图，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到一个小三角形的周长是. 4、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使 折痕的左侧部分比右侧部分短1㎝；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1 A B C D E F F E A B CD 例1图 例2图 ② ③ 中点 中点 ① ① ③ ② 图1 图2 图3 80㎝ 45㎝ 图①上折图② 图③ 图④ ③ ④A 左 右左 右 第一次折叠 图1图25、请将四个全等的直角梯形（如图所示）拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等不认为是不同的拼法）.6、某地砖厂要制作一批正六边形的地砖，为适应市场多样化需求，要求在地砖上设计的图案结构把正六边形6等分，请设计等分图案。
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中考数学专题：动手操作题(含答案)操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想．类型之一 折叠剪切问题折叠中所蕴含着丰富的数学知识，解决该类问题的基本方法就是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称图形”， 求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴．折叠问题不但能使有利于培养我们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力．1.将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形． 将纸片展开，得到的图形是2.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形3.如下左图：矩形纸片ABCD ，AB=2，点E 在BC 上，且AE=EC ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 ．4.如上右图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后，折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan ∠AED=2；③S △AGD=S △OGD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . 类型之二 分割图形问题分割问题通常是先给出一个图形（这个图形可能是规则的，也有可能不规则），然后让你用直线、线段等把该图形分割成面积相同、形状相同的几部分。
解决这类问题的时候可以借助对称的性质、面积公式等进行分割。
5.如图所示的方角铁皮，要求用一条直线将其分成面积相等的两部分，请你设计两种不同的分割方案（用铅笔画图，不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）．6.如图1，ABC △中，90C ∠，请用直尺和圆规作一条直线，把ABC △分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．类型之二拼合图形问题拼图是几个图形按一定的规则拼接在一起的一种智力游戏，此类试题不仅可以考查学生的观察能力、空间想象能力、判断能力和综合分析能力，通过拼图也能加强同学们对图形的直观认识，能更好地判定所求图形的具体特征.7.如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可以是下列图形中的（）A．三角形 B．平行四边形C．矩形 D．正方形8.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．9.从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为．（只填写拼图板的代码）10.如图，方格纸中有一透明等腰三角形纸片，按图中裁剪线将这个纸片裁剪成三部分．请你将这三部分小纸片重新分别拼接成；（1）一个非矩形的平行四边形；（2）一个等腰梯形；（3）一个正方形．请在图中画出拼接后的三个图形，要求每张三角形纸片的顶点与小方格顶点重合．11．如图所示，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形，如图①中的三角形是格点三角形．（1）请你在图①中画一条直线将格点三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同的格点四边形，并将这两个格点四边形分别画在图②，图③中；（2）直接写出这两个格点四边形的周长．类型之四探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念．12．小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中∠ACB=α，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△EFD纸片的直角顶点D 落在△ACB纸片的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上.（1）若ED与BC相交于点G，取AG的中点M，连接MB、MD，当△EFD纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量MB、MD的长度，猜想并写出MB与MD的数量关系，然后证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，求出∠BMD的大小（用含α的式子表示），并说明当α=45°时，△BMD是什么三角形？（3）在图3的基础上，将△EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时△CGD变成△CHD，同样取AH的中点M，连接MB、MD（如图4），请继续探究MB与MD 的数量关系和∠BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明α为何值时，△BMD 为等边三角形.参考答案1.【解析】本题是折叠、裁减问题，折叠会体现对称，可以动手操作验证。
【答案】C2.【解析】本题一方面考查学生的空间想象能力，另一方面还考查学生的动手操作能力。
当学生的空间想象受到影响时，可借助动手实践，直接折纸、剪纸，得到答案。
答案为D 。
【答案】D3.【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE，因为AE=EC 所以∠CAE=∠ACE，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE，三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4 【答案】44.【解析】由折叠知：∠ADG=∠GDO 根据外角定理∠AGD=∠GDO+∠GOD 而∠GOD=90°，∠GDO= 21∠ADO=22.5°得∠AGD=112.5°所以①正确。
由折叠知△AGD≌△FGD 得S△AGD=S△FGD所以③错误。
∠AED=90°-22.5°=67.5°，∠AGE=45°+22.5°=67.5°故∠AED=∠AGE 可得AE=AG ，易证AG=FG ，AE=EF ，从而得AG=FG=AE=EF 。
所以④正确。
BE=2EF ，EF= FG=2OG ，故BE=2OG 所以⑤正确。
AE= FG=2OG ，AD= AB=AE+ BE=（2+2）OG ，在Rt△AED 中tan∠AED=AE AD=222 ，所以②错误。
【答案】①④⑤．5.【解析】通过计算可以得知整个图形的面积为12，我们只需截出一个面积为6的图形就可以把图形面积一分为二。
【答案】参考答案如下图6.【解析】当一个三角形是直角三角形的时候，只要作出斜边的中线即可得到两个等腰三角形，对于非直角三角形，则需要把此三角形的一个角作为分割出来的三角形的一个角进行讨论.【答案】解：（1）如图，直线CM 即为所求（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形， 分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°，图3不能分割成两个等腰三角形． 7.【解析】本题一方面考查学生的空间想象能力，另一方面还考查学生的动手操作能力。
当学生的空间想象受到影响时，可借助动手实践，去拼一拼。
答案为B 。
【答案】B8.【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等。
【答案】答案不唯一． 可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．9.【解析】本题是一道动手操作题。
可以动手把几个图板进行拼接找出能够拼成矩形的四块。
本题考查学生的动手能力和观察能力。
根据每块图板的特征进行合理拼接，完成本题。
【答案】①②③④10.【解析】解决本题的关键是熟悉特殊四边形的判定 【答案】解：如图所示．11.【答案】（1）答案不唯一，如分割线为三角形的三条中位线中任意一条所在的直线等． 拼接的图形不唯一，例如下面给出的三种情况：图①~图④，图⑤~图⑦，图⑧~图⑨，画出其中一组图中的两个图形．（2）对应（1）中所给图①~图④的周长分别为4+8，4+4+图⑤~图⑦的周长分别为10，8+8+图⑧~图⑨的周长分别为2+4+12.【解析】通过动手操作，我们可以测量得到MB=MD ，然后加以证明即可；当α=45°时，△BMD 为一个特殊的三角形，通过观察，此三角形是等腰直角三角形，这就需要证明这个三角形中有90°和45°的角；对于（3），我们可以先假设这个三角形是△BMD 为等边三角形，然后求出α的大小，然后根据α的大小得到△BMD 为等边三角形. 【答案】解：（1）MB=MD证明：∵AG 的中点为M ∴在ABG Rt ∆中， AG MB 21=在ADG Rt ∆中，AG MD 21=，∴MB=MD（2）∵BAM ABM BAM BMG ∠=∠+∠=∠2 同理DAMADM DAM DMG ∠=∠+∠=∠2∴BMD ∠=DAM BAM ∠+∠22=BAC ∠2 而α-=∠090BAC∴α21800-=∠BMD∴当045=α时，090=∠BMD ，此时△BMD 为等腰直角三角形.（3）当△CGD 绕点C 逆时针旋转一定的角度，仍然存在MB=MD ，α21800-=∠BMD故当060=α时，△BMD 为等边三角形.。