第十八讲+简谐振动+(3)详解
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大学物理(简谐振动篇)ppt课件
通过图表展示实验结果，如位移-时间 图、速度-时间图等，以便更直观地分 析振动特性。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验目的通过观察Βιβλιοθήκη 测量波动现象，验证波动方程的正确性。
实验原理
利用波动方程描述波的传播规律，通过实验数据验证理论预测。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验设计思路
选择合适的波动源和测量仪器，如振动台、激光 干涉仪等。
01
实验步骤
02
搭建实验装置，包括弹簧、振子、测量仪器等。
调整实验参数，如弹簧劲度系数、振子质量等，以获得不同条
03
件下的振动数据。
弹簧振子实验设计思路分享
使用测量仪器记录振动的位移、速度 、加速度等数据。
对实验数据进行处理和分析，提取简 谐振动的基本特征。
单摆实验数据处理技巧指导
实验目的
通过观察和测量单摆的运动，研究简谐振动的基本规律。
波动传播速度
波动在介质中传播的速度称为波动传播速度。对于简谐振动 形成的机械波而言，波动传播速度与介质的性质有关，如弹 性模量、密度等。同时，波动传播速度还与振动的频率有关 ，频率越高则波动传播速度越快。
02
简谐振动的动力学特征
回复力与加速度关系
回复力定义
指向平衡位置的力，大小与位移成正比，方 向始终指向平衡位置。
1 研究非线性振动现象
通过设计和实施非线性振动实验，探索非线性振动的基 本规律和特性，如混沌现象、分岔行为等。
2 探究复杂系统中的振动传播
研究复杂网络中振动传播的动力学行为，揭示网络结构 对振动传播的影响机制。
3 开发新型振动传感器件
结合微纳加工技术和振动理论，设计并制作具有高灵敏 度、高分辨率的振动传感器件，应用于精密测量和工程 领域。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验目的通过观察Βιβλιοθήκη 测量波动现象，验证波动方程的正确性。
实验原理
利用波动方程描述波的传播规律，通过实验数据验证理论预测。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验设计思路
选择合适的波动源和测量仪器，如振动台、激光 干涉仪等。
01
实验步骤
02
搭建实验装置，包括弹簧、振子、测量仪器等。
调整实验参数，如弹簧劲度系数、振子质量等，以获得不同条
03
件下的振动数据。
弹簧振子实验设计思路分享
使用测量仪器记录振动的位移、速度 、加速度等数据。
对实验数据进行处理和分析，提取简 谐振动的基本特征。
单摆实验数据处理技巧指导
实验目的
通过观察和测量单摆的运动，研究简谐振动的基本规律。
波动传播速度
波动在介质中传播的速度称为波动传播速度。对于简谐振动 形成的机械波而言，波动传播速度与介质的性质有关，如弹 性模量、密度等。同时，波动传播速度还与振动的频率有关 ，频率越高则波动传播速度越快。
02
简谐振动的动力学特征
回复力与加速度关系
回复力定义
指向平衡位置的力，大小与位移成正比，方 向始终指向平衡位置。
1 研究非线性振动现象
通过设计和实施非线性振动实验，探索非线性振动的基 本规律和特性，如混沌现象、分岔行为等。
2 探究复杂系统中的振动传播
研究复杂网络中振动传播的动力学行为，揭示网络结构 对振动传播的影响机制。
3 开发新型振动传感器件
结合微纳加工技术和振动理论，设计并制作具有高灵敏 度、高分辨率的振动传感器件，应用于精密测量和工程 领域。
简谐振动教程(详细)
Ⅰ.谐振特点 Ⅱ.谐振描述 x-t曲线 几何表示 旋转矢量
振动方程x =Acos( t+φ )（单位）
1 Ek E p EM kA 2 Ⅲ.机械能守恒 2 Ⅳ.同方向同频率的谐振动合成
28
投影到任意轴？
A
φ
x
x A cost
投影到X轴, 描述X方向的谐振动
x
Y
14 投影到Y,描述Y方向的谐振
旋转矢Байду номын сангаас与振动的对应量
Rotational vector and phase
t
A
φ
t0
相差？
x
t
对应量 旋转矢量 简谐振动 A 长度 振幅 φ 初角 t+φ 夹角 位相 x 投影 位移 15 角速度
圆频率 初位相
思考: 在旋转矢量图上怎样表现位相 超前或落后、相差、 同相、反相？
2 1
o
x
2 1
x
2 1
o
o
16
x
例1. 按图写振动方程。x 10 cos( t 2 )m 3 x(m) 10 2 t (s) -5 x(m) 10 1
x 10 cos( t 3 )m 2
A cos t
合成后仍然是谐振。式中A和为：
24
x A cost
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos 2 1
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A cos A cos 1 2 2 1
解：
A2
A
A 1
A 22 42 2 5
简谐振动解析振动规律与周期
简谐振动解析振动规律与周期简谐振动是物体在恢复力作用下沿着一条直线上周期性地来回振动的运动方式。
在物理学中，简谐振动是一种极为常见的现象，它涉及到许多重要的物理概念和数学方法。
本文将对简谐振动的解析表达式、振动规律以及周期进行详细阐述。
一、简谐振动的解析表达式简谐振动的数学描述通常采用正弦函数来表示。
具体而言，假设物体的振动方程为：$x = A \sin (\omega t + \phi)$其中，$x$表示物体的位移，$A$表示振幅，$\omega$表示角频率，$t$表示时间，$\phi$表示初始相位。
在上述公式中，角频率$\omega$与周期$T$之间满足以下关系：$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$二、简谐振动的振动规律在简谐振动中，物体在振动过程中呈现出一系列特征，包括振幅、频率、周期和相位等。
1. 振幅振幅$A$代表了物体在振动过程中离开平衡位置的最大位移距离。
振幅越大，代表物体的振动范围越广。
2. 频率频率$f$表示单位时间内振动的次数，它与周期$T$之间的关系为：$f = \dfrac{1}{T}$3. 周期周期$T$代表完成一次完整振动所需要的时间。
周期与频率之间具有倒数关系，即$T = \dfrac{1}{f}$。
4. 相位相位$\phi$描述了物体在某一时刻相对于振动的起点所处的位置。
相位的变化会导致振动曲线的形状和位置发生相应的变化。
三、简谐振动的周期简谐振动的周期可以通过振动方程中的角频率来计算。
根据前面提到的关系$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$，可以推导出简谐振动的周期公式：$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$在实际问题中，我们可以通过已知的条件来计算出振动的周期。
例如，如果已知某物体的角频率为$\omega = 2\pi \ rad/s$，则该物体的振动周期为$T = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1 \ s$。
简谐振动及其特征PPT教学课件
平衡位置:振动物体能够静止时的位置。
（1）振动中的位移x都是以平衡位置为起点 的，因此，方向就是从平衡位置指向末位置的 方向，大小就是这两位置间的距离，两个“端 点”位移最大，在平衡位置位化图线?
位移随时间变化 关系图是正弦或 余弦曲线.
简谐运动中位移、加速度、速度、动 量、动能、势能的变化规律
d、振子的振幅是____振子在6秒内
f 5
et、/通s c过点的的路位程移_________回. 复力方向____
大小___加速度方向___大小___.
f、d点的位移____回复力____
加速度___速度______.
g、势能最大的点有_________.
动能最大的点有_________.
h、t=2.5s时，振子的位移方向____.
振子在振动过程中，所受重力与支持力 平衡，振子在离开平衡位置 O 点后，只受 到弹簧的弹力作用，这个力的方向跟振子 离开平衡位置的位移方向相反，总是指向 平衡位置，所以称为回复力。
胡克定律
在弹簧发生弹性形变时，弹簧振
子的回复力F与振子偏离平衡位置 的位移x大小成正比，且方向总是
相反，即：
F kx
简谐运动的特点：
1、简谐振动是最简单、最基本的运动，简谐 振动是理想化的振动。
2、回复力与位移成正比而方向相反，总是指 向平衡位置。
3、简谐运动是一种理想化的运动，振动过程 中无阻力，所以振动系统机械能守恒。
4、简谐运动是一种非匀变速运动。 5、位移随时间变化关系图是正弦或余弦曲线.
小结
机 1、定义
B O O B’ B’ O
向右 向左 向左 减小 增大 减小
向左 向右 向右 减小 增大 减小 向左 向左 向右 增大 减小 增大 增大 减小 增大 减小 增大 减小
简谐振动的特征及其描述.ppt
第一节 引言
机械振动 物体在它的平衡位置附近所作的 往复运动。如声源的振动、钟摆的摆动等。
物体发生机1械7振-动的条件： 物体受到始终指1 向平衡位置的回复力；
物体具有惯性。
掌握机c械ha振r动a的ct基er本i规st律ic是a研n究d其d它es形c式ri振be动o的f基础。 simple harmonic motion
取摆幅很小
则
运动学特征
对于给定的弹簧振子 则 得
X
为常量，其比值亦为常量。令 即
简谐振动微分方程
该微分方程的解 通常表成余弦函数
A
简谐振动方程
A 为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。
简谐振动的速度
A
简谐振动的加速度
A
应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动方程
简谐振动的振动方程
A
简谐振动的速度
w A wt j
Aw
X
任一时刻的 和 值， 其正负号仅表示方向。
同号时为加速 异号时为减速
O
X
A
A
简谐振动的
曲线
0.04
完成下述简谐振动方程
0.04
例一
1
2
w
t=0
A = 0.04 (m) T = 2 (s)
w = 2 p / T = p (rad /s )
0.04
p
p SI
2
A
v0
=p/2
A 从 t = 0 作反时针旋转时，
A
0.19 ( m ·s -1 )
A
1.03 ( m ·s -2 )
两质点 1、2
同在 X 轴上作简谐振动
振幅 A 相同
周期均为 T = 8.5s
简谐运动详解ppt课件
（3）在平衡位置上方时，弹簧处于压缩状态（也可能拉伸），
则位移向上为负，小球合力为正，大小为：
F k(x x0 ) mg kx 或：F mg k(x0 x) kx 所以回复力与位移的关系为 F kx
总结：小球在运动过程中所受弹力和重力的合力大小 与小球偏离平衡位置的位移成正比，方向总和位移的
例3、如图5所示，一水平弹簧振子在A、B 间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子 的质量为M.
(1) 简 谐 运 动 的 能 量 取 决 于 _振__幅__ ， 物 体 振 动 时 动 能 和 __弹___性__势_能相互转化，总机械能__守__恒_.
(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是( ABD) A.振子在平衡位置，动能最大，势能最小 B.振子在最大位移处，势能最大，动能最小 C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的 作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和 回复力作用
C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡
位置
2.弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡 位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30
E
Ek
Ep
1 2
mvm2
E pm
又因为最大势能取决于振幅，所以：
简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动能量越 大；振幅越小，振动能量越小。
若阻力不能忽略不计，则振动能量减小，振幅减小，这不是简 谐运动，而是第4节将学习的阻尼振动。
A A--O O 0—A’ A’ A’--O O
位移的方向
正
正
—
通过分析右图体会一次完整的全振动， 特别要注意的是：一个周期时物体肯定回 到了出发位置，但物体回到出发位置的时 间不一定是一个周期。
则位移向上为负，小球合力为正，大小为：
F k(x x0 ) mg kx 或：F mg k(x0 x) kx 所以回复力与位移的关系为 F kx
总结：小球在运动过程中所受弹力和重力的合力大小 与小球偏离平衡位置的位移成正比，方向总和位移的
例3、如图5所示，一水平弹簧振子在A、B 间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子 的质量为M.
(1) 简 谐 运 动 的 能 量 取 决 于 _振__幅__ ， 物 体 振 动 时 动 能 和 __弹___性__势_能相互转化，总机械能__守__恒_.
(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是( ABD) A.振子在平衡位置，动能最大，势能最小 B.振子在最大位移处，势能最大，动能最小 C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的 作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和 回复力作用
C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大 D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡
位置
2.弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡 位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30
E
Ek
Ep
1 2
mvm2
E pm
又因为最大势能取决于振幅，所以：
简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动能量越 大；振幅越小，振动能量越小。
若阻力不能忽略不计，则振动能量减小，振幅减小，这不是简 谐运动，而是第4节将学习的阻尼振动。
A A--O O 0—A’ A’ A’--O O
位移的方向
正
正
—
通过分析右图体会一次完整的全振动， 特别要注意的是：一个周期时物体肯定回 到了出发位置，但物体回到出发位置的时 间不一定是一个周期。
大学物理(简谐振动篇)PPT课件
cost 0≤1
x ≤A ——振动的强弱
3. T ——周期
振动状态重复一次所需要的时间,描述振动的快慢.
A c o s [( t T ) 0 ] A c o s (t 0 )
T 2π
T 2π
1 ——振动的频率
T 物体在单位时间内发生完全振动的次数
第11章 机械振动
10
2π ——角频率（圆频率）.
大学物理下册
目录：
第四篇 振动和波动：(12)
第十一章 机械振动(5)
第十二章 机械波(7)
第五篇 光学：(18)
第十三章 几何光学 第十四章 波动光学(6\8\4)
第二篇 热学：(14)
第四章 气体动理论（6） 第五章 热力学（8）
第六篇 近代物理基础：(2)
第十五章 狭义相对论基础
第十六章 从经典物理到量子物理
精选PPT课件 4
第十一章 机械振动
什么是振动？
一个物理量（如位置、电量、电流、电压、温度……） 在某一确定值附近随时间作周期性的变化，则该物理量的 运动形式称为振动。
机械振动 ：位移x 随时间t 的往复变化 电磁振动：电场、磁场等电磁量随t的往复变化
微观振动：如晶格点阵上原子的振动
振动分类
振动
受迫振动 自由振动
当t＝0时， x0 1cm, 0 0 , 试写出振动方程。
解 取平衡位置为坐标原点
简谐振动的表达式： xAcos(t0)
由初始条件： x0 1cm, 0 0
x0
Acos0
,cos0
x0 A
1 2
0
3
0Asin00
sin0
0, 0
－ 3
振动方程： x 2cos( k t )
简 谐 振 动
周期、频率和角频率都是描述物体振动快慢的物理量。在
国际单位制中，周期的单位为秒（s）；频率的单位为赫兹 （Hz）；角频率的单位为弧度每秒（rad/s）。
对弹簧振子，由于
k
m
故有：
T 2π m k
1 k
2π m
由上式可以看出，弹簧振子的周期和频率都是由物体的质量 m和弹簧的劲度系数k所决定的，即只与振动系统本身的物理性 质有关。因此，我们将这种由振动系统本身的性质所决定的周期 和频率称为固有周期和固有频率。
v dx Asin（t ）
dt
a
d2x dt 2
2 Acos（t
）
【例10-1】如下图所示，一质量为m、长度为l的均质细棒 悬挂在水平轴O点。开始时，棒在垂直位置OO′，处于平衡状态。 将棒拉开微小角度θ后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖 直平面内来回摆动。此装置是最简单的物理摆，又称为复摆。 若不计棒与轴的摩擦力和空气阻力，棒将摆动不止。试证明在 摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动。
由胡克定律可知，在弹性限度内，物体受到的弹力F的大小 与其相对平衡位置的位移x成正比，即F＝－kx
上式中，负号表示弹力的方向与位移的方向相反，始终指向 平衡位置，因此，此力又称为回复力。
根据牛顿第二定律可知，物体的加速度为：
a F k x mm
因k和m都是正值，其比值可用一个常数ω的平方表示，即ω2 ＝k/m，故上式可写为：
物理学
简谐振动
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余 弦函数或正弦函数的规律随时间变化，则这种运动称为简谐振 动。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的振动及单摆的小角度摆 动等都可视为简谐振动。
1.1 简谐振动的运动方程
如下图所示，一轻弹簧（质量可忽略不计）放置在光滑水平 面上，一端固定，另一端连一质量为m的物体。这样的系统称为 弹簧振子，它是物理学中的又一理想模型。
国际单位制中，周期的单位为秒（s）；频率的单位为赫兹 （Hz）；角频率的单位为弧度每秒（rad/s）。
对弹簧振子，由于
k
m
故有：
T 2π m k
1 k
2π m
由上式可以看出，弹簧振子的周期和频率都是由物体的质量 m和弹簧的劲度系数k所决定的，即只与振动系统本身的物理性 质有关。因此，我们将这种由振动系统本身的性质所决定的周期 和频率称为固有周期和固有频率。
v dx Asin（t ）
dt
a
d2x dt 2
2 Acos（t
）
【例10-1】如下图所示，一质量为m、长度为l的均质细棒 悬挂在水平轴O点。开始时，棒在垂直位置OO′，处于平衡状态。 将棒拉开微小角度θ后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖 直平面内来回摆动。此装置是最简单的物理摆，又称为复摆。 若不计棒与轴的摩擦力和空气阻力，棒将摆动不止。试证明在 摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动。
由胡克定律可知，在弹性限度内，物体受到的弹力F的大小 与其相对平衡位置的位移x成正比，即F＝－kx
上式中，负号表示弹力的方向与位移的方向相反，始终指向 平衡位置，因此，此力又称为回复力。
根据牛顿第二定律可知，物体的加速度为：
a F k x mm
因k和m都是正值，其比值可用一个常数ω的平方表示，即ω2 ＝k/m，故上式可写为：
物理学
简谐振动
物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余 弦函数或正弦函数的规律随时间变化，则这种运动称为简谐振 动。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的振动及单摆的小角度摆 动等都可视为简谐振动。
1.1 简谐振动的运动方程
如下图所示，一轻弹簧（质量可忽略不计）放置在光滑水平 面上，一端固定，另一端连一质量为m的物体。这样的系统称为 弹簧振子，它是物理学中的又一理想模型。
简谐振动的运动学讲解PPT课件
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的
运动为简谐运 动.
第17页/共32页
x Acos(t )
t 0
o
A
x0 x
x0 Acos
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的
运动为简谐运 动.
第18页/共32页
t t
o
A
t
x
x Acos(t )
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
(t 2 ) (t 1)
2
1
第25页/共32页
2 1
0同步 x
超前
π 反相 为其它 落后
x
x
o
to
o
t
t
第26页/共32页
例 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，其振幅 为0.08 m，周期为4 s，起始时刻物体在x=0.04 m 处，向ox轴负方向运动（如图）.试求 （1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所受的力；
2
0.04 π)
3
m
t 1.0 s 代入上式得
x 0.069 m
F kx m 2 x 1.70103 N
A π 3
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x/m
第28页/共32页
（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需要的最短时间.
法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所需要的最短 时间为t
A cos(t π)
2
o
A
a A 2 cos(t )
第一章(简谐振动)(3-4)PPT课件
为调幅波，通常的电视
图像信号和中短波广播
T
信号都是调幅波。23
个人观点供参考，欢迎讨论
和差化积有： x(t)x1(t)x2(t)A (c o 1t sco 2ts) A co stco 0ts
sin α+sinβ=2cos[(α-β)/2]·sin[(α+β)/2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
22
两个不同频率振动的叠加
此处 (2 1 ) /2 , 0 (1 2 ) /2
T 2
T0
2 0
若频率差很小，有：
这时的响应如图
x(t)
0
T T0
x(t)A co stco 0ts
类似的波形在电学中称
第一章 简谐振动与频谱分析
1
1.1 简谐振动
简谐振动 ——最简单最基本的一种振动形式 周期性振动借助傅里叶级数表示成一系列简谐振动 的叠加，该过程称为谐波分析 非周期性振动借助富里叶积分表示成一系列简谐振 动的叠加
2
3
刚
4
1.1、简谐振动
定义：简谐运动是最简单的周期运动，它是时间的单 一正弦或余弦函数 。
速度相位超前位移90度，加速度相位又超前速度90度
x2x
即加速度大小与位移与正比，但方向总与位移相反，写成微分 的形式:
d2x 2x 0
dt2
8
这个微分方程的解是圆频率为ω的正弦或余弦函数
1.2 常用的简谐振动表示方法
高三物理简谐振动PPT课件
简谐振动
1
简谐运动的基本概念 1.定义
物体在受到跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总 指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。 表达式为：F= -kx
（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。也 就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在 平衡位置处。
（2）回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动方向 上所受的合力。
振 幅
f
微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千…
0 f′
⑵防止共振的有：机床底座、航海、 军队过桥、高层建筑、火车车厢…
共振曲线
10
gk005.2008年高考江苏卷12B. (3) 12.B⑶（选修模块3—4）描述简谐运动特征的公式 是x＝ Asinωt ．自由下落的篮球经地面反弹后上 升又落下．若不考虑空气阻力及在地面反弹时的能 量损失，此运动不是 （填“是”或“不是”）简谐 运动. 解析： 简谐运动的特征公式为x = Asinωt，其中A是振幅； 自由落体由反弹起来的过程中，回复力始终为重力， 恒定不变，与偏离平衡位置的位移不是成正比的， 不符合简谐运动的规律。
T与摆球质量m、振幅A都无关。其中l为摆长，表示从 悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。
（3）小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同. 只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。 这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小 球半径r的差。
（4）秒摆的周期为2秒
9
三、 受迫振动与共振 1.受迫振动 物体在驱动力(即周期性外力)作用下的振动叫受迫振动.
（3）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的 弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧 弹力和重力的合力。
8
2. 单摆 （1）单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是 重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但 合力是向心力，指向悬点，不为零。
1
简谐运动的基本概念 1.定义
物体在受到跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总 指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。 表达式为：F= -kx
（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。也 就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在 平衡位置处。
（2）回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动方向 上所受的合力。
振 幅
f
微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千…
0 f′
⑵防止共振的有：机床底座、航海、 军队过桥、高层建筑、火车车厢…
共振曲线
10
gk005.2008年高考江苏卷12B. (3) 12.B⑶（选修模块3—4）描述简谐运动特征的公式 是x＝ Asinωt ．自由下落的篮球经地面反弹后上 升又落下．若不考虑空气阻力及在地面反弹时的能 量损失，此运动不是 （填“是”或“不是”）简谐 运动. 解析： 简谐运动的特征公式为x = Asinωt，其中A是振幅； 自由落体由反弹起来的过程中，回复力始终为重力， 恒定不变，与偏离平衡位置的位移不是成正比的， 不符合简谐运动的规律。
T与摆球质量m、振幅A都无关。其中l为摆长，表示从 悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。
（3）小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同. 只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。 这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小 球半径r的差。
（4）秒摆的周期为2秒
9
三、 受迫振动与共振 1.受迫振动 物体在驱动力(即周期性外力)作用下的振动叫受迫振动.
（3）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的 弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧 弹力和重力的合力。
8
2. 单摆 （1）单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是 重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但 合力是向心力，指向悬点，不为零。
简谐振动(课件)
第一章 机械振动
1.1 简谐振动
思考: 思考:
这些物体的运动有什么特点? 这些物体的运动有什么特点?
①往复性 平衡位置) ②有一个中心位置(平衡位置 有一个中心位置 平衡位置
尝试再举一些例子？ 尝试再举一些例子？
机械振动是生活中常见的运动形式
被手拨动的弹簧片
上下跳动的皮球 上下跳动的皮球 小鸟飞离后颤动的树 小鸟飞离后颤动的树 枝
增大 向左 增大 向右 增大
向左 向左 向左 0 增大 最大 减小 0 向右 向右 向左 向左 向左 向右 0 增大 最大 减小 0 增大 最大 减小 向右 向右 向右 向左 向左 向左
思考
如图所示， 如图所示，某一时刻弹簧振子的小球运动 到平衡位置右侧，距平衡位置O 3cm处的 处的B 到平衡位置右侧，距平衡位置O点3cm处的B点， 已知小球的质量为1kg 1kg， 已知小球的质量为1kg，小球离开平衡位置的 最大距离为5cm 弹簧的劲度系数为200N/m 5cm， 200N/m， 最大距离为5cm，弹簧的劲度系数为200N/m， 求： （1）最大回复力的大小是多少？ 最大回复力的大小是多少？
O B
（2）在B点时小球受到的回复力的大小和方向？ 点时小球受到的回复力的大小和方向？ （3）此时小球的加速度大小和方向？ 此时小球的加速度大小和方向？ （4）小球的运动方向怎样？ 小球的运动方向怎样？
机械振动： 一、机械振动： 1.定义 物体在平衡位置附近所做的往复运动 定义:物体在平衡位置附近所做的往复运动 定义 物体在平衡位置附近所做的往复运动. 2.特点 特点: 对称性; 周期性. 特点 对称性 周期性 弹簧振子模型： 二、弹簧振子模型： 1.小球看成质点 2.忽略弹簧质量 3.忽略摩 小球看成质点; 忽略弹簧质量; 小球看成质点 忽略弹簧质量 忽略摩 擦力. 擦力
1.1 简谐振动
思考: 思考:
这些物体的运动有什么特点? 这些物体的运动有什么特点?
①往复性 平衡位置) ②有一个中心位置(平衡位置 有一个中心位置 平衡位置
尝试再举一些例子？ 尝试再举一些例子？
机械振动是生活中常见的运动形式
被手拨动的弹簧片
上下跳动的皮球 上下跳动的皮球 小鸟飞离后颤动的树 小鸟飞离后颤动的树 枝
增大 向左 增大 向右 增大
向左 向左 向左 0 增大 最大 减小 0 向右 向右 向左 向左 向左 向右 0 增大 最大 减小 0 增大 最大 减小 向右 向右 向右 向左 向左 向左
思考
如图所示， 如图所示，某一时刻弹簧振子的小球运动 到平衡位置右侧，距平衡位置O 3cm处的 处的B 到平衡位置右侧，距平衡位置O点3cm处的B点， 已知小球的质量为1kg 1kg， 已知小球的质量为1kg，小球离开平衡位置的 最大距离为5cm 弹簧的劲度系数为200N/m 5cm， 200N/m， 最大距离为5cm，弹簧的劲度系数为200N/m， 求： （1）最大回复力的大小是多少？ 最大回复力的大小是多少？
O B
（2）在B点时小球受到的回复力的大小和方向？ 点时小球受到的回复力的大小和方向？ （3）此时小球的加速度大小和方向？ 此时小球的加速度大小和方向？ （4）小球的运动方向怎样？ 小球的运动方向怎样？
机械振动： 一、机械振动： 1.定义 物体在平衡位置附近所做的往复运动 定义:物体在平衡位置附近所做的往复运动 定义 物体在平衡位置附近所做的往复运动. 2.特点 特点: 对称性; 周期性. 特点 对称性 周期性 弹簧振子模型： 二、弹簧振子模型： 1.小球看成质点 2.忽略弹簧质量 3.忽略摩 小球看成质点; 忽略弹簧质量; 小球看成质点 忽略弹簧质量 忽略摩 擦力. 擦力
简谐振动知识点精解
简谐振动·知识点精解1．简谐振动的特征(1)简谐振动的定义在跟对平衡位置的位移成正比而方向相反的回复力作用下的振动，叫简谐振动。
①做简谐振动的回复力是由物体所受的合外力或某个力的分力提供。
②简谐振动物体回复力的表达式为：F=-kx(2)简谐振动的动力学特征F=-kx式中的k为回复力与位移的比例常数(未必是弹簧的劲度系数)，x是相对平衡位置的位移，负号表示回复力的方向始终与位移方向相反。
(3)简谐振动的运动学特征振动的位移随时间接正弦或余弦规律变化。
2．弹簧振子的振动过程具体情况见下表：3．单摆的周期公式(1)单摆做简谐振动①在物理学里，单摆是实际摆的理想化，是指在一根不能伸长，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置。
②单摆做简谐振动的条件：振动过程中的最大编角不超过5°。
③单摆做简谐振动的回复力是重力mg沿圆弧切线的分力F=mgsinα提供(不要误认为是摆球所受的合外力)。
当α很小时(5°以下)，圆弧可以近似地看成直线，分力F可以近似地看作沿这条直线作用，OP就是摆锤偏离平衡位置的位移。
如图7-3所示。
设摆长是l，因为sin式中负号表示力F跟位移x的方向相反。
由于m、g、l都有一定的数值，mg/l可以用一个常数k来代替，所以上式可以写成F=-kx可见，在摆角很小情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐振动。
(2)单摆的周期公式①在摆角很小情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆锤的质量和振幅无关。
②单摆周期的表达式③上式只适于小摆角(＜5°)的情况。
根据周期公式算出的T值与实际测定值间的误差，随摆角增大而增大。
摆角为7°时，误差为0.1％；15°时，0.5％；23°时，1％。
单摆的最大摆角应小于5°。
④单摆的周期在振幅较小时，与单摆的振幅无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是伽利略首先发现的。
简谐振动PPT幻灯片课件
a
2
A cos (t
2
)
以上结果表明：
(1)v,a与x的ω相同
(2) vmax A, amax 2 A
(3)a与x方向相反，且成正比
x、v、a相位依次差π/2。
振幅
10
二、初始条件确定振幅和初相位
初始条件： t 0, x0 , v0
x0 Acos
写为：
v0 Asin
3
利用旋转矢量法求解很直观，
根据初始条件就可画出如图所 示的振幅矢量的初始位置，从 而得到：
O
x0 v0
x
21
(2) v Asin(t ) 0.12 sin(t )
3
a 2 Acos(t ) 0.12 2 cos(t )
3
半径R——振幅A
角速度——角频率ω
初始矢径与x轴的交角—初相位 o
t时刻A矢量在x轴上的投影
x Acos(t 0 )
2.旋转矢量
表示出三个特征量
A
t
t 0 0
x
A
用旋转矢量法处理问题更直观、 动画
O
x
更方便，必须掌握。
17
18
19
[例题3]一质点沿x轴作简谐振动，振幅 A=0.12m，周期T=2s， 当 t=0 时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06m，此时向x轴正 向运动。 求：(1)此振动的表达式
由牛顿第二定律，有： kx m d2 x
令：
k 2,
dt2
m
则有：
d2 dt
x
2
简谐运动ppt课件
解：方法1
31.4
15.7
设振动方程为
0
x Acos(t 0 ) 15.7
31.4
1
t(s)
v0 A sin0 15.7cms 1 a0 2 Acos0 0
A vm 31.4cms 1
sin 0
v0
A
15.7 31.4
1 2
0
6
或
5 6
a0
0,则cos0
0
0
6
t 1 v 15.7cms 1 sin( 1 ) v v 1
两振动步调相反,称反相
0
2 超前于1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x Acos( t 0 )
v
A
sin(
t
0
)
vm
cos(
t
0
2
)
a A 2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
x.v.a. x
衡位置的运动。
• 平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿 运动方向受的力）等于0，则此位置称为平 衡位置。
•线性回复力：若作用于质点的力总与质点相对于平 衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向 平衡位置，则称此作用力为线性回复力。
若以平衡位置为原点，以X表示质点相对于平衡
位置的位移，则
f kx
3
a 0.12 2 cos( 0.5 ) 0.103
3
(3) 当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得 cos(t ) 1
13
2
t 2 , 4
133 3
因该时刻速度为负，应舍去
简谐振动图文
A C O DB
二、简谐运动
物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比， 并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动， 叫做简谐运动
1、简谐运动是一种理想化的运动，振动过程中 无阻力，所以振动系统机械能守恒。
2、简谐运动是一种非匀变速运动。 3、最常见的两种简谐运动：弹簧振子、单摆
1、弹簧振子
思考：弹簧振子（理想模型）条件有：1、2、3、
(t1+t2)=0.24 s,
所以质点的振动周期的可能值为0.72 s和0.24 s.
9、 一个弹簧振子经a,b两Fra bibliotek时速度相同,从a到b经历的最短
时间为0.2 s,再从b到a的时间为0.3 s,则振子的周期为( ) C
A.1 s
B.0.8 s
C.0.6 s
D.1.2 s
解析:振子经过a,b两点时速度相同,从a到b经历的最短时间为 0.2 s,而由b到a的时间为0.3 s,由以上信息可知,a､b在平衡位置 两侧关于平衡位置对称,如图所示,O为平衡位置,tab=0.2. tba=0.3 s,则 tbb′=(0.3-0.2) s=0.1 s. 故周期T=(0.2+0.3+0.1)s=0.6 s. 答案:C
B．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹 力始终做负功
C．振子在振动过程中的回复力由弹簧的弹力和振 子的重力的合力提供
D．振子在振动过程中，系统的机械能一定守恒
4、有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用 力把弹簧压缩x后释放，第二次把弹簧压缩2x后释 放，则先后两次振动的周期和振幅之比分别为多 少？
T1:T2=1:1
A1:A2=1:2
5、弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简 谐振动，B、C相距20cm，某时刻振子处于B点，经过 0.5s，振子首次到达C点，求：
二、简谐运动
物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比， 并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动， 叫做简谐运动
1、简谐运动是一种理想化的运动，振动过程中 无阻力，所以振动系统机械能守恒。
2、简谐运动是一种非匀变速运动。 3、最常见的两种简谐运动：弹簧振子、单摆
1、弹簧振子
思考：弹簧振子（理想模型）条件有：1、2、3、
(t1+t2)=0.24 s,
所以质点的振动周期的可能值为0.72 s和0.24 s.
9、 一个弹簧振子经a,b两Fra bibliotek时速度相同,从a到b经历的最短
时间为0.2 s,再从b到a的时间为0.3 s,则振子的周期为( ) C
A.1 s
B.0.8 s
C.0.6 s
D.1.2 s
解析:振子经过a,b两点时速度相同,从a到b经历的最短时间为 0.2 s,而由b到a的时间为0.3 s,由以上信息可知,a､b在平衡位置 两侧关于平衡位置对称,如图所示,O为平衡位置,tab=0.2. tba=0.3 s,则 tbb′=(0.3-0.2) s=0.1 s. 故周期T=(0.2+0.3+0.1)s=0.6 s. 答案:C
B．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹 力始终做负功
C．振子在振动过程中的回复力由弹簧的弹力和振 子的重力的合力提供
D．振子在振动过程中，系统的机械能一定守恒
4、有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用 力把弹簧压缩x后释放，第二次把弹簧压缩2x后释 放，则先后两次振动的周期和振幅之比分别为多 少？
T1:T2=1:1
A1:A2=1:2
5、弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简 谐振动，B、C相距20cm，某时刻振子处于B点，经过 0.5s，振子首次到达C点，求：
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(B) 1 6k
2 m
(C) 1 3k
2 m
解: 设每一等分弹簧的劲度系数为 k0 ，
由弹簧串联关系，有
1 3 k k0
k0 3k
两个同样的弹簧并联，有
(D) 1 2k
2 m
k 2k0
振动频率为
1 k 1 6k 答案：( B) 2 2 m 2 m
2. 水平弹簧振子弹簧倔强系数 k=10N/m，物体质量 m=0.3 kg1，2
（1）振幅； （2）位移多大时势能和动能相等？ （3）位移是振幅的一半时，势能多大？
解： （1）求振幅:
E Ek0 Ep0
1 kA2 2
0.8
(J)
A2 2 0.8 , A 0.253(m) 25
（2）求势能和动能相等时的位移:
Ek
1 kA2 sin 2 (t
2
0)
Ep
1 2
kA2
cos2 (t
并根据所给条件建立振动表达式。
4. 掌握两个同频率同方向简谐振动的合成规律，了解两个相互
垂直的同频率简谐振动的合成。
5. 了解阻尼振动、受迫振动和共振现象。
1. 将劲度系数 k 的轻弹簧截成三等分，取其中的两根，将它11 们并联在一起，下面挂一质量 m 的物体，则振动系统的频率
( A) 1 k
2 m
1 2 2k
A A1 A2 同相
1 2 (2k 1) A A1 A2 反相
1 2 其它值
A1 A2 A A1 A2
二、多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 a cost
2
Q
x2 a cos(t )
x3 a cos(t 2)
P A
R
xn a cos[t (n 1)]
势能
Ep
1 2
kA2
cos2 (t
0 )
0.8 ( 1 )2 2
0.2(J)
4. 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达 15
式为
x1 4 cos(2t 6 )
5
x2 3cos(2t 6 )
求合振动的振幅和初相。
解：两振动相位差 (2t 1 ) (2t 5 )
6
x Acos(t )
0
aB
x
A R sin(n 2)
2
a R sin( 2)
2
A a sin(n 2) sin( 2)
POQ
1 2
(
n )
POB
1 2
(
)
POB POQ n 1
2
A a sin(n 2) sin( 2)
讨论：
1. 2k , k 0, 1, 2...
A lim a sin(n / 2) na
0 sin( / 2) 2. n 2k
k 1, 2... 不等于 n 的整数倍
A a sin(k ) 0 sin(k / n)
Q3
P A
R
0
aB
x
A 主极大
aa
a
极小
三、两个同方向不同频率简谐运动的合成
4
x1 Acos1t x2 Acos2t （振幅相同初相为零）
x x1 x2
6
合振动
x x1 x2 Acos(t )
合振动振幅 A 4 3 1
合振动初相
6
当两个分振动的相位差为 时，
合振动的相位与振幅大的振动相位相同， 合振动振幅等于两分振动振幅之差。
5. 水平弹簧振子，弹簧倔强系数 k = 24N/m，重物质1量6 m = 6kg，重物静止在平衡位置。设以一水平恒力 F = 10N 向左作用于物体 (不计摩擦), 使之由平衡位置向左 运动了 0.05m，此时撤去力 F。当重物运动到左方最远 位置时开始计时，求物体的运动方程。
0)
若 Ep Ek 则有
tg2 (t 0 ) 1
tg(t 0 ) 1
相位
t
0
k
4
14
此时位移
x
A cos(t
0)
A cos(k
)
4
x 2 A 0.179(m) 2
（3）求位移是振幅一半时的势能:
A
x Acos(t 0 )
当 x 时 2
A 2
A cos(t
0 )
cos(t
0)
1 2
sin
2
8
2A2
讨论
2A1
(1) 0
x y
A1 A2
x y A1 A2
直线运动
2
(2)
2
x2 A12
y2 A22
1
正椭圆
2
当 A1 A2 A 则 x2 y2 A2 变成圆
2A
五、两个相互垂直的不同频率的简谐运动的合成 9
x Acos(mt) y Acos(n t 0)
0 0
Acos1t Acos2t
2 Acos (2 1)t cos (2 1)t
2
2
当 2 1 (2 1)
准谐振动
合成振幅 A 2Acos (2 1) t
2
拍: 频率都较大但两者相差很小的两个同方向简谐振动，
合成时所产生的这种合振幅时而加强时而减弱的现象。
x
x1
x2
2 A cos
( 2
1 )t
2
cos
( 2
1)t
2
5
合成振幅
A 2Acos (2 1) t
2
拍的周期 正向加强与反向加强之间的时间间隔
Tb
1 2
2 2 1
2 2 1
2
vb
1 Tb
2 1 2
2
1
单位时间加强或减弱的次数
x1
v1x2 0
0.05s
0.1s
0.15s
6
0.2s t
t
t
2 1
四、两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成
7
y
x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
令 2 1
x
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos
sin
2
0
质点沿顺时针方向运动
0 或 2
质点沿逆时针方向运动
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos
4m
2m
3
4m
m
5
3
7
4m
2m
4m
2
m
n:m
1:1
1:2 4m
1:3
2:3
3:4
总结
10
1. 掌握简谐振动的基本特征（运动学、动力学和能量特征），
掌握描述简谐振动各物理量的物理意义及其相互关系。
2. 会根据简谐振动的特征判断物体是否作简谐振动，并能建
立其运动方程（微分方程）。
3. 掌握用解析法，旋转矢量法或所给的振动图线描述简谐振动，
初始位移和速度分别为 x0 = 0.1m，v0 = -1m/s，写出弹簧振子的 振动方程。
解： k 10
v0 x
m3
0
A
x02
v
2 0
2
0.2(m)
cos x0 0.5 ,
由于
v0
x
A
Asin
0.2 cos( 10 t
3
0 )(m)
3
33
3. 一弹簧振子，劲度系数 k=25 Nm-1, 当物体以初动能 0.2J 13 和初势能 0.6J 振动时，求：
14-4 简谐运动的合成
1
A
一、两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
A2
2
A1 1
x x1 x2 Acos(t )
0 x20 x10 x0 x
A
A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2