第六章+平面电磁波
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第六章 平面电磁波
一维电磁波，设电场仅为z的函数：
∂2Ex ∂z 2
−1 υ2
∂2Ex ∂t 2
=0
此方程的通解为
Ex ( z, t)
=
f
(t
−
z υ
)
+
f
(t
+
z υ
)
f ( t- z / v ) f ( t- z / v )
图 7-1 向+z方向传播的波
1
无界媒质中，一般没有反射波存在，只有单一行进方向的波。 假设平面波沿+z方向传播，只有Ex(z, t)分量，方程式的解
旋圆极化波 其它情况是椭圆极化波。
例1：试求下列均匀平面波的极化方式和传播方向。
(1) E = ex Em sin (ωt − kz ) + ey Em cos (ωt − kz )
(2) E = ex E0e− jkz − ey jE0e− jkz
(3)
E
=
ex
Em
sin
⎛⎜⎝ ωt
−
kz
+
π 4
入射波和反射波的形式
Ex
=
E e j(ωt−kz) 0
+
E e' j(ωt+kz) 0
自由空间：
∂Ex = ∂z
Ex
=
E e j(ωt−kz) 0
− jkE0e j(ωt−kz) = −μ
∂H ∂t
y
= − jωμH y
Hy =
E0
e = E e j(ωt−kz)
0 j(ωt−kz)
μ /ε
η
η具有阻抗的量纲，单位为欧姆(Ω)，与媒质参数有关，称为媒
第六章 平面电磁波的传播
返 回
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第 六 章
平面电磁波的传播
空间任一点处的电场及磁场能量密度相等) 对于入射波 空间任一点处的电场及磁场能量密度相等
总电磁能量密度
'
2 1 2 1 + + +2 +2 w = ε Ey (x, t) + µ HZ (x, t) = ε Ey = µ HZ 2 2
入射波功率流密度
+ + +
图6.0.1 沿 x 方向传播的一 组均匀平面波
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第 六 章
平面电磁波的传播
电磁场基本方程组 电磁波动方程
理想介质中均匀平面波
导电媒质中均匀平面波
均匀平面电磁波的传播特性 正弦电磁波的传播特性 平面电磁波的斜入射 平面电磁波的正入射· 平面电磁波的正入射·驻波
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+ z − z
x x Hz (x, t) = H (x, t) + H (x, t) = g1(t − ) + g2 (t + ) v返 回 上 页 v 下
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第 六 章
+ y − y
平面电磁波的传播
x x Hz (x, t) = H (x, t) + H (x, t) = g1(t − ) + g2 (t + ) v v （1）
+ Ey (x, t) − Ey (x, t)
v = c/n
大于1） （n为介质的折射率 µr ε r ，大于 ） 为介质的折射率 见p219证明 证明
µ Zo = + =− − = （Ω） ε Hz (x, t) Hz (x, t)
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第 六 章
平面电磁波的传播
空间任一点处的电场及磁场能量密度相等) 对于入射波 空间任一点处的电场及磁场能量密度相等
总电磁能量密度
'
2 1 2 1 + + +2 +2 w = ε Ey (x, t) + µ HZ (x, t) = ε Ey = µ HZ 2 2
入射波功率流密度
+ + +
图6.0.1 沿 x 方向传播的一 组均匀平面波
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第 六 章
平面电磁波的传播
电磁场基本方程组 电磁波动方程
理想介质中均匀平面波
导电媒质中均匀平面波
均匀平面电磁波的传播特性 正弦电磁波的传播特性 平面电磁波的斜入射 平面电磁波的正入射· 平面电磁波的正入射·驻波
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+ z − z
x x Hz (x, t) = H (x, t) + H (x, t) = g1(t − ) + g2 (t + ) v返 回 上 页 v 下
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第 六 章
+ y − y
平面电磁波的传播
x x Hz (x, t) = H (x, t) + H (x, t) = g1(t − ) + g2 (t + ) v v （1）
+ Ey (x, t) − Ey (x, t)
v = c/n
大于1） （n为介质的折射率 µr ε r ，大于 ） 为介质的折射率 见p219证明 证明
µ Zo = + =− − = （Ω） ε Hz (x, t) Hz (x, t)
第六章 平面电磁波
kz
e
)
（注：教科书(6.3.4a)式笔误，应与前面复数表示式规定一致）
同样利用
Maxwell
磁场旋度方程可得
H
ay
Hy
H
(z,t)
ay H y0
cos(t
kz e )
ay
Ex0 Z
cos(t
kz e )
3 等相位面方程、波的相速及波长。
等 相 位 面 方 程 是 ： t kz c ， 在 时 谐 电 磁 波 条 件 下 , k 为 恒 定 量 ， 由 此 可 得
抗。在真空中 Z 0 120 377() 。 0
10 均匀平面波中电场、磁场及电磁波传播方向三者之间的关系：
前面的式中包含着两个方向传播的电磁波，如果只考虑向一个方向，比如 z 方向传播的电
磁波，则有
E
ax Ex
ax
f1 ( z
vt)
H
ay
H
(
j
)
Z
e j
波阻抗的相角(0 ) 表示磁场滞后于电场。波阻抗为复数表示电场与磁场在时间上 4
不同步。
E
ax
Ex
和
H
ay
Hy
，电场、磁场的复数表示式为
E x
Ex0e jkz
E e jkz je x0
E x0e z e jz je
趋肤深度 定义为电磁波场强衰减到表面场强值 1 时电磁波所穿透的距离。即有 e
Ee 1 E e
故 1 即
1 2
电磁场与电磁波第6章、平面电磁波.
6.2.1 损耗媒质中的平面波场解 在无源的有损耗媒质中，时谐电磁场满足的麦 克斯韦方程组是
~E H E jE j
E jH
H 0
E 0
~ 式中 为复介电常数
~ j
1 j
若沿能流方向取出长度为l，截面为A的圆柱体，如图示。 设圆柱体中能量均匀分布，且 平均能量密度为 wav ，能流密度的平 均值为 Sav ，则柱体中总平均储能为 （ wavAl ），穿过端面 A 的总能量为 （SavA）。若圆柱体中全部储能在 t 时间内全部穿过端面A，则
S
l
A
wavlA l S av A wav A t t
第一项，其相位是 t kz x ，若t增大时z 也随之增大，就可保持为常数，场量值相同，因此， 上式第一项表示向正z方向传播的波。
同理，第二项表示向负z方向传播的波。 用复数形式表示，则式中含因子的解，表 示向正z方向传播的波，而含因子的解表示 向负z方向传播的波。在无界的无穷大空间， 反射波不存在，这里我们只考虑向正z方向 ' E0 0 传播的行波，因此可取 ， 于是
E E0 e jkz
将上式代入 到
E0 e jkz E0 e jkz jkE e z 0
E 0 ，可得：
上式表明电场矢量垂直于 e z ，即 E z 0 电场只存在横向分量
E E xm e
j x
e x E yme
j y
2 2 2 21 ( 2 ) 1
2 1 ( ) ＋ 1
为讨论方便起见，假设电场只有x方向分量，因 而电磁波的解为
电磁场与电磁波第六章
R// ER 0 E I0 ET 0 EI0
1 H R 0 H R 0 1 cos 1 2 cos 2 1 H I 0 H I 0 1 cos 1 2 cos 2
(6-1-23)
T//
2 H T0 1 H I 0
2 2 cos 1 1 cos 1 2 cos 2
（6-1-1）
其中
k1 1 1 , k 2 2 2
入射波、反射波、折射波的电场矢量分别为
E I E I 0e j kI r , E R E R0e j kR r , ET ET 0 e j kT r
（6-1-2）
介质 1 中的总电场是入射波与反射波的叠加，即 E1= EI+ ER； 介质 2 中的仅为折射波，E2= ET 。 下面，根据电磁场的边界条件，由入射波的 kI和 EI0、HI0 来确定反射波和折射波的 kR、kT 以及 ER0、HR0、ET0、HT0。
第六章 平面电磁波的反射与折射
6.1.1 反射、折射定律
首先来确定反射波和折射波的波矢量方向。 由交界面 z = 0 处两侧的切向分量连续的边界条件和式
(6-1-2)，可得
j (k Ix x k Ix y ) j ( k Rx x k Ry y ) j ( k Tx x k Ty y )
只考虑 E 和 H 的切向分量边界条件即可。
6.1 电磁波的反射、折射规律
设介质 1 和介质 2 的交界面
为无穷大平面，界面法向沿 z 方 向，平面电磁波以入射角I 由介 质 1 射向介质 2，如图所示。
第六章 平面电磁波的反射与折射
入射波、反射波、折射波的波矢量分别为
k I ekI k1 , k R ekR k1 , kT ekT k 2
1 H R 0 H R 0 1 cos 1 2 cos 2 1 H I 0 H I 0 1 cos 1 2 cos 2
(6-1-23)
T//
2 H T0 1 H I 0
2 2 cos 1 1 cos 1 2 cos 2
（6-1-1）
其中
k1 1 1 , k 2 2 2
入射波、反射波、折射波的电场矢量分别为
E I E I 0e j kI r , E R E R0e j kR r , ET ET 0 e j kT r
（6-1-2）
介质 1 中的总电场是入射波与反射波的叠加，即 E1= EI+ ER； 介质 2 中的仅为折射波，E2= ET 。 下面，根据电磁场的边界条件，由入射波的 kI和 EI0、HI0 来确定反射波和折射波的 kR、kT 以及 ER0、HR0、ET0、HT0。
第六章 平面电磁波的反射与折射
6.1.1 反射、折射定律
首先来确定反射波和折射波的波矢量方向。 由交界面 z = 0 处两侧的切向分量连续的边界条件和式
(6-1-2)，可得
j (k Ix x k Ix y ) j ( k Rx x k Ry y ) j ( k Tx x k Ty y )
只考虑 E 和 H 的切向分量边界条件即可。
6.1 电磁波的反射、折射规律
设介质 1 和介质 2 的交界面
为无穷大平面，界面法向沿 z 方 向，平面电磁波以入射角I 由介 质 1 射向介质 2，如图所示。
第六章 平面电磁波的反射与折射
入射波、反射波、折射波的波矢量分别为
k I ekI k1 , k R ekR k1 , kT ekT k 2
第六章-平面波详解
E exEx ey Ey
两个分量可以表示成为
Ex
E e jkz jx xm
Ey
E e jkz jy ym
第六章 平面波
合成场矢量E可以写为
E ex Exme jkz jx ey Eyme jkz jy
瞬时值表达式分别为
Ex Exm cos(t kz x ) Ey Eym cos(t kz y ) E ex Exm cos(t kz x ) ey Eym cos(t kz y )
E2
1 4
E02e2az
第六章 平面波
平均磁能密度：
wav,m
1 4
H
2
1 4
E02
2
f
e2az
1 4
E02
e2
az
1 ( )2
总的平均能量密度：
wav
wav,e
wav,m
1 4
E02e2
z
1 4
E02e2
z
1 ( )2
1 4
E E
Ex2
E
2 y
Em
合成场矢量E与x轴正方向的夹角α为
arctan
Ey Ex
arctan
sin(t cos(t
x x
) )
(t
x
)
圆极化波有左旋和右旋之分，规定如下：
将大拇指指向电磁波的传播方向，其余四指指向电
第六章 平面波
场矢量E矢端的旋转方向，若符合右手螺旋关系，则 称之为右旋圆极化波；
第六章正弦平面电磁波pdf
Em6-1第六章正弦平面电磁波工程中应用较多的是随时间作正弦变化的电磁场称为时谐场。
本章主要分析时谐场分析时谐振场的原因是1工程上常用2时谐场激励容易3任意周期性时间函数均匀展开为时谐正弦分量的付里叶级数。
§6.1理想介质中的均匀平面波掌握平面波的定义、性质及传播特性无界空间中在均匀、一致、各向同性的理想介质中均匀平面波所具有的传播特性。
平面波其等相位面为与波传播方向垂直的平面场矢量电场EEEE和磁场HHHH只存在该平面上即场矢量与波传播的方向垂直。
均匀平面波场矢量电场EEEE和磁场HHHH只沿着传播方向变化在与波传播方向垂直的无限大平面内电场EEEE、磁场HHHH的方向、振幅和相位保持不变的波。
EEvvvvEEvvvvE在距离波源足够远的地方球面波的波阵面上的一小部分可以近似认为是平面其上的波可以作为均匀平面波来分析。
1.沿z轴传播的均匀平面波①电场解在正弦稳态下电场满足齐次亥姆霍兹方程二阶微分方程6.1.1022EkE对于电场的x 分量6.1.202222222xxxxEkzEyExE假设波是沿z轴传播的则可选择EEEE的方向为x方向。
此时EEEE只是z的函数则有6.1.3zEeExx则方程为6.1.40222xxEkzE22k其通解为6.1.5jkzmjkzmxxxeEeEEEEEm6-2式中EmEm-是由边界条件确定的常数EmEm-为复常数式中均为0xjmmEEey0mxEy常数。
6.1.5式中解的第一项为向z方向传播的电磁波第二项为向z方向传播的电磁波。
对于只有z方向传播的波6.1.6jkzmxxeEEE对于正弦平面波其瞬时值为0ReRejtjjkzjtxxmEztEeEeeewyw-éùéùêúêú即6.1.7cosxmxEztEtkzwy--上式即为电磁波某方向的瞬时值的一般表达式其中-z表示传播方向为z方向x为初始相角它可根据一些特定值求解。
2010第六章平面电磁波
球面波： 分解为许多均匀平面波讨论 柱面波：
Ey
HZ
一组平面电磁波
彼此独立
EZ
Hy
另一组平面电磁波
§ 6.2
无限大理想介质中的平面电磁波
理想介质，即媒质的电磁参数：γ =0, ε、μ为实常数。 1、理想介质中对均匀平面波传播的一般分析 电磁波满足以下波方程： (无源)
结论: 均匀平面电磁波： ★ 一横电磁波(TEM波). 只存在波传播方向相垂直的分量 》 t Ex Ex 0 Ex e Ex t
0
E H E t H E t H 0 E 0
d dt
j
1 j
dt
2、均匀平面谐变电磁波的传播特性 设谐波沿+z方向传播，电场强度仅具有x分量
jt E( z, t ) ex Ex ( z)e
电场强度复数形式
Ex ( z) 满足的方程是
1 2 Ex 2 Ex 2 0 2 v t
d 2 Ex ( z ) k 2 Ex ( z ) 0 dz 2
甚低频VLF[超长波] 低频LF[长波，LW] 中频MF[中波, MW] 高频HF[短波, SW] 甚高频VHF[超短波] 特高频UHF[微波] 超高频SHF[微波] 极高频EHF[微波] 光频 [光波]
中波调幅广播（AM）：550KHz~1650KHz
短波调幅广播（AM）：2MHz~30MHz 调频广播（FM）：88MHz~108MHz
( H ) ( H ) 2 H
E H ( E ) t H 0 2 H H 2 t t 2 ( H ) ( H ) H
第6章平面电磁波
磁场强度可表示为： H a H a H ˆx x ˆ y y
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波
三、平面电磁波在无耗介质中的传播特性
1. 波动方程的解
已知电场的波动方程为：
2 Ex 2 Ex 2 2 2 2 E E t 分解为标量方程： z z 2 t 2 2 Ey 2 Ey 2 z t 2 对于随时间按正弦变化的电 2 Ex 2 E x 磁场，因子为 e j t ，因此: z 2
上式两边在给定的体积V内积分,有
1 2 1 2 ( E H )dV ( E H )dV J c EdV V V t V 2 2
电磁场与电磁波
第6章 平面电磁波 欧姆功率损耗
由高斯定律得：
1 2 1 2 ( E H )dV ( E H ) dS J c EdV S V t V 2 2 ——坡印廷定理 坡印廷矢量：流出单位面积的功率密度。 S EH
的复数表示形式；(7)波的平均功率密度。 解 (1)相对介电常数 由电场 E 强度的表达式可知:
k 0 0 r
r
109 rad/s, k 5 rad/m
0 0
25 1018 (3 108 )2 2.25
25 1018
(2)传播速度为 (3)本质阻抗为 (4)波长为
A1 A1me
A2 A2me jx 2
前向行波
Ex A1me j( kz x1 ) A2me j( kz x 2 )
后向行波
同理： Ey A1me
j( kz y1 )
A2me
电磁场与电磁波第6章正弦平面电磁波在无界空间中的传播
a x E y 1 E j 0 j 0 z
第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 将
E y j10 3 e j (t z ) 代入上式可得
j H ax 10 3 e j (t z )
0
将上式展开取实部得
H ( z , t ) a x 10 3 sin(t z )
E y E ym cos[ t y [ x, y, z )] Re[ E ym e
j (t y )
] Re( E ym e jt )
6.1.2
E z E zm cos[ t z ( x, y, z )] Re[ E zm e j (t z ) ] Re( E zm e jt )
0
第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.1.3 正弦场中的坡印廷定理 正弦场中，电场和磁场分别用复矢量 和 E* * 和 H 分别表示 E 和 H 的共轭复数，并设介质的介电常数 c ' j '' ，导磁率为 c ' j '' ，导电率为 为 。由恒等 式
在直角坐标系中，正弦电磁场的电场和磁场分量可以写成
E ( x, y, z, t ) a x E xm ( x, y, z ) cos[ t x ( x, y, z )]
a y E ym ( x, y, z ) cos[ t y ( x, y, z )] a z E zm ( x, y, z ) cos[ t z ( x, y, z )]
电场强度复矢量对时间的微分和积分可表示为
j t jt E j t Re( E m e ) Re ( E m e ) Re( jE m e ) t t t
第六章(修改)平面电磁波
导电媒质中的均匀平面波
正弦电磁波的波动方程复数形式为 & & d 2 Ey d 2Hz 2 2 & 2 & & =k E = ( jωµγ − ω µε )Ey = k Hz y , 2 2 dx dx 式中
γ k = ( jω ) µ( ε + ) = ( jω )2 µε ′ , jω
2
γ ε ′ = ε( 1 + ) jωε
传播常数， 式中 k = jω µε = jβ ——传播常数， 传播常数
β = ω / v ——波数、相位常数( rad / m ）， 波数、相位常数( 波数
λ = 2π / β
——波长（m）。 波长（ 波长
其解
& &+ &− Ey = Ey e− jβx + Ey e jβx ,
& & & HZ = H z+e− jβx + H z−e jβx
——
复介电常数
用 k = α + jβ 和 ε ′ 分别替换理想介质中的 k 和 ε ，
& & & = E +e−kx + E −ekx = E +e−αxe− jβx + E −eαxe jβx & Ey & y y y y
& = H + e −αx e − jβx + H − eαx e jβx & Hz & z z
2 2
电磁波动方程
6.1.2 均匀平面波 均匀平面波条件： 均匀平面波条件：
∂ ∂ =0 , =0 ∂y ∂z
E = E(x, t), H = H(x, t)
第六章自由空间中的平面电磁波
其中
(i / c)E0 z exp[(i / c)( z ct )] 0
已知 E0 是一个常量，要使上式对任意 z 与t均成立,则只有 z 由麦克斯韦第一方程可知,平面电波没有沿z轴的分量， 即在波的传播方向上不存在电场分量,换句话说,平面电波是横波。
E0 z＝0
相伴而生的B波
如果存在一个随时间变化的电场，那么同时必将会出现一个磁场， 在自由空间中，这两种场的关系为
沿着 Z 方向传播的行波
以速度v向前传播的波
任何变量为(z-vt)的函数所描述的波是随时间变化沿着z轴正方向传播; 任何变量为(z+vt)的函数所描述的波则是随时间变化沿着z轴负方向传播
三维波动方程的解
1 ( x, y, z, t ) （ x, y, z, t ) 2 0 2 v t
2 2 1 1 2 拉普拉斯算子： 2 r 2 2 r r r r z
球坐标系
1 1 哈密顿算子： eR e e R r r sin 拉普拉斯算子：
2 1 1 1 2 2 2 R 2 sin 2 2 R R R R sin R sin 2
对比电磁场的波动方程
2 2 E x, y, z, t 0 2 t B x, y, z, t
电磁波在介质中的波速 电磁波在真空中的波速
c
v
1
=3 108 m / s
1
0 0
电磁波的波速
电磁波的波动方程包括各种形式的电 磁波。因此在真空中，一切电磁波（包括 各种频率范围的电磁波，如无线电波、光 波X射线和射线等）都以速度c传播。速度c 的大小恰为光速，是最基本的物理常量之 一。因此，可以说在真空中一切形式的电 磁波均以光速传播，而光也是一种特殊形 式的电磁波。
第六章 平面电磁波
2 2
a =
w me 2
2
导电媒质中的均匀平面波
利用上述结论，可得
Ex = Ex0 e
- j kz
= Ex0 e
- j (b - j a )z
= E x 0e
- az
e e
e jf x - j bz
Hy = Hy 0 e
- j kz
= Hy 0 e
- j (b - j a )z
= H y 0e
- az
e
m jf y - j bz
e
由此可见，电磁波在导电媒质中传播，不仅电场与磁场 不同相，而且随着波的传播，场的幅值不断按指数衰 减，此衰减是由于媒质的导电损耗引起的，根据α的公 式可知，频率越高，衰减越快。
kl = 2p
2p k= l
其中k表示了单位长度相位的变化，也称为相位常数。
理想介质中的均匀平面波
空间相位变化 2π 相当于一个全波， k的大小又可衡量
2π长度内具有的全波数目，所以 k又称为波数，还可称
为空间角频率。 等相位面：空间中电磁波相位相同的面，即
wt - kz = const
显然，随着时间的推移，相位面将沿z轴正方向移动，而 其移动的速度称为相速，记为vp，即
¶ Hx 抖 t ¶ Hy t 抖 ¶ Ey z ¶ Ex z
m m
=
e e
¶ Ex t 抖 ¶ Ey 抖 t
= =
¶ Hy z z
= -
¶ Hx
同时可知， Ex和Hy相关，Ey和Hx相关，重新组合得：
¶ Ex 抖 z ¶ Hy 抖 z = -m = -e ¶ Hy t ¶ Ex t
¶ Ey 抖 z ¶ Hx 抖 z
a =
w me 2
2
导电媒质中的均匀平面波
利用上述结论，可得
Ex = Ex0 e
- j kz
= Ex0 e
- j (b - j a )z
= E x 0e
- az
e e
e jf x - j bz
Hy = Hy 0 e
- j kz
= Hy 0 e
- j (b - j a )z
= H y 0e
- az
e
m jf y - j bz
e
由此可见，电磁波在导电媒质中传播，不仅电场与磁场 不同相，而且随着波的传播，场的幅值不断按指数衰 减，此衰减是由于媒质的导电损耗引起的，根据α的公 式可知，频率越高，衰减越快。
kl = 2p
2p k= l
其中k表示了单位长度相位的变化，也称为相位常数。
理想介质中的均匀平面波
空间相位变化 2π 相当于一个全波， k的大小又可衡量
2π长度内具有的全波数目，所以 k又称为波数，还可称
为空间角频率。 等相位面：空间中电磁波相位相同的面，即
wt - kz = const
显然，随着时间的推移，相位面将沿z轴正方向移动，而 其移动的速度称为相速，记为vp，即
¶ Hx 抖 t ¶ Hy t 抖 ¶ Ey z ¶ Ex z
m m
=
e e
¶ Ex t 抖 ¶ Ey 抖 t
= =
¶ Hy z z
= -
¶ Hx
同时可知， Ex和Hy相关，Ey和Hx相关，重新组合得：
¶ Ex 抖 z ¶ Hy 抖 z = -m = -e ¶ Hy t ¶ Ex t
¶ Ey 抖 z ¶ Hx 抖 z
第六章+平面电磁波详解
这是一个二阶常微分方程，其特征方程为： r 2 k 2 0 r1 jk , r2 jk
2019/1/5 6
方程的通解由两个特解所构成
Ex ( z) A1er1z A2er2 z A1e jkz A2e jkz Ex ( z) Ex ( z)
2019/1/5 3
2．按等相位面的形状划分电磁波的类型 等相位面：具有相同场分量相位角的曲面。 平面电磁波：电磁波等相位面是平面。例如:
0 球面电磁波：等相位面是球面的电磁波。例如:
E ( x, y , z , t ) ˆ jE y ˆ jA cos( t kz) A ˆ ˆ H ( x, y, z , t ) i H x i cos( t kz)
第六章 平面电磁波
2019/1/5
1
无耗媒质中的均匀平面电磁波 一、电磁波的类型 1．按场矢量方向与传播方向划分波的类型
横电磁波:电磁波的电场矢量和磁场矢量都在与传播方向垂直的 横截面之内，记作TEM波。 E ( x, y , z , t ) ˆ jE y ˆ jA cos( t kz) ˆH x i ˆ A cos( t kz) H ( x, y , z , t ) i
(6-1-11)
A1和A2是由边界条件确定的常数。先来分析第1个特解。 jkz Ex ( z) Ae (6-1-12) 1 通过麦克斯韦方程，可求得与电场相伴的磁场强度矢量
ˆ i j j H E x Ex ˆ j y 0 ˆ k E j x ˆ j z z 0
(6-1-6)
其中 k 2 称为波数或相位常数，代表电磁波沿 传播方向单位长度上改变的相位角。 2．齐次波动方程的解：沿z轴传播的均匀平面电磁波 假设电磁波的电场矢量只有Ex分量，且仅是z和t的函数。 ˆEx ( z, t ) i ˆEx ( z)e jt E( z, t ) i (6-1-9)
平面电磁波 第六章
一、无耗介质中时谐电磁场的频域无源波动方程
• 解出 E 就可用Maxwell方程组求出 H ，故只须解 E 。
• 不失一般性，可作一些假设，使求解更方便： ˆ (1)设 E 只有x方向的分量，即 E r E x x ； ˆ (2)设 E 只随z 坐标变化，即 E r E x z x ； x • E x z 满足的常微分方程：
vp
6、从行波角度理解电磁波各参数的物理意义： 相速度 ( vp )：等相位面在一秒钟之内前进的距离 波长(λ)：等相位面在一个周期 T 之内前进的距离 2 2 v pT k k 周期(T )：等相位面前进一个波长所需的时间
vp T
频率( f )：等相位面在一秒钟之内前进的波长数 vp 1 f T
E:
H:
x y z
某时刻的三个 等相位面
• 均匀平面波每个等相位面上的场矢量处处相等。 • 任意固定时刻，空间中不同等相位面上的场值不同。 （除非两个等相位面间距为波长的整数倍）
5、Poynting矢量：
• 瞬时Poynting矢量： 1 2 ˆ S r , t Em cos2 t kz z
真空中： 0
0 120 377 0
• 波阻抗只是一个比值，单位与电阻相同，它并不意味 着存在能量损耗。 • 波阻抗仅由媒质参数决定，与场矢量值无关。 • 电场、磁场的互求公式：
ˆ z E H
1 ˆ zH E
ˆ z为 传 播 方 向
等相位面上的场分布情况 4、场结构：
m/s
v0 2 2 m k f
Hm Em 0 10 0
ˆ H 为 - x方 向
• 解出 E 就可用Maxwell方程组求出 H ，故只须解 E 。
• 不失一般性，可作一些假设，使求解更方便： ˆ (1)设 E 只有x方向的分量，即 E r E x x ； ˆ (2)设 E 只随z 坐标变化，即 E r E x z x ； x • E x z 满足的常微分方程：
vp
6、从行波角度理解电磁波各参数的物理意义： 相速度 ( vp )：等相位面在一秒钟之内前进的距离 波长(λ)：等相位面在一个周期 T 之内前进的距离 2 2 v pT k k 周期(T )：等相位面前进一个波长所需的时间
vp T
频率( f )：等相位面在一秒钟之内前进的波长数 vp 1 f T
E:
H:
x y z
某时刻的三个 等相位面
• 均匀平面波每个等相位面上的场矢量处处相等。 • 任意固定时刻，空间中不同等相位面上的场值不同。 （除非两个等相位面间距为波长的整数倍）
5、Poynting矢量：
• 瞬时Poynting矢量： 1 2 ˆ S r , t Em cos2 t kz z
真空中： 0
0 120 377 0
• 波阻抗只是一个比值，单位与电阻相同，它并不意味 着存在能量损耗。 • 波阻抗仅由媒质参数决定，与场矢量值无关。 • 电场、磁场的互求公式：
ˆ z E H
1 ˆ zH E
ˆ z为 传 播 方 向
等相位面上的场分布情况 4、场结构：
m/s
v0 2 2 m k f
Hm Em 0 10 0
ˆ H 为 - x方 向
第六章时变电磁场和平面电磁波
Re(
Em (r)e j
t)
E(r, t)e jtdt Re( Em (r)e jt )
j
H J D t
Re Hm (r)e jt Re Hm(r)e jt
Re
Jm (r)e j t
Re t
Dm (r)e jt
Re
Jm (r)e jt
Re t
Hy
j
E x z
Ex Ex0e jkz
k
Hy
Ex0e jkz
H y0e jkz
式中 H y0
Ex0
在理想介质中，均匀平面波的电场相位与磁场相位相同，
且两者空间相位均与变量 z 有关，但振幅不会改变。
Ex
左图表示 t = 0 时刻，电
z
场及磁场随空间的变化情
Hy
况。
波阻抗(wave impedance): 指与传播方向垂直的横平面
时谐电磁场场中物理量的表示
E(r,t) Em (r) cos( t e (r)) 时谐场的相量表示法
E(r,t) Re Em(r)e j te (r) Re Em(r)e jt
Em (r) Em (r) Em (r)e je (r)
电场强度复振幅矢量
它只是空间坐标的函数，与时间t无关。
f
f
2
周期(period)： T 1 T 2
❖
波数k、波长与波矢量
f k
波数k: 长为 2 距离内包含的波长数。 k 2
波长(wavelength): 2 2 1 k f
波矢量: k k k 式中：k即为波数
k 2 k 即为表示波传播方向的单位矢量。 说明： 平面波的频率是由波源决定的，它始终与源的频
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作H波。
E
ˆjE y
ˆjjE0
s
in
a
x e j( t10z)
H
iˆH x
kˆH z
iˆj E0
10
k
sin x e j(t10z) a
kˆ E0
0
cos x e j(t10z)
2a a
横磁波：磁场矢量在电磁波传播方向的横截面之内，电场矢量
存在着沿传播方向的纵向分量，记作TM波；或称为电波，也记
iˆ ˆj kˆ
H
j
E
j
ˆj j Ex
x y z z
Ex 0 0
(6-1-13)
ˆj j
( jkA1e jkz )
ˆj k
A1e jkz
ˆjH
y
(
z
)
H
y
(
z)
k
A1e jkz
A1e jkz
Ex (z)
(6-1-14)
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7
3.无耗媒质中均匀平面电磁波的电气特性
2020/7/20
12
观察 t1 = 0 时刻固定在行波电场波形上的动态特定点P
E
x
(
z1
,
t1
)
A1
cos( t1
作E波。
H
ˆjH y
ˆjjH
0
s
in
a
x e j(t10z)
E
iˆEx
kˆEz
iˆj E0
10
k
sin a
x e j(t10z)
kˆ E0
0
cos
2a a
x e j(t10z)
2020/7/20
3
2．按等相位面的形状划分电磁波的类型
等相位面：具有相同场分量相位角的曲面。
哈密顿算子
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
拉普拉斯算子
电场强度矢量E 的齐次波动方程就简化为
2E
k2E
iˆ
2Ex x 2
iˆ
2Ex y 2
iˆ
2Ex z 2
iˆk 2Ex
0
E(z, t) iˆEx (z, t) iˆEx (z)e jt →
d 2Ex dz 2
k 2Ex
0
这是一个二阶常微分方程，其特征方程为： r2 k 2 00/7/20
6
方程的通解由两个特解所构成
Ex (z)
A1e r1 z
A2 e r2 z
A1e jkz
A2e jkz
Ex (z)
E
x
(
z)
(6-1-11)
A1和A2是由边界条件确定的常数。先来分析第1个特解。
Ex (z) A1e jkz
(6-1-12)
通过麦克斯韦方程，可求得与电场相伴的磁场强度矢量
平面电磁波： 电磁波等相位面是平面。例如: E(x, y, z,t) ˆjEy ˆjAcos( t kz)
H (x,
y, z,t)
iˆH x
iˆ A
0
cos( t
kz)
球面电磁波： 等相位面是球面的电磁波。例如:
E(r, , )
eˆ E
eˆ
j
Il
2r
0
s in
e jkr
H (r,,)
eˆ H
定义：
Ex
H
y
真空中0
0 120 377 () 0
(6-1-15)
具有阻抗量纲，称为电磁波波阻抗或本征阻抗。(更正6-1-15)
设A1为实数，其电场和磁场瞬时值为：
E x
(z,t)
Re[
E
x
(
z
)e
j
t
]
Re[ A1e j( tkz) ]
A1
cos(
t
kz)
H
y
(
z,
t)
Re[H
x
(z)e
j
t
]
Re
A1
e
j(
tkz)
A1 cos( t kz)
(6-1-16)
若A1为复数，有： A1=|A1|ej
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8
则：
Ex (z,t) Re
A e j( t kz ) 1
A1 cos( t kz )
H
y
(z,t)
Re
A1
e j( t kz )
A1
cos( t kz )
iˆH x
iˆ A
0
cos(
t
k z)
E(r, ,) eˆ E
eˆ
j
Il
2r
0
s
in
e jkr
H (r,,)
eˆ H
eˆ
j
Il
2r
s in
e jkr
电场矢量、磁场矢量和传播方向互相垂直呈右手螺旋关系。
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2
横电波:电场矢量在垂直于电磁波传播方向的横截面之内，磁场
矢量存在着沿传播方向的纵向分量，记作TE波；或称为磁波，也记
固定时间，考虑相位随位置的变化：
( t fix kz1)
①
( t fix kz2 ) 2 ②
①-②可得：(kz2 kz1) 2 (z2 z1) 2 k 2 k
2 k vp f c f
2020/7/20
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行波：随时间推移，波形匀速往前移动。曲线上各等相位点随t 增 加向前移动。各个位置上的振幅不变。
第六章 平面电磁波
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1
§6-1 无耗媒质中的均匀平面电磁波
一、电磁波的类型 1．按场矢量方向与传播方向划分波的类型
横电磁波:电磁波的电场矢量和磁场矢量都在与传播方向垂直的
横截面之内，记作TEM波。
E(x, y, z,t) ˆjEy ˆjAcos( t kz)
H (x,
y, z,t)
(6-1-17)
讨论 ：
(1) 场
和E与H波互印H 相亭垂矢直量，三都者S在 呈传右播手方螺向旋的关横系截。面之内，且电场
，E磁
(2)给定观察点，电场和磁场随时间作简谐振动，周期为：
T 2 1 f
(3)给定时间，电场和磁场随位置作简谐振动，周期为：
2 k
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2020/7/20
eˆ
j
Il
2r
s in
e jkr
柱面电磁波：等相位面是圆柱面。
均匀平面电磁波: 在平面等相位面上场分量的振幅处处相同。
2020/7/20
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二、无耗媒质中均匀平面电磁波的电气特性
1．齐次波动方程
在无源2 E的区域内2tE2，瞬0，时形式2的H 齐 次波2动tH2方程0 为（(p6-719-4）)
复数形式： 2 E k 2 E 0， 2 H k 2 H 0 (6-1-6)
10
相位常数k :表征电磁波的相位改变的快慢。
电磁波的波长：相位变化了2 时，电磁波传播的距离。
E x
(z,t)
Re[
E
x
(
z
)e
j
t
]
Re[ A1e j( tkz) ]
A1
cos(
t
kz)
H
y
(
z,
t)
Re[H
x
(z)e
j t
]
Re
A1
e
j(
tkz)
A1 cos( t kz)
(6-1-16)
其中 k 称 2为 波数或相位常数，代表电磁波沿传播方
向单位长度上改变的相位角。
2．齐次波动方程的解：沿z轴传播的均匀平面电磁波
假设电磁波 的电场矢量只有Ex分量，且仅是z和t的函数。
E(z, t) iˆEx (z, t) iˆEx (z)e jt
(6-1-9)
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iˆ ˆj kˆ x y z