棱柱、棱锥的概念和性质
棱柱、棱锥的概念和性质
知能迁移3
如图，四棱锥P—ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角
梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，
PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD， ∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 .
1 17 OH AG a. 3 17
探究提高
（1）解决空间角度问题，应特别注意垂
直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来
求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质
定理.
证明
（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.
又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
题型三
棱柱、棱锥中的角和距离
【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和
侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角.
互相平行的面 其余各面
棱柱棱台棱锥知识点总结
棱柱棱台棱锥知识点总结一、棱柱的定义和性质1. 棱柱的定义：棱柱是一个多边形和一个平行于它的平面所围成的几何图形。
2. 棱柱的特征：（1）棱柱的底面是一个多边形，顶面与底面平行，并且顶面的每个点和底面的对应点之间的连线都垂直于底面。
（2）如果底面是正多边形，棱柱就称为正棱柱；如果底面是不规则多边形，棱柱就称为斜棱柱。
（3）棱柱的高等于顶面到底面的距离，底面的面积乘以高就是棱柱的体积。
二、棱台的定义和性质1. 棱台的定义：棱台是由平行多边形和连通它们的矩形棱所围成的空间图形。
2. 棱台的特征：（1）如果底面和顶面都是正多边形，且它们的对边平行，那么这个棱台称为正棱台；如果底面和顶面是正多边形，但它们不一定平行，那么这个棱台称为斜棱台。
（2）棱台的体积等于底面积与高的乘积，而斜棱台的体积还需要乘以一个高与底面中较大边的比值。
三、棱锥的定义和性质1. 棱锥的定义：棱锥是由一个多边形和以它为底的三棱锥棱所围成的几何图形。
2. 棱锥的特征：（1）如果底面是正多边形，棱锥称为正棱锥；如果底面不是正多边形，那么棱锥就称为斜棱锥。
（2）棱锥的体积等于底面积与高的乘积，并除以3。
（3）棱锥的侧棱的延长线与底面平面的交点称为顶点。
四、棱柱、棱台、棱锥的计算公式1. 棱柱的体积公式：V=Sh，其中V表示棱柱的体积，S表示底面的面积，h表示高。
2. 棱台的体积公式：V=(S1+S2+√S1S2)h/3，其中V表示棱台的体积，S1和S2表示底面和顶面的面积，h表示高。
3. 棱锥的体积公式：V=Sh/3，其中V表示棱锥的体积，S表示底面的面积，h表示高。
以上就是关于棱柱、棱台、棱锥的知识点总结，希望对你有所帮助。
如果还有其他问题，欢迎继续提问。
数学中的棱柱与棱锥的性质
数学中的棱柱与棱锥的性质数学中，棱柱与棱锥是常见的立体几何形体。
它们具有一些独特的性质和特点，对于理解和运用立体几何知识都至关重要。
本文将会介绍棱柱和棱锥的定义、性质以及相关的应用。
一、棱柱的定义和性质1. 定义：棱柱是由两个平行且相等的底面，以及连接底面上对应顶点的若干条棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱柱的侧面是由若干条相互平行的线段所组成，这些线段被称为棱。
（2）棱柱的底面是多边形，其边数与侧面棱数相同，并相互平行。
（3）棱柱的高是两个底面之间的垂直距离。
（4）棱柱的体积可以通过底面积和高的乘积计算得到。
二、棱锥的定义和性质1. 定义：棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与一个非在同一平面上的点的棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱锥的侧面是由底面的边和连接底面顶点与顶点的棱组成。
（2）棱锥的底面是一个多边形。
（3）棱锥的高是从顶点到底面的垂直距离。
（4）棱锥的体积可以通过底面积和高的乘积再除以3计算得到。
三、棱柱和棱锥的应用1. 棱柱的应用：（1）柱体的形状多用于建筑设计，比如柱子、烟囱等。
（2）在计算几何中，柱体的体积计算可以应用到计算物体的容积、质量等问题中。
2. 棱锥的应用：（1）锥体的形状常见于圆锥、塔尖等建筑物的设计。
（2）在几何学和几何光学中，锥体的性质和转光性质有着重要的应用。
总结：通过对数学中棱柱和棱锥的定义、性质以及应用进行了介绍，我们可以更好地理解和运用立体几何知识。
棱柱和棱锥的独特性质和计算方法有助于解决实际问题，并在建筑设计、几何学、几何光学等领域得到广泛应用。
掌握和理解棱柱和棱锥的概念，对于数学学习和应用具有重要意义。
认识数学中的棱柱与棱锥体积
认识数学中的棱柱与棱锥体积数学是一门抽象而又实用的学科，它贯穿于我们日常生活的方方面面。
在数学的世界中，有许多有趣的几何概念，其中包括棱柱和棱锥体积。
本文将详细介绍这两个概念，让我们一起来认识数学中的棱柱与棱锥体积。
一、棱柱的概念与性质棱柱是由两个平行且相等的多边形底面以及连接底面对应顶点的直线段组成的几何体。
棱柱的体积可以通过以下公式来计算：V = 底面积 ×高其中，底面积是指底面的面积，高是指连接底面的直线段的长度。
棱柱的底面可以是任意多边形，例如三角形、四边形或者正多边形。
棱柱的侧面可以看作是底面上的边与连接底面顶点的直线段所围成的区域。
棱柱的体积计算方法可以通过一个简单的例子来理解。
假设有一个底面积为10平方厘米，高为5厘米的三角形棱柱，那么它的体积可以计算如下：V = 10平方厘米 × 5厘米 = 50立方厘米从上述例子可以看出，棱柱的体积与底面积以及高密切相关。
当底面积或高增加时，棱柱的体积也会相应增加。
二、棱锥的概念与性质棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与一个点的直线段组成的几何体。
棱锥的体积可以通过以下公式来计算：V = 1/3 ×底面积 ×高其中，底面积指的是底面的面积，高是指连接底面顶点与顶点的直线段的长度。
棱锥的底面可以是任意多边形，例如三角形、四边形或者正多边形。
棱锥的侧面可以看作是底面上的边与连接底面顶点与顶点的直线段所围成的区域。
为了更好地理解棱锥的体积计算方法，我们可以举一个实际的例子。
假设有一个底面积为8平方厘米，高为6厘米的三角形棱锥，那么它的体积可以计算如下：V = 1/3 × 8平方厘米 × 6厘米 = 16立方厘米从上述例子可以看出，棱锥的体积与底面积以及高的关系也是密切相关的。
当底面积或高增加时，棱锥的体积也会相应增加。
三、棱柱与棱锥体积的比较通过对棱柱和棱锥体积的计算公式进行比较，我们可以发现它们之间存在着明显的差异。
三年级数学认识几何中的棱柱与棱锥
三年级数学认识几何中的棱柱与棱锥几何是数学的一个重要分支，它研究的是图形的形状、大小、相对位置等性质。
在三年级数学学习中，我们开始接触了几何中的一些基本概念，比如点、线、面等。
今天，我们要进一步认识几何，探讨一下棱柱与棱锥这两个重要的几何概念。
一、棱柱的认识及性质1. 棱柱的定义棱柱是一种由两个平行多边形底面围成的立体图形。
棱柱的侧面是由棱连接两个底面的对应顶点所形成的，每条连接两个底面对应顶点的线段被称为棱。
2. 棱柱的性质（1）棱柱的底面是相似的多边形。
（2）棱柱的侧面是矩形。
（3）棱柱的棱和底面垂直。
（4）棱柱的高是连接两个底面的垂直线段。
二、棱锥的认识及性质1. 棱锥的定义棱锥是一种由一个多边形底面和每个底面顶点到一个点（顶点）的直线段所围成的立体图形。
2. 棱锥的性质（1）棱锥的底面是一个多边形。
（2）棱锥的侧面是由棱和顶点连接而成的三角形。
（3）棱锥的高是连接底面重心与顶点的直线段。
三、棱柱与棱锥的区别1. 形状区别棱柱的底面和顶面都是多边形，而棱锥的底面是一个多边形，顶面是一个点。
2. 侧面区别棱柱的侧面是矩形，而棱锥的侧面是三角形。
3. 应用区别棱柱的应用场景较多，比如圆柱、立方体等都属于棱柱的特例。
棱锥的应用场景相对较少，比如一些塔楼的形状就类似于棱锥。
四、实例分析案例一：儿童玩具积木儿童玩具积木常使用棱柱形的积木块，因为棱柱的底面具有平稳的性质，利于稳定玩具结构。
案例二：蛋糕结构蛋糕通常采用棱锥形的结构设计，底面是一个圆形或者椭圆形的多边形，顶部是尖锐的顶点，能够很好地装饰和制作成各种形状。
五、总结通过对棱柱与棱锥的认识，我们了解到它们是几何学中的两个重要概念。
棱柱的底面与顶面都是多边形，而棱锥的顶面是一点。
此外，棱柱的侧面是矩形，而棱锥的侧面是三角形。
我们可以通过实际生活中的例子来更好地理解和应用这些几何概念，比如儿童玩具积木和蛋糕的结构设计等。
因此，在三年级数学学习中，我们需要进一步掌握棱柱与棱锥的形状特征及其性质，通过实际问题的应用，培养我们的几何思维能力。
棱柱、棱锥、棱台的概念和性质
2.棱锥的元素
A B
类比棱柱，给棱锥各元素命名 顶点
C
S
底面
A
由棱柱的一个 底面收缩而成 底面CBFra bibliotekA B
C
侧面
侧面
侧棱 相邻两侧面 的公共边
侧棱 相邻两侧面 的公共边
3.棱锥的性 质
观察下列棱锥，归纳它们的底面和侧面各有什么特征？
在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?
棱锥的性质： ①底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等）
E D A B C A1 C1 E1 D1
B1
5.右图中的几何体
是不是棱台？为什
么？
6.多面体至少有几个面？这个多面体是怎样
的几何体？
5 个. 7.棱柱的面至少有_____
回顾反思
线段 平行四边形
平面多边形 棱柱
三角形
棱锥
梯形
棱台
几何体
侧棱
图形
底面
两个底面是全等 的多边形且对应 边互相平行相等
1
1
1
}
}
所以△MNP≌△ABC (SSS)
过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
已知：四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1 求证：截面AA1 C1 C是平行四边形 证明：四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1 D AA1∥ = C1 C A 截面AA1 C1 C 是平行四边形 D1
A1 B1
C
B
应用三垂线定理
教 学 参 考 ——一题多解
M 是底 例1 已知正三棱柱ABC A B C 的各棱长都为1，
1
面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC 上的点，且CN CC， 4 求证：AB MN 。 C 的中点G, 由 解2：直角坐标法 。 取 Bⅱ ^ BC, 已知条件和正三棱柱的性质，得 AM Z A' 如图建立坐标系。则 1 1 3 1 ¢ B' C' M (0, 0, 0, ), N (0, , ), A(, 0, 0), B (0, - ,1), G 2 4 2 2
七年级上册棱柱棱锥知识点
七年级上册棱柱棱锥知识点作为初中数学的一部分，七年级上册涉及到许多和几何图形相关的知识，其中包括棱柱和棱锥。
本文将深入探讨七年级上册所需掌握的棱柱和棱锥的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这些重要的几何概念。
一、棱柱的定义及性质棱柱是指有若干条棱的多面体，在棱柱中，所有的棱都是相等的，所有的侧面都是相等的并且平行于基面。
棱柱最基本的性质是它们有两个底面，这些底面是相同且平行的正多边形。
在棱柱中，侧面都是以棱为边，在棱柱的两个底面之间排列成平行面。
棱柱的高度由两个底面之间的距离确定。
棱柱有许多重要的性质。
首先，棱柱的侧面可以是任意形状的平面。
其次，在一个棱柱中，如果所有棱的长度都相等，则这是一个“正棱柱”。
正棱柱有许多有用的性质，例如，它的两个底面之间的距离是长度相等的所有棱所形成的正多边形的高度。
此外，正棱柱的侧面相等且平行于两个底面。
最后，正棱柱的所有顶点都位于一个共同平面中。
二、棱锥的定义及性质棱锥是具有一个底面和一个顶点的几何图形，由直线段(棱)连接底面上任意两个点并到顶点的几何图形。
棱锥有两个最重要的性质：它们必须有一个底面和一个顶点，并且连接底面和顶点的直线位于棱锥的侧面上。
在棱锥中，底面可以是任何形状的，但是当底面是正多边形时，我们称之为“正棱锥”。
正棱锥有许多有用的性质，例如，它的高度是底面到顶点的距离，这可以通过使用勾股定理来计算。
与正棱柱类似，正棱锥的侧面也是相等的并且平行于底面。
此外，正棱锥的每一个侧面都是一个顶角，并且位于一个共同的平面中。
三、棱柱和棱锥的表面积与体积图形的表面积和体积是数学中非常重要的概念，棱柱和棱锥也不例外。
棱柱的表面积是所有侧面和底面的面积之和，而棱柱的体积可以通过以下公式来计算：V = Bh，其中V表示棱柱的体积，B表示底面的面积，h表示棱柱的高度。
类似地，棱锥的表面积也是所有侧面和底面的面积之和，并且它的体积可以通过以下公式来计算：V = 1/3Bh，其中V表示棱锥的体积，B表示底面的面积，h表示棱锥的高度。
棱柱、棱锥的概念和性质
（3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
2
又∴得M平N面t∥aPnABCD⊥，P平∴C面MANPM⊥N平2.2面. PAC.
设MN∩AC=Q，连结PQ， 则平面PAC∩平面PMN=PQ. 作OH⊥PQ，垂足为H， 则OH⊥平面PMN， OH的长即为O到平面PMN的距离， 作AG⊥PQ于G. 在Rt△PAQ中，PA=a,
AQ 3 AC 3 2 a,
4
4
PQ 34 a. AG PA AQ 3 17 a.
4
PQ 17
OH 1 AG 17 a.
3
17
探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
高考数学总复习 9.6棱柱、棱锥的概念和性质课件 人教
考点
考纲要求
考查角度
棱柱、棱 棱柱、棱 理解棱柱、棱锥的 棱柱、棱锥的截面
锥的概念 锥的概念 概念和性质；能正 特征；线面位置关
及性质 及性质； 确画出直棱柱、正 系的计算与证明；
直棱柱、 棱柱的直观图；会 有关棱柱、棱锥的
正棱柱的 解决棱柱的直截面 概念的判断及性质
积是S直棱柱侧＝ch. ②斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧
棱都相交的的体积等于它的底面积S乘以高h，即V棱柱＝Sh. ①一般地，V柱体＝Sh，其中S是底面积，h是高． ②V长方体＝abc，其中a、b、c是长方体的长、宽、高； V正方体＝a3，其中a为棱长．
体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体； ⑤底面是正方形的长方体是正四棱柱． 其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：命题①不正确，因为侧棱不一定垂直于底面；②不正 确，因为底面有可能是菱形；③不正确，因为有两条侧棱 垂直于底面一边，可以得到相对的两侧面是矩形，不能得 出侧棱与底面垂直；④正确，由对角线相等，可得出平行 六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，所以 是直平行六面体；⑤正确，长方体是直四棱柱，再加上底 面是正方形，所以是正四棱柱．
②若体对角线与相交于一点的三个面所成的角分别为α、β、 γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2；sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1.
(5)由于长方体本身的特点，较容易建立空间直角坐标系，因 此，利用空间向量求解与长方体有关的问题较为简单．
二、棱锥
1．棱锥
有一个面是
，其余各面是有一个公共顶点的 ，
这些面围成的几多何边体形叫做棱锥．
棱柱与棱锥
食盐
明矾
石膏
（1）凸多面体：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体。 V
C D
A
E 问：以上多面体哪个为凸多面体？
B
多面体分类：
按多面体面数分为四面体、五面体、六面体等
（3）正多面体：
定义：每个面都是有相同边数正多边形，且以每个顶点 为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。
例3 作一个底面边长为5cm，高为11.5cm的正五棱 锥直观图。(比例尺1:5)
y
D E N C E1 N1
1 D ·
y1
o
A M B
x
A1
· M1
o
· 1
B1
C1
x1
正棱锥的直观图的画法
S
z’
y’
D
E A O’ B C x’
画轴．画 加以整理，就得到所画的正五棱锥的直观图 x′轴、 y′SB 轴、 z′ 轴，记坐标原点为 O′ ，使 ， 画底面．按 x′ 轴、 y′、 轴画正五边形的直观图 ABCDE ..成图．连结 画高线．在 z′ SA 轴上取 、 O′S SC ＝ 、 11.5 SD、 ÷SE 5＝ ， 2.3(cm) ． ∠ x′O′y′＝45°，∠x′O′z′ ＝1(cm) 90° ，并使正五边形的中心 按比例尺取边长等于 5÷ 5＝ 对应于点O′．
直观图的画法 E’ z’ D’ C’
y’
F’ A’
E D
E1
O’
B’
D1
C1 x’ B1
F A B
C
F1 A1
直棱柱的直观图的画法
E’ F’ A’
z’
棱柱与棱锥的概念与性质
棱柱与棱锥的概念与性质棱柱与棱锥是几何学中常见的三维图形，它们在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将对棱柱与棱锥的概念进行介绍，并探讨它们的性质和特点。
一、棱柱的概念与性质棱柱是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个侧面组成的立体图形。
其中，多边形底面的边数决定了棱柱的名称，例如三角形底面的棱柱称为三棱柱，四边形底面的棱柱称为四棱柱，以此类推。
（1）棱柱的特点在棱柱中，底面和顶面是平行的，并且底面的对应边和顶面的对应边相互平行。
此外，棱柱的侧面由底面的各个顶点和顶面的对应顶点之间的线段组成，这些线段称为棱。
因此，棱柱的名称即为棱的总和。
（2）棱柱的面积和体积棱柱的面积等于底面的面积加上底面与顶面之间的若干个侧面的面积之和。
具体地，棱柱的表面积为：底面积 + 侧面积 = 底面积 + 棱长×棱的数量。
棱柱的体积等于底面的面积乘以棱长。
因此，我们可以用以下公式计算棱柱的体积：体积 = 底面积 ×棱长。
二、棱锥的概念与性质棱锥是由一个多边形底面和它的顶点以及底面的各个顶点之间的直线段组成的立体图形。
与棱柱不同的是，棱锥只有一个底面，而棱柱有两个平行的底面。
（1）棱锥的特点在棱锥中，底面是一个多边形，顶点位于多边形的正上方。
底面的各个顶点与顶点之间的线段称为棱。
同样，棱锥的名称即为棱的总和。
（2）棱锥的面积和体积棱锥的面积等于底面的面积加上底面与顶点之间的若干个侧面的面积之和。
具体地，棱锥的表面积为：底面积 + 侧面积 = 底面积 + 各侧面的面积之和。
棱锥的体积等于底面的面积乘以高，并除以3（三棱锥）或者是高乘以底面积，并除以3（四棱锥）。
因此，我们可以用以下公式计算棱锥的体积：体积 = 底面积 ×高 ÷ 3。
三、棱柱与棱锥的应用棱柱与棱锥在日常生活和工程实践中有着广泛的应用。
例如，在建筑领域，棱柱形状的建筑物如柱子、烟囱等被广泛使用。
同时，棱锥形状的物体如手指、纸锥、礼帽等也是我们常见的物品。
高二政治 棱柱棱锥有关概念和性质 ppt
要点·疑点·考点
2.性质 (1)侧棱都相等，侧面是平行四边形； (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形. 3.长方体及其相关概念、性质 (1)概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体. 侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体. 底面是矩形的直平行六面体叫长方体. 棱长都相等的长方体叫正方体. (2)性质：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 对角线长为l ，则l2=a2+b2+c2
P 解: (1)∵AD//平面PBC ∴D到平面PBC的距离等于A到 平面PBC的距离 ∵PA⊥BC, AB⊥BC ∴BC⊥平面PAB ∴平面PBC⊥平面PAB A D ∴A到PB的距离就是A到平面 PBC的距离 ∵PA=AB=2, PA⊥AB, B 2 2 2 ∴D到平面PBC的距离为 ∴A到PB的距离为 22 22
(2)性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三边形, 各等腰 三角形底边上的高相等, 它叫正棱锥的斜高 ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一直角 三角形，棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组 成一直角三角形.
基础题例题
1.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形， 那么它的三个侧面( C ) (A)至多只有一个是直角三角形
(B)至多只有两个是直角三角形
(C)可能都是直角三角形 (D)必然都是非直角三角形
基础题例题
2.正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=√2 BB1，则AB1
与C1B所成角的大小是 A.60o B.90o 长 方 体 三 边 之 和 为 a+b+c=6 ， 总 面 积 为 11 ， 则 5 ；若一条对角线与二个面所成的 其 对 角 线 长 为 __ 角 为 30° 或 45° ， 则 与 另 一 个 面 所 成 的 角 为 30° ___ ；若一条对角线与各条棱所成的角为α、
棱柱和棱锥知识点归纳总结
棱柱和棱锥知识点归纳总结棱柱和棱锥是几何学中常见的立体图形，它们都具有特定的几何属性和计算方法。
本文将对棱柱和棱锥的定义、性质和计算方法进行归纳总结。
一、棱柱的定义与性质棱柱是指具有两个平行的底面，并且侧面由若干个连接两个底面相对点的四边形构成的立体图形。
棱柱的侧面都是平行四边形，而底面则可以是任意形状的多边形。
棱柱的性质包括：1. 底面：棱柱有两个相同形状的底面，且底面之间平行。
2. 侧面：棱柱的侧面是若干个平行四边形，且平行四边形两对边相互平行。
3. 高度：棱柱的高度是两个底面之间的垂直距离。
4. 体积：棱柱的体积等于底面面积乘以高度，即V = 底面积 ×高度。
5. 表面积：棱柱的表面积等于底面积加上所有侧面的面积之和。
二、棱锥的定义与性质棱锥是指具有一个底面和一个顶点，并且侧面由底面上的点与顶点相连而成的三角形构成的立体图形。
棱锥的底面可以是任意形状的多边形，而侧面都是三角形。
棱锥的性质包括：1. 底面：棱锥有一个底面，可以是任意形状的多边形。
2. 顶点：棱锥有一个顶点，位于侧面的同一平面上。
3. 侧面：棱锥的侧面是若干个三角形，每个三角形的一个顶点是棱锥的顶点。
4. 高度：棱锥的高度是从顶点向底面垂直引出的线段。
5. 体积：棱锥的体积等于底面积乘以高度再除以3，即V = (底面积×高度) / 3。
6. 表面积：棱锥的表面积等于底面积加上所有侧面的面积之和。
三、棱柱和棱锥的计算方法1. 底面积的计算：棱柱和棱锥的底面积可以根据底面的形状来计算，比如矩形的底面积等于长乘以宽，三角形的底面积等于底边乘以高再除以2。
2. 侧面积的计算：棱柱和棱锥的侧面积可以根据其侧面的形状来计算，比如平行四边形的侧面积等于底边乘以高，三角形的侧面积等于底边乘以高再除以2。
3. 体积的计算：棱柱的体积等于底面积乘以高度，棱锥的体积等于底面积乘以高度再除以3。
通过了解棱柱和棱锥的定义、性质以及计算方法，我们可以更好地理解和运用这两个几何图形。
棱柱与棱锥了解棱柱与棱锥的特性与计算方法
棱柱与棱锥了解棱柱与棱锥的特性与计算方法棱柱与棱锥：了解其特性与计算方法一、引言棱柱与棱锥是几何学中常见的立体图形，它们在日常生活和工程应用中起到重要作用。
本文将介绍棱柱和棱锥的特性，并讲解它们的计算方法。
二、棱柱的特性与计算方法2.1 棱柱的定义与性质棱柱是由两个平行多边形底面和连接底面对应点的若干个侧面构成的立体图形。
它的特点如下：- 底面：棱柱的底面是多边形，可以是三角形、四边形或更多边形。
- 侧面：侧面是由底面的顶点和相对底面上连接的边构成。
- 棱：棱是棱柱的侧面的边。
- 高度：棱柱的高度是连接两个底面的垂直距离。
2.2 棱柱的计算方法根据棱柱的特性，我们可以计算以下参数：- 周长：棱柱的周长可以通过底面的边长和侧面的数量来计算。
若底面为正多边形，周长等于边长乘以边数。
- 面积：棱柱的表面积可分为底面积和侧面积两部分。
底面积为底面的面积，而侧面积为侧面的面积之和。
- 体积：棱柱的体积可以通过底面积与高度的乘积来计算。
三、棱锥的特性与计算方法3.1 棱锥的定义与性质棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与底面上各个点的直线段所构成的立体图形。
以下是棱锥的特性：- 底面：棱锥的底面是一个多边形。
- 侧面：棱锥的侧面是由底面顶点和底面上各个点连接而成的直线段。
- 棱：棱是棱锥的侧面的边。
- 高度：棱锥的高度是从顶点到底面的垂直距离。
3.2 棱锥的计算方法对于棱锥，我们可以计算以下参数：- 周长：棱锥的周长可通过底面的边长和侧面的数量来计算。
若底面为正多边形，周长等于边长乘以边数。
- 面积：棱锥的表面积可分为底面积和侧面积两部分。
底面积即底面的面积，而侧面积可以通过侧面的面积之和来计算。
- 体积：棱锥的体积可以通过底面积与高度的乘积再除以3来计算。
四、应用举例4.1 棱柱应用举例棱柱的特性与计算方法在实际应用中具有广泛的应用。
举例而言，建筑工程中的柱子、铅笔等均可视为棱柱。
4.2 棱锥应用举例棱锥的特性与计算方法也在多个领域中得到应用。
小学数学知识归纳棱柱与棱锥的认识与性质
小学数学知识归纳棱柱与棱锥的认识与性质数学作为一门基础学科，对学生的综合素质有着重要的影响。
在小学阶段，数学的教学内容相对简单，但仍然需要深入浅出地向学生介绍各种几何图形及其性质。
本文将重点介绍小学数学中的两种几何图形——棱柱和棱锥的认识与性质。
一、棱柱的认识与性质1. 棱柱的定义棱柱是一种具有两个底面，并且侧面由多个矩形所构成的立体图形。
两个底面平行，并且通过侧面的平行边相互连接。
如下图所示：（图1：棱柱示意图）2. 棱柱的特点棱柱的特点有：（1）棱柱有两个底面，底面形状可以是任意多边形；（2）棱柱的侧面由多个矩形构成，且各矩形的边长相等；（3）棱柱的高等于两个底面之间的距离；（4）棱柱的底面积等于底边的周长乘以高。
3. 棱柱的例子棱柱在生活中有着广泛的应用，下面是一些常见的棱柱例子：（1）蜡烛：蜡烛的外形就是一个棱柱，顶端和底部都是圆形的底面，侧面是一个长方形；（2）笔筒：笔筒的外形也是一个棱柱，底面为一个圆形，侧面是一个长方形；（3）柱形水杯：柱形水杯也是一个棱柱，底面为一个圆形，侧面是一个长方形。
二、棱锥的认识与性质1. 棱锥的定义棱锥是一种具有一个底面，并且侧面由多个三角形所构成的立体图形。
底面为任意多边形，而顶点则位于底面之上。
如下图所示：（图2：棱锥示意图）2. 棱锥的特点棱锥的特点有：（1）棱锥有一个底面，底面形状可以是任意多边形；（2）棱锥的侧面由多个三角形构成，且各三角形的边长相等；（3）棱锥的高等于底面到顶点的距离；（4）棱锥的底面积等于底边的周长乘以高的一半。
3. 棱锥的例子棱锥在生活中也有着广泛的应用，下面是一些常见的棱锥例子：（1）冰淇淋：冰淇淋的外形就像一个棱锥，底面是一个圆形，侧面是一个或多个三角形；（2）山顶：山顶的形状往往呈现出一个棱锥的形状；（3）糖果：一些糖果的外形也是棱锥状的，底面为多边形，侧面是一个或多个三角形。
三、棱柱与棱锥的比较1. 相同之处棱柱和棱锥都属于立体图形，都有底面和侧面。
空间几何中的棱柱与棱锥知识点
空间几何中的棱柱与棱锥知识点空间几何是数学中的一个重要分支，涉及到平面、直线、点以及它们在三维空间中的运用。
其中，棱柱和棱锥是空间几何中最基本的几何体，具有广泛的应用和重要的数学意义。
本文将介绍棱柱和棱锥的定义、性质以及相关的定理和应用，帮助读者更好地理解和掌握这两个几何体。
一、棱柱的定义和性质棱柱是一个具有两个并行多边形底面，并且侧面由这两个底面对应的边所连接而成的几何体。
棱柱的顶面和底面都是多边形，而侧面是由底面的对应边所连接而成的矩形。
棱柱可以根据底面的形状来进行分类，常见的有正棱柱、长方体和正方柱。
正棱柱的底面是正多边形，长方体的底面是长方形，而正方柱的底面是正方形。
不同类型的棱柱在计算表面积和体积时，使用的公式略有不同。
棱柱的性质包括：1. 棱柱的侧面是矩形，其对边相等且平行；2. 棱柱的顶面和底面是相同的多边形；3. 相邻侧面之间的夹角是直角；4. 棱柱的高等于侧面矩形的高。
二、棱锥的定义和性质棱锥是一个具有一个多边形底面和一个顶点，并且底面的每个顶点与顶点相连的几何体。
棱锥的底面是一个多边形，而侧面则是由底面的顶点和顶点所连接而成的三角形。
棱锥也可以根据底面的形状来进行分类，常见的有三棱锥、四棱锥和正棱锥。
三棱锥的底面是三角形，四棱锥的底面是四边形，而正棱锥的底面是正多边形。
不同类型的棱锥在计算表面积和体积时，使用的公式略有不同。
棱锥的性质包括：1. 棱锥的侧面是三角形，其底边的顶点与顶点相连；2. 棱锥的底面是一个多边形；3. 棱锥的底边的边数与棱锥的顶点数相同；4. 棱锥的高等于顶点到底面的垂直距离。
三、棱柱和棱锥的公式和定理1. 棱柱的表面积公式：若底面为正多边形，则表面积等于底面周长乘以高再加上底面的面积；若底面为长方形，则表面积等于(底面的周长加上长方形的两个对角线的和)乘以高再减去两倍的底面的面积；若底面为正方形，则表面积等于(底面的周长加上正方形的对角线的和)乘以高再减去两倍的底面的面积。
棱柱和棱锥
{正方体}{长方体}{直平行六面体 }{平行六面体 }
定理 长方体一条对角线的长的平方等 于一个顶点上三条棱的长的平方和
D' C'
A'
B'
D
C
A
B
棱锥的定义：
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱 锥．
这个多边形叫做棱锥的底面．其余各面 叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫 做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做 棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱 锥的高．
棱锥的分类：
棱锥的底面是三角形、四边形、五边 行等把棱锥分成三棱锥、四棱锥、五 棱锥。
棱锥的性质：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截， 那么截面和底面相似，并且它们的面积比等 于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的比的平 2 3 方比。 S h V h
即
截
S底
h
截 2
, 类推
截
V
h
截 3
棱锥和圆锥统称为锥体。
两个底面所在平面的公垂线段叫 做棱柱的高。
⒊棱柱的分类
斜三棱柱
直四棱柱
正五棱柱
1、 按侧棱与底面位置关系分类可分为 斜棱柱、直棱柱（正棱柱） 2、 按底面多边形的边数分类可分为 三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。
学以致用
问题1、棱柱集合、斜棱柱集合、直 棱柱集合、正棱柱集合之间存在怎样 的包含关系？
问题2、 斜棱柱、直棱柱和正棱柱 的底面、侧面各有什么特点？
⒉棱柱的表示法；
1 .用两底面各顶点的字母来表示,如：棱柱
ABCD- A1B1C1D1
2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示， 如：棱柱A C1
空间中的棱柱与棱锥
空间中的棱柱与棱锥在数学几何学中，棱柱和棱锥是两个常见的立体几何形体。
它们都属于空间几何体，具有一定的形态特征和性质。
本文将就空间中的棱柱与棱锥展开讨论。
一、棱柱棱柱是一种具有两个平行且相等的多边形底面，并由这些底面的边通过直线段连接而组成的几何体。
棱柱的名字通常以底面的形状命名，例如三角棱柱、四边形棱柱等。
1. 基本性质首先，我们来讨论一下棱柱的基本性质。
由于棱柱的底面是多边形，因此它具有与底面多边形相关的性质。
比如，底面的边数决定了棱柱的称呼，三角棱柱就是底面为三角形的棱柱，四边形棱柱就是底面为四边形的棱柱。
其次，棱柱的侧面是由底面对应的边和顶面的相对点连接而成的直线段，因此棱柱的侧面形状与底面相同。
此外，棱柱的顶面与底面平行，并且与底面的边一一对应。
2. 常见的棱柱基于底面的形状，棱柱可以分为不同的类型。
(1) 正棱柱：底面为正多边形的棱柱称为正棱柱。
正棱柱的侧面是等腰三角形，顶面和底面平行。
(2) 直棱柱：顶面与底面的对应点通过棱直线相连接的棱柱称为直棱柱。
直棱柱的侧面是矩形，其中棱直线垂直于底面。
(3) 斜棱柱：顶面与底面的对应点通过棱斜线相连接的棱柱称为斜棱柱。
斜棱柱的侧面是平行四边形，其中棱斜线不垂直于底面。
二、棱锥棱锥是由一个多边形底面和与底面顶点相连的直线段所组成的几何体。
与棱柱类似，棱锥的命名也是根据底面的形状来的，例如三角棱锥、四边形棱锥等。
1. 基本性质棱锥的基本性质与棱柱有些相似，底面、侧面和顶面都与棱柱类似。
棱锥的底面为多边形，侧面是由底面的边和顶点之间的直线段连接而成。
不同于棱柱的是，棱锥的侧面都是三角形，且这些三角形的一个顶点都是锥的顶点。
此外，棱锥的顶面是一个单独的平面，与底面的边一一对应。
2. 常见的棱锥与棱柱一样，棱锥也可以按照底面的形状进行分类。
(1) 正棱锥：底面为正多边形且顶点在底面中心的棱锥称为正棱锥。
正棱锥的侧面是等腰三角形。
(2) 直棱锥：顶点在底面中心，并且与底面的边垂直相交的棱锥称为直棱锥。
棱柱和棱锥认识棱柱和棱锥的特性
棱柱和棱锥认识棱柱和棱锥的特性棱柱和棱锥是几何学中常见的立体形体，它们具有各自独特的特性和性质。
本文将介绍棱柱和棱锥的定义、特征，以及它们在实际生活中的应用。
一、棱柱的定义及特性棱柱是一种具有两个平行且相等的多边形底面的立体形体。
在棱柱中，底面的边与顶面的对应边垂直，并且所有相连的顶点通过垂线连接。
棱柱的侧面由这些垂线与底面边组成，形成了一系列平行四边形或矩形。
棱柱的特性如下：1. 底面：棱柱的底面是一个多边形，可以是三边形、四边形或其他多边形。
底面的形状决定了棱柱的类型。
2. 侧面：棱柱的侧面由底面的边和顶面的对应边连接而成。
侧面的形状是平行四边形或矩形，并且对应边相等。
3. 高度：棱柱的高度是指底面与顶面之间的垂直距离。
4. 体积：棱柱的体积可以通过底面的面积乘以高度来计算。
5. 表面积：棱柱的表面积由底面的面积、顶面的面积和侧面的面积之和组成。
棱柱在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑物中的柱子、筒形容器等都属于棱柱的范畴。
二、棱锥的定义及特性棱锥是一种具有一个多边形底面和一个顶点的立体形体。
与棱柱类似，棱锥的底面的边也与顶面的对应边垂直。
棱锥的侧面由底面边与顶点相连而成，形成了一系列三角形。
棱锥的特性如下：1. 底面：棱锥的底面是一个多边形，可以是三角形、四边形或其他多边形。
底面的形状决定了棱锥的类型。
2. 侧面：棱锥的侧面由底面的边和顶点连接而成。
侧面的形状是一系列的三角形。
3. 顶点：棱锥的顶点是连接侧面的顶点。
4. 高度：棱锥的高度是指底面与顶点之间的垂直距离。
5. 体积：棱锥的体积可以通过底面的面积乘以高度再除以3来计算。
6. 表面积：棱锥的表面积由底面的面积、侧面的面积之和组成。
棱锥也广泛应用于现实生活中，例如圆锥形的麦克风、冰淇淋的锥形外形等都是棱锥的例子。
总结：本文介绍了棱柱和棱锥的定义、特性以及在实际生活中的应用。
棱柱具有两个平行且相等的底面，侧面由垂线连接形成平行四边形或矩形；棱锥具有一个底面和一个顶点，侧面由底面边与顶点相连形成三角形。
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5.体积公式
（1）柱体体积公式为V= Sh ，其中 S 为底面面
积， h 为高; （2）锥体体积公式为V=
1 Sh 3
，其中
S
为底面面
积， h 为高.
6.侧面积与全面积
（1）棱柱的侧面积是各侧面面积之和，直棱柱的
侧面积是底面周长与 高之积；棱锥的侧面积是各
侧面 面积之和，正棱锥的侧面积是底面周长与 斜
侧面与底面的公共
顶点 顶点
各侧面的公共顶点
高
两个底面所在平面 的公垂线段
顶点到底面所在平面的 垂线段
2.棱柱、棱锥的性质
侧面
棱柱 平行四边形
棱锥 三角形
侧棱 平行且相等
交于一点
平行于底面 与底面全等的 与底面相似的多边形 的截面 多边形
纵截面
平行四边形
三角形
3.四棱柱的一些常用性质 （1）平行六面体的四条对角线 交于一点 且在 该点 互相平分 ； （2）直棱柱的 侧棱长 与高相等，直棱柱的侧面及 过 不相邻两条侧棱 的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与 底面 垂直； （3）正四棱柱与正方体的底面都是 正方形 ，正方 体的侧面和底面都是 正方形 ； （4）长方体的 一条对角线长的平方 等于同一个顶 点上三条棱长的 平方和 .
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
（ D）
A . 1 B .2 C .3 D .6
解析 由体积公式V=Sh可得底面积为S V 2 3,
若设底面三角形的边长为a，则有
h所
以a=2 ，故侧棱到相对面的距离为3a2 2 3, 4
2
3 a 6.
2
题型一 棱柱、棱锥的概念和性质
【例1】 如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它
为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下5
该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积
为
（B）
A .2 B .2 C .3
6
3
3
D .2 3
解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两个
正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1，每一个
正四棱锥的高为 2 ，所以 V211 2 2.
2
3 23
5.若一个正三棱柱的高为1，体积为2 3 ，则一条侧
棱到与它相对的面之间的距离为
高积的一半 .
（2）全面积等于侧面积与底面积之和，即S全=S侧 + S底.
基础自测
1.以下命题中正确的是
（C ）
A.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他
面
都是平行四边形的多面体是棱柱
B.有一个面是多边形，其他面都是三角形的多
面
体是棱锥
C.有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D.长方体一定是正四棱柱
2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（ B） A.棱柱有一条侧棱与底面垂直
个命题中：
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；
②ห้องสมุดไป่ตู้腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等
或互补；
③底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥；
④底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥；
⑤等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上.
其中真命题为
（写出所有真命题的序号）.
思维启迪 结合“等腰四棱锥”的概念，逐一进行 判断. 解析 ①真.因为“等腰四棱锥”四条侧棱长都相 等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上 的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面 所成的角都相等； ②假.如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在 底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰 四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不 都相等或互补.故是假命题； ③假.如当底面是正方形时，底面四边形存在外接 圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个 四棱锥显然不是“等腰四棱锥”；
④假.理由同③； ⑤真.因为由①知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的 各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上. 答案 ①⑤ 探究提高 本题要注意“等腰四棱锥”的定义，并 会研究其简单的性质与判定方法.掌握“侧棱都相 等，则侧棱与底面所成的角都相等”，“侧棱都相 等，则底面多边形有外接圆”，“棱锥各侧面三角 形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形 内，则侧面与底面所成的角都相等”等一些常用结 论.
棱柱、棱锥的概念和性质
要点梳理
棱柱、棱锥的定义
棱柱
棱锥
如果一个多面体有两 如果一个多面体有一
个面互相 平行 ，而其 个面是 多边形，其余
定义 余每相邻两个面的交 各面是有一个公共顶
线互相 平行 ，这样的 点 的三角形，这样
多面体叫做棱柱
的几何体叫做棱锥
底面
互相平行的面
多边形
侧面
其余各面
侧棱
两个侧面的公共边
B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直
C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直
D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直
3.已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为
24，则这个长方体的一条对角线长为
（C）
A . 2 3 B .14 C . 5 D . 6
4.（2009·陕西文，11）若正方体的棱长为2，则以
题型二 棱柱、棱锥中的平行与垂直 【例2】如图所示，在直三棱柱ABC—
A1B1C1中，∠ACB=90°,AB=2,BC=1, AA1= 3 . （1）证明：A1C⊥平面AB1C1； （2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点 E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质 定理.
若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所 成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ=1 ； 若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所 成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ=2 .
4.正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究 对象 (1)定义： 底面是 正多边形 ，并且顶点在底面上的射影是底 面的 中心 ，这样的棱锥叫做 正棱锥 . (2)性质： ①侧面是 全等的等腰三角形，与底面所成二面角 均 相等 ； ②侧棱均 相等 ，侧棱与底面所成的角均 相等 ； ③平行于底面的截面也是 正多边形 ；纵截面是 等 腰三角形 ； ④正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面 外接圆半径、底面内切圆半径.