第6章 双变量线性回归模型的延伸

βˆ2 分别是α ，β2 的最优线性无偏估计量。
双对数模型的一个最大的优点是，斜率β
β2
=
d (lnY ) d (ln X )
=
1 dY Y 1 dX
=
dY /Y dX / X
2就是Y对X的弹性：
如果Y代表商品需求量Q，XX代表商品价格P，可见β2 就表示该商品
的需求价格弹性。而弹性在经济学中具有广泛的运用：
对数——线性模型有两个特点：
①Y对X的弹性在整个研究范围内是常数，一直为 β2 ，因此这种模
型也称为不变弹性模型（constant elasticity model）。
②虽然αˆ 和 βˆ2 是无偏估计量，但是进入原始模型的参数
β1 的估计值βˆ1 却是有偏估计， ∵ β1 = anti logαˆ （ βˆ1等于αˆ 的反对数）
第二，对有截距项的模型，判定系数 r 2 ≥ 0 ；但是，对无截距模
型来说，有时可能出现负值。
∑ ∑ ∑ ∑ 对于有截距的模型： RSS = ui 2 = yi 2 − βˆ22 xi 2 ≤ yi 2
∑ ∑ ∑ 对于无截距的模型： RSS = ui 2 = Yi 2 − βˆ22 X i 2
∑ ∑ TSS = yi2 = Yi2 − NY 2
∑∑ βˆ2 =
X iYi Xi2
下面求 βˆ2 的方差：
（6.1.6）
将PRF： Yi = β 2 X i + ui
代入（6.1.6）式得：
∑ ∑ ∑∑ βˆ2 =
X i (β2 X i
Xi2
+ ui )
=
β2
+
X iui Xi2
∑ ∑ E(βˆ2 ) = β 2 ∵ E( X iui ) = E(ui ) X i = 0
用OLS法来做回归分析。
这种模型被称为对数一对数（log-log），双对数（double-log） 或对数一线性（log-linear）模型。
如果令Yi* = lnYi ，X i* = ln X i，则（6.4.3）式可以写成：
Yi* = α + β 2 X i* + ui
（6.5.4）
这样以来，就可以直接使用OLS法做回归，所得的αˆ ，
第6章 双变量线性回归模型的延伸
§6.1 过原点回归
在实践中，双变量PRF有时采取如下的形式：
Yi = β 2 X i + ui
（6.1.1）
此模型的特点是没有截距项，因此被称为过原点回归 （regression through the origin）。
适 用 于 这 种 模 型 的 例 子 ： M· 弗 里 德 曼 的 持 久 收 入 假 说 （permanent income hypothesis）；资本资产定价模型（ CAPM ）， 等等。
（6.6.5）
对应的计量模型为：
lnYt = β1 + β 2t + ut
（6.6.6）
注意：这里的回归元是时间，取值为1，2，3，……
形为（6.6.6）这样的模型叫做半对数模型（semilog models）。 只有回归子Y取对数的模型叫做线性到对数模型（log-lin model）， 也叫线性到对数模型。
注：（6.6.6）和（6.6.9）两模型的回归子不同，因 而不能比较它们的r 2值。
二、对数到线性模型
如果我们的目的是测量X的一个百分比变化时，Y的 绝对变化量，则要用对数到线性模型（lin-log model）：
Yt = β1 + β 2 ln X i + ut
（6.6.11）
β2
=
dY d ln X
定义“粗 r 2 ”：
raw
∑∑ ∑ r2 =
(
X iYi )2 X i2 Yi2
0 < raw r2 < 1，却不能直接同惯用的r 2值相比。通常不加以
报告。
使用零截距模型时须特别小心，除非有非常强的先验预期，否 则以采取含有截距的模型为好。第一：尽管模型含有截距，但 不显著，则可认为这是一个过原点回归。第二：如果模型中确 实有截距，却执意拟合一个过原点回归，犯了设定错误 （specification）。
∑ var(βˆ1* ) = ∑ n
X i*2 ⋅σ *2
xi * 2
（6.2.12）
∑ var(βˆ2* ) =
σ *2
xi * 2
（6.2.13）
∑ σˆ *2 =
uˆi * 2
（ 6.2.14）
n−2
把上述结果和第3章OLS估计量结果进行比较，可见：
βˆ2*
=
⎛ ⎜ ⎝
ω1 ω2
⎞ ⎟ ⎠
βˆ2
Yi
=
β X e β2 ui 1i
可化为：lnYi = ln β1 + β 2 ln X i + ui
ln 表示自然对数（natural log）。
（6.5.1） （6.5.2）
进一步可以写为：
lnYi = α + β 2 ln X i + ui
（6.5.3）
其中，α = ln β1 这个模型对参数 α 和 β 为线性的，因而可以
ERm——市场组合证券的期望回报率，比如，它可用标准蒲
尔S&P500股票指数来代表。
rf ——无风险回报，比如，90天国库券回报率
β i ——Beta 系 数 ， 指 不 能 通 过 分 散 化 而 消 除 的 系 统 风 险
（systematic risk）的一种度量，也用来指第i种证券回报与市场 互动程度的一种度量。
（6.2.2）
Xi* = ω2 Xi
（6.2.3）
其中， ω1 和ω2 为常数，称为尺度因子；ω1 和ω2可相等或不等。
如果Yi 和 X i 是以10亿美元计量的，我们把它们改为用百万美
元去度量，就会有：
Yi* = 1000Yi ， X i* = 1000X i ， ω1 = ω2 = 1000
运用 Yi* 和 X i*的回归为：
标准化X和Y：Yi*
=
Yi − Y SY
X
* i
=
Xi − SX
X
标准化变量的均值是0，标准差是1。 回归模型
的β1*标= 0准，差β2*，的则解标释准：化标的准回化归的子回平归均元增增加加β一单个位单个位的
标准差。
优点：可将不同的回归直接进行比较， β系数越大，
回归元对回归子的解释能力越compond rate of growth，指在某一时段的增长率。
线性趋势模型：Y直接对时间t回归：
Yt = β1 + β 2t + ut
（6.6.9）
这里的时间变量t被称为趋势变量（trend variable）。 所谓“趋势”是指某种变量中有一种持续上升或下降的 运动。
实际应用中是选择线性到对数模型还是线性趋势模型取 决于是对回归子的相对变化感兴趣还是绝对变化感兴趣。
下 面 以 资 本 资 产 定 价 模 型 为 例 来 加 以 说 明 。 CAPM ： the capital Asset Pricing Model.
(ERi − rf ) = βi (ERm − rf )
（ 6.1.2 ）
这就是所谓风险溢价或升水（risk-premium）的形式。
其中：
ERi ——第i种证券的期望回报率
（aggrβesi s>iv1e），证该券证；β券i
是 易 波 动 性 的 （ volatile ） 或 进
< 1 ，为防御型（defensive）证券。
攻
型
ERi − rf ——第i种证券的期望风险溢价
ERm − rf ——期望市场风险溢价
如果资本市场能够有效运行，则CAPM要求：（6.1.2）式成立。 于是，可以得到证券市场线（security market line, 即SML）。
（6.6.1）
其中r是Y的复合增长率（在时间轴上的增长率，类似于连续复 利）。
对上式取自然对数，得：
lnYt = lnY0 + t ln(1+ r)
（6.6.2）
再令：β1 = lnY0 β2 = ln(1+ r)
（6.6.2）式变为：
（6.6.3） （6.6.4）
lnYt = β1 + β 2t
=
dY dX / X
=
Y的绝对变化 X的相对变化
β2
注 100 衡量了X的一个百分比变化，Y的绝对变化量。
§6.7 倒数模型（Reciprocal Model）
Yi
n −1
（6.1.8）
把上述公式和下面的有截距项的模型的公式比较一下：
∑∑ βˆ2 =
xi yi xi 2
（3.1.6）
∑ var(βˆ2 ) =
σ2
xi 2
（3.3.1）
∑ σˆ 2 = uˆi2 n−2
∑ 可见：第一，对有截距项的模型来说， uˆi = 0；对无
∑ ∑ 截距项的模型， uˆi = 0 不一定成立，只有 uˆi X i = 0 。
§6.6 半对数模型
线性到对数与对数到线性模型
一、怎样测量增长率：线性到对数模型（The Log-Lin Model）
对某些变量的增长率感兴趣，比如人口、GDP、货币供给等。
求实际GDP的增长率？
令Yt＝时间t的实际GDP（RGDP）
Y0＝实际GDP的初始值（为1972年的值）
则有：
Yt = Y0 (1+ r)t
β2
=
d lnY dX
=
dY / Y dX
=
回归子的相对改变量 回归元的绝对改变量
（6.6.7）
将 β2 乘以100，给出相对于回归元的绝对改变量回归子的百分比 变化，称为Y对X的半弹性。
瞬时增长率与复合增长率：
瞬时增长率：在某一时点的增长率，如（6.6.5）式中的 β2代表
的就是瞬时增长率（instantaneous rate of growth）。
截距及其标准误却放大或缩小至ω1 倍。
（2）X尺度不变（ ω2 = 1），Y尺度因子ω1 变化，那么， 斜率和截距系数以及它们各自的标准误都要乘以同样的ω1
因子。
（3）Y尺度不变（ ω1 = 1 ）， 而X尺度因子ω2变化，那
1
么，斜率系数及其标准误都要乘以因子 及其标准误不变。
ω2 ，而截距系数
§6.3标准化变量的回归
§6.2 尺度与测量单位
在回归分析中，因变量Y和解释变量X的测量单位的不同会造成 回归结果的差异吗？
令： Yi = βˆ1 + βˆ2 X i + ui
（6.2.1）
其中，Y代表GPDI（Goss Private Domestic Investment），X代表 GNP，见P157 表 6.2
定义： Yi * = ω1Yi
=
βˆ2
(
SX SY
)
§6.4 回归模型的函数形式
我们将讨论以下的三种回归模型：
1．对数线性模型
2．半对数模型
3．倒数模型
4. 对数倒数模型
关于变化的概念：绝对变化，相对或比例变化，百分比变化或百分数增长率。
§6.5 如何测度弹性：对数线性模型
指数回归模型（exponential regression model）
来。②CAPM成立，则预期 α i为零。
这样的模型如何估计呢？
这类模型的SRF可以写成：
Yi = βˆ2 X i+uˆi
（6.1.5）
∑ ∑ OLS法： uˆi2 = (Yi − βˆ2 X i )2
对 βˆ2 求一阶条件：
∑ d uˆi 2 ∑ dβˆ2
=2
(Yi − βˆ2 X i )(− X i ) = 0
Yi* = βˆ1* + βˆ2* X i + uˆi*
（6.2.4）
其中， Yi* = ω1Yi ，X i* = ω2 X i ，并且 uˆi* = ω1uˆi 。
用OLS法，得：
βˆ1* = Y * − βˆ2* X *
（6.2.10）
∑∑ βˆ2* =
xi* yi* xi * 2
（6.2.11）
为了做实证研究，（6.1.2）也常常写成：
Ri − rf = βi (Rm − rf ) + ui
(6.1.3)
或： Ri − rf = α i + βi (Rm − rf ) + ui
（6.1.4）
（6.1.4）式就是所谓的市场模型（Market Model）。
需要注意的是：①这里的解释变量为波动性系数 βi ，而不 是 (Rm − rf ) 。而 βi 需要从特征线（characteristic line）中估计出
∑∑ E(βˆ2 − β2 )2 = E[
X iui ]2 Xi2
∑ ∴var(βˆ2 ) =
σ2
Xi2
（6.1.7）
将（5）式的右端展开，注意到X i 是非随机的，E(ui ) = σ 2，且无
自相关。
∑ （2）式意味着： uˆi X i =0
总体方差 σ 2的估计式为：
∑ σˆ 2 = uˆi2
βˆ1* = ω1βˆ1
σˆ *2 = ω12σˆ 2
var(βˆ1* ) = ω12 var(βˆ1)
var(βˆ2*
)
=
( ω1 ω2
)2
var(βˆ2
)
rx2y
=
r2 x * y*
（6.2.20）
结论：（1）当 ω1 = ω2，即尺度因子相等时， 斜率系
数及其标准误不受尺度从（Yi , X i ）到（ Yi*, X i*）的影响。