化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法

二、 二次型及其矩阵表示

在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 2

2

ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方

向转轴） ''

''

x x cos y sin y x sin y cos θθ

θθ

⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）

把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。

（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。

设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式

22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++

称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式

11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n

x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪

=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。

在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另

ij ji a =a ，i

22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++

=

n n

ij

i

j

i 1j 1

a x x ==∑∑

它的系数排成一个n*n 矩阵

11121n 2122

2n n1n2

nm a a a a a a A a a a ⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

它就称为二次型的矩阵。显然它是对称矩阵。

令 12

n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

于是二次型可写成12n f (x ,x ,...,x )='X AX 非退化线性替换可以表示成X=CY

三、化二次型为标准形的方法之一：配方法

定理：数域P 上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。

证明：下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。 我们对变量的个数做数学归纳法。

对于n=1，而二次型就是2

1111f (x )a x =已经是平方和的形式了。现假定对n-1元二次型，定理的结论成立。再假设n n

12n ij

i

j

i 1j 1

f (x ,x ,...,x )a x x ===∑∑（ij a

=

ji a ）

分三种情况来讨论：

1）ii a （i=1，2，…，n ）中是少有一个不为零，例如11a ≠0。这时

12n f (x ,x ,...,x )=2111

a x +n 1j 1j j 2a x x =∑+n i1i 1i 2a x x =∑+n n

ij i j i 2j=2

a x x =∑∑

=2111

a x +2

n

1j 1

j j 2

a

x x =∑+n n

ij i j i 2j=2

a x x =∑∑

=11a 2n 1

1111j j j 2x a a x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑-111a -2

n 1j j j 2a x =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑+n n ij i j i 2j=2a x x =∑∑

=11a 2

n 1

1111j j j 2x a a x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑+n n ij i j i 2j=2

b x x =∑∑，

这里

n n

ij i j i 2j=2

b x x =∑∑

=-111

a -2

n

1j j j 2a x =⎛⎫

⎪⎝⎭∑+n n

ij i j i 2j=2

a x x =∑∑

是一个2n x ,...,x 的二次型。令

n -111111j j j 222

n n y x a a x y x ...........y x =⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑即n

-11

1111j j j 2

22n n

x y a a x x y ...........x y =⎧=-⎪⎪⎪

=⎨⎪⎪=⎪⎩∑ 这是一个非退化线性替换，它使12n f (x ,x ,...,x )=2

111

a y +

n n

ij i j i 2j=2

b x x =∑∑

。

有归纳法假定，对

n

n

ij

i j

i 2j 2

b y y ==∑∑有非退化线性替换

22222332n n 33223333n n n n22n33nn n

z c y c y ...c y z c y c y ...c y ...........z c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎨

⎪⎪=++⎩能使它变成平方和222

2233n n d z d z ...d z ++。 于是非退化的线性替换

11

22222332n n 33223333n n n n22n33nn n

z y z c y c y ...c y z c y c y ...c y ...........z c y c y ...c y =⎧⎪=++⎪⎪

=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ 就使12n f (x ,x ,...,x )变成12n f (x ,x ,...,x )=222

2233n n d z d z ...d z ++由归纳法，即证。

2）所有ii a 都等于0，但至少一1j a 0≠（j>1），不是一般性，设12a 0≠。令

112

212

n n

x z z x z - z ...........x z =+⎧⎪=⎪⎨

⎪⎪=⎩它是非退化线性替换，且使12n f (x ,x ,...,x )=12122a x x ...+ =1212122a (z z )(z - z )...++=22

1211222a z 2a z ...-+

这时上式右端是12n z ,z ,...,z 的二次型，且2

1z 的系数不为0，属于第一种情况，定理成立。 3）11121n a a ...a 0===由于对称性，有21222n a a ...a 0=== 这时n n

12n ij

i

j

i 2j 2

f (x ,x ,...,x )a x x ===

∑∑是n-1元二次型。根据归纳假设，它能用非退化线性替