2015年广东省高考数学冲刺压轴理科试卷(二)(有答案)

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广东省普宁二中2015届高考适应冲刺数学理试题 Word版含答案

2015届普宁二中理科数学高考适应卷1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数i12z --=设（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则在复平面内iz 对应的点的坐标为A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1） 2．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a ≥0”，命题q :“∃x ∈R 使x 2+2ax +2-a =0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 A.{}1a a ≥B.{}212≤≤-≤a a a 或 C.{}21a a -≤≤D.{}21a a a ≤-=或3．一个等比数列的前3项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列共有 A ．6项 B ．8项 C ．10项 D ．12项4A ．8 BC ．10 D5．．设4a x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则二项式6(展开式中含2x 项的系数是A ．192-B ．193C ．6-D ．76 若实数x,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤+-≤,01,032,5y x y x y 则y x z 2+=的最大值是A. 15B. 14C. 11D. 107．过双曲线2222x y a b-=1(a >0，b >0)的左焦点F (-c ，0)作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，O 为原点，若|FE |=|EP |，则双曲线离心率为A ．251+ B ．231+ C ．7224- D ．7224+ 8.函数()y f x =图像上不同两点1122(,),(,)A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则(,)A B ϕ> ②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A 、B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；④设曲线x y e =上不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞.以上正确命题的序号为 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示.若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 .10．已知集合A ={x |x =2k ，k ∈N*}，如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x = .11．已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 方向相反的单位向量的坐标为 .12．已知不等式201x x +<+的解集为{}x a x b <<，点(,)A a b 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则21m n+的最小值为 .13．已知函数ax x x f 3)(3-=，若直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值范围为．14.（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为4sin πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则点A (2，74π)到这条直线的距离为 .15.（几何选讲选做题）以Rt ⊿ABC 的直角边AB 为直径作圆O ，圆O 与斜边AC 交于D ，过D 作圆O 的切线与BC 交于E ，若BC =6，AB =8，则OE =三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16、（本题12分）已知)()()sin ,1,03,a x b x x R ωωω==-<<∈r r ，.函数()f x a b =⋅r r，若将函数()f x 的图象的其中一个对称中心到对称轴的最小距离为4π个单位。

2015广东省高考压轴卷理科数学 Word版含解析

2015广东省高考压轴卷理科数学一、选择题（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上）1、复数12i -+的虚部是（） A ．15- B ．15i - C ．15 D ．15i2、已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x | | x | <2 }，则A ∩B 等于A ．{x |－1<x <2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <2}3、下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（） A. 3y x = B. cos y x = C.x y tan = D . ln y x =4、在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos2B =（） ABC ．31D ．13-5、一空间几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为. （） A.2 B.32 C 4 D. 346、执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（） A.161587≤<P B. 1615>P C. 161587<≤P D. 8743≤<P 7、由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（） A ．1B．CD ．38、称d （,→a )→b =→→-b a 为两个向量,→a →b 间距离，若,→a →b 满足①1b =→②≠→a →b ③ 对任意实数t ，恒有d （,→a t )→b ≥d （,→a )→b ,则（）A ．（+→a →b ）⊥（-→a →b ） B .→b ⊥（-→a →b ） C . →a ⊥→b D .→a ⊥（-→a →b ）二、填空题：（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上）（一）必做题(9～13题)9、函数f(x)=12x -2++x 的定义域是图110、由三条直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为11、已知等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎫⎪⎭展开式的常数项，则37a a = ．12、定义R 上的奇函数f （x ）满足f （x+3）=f （x ），当0＜x≤1时，f （x ）=2x，则f （2015）=13、若关于x ，y 的不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥010x y kx x y 表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范围是______(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14、已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+=-=121t y t x （t 为参数），曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ，设曲线C 1，C 2相交于A 、B 两点，则|AB|的值为15、如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6，则MP ·NP= ．三、解答题16、（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边, 面积C S cos ab 23= (1) 求角C 的大小； (2)设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值,及取得最大值时角B 的值17、（本小题满分12分）某校高一年级60名学生参加数学竞赛，成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求成绩在区间[80，90）的频率；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在[90，100]内的学生人数为ξ，求ξ的分布列与均值．B18、（本小题共14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，（1）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ；（2）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（3）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM=tMC ，试确定t 的值 19、（本小题满分14分）已知函数22()(0)2x a f x a x +=>,数列{n a }满足13a a =,1()n n a f a +=,设)(+∈+-=N n aa a ab n n n ,数列{n b }的前n 项和为n T . (1)求12,b b 的值;(2)求数列{n b }的通项公式; (3)求证:87<T n20、（本小题满分14分）已知焦点为F ,准线为l 的抛物线Γ：22(0)x py p =>经过点(-，其中,A B 是抛物线上两个动点，O 为坐标原点。

高考名校押题卷_广东省揭阳市2015届高三第二次模拟考试数学理试题 Word版含答案

绝密★启用前揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C.32k A +∉D.231k A -∈2．已知复数1z i =+，则21z z=- A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i 3．命题P ：“2,12x Rx x∃∈+<”的否定P ⌝为A. 2,12x R x x ∃∈+> B.2,12x R x x ∃∈+≥ C.2,12x R x x ∀∈+≥ D.2,12x R x x ∀∈+< 4．已知1sin()3πα+=，则cos 2α=B.89C.79-D.795.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为 A ．43 B ．413 C ．49- D ．4图1侧视图6．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则y x 的最小值是A.1B. 4C.23D.0 7．已知点P 在抛物线24x y =上，那么点P 到点(12)M -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为A ．1(1,)4 B ． 1(1,)4- C ．(1,2)- D ．(1,2)8．连续掷一正方体骰子（各面的点数分别为1，2，3，4，5，6）两次得到的点数分别为m 、n ，作向量(,)a m n =，若(1,1)b =-，则a 与b 的夹角成为直角三角形内角的概率是A.59 B. 712 C.512 D. 710二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）9．已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则12log (2)f 的值为．10．6展开式中的常数项为． 11．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm 则侧视图中的h =_________cm ．12．下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中，曲线x(2cos sin )3ρθθ-=与(cos 2sin )1ρθθ+=-的交点的极坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，点P 在圆O 的直径AB 的延长线上，且PB=OB=3,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于点D ，则CD 的长为．图3三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知函数()sin()6f x A x πω=+(00)A ω>>，的部分图象如图4其中M 1(,0)6-为图象与x 轴的交点，1(,2)3P 为图象的最高点．(1)求A 、ω的值；(2)若2()3f απ=，(,0)3πα∈-，求cos()3πα+的值． 17．(本小题满分12分)某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129；乙：133，107，120，113，122，114，125，118，129，127. （1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，并判断哪个班的平均水平较高；（2）若数学成绩不低于128分，称为“优秀”，求从甲班这10名学生中随机选取3名，至多有1名“优秀”的概率；（3）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体成绩，若从该校（人数很多）任选3人，记X 表示抽到“优秀”学生的人数，求X 的数学期望． 18．(本小题满分14分)已知等比数列{}n a 满足：0n a >，15a =，n S 为其前n 项和，且13220S S S ，，7成等差数列．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设525452+2log log log n n b a a a =+++，求数列{1nb }的前n 项和n T ． 19．（本小题满分14分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ， AB ∥CD ，AD ⊥CD ，PA=PD=CD=2AB=2．（1）求证：AB ⊥PD ；（2）记AD=x ，()V x 表示四棱锥P-ABCD 的体积，当()V x 取得最大值时，求二面角A-PD-B 的余弦值．20．(本小题满分14分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1(F 、2F ，P 为椭圆C 上任一点，12PF PF ⋅uuu r uuu r的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数()1,()f x a R =∈ （1）当1a =时，解不等式()1f x x <-；（2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（3）若在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方，求a 的取值范围．揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：DBCD ACBB解析：8．因m 、n 均取自1-6，故向量a 有6636⨯=种取法，由cos ,a b <>=知，0,2a b π<<>≤，则m n ≥，这样的(,)m n 共有12345621+++++=（个），故所求的概率2173612P ==．二、填空题：9. 1；10. 160-；11. 6；12.7；1314. 7)4π；15.2. 三、解答题：16．解：（1）由1(,2)3P 为图象的最高点知2A =，---------------------1分又点M 1(,0)6-知函数()f x 的最小正周期114()236T =+=，-----------------------3分 ∵2T πω=∴ωπ=,-------------------------------------------------5分(2)由（1）知，()2sin()6f x x ππ=+由2()3f απ=得1sin()63πα+=，----------------------------------------6分 ∵(,0)3πα∈-∴666πππα-<+<----------------------------------------7分∴cos()63πα+===-------------------------9分 ∵cos()cos()366πππαα+=++cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+-+-------------11分∴cos()3πα+11132326=-⨯=------------12分17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：--3分乙班的平均水平较高；----------------------------4分（2）由上数据知：甲班这10人中“优秀”的学生有2名，则从这10名学生中随机选取3人，至多有1人“优秀”的概率321882310C +14C 15C C P ==.----------------------------8分（3）因样本20名学生中，“优秀”的有4名，故从这20名学生中任选1名，恰好抽到“优秀”的概率为4=0.220，----------------------------------------------------------------------------------10分据此可估计从该校中任选1名学生，其为“优秀”的概率为0.2，因(30.2)X B ，,所以30.20.6EX =⨯=.---------------------------------------------------------------------------12分18．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∵13220,,7S S S 成等差数列，3122207.S S S ∴=+-----------------------------------2分即21111112()207()a a q a q a a a q ++=++，化简得225250q q --=，------4分解得：5q =或52q =-------------------------------------------------------------------6分 ∵0n a >，∴52q =-不合舍去， ∴111555n n n n a a q --==⨯=.-----------------------------------------7分(2)∵525452+2log log log n n b a a a =+++=24+2+2524225log ()log 5242(+1)n n a a a n +++==+++------------9分(1)(222)(1)(2)2n n n n +++==++，------------------------------------------10分∴1n b =111=(1)(+212n n n n -+++），-----------------------------------------------------12分∴12111n nT b b b =+++111111()()()233412n n =-+-++-++ 11222(2)n n n =-=++.----------------------------------------14分 19．解：（1）证明：∵AB ∥CD ，AD ⊥CD ，∴AB ⊥AD ，-----------------------------1分∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD =AD ，∴AB ⊥平面PAD --------------------------------------------2分又∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD------------------------------------------------------3分（2）取AD 中点E ，连结PE ，∵PA=PD ，∴PE ⊥AD ，----4分又侧面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD =AD ，∴PE ⊥底面ABCD ，-------------------------------------------------------------------------5分在Rt ∆PEA 中，PE ==∴1()3ABCD V x S PE =⋅梯形11(12)32=⨯⨯+⨯14=04x <<）------7分∵()V x 124≤=-------------------------------9分当且仅当x =x =“＝”成立，即当()V x 取得最大值时AD = -----------------------------------------------------10分解法1：∵AD =222+8PA PD AD ==，∴PD ⊥PA ，--------------------11分又(1)知AB ⊥PD ，PAAB A =∴PD ⊥平面PAB ,又PB ⊂平面PAB ∴PD ⊥PB ，------------------------------------------13分 ∴APB ∠为二面角A －PD －B 的平面角在Rt PAB ∆中,cosPA APB PB ∠===,即当()V x 取得最大值时，二面角A －PD －B 的余弦值为5．-------------------14分 [解法2：以点E 为坐标原定，EA 所在的直线为x 轴、PE 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图示：则E （0，0，0），0，0)，D(0，0)，P(0，0，B∴(2,1,PB =(PD =,设平面PDB 的法向量为(,,)m a b c =由,m PB m PD ⊥⊥0b +=，0=，令1c =，则1a =-，b = ∴(1m =-------------------------12分又(0,1,0)AB =是平面PAD 的一个法向量，设二面角二面角A－PD－B的大小为θ，则25c o s ||||1110m A m A B θ⋅===⋅，即所求二面角A －PD －B --------------------------------------------------14分]20.解：(1)设(,)P x y ,由1(F 、2F 得1(,)PF x y =-uuu r , 2,)PF x y =-uuu r.∴212)PF PF x x y ⋅=-+uuu r uuu r223x y =+-，---------------------2分由22221x y a b +=得2222(1)x y b a=- ∴222122(1)3x PF PF x b a⋅=+--uuu r uuu r 22233x b a =+-，------------------------4分∵220x a ≤≤，∴当22x a =，即x a =±时，12PF PF ⋅uuu r uuu r有最大值，即212max ()331PF PF b ⋅=+-=uuu r uuu r，---------------------------------------6分∴21b =，2224a c b =+=，∴所求双曲线C 的方程为2214x y +=.------------------------------------7分（其它解法请参照给分）（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得 222(14)8440k x kmx m +++-=，------------------------------------------------------------8分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------①又122814kmx x k +=-+--------------------10分由||||AD AE =可得2222112212121212(1)(1)()(2)()()0x y x y x x x x y y y y -+=-+⇒-+-+-+=121212122()0y y x x y y x x -⇒+-++=-212(1)()220k x x km ⇒+++-=228(1)22014kmk km k⇒-++-=+ 化简得2143k m k +=-------------②------------------------------------------12分将②代入①得2221441()3k k k++> 化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得k >k <所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 的取值范围为(,)-∞⋃+∞．-------14分21．解：（1）当1a =时，不等式()1f x x <-即|1|x x x -<，显然0x ≠，当0x >时，原不等式可化为：|1|1111x x -<⇒-<-<02x ⇒<<--------------------------2分当0x <时，原不等式可化为：|1|111x x ->⇒->或11x -<-2x ⇒>或0x <，∴0x < 综上得：当1a =时，原不等式的解集为{|020}x x x <<<或---------------3分（2）∵221,()() 1.()x ax x a f x x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-+-<⎪⎩--------------------------------------4分若x a ≥时，∵0a >，由'()2f x x a =-知，在(,)a +∞上，'()0f x ≥，若x a <，由'()2f x x a =-+知，当2ax <时，'()0f x >，当2ax a <<时，'()0f x <，∴当0a >时，函数()f x 的单调增区间为(,)2a -∞，(,)a +∞，单调减区间为(,)2a a .----6分 (其它解法请参照给分)（3）在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方，即对(0,1]x ∀∈都有()f x m <，⇔对(0,1]x ∀∈都有||1x x a m -<+，-------7分显然1m >-，即1()1m x x a m --<-<+⇒对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x++-<-<恒成立 ⇒对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x x++-<<+------------------------------8分设1(),(0,1]m g x x x x +=-∈，1()m p x x x +=+，(0,1]x ∈，则对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x x++-<<+恒成立⇔max min ()()g x a p x <<，(0,1]x ∈----9分∵21'()1,m g x x+=+当(0,1]x ∈时'()0g x > ∴函数()g x 在(0,1]上单调递增，∴max ()g x m =-------------------------10分又∵21'()1m p x x +=-1≥即0m ≥时，对于(0,1]x ∈，有'()0p x < ∴函数()p x 在(0,1]上为减函数∴min ()(1)2p x p m ==+----------------------------------------------11分1<，即10m -<<时，当x ∈，'()0p x ≤当x ∈，'()0p x >∴在(0,1]上，min ()p x p ==--------------------------------12分（或当10m -<<时，在(0,1]上，1()m p x x x +=+≥=，当x =时取等号）又∵当10m -<<时，要max min ()()g x a p x <<即m a -<<m >-2440m m ⇒--<，解得22m -<<+∴当20m -<<时，m a -<<---------------------------------------------13分当0m ≥时，2m a m -<<+．-----------------------------------------------------------------14分。

2015年广东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）22点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解答：解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F（5，0），2可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5考点：棱锥的结构特征．专题：创新题型；空间位置关系与距离．分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．解答：解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）411．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560 条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8 ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（14分）（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从22）6．（5分）（2015•）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线）二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2015•）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．11．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= ．12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，（14分）18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k 的取值围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．。

高考专题高考冲刺压轴卷新课标Ⅰ数学(理卷二)

2015年高考冲刺压轴卷·新课标Ⅰ数学（理卷二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）． 1．（2015·茂名市第二次高考模拟考试·1）设集合{}1,4,5M =,{}0,3,5N =,则MN =（）．A ．{}1,4B ．{}0,3C ．{}0,1,3,4,5D ．{}52．(2015·乌鲁木齐第二次诊断性测验·2）复数ii-12的共轭复数是（） A ．1+iB ．-1+iC ．1-iD ．-1-i3．(2015·安徽省黄山市高中毕业班第二次质量检测·6)下列四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布N(o ，1)，若P(ξ>1)=p ，则P （一l<ξ<o ）=12一p ； ④在回归直线方程y=0.lx+10中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ∧平均增加0.1个单位，其中正确的命题个数是(). A ．1个B2个C ．3个D ．4个4．(2015·合肥市高三第二次教学质量检测·8)如图所示的程序框图的输出结果是（）．A ．7B ．8C ．9D ．105.（2015．安徽省“江淮十校”高三4月联考·7）在等差数列{a n }中a 1=-2015，其前n 项和为S n ，若2S 6-3S 4=24，则S 2015=（）A.-2014B.2014C.2015D.-20156．(2015·河南郑州高三第二次模拟考试·12)已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点分别是,,21F F 过2F 的直线交双曲线的右支于P ,Q 两点，若||||211F F PF =,且||2||322QF PF =,则双曲线的离心率为（）．A ．57B ．34 C ．2 D ．310 7．（2015·成都第二次诊断性检测·4）设函数()3sin(2)()4f x x x R π=+∈的图象为C ，则下列表述正确的是（）．Ａ．点（2π，0）是C 的一个对称中心Ｂ．直线2x π=是C 的一条对称轴Ｃ．点（8π，0）是C 的一个对称中心Ｄ．直线8x π=是C 的一条对称轴8．(2015·重庆市巴蜀中学第二次模拟考试·5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（单位3cm ）．A ．712π B ．73π C ．22π D ．3π9．（2015·益阳市高三四月调研考试·6）已知实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+≤+-003013x y x y x ，则22x y +的最小值是（）A ．32B ．92C ．5D ．910．(2015·杭州市第二次高考科目教学质量检测·6)已知111C B A ABC -是所有棱长均相等的直三棱柱，M 是11C B 的中点，则下列命题正确的是（）A ．在棱AB 上存在点N ，使MN 与平面ABC 所成的角为45° B ．在棱1AA 上存在点N ，使MN 与平面11B BCC 所成的角为45° C ．在棱AC 上存在点N ，使MN 与1AB 平行D ．在棱BC 上存在点N ，使MN 与1AB 垂直11.(2015·杭州市第二次高考科目教学质量检测·4)设函数y ＝＋b （a ＞0）的图象如图所示，则函数的图象可能是（）12.（2015.银川一中第二次模拟考试·8）下列图象中，有一个是函数3221()(1)1(,0)3f x x ax a x a R a =++-+∈≠的导函数()f x '的图象，则(1)f -=（）A ．31B ．31-C ．37D ．31-或35第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2015年高考理科数学广东卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共16页）数学试卷第2页（共16页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = ( )A .∅B .{1,4}--C .{0}D .{1,4} 2.若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =( )A .32i -B .32i +C .2+3iD .23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A .x y x e =+B .1y x x=+C .122x xy =+D.y 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A .1B .1121C .1021 D .5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A.20x y -=或20x y -= B.20x y +或20x y += C .250x y -+=或250x y --=D .250x y ++=或250x y +-=6.若变量x ，y 满足约束条件458,13,02,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A .315B .6C .235D .47.已知双曲线C ：22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为( )A .22143x y -=B .221169x y-= C .221916x y -=D .22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A .大于5B .等于5C .至多等于4D .至多等于3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.在41)的展开式中，x 的系数为 .10.在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 2B =，π6C =，则b = .12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言（用数字作答）.13.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =，()20D X =，则p = . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程）已知直线l的极坐标方程为π2sin()4ρθ-，点A的极坐标为7π)4A ，则点A 到直线l 的距离为 .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共16页）数学试卷第4页（共16页）15.（几何证明选讲）如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m (22=，n (sin ,cos )x x =，π(0,)2x ∈. （Ⅰ）若m ⊥n ，求tan x 的值；（Ⅱ）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s ；（Ⅲ）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.（Ⅰ）证明：PE FG ⊥；（Ⅱ）求二面角P AD C --的正切值；（Ⅲ）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：1m .20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （Ⅰ）求圆1C 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线L ：(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-，*n ∈Ν. （Ⅰ）求3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（Ⅲ）令11b a =，1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋅⋅⋅+≥，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.数学试卷第5页（共16页）数学试卷第6页（共16页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可得{1,4}{1,4}M N M N =--==∅I ，，. 【提示】求出两个集合，然后求解交集即可. 【考点】交集及其运算 2.【答案】B【解析】由题意可得i(32i)23i z =-=-，因此23i z =+. 【提示】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可. 【考点】复数的基本计算以及共轭复数的基本概念 3.【答案】D【解析】A 选项，()()f x f x -===，偶函数；B 选项，()11()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，奇函数； C 选项，11()22()22x x x x f x f x ---=+=+=，偶函数；D 选项，1()e ()()ex x f x x x f x f x --=-+=-+=≠≠-，因此选D ．【提示】直接利用函数的奇偶性判断选项即可. 【考点】函数的奇偶性的判定 4.【答案】B【解析】任取两球一共有215151415712C ⨯==⨯⨯种情况，其中一个红球一个白球一共有11105105C C =⨯g ，因此概率为1051015721⨯=⨯. 【提示】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可. 【考点】古典概型及其概率计算公式 5.【答案】A【解析】与直线210x y ++=平行的直线可以设为20x y m ++=，= ∴||5m =，解得5m =±，因此我们可以得到直线方程为：250x y ++=或250x y +-=.【提示】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程.【考点】解析几何中的平行，圆的切线方程 6.【答案】B【解析】依据题意，可行域如右图所示，初始函数为032l y x =- ：，当0l 逐渐向右上方平移的过程中，32z x y =+不断增大，因此我们可以得到当l 过点41,5E ⎛⎫⎪⎝⎭的时候，min 235z =.【提示】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值.【考点】线性规划问题 7.【答案】C数学试卷第7页（共16页）数学试卷第8页（共16页）【解析】已知双曲线22221x y C a b-=：，54c e a ==，又由焦点为()25,0F，因此45435c a c b =⇒==⇒=，因此双曲线方程为221169x y -=.【提示】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程. 【考点】圆锥曲线的离心率求解问题 8.【答案】B【解析】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若4n >，由于任三点不共线，当5n =时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立；同理5n >，不成立. 故选：B ．【提示】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断. 【考点】棱锥的结构特征二、填空题 9.【答案】6【解析】展开通式为144(1)m m m C ---，令2m =可得14124244(1)(1)4m m m C C x ----=-=，因此系数为6.【提示】根据题意二项式41)的展开的通式为144(1)m m m C ---，分析可得，2m =时，有x 的项，将2m =代入可得答案. 【考点】二项式定理的运用 10.【答案】10【解析】根据等差中项可得：345675525a a a a a a ++++==，55a =，因此285210a a a +==.【提示】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出5a 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将5a 的值代入即可求出值. 【考点】等差中项的计算 11.【答案】1【解析】由1sin 2B =，得π6B =或者5π6B =，又因为π6C =，因此π6B =，2π3A =，根据正弦定理可得sin sin a bA B =1sin 1sin 2a b B A ===g g . 【提示】由1sin 2B =，可得π6B =或者5π6B =，结合a ，π6C =及正弦定理可求b .【考点】正弦定理，两角和与差的正弦函数 12.【答案】1560【解析】某高三毕业班有40人，每人给彼此写一条留言，因此每人的条数为39，故而一共有40391560⨯=条留言.【提示】通过题意，列出排列关系式，求解即可. 【考点】排列与组合的实际应用 13.【答案】13【解析】根据随机变量X服从二项分布(,)B n p ，根据()30()(1E X n p D X n p p===-=，，可得()21()3D X p E X -==，化简后可得13p =. 【提示】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可. 【考点】离散型随机变量的期望与方差 14.【答案】2【解析】考察基本的极坐标和直角坐标的化简以及点到直线距离问题.由数学试卷第9页（共16页）数学试卷第10页（共16页）2sin 4πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭l 的直角坐标系方程为10x y --=，由7π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得它的直角坐标为()2,2A -，因此，点A 到直线l的距离为d ==. 【提示】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程 15.【答案】8 【解析】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，又因为AB 为直径，因此可得90CAO B ∠+∠=︒，90ACO B ∠+∠=︒， ∵OP BC ∥∴90AC OP ACO COP ⊥∠+∠=︒，，因此可得COP B ∠=∠，因此Rt Rt DOC ABC △∽△，故而可得21OD OC AB BC ==，∴8OD =. 【提示】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，AB 为直径以及OP BC ∥得出Rt Rt DOC ABC △∽△即可求出OD 的值.【考点】相似三角形的判定三、解答题16.【答案】（Ⅰ）tan 1x =（Ⅱ）5π12x =【解析】∵m n ⊥u r r，π(sin ,cos )sin 22224m n x x x x x ⎛⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭u r r g g ， ∴||1||1m n ==u r r，，因此：（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，可得πsin 04m n x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u r r g ，∴ππππ44x k x k -=⇒=+，又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π04k x ==，，因此可得πtan tan 14x ==.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，可得ππ1sin ||||cos 432m n x m n ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭u r r u r r g g， ∴ππ2π46x k -=+或π5π2π46x k -=+，又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ,444x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ46x -=，解得5π12x =.【提示】（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，则0m n =u r rg ，结合三角函数的关系式即可求tan x 的值.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值.【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 17.【答案】（Ⅰ）444036433637444337，，，，，，，，（Ⅱ）40x =21009s =（Ⅲ）23人63.89%.【解析】（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取9个样本，因此分成9组，每组4人.又因为第一组中随机抽样可抽到44，因此按照现有的排序分组.故而每组中抽取的都是第二个数，因此我们可得样本数据为第2个，第6个，第10个，第14个，第18个，第22个，第26个，第30个，第34个，分别为：444036433637444337，，，，，，，，（Ⅱ）由平均值公式得444036433637444337409x ++++++++==，由方差公式得数学试卷第11页（共16页）数学试卷第12页（共16页）22222212291100()()()(994440)(4040)(3740)s x x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦-+-=+-+.（Ⅲ）103s ===，因此可得21364333x s x s -=+=，，因此在x s -和x s +之间的数据可以是444036433637444337，，，，，，，，，因此数据一共有23人，占比为23100%63.89%36⨯≈.【提示】（Ⅰ）利用系统抽样的定义进行求解即可.（Ⅱ）根据均值和方差公式即可计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s . （Ⅲ）求出样本和方差即可得到结论. 【考点】极差，方差与标准差，分层抽样方法 18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明：由PD PC =可得三角形PDC 是等腰三角形，又因为点E 是CD 边的中点，因此可得PE CD ⊥，又因为三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，而且相交于CD ，因此PE ⊥平面ABCD ，又因为FG 在平面ABCD 内，因此可得PE FG ⊥，问题得证.（Ⅱ）因为四边形ABCD 是矩形，因此可得AD CD ⊥，又因为PE ⊥平面ABCD ，故而PE AD ⊥，又PECD E =，因此可得AD ⊥平面PDC ，因此,AD PD AD CD ⊥⊥，所以P AD C PDE ∠--=∠.在等腰三角形PDC 中，46PD CD AB ===，，132DE CD==.因此可得PE ==tan 3PE PDE DE ∠==. （Ⅲ）如图所示，连接AC AE ，.∵22AF FB CG GB ==，， ∴BF BGAB BC=，BFG BAC △∽△，GF AC ∥，因此，直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线AC 所成角PAC ∠，在矩形ABCD 中，点E 为CD中点，因此AE ==，而且AC =.又PE ⊥面ABCD ，三角形PAE 为直角三角形，故5PA ==，因此在PAC △中，54PA PC AC ===，，，因此可得222cos 2PA AC PC PAC PA AC +-∠==g .【提示】（Ⅰ）通过等腰三角形PDC 可得PE CD ⊥，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论.（Ⅱ）通过（Ⅰ）及面面垂直定理可得PE AD ⊥，则PDE ∠为二面角P AD C ∠--的平面角，利用勾股定理即得结论.（Ⅲ）连结连接AC AE ，，利用勾股定理及已知条件可得GF AC ∥，在PAC △中，利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角PAC ∠的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质 19.【答案】（Ⅰ）单调增区间为R （Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】()()()()2222e 1e 12e 1e x x x xf x x x x x x '=++=++=+Qg ，因此：（Ⅰ）求导后可得函数的导函数()()21e 0x f x x '=+≥恒成立，因此函数在(,)-∞+∞上是增函数.数学试卷第13页（共16页）数学试卷第14页（共16页）故而单调增区间为R .（Ⅱ）证明：令2()(1)e 0x f x x a =+-=可得2(1)e xx a +=，设212(1)e x y x y a =+=，，对函数21(1)e xy x =+，求导后可得21(1)e 0x y x '=+≥恒成立，因此函数21(1)e xy x =+单调递增，因此可以得到函数图像. 函数2()(1)e x f x x a =+-有零点，即方程2(1)e xx a +=有解，亦即函数212(1)e xy x y a =+=，，图像有交点.当0x =时，11y =，因此根据函数的图像可得：212(1)e xy x y a =+=，有且只有一个交点，即2()(1)e xf x x a =+-有且只有一个零点.（Ⅲ）证明：设点P 的坐标为00(,)x y ，故而在点P 处切线的斜率为：0200()(1)e 0xf x x '=+=，01x =-，因此21,1e P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.在点M 处切线的斜率为：22()(1)e em OP f m m k a '=+==-，因为1a >，因此20ea ->.欲证1m ≤-，即证322(1)(1)e e m m a m +≤-=+，1e m m +≤，设()e 1x g x x =--，求导后可得()e 1xg x '=-，0x =，令()e 10xg x '=-=，因此函数在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.因此可得()(0)0g x g ≥=，所以()e 10xg x x =--≥，e 1x x ≥+，e 1m m ≥+问题得证.【提示】（Ⅰ）利用()0f x '≥，求出函数单调增区间.（Ⅱ）证明只有1个零点，需要说明两个方面：函数单调以及函数有零点. （Ⅲ）利用导数的最值求解方法证明.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程 20.【答案】（Ⅰ）1(3,0)C（Ⅱ）2230x y x +-=，其中5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅲ）存在34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭【解析】依题意得化成标准方程后的圆为：22(3)4x y -+=，因此：（Ⅰ）根据标准方程，圆心坐标为1(3,0)C . （Ⅱ）数形结合法：①当动线l 的斜率不存在是，直线与圆不相交. ②设动线l 的斜率为m ，因此l y mx =：，联立22650y mxx y x =⎧⎨+-+=⎩，则22(1)650m x x +-+=根据有两个交点可得：()22224362010056151A B A B m m x x m x x m ⎧∆=-+>⇒≤<⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，故而点M 的坐标为2233,11m m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，令223131x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因此由此可得2230x y x +-=，其中235,313x m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦. （Ⅲ）证明：联立2230(4)x y x y k x ⎧+-=⎨=-⎩，所以，2222(1)(83)160k x k x k +-++=因此，当直线L 与曲线相切时，可得29160k ∆=-=，解得34k =±. 设2230x y x +-=，5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的两个端点是C D 、，设直线L 恒过点(4,0)E数学试卷第15页（共16页）数学试卷第16页（共16页）因此可得53C ⎛ ⎝⎭，5,3D ⎛ ⎝⎭，故而可得77CE DE k k ==-，由图像可得当直线L 与曲线有且只有一个交点的时候，34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭.【提示】（Ⅰ）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论（Ⅱ）设当直线l 的方程为y mx =，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论. （Ⅲ）通过联立直线L 与圆1C 的方程，利用根的判别式0∆=及轨迹C 的端点与点(4,0)E 决定的直线斜率，即得结论.【考点】轨迹方程，直线与圆的位置关系 21.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）1122n n T -=- （Ⅲ）见解析【解析】由给出的递推公式可得： ①当1n =时，1431a =-=②当2n ≥时，121122(1)42n n n n a a n a na --+++⋅⋅⋅+-+=-， 121212(1)42n n n a a n a --+++⋅⋅⋅+-=-，所以12n n n na -=，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中1n =也成立，因此可得11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N（Ⅰ）因此231124a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（Ⅱ）∵11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N ，所以数列{}n a 的公比12q =，利用等比数列的求和公式可得： 111121*********n nn n T -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-. （Ⅲ）因为()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1233111323a a b a +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 123111123n n n a a a a b a n n +++⋅⋅⋅+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，因此，欲证22ln n S n <+，即证1111112122ln ln 2323n n n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+⇐++⋅⋅⋅+< ⎪⎝⎭，将ln n 化简为132l n l n l n l n l n1221n n n n n -=++⋅⋅⋅++--，即证1111l n l n l n 11n n n n n n n-⎛⎫>⇐-=--> ⎪-⎝⎭，令()ln 1g x x x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=，因此函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，因此()(1)0g x g ≤=，又因为111n-<，因此11111()0l l n1g g x nnn n⎛⎫⎛⎫⎛-<=⇒⇒-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，问题得证.【提示】（Ⅰ）利用数列的递推关系即可求3a 的值.（Ⅱ）利用作差法求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T .（Ⅲ）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式.【考点】数列与不等式的综合，数列的求和。

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（D）4
（B） x2 y2 1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2015高考(理科数学)冲刺模拟试卷2.pdf

24．（本小题满分 10 分）选修 4—5，不等式选讲
已知函数 f (x) =| x −1| + | x − a |
（1）若 a=1，解不等式 f (x) 2 ；
（2）若 a 1,x R, f (x)+ | x −1| 2，求实数 a 的取值范围
2015 高考冲刺卷二答案
一、DADCA ACCCD DD
二、13.
14. 5 15.e 2 -2
学海无涯
16.
18.解：设事件 A ={甲做对}，事件 B ={乙做对}，事件 C ={丙做对}，由题意知，
P(A) = 1 ,P(B) = m,P(C) = n . 2
（Ⅰ）由题意知 P( = 0) = P(ABC) = 1 (1 − m)(1 − n) = 1 ，
且 QB ⊥ PB,则动点Q的运动轨迹为（）
A .圆
B.椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
9．已知函数
sin x(0 f (x) = log2014 x(x
x 1) ，若 1)
a、b、c 互不相等，且
f (a) =
f (b) =
f (c) ，则
a＋b＋c
的取值范围是
（）
A．（1，2014）
B．（1，2015）
∴ E( ) = 0 P( = 0) +1 P( = 1) + 2 P( = 2) + 3 P( = 3) = 13 = 12E( ) −10 = 3 12
故
(1− 2 | x |)dx =
−
3
(1− 2 | x |)dx =
−3
0
(1+ 2x)dx +
−3
3

2015年广东省高考数学试卷(理科)及答案

2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x 的系数为．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsi n（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m ≤﹣1．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．5．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．8．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．【分析】根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）+1r•，分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案．=•（﹣1）r•，【解答】解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b 【解答】解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：112．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A 的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8．【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=，则sin（x ﹣）=，∵x∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x=+=．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4404440411011121336313839192021222743413728293031343943385 6 7 8 93340454243141516171843453938362324252627344237444232333435364253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s 和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s 和+s 之间所占百分比为≈63.89%．18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2，∴f′（x）＞0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1，∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0，且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．（3）证明：f′（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f′（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1，将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴，要证m≤﹣1，即证（m+1）3≤a﹣，需要证（m+1）3≤e m（m+1）2，即证m+1≤e m，因此构造函数g（m）=e m﹣（m+1），则g′（m）=e m﹣1，由g′（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，∴g（m）的最小值为g（0）=0，∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0，∴e m≥m+1，∴e m（m+1）2≥（m+1）3，即：，∴m≤．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴b n=+（1+++…+）a n，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）a n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．。

2015届广东省高考压轴卷理科数学

2015广东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合}5,4,3,1,0,2{=U ，集合}2,4,3,0{=A ，{}4,3,2,1,0=B ，则)(B A C U ⋂＝A ．}2,4,3,0{B ．}2,0{C ．}5,1{D ．}5,1,0,2{2．设i 为虚数单位，复数()21z i =++2，则z 的共轭复数为A ．2i -B ．2iC ．22i -D ．22i +3．已知向量a =(1,-1)则下列向量中与向量a 平行且同向的是 A ．（2,-2） B ．（-2,2） C.（-1, 2）D ．（2, -1）4．已知实数y x ,满足不等式组320,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩若z=x-y ，则z 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．65．抛物线218y x =上到焦点的距离等于10的点的坐标为 A ．(-8, 8) B ．(8, 8)C ．(-8, -8) 或(8, -8)D ． (-8, 8) 或(8, 8)6．图1为某村1000户村民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50,100)的用户数为A 1，用电量在[100,150)的用户数为A 2，……，以此类推，用电量在[300,350]的用户数为A 6，图2是统计图1中村民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s 值为 A ．820 B ．720 C ．620 D ．5207．已知正四棱锥底面边长为1高为2，俯视图是一个面积为1的正方形,则该正四棱锥的正视图的面积不可能．．．等于A ．2B ．2.5C ．1-D ．1-8．若'1(ln )ln 1,ln e x x x x a xd =+=⎰，10019922989911001001001002222a C a C a C a +++---++被10除得的余数为A ．3B ．1C ．9D ．7二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式13-x ＞x 的解集是 .10．2y x kx =-，在1x =处的切线与1y x =+垂直，则k 的值是 . 11．已知四个学生和一个老师共5个人排队，那么老师排在中间的概率是 . 12．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c b A B c C B a 2cos sin 2cos sin 2=+且a b >,则B ∠=________．13．在正项等比数列｛n a ｝中，=⋅+⋅7263a a a a 42e 则81ln ln a a ⋅的最大值为 .（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线x y -=与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）相交，交点在第四象限，则交点的极坐标为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 中AB=4为直径，，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1=AD ，θ=∠ACD ，则θcos =______．ODECBA三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知)32sin()(π+=x x f（1）求)2(π-f 的值．（2）若θ为锐角，33)2()2(=-+θθf f ，求θtan 的值． 17．（本小题满分12分）测量马口鱼性成熟时重量，从大量马口鱼中随机抽取100尾作为样本，测出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到重量样本的频率分布直方图，如图3．（1）求a 的值；（2）若重量在(]25,35，(]35,45中采用分层抽样方法抽出8尾作为特别实验，那么在(]35,45中需取出几尾？（3）从大量马口鱼中机抽取3尾，其中重量在(]5,15内的尾数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.a 图3重量/克0.0320.02452515O18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形， PA ^面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 若 PA=AB,求证：AN ⊥平面PBC（2）若5MN =,3AD =，求二面角N AM B --的余弦值.图4M NBCDA P19. （本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n s ，11a =，214n n s a +=-4n-1,n N *∈．（1）求23,a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：n N *∈，有122334111111111n n a a a a a a a a ++++---+++++<12．20．（本小题满分14分）若在平面直角坐标系中，已知动点M 和两个定点()1F ，)2F ,且124MF MF +=()1求动点M 轨迹C 的方程；()2设O 为坐标原点，若点E 在轨迹C 上，点F 在直线2y =-上，且OE OF ⊥，试判断直线EF 与圆222x y +=的位置关系，并说明理由．21.（本小题满分14分）已知函数32()ln(21)2()3x f x ax x ax a R =++--∈.(1)若0a =，判断()f x 的单调性．(2)若()y f x =在[4,)+∞上为增函数,求实数a 的取值范围;(3)当12a =-时,方程()31(1)3x b f x x--=+有实根,求实数b 的最大值.2015广东省高考压轴卷数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题 1. 【答案】C解析由}5,4,3,1,0,2{=U ，}2,4,3,0{=⋂B A 则)(B A C U ⋂=}5,1{ 2. 【答案】C解析 ()21z i =++2=2i +2=2+2i 所以z 的共轭复数是22i - 3. 【答案】A（解析 2,-2）=2（1，-1）所以选A 4. 【答案】A解析作出不等式组320,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩所对应的可行域变形目标函数y=x-z平移直线y=x-z 可知，当直线经过点（3，0）时，z 取最大值，代值计算可得z=x-y 的最大值为3 5. 【答案】D解析可以化为x 2=8y,的准线方程为y=-2,所以根据抛物线的定义可知，所求的点的纵坐标为y=8，代入x 2=8y,可以得x=8或x=-8,所求的点为（-8,8）或（8,8） 6. 【答案】A.解析由图2知，输出的2345+s A A A A =++，由图1知16(0.00240.0012)501000A A +=+⨯⨯=180,故s=1000-180=820，选A.7.【答案】D解析因为正视图最小值为他的一个侧面122⨯=，最大值为对角面2=正视图取值范围为2,⎡⎣，而1-不在范围内.8. 【答案】B 解析由'1(ln )ln 1,ln ex x x x a xd =+=⎰，可知'(ln )ln x x x x -=，所以11ln (ln )1,1e ex xd x x x a ⎰=-==，10019922989911001001001002222a C a C a C a +++---++=100100(2)3a +=，10050505049148249495050505039(101)10101010(1)(1)C C C ==-=-++---+-+-所以余数为1．二．填空题9. 【答案】),21()41,(+∞⋃-∞ 解析原不等式等价于3x-1＞x 或3x-1＜-x 可得答案),21()41,(+∞⋃-∞10. 【答案】3解析导函数为y ’=2x-k 又在x=1处的切线与y=x+1垂直所以根据导数的几何意义有，2-k=-1 所以k=3 11. 【答案】15解析因为5个人排法有5的全排列有120种，老师在中间其余4人在老师两边任意排，排法有4的全排列24种，老师中间的概率为2411205= 12. 【答案】45° 解析b A Bc C B a 2cos sin 2cos sin 2=+根据正弦定理变式得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=22sinB, sinAcosC+cosAsinC=22 Sin(A+C)=sin(180°-B)=sinB=22又a b >所以A ﹥B 所以B=45° 13．【答案】4 解析由等比数列性质知4817263e a a a a a a =⋅=⋅=⋅，81ln ln a a ⋅4)2ln ()2ln ()2ln ln (24281281===+≤e a a a a 当281e a a ==时取等号． 14．【答案】)4,2(π-或其他形式解析y=-x 与圆1)1(22=+-y x 交点在第四象限的为（1，-1）转化为极坐标为)4,2(π-．15．【答案】23解析根据弦切角定理得，BCA ∆与CDA ∆相似，所以ACAC AC AD AB AC 14,==， 2,42==AC AC 在直角三角形ACD 中可得3=CD ，θcos =23三．解答题 16. 解：（1）)2(π-f =233sin)3sin(-=-=+-πππ---4分（2） 3cos)2sin(3sin2cos 3cos2sin )32sin()32sin()2()2(πθπθπθπθπθθθ-++=+-++=-+f f +332cos 33sin2cos 23sin)2cos(===-θπθπθ 所以312cos =θ，θ2cos 2-1=31 又θ为锐角，所以36cos =θ，33cos 1sin 2=-=θθ，所以 22cos sin tan ==θθθ……………12分 17．解：(1)由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=，解得0.03x =. ……………2分（2）(]25,35 ，(]35,45 频数分别30个和18个，按分层抽样知 (]35,45中取18848⨯=3个……………4分（3）利用样本估计总体，马口鱼重量在(]5,15内性成熟的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭.ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分∴ξ的分布列为：--------------11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=）18.解：（1）证明：PA ^面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，∴PA BC ^ 又ABCD 为正方形，BC AB ⊥又,.PAAB A PA AB =⊂面PAB ∴BC ⊥面PABAN ⊂面PAB ，∴BC AN ⊥，又PA=AB, 点N 是PB 的中点, ∴AN PB ⊥且,.PBBC B PB BC =⊂平面PBC ∴AN ⊥平面PBC----------4分（2）∵NE PA //，PA ^面ABCD ， ∴NE ^面ABCD .在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3(3,,0)2AM =设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅=，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令1x =，得2y =-，34z =. ∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又(0,0,1)m =是平面AMB 的一个法向量，cos ,n m n m n m⋅〈〉==⋅∴二面角N AM B --. …………… 14分 19.解：（1）由214n n s a +=-4n-1得421241s a =--因为n a ﹥0，11a =，所以2a =所以23,a =据而可得35a =--------2分．（2）214n n s a +=-4n-1-----（1）当n 2≥，2144(1)1n n s a n -=--------（2）由（1）-（2）得22144,n n n a a a +=--即221(2)(2)n n a a n +=+≥ 因为n a ﹥0，所以112,2(2)n n n n a a a a ++=+-=≥又212a a -=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以n a =21n -.-----------8分（或用数学归纳法）（3）11111111(),1(21)(21)22121n n n n a a a a n n n n ++<==-+-+-+所以122334111111111n n a a a a a a a a ++++---+++++1111111111(1)(1)23352121221242n n n n <-+-+---+-=-=--+++<12-------------14分．20解：（1）由题意知：12124MF MF F F +=>=所以，由椭圆的定义可知：动点M 运动的轨迹是: 以1F ，2F 为焦点，长轴长为4，焦距为22的椭圆，且短半轴长为()22222=-所以轨迹C 的方程为12422=+y x -----4分（2）直线EF 与圆222=+y x 相切．证明如下：设点(,)E m n ，(,2)F t ，显然其中0≠m , 因为OE OF ⊥，，所以0OE OF =，即20tm n -=，所以2nt m=①直线EF 的斜率不存在时，即t m =时，22t n =，代入椭圆方程可得：222242t t ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，解得：2±=t ，此时直线EF 的方程为2=x 或2-=x ，显然与圆222=+y x 相切.②当直线EF 的斜率存在，即t m ≠时，直线EF 的方程为：22()n y x t m t++=--，即(2)()20n x m t y m tn +----=……(9分) 此时，圆心)0,0(O 到直线EF的距离d =又因为4222=+n m ，2n t m=所以d ===4422222222++++mnn m m n m =4282442222222+-+-+-+mmm m mm m=2216842242=+++m m m m m ，所以，直线EF 与圆222=+y x 相切．综上，直线EF 与圆222=+y x 相切．……(14分)21.解:（1）若0a = 则32()3x f x x =-所以当0a =时,'()(2)f x x x =-,当'()(2)f x x x =- ﹥0得2x >或0x < 当'()(2)f x x x =-0时得02x <<，所以()f x 的单调增区间为(,0),(2,)-∞+∞，减区间为(0,2)．------3分．(2)因为()f x 在区间为[4,)+∞上增函数,所以222(14)(42)'()021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦=≥+在区[4,)+∞上恒成立当0a =时,'()(2)0f x x x =-≥在[4,)+∞上恒成立,所以()f x 在[4,)+∞上为增函数,故0a =符合题意当0a ≠时,由函数()f x 的定义域可知,必须有210ax +>对4x ≥恒成立,故只能0a >, 所以222(14)(42)0ax a x a +--+≥在恒成立令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+,其对称轴为114x a=-, 因为0a >所以1114a-<,从而()0g x ≥在[4,)+∞上恒成立,只要(4)0g ≥即可, 因为2(4)41620g a a =-++≥≤因为0a >,所以.02a ≤综上所述,a 的取值范围为 ⎡⎢⎣----------8分 (3)若12a =-时,方程()31(1)3x b f x x --=+可化为2ln (1)(1)b x x x x--+-=. 问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,+∞上有解,即求函数23()ln g x x x x x =+-的值域因为2()(ln )g x x x x x =+-,令2()ln h x x x x =+-,则1(21)(1)'()12x x h x x x x+-=+-=, 所以当01x <<时'()0h x >,从而()h x 在()0,1上为增函数, 当1x >时'()0h x <,从而()h x 在()1,+∞上为减函数, 因此()(1)0h x h ≤=. 而0x >,故()0b x h x =⋅≤,因此当1x =时,b 取得最大值0 -----14分．。

2015年高考数学(理)三轮训练：压轴大题及答案解析(共2份试题)

k2） k2
2（ 3k4＋ 3k2＋ 1）＝ 2k4＋ 3k2＋ 1
k4 ＝ 2(1 ＋ 2k4＋ 3k2＋ 1) ．
当 k＝0 时， r ＝ 2.
3
2015 年高考数学（理）二轮专练：压轴大题及答案解析
压轴大题 ( 一 )
1．(2013 ·广东省惠州市高三第三次调研考试
) 已知函数
f
(
x)
＝
x
3
－
3ax(
a∈R)
．
(1) 当 a＝ 1 时，求 f ( x) 的极小值；
(2) 若对任意的 m∈ R，直线 x＋ y＋ m＝ 0 都不是曲线 y＝f ( x) 的切线，求 a 的取值范围．
∴Δ＝ 0－4×3( － 3a＋ 1)<0 ，
1 ∴ a<3.
1 故 a 的取值范围是 ( －∞， 3) ．
2．【解】 (1) 设椭圆的焦距为 2c，
c2
因为 a＝
2， a＝
，所以 2
c＝ 1，所以
b＝1.
所以椭圆
C 的方程为
x2 2＋
y
2＝
1.
(2) 设 A( x1， y1) ， B( x2， y2) ，
(2) 设函数 g( x) ＝ 1
，若 x1≠ x2，且 g( x1) ＝ g( x2) ，证明： x1＋ x2>2.
f （ x）（ x≠0）
1
4．已知椭圆
x2 C： 2 ＋
y 2＝
1
的左、右焦点分别为
F1、F2， O为坐标原点．
(1) 如图 1，点 M为椭圆 C上的一点， N是 MF1 的中点，且 NF2⊥ MF1，求点 M到 y 轴的距离；
2．(2013 ·北京市海淀区高三年级第二学期期中练习

2015年广东高考(理科)数学试卷及答案-word版【2】

绝密★启用前试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

{}}{|(4)(1)0,|(4)(1)0M x x x N x x x =++==--=，则M N ⋂=}{A.1,4}{B.1,4--}{C.D.∅(32)z i i =-（i 是虚数单位），则z = A.23i -B.23i +C.32i +D.32i -3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y =1B.y x x=+1C.22x xy =+D.x y x e =+4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为5A.2110B.2111C.21D.15. 平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是A.250250x y x y ++=+-=或B.2020x y x y +=+=或C.250250x y x y -+=--=或D.2020x y x y -=-=或6. 若变量,x y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为A.4 23B.5C.6 31D.57. 已知双曲线2222:1x y C a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为22A.143x y -= 22B.1916x y -= 22C.1169x y -= 22D.134x y -= 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A.3至多等于B.4至多等于C.5等于D.5大于二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）9. 在4x （-1）的展开式中，x 的系数为 . 10. 在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11. 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，1sin 2B =，6C π=，则b= . 12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。

2015年广东高考理科数学试题(含答案)

绝密★启用前试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则MN =A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2iB ．3+2iC ．2+3iD ．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y +=4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

广东省广州市2015届高三冲刺高考查漏补缺数学【理】试题及答案

（ 3）以这 10 天的 PM 2.5 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按
365 天计算）中平均有多
少天的空气质量达到一级或二级（精确到整数）
.
解：（ 1）记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，恰有一天空气质量达到一级”为
事件 A，则 P( A)
C
1 3
C
2 7
20
30
50
游戏
合计
60
50
110
将表中的数据代入公式，可求得
2
K 2 110 40 30 20 20 7.822 6.635. 60 50 60 50
查表 P K 2 6.635 0.010. 有 99% 的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关。
（ 2）易知，利用分层抽样抽取的 6 名学生中，“认为作业多”的学生有 4 （名），“认为作业不多”
2sin( A )sin( B C )
（ 2）求
4
4 的值．
1 cos2A
解：（ 1）由余弦定理得 cos A
b2 c2 a2 2bc
22 3
又0 A
, 故 sin A
1 cos2 A 1 3
（ 2）原式
2sin( A )sin( A )
4
4
1 cos2 A
2sin( A )sin( A )
4
4
2sin 2 A
25 25 625
25 625
所求分布列为
X
0
1
2
P
324
252
49
625
625
625
E( X ) 2 7 14 25 25
两人中成绩不合．格．．的人数的数学期望为

2015新课标II高考压轴卷理科数学 Word版含答案

2015年高考考前押题试卷（全国新课标II 卷）理科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{1,2,4}A =，{4,5}B =，则图中的阴影部分表示的集合为A ．{}5B ．{}4C ．{}1,2D ．{}3,52．已知非零向量a 、b 满足a b =，那么向量a b +与向量a b -的夹角为A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 3．61()2x x-的展开式中第三项的系数是 A ．154-B ．154C ．15D ．52-4．圆22420x y x +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为A ．250x y --=B ．210x y --=C ．20x y --=D ．40x y +-=5．某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5:4:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是1,45则该单位员工总数为A ．110B ．100C ．90D ．806．右边程序框图的程序执行后输出的结果是A ．24B ．25C ．34D ．357．设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 8．直线cos140sin 400x y ︒+︒=的倾斜角是A ．40°B ．50°C ．130°D ．140°9. 若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，369-=S ，10413-=S ，则5a 与7a 的等比中项为A ．24B ．22±C ．24±D ．3210．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题的序号是 A ．①②③ B ．②③④ C ．①③ D ．②④11. 已知函数()f x =(3)5, 1.2,13a x x a x -+≤⎧⎪⎨>⎪⎩是(,)-∞+∞上的减函数。

广东2015届普通高考测试(二)数学试卷(理科)含答案

试卷类型：A湛江市2015届普通高考测试（二）数学（理科）本试卷共4页，共21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上。

在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号。

将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的表面积公式：24R S ⋅⋅=π 其中R 是球的半径.圆柱的侧面积公式：l r S ⋅⋅=π2 其中r 是底面半径，l 是母线长参考数据：))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，（其中d c b a n +++=）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}231x x M =-<，集合{}13x x N =-<<，则MN =（）．A ．MB ．NC ．{}12x x -<<D ．{}3x x <2．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z =（）．A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --13．随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为（）．A ．37B ．34 C ．3 D ．44．一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积为（）． A ．5π B ．6πC ．7πD ．9π5．在右图所示的程序框图中，输出的i 和s 的值分别为（）． A ．3,21 B ．3,22C ．4,21D ．4,226．设)(x f 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间]1,2[-上的图像，则)2015()2014(f f +=（）． A ．3 B ．2C ．1D ．07．若平面向量()1,2a =-与b的夹角是︒180，且53||=b，则b 的坐标为（）．A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(-8．对于任意正整数n ，定义“!!n ”如下：当n 是偶数时，()()!!24642n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；当n 是偶数时，()()!!24531n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；且有()()!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．则如下四个命题：①()()2015!!2016!!2016!⋅=；②10082016!!21008!=⨯；③2015!!的个位数是5； ④2014!!的个位数是0．其中正确．．的命题有（）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（9～13题）9．曲线x x y sin +=在点（0,0）处的切线方程是________________．10．双曲线C :221916x y -=的离心率是． 11．=-⎰dx x |1|20_______________．12．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多是名．13．已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）直线l 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角为．15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2A =，C 5B =，点E ．F 分别在AB ．CD 上，且F//D E A ，若34AE =EB ，则F E 的长为．三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设函数)(,sin 3cos )(R x x x x f ∈-= （1）求函数)(x f 在区间]2,0[π上的值域（2）记ABC ∆内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，若1)3(=-πA f ，且b a 23=，求B sin 的值．17．（本小题满分12分）某中学一名数学教师对全班50名学生某次考试成绩分男生女生进行了统计（满分150 分），得到右面频率分布表：其中120分（含120分）以上为优秀．（1）根据以上频率表的数据，完成下面的2⨯2 列联表；（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取3人，已知取到的第一个人是男生，求取到的另外 2人中至少一名女生的概率．18．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，045BCD 1AD AB 2CD ,,//AB ABCD =∠===⊥⊥，，且，平面DC AD DC PD ．（1）若点M 是PD 的中点，证明：PBC AM//平面;（2）若PBC ∆得面积为2，求二面角D -PC -B的余弦值．19．（本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，对任意的正整数n ，均有()241n n S a =+，且0n a >．()1求1a 及数列{}n a 的通项公式； ()2令114)1(+--=n n n n a a nb ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20．（本小题满分14分）已知曲线E 上的任一点到点)3,0(1-F 和点)3,0(2F 的距离之和为4．（1）求曲线E 的方程；（2）已知点)0,1(),2,0(C A ，设直线)0(,>=k kx y 与曲线E 交于B ．D 两点（B 在第一象限），求四边形ABCD 面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数b a bx ax x f ,(,1)(2++=为实数，),0R x a ∈≠．（1）若0)1(=-f ，且函数)(x f 的值域为),0[+∞，求)(x f ；（2）设0,0,)()()(<>⎩⎨⎧-=x x x f x f x F ，0,0,0>>+<a n m mn ，且函数)(x f 为偶函数．证明：0)()(>+n F m F ；（3）设)(,1ln )(x g ex x g x+=的导函数是),(x g '当1==b a 时，证明：对任意实数0>x ，21)(]1)([-+<'-e x g x f ．数学（理科）参考答案。

2015年广东高考数学(理科)试卷及答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合()(){}410x x x M =++=,()(){}410x x x N =--=,则=N M ( ). A. φ B. }4,1{-- C. }0{ D. }4,1{ 2. 若复数))(23(是虚数单位i i i z -=,则=z ( ).A. i 23-B. i 23+C. i 32+D. i 32- 3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ).A. xe x y += B. x x y 1+= C. x xy 212+= D. 21x y += 4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有1 个白球,1个红球的概率为( ). A. 1 B.2111 C. 2110 D. 215 5. 平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是( ).A. 052052=--=+-y x y x 或B. 052052=-+=++y x y x 或C. 052052=--=+-y x y x 或D. 052052=-+=++y x y x 或6. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x ,则y x z 23+=的最小值为( ).A.531 B. 6 C. 523 D. 4 7. 已知双曲线1:2222=-by a x C 的离心率45=e ,且其右焦点为)0,5(2F ,则双曲线C 的方程为( ).A. 13422=-y xB. 191622=-y xC. 116922=-y xD. 14322=-y x 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值( ).A. 大于5B. 等于5C. 至多等于4D. 至多等于3二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9 ~ 13题)9. 在4)1(-x 的展开式中,x 的系数为_____________.10. 在等差数列}{n a 中,若2576543=++++a a a a a ,则=+82a a _____________. 11. 设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若6,21sin ,3π===C B a ,则=b ___________. 12. 某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_______条毕业留言.(用数字作答)13. 已知随机变量X 服从二项分布),(p n B .若20)(,30)(==X D X E ,则=p __________. (二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)14. (坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为2)4sin(2=-πθρ,点A 的极坐标为)47,22(πA ,则点A 到直线l 的距离为____________.15. (几何证明选讲选做题)如图1,已知AB 是圆O 的直径,4=AB , EC 是圆O 的切线,切点为C ,1=BC .过圆心O 作BC 的平行线, 分别交EC 和AC 于点D 和点P ,则=OD ___________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量)22,22(-=m ,)2,0(),cos ,(sin π∈=x x x n .(1)若n m ⊥,求x tan 的值; (2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值. .17. (本小题满分12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1) 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44, 列出样本的年龄数据;(2) 计算(1)中样本的均值x 和方差2s ;(3) 36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)？18. (本小题满分14分)如图2,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4,6,3PD PC AB BC ====, 点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1)证明：PE FG ⊥；(2)求二面角P AD C --的正切值； (3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. (本小题满分14分)设0>a ,函数a e x x f x-+=)1()(2.(1)求)(x f 的单调区间;(2)证明)(x f 在(,)-∞+∞上仅有一个零点;(3)若曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:123--≤ea m .20. (本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆056:221=+-+x y x C 相交于不同的两点B A 、. (1)求圆1C 的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围; 若不存在,说明理由.21. (本小题满分14分) 数列}{n a 满足:121224,2n n n a a na n N *-+++=-∈. (1)求3a 的值;(2)求数列}{n a 的前n 项和n T ;(3)令)2()131211(,111≥+++++==-n a nn T b a b n n n 证明:数列}{n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<.1. 答案: A 提示: {1,4},{1,4},.M N M N φ=--=∴=2. 答案: D 提示: 23,23z i z i =+∴=- 3 答案: A4答案: C 提示: 所求概率为1110521550210.151421C C C ⨯==⨯ 5.答案:D 提示: 设所求直线的方程为2||20,5,||5, 5.21a x y a a a ++==∴==±+依题意即6 答案: C 提示: 可行域为一五边形及其内部(含边界),该五边形的五个顶点分别为A(1,2), B(3,2), C(3,0),D(2,0),E 4(1,)5, 易知当目标函数过点E 4(1,)5时取到最小值,此时z=423312.55⨯+⨯= 7. 答案: B 提示: 222555,,4,9.4c c e a b c a a a ====∴==-=显然又从而 8. 答案: C. 9.答案: 6. 提示: 12422144()(1)(1),212,2r rrr rr r r T C x C xr --+=-=--==令得224(1) 6.x C ∴-=展开式中的系数为 10.答案: 10. 提示:374655555285()()2225,5,210.a a a a a a a a a a a a ++++=++=∴=+==从而 11.答案:1 . 提示:155sin ,(0,),,,,,266666B B BC B B ππππππ=∈∴==∴≠=且或又从而2cos,33, 1.6a b b b π∴==∴=即12.答案: 1560. 提示:24040,40391560.A =⨯=相当于从人中选取两人的排列数故方法总数为13.答案:13. 提示:201(,),()30,()(1)20,1,.303X B n p E X np D X np p p p ∴===-=∴-==故 14答案:522.:,//,,,,,,,90,1, 1.2,2,2248.2o O C O D B C B C A C O P A C P A C O D F C F A F C O D A O D C B A O C D C O DC B AC B C O A B C OC BO DB A ⊥∴⊥=∠∠∠∠∴∆∆====∴==⨯=提示连结又从而为线段的中点设线段与圆交于点则弧弧从而＝＝又＝即 15.答案: 8. 16. 解:(1))4sin(cos 22sin 22)cos ,(sin )22,22(π-=-=⋅-=⋅x x x x x n m ,,0,sin()0,(0,)42m n m n x x ππ⊥∴⋅=-=∈即又,04,444=-∴<-<-∴ππππx x .即4π=x ,14tan tan ==∴πx .(2)依题意)4sin(cos sin )22()22()4sin(||||3cos 2222πππ-=+⋅-+-=⋅⋅=x x x x n m n m , 即)4,4(4,21)4sin(ππππ-∈-=-x x 又,12546,64πππππ=+==-∴x x 即 17.解:(1)各分段工人的编号依次为1~4,5~8,…,33~36,依题意,第一分段里抽到的年龄为44,即抽到的是编号为2的工人, 从而所得样本的编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34, 即样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.222222222222444036433637444337404343433(2)4040040,9911100[40(4)3(4)(3)43(3)](4443).999x s +++++++++-+--++-==+=+=∴=++-++-+-+++-=⨯+⨯=10102101(3),4036,4043,33333212336,364323,0.638963.89%,3336s x s x s =∴-=-=+=+=≈=易得人中年龄位于与之间的有人即36名工人中年龄在s x -与s x +之间有23人,所占的百分比是63.89%. 18.解:(1)证明:,,,PD PC E DC PE DC =∴⊥为中点,,,,,.P D C A B C D P D C A B C D D C P E P D CP E A B C D F G A B C D P E F G⊥⊂∴⊥⊂∴⊥又面面而面面＝面面面22(2),,,,,,114,3,7,2277tan ,.33PDC ABCD AD DC AD PDC AD PD AD DC PDC P AD C PD DE DC AB PE PD DE PE PDC P AD C DE ⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∠--====∴=-=∴∠==--面面面从而为二面角的平面角即二面角的正切值为22222222222(3,2,//,634535,345,2545165495c o s ,225253530595.25AF CGAC ACFG PAC PA FG FB GB AC AB BC AP AD DP AP AC PC PAC AP AC PA FG ==∴∠=+=+===+=+=+-+-∴∠====⋅⨯⨯连结从而为直线与直线所成角或其补角,即直线与直线所成角的余弦值为19. 解:(1)0)1()21()(22≥+=++=xxe x e x x xf ,上为增函数在),()(+∞-∞∴x f . (2)22221,(0)10,()(1)(1)1(1)0a a f a f a a e a a e a a a a a a a >=-<∴=+->+->+->-=->,.),()(,),()(,),0()(仅有一个零点在上为增函数在又有零点在区间+∞-∞∴+∞-∞∴x f x f a x f(3)由0)('=x f 得1-=x ,又a e a e f -=-=--22)1(1,e a a e k a e P op 20102),2,1(-=----=∴--∴.依题意'()OP f m k =,22(1)mm e a e∴+=-,设1)(--=x e x g x ,则1)('-=x e x g ,当0>x 时,01>-x e ; 当0<x 时,01<-xe ,为增函数在为减函数在),0(,)0,()(+∞-∞∴x g , 从而0min ()(0)010g x g e ==--=,即0)(,≥∈∀x g R x .0)(,≥∈∀∴m g R m ,即01≥--m e m, ea e m m m e m mm2)1()1(,0)1(,1232-=+≤+∴≥+≤+∴又, 33221, 1.m a m a e e∴+≤-≤--即20. 解:(1),495)3(,0562222=+-=+-=+-+y x x y x 即)0,3(1的圆心坐标为圆C ∴. (2)法一: 设),(),,(),,(2211y x M y x B y x A ,05612121=+-+∴x y x ,05622222=+-+x y x , 即0)(6))(())((2121212121=---++-+x x y y y y x x x x ,,12x x ≠06)()(21212121=---+++∴x x y y y y x x ,0622=-⋅+x y y x 即.22221223930,().245,3,3395()(3).243x y x x y C M x AB M C x y x ∴+-=-+=<≤-+=<≤即考虑到弦的中点只能在圆的内部可解得点的横坐标的范围为故线段的中点的轨迹的方程为. 法二:111,,1,1,C M AB C M MO M AB C M AB k k k k ∴⊥∴⋅=-⋅=-点为弦中点即)335(03,1322≤<=-+-=⋅-∴x x y x x y x y 即. (3)将)4(-=x k y 代入0322=-+x y x 5(3)3x <≤中得:03)168(222=-+-+x x x k x ,2222(1)(83)160k x k x k ∴+-++=,222222216964948)1(64)38(k k k k k k -=-+=+-+=∆,由0=∆得222238()33831254,(,3],342(1)532(()1)4k k k ±++=±==∈+±+此时切点的横坐标值为, 3,4k =±故时直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点;525525(,),(,),,3333252525253,,577743C L L C k k L C ±±±==±≤≤-由于点不在轨迹上故当过点时与轨迹只有一个交点此时依据图形特征知当-时直线与轨迹只有一个交点. 综上所述,2525,]7733[{,}44k ∈--时,直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点. 21.解:(1)122331121311222132141,124422,,1134,.22224a a a a a ---+++=-=+=-=-=∴=++=-∴= 1212121*111111121(2)2,2(1)4,(4)(4),2222111(2),1,(),22211112{}1,,2.12212n n n n n n n n n n nn n n n n n nn a a n a na a n a a n N a T ---------+++≥+++-=-=---=∴=≥==∴=∈-∴==--时从而又数列是为首项为公比的等比数列从而12111211223312121211111(3),(1),(1),(1),2232321111(1)()(1)2211111(1)(2)2(1).222111()ln 1(1),'()n n n n n n nn a a a a a a b a b a b a b a n nS b b b a a a T n nn nf x x x f x x x x --++++==++=+++=++++∴=+++=++++++=+++=+++-<+++=+->=-记函数则2*10,1,(),11,()(1)ln110,111,2,1,()0,ln 10,ln ,111111213111123ln ,ln ,,ln ,ln ln ln ln ,22133112321311112(1)2x x f x xx f x f k k k k k N k f k k k k k k k n n n n n n n n -=>∴>>>=+-=∈≥>∴>+->>-----<<<+++<+++=------∴+++=当时为增函数从而当时当且时即亦即故11122()22ln ,2311,2(1)22ln .2111(:ln ,23n n nS n n n n ++++<+<+++<++++<综上注证明时也可以使用数学归纳法)。