锐角三角函数与特殊角
特殊三角函数
【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：1.在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则∠A 的正弦可表示为： sinA= ，∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ， 它们统称为∠A 的锐角三角函数二、特殊角的三角函数值：2、正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而3、几个特殊关系：⑴sin 2A+cos 2A= , tanA =sin A （ ） ⑵若∠A+∠B=900，则sinA= ，tanA.tanB =三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形。
2、解直角三角形的依据：Rt ∠ABC 中，∠C=900 三边分别为a 、b 、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα=h l。
经典例题1.如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（ ）A ．23B ．32C ．21313D ．313132.计算6tan45°-2cos60°的结果是（ ）A ．43B ．4C ．53D ．5αsinα cosα tanα 300450600铅直水平线 视线3.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC．若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为．（结果保留根号）4.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：3，则AB的长为（）A．12 B．43米C．53米D．63米5.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A．103海里/小时B．30海里/小时C．203海里/小时D．303海里/小时6.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为米．7.如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为（取3≈1.7，结果精确到0.1海里）．D8.如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之。
锐角三角函数特殊角
锐角三角函数特殊角锐角三角函数是指在锐角三角形中，根据三角函数的定义得出的正弦、余弦、正切等函数。
而特殊角则是指一些特定角度下的三角函数值。
以下是锐角三角函数特殊角的具体表述及计算方法。
首先，锐角三角函数有三个基本函数，即正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数指的是角度的正弦值，通常用sin表示。
余弦函数指的是角度的余弦值，通常用cos表示。
正切函数指的是角度的正切值，通常用tan表示。
在锐角三角形中，对于角度为θ度的角，其正弦、余弦、正切的定义如下：sinθ = 直角边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 直角边/邻边特殊角是指一些特定的角度下，三角函数值具有特殊的形式。
这些特殊角通常是常见角度的整数倍，常见的特殊角如下：角度 0 30 45 60 90正弦0 1/2 1/√2 √3/2 1余弦1 √3/2 1/√2 1/2 0正切0 1/√3 1 √3 未定义这些特殊角的计算可以根据上述定义和特殊角的性质进行推导。
例如，对于特殊角30度，它的正弦值为1/2，余弦值为√3/2，正切值为1/√3。
这是因为在锐角三角形中，角度为30度的角对应的直角边和邻边长度比为1:√3，斜边长度为2。
特殊角的计算在三角函数及其应用中十分重要，因为它们是常见的角度，在解决实际问题时也比较常见。
此外，在计算过程中采用特殊角的形式可以简化计算，提高计算效率。
总之，锐角三角函数特殊角是指一些特定角度下，三角函数具有特殊的形式。
这些特殊角在三角函数的计算中很常见，也具有重要的应用价值。
中考试题锐角三角函数与特殊角
锐角三角函数与特殊角一、选择题1．(2016·四川峨眉·二模）如图3，已知ABCV的三个顶点都在方格图的格点上，则cos C 的值为) (A 13)(B10) (C1010)(D31010答案：D2．（2016·天津北辰区·一摸）1sin602的值等于（）.（A）14（B）12（C）3（D）3答案：C3．（2016·天津市和平区·一模）sin45°的值等于（）A．B．1 C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值得出即可．【解答】解：sin45°=，故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．4．（2016·天津市南开区·一模）3tan60°的值为（）A．B．C．D．3【考点】特殊角的三角函数值．【分析】把tan60的数值代入即可求解．【解答】解：3tan60°=3×=3．故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．5．（2016·天津五区县·一模）2cos45°的值等于（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将45°角的余弦值代入计算即可．【解答】解：∵cos45°=，∴2cos45°=．故选B．【点评】本题考查特殊角的三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主6. (2016·上海普陀区·一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据余角的性质，可得∠=∠BCD，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：A、在Rt△ABD中，cosA=，故A正确；B、在Rt△ABC中，cosA=，故B正确C、在Rt△BCD中，cosA=cos∠BCD=，故C错误；D、在Rt△BCD中，cosA=cos∠BCD=，故D正确；故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7. （2016·江苏常熟·一模）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12，AC=5，那么tanB等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】根据三角函数的定义求解，正切=．【解答】解：∵Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=12，AC=5，∴tanB=，故选：C ．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．8. （2016·河北石家庄·一模）如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC=7m ，则树高BC 为（用含α的代数式表示）（ ） 第1题A ．7sin αB ．7cos αC ．7tan αD ．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据正切的概念进行解答即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，tan α=， 则BC=AC •tan α═7tan αm ，故选：C ． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握以仰角俯角的概念以及锐角三角函数的定义是解题的关键．9. （2016·湖北襄阳·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60°.若动点P 以2cm/s 的速度从B 点出发沿着B →A 的方向运动，点Q 从A 点出发沿着A →C 的方向运动，当点P 到达点A 时，点Q 也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ 是直角三角形时，t 的值为（ ） A.34 B. 33- C. 34或33- D. 34或33-或3第2题答案：C10. （2016·广东·一模）在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=15，则AD的长是（）A．2 B．2 C．1 D．22答案：B11. （2016·广东深圳·联考）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA的值是A． B． C． D．答案：A二、填空题1、（2016枣庄41中一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．【考点】正方形的性质；轴对称的性质；锐角三角函数的定义．【分析】M、N两点关于对角线AC对称，所以CM=CM，进而求出CN的长度．再利用∠ADN=∠DNC即可求得tan∠ADN．【解答】解：在正方形ABCD中，BC=CD=4．∵DM=1，∴CM=3，∵M、N两点关于对角线AC对称，∴CN=CM=3．∵AD∥BC，∴∠ADN=∠DNC，∵tan=∠DNC==，∴tan∠ADN=．故答案为：．2. (2016·上海普陀区·一模) (2016·上海普陀区·一模)计算：sin245°+cot30°•tan60°= ．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=sin245°+cot30°•tan60°=（）2+×=．7/2故答案为：7/2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．3．(2016·山东枣庄·模拟)如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA= ．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得AC=AB，cosA===，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边4. （2016·河南三门峡·二模）如图，ON⊥OM，等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，边AC在OM上，将∆ACB绕点A逆时针旋转75°，使得点B的对应点E恰好落在ON上，则∠= ．cos OAE答案：1 25. （2016·江苏常熟·一模）如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，cosB=．如果⊙O的半径为cm，且经过点B，C，那么线段AO= 5 cm．【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】利用三角函数求BD的值，然后根据勾股定理求出AD，OD的值．最后求AO．【解答】解：连接BO，设OA与BC交于点D，根据题意，得OA垂直平分BC．∵AB=AC=5cm，cosB=，∴BD=3．根据勾股定理得AD==4；OD===1．∴AO=AD+OD=5，故答案为5．【点评】考查了锐角三角函数的概念、勾股定理．6. （2016·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，矩形ABCD 的边长AB=8，AD=4，若将△DCB 沿BD 所在直线翻折，点C 落在点F 处，DF 与AB 交于点E. 则cos ∠ADE = ．答案： 457. （2016·广东深圳·联考）=045cos 2答案：1三、解答题1. ．(2016·上海浦东·模拟)（本题满分10分）计算：1012sin 4520168+2-⎛⎫︒-+ ⎪⎝⎭． 解：原式=22122+22⨯-+..........................................（8分） ＝1＋32 (2)2．(2016·上海普陀区·一模)已知，如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=ax 2﹣的图象经过点、A （0，8）、B （6，2）、C （9，m ），延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及的m 值；（2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△MDQ相似，求此时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A、B的坐标代入函数解析式求得系数a、c的值，从而得到函数解析式，然后把点C的坐标代入来求m的值；（2）由点A、C的坐标求得直线AC的解析式，然后根据直线与坐标轴的交点的求法得到点D的坐标，所以结合锐角三角函数的定义解答即可；（3）根据相似三角形的对应角相等进行解答．【解答】解：（1）把A（0，8）、B（6，2）代入y=ax2﹣，得，解得，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x+8．把C（9，m），代入y=x2﹣x+8得到：m=y=×92﹣×9+8=5，即m=5．综上所述，该二次函数解析式为y=x2﹣x+8，m的值是5；（2）由（1）知，点C的坐标为：（9，5），又由点A的坐标为（0，8），所以直线AC的解析式为：y=﹣x+8，令y=0，则0=﹣x+8，解得x=24，即OD=24，所以cot∠ADO===3，即cot∠ADO=3；（3）在△APQ与△MDQ中，∠AQP=∠MQD．要使△APQ与△MDQ相似，则∠APQ=∠MDQ或∠APQ=∠DMQ（根据题意，这种情况不可能），∴cot∠APQ=cot∠MDQ=3．作BH⊥y轴于点H，在直角△PBH中，cot∠P==3，∴PH=18，OP=20，∴点P的坐标是（0，20）．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数、一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．3. （2016·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）（10分）△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE 将△ABC 分成周长、面积相等的两部分，求AD ；（3）如图③，若DE 将△ABC 分成周长、面积相等的两部分，且DE ∥BC ，则a 、b 、c 满足什么关系？答案：（10分）解：（1）∵DE 将△ABC 分成周长相等的两部分，∴AD+AE=CD+BC+BE=（AB+AC+BC ）=（a+b+c ）；（2）设AD=x ，AE=6﹣x ，∵S △ADE =AD •AE •sinA=3， 即：x （6﹣x ）•=3，解得：x 1=（舍去），x 2=，∴AD=；（3）∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴， ∵=，∴AD=b ，AE=c ， ∴b c=（a+b+c ）， ∴=﹣1．4. （2016·上海市闸北区·中考数学质量检测4月卷）已知：如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AD 是BC 边上的中线，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，且sin ∠DAB=53，DB=32 求：（1）AB 的长； （2）∠CAB 的余切值．答案：解（1）在Rt △BDE 中，DE ⊥AB ，BD ＝32ABC ＝45°， ∴BE ＝DE ＝3，在Rt △ADE 中，sin ∠DAB ＝35，DE ＝3， ∴AE ＝4，∴AB ＝AE ＋BE ＝4＋3＝7 （2）作CH ⊥AB ，垂足为H∵AD 是BC 边上的中线，DB ＝32 ∴BC ＝2，∵∠ABC ＝45°，∴BH ＝CH ＝6， ∴AH ＝7－6＝1即在Rt △CHA 中，1cot 6AH CABCH ?=5. （2016·湖北襄阳·一模）（本小题满分6分）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，cosC=22，sinB=31，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan ∠DAE 的值．第1题答案：解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵cosC=22，∴∠C=45°． 在△ADC 中，∵∠ADC=90°，AD=1，∠C=45°，∴DC=AD=1．在△ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB=ABAD=，AD=1，∴AB==3．∴BD=22AD AB =2．∴BC=BD+DC=2+1．（2）∵AE 是BC 边上的中线，∴CE=BC=+． ∴DE=CE ﹣CD=﹣．∴tan ∠DAE=ADDE=﹣．6. （2016·广东·一模）（本题满分10分）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：（1）如图1，已知A 、B 、C 在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB 、BC 为边的两个对等四边形ABCD ；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD 中，AB 是⊙O 的直径，AC=BD ．求证：四边形ABCD 是对等四边形；（3）如图3，在Rt △PBC 中，∠PCB=90°，BC=11，tan ∠PBC=，点A 在BP 边上，且AB=13．用圆规在PC 上找到符合条件的点D ，使四边形ABCD 为对等四边形，并求出CD 的长．解：（1）如图1所示（画2个即可）．（2）如图2，连接AC，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，在Rt△ADB和Rt△ACB中，∴Rt△ADB≌Rt△ACB，∴AD=BC，又∵AB是⊙O的直径，∴AB≠CD，∴四边形ABCD是对等四边形．（3）如图3，点D的位置如图所示：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，设BE=x，∵tan∠PBC=，∴AE=，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即，解得：x1=5，x2﹣5（舍去），∴BE=5，AE=12，∴CE=BC﹣BE=6，由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AFD2中，，∴，，综上所述，CD的长度为13、12﹣或12+．7. （2016·广东东莞·联考）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，D是AB延长线上一点，且BD=AB，∠A=30°，CE⊥AB于E，过C的直径交⊙O于点F，连接CD、BF、EF．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求：tan∠BFE的值．【考点】切线的判定；解直角三角形．【专题】综合题．【分析】（1）要证明CD是⊙O的切线，只要证明OC⊥CD即可；（2）过点E作EH⊥BF于H，设EH=a，利用角之间的关系可得到AC∥BF，从而得到BH=EH=a，BE=2EH=2a，进而可得到BF的长，此时可求得FH的长，再根据正切的公式即可求得tan∠BFE的值．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=30°，∴BC=，∵OB=，BD=，∴BC=OB=BD，∴BC=，∴OC⊥CD，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点E作EH⊥BF于H，设EH=a，∵CF是⊙O直径，∴∠CBF=90°=∠ACB，∴∠CBF+∠ACB=180°，∴AC∥BF，∴∠ABF=∠A=30°，∴BH=EH=a，BE=2EH=2a，∵CE⊥AB于E，∴∠A+∠ABC=90°=∠ECB+∠ABC，∴∠ECB=∠A=30°，∴BC=2BE=4a，∵∠BFC=∠A=30°，∠CBF=90°，∴BF==4a，∴FH=BF﹣BH=4a﹣a=3a，∴tan∠BFE===．【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．要熟知直角三角形的性质并熟练掌握三角函数值的求法．8. （2016·广东深圳·一模）计算：﹣2sin45°﹣（1+）0+2﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式=﹣2×﹣1+1/2=﹣1/2．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算． 9. （2016·广东东莞·联考）计算﹣2cos45°﹣（2014﹣π）0﹣（12）﹣1． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】分别根据数的开方法则、0指数幂及负整数指数幂的计算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：原式=2﹣2×﹣1﹣2=2﹣﹣3=﹣3．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、0指数幂及负整数指数幂的计算法则是解答此题的关键．10. （2016·广东深圳·联考）计算：002)4(60sin 231)21(-+++----π 答案：解: 原式＝13314++-+＝6.-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------初中数学试卷信达。
锐角三角函数与特殊角
第29章 锐角三角函数与特殊角一、选择题1. （2019甘肃兰州，4，4分）如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为 A ．12B ．13C ．14D．4【答案】B2. （2019江苏苏州，9,3分）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于 A.43 B.34 C.53 D. 54【答案】B3. （2019四川内江，11，3分）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，则△ABC 的面积为 A．B ．15C．D．BACDE【答案】C4. （2019山东临沂，13，3分）如图，△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝53，则△ABC 的面积是（ ）A ．221B ．12C ．14D ．21 【答案】A5. （2019安徽芜湖，8，4分）如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ).A ．12 B ． 34 C ． 2 D ．45【答案】C6. （2019山东日照，10，4分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A =ab．则下列关系式中不成立．．．的是（ ）（A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A （C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1 【答案】D7. （2019山东烟台，9,4分）如果△ABC 中，sin A =cos B ，则下列最确切的结论是（ ）A. △ABC 是直角三角形B. △ABC 是等腰三角形C. △ABC 是等腰直角三角形D. △ABC 是锐角三角形 【答案】C8. (2019 浙江湖州，4，3)如图，已知在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，BC ＝1，AC =2，则tan A的值为A ．2B ．12C D【答案】B9. （2019浙江温州，5，4分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB ＝13，BC ＝5，则sin A 的值是( ) A ．513B ．1213C ．512D ．135【答案】A10．（2019四川乐山2，3分）如图，在4×4的正方形网格中，tanα=A ．1B ．2C ．12 D ．2【答案】B11. （2019安徽芜湖，8,4分）如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ).A ．12 B ． 34 C ． D ．45【答案】B12. （2019湖北黄冈，9，3分）cos30°=（ ）A ．12B ．2C ．2D【答案】C13. （2019广东茂名，8，3分）如图，已知：9045<<A ，则下列各式成立的是A ．sinA ＝cosAB ．sinA >cosAC ．sinA >tanAD ．sinA <cosA【答案】B14. (20011江苏镇江,6,2分)如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为 D.若则sin ∠ACD 的值为( )C. D. 23答案【 A 】15. （2019湖北鄂州，9，3分）cos30°=（ ）A ．12B ．2C ．2D【答案】C16. （2019湖北荆州，8，3分）在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则B sin 的值是 A ．1475 B ．53 C ．721 D ．1421【答案】D17. （2019湖北宜昌，11，3分）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm ，∠C=90°，tan ∠BAC=33,则边BC 的长为( ). A. 303cm B. 203cm C.103cm D. 53cm【答案】C二、填空题1. （2019江苏扬州，13,3分）如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB=【答案】105°2. （2019山东滨州，16，4分）在等腰△ABC 中，∠C=90°则tanA=________. 【答案】13. （2019江苏连云港，14，3分）如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A=_______.【答案】12 4. （ 2019重庆江津， 15，4分）在Rt △ABC 中,∠C=90º,BC=5,AB=12,sinA=_________. 【答案】125· 5. （2019江苏淮安，18，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转15°后得到△AB 1C 1，B 1C 1交AC 于点D ，如果AD=，则△ABC 的周长等于 .【答案】6 6. (2019江苏南京，11，2分)如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于_________．【答案】127. （2019江苏南通，17，3分）如图，测量河宽AB （假设河的两岸平行），在C 点测得∠ACB(第11题)BA MO＝30°，D 点测得∠ADB ＝60°，又CD ＝60m ，则河宽AB 为 ▲ m （结果保留根号）.【答案】8. （2019湖北武汉市，13，3分）sin 30°的值为_____． 【答案】219. (20011江苏镇江,11,2分)∠α的补角是120°,则∠α=______,sinα=______. 答案:60°，210．（2019贵州安顺，14，4分）如图，点E (0，4)，O (0，0)，C (5，0)在⊙A 上，BE 是⊙A 上的一条弦，则tan ∠OBE = ．【答案】54三、解答题(1) 1. （2019安徽芜湖，17（1），6分）计算：20113015(1)()(cos68)338sin 602π---+++-.【答案】解：解: 原式18138=--++⨯…………………………………4分 8=- …………………………………6分2. （2019四川南充市，19，8分）如图，点E 是矩形ABCD中CD 边上一点，⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE,点F 落在AD 上.第14题图(1)求证：⊿ABE ∽⊿DFE;(2)若sin ∠DFE=31,求tan ∠EBC 的值. FED CBA【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠D=∠C=90° ∵⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE ∴∠BFE=∠C=90°∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90° 又∠AFB+∠ABF=90° ∴∠ABF=∠DFE ∴⊿ABE ∽⊿DFE(2)解：在Rt ⊿DEF 中，sin ∠DFE=EF DE =31∴设DE=a,EF=3a,DF=22DE EF -=22a∵⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE∴CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a, ∠EBC=∠EBF 又由（1）⊿ABE ∽⊿DFE ，∴BF FE =ABDF =a a422=22∴tan ∠EBF=BF FE=22 tan ∠EBC=tan ∠EBF=22 3. （2019甘肃兰州，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°)=2。
初三中考数学锐角三角函数与特殊角
锐角三角函数与特殊角一、选择题1. （•四川巴中，第8题3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB 为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．解答：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选D．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．2. （•山东威海，第8题3分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O 都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理分析：作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AB的长，根据正弦的定义即可求解．解答：解：作AC⊥OB于点C．则AC=，AB===2，则sin∠AOB===．故选D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．（•四川凉山州，第10题，4分）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：解：由题意，得cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．4．（•甘肃兰州,第5题4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=．∴cosA=，故选：D．点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．5．（•广州,第3题3分）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（）．（A）（B）（C）（D）【考点】正切的定义．【分析】．【答案】D6．（·浙江金华，第6题4分）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为3,tan2αα=，则t的值是【】A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】C．【解析】7.（•滨州，第11题3分）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC的长为（）A．6B．7.5 C．8D．12.5考点：解直角三角形分析：根据三角函数的定义来解决，由sinA==，得到BC==．解答：解：∵∠C=90°AB=10，∴sinA=，∴BC=AB×=10×=6．故选A．点评：本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．8.（•扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3B．4C．5D．6（第1题图）考点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质分析：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．解答：解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12，∴OD=6，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=MN=1，∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．故选C．点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．9．（•四川自贡，第10题4分）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（）A．B．C．D．考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义专题：压轴题．分析：首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD 的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值．解答：解：过点A作AD⊥OB于点D，∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，∴OD=AD=OA•cos45°=×1=，∴BD=OB﹣OD=1﹣，∴AB==，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，AC=2，∴sinC=．故选B．点评：此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10．（•浙江湖州，第6题3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC 的长是（）A．2 B．8C．2D．4分析：根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故选A．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．11．（•广西来宾，第17题3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，则AB的长为4．考点：解直角三角形．分析：根据cosB=及特殊角的三角函数值解题．解答：解：∵cosB=，即cos30°=，∴AB===4．故答案为：4．点评：本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握．12．(年贵州安顺，第9题3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．A B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．.分析：tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．解答：解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，设AB=2x，则BC=x，AC=x．∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．则tan∠CFB==．故选C．点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．13.（年广东汕尾，第7题4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（）A ．B．C．D．分析：根据互余两角的三角函数关系进行解答．解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA，∵sinA =，∴cosB =．故选B．点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．14.（•毕节地区，第15题3分）如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（）A．1B．C．3D．点评：此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．15．(年天津市，第2 题3分)cos60°的值等于（）A．B． C． D．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值解题即可．解答：解：cos60°=．故选A．点评：本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．二、填空题1. (年贵州黔东南11．（4分）)cos60°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值计算．解答：解：cos60°=．点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．2. （•江苏苏州,第15题3分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理分析：先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE 中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．3．（•四川内江，第23题，6分）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C．若OC=2，则PC的长是．考点：含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，利用角平分线定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用锐角三角函数定义求出QC的长，在直角三角形QDP中，利用锐角三角函数定义表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的长即可．解答：解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB，∴PD=PC，在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=2，∴QC=OCtan30°=2×=，∠APD=30°，在Rt△QPD中，cos30°==，即PQ=DP=PC，∴QC=PQ+PC，即PC+PC=，解得：PC=．故答案为：点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．4．（•四川宜宾，第16题，3分）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是②③④（写出所有正确的序号）①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny．考点：锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．专题：新定义．分析：根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．解答：解：①cos（﹣60°）=cos60°=，命题错误；②sin75°=sin（30°+45°）=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°=×+×=+=，命题正确；③sin2x=sinx•cosx+cosx•sinx═2sinx•cosx，故命题正确；④sin（x﹣y）=sinx•cos（﹣y）+cosx•sin（﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny，命题正确．故答案是：②③④．点评：本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解题目中的定义是关键．5．（•甘肃白银、临夏,第15题4分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=．考点：特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．分析：先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C 即可作出判断．解答：解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA=，cosB=，∴∠A=∠B=60°．∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣60°=60°．故答案为：60°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．6. （•广西贺州，第18题3分）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．分析：根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．解答：解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，由BC•AD=AB•CE，即CE==，sinA===，故答案为：．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7. （•广西玉林市、防城港市，第16题3分）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF 且EF∥MN，则cos∠E=．考点：切线的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：连结OM，OM的反向延长线交EF与C，由直线MN与⊙O相切于点M，根据切线的性质得OM⊥MF，而EF∥MN，根据平行线的性质得到MC⊥EF，于是根据垂径定理有CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF，易证得△MEF为等边三角形，所以∠E=60°，然后根据特殊角的三角函数值求解．解答：解：连结OM，OM的反向延长线交EF与C，如图，∵直线MN与⊙O相切于点M，∴OM⊥MF，∵EF∥MN，∴MC⊥EF，∴CE=CF，∴ME=MF，而ME=EF，∴ME=EF=MF，∴△MEF为等边三角形，∴∠E=60°，∴cos∠E=cos60°=．故答案为．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值．8．（•温州，第14题5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据锐角三角函数的定义（tanA=）求出即可．解答：解：tanA==，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．9. （•株洲，第13题，3分）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为182米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．（第1题图）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：作出图形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得BC 的长度．解答：解：在Rt△ABC中，AB=500米，∠BAC=20°，∵=tan20°，∴BC=ACtan20°=500×0.3640=182（米）．故答案为：182．点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．10．(年广西南宁，第17题3分）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东40°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于10海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．.分析：根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD 即可．解答：解：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=20海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，∴sin60°=，∴CD=12×sin60°=20×=10海里，故答案为：10．点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．11．（•攀枝花，第14题4分）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=75°．考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．分析：先根据△ABC中，tanA=1，cosB=，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．解答：解：∵△ABC中，tanA=1，cosB=∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°．故答案为：75°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．三、解答题1. （•上海，第22题10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴CH：AC=1：，∴sinB；（2）∵sinB，∴AC：AB=1：，∵CD=，∴AB=2，由勾股定理得AC=2，则CE=1，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．点评：本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．2. （•山东烟台，第24题8分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．求证：tanα•tan=．考点：圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数.分析：连接AC先求出△PBD∽△P AC，再求出=，最后得到tanα•tan=．解答：证明：连接AC，则∠A=∠POC=，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴tanα=，BD∥AC，∴∠BPD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△P AC，∴=，∵PB=0B=OA，∴=，∴tana•tan=•==．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出△PBD∽△P AC，再求出tanα•tan=．3. （•江苏徐州,第19题5分）（1）计算：（﹣1）2+sin30°﹣；考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义化简，计算即可得到结果；解答：解：（1）原式=1+﹣2=﹣；点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．4. ．(•年山东东营,第19题7分)（1）计算：（﹣1）+（sin30°）﹣1+（）0﹣|3﹣|+83×（﹣0.125）3考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用积的乘方逆运算法则变形，计算即可得到可结果；（2）解答：解：（1）原式=1+2+1﹣3+3﹣1=6﹣3；点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.（•山东临沂,第20题7分）计算：﹣sin60°+×．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值分析：根据特殊角的三角函数、二次根式的化简进行计算即可．解答：解：原式=﹣+4×=﹣+2=+2=．点评：本题考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值，在二次根式的混合运算中，要掌握好运算顺序及各运算律．6．（•四川南充，第17，6分）计算：（﹣1）0﹣（﹣2）+3tan30°+（）﹣1．分析：本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果解：原式=1﹣+2++3=6．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．7、（•广州,第23题12分）如图6，中，，．（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点（保留作图痕迹，不写作法）：（2）综合应用：在你所作的圆中，①求证：；②求点到的距离．【考点】（1）尺规作图；（2）①圆周角、圆心角定理；②勾股定理，等面积法【分析】（1）先做出中点，再以为圆心，为半径画圆.（2）①要求，根据圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出即可，再根据等腰三角形中的边角关系转化.②首先根据已知条件可求出，依题意作出高，求高则用勾股定理或面积法，注意到为直径，所以想到连接，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出，的长度，那么在中，求其高，就只需用面积法即可求出高.【答案】（1）如图所示，圆为所求（2）①如图连接，设,又则②连接,过作于,过作于cosC=, 又,又为直径设，则，在和中，有即解得：即又即=，点8.（•福建福州,第16题11分）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB32D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ABC的外接圆.（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径.+.（2）2.【答案】（1）33【解析】∴BC33=+.（2）由（1）得，在R t△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=3，∴AC=23.∵∠D=∠ACB，∠B=∠B，∴△BAC∽△BCD. ∴AB ACCB CD=，即322333=+.∴DM=4.∴⊙O的半径为2.考点：1.锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.勾股定理.9.（•襄阳，第15题3分）如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为（5+5）m（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：作CE⊥AB于点E，则△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度．解答：解：作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，BE=CD=5m，CE==5m，在Rt△ACE中，AE=CE•tan45°=5m，AB=BE+AE=（5+5）m．故答案为：（5+5）．点评：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．10.（•邵阳，第24题8分）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．11. （•湘潭，第25题）△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m 为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．（第1题图）考点：相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形分析：（1）只需找到两组对应角相等即可．（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题．（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．解答：解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°．∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF．（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，∴sin60°==，cos60°==．∵BF=m，∴DF=m，BD=．∵AB=4，∴AD=4﹣．∴S△ADF=AD•DF=×（4﹣）×m=﹣m2+m．同理：S△AEF=AE•EF=×（4﹣）×（4﹣m）=﹣m2+2．∴S=S△ADF+S△AEF=﹣m2+m+2=﹣（m2﹣4m﹣8）=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．∵﹣＜0，0＜2＜4，∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．∴S与m之间的函数关系为：S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．当m=2时，S取到最大值，最大值为3．（3）如图2，∵A、D、F、E四点共圆，∴∠EDF=∠EAF．∵∠ADF=∠AEF=90°，∴AF是此圆的直径．∵tan∠EDF=，∴tan∠EAF=．∴=．∵∠C=60°，∴=tan60°=．设EC=x，则EF=x，EA=2x．∵AC=a，∴2x+x=A．∴x=．∴EF=，AE=．∵∠AEF=90°，∴AF==．∴此圆直径长为．点评：本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键．12. （•益阳，第18题，8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．（第2题图）考点：解直角三角形的应用．分析：设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5（x+82），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．解答：解：设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，tan∠BCA=，∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+82）．在Rt△ABD中，tan∠BDA=，∴AB=AD•tan∠BDA=4x．∴2.5（x+82）=4x，解得x=．∴AB=4x=4×≈546.7．答：AB的长约为546.7米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．13.（•株洲，第17题，4分）计算：+（π﹣3）0﹣tan45°．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．分析：原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：原式=4+1﹣1=4．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.（年江苏南京，第23题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）（第4题图）考点：解直角三角形的应用分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．15. （•泰州，16题，3分）如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于1或2cm．（第5题图）考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE 与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PF A=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．解答：解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC=PN，在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，∴tan30°=，即DE=cm，根据勾股定理得：AE==2cm，∵M为AE的中点，∴AM=AE=cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，∵PN∥DC，∴∠PF A=∠DEA=60°，∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=，∴AP===2cm；由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，综上，AP等于1cm或2cm．故答案为：1或2．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．16. （•泰州，第22题，10分）图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）（第6题图）考点：解直角三角形的应用分析：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG 中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．解答：解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF=90°+12°﹣80°=22°，∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE≈0.336m，∴FG=FC+CG≈1.1m．故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1m．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．17. （•福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义专题：压轴题；探究型．分析：（1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC 的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C 的值．②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．解答：解：（1）设反比例函数的关系式y=．∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，∴k=2×1=2．∴反比例函数的关系式y=．（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．当x=0时，y=0+3=3，则点B的坐标为（0，3）．OB=3．当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，则点A的坐标为（3，0），OA=3．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴OA′=OA=3．∵PC⊥y轴，点P（2，1），∴OC=1，PC=2．∴BC=2．∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，∴A′B=3，A′C=．∴△A′BC的周长为3++2．∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，∴BC•A′O=A′B•C D．∴2×3=3×C D．∴CD=．∵CD⊥A′B，∴sin∠BA′C===．∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．②当1＜m＜2时，作经过点B、C且半径为m的⊙E，连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，过点E作EG⊥OB，垂足为G，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．∵CP是⊙E的直径，∴∠PBC=90°．∴sin∠BPC===．∵sin∠BMC=，∴∠BMC=∠BP C．∴点M在⊙E上．∵点M在x轴上∴点M是⊙E与x轴的交点．∵EG⊥BC，∴BG=GC=1．∴OG=2．∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，∴四边形OGEH是矩形．∴EH=OG=2，EG=OH．∵1＜m＜2，∴EH＞E C．∴⊙E与x轴相离．∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．②当m=2时，EH=E C．∴⊙E与x轴相切．Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．∴点M与点H重合．∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，∴EG==．∴OM=OH=EG=．∴点M的坐标为（，0）．Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，同理可得：点M的坐标为（﹣，0）．③当m＞2时，EH＜E C．∴⊙E与x轴相交．Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，∴MH===．。
锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值课件人教版数学九年级下册
14．已知α为锐角，且关于 x 的方程 x2－tan α·x＋1 ＝0 有两个相等的实根，则 4
α的度数为 B A．30° B．45° C．60° D．90°
15．如图所示的运算程序，能使输出的 y 的值为1 的是 C 2
A．α＝60°，β＝45° C．α＝30°，β＝30°
B．α＝30°，β＝45° D．α＝45°，β＝30°
BC 3 3 求出 tan 15°的值，请画出你添加的辅助线，并求出 tan 15°的值．
解：延长 CB 至点 D，使 BD＝AB，连接 AD，图略．则∠D＝15°，tan 15°＝CADC
＝1 2＋
3
＝2－
3
类型一 同角三角函数的相互关系
(一)同角正弦与余弦之间的关系为 sin2α＋cos2α＝1. 1．若α为锐角，且 sin2α＋cos226°＝1，则α＝ 26° .
2．已知 sinαcos α＝18) ，且 0°＜α＜45°，则 sin α－cos α＝
－3 2
．
(二)同角正弦、余弦、正切之间的关系为 tan
α＝sin α cos α
.
5
3．已知∠A 是锐角，且 tan A＝2，那么 cos A＝ 5
．
4．若α为锐角，tan α＝4，则cos α－sin α ＝
5
7．在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，若
tan
A
＝2 5
，则 tan B＝
2
．
8．若 tan 35°·tan α·tan 50°·tan 55°＝1，则锐角α＝ 40° .
知识点 2: 由锐角三角函数值求特殊角 7．(怀化中考)已知α为锐角，且 sin α＝12 ，则α＝ A A．30° B．45° C．60° D．90°
锐角三角形函数与特殊角的三角函数值之九大考点(解析版)
锐角三角形函数与特殊角的三角函数值之九大考点【考点导航】目录【典型例题】【考点一正弦、余弦、正切的概念辨析】【考点二求角的正弦值】【考点三求角的余弦值】【考点四求角的正切值】【考点五已知正弦值求边长】【考点六已知余弦值求边长】【考点七已知正切值求边长】【考点八30°，45°，60°角的三角函数值】【考点九与特殊角的三函数有关的计算题】【过关检测】【典型例题】【考点一正弦、余弦、正切的概念辨析】1(2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习)在Rt△ABC中，∠C为最大角，下列说法正确的是()A.cos A=BCAB B.tan A=BCACC.sin A=ACABD.tan A =cos Asin A【答案】B【分析】根据题意可得∠C=90°，画出图形，根据三角函数的定义即可求解．【详解】解：依题意，∠C=90°，如图所示，cos A=ACAB，故A选项错误，tan A =BC AC ，故B 选项正确，sin A =BC AB ，故C 选项错误，cos A sin A =AC AB :BC AB=AC BC ≠tan A ，故D 选项错误，故选：B ．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．【变式训练】1(2023·上海·九年级假期作业)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BD 为斜边AC 的高，D 为垂足，则下列结论中正确的是()A.sin A =AD AB B.cos A =BC AC C.tan A =AB BC D.tan A =BD AD【答案】D 【分析】根据三角函数的定义计算判断即可．【详解】解：A 、由sin A =BD AB ，故该项错误，不符合题意；B 、由cos A =AB AC ，故该项错误，不符合题意；C 、由tan A =BC AB ，故该项错误，不符合题意；D 、由tan A =BD AD ，故该项正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键．2(2023春·山西太原·九年级山西实验中学校考阶段练习)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，则下列式子中正确的是()A.sin A =BC AB B.tan A =BC AB C.cos B =BD CD D.tan B =CD BC【答案】A 【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∴sin A =BC AB ，故A 正确，符合题意，tan A =BC AC，故B 错误，不符合题意，cos B =BD BC ，故C 错误，不符合题意，tan B =CD BD，故D 错误，不符合题意，故选A ．【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边．【考点二求角的正弦值】1(2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考阶段练习)如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =13，AC =12，则sin A 的值为．【答案】513【分析】先根据勾股定理求出BC ，再根据正弦函数的定义计算即可．【详解】∵△ABC 中，∠C =90°，AB =13，AC =12，∴BC =AB 2-AC 2=5，∴sin A =BC AB =513，故答案为：513．【点睛】本题考查了勾股定理以及正弦函数的知识，结合图形，理解sin A =BC AB，是解答本题的关键．【变式训练】1(2021春·湖北武汉·九年级校考自主招生)在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在网格的顶点上，求sin ∠AOB =．【答案】61365【分析】作OC ⊥AB 交AB 的延长线于C ，作BD ⊥AO 交AO 于D ，由题意可得AB =2，OC =3，OB =13，AO =5，由S △ABO =12AB ⋅OC =12AO ⋅BD 可得BD =65，再由正弦的定义进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，作OC ⊥AB 交AB 的延长线于C ，作BD ⊥AO 交AO 于D ，则AB =2，OC =3，OB =22+32=13，AO =42+32=5，∵BD ⊥AO ，∴∠ODB =90°，∴S △ABO =12AB ⋅OC =12AO ⋅BD ，∴12×2×3=12×5×BD ，∴BD =65，∴sin ∠AOB =BD OB =6513=61365，故答案为：61365．【点睛】本题考查了锐角三角形函数、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．2(2023秋·全国·九年级专题练习)在△ABC 中，∠ABC =60°，点D 是直线BC 上一点，若AB =16，BD =10BC >BD ，sin ∠BAD 的值为【答案】5314或54386【分析】分两种情况：点D 在线段BC 上，点D 在线段BC 的反向延长线上，分别画出图形，进行求解即可．【详解】解：如图1，点D 在线段BC 上，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点B 作BF ⊥AD 于点F ，在△ABE 中，∠ABC =60°，∠AEB =90°，∴∠BAE =30°，∵AB =16，∴BE =12AB =8，∴AE =AB 2-BE 2=162-82=83，∵BD =10，∴DE =BD -BE =10-8=2，∴AD =AE 2+DE 2=83 2+22=14，∵S △ABD=12AD ⋅BF =12BD ⋅AE ，∴BF =BD ⋅AE AD =10×8314=4037，∴sin ∠BAD =BF AB=403716=5314；如图2，点D 在线段BC 的反向延长线上，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点B 作BF ⊥AD 于点F ，在△ABE 中，∠ABC =60°，∠AEB =90°，∴∠BAE =30°，∵AB =16，∴BE =12AB =8，∴AE =AB 2-BE 2=162-82=83，∵BD =10，∴DE =BD +BE =10+8=18，∴AD =AE 2+DE 2=83 2+182=2129，∵S △ABD=12AD ⋅BF =12BD ⋅AE ，∴BF =BD ⋅AE AD =10×832129=404343，∴sin ∠BAD =BF AB =40434316=54386；综上可知，sin ∠BAD 的值为5314或54386．故答案为：5314或54386【点睛】此题考查了求锐角三角函数、勾股定理、含30°角的直角三角形等知识，分类讨论是解题的关键．【考点三求角的余弦值】1(2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，CD ⊥AB 于点D ，则cos ∠ACD 的值为．【答案】45【分析】根据勾股定理求出AB =AC 2+BC 2=5，通过证明∠ACD =∠B ，即可得出cos ∠ACD =cos B=BC AB=45．【详解】解：∵∠ACB =90°，AC =3，BC =4，∴AB =AC 2+BC 2=5，∵CD ⊥AB ，∴∠ACD +∠A =90°，∵∠A +∠B =90°，∴∠ACD =∠B ，∴cos ∠ACD =cos B =BC AB=45，故答案为：45．【点睛】本题主要考查了勾股定理，求余弦，解题的关键是掌握勾股定理的内容，以及等角的三角函数值相等．【变式训练】1(2023秋·九年级课时练习)如图，△ABC 在网格内，则cos ∠BAD =．【答案】1010/11010【分析】延长AD 到格点E ，使AD =DE ，连接CE ，取CE 的中点F ，且点F 在格点上，连接AF ，证明AE =AC ，根据EF =CF ，得出AF ⊥CE ，证明△ABD ≌△CED ，得出∠BAD =∠CED ，求出cos ∠AEF =EF AE =225=1010，即可得出cos ∠BAD =cos ∠CED =1010．【详解】解：延长AD 到格点E ，使AD =DE ，连接CE ，取CE 的中点F ，且点F 在格点上，连接AF ，如图所示：∵AE =42+22=25，AC =42+22=25，∴AE =AC ，∵EF =CF ，∴AF ⊥CE ，∵AD =CD ，∠ADB =∠CDE ，BD =CD =3，∴△ABD ≌△CED ，∴∠BAD =∠CED ，∵EF =12+12=2，∴在Rt △AEF 中，cos ∠AEF =EF AE =225=1010，∴cos ∠BAD =cos ∠CED =1010．故答案为：1010．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键．2(2022春·九年级单元测试)(1)如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC =4，BC =3．则cos ∠BCD 的值是；(2)在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，AC =24，AD =163，则cos ∠CAB =．【答案】 45/0.812/0.5【分析】(1)先利用勾股定理可得AB =5，再根据直角三角形的性质可得∠BCD =∠A ，然后根据余弦的定义即可得；(2)如图(见解析)，根据特殊角的余弦值可得∠1=∠2=30°，从而可得∠CAB =60°，由此即可得．【详解】解：(1)∵∠ACB =90°，AC =4，BC =3，∴AB =AC 2+BC 2=5，∠ACD +∠BCD =90°，∵CD 是Rt △ABC 斜边上的高，∴∠ACD +∠A =90°，∴∠BCD =∠A ，∴cos ∠BCD =cos ∠A =AC AB=45，故答案为：45；(2)如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，AC =24，AD =163，∴∠1=∠2，cos ∠1=AC AD=32，∴∠1=∠2=30°，∴∠CAB =∠1+∠2=60°，∴cos ∠CAB =cos60°=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了余弦，熟练掌握余弦的定义是解题关键．【考点四求角的正切值】1(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试)在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12，AC =5，则tan B 的值为．【答案】512【分析】直接利用正切的定义求解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∴tan B=ACBC =5 12．故答案为：512．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义是答题的关键．【变式训练】1(2023秋·吉林长春·九年级统考期末)如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么tan∠AOB的值为．【答案】1【分析】连接AB，根据勾股定理可求出OA=AB=10，OB=25，从而得出OA2+AB2=OB2，则根据勾股定理逆定理可得出△OAB为直角三角形，且∠OAB=90°，最后根据正切的定义求解即可．【详解】解：如图，连接AB．由图可知OA=12+32=10，AB=12+32=10，OB=22+42=25，∴OA2+AB2=OB2，∴△OAB为直角三角形，且∠OAB=90°，∴tan∠AOB=1010=1．故答案为：1．【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理，正切的定义．正确的作出辅助线是解题关键．2(2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考阶段练习)如图所示，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿直线AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则tan∠DAE的值为．【答案】13【分析】首先利用勾股定理求得BF =4，设DE =x ，则EF =x ，EC =3-x ，在Rt △EFC 中，由勾股定理得，12+3-x 2=x 2，求出DE =53，再利用正切的定义求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B =∠C =∠D =90°，AD =BC =5，AB =CD =3，由翻折变换可知，AD =AF =5，DE =EF ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得，BF =AF 2-AB 2=52-32=4，∴FC =BC -BF =5-4=1，设DE =x ，则EF =x ，EC =3-x ，在Rt △EFC 中，由勾股定理得，12+3-x 2=x 2，解得：x =53，即DE =53，在Rt △ADE 中，tan ∠DAE =DE AD =535=13，故答案为：13．【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题和锐角三角函数，解决问题的关键是分清折叠前后的对应关系，用勾股定理建立方程．【考点五已知正弦值求边长】1(2023·辽宁抚顺·统考三模)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，sin B =32，则AB 的长为()A.1B.2C.3D.23【答案】B【分析】根据∠ACB=90°，sin B=ACAB=32，即可求解．【详解】解：∵sin B=32，∠ACB=90°，AC=3，∴sin B=ACAB =3AB=32，解得：AB=2，故选：B．【点睛】本题主要考查了已知正弦值求边长，解题的关键是熟练掌握直角三角形中的锐角的正弦等于该角的对边与斜边之比．【变式训练】1(2023秋·九年级课时练习)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=35，BC=6，则AC的长为()A.6B.8C.10D.12【答案】B【分析】先根据正弦函数得出sin A=BCAB=35，求出AB=10，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，sin A=35，BC=6，∴sin A=BCAB =35，∴AB=10，∴AC=AB2-BC2=102-62=8，故选：B．【点睛】本题考查了正弦函数，掌握三角函数的定义是解题的关键．2(2023秋·九年级课时练习)如图，在△ABC中，BC=9，AD⊥BC交BC的延长线于点D，已知∠ACD=2∠B，sin∠ACD=23，则AD的长为()A.35B.5C.6D.无法计算【答案】C【分析】根据三角形的外角的性质以及已知条件，可得∠B=∠BAC，进而可得CB=CA=9，根据正弦的定义，即可求解．【详解】解：∵∠ACD=2∠B=∠B+∠BAC，∴∠B=∠BAC，∴CB=CA=9，∵AD⊥BC，sin∠ACD=23，∴sin∠ACD=ADAC =23，∴AD=23×9=6，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，等角对等边，正弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．【考点六已知余弦值求边长】1(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习)已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cos A=35，AB=15，则AC的长是( )．A.3B.6C.9D.12【答案】C【分析】根据余弦的定义可得cos A=ACAB=35，再代入数据可得答案．【详解】解：∵∠C=90°，cos A=35，AB=15，∴cos A=ACAB =35，∴AC=35×15=9，故选C【点睛】本题考查的是已知锐角的余弦求解边长，熟记三角函数的定义是解本题的关键．【变式训练】1(2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考阶段练习)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC于点F，cos∠ADE=32，DF=4，则BF的长为()A.23B.4C.43D.8【答案】C【分析】由直角三角形斜边上中线的性质可求得AB，再由余弦定义即可求得结果．【详解】解：∵D、E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，∴AB=2DF=8，DE∥BC，∴∠ABF=∠ADE，∴cos∠ADE=cos∠ABF=32，在Rt △ABF 中，cos ∠ABF =BF AB=32，∴BF =32AB =32×8=43；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，余弦函数，掌握这些知识是关键．2(2023·广西北海·统考模拟预测)如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥AB ，BD ⊥AD ，CD ∥AB ，且BD =3，cos ∠CDB =23，则下底AB 的长是()A.212B.955C.92D.154【答案】C【分析】根据题意得出CD =2，∠ADB =∠BCD =90°,∠ABD =∠BDC ，然后可得△ADB ∽△BCD ，然后问题可求解．【详解】解：∵BD =3，cos ∠CDB =23，BC ⊥AB ∴CD =BD ×cos ∠CDB =2，∵BC ⊥AB ，BD ⊥AD ，CD ⎳AB ，∴∠ADB =∠BCD =90°,∠ABD =∠BDC ，∴△ADB ∽△BCD ，∴AB BD =BD CD ，即BD 2=AB ⋅CD ，∵BD =3，CD =2，∴AB =BD 2CD =92；故答案为92．【点睛】本题主要考查，已知余弦求边长，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．【考点七已知正切值求边长】1(2023·陕西咸阳·统考二模)如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，D 是AC 的中点，BC =4，tan ∠CAB =12，则AD 的长为()A.1B.2C.4D.8【答案】C【分析】利用正切的定义求得AC =2BC =8，再根据中点的意义即可求解．【详解】解：∵∠C =90°，BC =4，tan ∠CAB =12，∴tan ∠CAB =BC AC=12，∴AC =2BC =8，∵D 是AC 的中点，∴AD =12AC =4，故选：C ．【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握“正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值”是解题的关键．【变式训练】1(2023·山东聊城·统考二模)在如图矩形ABCD 中，已知MN 丄MC 且M 为AD 的中点，AN =2，tan ∠MCN =14，则AB 等于()A.32B.28C.36D.40【答案】A【分析】通过证得△AMN ∽△DCM ，根据对应边成比例求出MD ，证明△AMN ∽△DCM 根据对应边成比例求出CD 即可．【详解】解：∵MN ⊥MC ，tan ∠MCN =14，∴MN MC=14，∵∠AMN +∠DMC =90°，∠AMN +∠ANM =90°，∴∠ANM =∠DMC ，∵∠A =∠D =90°，∴△AMN ∽△DCM ，∴AN DM =MN MC=14，∵AN =2，∴MD =8，∵M 为AD 的中点，∴AM =8，∵△AMN ∽△DCM ，∴AM DC =MN CM=14，∴8DC=14，∴DC =32，∴AB =32．故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等，证得三角形相似是解题的关键．2(2023·江苏·模拟预测)如图，△ABC 中，∠B =90°，tan A =12，点D 是AB 的中点，点E 在线段AC 上，AD AB =DE BC ，则AEAC的值为()A.12或310B.12C.12或14D.12或58【答案】A【分析】由题可求出DE =12BC ，取AC 中点E ，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，满足DE 1=12BC ，进而可求此时AE 1AC=12，然后在AC 上取一点E 2，使得DE 1=DE 2，则△DE 1E 2是等腰三角形，再利用同角的三角函数相等，设ME 1=ME 2=x ，即可解答．【详解】解：∵D 为AB 中点，AD AB=DE BC =12，∴DE =12BC ，取AC 中点E ，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，此时DE 1∥BC ，DE 1=12BC ，∴AE 1AC =AD AB=12，在AC 上取一点E 2，使得DE 1=DE 2，则△DE 1E 2是等腰三角形，过点D 作DM ⊥AC ，则ME 1=ME 2，∵∠B =90°，DE 1∥BC ，∴∠A +∠AE 1D =90°，∠MDE 1+∠ME 1D =90°∴∠A =∠MDE 1∵tan A =12，∴tan ∠MDE 1=12设ME 1=ME 2=x ，则DM =2x ，DE 1=DE 2=5x ，E 1E 2=2x ，∵DE 1=12BC ，∴BC =25x ，∵tan A =12∴AB =45x ，AC =10x ∵AE 1AC=12∴AE 1=5x∴AE 2=AE 1-E 1E 2=5x -2x =3x ∴AE 2AC=3x 10x =310故选：A ．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质以及解直角三角形，根据DE =12BC 进行分情况求解是解题的关键．【考点八30°，45°，60°角的三角函数值】1(2023秋·吉林长春·九年级统考期末)sin60°的值等于( )A.33B.32C.22D.12【答案】B【分析】根据特殊锐角60°的三角函数正弦值得出答案．【详解】解：sin60°=32，故选：B ．【点睛】本题考查特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是解题关键．【变式训练】1(2023秋·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习)tan30°的值等于()A.33B.32C.1D.3【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】解：tan30°=33．故选：A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．2(2023春·北京西城·九年级北京四中校考开学考试)计算：sin30°=，tan45°=．【答案】 121【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】∵sin30°=12，tan45°=1，故答案为：12，1．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．3(2023春·九年级单元测试)在△ABC 中，若sin A -22+cos B -222=0，则∠C 的度数是【答案】75°【分析】根据非负数的性质求出∠A 和∠B 的度数，然后求出∠C 的度数．【详解】解：由题意得，sin A -32=0，cos B -22=0，则sin A =32，cos B =22，∴∠A =60°，∠B =45°，则∠C =180°-60°-45°=75°．故答案为：75°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．【考点九与特殊角的三函数有关的计算题】1(2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习)计算：13-1+sin45°-π+1 0+3tan60°【答案】5+22【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，进行计算即可求解．【详解】解：13 -1+sin45°-π+1 0+3tan60°=3+22-1+3×3=5+22．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂是解题的关键．【变式训练】1(2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习)计算：24×23-2tan30°⋅sin60°+2-20．【答案】4【分析】根据二次公式的乘法，特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，进行计算即可求解．【详解】解：24×23-2tan30°⋅sin60°+2-2 0=24×23-2×33×32+1=4-1+1=4【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次公式的乘法，特殊角的锐角三角函数值，零指数幂是解题的关键．2(2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习)计算：cos30°-2π-10+12-1-tan60°．【答案】-3 2【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后合并即可解题．【详解】解：cos30°-2π-10+12-1-tan60°=32-2+2-3=-32．【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．3(2023·西藏·统考中考真题)计算：1 2-2+2sin45°-(2-1)0-327．【答案】2【分析】根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，结合特殊角的三角函数值以及开立方的知识，计算即可作答．【详解】1 2-2+2sin45°-(2-1)0-327=4+2×22-1-3=2．【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键．【过关检测】一、单选题1(2023·湖南永州·统考三模)下列求三角函数值，正确的是()A.sin30°=12B.cos30°=12C.sin60°=12D.tan30°=12【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值，逐项分析判断即可求解．【详解】A. sin30°=12，故该选项正确，符合题意；B. cos30°=32，故该选项不正确，不符合题意；C. sin60°=32，故该选项不正确，不符合题意；D. tan30°=33，故该选项不正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．2(2023·上海·九年级假期作业)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则下列关系正确的是()A.sin A=BCAC B.tan B=ACABC.cos A=CDACD.sin B=CDBC【答案】D【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴sin A=BCAB，故A错误，不符合题意，tan B=ACBC，故B错误，不符合题意，cos A=ADAC，故C错误，不符合题意，sin B=CDBC，故D正确，符合题意，故选D．【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边．3(2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习)如图，△ABC在网格(小正方形的边长均为1)中，则cos∠ABC的值是()A.34B.43C.35D.45【答案】D【分析】如图所示，取格点D，连接AD，CD，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABD中，根据余弦的定义求出cos∠ABD的值即可得到答案．【详解】解：如图所示，取格点D，连接AD，CD，由网格的特点可知B、C、D三点共线，且AD⊥BD，∵AD=3，BD=4，∴AB=AD2+BD2=5，在Rt△ABD中，cos∠ABD=BDAB=45，即cos∠ABC=45，故选D．【点睛】本题主要考查了求一个角的余弦值，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4(2023春·广东江门·八年级校联考期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，将其如图折叠使点A与点B重合，折痕为DE，连接BE，则tan∠CBE的值为()A.247B.73C.724D.13【答案】C【分析】根据图形翻折变换性质得到BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8-x，再根据勾股定理求出x的值，再由锐角三角函数的定义得到答案．【详解】解：∵△BDE由△ADE翻折而成，∴BE=AE．设CE=x，则BE=AE=8-x，在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，即62+x2=(8-x)2，解得x=7 4，∴tan∠CBE=CEBC =746=724．故选：C．【点睛】本题主要考查翻折变换，锐角三角函数的定义，熟知图形翻折不变性是解题的关键．5(2023秋·河北石家庄·九年级校联考阶段练习)如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离OP =3，线段OP与x轴正半轴的夹角为α，且cosα=23，则点P的坐标是()A.(2,3)B.(2,3)C.(5,2)D.(2,5)【答案】D【分析】作PB⊥x轴于点B，如图，先根据余弦的定义求出OB，再利用勾股定理求出PB，进而得解.【详解】解：作PB⊥x轴于点B，如图，∵cosα=OBOP =23，OP=3，∴OB=2，∴PB=32-22=5，∴点P的坐标是(2,5)；故选：D.【点睛】本题考查了余弦的定义和勾股定理，熟知余弦的定义是解题的关键.6(2023·陕西咸阳·校考一模)如图，在矩形ABCD中，连接AC，点E是BC上一点，连接AE，若S△ABE=9，AB=6，CE=5，则sin∠ACD的值为()A.35B.34C.45D.23【答案】C【分析】由矩形的性质得 ∠B=∠D=90°，再由12AB⋅BE=9，求得BE=3，即可求得BC的长为8，根据勾股定理求得AC的长为10，即可求得sin∠ACD=4 5．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=90°，∵S△ABE=9,AB=6,CE=5，∴12AB⋅BE=9，∴12×6BE=9，∴BE=3，∴AD=BC=BE+CE=3+5=8，∴AC=AB2+BC2=62+82=10，∴sin∠ACD=ADAC =810=45，故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是根据面积等式求出BE的长进而求出AC的长．二、填空题7(2023春·天津和平·九年级天津一中校考阶段练习)sin45°=；cos60°=；tan30°=【答案】2212/0.533【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：sin45°=22，cos60°=12，tan30°=33，故答案为：22；12；33．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．8(2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习)在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =35，BC =6，则AB =．【答案】10【分析】根据正弦的概念，即可解答．【详解】解：∵∠C =90°，sin A =BC AB=35，BC =6，∴AB =10，故答案为：10．【点睛】本题考查了已知正弦值求边长，熟知概念是解题的关键．9(2023秋·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习)将∠BAC 放置在4×4的正方形网格中，顶点A 、B 、C 在格点上．则sin ∠BAC 的值为．【答案】22/122【分析】如图所示，连接BC ，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△ABC 是等腰直角三角形，进而得到∠BAC =45°，再根据45度角的正弦值为22即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接BC ，由网格的特点可知AB 2=BC 2=12+32=10，AC 2=22+42=20，∴AB 2+BC 2=AC 2，∴△ABC 是等腰直角三角形，且∠ABC =90°，∴∠BAC =45°，∴sin ∠BAC =sin45°=22，故答案为：22．【点睛】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明△ABC 是等腰直角三角形是解题的关键．10(2023秋·四川成都·九年级校考开学考试)如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则tan ∠ACB 的值为．【答案】13【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【详解】解：由图形知：tan ∠ACB =26=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．11(2023秋·全国·九年级专题练习)如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，点G 为△ABC 的重心，若AC =6，tan ∠ABG =13，那么BC 的长等于．【答案】313【分析】点G 为△ABC 的重心，就是三角形的三条中线交点，因此延长BG 交AC 于点D ，利用中线的定义求出AD ，利用正切的定义求出AB ，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解：延长BG 交AC 于点D ，∵点G 为△ABC 的重心，∴BD 是中线，∴AD =12AC =3，∵tan ∠ABG =13∴AD AB=13，∴AB =9，∴BC =AB 2+AC 2=313，故答案为：313．【点睛】本题考查了重心概念、正切的定义以及勾股定理等知识，根据重心概念添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．12(2023春·江苏无锡·九年级统考期中)如图，点D 在射线BC 上移动(不含B 点)，Rt △ABC ∽Rt △ADE ，∠ACB =90°，AB =10，BC =8，(1)tan ∠ACE =；(2)若S △CDE =3.6时，则BD =．【答案】 343或5【分析】(1)根据Rt △ABC ∽Rt △ADE 得到AB AD =AC AE ，∠BAC =∠DAE ，即可得到∠BAD =∠CAE ，AB AC =AD AE，即可得到△BAD ∽△CAE ，即可得到∠ABD =∠ACE ，即可得到答案；(2)设BD =x ，根据(1)可设CF =3a ，EF =4a ，则CE =5a ，结合△BAD ∽△CAE ，得到a 与x 之间的关系，根据面积列方程即可得到答案；【详解】解：∵Rt △ABC ∽Rt △ADE∴AB AD =AC AE ，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ，AB AC =AD AE，∴△BAD ∽△CAE ，∴∠ABD =∠ACE ，∵AB =10，BC =8，∴AC =102-82=6，∴x 1=5故答空1答案为：34，过EF ⊥BC 交BC 于点F ，设BD =x ，CF =3a ，EF =4a ，∴CE =5a ，∵△BAD ∽△CAE ，∴AB AC =BD CE ，∴106=x 5a ，∴a =325x ，∵S △CDE =3.6，∴12×(8-x )×4×325x =3.6，解得：x 1=5，x 2=3，故答空2答案为：3或5；【点睛】本题主要考查相似三角形判定与性质及解直角三角形，解题的关键是得到△BAD ∽△CAE 的条件．三、解答题13(2023·四川德阳·统考二模)计算：π-5 0+1-2 +2cos45°-8+-13 -1．【答案】-3【分析】利用零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂进行化简，再计算加减即可得到答案．【详解】解：π-5 0+1-2 +2cos45°-8+-13-1=1+2-1+2×22-22+-3 =1+2-1+2-22-3=-3．【点睛】本题主要考查了零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．14(2023·上海·九年级假期作业)如图，在Rt △MNP 中，∠MPN =90°，PQ ⊥MN ，垂足为点Q ．(1)tan M = MQ =NP ．(2)PQ QN =，MP PN=．(用正切或余切表示)【答案】(1)PQ ；MP(2)tan N ；tan N【分析】(1)根据角的正切值可进行求解；(2)根据角的正切值可进行求解【详解】(1)解：由题意得：tan M =PQ MQ=NP PM ；故答案为PQ ；MP ；(2)解：由题意得：PQ QN=tan N ，MP PN =tan N ；故答案为tan N ；tan N【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握“直角三角形中一个锐角A 的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切(tan A )”是解题的关键．15(2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试)(1)计算：|-2|+13 -1-3-2010 0-3⋅tan60°．(2)计算：18-4cos45°--12 -2-1-2 ．(3)计算：|-4|-2cos60°+3-2 0--13 -2(4)计算：-1 +-12-2+3tan30°+2020-π 0【答案】(1)1(2)-3(3)-5(4)7【分析】(1)根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂及特殊角的三角函数值先求解，再由二次根式乘法及有理数加减运算求解即可得到答案；(2)根据二次根式性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂和绝对值运算先求解，再由二次根式混合运算求解即可得到答案；(3)根据绝对值运算、特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂先求解，再由有理数的混合运算求解即可得到答案；(4)根据绝对值运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和零指数幂先求解，再由二次根式乘法及有理数加减运算求解即可得到答案．【详解】解：(1)|-2|+13-1-3-2010 0-3⋅tan60°=2+3-1-3×3=4-3=1；(2)18-4cos45°--12 -2-1-2 =32-4×22-4-2-1 =32-22-4-2+1=-3；(3)|-4|-2cos60°+3-2 0--13 -2=4-2×12+1-9=4-1+1-9=-5；(4)-1 +-12 -2+3tan30°+2020-π 0=1+4+3×33+1=5+1+1=7．【点睛】本题考查实数运算，涉及绝对值运算、负整数指数幂、零指数幂及特殊角的三函数值，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．16(2023·广东湛江·统考一模)如图，△ABC 中，∠BCA =90°，CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA ,BC 的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE ．(1)求证：四边形ADCE 是菱形；(2)若AC =2DE ，求sin ∠CDB 的值．【答案】(1)见解析；(2)45．【分析】(1)根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；(2)过点C 作CF ⊥AB 于点F ，设BC =x ，则AC =2x ，由面积相等求出CF ，即可求解．【详解】(1)证明：∵DE ∥BC ,CE ∥AB ，∴四边形DBCE 是平行四边形．∴CE =BD ，又∵CD 是边AB 上的中线，∴BD =AD ，∴CE =DA ，又∵CE ∥DA ，∴四边形ADCE 是平行四边形．∵∠BCA =90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴AD =CD ，∴四边形ADCE 是菱形；(2)解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，如图，由(1)可知，BC =DE ，设BC =x ，则AC =2x ，在Rt △ABC 中，AB =AC 2+BC 2=5x ，∵12AB •CF =12AC •BC ，∴CF =AC ⋅BC AB=255x ．∵CD =12AB =52x ，∴sin ∠CDB =CF CD=45．【点睛】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理，注意准确作出辅助线是解此题的关键．17(2023·广东河源·二模)如图，矩形ABCD 中，BC <2AB ，点M 是BC 的中点，连接AM ．将△ABM 沿着AM 折叠后得△APM ，延长AP 交CD 于E ，连接ME ．(1)求证：△EMC ∽△ABM ；(2)设CE DE=λ，若sin ∠EAM =35，求λ的值．【答案】(1)证明见解析(2)97【分析】(1)证明Rt△MPE≌Rt△MCE HL，得出PE=CE，∠PME=∠CME，证明∠BAM=∠EMC，根据∠B=∠C=90°，得出△EMC∽△ABM；(2)根据三角函数定义得出BMAM =35，设BM=3k，则AM=5k，根据勾股定理得出AB=AM2-BM2=4k，根据△EMC∽△ABM，得出ABCM =BMEC，即4k3k=3kEC，得出EC=94k，求出DE=CD-EC=4k-9 4k=74k，得出λ的值=CEDE=94x74k=97．【详解】(1)证明：由题意得：△ABM≌△APM，∴∠AMB=∠AMP，BM=PM，∠ABM=∠APM=90°，∵点M是BC的中点，∴BM=CM，∴PM=CM，在Rt△MPE和Rt△MCE中，PM=CMME=ME，∴Rt△MPE≌Rt△MCE HL，∴PE=CE，∠PME=∠CME，∵∠AMB+∠AMP+∠PME+∠CME=180°，∴∠AMB+∠EMC=90°，∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠BAM=∠EMC，∵∠B=∠C=90°，∴△EMC∽△ABM；(2)解：由题意得：∠BAM=∠EAM，∵sin∠EAM=35，∴sin∠BAM=35，∵sin∠BAM=BMAM，∴BM AM =35，设BM=3k，则AM=5k，∴AB=AM2-BM2=4k，∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=4k，∵点M是BC的中点，∴CM=BM=3k．由(1)知：△EMC∽△ABM，∴AB CM =BMEC，∴4k 3k =3k EC，∴EC=94k，∴DE =CD -EC =4k -94k =74k ，∴λ的值=CE DE =94x 74k =97．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．18(2023秋·山西运城·九年级统考期末)综合与实践问题情境如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，点D 是AC 上一点，将△BCD 沿直线BD 折叠，点C 落在AB 上的点E ，连接DE ．独立思考(1)如图1，求tan ∠DBC 的值；问题拓展如图2，点F 是图1中AB 上一动点，连接CF ，交BD 于点G ．(2)当点F 是AB 的中点时，求证：DG BG =49；(3)当点G 是BD 的中点时，请你直接写出AF BF的值．【答案】(1)13；(2)见解析；(3)94【分析】(1)由折叠性质可知DE =CD ，利用等面积求出CD 长即可；(2)添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可证明；(3)作平行线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可求解．【详解】解：(1)方法一：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =AC 2+BC 2=32+42=5，由折叠可知：DC =DE ，∵S △ABC =S △ABD +S △BCD ，∴12BC ·AC =12BC ·CD +12AB ·DE ，∴12×3×4=12×4CD +12×5DE ，∴CD =43，在Rt △BCD 中，∠C =90°，tan ∠DBC =CD BC=434=13，方法二：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =AC 2+BC 2=32+42=5，由折叠可知：DC =DE ，BC =BE ，∠C =∠DEB =90°，。
特殊角的锐角三角函数课件
正弦函数图像
正弦函数的图像是一个周期为360°的波形曲线，在每个周期内有一个或多个峰值和谷值。在特殊角下，正弦函数的图像具有特定的形状和位置。
正切函数图像
正切函数的图像是一个周期为180°的折线图，在每个周期内有一个或多个尖点和拐点。在特殊角下，正切函数的图像具有特定的形状和位置。
02
CHAPTER
总结词
通过设定未知系数来解决问题，然后通过解方程找到这些系数。
要点一
要点二
详细描述
待定系数法是一种常见的数学解题技巧，适用于许多数学问题，包括特殊角的锐角三角函数问题。通过设定未知系数，可以将问题转化为解方程的问题，从而更容易找到解决方案。在特殊角的锐角三角函数问题中，待定系数法可以帮助我们将角度或函数表示为易于计算的形式，然后通过解方程找到这些系数。
特殊角的锐角三角函数应用
已知两边及其夹角，求解三角形
利用正弦定理或余弦定理，可以求解三角形的其他两边或角度。
已知三边，求解三角形的角度
利用余弦定理和三角函数的基本关系式，可以求解三角形的三个内角。
通过三角函数的性质和图像，可以求出三角函数的最值。
最大值与最小值
在物理、工程等领域中，可以利用三角函数的最值来解决实际问题。
总结词
详细描述
THANKS
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cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ
sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ
cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ
倍角正弦公式
sin2α = 2sinαcosα
sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2]
半角正弦公式
沪科版九年级数学上册2锐角的三角函数(第3课时特殊角的三角函数值)课件
B
2a
a
45.0
A
C
a
Sin45°=
A 的 对 边 斜边
2 2
cos45°=
A的邻边 2
斜边
2
tan45°=
A的对边 1 A 的邻边
归纳
特殊角的三角函数值
30o
45o
sinα
1 2
2 2
cosα
3 2
2 2
3
tanα
3
1
60o
3 2
1 2
3
讨论：
30o
45o
sinα
1 2
2 2
cosα
3
2
公式一
2、三角公式
当∠A+∠B=90°时
B
c
a
┌
A
b
C
sinA=cosB cosA=sinB
tanA . tanB=1
公式二
sin2 A cos2 A 1 tan A sin A cos A
新知探究
已知Rt△ABC中，∠A=30°
B
a
2a
Sin30°=
A的对边 1
斜边
2
C
30.0 A
3a
60o
3 2
1 2
3
角度逐 渐增大
正切值 也增大
讨论： 锐角A的正弦值、余弦值有无变化范围？
30o
1
sinα 2
cosα 3 2 3
tanα 3
45o
2 2
2 2
1
60o
3 2
1 2
3
0< sinA<1 0<cosA<1
归纳
专题01 锐角三角形函数和特殊角的三角函数值(解析版)(重点突围)
专题01锐角三角形函数和特殊角的三角函数值考点一正弦、余弦、正切的概念辨析考点二求角的正弦值、余弦值、正切值考点三已知正弦值、余弦值、正切值求边长考点四求特殊角的三角函数值考点一正弦、余弦、正切的概念辨析A．sinBCAAB=B．【变式训练】A．CDACB．BDCB【答案】C【分析】根据已知可得∠B=∠ACD 【详解】A．∵CD⊥AB，考点二求角的正弦值、余弦值、正切值【变式训练】【答案】5 5【分析】连接AC，根据格点特点得出答案．(1)求证：四边形OCEB是矩形；AB=，(2)连接DE，当5【答案】(1)见解析Q 四边形ABCD 是菱形，OA OC \=，OB OD =在Rt AOB △中，5AB =考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长Q ∠C ＝90°，AB ＝sin 8BC BC A AB \===解得：6BC =，故选：A ．【变式训练】【答案】5【分析】根据5sin 13A =，可设【详解】解：∵5sin A =，sin【点睛】本题考查锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的计算是解答本题的关键．3．（2022·安徽宿州【答案】46【分析】首先根据考点四求特殊角的三角函数值【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【变式训练】化简．A．43B【答案】B【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得A．55【答案】D【分析】先根据圆周角定理可得【答案】1【分析】连接AB ，由勾股定理求得【详解】解：连接AB 由勾股定理得：AB ＝∴AB ＝AO ，22OA AB +∴△ABO 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，∴tan tan 45AOB а=＝【答案】53【分析】根据直角三角形的边角关系可求出MC NC MN 、、，再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出【详解】解：在ABC V 中，=90C Ð∴10BCAB ==，2AC AB BC =-【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提，用含有数式表示MC、NC、MN是正确解答的关键．三、解答题11．（2022·吉林·长春市第五十二中学九年级阶段练习）计算：【答案】4sin 5B =(1)求证：AE=AC；(2)若cos∠E=35，CE=12，求矩形【答案】(1)见解析(2)矩形ABCD的面积为48(1)求证：△ABE∽△DEC(2)当AD=25时，且AE＜DE时，求(3)当BP=9时，求BE·EF的值.【答案】(1)见详解1∥，BF=PG=BP=9，AB=12∵BE PG∴四边形BPGF是菱形，∥，GF=BP=9，∴BP GF∴∠GFE=∠ABE，(1)求证：AM FM=；(2)如图2，若点B¢恰好落在对角线AC上，求tan F的值；(3)当2BE CE=时，求线段AM的长．【答案】(1)见解析；(2)1 tan2F=；(3)线段AM的长为14518或736．由AB CF ∥，,ABE FCE BAE \Ð=ÐÐΔΔABE FCE \∽，\2AB BE CF CE ==，即6CF=由AB CF ∥：,ABE FCE BAE CFE\Ð=ÐÐ=ÐΔABE FCE \D ∽，\2AB BE CF CE ==，即62CF=，3CF \=，则633DF =-=，解题时注意分类思想与方程思想的运用．。
第2节 特殊角三角函数值及锐角三角函数性质
第2节 特殊角三角函数值及锐角三角函数性质※知识要点1．，的增大而 ， c osα 随着α 的增大而 ；(4)商数关系： ； (5)平方关系： ； ※题型讲练【例1】已知如图，△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，CD ⊥AB ，若顶角∠A ＝45°． (1)求∠BCD 的度数； (2)利用图像求tan 22.5°的值． 变式训练1：1．试设计图形求75°角的三角函数值． 【例2】计算下列各式的值：(1) tan 30°－sin 60°·sin 30° (2) 2sin 60°－cos 30°·tan 45° (3)变式训练2：1．计算：2－1－3tan 30°＋(2－1)0＋12＋cos 60°2．在△ABC 中，|tanA －1|＋(cosB － )2＝0，BC =4cm ， (1)求∠C 的度数； (2)求AC 和AB 的长． 【例3】计算下列各题： (1)sin 35°cos 55°十cos 35°sin 55° (2)sin 18°+tan 53°tan 37°－tan 45°cos 72° 变式训练3：1．若sin (90°－α)=0.618，则cos α= ；2．若12 < cosα <32，则锐角α的取值范围是 ；3．将下列三角函数用“>”连接起来： (1)sin 42°、cos 42°、sin 64°、cos 50°； (2)sin 53°、cos 53°、tan 53°、tan 62°；【例4】已知锐角α满足tanα=2，求下列各式的值：(1) (2)变式训练4：1．已知α为锐角，且sinα－cosα= ，求sinαcosα的值．2．已知锐角α满足sinα=1－m ，cosα=2m ，求m 的值．※课后练习1．|－cos 30°|的相反数是( )A ．12B ．－22C ．－32 D ． 32．计算2sin 60°－cos 30°·tan 45°的结果为( ) A ． 3 B ．32 C ．－32D ．0 3．如果△ABC 中，sin A ＝cos B ＝22，下列说法正确是( ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形 4．如图所示，在数轴上点A 所表示的数x 的范围是( ) A ．32sin 30°<x <sin 60° B ．cos 30°<x <32cos 45°C ． 32tan 30°<x <tan 45°D ．32tan 45°<x <tan 60°5．在△ABC 中，若∠A 、∠B 满足|cosA －12|＋(1－tanB )2＝0，则∠C 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105° 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝60°，下列说法错误的是( ) A ．sinA =cosB B ．tanA ·tanB =1 C ．cosB =tanA ·sinA D ．cosA =tanB ·cosB7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sinA ＝_________，cosA ＝_________，tanA ＝_________， sinB ＝_________，cosB ＝_________，tanB ＝_________． 8．比较下列各组数的大小：(1)sin 26° cos 26°； (2)cos 74° tan 50°． 9．当锐角α满足下列条件时，分别求角α的取值范围： (1)若cosα＜12，则角α 的取值范围是 ；(2)若sin α＜12，则角α 的取值范围是 ；(3)若1＜tan α＜3，则角α 的取值范围是 ． 10．计算下列各题： (1)2cos 30°－tan 45°－－2(2)|－2|＋2sin 30°－(－3)2＋(tan 45°)－1 11．计算下列各题：(1)tan 36°tan 54°－cos 72°+sin 18°(2)46sin 46tan ·sin4480cos 10sin 2- 12．已知：如图 ，在△ABC 中，BC ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝45°， 求BC 边上的高AD 的长．13．已知锐角α满足sinα=4m ，cosα=1－2m ，求tanα 的值． 14．经查，三角函数公式：sin (α＋β)＝sin αcos β+cos αsin β； 请利用公式计算sin 75°的值．15．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求：(1)∠D 及∠DBC ； (2)tanD 及tan ∠DBC ； (3)请用类似的方法求tan 22.5°．ααααcos sin 2cos 2sin -+αααααcos sin sin 2cos sin 222+-51( )。
锐角三角函数及特殊角的三角函数值
锐角三角函数及特殊角的三角函数值【教学建议】本节内容较简单，把定义讲透，加强对复杂图形中的三角函数问题的解题示范。
1．正切、正弦、余弦：如下图所示，在Rt △ABC 中，∠C =90°，①正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA=A ac ∠的对边斜边．②余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=A bc ∠的邻边斜边．③正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA =A aA b∠的对边∠的邻边．2．坡度：如图：AB 表示水平面，BC 表示坡面，我们把水平面AB 与坡面BC 所形成的ABC 称为坡角.教学过程一、导入 二、知识讲解知识点1 正切、正弦、余弦一般地，线段BE 的长度称为斜坡BC 的水平宽度，线段CE 的长度称为斜坡BC 的铅垂高度。
如图；坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），用ι表示，记作=ιh:l,坡度通常写成1：m 的形式（m 可为小数）。
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
于是tan hi lα==，显然，坡度越大，α越大，坡面就越陡.三角函数︒30 ︒452.运算的顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级运算从左到右依次进行.3.强调：（sin 60°）2用sin 260°表示，即为（sin 60°）·（sin 60°）．【题干】若△ABC 在正方形网格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）知识点2 30°、45°、60°角的三角函数值及其运算 三、例题精析例题1A ．2B ．12CD ．1【答案】D【解析】根据图形可知∠α的对边及邻边的值，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 解：根据图形可知：△ABC 是直角三角形，且AC =3，BC =3． 根据勾股定理得到AB ， 则tan α=ACBC=1． 故选D ．【题干】如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB =4，BC =5，则tan ∠AFE 的值为（ ）A ．43B ．35C ．34D ．45【答案】C【解析】由四边形ABCD 是矩形，可得：∠A =∠B =∠D =90°，CD =AB =4，AD =BC =5，由折叠的性质可得：∠EFC =∠B =90°，CF =BC =5，由同角的余角相等，即可得∠DCF =∠AFE ，然后在Rt △DCF 中，即可求得答案．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠B =∠D =90°，CD =AB =4，AD =BC =5， 由题意得：∠EFC =∠B =90°，CF =BC =5， ∴∠AFE +∠DFC =90°，∠DFC +∠FCD =90°，例题2∴∠DCF =∠AFE ，∵在Rt △DCF 中，CF =5，CD =4， ∴DF =3，∴tan ∠AFE =tan ∠DCF =DF DC =34． 故选C ．【题干】如图，菱形ABCD 的对角线AC =6，BD =8，∠ABD =α，则下列结论正确的是（ ）A ．sin α=45B ．cos α=35C ．tan α=43D ．tan α=34【答案】D【解析】根据菱形的性质及勾股定理可求得AB 的长，从而可表示出不同的三角函数从而验证得到正确的那个选项．解：菱形ABCD 的对角线AC =6，BD =8， 则AC ⊥BD ，且OA =3，OB =4．在直角△ABO 中，根据勾股定理得到：AB =5， 则sin α=35，cos α=45，tan α=34， 故选D ．【题干】如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m例题3例题4【答案】A【解析】解：由题知：tan A =0.75，此时坡上株距是4m ，设相邻两树间的坡面距离为xm 所以满足sin A =0.8=4x解得x =5 故选A ．【题干】如图，修建抽水站时，沿着坡度为i =1A 处铅垂高度为6m ，则所铺设水管AC 的长度为（ ）A ．8mB ．10mC ．12mD ．18m 【答案】C【解析】∵该斜坡的坡度为i =1 ∴AB ：BC =1 ∵AB =6m ， ∴BC m ， 则AC 12==（m ）． 故选C ．【题干】1.下列各式正确的是（ ） A . cos 600＜sin 450＜tan 45B . sin 450＜cos 600＜tan 450C . cos 600＜tan 450＜sin 450D . tan 450＜cos 600＜sin 450【答案】A【解析】根据特殊角的锐角三角函数值依次分析各选项即可作出判断.例题5例题6∵2160cos =︒，2245sin =︒，145tan =︒∴<︒60cos <︒45sin ︒45tan 故选A .【题干】2.已知α为锐角，sin （α﹣20°），则α=（ ） A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°【答案】D【解析】∵α为锐角，sin （α﹣20°）=2， ∴α﹣20°=60°， ∴α=80°， 故选D ．【题干】3.计算5sin 30°+2cos 245°-tan 260°的值是( ) AB .12C .-12D .1 【答案】B【解析】根据特殊角的锐角三角函数值计算即可得到结果. 5sin 30°+2cos 245°-tan 260°21321225)3()22(221522=−⨯+=−⨯+⨯= 故选B .【题干】4.在△ABC中，若1|sin ||cos |022A B −+−=，则C ∠=_______. 【答案】120°【解析】因为||0a ≥，且1|sin ||cos |022A B −+−=，所以11sin 0sin 22cos 0cos 22A AB B ⎧⎧−==⎪⎪⎪⎪∴⎨⎪−==⎪⎪⎩⎩，又因为13sin 30,cos303012022A B C ==∴∠=∠=∴∠=。
28.1锐角三角函数-特殊角的三角函数值(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解特殊角的三角函数值的基本概念。特殊角的三角函数值是指在30°、45°、60°这三个锐角下，正弦、余弦、正切函数的具体数值。它们在解决实际问题时有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们已知一个直角三角形的一个锐角为30°，并且知道斜边长度，如何计算其他两边的长度？这个案例将展示特殊角的三角函数值在实际中的应用。
4.数学运算：培养学生准确、熟练地运用特殊角的三角函数值进行计算，提高运算速度和准确性；
5.数据分析：通过实际问题的解答，使学生能够分析数据，发现其中的规律，增强数据分析能力。以上目标与新教材要求相符，旨在全面提升学生的数学学科核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解并记忆特殊角（30°、45°、60°）的正弦、余弦、正切函数值；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了特殊角的三角函数值的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“特殊角的三角函数值在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
锐角三角函数与特殊角试题与答案
锐角三角函数与特殊角一、选择题1. （2016·四川达州·3分）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）A ．B ．2C ．D ．【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO ，等量代换即可．【解答】解：作直径CD ，在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2，则OD==4，tan ∠CDO==， 由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO ，则tan ∠OBC=，故选：C ．2. （2016·四川乐山·3分）如图3，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=o ，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确．．．的是 ()A sin AD B AB=()B sin AC B BC =()C sin AD B AC = ()D sin CD B AC =答案：C解析：考查正弦函数的概念。
由正弦函数的定义，知：A 、B 正确，又∠CAD ＝∠B ， 所以，sin sin CD B CAD AC =∠=，D 也正确，故不正确的是C 。
3.(2016广东，8,3分)如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（4,3），那么cos α的值是（ ）A 、34B 、43C 、35D 、45 答案：D考点：三角函数，勾股定理。
解析：过点A 作AB 垂直x 轴与B ，则AB ＝3，OB ＝4， 由勾股定理，得OA ＝5，所以，4cos 5OB OA α==，选D 。
4. （2016年浙江省衢州市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin∠E 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】切线的性质．【分析】首先连接OC ，由CE 是⊙O 切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．【解答】解：连接OC ，∵CE 是⊙O 切线，∴OC⊥CE，∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，∴∠E=90°﹣∠BOC=30°，∴sin∠E=sin30°=．故选A ．αo xyA5．（2016·山东烟台）如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．【考点】计算器—三角函数；计算器—数的开方．【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，其中R﹣CM表示存储、读出键，M+为存储加键，M﹣为存储减键，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．【解答】解：利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是．故选：C．6．（2016·山东烟台）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P 从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y 与x之间的关系图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意确定出y与x的关系式，即可确定出图象．【解答】解：根据题意得：sin∠APB=，∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，∴xy=1，即y=（1＜x＜2），图象为：，故选B．7．（2016•辽宁沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（）A． B．4 C．8D．4【考点】解直角三角形．【分析】根据cosB=及特殊角的三角函数值解题即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，即cos30°=，∴BC=8×=4；故选：D．8. (2016兰州，4,4分)在Rt △ ABC中，∠C＝90°，sinA＝3／5，BC＝6，则 AB＝（）。
九年级数学锐角三角函数《特殊角的三角函数值》课件
归纳
知1－导
30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正 切值如下表：
锐角 三角函数
锐角A
sin A
cos A
tan A
30°
1 2 3 2 3 3
45°
2 2 2 2
1
60°
3 2 1 2
3
例1 求下列各式的值：
知1－讲
（1）cos260°+sin260°；
（2） cos 45 tan 45. sin 45
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第3课时
特殊角的三角函数值
复习回答问题
在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= 3 ，BC=10， 53
则AB=___1_2_；__，AC=___7_；___，sinB=____5___，
5
5
△ABC的周长是___3_0__。
知识点 1 特殊角的三角函数值
；
知3－讲
解：∵sin A＝ 1 ，sin2 A＋cos2 A＝1，
∴
1 3
∴cos2
23 ＋cos2
A＝1－
A＝1, 18
,
99
∴cos A＝ 8 2 2 (负值舍去)； 93 1
∴ tan A sin A 3 1 2 . cos A 2 2 2 2 4
3
（来自《点拨》）
知3－练
（来自《典中点》）
；
知识点 3 锐角三角函数间的关系
知3－讲
（1）求特殊锐角的三角函数值的关键是先把它 转化为实数的运算，再根据实数的运算法 则计算；
（2）求锐角的度数的关键是先求其正弦值或余 弦值或正切值，然后对应特殊锐角的三角 函数值求角的度数；
锐角三角函数---特殊角的三角函数值
1 cos 45 （ 2） tan45 sin 45
2 2 解：原式 1 2 2
0
例2 求下列各式的值: (1)2sin30-3cos60: (2)cos 45 tan 60 sin 60 :
2
(3) 3 cos 30 2 sin 45 tan 45 cos 60.
sin A cos B;cos A sin B sin A 1 tan A ;tan A cos A tan B
sin2 A cos2 A 1
所以，对于任何一个锐角α ，有 0＜sin α ＜1， 0＜cos α ＜1， tan α ＞0，
B
A
C
300、450、600角
的正弦值、余弦值和正切值、余切值如下表:
求∠A的度数．
A
6
3
C
BC 3 2 解 sin A , AB 6 2
A 45 .
A
（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆 锥的底面半径OB的 3 倍，求 a ．
O
B
AO 3OB 解 tan 3, OB OB
60 .
当A，B为锐角 时，若A≠B，则 sinA≠sinB, cosA≠cosB, tanA≠tanB.
B
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
Байду номын сангаас
BC 7 , AC 21 ，
求∠A、∠B的度数．
7
C
A
21
2、求适合下列各式的锐角α
(1)3tan
(2) 2sin 1 0
2cos 1 (3) 1 2
3
3、已知 2cos 3 （ 0 为锐角）， 求tan的值。
2019年全国各地中考数：锐角三角函数与特殊角(含解析)
锐角三角函数与特殊角一.选择题1. （2019•浙江金华•3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是（）A. ∠BDC=∠αB. BC=m·tanαC. AO=D. BD=【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：A.∵矩形ABCD，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，又∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠BDC=∠BAC=α，故正确，A不符合题意；B.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴tanα= ，∴BC=AB·tanα=mtanα，故正确，B不符合题意；C.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴cosα= ，∴AC= = ，∴AO= AC=故错误，C符合题意；D.∵矩形ABCD，∴AC=BD，由C知AC= = ，∴BD=AC= ，故正确，D不符合题意；故答案为：C.【分析】A.由矩形性质和全等三角形判定SAS可得△ABC≌△DCB，根据全等三角形性质可得∠BDC=∠BAC=α，故A正确；B.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据正切函数定义可得BC=AB·tanα=mtanα，故正确；C.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据余弦函数定义可得AC= = ，再由AO= AC即可求得AO长，故错误；D.由矩形性质得AC=BD，由C知AC= = ，从而可得BD长，故正确；2. （2019•湖北孝感•3分）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，cos∠CBE＝cos∠ECG＝，∴，CG＝，∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，故选：A．【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE≌△CDF是解本题的关键．3. （2019•湖南怀化•4分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故选：A．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．4. （2019•湖南湘西州•4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2【分析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝2x，由AC＝12即可求x，进而求出BC；【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选：D．【点评】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键．二.填空题1. （2019•湖北孝感•3分）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝（20﹣20）米．【分析】根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt△PBD中，tan∠BPD＝，则BD＝PD•tan∠BPD＝20，在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝20，∴BC＝BD﹣CD＝20﹣20，故答案为：（20﹣20）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2. （2019•湖南衡阳•3分）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是6．【分析】易得正三角形的中心角为120°，那么中心角的一半为60°，利用60°的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长．【解答】解：如图，圆半径为6，求AB长．∠AOB＝360°÷3＝120°连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，∵OA＝OB，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∴AC＝OA×sin60°＝6×＝3，∴AB＝2AC＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，先利用垂径定理和相应的三角函数知识得到AC的值是解决本题的关键．3.（2019•浙江金华•4分）图2.图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上．两门关闭时（图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启，A，D 分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启。
锐角三角函数特殊角
锐角三角函数特殊角导言三角函数是数学中一门重要的分支，它们在几何、物理、工程等领域发挥着重要作用。
在三角函数中，有一类特殊的角度被称为锐角。
本文将详细介绍锐角三角函数的特殊角，包括定义、性质以及相关应用。
一、锐角三角函数的定义锐角指的是角度大小在0°和90°之间的角。
在三角函数中，主要涉及的三个函数是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
它们的定义如下：•正弦函数（sin）：在锐角ABC中，∠ABC的顶点位于单位圆的圆心O上，点A位于单位圆上，点C位于x轴上。
正弦函数sinA的值等于A点在单位圆上的y坐标值，即sinA=y。
•余弦函数（cos）：在锐角ABC中，∠ABC的顶点位于单位圆的圆心O上，点A位于单位圆上，点C位于x轴上。
余弦函数cosA的值等于A点在单位圆上的x坐标值，即cosA=x。
•正切函数（tan）：在锐角ABC中，∠ABC的顶点位于单位圆的圆心O上，点A位于单位圆上，点C位于x轴上。
正切函数tanA的值等于A点在单位圆上的y坐标值除以A点在单位圆上的x坐标值，即tanA=y/x。
二、锐角三角函数特殊角的定义在锐角三角函数中，存在一些特殊角，它们的值可以用简单的形式表示。
这些特殊角包括以下几个：1.0°：对应的三角函数值为sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0。
2.30°：对应的三角函数值为sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3。
3.45°：对应的三角函数值为sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=1。
4.60°：对应的三角函数值为sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3。
5.90°：对应的三角函数值为sin90°=1，cos90°=0（定义无意义），tan90°=无穷（定义无意义）。
28.1 锐角三角函数(3)--特殊角的三角函数值
新知探索:
B
A的 对 边 1 sin30°= 斜边 2
1
C
2
30.0
A
A的 邻 边 3 cos30°= 斜边 2
A的 对 边 3 tan30°= A的 邻 边 3
3
B
A的 对 边 3 sin60°= 斜边 2
600
1
C
2
°
A
A的 邻 边 1 cos60°= 斜边 2
(1)3tan α
2cos α 1 (2) 1 2
3
(3) 3tan2 4 tan 3 0
练习2：
在Rt△ABC中，C 90，且sinA cosB 3 . 则 tan A ?
3 例4、如图，在△ ABC中，A 30， tan B , 2 AC 2 3 .求AB的长。
45°
2 2
2 2
60°
3 2
1 2
1
3
仔细观察表格，你有什么发现？ 当 0°＜α＜90°时, α 的正弦值随着角度的增大而增大， α 的余弦值随着角度的增大而减少， α 的正切值随着角度的增大而增大。 且0 ＜sinα＜ 1, 0 ＜cosα＜ 1
例1.计算:
(1)cos260°+sin260 °
2、三角函数的性质： 当 0° ＜α＜ 90°时
1、P69习题28.1第3题
在Rt△ABC中，∠C=90°，
A
C
锐角A的正弦、余弦、正切都 叫做∠A的锐角三角函数。
2、互余两角的三角函数性质 在Rt△ABC中，当∠C=90°， 则有sinA= cosB ,cosA= sinB
,tanA.tanB= 1
.
一副三角尺有几个不同的锐角？ 你能求出这几个锐角的正弦值、余弦值和 正切值吗？
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锐角三角函数与特殊角一、选择题1. （2014•四川巴中，第8题3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB 为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．解答：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选D．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．2. （2014•山东威海，第8题3分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理分析：作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AB的长，根据正弦的定义即可求解．解答：解：作AC⊥OB于点C．则AC=，AB===2，则sin∠AOB===．故选D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．（2014•四川凉山州，第10题，4分）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C 的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：解：由题意，得cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．4．（2014•甘肃兰州,第5题4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA 的值等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=．∴cosA=，故选：D．点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．2．（2014•广州,第3题3分）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（）．（A）（B）（C）（D）【考点】正切的定义．【分析】．【答案】D5.6.7.8.二、填空题1. (2014年贵州黔东南11．（4分）)cos60°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值计算．解答：解：cos60°=．点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．2. （2014•江苏苏州,第15题3分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理分析：先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE 中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．3．（2014•四川内江，第23题，6分）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C．若OC=2，则PC的长是．考点：含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，利用角平分线定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用锐角三角函数定义求出QC的长，在直角三角形QDP中，利用锐角三角函数定义表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的长即可．解答：解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB，∴PD=PC，在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=2，∴QC=OCtan30°=2×=，∠APD=30°，在Rt△QPD中，cos30°==，即PQ=DP=PC，∴QC=PQ+PC，即PC+PC=，解得：PC=．故答案为：点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．4．（2014•四川宜宾，第16题，3分）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是②③④（写出所有正确的序号）①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny．考点：锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．专题：新定义．分析：根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．解答：解：①cos（﹣60°）=cos60°=，命题错误；②sin75°=sin（30°+45°）=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°=×+×=+=，命题正确；③sin2x=sinx•cosx+cosx•sinx═2sinx•cosx，故命题正确；④sin（x﹣y）=sinx•cos（﹣y）+cosx•sin（﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny，命题正确．故答案是：②③④．点评：本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解题目中的定义是关键．5．（2014•甘肃白银、临夏,第15题4分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=．考点：特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．分析：先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C 即可作出判断．解答：解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA=，cosB=，∴∠A=∠B=60°．∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣60°=60°．故答案为：60°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．3.4.5.6.7.8.三、解答题1. （2014•上海，第22题10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴CH：AC=1：，∴sinB；（2）∵sinB，∴AC：AB=1：，∵CD=，∴AB=2，由勾股定理得AC=2，则CE=1，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．点评：本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．2. （2014•山东烟台，第24题8分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．求证：tanα•tan=．考点：圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数.分析：连接AC先求出△PBD∽△P AC，再求出=，最后得到tanα•tan=．解答：证明：连接AC，则∠A=∠POC=，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴tanα=，BD∥AC，∴∠BPD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△P AC，∴=，∵PB=0B=OA，∴=，∴tana•tan=•==．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出△PBD∽△P AC，再求出tanα•tan=．3. （2014•江苏徐州,第19题5分）（1）计算：（﹣1）2+sin30°﹣；考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义化简，计算即可得到结果；解答：解：（1）原式=1+﹣2=﹣；点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．4. ．(2014•年山东东营,第19题7分)（1）计算：（﹣1）2014+（sin30°）﹣1+（）0﹣|3﹣|+83×（﹣0.125）3考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用积的乘方逆运算法则变形，计算即可得到可结果；（2）解答：解：（1）原式=1+2+1﹣3+3﹣1=6﹣3；点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.（2014•山东临沂,第20题7分）计算：﹣sin60°+×．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值分析：根据特殊角的三角函数、二次根式的化简进行计算即可．解答：解：原式=﹣+4×=﹣+2=+2=．点评：本题考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值，在二次根式的混合运算中，要掌握好运算顺序及各运算律．6．（2014•四川南充，第17，6分）计算：（﹣1）0﹣（﹣2）+3tan30°+（）﹣1．分析：本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果解：原式=1﹣+2++3=6．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．7、（2014•广州,第23题12分）如图6，中，，．（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点（保留作图痕迹，不写作法）：（2）综合应用：在你所作的圆中，①求证：；②求点到的距离．【考点】（1）尺规作图；（2）①圆周角、圆心角定理；②勾股定理，等面积法【分析】（1）先做出中点，再以为圆心，为半径画圆.（2）①要求，根据圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出即可，再根据等腰三角形中的边角关系转化.②首先根据已知条件可求出，依题意作出高，求高则用勾股定理或面积法，注意到为直径，所以想到连接，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出，的长度，那么在中，求其高，就只需用面积法即可求出高.【答案】（1）如图所示，圆为所求（2）①如图连接，设,又则②连接,过作于,过作于cosC=, 又,又为直径设，则，在和中，有即解得：即又即=，8.（2014•福建福州,第16题11分）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB32点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ABC的外接圆.（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径.+.（2）2.【答案】（1）33【解析】=∴BC33（2）由（1）得，在R t△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=3，∴AC=23.∵∠D=∠ACB，∠B=∠B，∴△BAC∽△BCD. ∴AB ACCB CD=，即322333=+.∴DM=4.∴⊙O的半径为2.考点：1.锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.勾股定理.。