九年级 相似三角形的性质 导学案
九年级数学下册《相似三角形的性质》教案、教学设计
-学生回顾全等三角形的性质，为新课的学习打下基础。
（二）讲授新知
1.教师引导学生从相似三角形的定义入手，探讨相似三角形的性质。
-解释相似三角形的定义，强调比例关系。
-引导学生观察相似三角形的边长和角度，发现性质。
2.教师运用几何画板动态展示相似三角形的性质，帮助学生形象理解。
-学生能够运用相似三角形的性质，进行严密的几何证明，掌握证明过程中的逻辑关系。
-学生能够灵活运用相似三角形的性质，解决复合几何问题，提高解题技巧。
3.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，增强数学应用能力。
-学生能够运用相似三角形的性质，解决生活中的实际问题，如测量高度、距离等。
-学生能够将相似三角形的性质与其他数学知识相结合，解决综合性的数学问题。
3.培养学生的创新精神和实践能力，激发学生探索未知世界的热情。
-教师鼓励学生提出问题、解决问题，培养学生的创新思维。
-学生通过解决实际问题，感受数学与现实生活的联系，激发探索未知世界的热情。
4.培养学生的严谨学生严谨对待数学问题，养成良好的学习习惯。
（二）教学难点
1.相似三角形性质的推理和证明过程。
2.学生在解决实际问题中，对相似三角形性质的应用。
3.帮助学生建立几何直观，理解相似三角形的空间变化。
教学设想：
1.采用情境导入法，引发学生兴趣
-通过展示生活中与相似三角形相关的实例，如建筑物的立面设计、摄影中的构图等，激发学生的学习兴趣，引导学生认识到相似三角形在实际中的应用。
九年级数学下册《相似三角形的性质》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的定义及其判定条件，掌握相似三角形的性质和比例关系。
2022年苏科版九年级数学下册第六章《相似三角形复习》导学案
新苏科版九年级数学下册第六章《相似三角形复习》导学案一、知识要点：1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形；应注意：△ABC ∽△C B A '''与△C B A '''∽△ABC 的相似比互为倒数，当k=1时，两个三角形全等。
2、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，这是今后证明三角形相似的重要依据。
3、三角形相似的判定定理：定理1：两角对应相等，两三角形相似；定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
推论1：斜边和直角边对应成比例，两直角三角形相似； 推论2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 4、黄金分割、位似图形、中心投影和平行投影、实际应用。
二、典型例题： （一）、求线段长或线段比例1 雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远一块小积水处，他看到了旗杆的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40 m ，该生眼睛的高度是1.5 m ，那么旗杆的高度是______．例2 如图2所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若AF ： FD ＝1：3，则AE ：EB ＝___________；若AF ：FD ＝1：n(n>0)，则AE ：EB ＝________．解析 过D 作DG ∥AB 交CE 于G ．由于D 是BC 的中点，可知DG 是BCE 的中位线，解：（二）、求周长与面积或周长与面积比例3 如图，已知：△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB ，P 点在AC 上(与点A 、C 不重合)，Q 点在BC 上． (1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；例 4 如图3所示，在□ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于D ．若S △DOE ＝9 cm 2，则S △AOB 等于( )(A)18 cm 2 (B)27 cm 2 (C)36 cm 2 (D)45 cm 2（三）、证明比例线段例5 如图4所示，已知正方形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点， ∠DAC 的平分线AP 于点P ，∠BDC 的平分线DQ 交AC 于点Q ，求证：BD APCD BQ=． （四）、实际应用举例例6 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB 走去，他发现教学楼后面有一水塔DC ，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷，经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m 和30 m ，它们之间的距离为30 m ，小张身高为1.6 m ，小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？三、易混淆概念1、比例线段的相关概念在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项， d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
相似三角形的性质 导学案(含答案)
4.7相似三角形的性质 导学案 第1课时 相似三角形的性质定理(一)1、预习目标 1．三角形中除三条边外的主要线段有角平分线、高、中线．2．相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比． 2、课堂精讲精练【例1】如图，某同学拿着一把12 cm 长的尺子，站在距电线杆30 m 的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60 cm ，则电线杆的高度是(D)A ．2.4 mB ．24 mC ．0.6 mD ．6 m【跟踪训练1】若△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，已知BD ∶B ′D ′＝5∶2，AC ＝10 cm ，则A ′C ′＝4_cm ．【跟踪训练2】已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为4∶3，若△ABC 中∠A 的平分线AM ＝8，则△DEF 中∠D 的平分线DN ＝6．【例2】如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1)求证：AM AD ＝HGBC ；(2)求矩形EFGH 的周长．解：(1)证明：∵四边形EFGH 为矩形，∴EF ∥GH.∴∠AHG ＝∠ABC ，∠AGH ＝∠ACB.∴△AHG ∽△ABC. ∵AD ⊥BC ，∴AM ⊥HG. ∴AM AD ＝HG BC. (2)设HE ＝x cm ，则MD ＝x cm ，HG ＝2x cm.∵AD ＝30 cm ，∴AM ＝(30－x)cm. ∵AM AD ＝HG BC ，∴30－x 30＝2x 40. 解得x ＝12.∴矩形EFGH 的周长为2(x ＋2x)＝72 cm.【跟踪训练3】如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是127．3、课堂巩固训练1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，AD 与A ′D ′分别是△ABC 与△A ′B ′C ′的角平分线，则AD ∶A ′D ′等于(A)A ．3∶4B ．4∶3C ．9∶16D ．16∶92．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，BM ⊥CE ，则Rt △BEM 与Rt △BCM 斜边上的高的比为(C)A ．1∶3B ．2∶3C ．1∶2D ．3∶53．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，两腰BA 与CD 的延长线交于点P ，PF ⊥BC 于点F ，交AD 于点E.若AD ＝2，BC ＝5，EF ＝3，则PF ＝5．4．如图，在△ABC 中，BC ＝12，AD 是BC 边上的高，AD ＝8，P ，N 分别是AB ，AC 边上的点，Q ，M 是BC 上的点，连接PQ ，PN ，MN ，PN 交AD 于点E.若四边形PQMN 是矩形，且PQ ∶PN ＝1∶2，求PQ ，PN 的长．解：设PQ ＝y ，则PN ＝2y. ∵四边形PQMN 是矩形，∴PN ∥QM.∴∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C. ∴△APN ∽△ABC. ∴PN BC ＝AE AD ，即2y 12＝8－y 8. 解得y ＝247.∴PQ ＝247，PN ＝487.第2课时 相似三角形的性质定理(二)1、预习目标1．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．2．上述性质可推广到相似多边形，即相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 2、课堂精讲精练【例1】如图，点D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 上的一点，且DE ∥BC ，S △ADE ＝4，S 四边形DBCE ＝5，则△ADE 与△ABC 的相似比为(D)A ．5∶9B ．4∶9C ．16∶81D ．2∶3【跟踪训练1】如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半．若BC ＝3，则△ABC 移动的距离是(D)A.32B.33C.62D.3－62【跟踪训练2】如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 与BD 相交于点F.若△DEF 的面积为2，则▱ABCD 的面积为24．【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，MD ∥BC ，且MD ＝CM ，DE ⊥AB 于点E ，连接AD ，BD.(1)求证：△MED ∽△BCA ；(2)当S △BDM ＝13S △ABC 时，求S △BED ∶S △MED 的值．解：(1)证明：∵MD ∥BC ， ∴∠DME ＝∠CBA. ∵∠DEM ＝∠ACB ＝90°， ∴△MED ∽△BCA.(2)∵∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，∴MB ＝12AB.∵MC ＝MD ，∴MD ＝12AB.∵△MED ∽△BCA ，∴S △MED S △ABC ＝(DM AB )2＝14.∵S △BDM ＝13S △ABC ，∴S △MED S △BDM ＝34.又∵S △MED ＋S △BED ＝S △BDM ， ∴S △BED ∶S △MED ＝1∶3.【跟踪训练3】如图所示，在▱ABCD 中，点E 是CD 的延长线上一点，且DE ＝12CD ，BE 与AD交于点F.(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB ＝CD. ∴∠ABF ＝∠E. ∴△ABF ∽△CEB. (2)∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△CEB.∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2.∵DE ＝12CD ，AB ＝CD ，∴DE CE ＝13，DE AB ＝12.∴S △DEF S △ABF ＝14，S △DEF S △CEB ＝19. ∴S △ABF ＝8，S △CEB ＝18.∴S ▱ABCD ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.3、课堂巩固训练1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是(C)A ．6B ．12C ．18D ．242．已知△ABC 与△DEF 相似且周长的比为2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比为(D)A ．2∶3B ．16∶81C ．9∶4D ．4∶93．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，△BEF的面积为4，则▱ABCD 的面积为(A)A．30 B．27 C．14 D．324．如果两个相似三角形的周长比为1∶2，那么它们某一组对应边上的高之比为1∶2．5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，两腰的延长线相交于点P.若S△PAD∶S梯形ABCD＝1∶2，且BC＝26，求AD的长．解：∵S△PAD∶S梯形ABCD＝1∶2，∴S△PAD∶S△PBC＝1∶3.∵AD∥BC，∴△PAD∽△PBC.∴ADBC＝33.∴AD＝2 2.。
九年级数学 相似三角形的判定(教案、导学案)
27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定（1)【知识与技能】1.了解相似三角形的概念及其表示方法；2.掌握平行线分线段成比例定理及平行于三角形一边的直线的性质定理；3.掌握相似三角形判定的预备定理.【过程与方法】经历从探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力.【情感态度】体验从一般到特殊及由特殊到一般的认知规律，发展辩证思维能力. 【教学重点】平行线分线段成比例定理及判定三角形相似的预备定理.【教学难点】探索平行线分线段成比例定理的过程.一、情境导入，初步认识问题1相似多边形的性质是否也适用于相似三角形呢？问题2如果△ABC与△A1B1C1相似，能类似于两个三角形全等，给出一种相似表示方法吗？△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为k ，那么△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比也是k 吗？问题3 如何判定两个三角形相似呢？【教学说明】通过上述三个问题的设置，既帮助学生认识了相似三角形的一些基本知识，又为引出平行线分线段成比例定理作些铺塾，教师可釆用自问自答形式讲述这部分内容. 二、思考探究，获取新知问题1 如图，任意画两条直线l 1，l 2，再画三条与l 1，l 2相交的平行线l 3，l 4，l 5分别度量AB ，BC ，DE ，EF 长度，则EFDEBC AB 与相等吗？呢？与DF DE AC AB 呢？与DFEFCA BC【教学说明】教师可让学生在自己准备的 白纸上画出类似图形，测出所截各条线段的长度（尽可能准确些），然后求出相应比值的近似值，便于作出说明.教师巡视，发现问题及时引导.对出现比值相差较大情形，帮助他们分析，找出原因，尽量让学生们获得对应线段的比值近似相等这一结果，形成感性认知.最后，教师可综合大多数同学的认知，给予总结，得出结论.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.【教学说明】这一结论不要求学生证明，只需形成感性认识.为了便于记忆，上述定理的结论可使用下面形象化的语言，如：.等全下全下，全上全上，上下上下，下上下上==== 问题 2 如图，当l 1//l 2//l 3时，在（1）中是否仍有呢？，，AF EFAC BCAF AE AC AB EF AE BC AB ===在（2）中是否仍有呢？，，DFBFACBCDF DB AC AB BF DB BC AB ===【教学说明】针对问题2，教师应引导学生利用“平行线分线段成比例定理”来进行说明，不可继续用测量方法得到，这样就由感性认识 上升到理性思考.这里建议将学生进行分组，小组讨论，相互交流，形成认识，最后教师再与全 班同学一道分析，得出结论.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段的比相等.问题3 如图，在△ABC 中，DE// BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ，则△ABC 与△ADE 能相似吗？为什么？问题4如图，已知DE//BC，DE分别交AB.AC的反向延长线于D、E，则△ADE与△ABC能相似吗？为什么？【教学说明】将全班学生分成两组，分别完成问题3、4的探究，教师应先给予点拨，突破难点（即添加辅助线，达到两个三角形的三边的比能相等的目的），然后学生自主完成，锻炼逻辑思维能力和推理能力.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 (相似三角形判定的预备定理).三、运用新知，深化理解1.如图，DE//BC，EF//AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并用符号表示出来.2.如图D 为△ABC 中BC 边的中点，E 为AD 中点，连接并延长BE 交 AC 于F.过E 作EG//AC 交BC 于G. （1） 求AC EG 的值；（2)求CF EG 的值；（3)求FCAF的值.3.如图，已知在△ABC 中，DE//BC ，AD=EC ，BD=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ， 求 DE 的长.【教学说明】 让学生自主完成，也可合作完成，在练习中加深理解.教师巡视指导，及时点拨.在完成上述题目后，教师引导学生完成创 优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解：△ADE ～△ABC ，△CEF ～△CAB, △ADE ～△EFC. 2.解：（1）∵EG//AC ，∴△DGE ～△DCA ，∴21==DA DE AC EG . （2）∵EG//AC ，E 是AD 的中点，∴G 是CD 的中点，即CG=DG.又D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∴BG=3CG ，BC=4CG ，∴34BG BC = . ∵EG//FC, ∴△BEG ～△BFC,∴43==BC BG FC FG . （3）过D 点作DH//CF ，交BF 于H.易得DH=AF ，∴21==FC DH FC AF . 3.解：∵DE//BC ，∴ECAEDB AD =,又AD=CE ，∴AD 2=4，∴AD=2，∴AB=3.由DE//BC 可知△ADE ～△ABC ，∴）（cm 310352=⨯==BC DE AB AD . 四、师生互动，课堂小结 1.这节课你学到了哪些知识？ 2.你还有哪些疑惑？【教学说明】师生以交谈方式回顾本节知识，重点应关注哪些内容，还有什么地方不太明白，及时解疑.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时教学思路应从探究、猜想、验证归纳出发，遵循学生的理解认知能力，由浅入深、逐步推进，激发学生自主探究的学习热情，培养学生的自主学习能力.27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定（1）一、新课导入 1.课题导入问题1：我们学过哪些判定两个三角形全等的方法？问题2：类比上面这些方法，猜一猜判定两个三角形相似的方法有哪些？ 由此导入课题(板书课题). 2.学习目标（1）能用符号表示两个三角形相似，能确定它们的相似比、对应边和对应角.（2）能叙述平行线分线段成比例定理及其推论，并能结合图形写出正确的比例式.（3）能用平行线分线段成比例定理的推论证明三角形相似的判定引理. 3.学习重、难点重点：平行线分线段成比例定理及其推论. 难点：正确理解定理中的“对应线段”. 二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P29~P30思考上面的内容. （2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：学生分小组采用度量的方法和已学知识探究平行线分线段成比例定理，并完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①三个角相等，三条边成比例的两个三角形相似.在△ABC 和△A′B′C′中, 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=C′,AB BC CAk A B B C C A ==='''''', 那么△ABC 和△A′B′C′相似，记作△ABC ∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k，△A′B′C′与△ABC的相似比为1 k .全等三角形也是相似三角形, 它们的相似比为1.②相似三角形的对应角相等，对应边成比例.③完成教材P29探究：a.如图1，量一量，算一算，ABBC与DEEF相等吗？BCAB与EFDE呢？ABAC与DEDF呢？BCAC与EFDF呢?b.由上一步可得：∵l3∥l4∥l5,∴ABBC=DEEF，BCAB=EFDE，ABAC=DEDF，BC AC =EFDF.c.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.d.指出图1中的所有对应线段(如AB与DE)：BC与EF,AC与DF.④把平行线分线段成比例定理应用到三角形中，会出现图2和图3两个基本图形：在这两个图形中，把DE看成平行于△ABC的边BC的直线，截其他两边（如图1）或其他两边的延长线（如图2），于是可得推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.即：∵DE∥BC,∴ADDB=AEEC，ADAB=AEAC，BDAB=CEAC.2.自学：结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：能否正确理解“对应线段”，尤其是在推论的两个图形中.②差异指导：根据学情，指导学生结合图形理解“对应线段”.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化（1）分清平行线分线段成比例定理的条件与结论,弄清哪些是“对应线段”.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等（强调“对应”）.1.自学指导（1）自学内容：教材P30思考~P31.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：学生分小组对不同类型的相似三角形进行证明，并完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①已知DE∥BC,运用定义证明△ADE∽△ABC(如图1，作EF∥AB).证三个角相等：∠A公共，由DE∥BC可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.证三条边成比例：由DE∥BC可得ADAB＝AEAC，由EF∥AB可得BFBC＝AEAC.由DE∥BC，EF∥AB可得四边形BFED是平行四边形，所以BF=DE.故DE BCADAB=AEAC=BFBC.所以△ADE∽△ABC.②如图2, DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点D、E，那么△ADE与△ABC 相似吗？能否给予证明？相似.∵DE ∥BC,∴∠E=∠C,∠D=∠B.过E 作EF ∥BD 交CB 的延长线于点F. ∵DE ∥BC ，EF ∥BD ，∴,AE AD BF AEAC AB BC AC==. 又∵四边形BDEF 是平行四边形，∴DE=BF,∴AE AD DEAC AB BC==. ∴△ADE ∽△ABC.③如图3，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证:△ADE ∽△EFC. ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴∠CEF=∠A,∠ADE=∠B=∠EFC,AD AE DB EC =,BF AEFC EC=. 又∵四边形BDEF 是平行四边形， ∴BD=EF,DE=BF. ∴AD AE DEEF EC FC==, ∴△ADE ∽△EFC.④如图4，DE ∥FG ∥BC ，找出图中所有的相似三角形. 由DE ∥FG ∥BC ，易知△ADE ∽△AFG ∽△ABC. 2.自学：结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生：①明了学情：看学生能否添加辅助线构造比例线段进行转化. ②差异指导：根据学情指导学生弄清引理的证明思路和方法. （2）生助生：小组交流、研讨. 4.强化（1）判定三角形相似的预备定理及其两个基本图形. （2）点两名学生板演自学参考提纲中第③、④题，并点评. 三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？还有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生的课堂参与程度、思维状况、小组协作等方面的课堂表现去评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时先给出相似三角形的定义，说明有关概念，明确相似三角形的符号表示和相似比的意义.由于三角形的相似与比例线段密不可分，因此在形成相似三角形的概念之后，主要安排学习比例线段，进而讨论平行于三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理，为研究相似三角形提供了必要的知识准备.教学过程中应遵循学生的理解认知能力，由浅入深，逐步推进.一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC, 且AD=3，DB=2.图中的相似三角形是△ADE∽△ABC，其相似比是35.第1题图第2题图2.(10分)如图，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角形一共有（C）A.1对B.2对C.3对D.4对3.(10分)如图，DE∥BC，12ADDB，则AEAC=(B)A.12B.13C.23D.32第3题图第4题图4.(10分)如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（A ）5.(10分)如图，AB ∥CD ∥EF,AF 与BE 相交于点G ，且AG=2，GD=1，DF=5，求BC CE .解：∵AB ∥CD ∥EF,∴35BC AD AG GD CE DF DF +===. 6.(20分)如图，DE ∥BC.（1）如果AD=5，DB=3，求DE ∶BC 的值;（2）如果AD=15，DB=10，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长.解：（1）∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC,∴58DE AD BC AB ==. （2）AE AD AC AB =,即151525AE =,求得 AE=9. DE AD BC AB =,即71525BC =,求得 BC=353. 二、综合应用（20分）7.(20分)如图,△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA.（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6,求AD 、DC 的长．解：（1）BC AB AC CA DC DA==; (2)∠BAC=∠CDA,∠B=∠ACD,∠ACB=∠DAC; (3)由（1）中的结论和已知条件可知121066DC AD==,求得AD=3，DC=5. 三、拓展延伸（10分）8.(10分)如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 、AC 于点D 、E ，试证明：ADAB=DOCO.证明：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC,△DOE ∽△COB,∴,AD DE DO DE AB BC CO CB==. ∴AD DO AB CO =.。
《相似三角形的性质(2)》导学案
6.5相似三角形的性质（2）学习目标1．运用类比的思想方法，通过实践探索得出：相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；2．会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题.学习过程一：“学”——自主学习复习回顾：如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是2:3，则△ABC 与△A’B’C’的面积比是多少？你的依据是什么？回顾“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这个结论的探究过程，你有什么发现？合作探究：活动一：如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是k ，AD 、A ′D ′是对应高．A A ′B ′ BC C ′D CB AD ’ A ′ C ′B ′D' A' B' C' D A B C D' A' B' C' D A B C结论：相似三角形对应高的比等于___________．活动二、相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比与相似比的关系。
结论：相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比等于 。
二：“思”——乐学精思例1、 如图，AF 是△ABC 的高，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，DE 交AF 于点G 。
设DE=6，BC=10,GF=5,求点A 到DE 、BC 的距离。
三：“练”——巩固反馈自主训练1．两个相似三角形的相似比为2:3，它们的对应角平分线之比为_______，周长之比为_______，面积之比为________2．若两个相似三角形面积之比为16:9，则它们的对高之比为_____，对应中线之比为_____3．如图，△ABC ∽△DBA ，D 为BC 上一点，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，且AB ＝ABA'B'C' 32cm 20cmO28cm，BC＝36cm，则BE:BF＝________4、如图，D、E分别在AC、AB上，∠ADE＝∠B，AF⊥BC，AG⊥DE，垂足分别是F、G，若AD＝3，AB＝5，求：（1）AGAF的值．（2）△ADE与△ABC的周长的比，面积的比．5、如图：与小孔O相距32cm处有一支长30cm燃烧的蜡烛AB，经小孔，在与小孔相距20cm的屏幕上成像，求像A'B'的长度。
相似三角形的性质及其应用-导学案
3月16日-相似三角形的性质及其应用-导学案一：知识梳理相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形知识点1：性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例。
知识点2：性质定理2：相似三角形对应线段（高线、中线、角平分线）的比等于相似比。
实战训练一：1. 两个相似三角形的对应边之比是1:2，那么它们的对应中线之比是1:2 。
2. 两个相似三角形的对应高之比是1:4，那么它们的对应中线之比是1:4 。
3. 两个相似三角形的对应角的平分线的长分别是3cm和5cm，那么它们的相似比是3:5 ，对应高的比是3:5 。
知识点3：性质定理3：相似三角形的周长比等于相似比。
实战训练二：1. 两个相似三角形的相似比是1:2，其中较小三角形的周长为6cm，则较大三角形的周长为12cm 。
2. 如果△ABC ∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、4、5，△DEF的最短边长为6，那么△DEF的周长为24 。
3. 如果两个相似三角形的周长比是2:3，其中小三角形一角的角平分线长是6cm，那么大三角形对应角平分线长是9cm 。
知识点4：性质定理4：相似相似三角形面积的比等于相似比的平方。
实战训练三：1. 若△ABC ∽△A’B’C’且相似比为1:2，则△ABC 与△A’B’C’面积之比为1:4 。
2. 两个相似三角形的面积之比是4: 9，则这两个三角形相似比是2:3 。
3. 判断：两个三角形的面积之比是4: 9，则这两个三角形的周长之比是2：3。
（×）二：典例分析例1：如图，已知△ACE△△BDE，AC＝6，BD＝3，AB＝12，CD＝18，求AE和DE的长。
解：∵△ACE∽△BDE∴ACBD =AEBE即63=AE12−AE解得AE=8△ ACBD =CEDE即63=18−DEDE解得DE=6相似三角形的应用——测量不能到达顶端的物体高度例2: 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A、B、Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高为6m 。
相似三角形应用举例导学案
年级：九年级班级：学生姓名：制作人：不知名编号：2023-1227.2.3 相似三角形应用举例学习目标：利用三角形相似的概念解决一些简单的实际问题。
预学案1.测量不能到达顶部物体的高度，通常借助太阳光照射物体形成影子，根据同一时刻物体高与影长，或利用相似三角形来解决问题.2.求不能直接到达的两点间的距离，关键是构造，然后根据相似三角形的性质求出两点间的距离.探究案【探究1】据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.【探究2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ.【探究3】如图，左右并排的两棵大树的高分别为AB=8m和CD=12m两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距地面16m她沿着正对这两棵树的一条水平直路1从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了?(1) (2)检测案1.如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（）A. 6cmB. 12cmC. 18cmD. 24cm第1题图第2题图第3题图2.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m则坝高CF为m.3.如图，已知有两堵墙AB，CD，AB 墙高2 m，两墙之间的距离BC 为8 m，小明将一架木梯放在距B点3 m的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E 旋转90°靠向墙CD 时木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为m. 4.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB 外任选一点C，分别在AC，BC上取点D，E，如果测得CD =20 m，CE =40 m，AD=100 m，BE=20 m目DE=45 m，求AB的长.。
相似三角形的性质导学案
年级：九年级班级：学生姓名：制作人：不知名编号：2023-1227.2.2 相似三角形的性质学习目标：1. 理解相似三角形的性质；2. 会利用相似三角形的性质解决简单的问题。
预学案1. 相似三角形对应角，对应边成。
2. 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于，相似三角形对应线段的比等于。
3. 相似三角形的周长的比等于。
4. 相似三角形的面积的比等于。
探究案【探究1】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？结论：【探究2】相似三角形面积的比与相似比有什么关系？结论：检测案5.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，若△ABC的边BC上的高为6，面积为125，求△DEF的边EF上的高和面积.6.如图，△ABC≌△A′B′C′，相似比为3：4，AD、A′D′分别是∠BAC、∠B'A'C'的平分线，AE⊥BC，A′E′⊥B′C′，E、E′为垂足，则AD：A'D'= ，AE：A'E' .7.已知△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，若AD=8，A′D′=12，则△ABC和△A′B′C′的面积比是（）A. 2：3B. 4：9C. 3：2D. 9：48.已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm，且BC=5cm，DF=8cm，求EF和AC的长.9.如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.（1）求证：△BDE∽△EFC；（2）设12 AFFC.①若BC=12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积.。
《27.2.2 相似三角形的性质》教案、导学案
27.2.2 相似三角形的性质【教学目标】1．理解相似三角形的性质；(重点)2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)【教学过程】一、情境导入两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？二、合作探究探究点一：相似三角形的性质【类型一】利用相似比求三角形的周长和面积如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE 相交于F点．(1)求△BEF与△AFD的周长之比；(2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD.解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解．解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△BEF∽△AFD.又∵BE＝12BC，∴BEAD＝BFDF＝EFAF＝12，∴△BEF与△AFD的周长之比为BE＋BF＋EFAD＋DF＋AF＝12；(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为12，∴S△BEFS△AFD＝(12)2，∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝24cm2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．【类型二】利用相似三角形的周长或面积比求相似比若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为( )A．1∶2 B.2∶2C．1∶4 D.2∶1解析：∵△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．【类型三】利用相似三角形的性质和判定进行计算如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高．解析：求AC边上的高，先将高线作出，由△ABC的面积为18，求出AC的长，即可求出AC边上的高．解：过点B作BF⊥AC，垂足为点F.∵AD⊥BC, CE⊥AB，∴Rt△ADB∽Rt△CEB，∴BDBE＝ABCB，即BDAB＝BECB，且∠ABC＝∠DBE，∴△EBD∽△CBA, ∴S△BEDS△BCA＝(DEAC)2＝818.又∵DE＝3，∴AC＝4.5.∵S△ABC＝12AC·BF＝18, ∴BF＝8.方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．【类型四】利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D.(1)若AP∶PB＝1∶2，S△ABC＝18，求S△APN；(2)若S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，求AEAD的值．解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN 与四边形PBCN 的面积比可得△APN 与△ABC 的面积比，进而可得其对应边的比．解：(1)因为PN ∥BC ，所以∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C ，△APN ∽△ABC ，所以S △APN S △ABC ＝(AP AB )2.因为AP ∶PB ＝1∶2，所以AP ∶AB ＝1∶3.又因为S △ABC ＝18，所以S △APNS △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN ＝2； (2)因为PN ∥BC ，所以∠APE ＝∠B ，∠AEP ＝∠ADB ，所以△APE ∽△ABD ，所以AP AB ＝AE AD ，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD)2，所以AE AD ＝13＝33.方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．【类型五】 利用相似三角形的性质解决动点问题如图，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形PABQ 面积的13时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长． 解析：(1)由于PQ ∥AB ，故△PQC ∽△ABC ，当△PQC 的面积是四边形PABQ面积的13时，△CPQ 与△CAB 的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP 的长；(2)由于△PQC ∽△ABC ，根据相似三角形的性质，可用CP 表示出PQ 和CQ 的长，进而可表示出AP 、BQ 的长．根据△CPQ 和四边形PABQ 的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP 的长．解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝13S 四边形PABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶4，∵14＝12，∴CP ＝12CA ＝2； (2)∵△PQC ∽△ABC ，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP .同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C 四边形PABQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP )＋AB ＋(3－CQ )＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．三、板书设计1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【教学反思】本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时，计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等．同学们讨论非常激烈，本节课堂教学取得了明显的效果.27.2.2 相似三角形的性质教学目标：知识与技能1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法。
九年级数学 相似三角形的判定(教案、导学案)
27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定（3）【知识与技能】1.掌握“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法以及直角三角形中特有的判定相似的方法.2.能运用相似三角形的判定方法解决具体问题.【过程与方法】在观察、动手探究等活动中，掌握判定三角形相似的方法，体会转化思想.【情感态度】经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的探究、交流能力和推理能力.【教学重点】掌握相似三角形的判定定理3及直角三角形中特有的相似判定方法. 【教学难点】探究两个判定定理的过程及其证明方法.一、情境导入，初步认识观察展示教师用的大三角板（45°和45°) 及学生用小三角尺（45°和45°)，请学生们观察这样的两个三角形相似吗？对应相等，这样的两个三角形相似吗？【教学说明】教师简要回顾学过的相似三角形的判定方法1，2后，提出“还有没有其它的 方法来判定两个三角形相似呢？”，进而展示所准备好的三角尺，让学生获得感性认识，顺理成章地提出思考，激发学生求知欲望.二、思考探究，获取新知问题1 作△ABC 和△A ′B ′C ′，使∠A=∠A ′,∠B=∠B ′，分别度量这两个三角形的边长，计算C A AC C B BC B A AB ''''''，，的值，你有什么发现？ 由此你能作出一个怎样的猜想？【教学说明】让全班同学动手画图，并按要求独立完成探索过程，获得结论后，与同伴交流；只要画图和测量尽可能准确，则会得到它们 的比值相等，从而初步了解“有两个角对应相等的两个三角形相似”的结论.教师巡视，对出现偏差的结论应予以帮助，查找问题，尽量让他们也能获得正确结论.问题2 如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′,∠B=∠B ′，则△ABC ～△A ′B ′C ′吗？说说你的理由.【教学说明】教师应引导学生论证上述结论，在学生动笔前给予适当点拨，让学生能独立完成说理.在巡视时，对有困难的学生给予指导，并给出足够的时间，锻炼学生的合情推理能力.对应相等，那么这两个三角形相似.试一试如图，点D是AB边上一点，且∠ACD=∠B，试问：图中是否存在能够相似的二角形？如果存在，请指出来，并说明理由. 【教学说明】现学现用，巩固所学新知识.问题3对于直角三角形，我们知道“有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形是全等的”，那么如果两个直角三角形中，有一条直角边与斜边的比对应相等，这样的两个直角三角形相似吗？【教学说明】教师应先与学生一道交流，找出两个直角三角形的已知条件有哪些（用图形和符号语言来表述），从这些条件到所探讨的结论之间还缺少什么条件，能否通过推理计算获得相应条件，从而引出利用勾股定理来探讨第三条对应边之间关系而获得结论.然后让学生独立完成，或相互交流获得论证过程.直角三角形相似的特殊判定方法：斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.三、典例精析，掌握新知例1教材P35例2.例2如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的高线.求证：（1）△ABC～△CBD；（2）CD2=AD•DB.【教学说明】例1可让学生自主探究，独立完成，再相互交流.例2则需师生共同探讨，利用直角三角形及高线定义找出图中能够相等 的角，从而获得相似的三角形有哪些，进而可解决问题.但它的证明过程仍可由学生自己完成，教师再挑选两至三份作业予以展示，共同评析，达到掌握本节知识的目的.四、运用新知，深化理解1.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论.2.如图，AD 、BE 是AABC 的高线，它们相交于点 F.求证：AF • DF=BF • EF.3. 如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且BD CD CD AD ，试求∠ACB 的大小.【教学说明】1，3两题分别应用本节的两种三角形相似的判定方法来获得结论，是对本节知识较好的理解与掌握的体现，而第2题则是用一般三角形相似的判定方法来解决直角三角形中的相似问题，具有代表性.这些练习可根据实际情况选做，要求学生自主完成或相互交 流来得到结论.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.五、师生互动，课堂小结1.本节学习两种判定三角形相似的方法，它们分别是什么？2.总结一下判定两个直角三角形相似的方法.【教学说明】釆用师生互动方式进行，教师设问，学生抢答，进行必要的知识梳理.1.布置作业：从P42〜44习题27.2中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时应强调学生自主探究的原则，让学生通过观察、实验、动手探究等方式掌握判定三角形相似的方法.整堂课应注重转化思想的运用，本课时难点在于探究两个判定定理的过程及其证明方法，教师教学时讲解要尽可能详尽.教学过程中，应鼓励学生相互交流探讨，以提高学生的学习热情.27.2.1相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定（3）——相似三角形的判定3和直角三角形相似的判定一、新课导入1.课题导入情景：拿一个含30°角的三角尺，让学生判断其内、外轮廓构成的两个含30°角的直角三角形是否相似.问题1：你是怎么判定的？能用前面学习的判定定理判定它们相似吗？问题2：我们由三角形全等的SSS和SAS的判定方法类似地得到了三角形相似的判定定理，那么能否同样地由三角形全等的ASA或AAS类比得到相应的三角形相似的判定方法呢？（板书课题）2.学习目标(1)知道两角分别相等的两个三角形相似；知道斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似.(2)能证明结论“斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似”.(3)能灵活选择适当的方法证明两个三角形相似.3.学习重、难点重点：相似三角形的判定方法3以及直角三角形相似的判定方法.难点：定理的证明.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P35.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：仿照上课时探究1,2完成探究提纲.（4）探究提纲：①探究：与同伴合作,一人先画△ABC,另一人再画△A′B′C′，使得∠A=∠A′，∠B=∠B′.a.操作判断：分别测量这两个三角形的边长，计算,,AB AC BC A B A C B C ''''''的值，你有什么发现？∠C=∠C′ 吗？由此你得到一个什么样的猜想？b.交流比较：把你的结果跟你周围的同学比较，你们的结论相同吗？c.归纳猜想：两角分别相等的两个三角形相似.d.推理证明：已知△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在A′B′上截取A′D=AB,过D 作DE ∥B′C′交A′C′于点E.∵DE ∥B′C′,∴△A′DE ∽△A′B′C′.又∵∠A=∠A′,∠B=∠B′,DE ∥B′C′,AB=A′D,∴∠A′DE=∠B′=∠B.∴△ABC ≌△A′DE.∴△ABC ∽△A′B′C′.e.推理格式：∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC ∽△A′B′C′.②教材P35例2：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E 是AC 上一点，AE=5，ED ⊥AB,垂足为D,求AD 的长.a.AB,AC,AE,AD 分别是哪两个三角形的边？这两个三角形相似吗？b.怎样证明这两个三角形相似？由此可以得到关于AB,AC,AE,AD 的一个怎样的比例式？c.写出你的解答过程.AB,AC 是△ABC 的边，AE,AD 是△AED 的边，这两个三角形相似.∵ED ⊥AB,∴∠EDA=90°,又∵∠C=90°,∠A=∠A,∴△AED ∽△ABC.∴AD AE AC AB =.∴AD=·AC AE AB=4. ③如图，若∠B=∠AED ，则△ADE ∽△ACB 吗？为什么？△ADE ∽△ACB.理由：∵∠B=∠AED,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB.④底角相等的两个等腰三角形相似吗？顶角相等的两个等腰三角形相似吗？证明你的结论.（相似，证明略）2.自学：学生参照自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生对三角形相似的判定定理3的掌握情况.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′△ABC∽△A′B′C′.1.自学指导（1）自学内容：教材P36.（2）自学时间: 6分钟.（3）自学方法:注意怎样根据已知条件选择合适的定理.(4)自学参考提纲：①由已知∠C=∠C′=90°，AB ACA B A C='''',能根据定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似吗？为什么？（不能，∠C和∠C′并非对应两边的夹角）②选择定理“三边成比例的两个三角形相似”证明两个三角形相似，还差什么条件？AB BC A B B C=''''③能否像前面三个判定定理的证明一样，构造一个与已知的一个三角形全等而与已知的另一个三角形相似的中间三角形的方法来证明呢？④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高.求证：a.△ACD∽△ABC；b.△CBD∽△ABC.证明：∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°.∴∠ADC=∠ACB=∠CDB.a.在△ACD和△ABC中，∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ACD∽△ABC.b.在△CBD和△ABC中，∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB,∴△CBD∽△ABC.⑤如果Rt△ABC的两条直角边分别为3和4，那么以3k和4k(k＞0)为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗？为什么？（相似，理由：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）2.自学：学生参照自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：直角三角形相似判定定理的归纳与证明.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：生生互动交流、研讨.4.强化（1）直角三角形相似的判定方法.（2）点学生口答后，点3位学生板演，并点评.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你学到了些什么？有哪些收获和不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学习态度、参与程度、思维状况等方面进行评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时应以学生自主探究为原则，让学生通过观察、实验、动手操作等方式探究并掌握判定三角形相似的方法.在这节课中，通过设计问题和启发、引导，让学生悟出学习方法和途径，培养学生独立学习的能力.整堂课应注重转化思想的运用，难点在于探究两个判定定理的过程及其证明方法，教师教学时讲解要尽可能详尽.教学过程中，应鼓励学生相互交流探讨，以提高学生的学习热情.一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，当∠ADE=∠C（答案不唯一）时，△ABC∽△AED(填写一个条件).第1题图第2题图2.(10分)如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD，则点P所在的格点为（C）A.P1B.P2C.P3D.P43.(10分)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于点D，求证：△ABC∽△BDC.证明：∵AB=AC，∠A=36°,BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠DBC.在△ABC和△BDC中,∠A=∠DBC,∠C=∠C.∴△ABC∽△BDC.4. (10分)如图，AD是Rt△ABC的斜边上的高.若AB=4 cm,BC=10 cm,求BD 的长.解：∵AD⊥BC,∠BAC=90°,∴∠ADB=∠CAB.∴△ABD∽△CBA,∴BD BA AB CB=,即4410BD=,BD=1.6(cm).5.(30分)从下面这些三角形中，选出相似的三角形.①、⑤、⑥相似，③、④、⑧相似，②和⑦相似.二、综合应用（20分）6.(20分)如图，△ABC中，D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16.（1）求证：△ABC∽△DAC;（2）求CD的长.（1）证明：∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC.(2)解：∵△ABC∽△DAC，∴CD ACCA BC=,即8816CD=,∴CD=4.三、拓展延伸（10分）7.(10分)如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一个定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（C）A.1条B.2条C.3条D.4条。
《相似三角形的周长比与面积比》导学案-九年级上册数学北师大版
E'E C B A A'B'C'D'A'B'C'D CB A B'4.7相似三角形的性质（1）学案班级 姓名 月 日一、学习目标：1、熟练应用相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比的平方。
2、并能用来解决简单的问题。
二、新课学习： 1.完成下面的证明过程：（P106图4-30）∵////,B A D C AB CD ⊥⊥∴∠ =∠ =90°∵/A A ∠=∠∴△ACD ∽△A ′C ′D ′（两个角分别相等的两个三角形相似）∴//D C CD ==21 所以模型房的房梁CD= . 由此我们得到，相似三角形的对应高的比等于2.如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠BAC ，A /D /平分∠B /A /C /；。
试探究AD 与 A /D /的比值关系？∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠A =∠________, ∠ACB =∠A ′C ′B ′∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线.∴∠__________=∠__________∴△ACD ∽△A ′C ′D ′( )∴D C CD ''= C A AC ''=k . 你得到的结论是：3.如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，E 、E /分别为BC 、B /C /的中点。
试探究AE 与A /E /的比值关系？（你会写出证明过程吗？）你得到的结论是：三、举例应用E D G H AB C F E 例题1、如图，AD 是△ABC 的高，点P ，Q 在BC 边上，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上。
BC ＝60 cm ，AD ＝40cm.四边形PQRS 是正方形（1） △A SR 与△ABC 相似吗？为什么？（2） 求正方形PQRS 的边长。
27.2.2相似三角形的性质(教案)
总的来说，今天的课程让我认识到，在教学过程中要不断调整方法和策略，以适应不同学生的学习需求。在今后的教学中，我将努力使课程内容更加生动有趣，同时关注每一个学生的学习情况，确保他们能够真正掌握相似三角形的性质，并将其应用于实际问题中。此外，我还将更加注重培养学生的表达能力和合作精神，使他们能够在学习数学的过程中，既获得知识，又提升综合素质。
在新课讲授中，我发现通过案例分析能让学生更直观地感受相似三角形在实际中的应用，这一点对于加深他们的理解非常有帮助。然而，对于判定方法和性质的重点难点解析，我感觉到还需要进一步寻找更生动的例子或采用更直观的教具，以降低学生的学习难度。
实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作中表现积极，但我注意到有些小组在讨论过程中可能会偏离主题，需要适时引导他们回到相似三角形的学习上来。此外，实验操作的部分，我意识到应该提前准备好更详细的操作指南，让学生能够更明确地知道每一步该怎么做。
-针对周长比和面积比的难点，通过典型题目和变式练习，让学生熟练掌握计算方法和应用场景。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的三角形？”（例如，放大镜下的三角形图形）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形性质的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调相似三角形的判定方法和性质这两个重点。对于难点部分，如对应边成比例的概念，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
人教版九年级数学下册 第27章相似三角形全章导学案设计
课题: 27.1.图形的相似（一）年 级：九年级 课 题：相似 课型：新授 主备人： 审核人： 时间：2017.11．理解并掌握两个图形相似的概念． 2．了解成比例线段的概念，会确定线段的比．3．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 4．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．重点：相似图形的概念与成比例线段的概念．相似多边形的主要特征与识别． 难点：成比例线段概念．运用相似多边形的特征进行相关的计算课前预习1（课本p24---26）1．（1）请同学们先观察第27章章头图，他们的形状、大小有什么关系． （2）教材P24引入．（3）相似图形概念：______________________________________________． （4）让同学们再举几个相似图形的例子．2．成比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中____________________________相等，如dcb a = （即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位； （2）线段的比是一个没有单位的正数； （3）四条线段a,b,c,d 成比例，记作dcb a =或a:b=c:d ； （4）若四条线段满足dcb a =，则有ad=bc ． 课堂预习21． 如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形． 2． 问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等． 3．【结论】：（1）相似多边形的特征： （2）相似比：问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？ 结论：二·自主探究 一.、）观察图片，体会相似图形 1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ (课本图27.1-1)( 课本图27.1-2)2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念 ．什么是相似图形?3 、思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗? 二、）成比例线段概念1．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 2、成比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如dcb a （即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 三、）小组探讨什么是相似多边形，相似比应该注意什么？三．典例分析例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）例2已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm ，求北京到上海的实际距离大约是多少km ？四．课堂练习1．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是多少？2．△ABC 与△DEF 相似，且相似比是32，则△DEF 与△ABC 与的相似比是（ ）． A ．32 B ．23 C ．52 D ．943．下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个4．已知四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10cm 和4cm ，如果四边形A 1B 1C 1D 1的最短边的长是6cm ，那么四边形A 1B 1C 1D 1中最长的边长是多少？课题:27.2.1 相似三角形的判定（一）年 级：九年级 课 题：相似 课型：新授 主备人： 审核人： 时间：2017.11．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展同学们的探究、交流能力．教学难点: 掌握平行线分线段成比例定理应用．一·课前预习导学1．知识回顾（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CAC B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且A C CAC B BC B A AB ''=''=''． （3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？二·自主探究教材P29的探究，并引导同学们探索．3．【归纳】平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）， 三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 三、例题讲解例1（补充）如图△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA ．（1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD 、DC 的长．例2如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，DE 的长． 四、课堂练习1．下列各组三角形一定相似的是（ ）A ．两个直角三角形B ．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形D．两个等边三角形2．如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．4．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．2．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．课题：27.2.1 相似三角形的判定（二）年级：九年级课题：相似课型：新授主备人：审核人：时间：2017.11．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．能够运用三角形相似的判定定理解决简单的问题一·课前预习导学1．复习提问：(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ (3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？ (4) 如图，如果要判定△ABC 与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ 2．（1）思考：首先，由三角形全等的SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？二·自主探究教材P32的探究，并引导同学们探索 【归纳结论】三角形相似的判定方法1 1.（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）引领同学们探求证明方法．2．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：（1）提出问题：由三角形全等的SAS 判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）同学们画图，自主展开探究活动． （3）【归纳结论】三角形相似的判定方法2 三．例题讲解例1已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=217，求AD 的长．四．课堂练习1．如果在△ABC 中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？2．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ．3．已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD •AD ， 求证：△ADC ∽△CDP ．课题：27.2.1 相似三角形的判定（三）年 级：九年级 课 题：相似 课型：新授 主备人： 审核人： 时间：2017.11．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似。
九年级数学《相似三角形的性质》导学案
九年级数学《相似三角形的性质》导学案掌握相似三角形的性质，解决有关的计算或证明问题． 学习重点：相似三角形的性质与运用．学习难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．一、课前准备（预习教材P37~ P39练习，找出疑惑之处）细读课本，试解答P39练习.二、新课导学 ※ 互动探究探究任务一：探究相似三角形对应的高、对应的中线、对应的角平分线的比与相似比的关系 【问题1】思考：如果两个三角形相似，它们的对应边上的高线、中线，对应角的平分线之间有什么关系？【问题2】 探究（教材P37）：△ABC ∽△A /B /C /，相似比 为k ，它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各 是多少？归纳：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
运用：1、若两个相似三角形的对应中线的比为3:4，则它们对应角平分线的比是( ) A. 1:16 B. 16:9 C. 4:3 D. 3:4 思考：两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形相似吗？ 探究任务二：相似三角形周长的比等于相似比【问题2】思考：如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？如果两个多边形相似，它们的周长之间有什么关系？(补充比例的等比性质并用等比性质证明)归纳：1、相似三角形周长的比等于相似比. 相似多边形周长的比等于相似比.ADCB A /B /D /C /2、以上性质统一为：相似三角形（多边形）对应线段的比等于相似比。
运用：1、若△ABC ∽△DEF ， △ABC 与△DEF 的相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D ．1∶22、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD ⊥AB 于点D ．则△BCD 与△ABC 的周长之比为（ ）A ． 1:2B ． 1:3C ． 1:4D ． 1:5 探究任务三：探究相似三角形面积的比与相似比的关系【问题3】如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？写出推导过程。
《相似三角形的性质》 导学案
《相似三角形的性质》导学案一、学习目标1、理解相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
3、能运用相似三角形的性质解决相关的计算和证明问题。
二、学习重难点1、重点（1）相似三角形的性质及其应用。
（2）相似三角形的周长比和面积比与相似比的关系。
2、难点相似三角形性质的灵活运用，尤其是涉及到周长比和面积比的综合问题。
三、知识回顾1、相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的判定方法：（1）两角对应相等，两三角形相似。
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（3）三边对应成比例，两三角形相似。
四、新课导入我们已经知道了什么是相似三角形以及如何判定两个三角形相似，那么相似三角形具有哪些性质呢？这就是我们本节课要探究的内容。
五、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
例如，在△ABC 和△A'B'C'中，如果△ABC∽△A'B'C'，那么∠A＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'，且\（＼frac{AB}｛A'B'｝＝＼frac{BC}｛B'C'｝＝＼frac{AC}｛A'C'｝＼）。
2、相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
（1）如图，△ABC∽△A'B'C'，AD 和 A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的高。
因为∠ADB ＝∠A'D'B' ＝ 90°，且∠B ＝∠B'，所以△ABD∽△A'B'D'，所以\（＼frac{AD}｛A'D'｝＝＼frac{AB}｛A'B'｝＼），即相似三角形对应高的比等于相似比。
相似三角形性质(2)导学案
九年级数学上册导学案
4.7相似三角形的性质（2）
一、学习目标：
1、相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系
2、相似多边形的周长比、面积比在实际中的应用
3、利用相似多边形的性质解决实际问题，训练运用能力
二、导学过程
如图，△ABC∽△A'B'C' ，相似比为2
(1)请你写出图中所有成比例的线段;
(2)△A BC与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比呢？
想一想：
如果，△ABC∽△A'B'C',相似比为k，那么△A BC与△A'B'C' 的周长之比和面积比又是多少呢？
定理：相似三角形的周长比等于，面积比等于
练习：
1、判断正误：
（1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；（）
（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边的长都扩大为原来的9倍。
（）
2、如图：将∆ABC沿BC方向平移得到∆DEF，∆ABC与∆DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是∆ABC的面积的一半。
已知BC=2，求∆ABC 平移的距离。
反思：。
初中数学九年级下册《4.5相似三角形》导学案
∴ （）
∴ ∥（）
四、随堂练习：课本 随堂练习1
（1）由相似三角形对应边成比例可得： ，故
（2）由相似三角形对应角相等,对应边可得： ， ；
，故
五、小结
相似三角形的定义：三角对应，三边对应的两个三角形叫相似三角形．
相似三角形的性质：相似三角形对应角，对应边．
六、作业
必做题：1、两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为 和 ，则另一个三角形的最大内角为º，最小内角为º．
因而我们可得结论：两个等腰直角三角形（填“一定”或“不一定”）相似
3、用上面的方法自己探索可得：
两个等腰三角形相似，两个等边三角形相似。（填“一定”或“不一定”）
三、例题学习，自主学习后，全班展示．
例：如图,已知 ∽ ,AE=5acm,EC=3acm, BC=bcm, =45º, =40º.
（1）求 和 的大小；
②若 ，则 ， ．
③若 ， ， ，则
二、小组交流（先自主学习，再小组交流）
1、如图，若 ≌ ，由全等三角形对应边相等，对应角相等可得：
＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝，
∴ ，
所以 与 （填“相似”或“不相似”）
因而我们可得结论：两个全等三角形一定（填“相似”或“不相似”）
（反过来，两个相似三角形一定全等吗？）
2、（1）如图， 与 均为直角三角形，通过度量可得：
＝0 ＝0 ＝0
＝0 ＝0 ＝0
， ，
它们三角对应相等吗？
三边对应成比例？
因而我们可得结论：两个直角三角形（填“一定”或“不一定”）相似
（2）如图， 与 均为等腰直角三角形，通过度量可得：
＝0 ＝0 ＝0
＝0 ＝0 ＝0
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B '
C 'A 'C A
D 'F '
E 'B 'C 'A '
F E D C B A D C B A D 'B 'C '
A '
导学案
课题 相似三角形的性质 主备人 *** 审核人 ************
【学习目标】
1、描述相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比，辨认周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方个．
2、灵活运用相似三角形性质的应用方法。
【重点难点】
1．重点：描述相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比．辨认周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
2．难点：对相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比性质的实际应用
【教学过程】
一、回顾交流：
读图，思考回答如下问题
1、三角形中有哪几条主要线段？
2、全等三角形具有哪些性质？
3、全等三角形对应边上的高、中线、角平分线相等吗？请你用口述的方法说明．
4、什么叫做相似三角形的相似比？
5、相似三角形有哪些判定方法？
6、全等三角形与相似三角形的关系？
二、典型例题
例题：如图，△ABC∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比是k ，AD 、A′D′是对应高，求证：``AD
A D =k ．
D 'B '
C '
A 'D C
B A O D
C A B
思考：如果两个三角形是直角三角形，钝角三角形时结果还成立吗？证明思路还一样吗？ 试试看！
练习:（1）求证相似三角形对应中线的比等于相似比，即：``AB A B =``AD
A D =k ，（如图）•
D C B A D 'B 'C A '
想一想，它们的相似比为k 时，那么它们的周长比和面积比又如何呢？（小组讨论，合作交流）
讨论猜想：相似三角形的周长之比等于 ；相似三角形的面积之比等于 。
你会证明吗？试试看 （小组展示）
三、巩固练习：
1、若△ABC ∽△'''A B C ,且2,''3,AB A B ==则这两个三角形对应中线之比为 , 对应高的比为 面积之比为 ,周长之比为 .
2、若△ABC ∽△'''A B C ,且10,8,6,BC AC AB ===△'''A B C 的最长边为5,则 △'''A B C 的周长为 ,面积为 .
3、把一个三角形改成和它相似的三角形,若面积扩大为原来的100倍,则它的周长扩大为原来的 .
4．CD 是直角△ABC 斜边上的高，若AB=25cm ，BC=15cm ，则BD=_______，CD=_____
6、如果两个相似三角形最长边为35和14，它们的周长差为60，那么这两个三角形的周长分别为_________． 7126AEF CDF ABCD AE EB S S ∆∆===
、如图，在中，：：，，则 （请你写出解
答步骤）. 5//35ABCD AD BC AD BC AOD COD =∆∆=、如图，已知梯形中，，：：，与的周长比
F E D C A B
8．有一批形状大小相同的不锈钢片（如图24．3-28），是直角三角形，已知∠C= 90°，AB=5cm ，BC=3cm ，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长．
四、随堂测验
1.如图，已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，点D 、D ′分别是BC 、B ′C ′的中点，AE ⊥BC 于E ，A ′E ′⊥B ′C ′于E ′.求证：∠DAE ＝∠D ′A ′E ′.
.
2.已知:如图，△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′，
BC ＝6，AC ＝8，△A ′B ′C ′的周长为72.求△A ′B ′C ′各边的长.
3.如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C ＝90°，AC ＝12 cm ，BC ＝5 cm ，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，并求出这种不锈钢片的边长.。