高中数学人教A版第二章 平面向量章末复习课

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．有关向量的注意点(1)零向量的方向是任意的．(2)平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量．(3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量．2．向量的运算律中的注意点(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)．(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b )c ≠a (b·c ).专题一 有关向量共线问题有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λ b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[例1] 已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，若k a ＋2b 与2a －4b 平行，求实数k 的值．解：法一：向量k a ＋2b 与2a －4b 平行，则存在唯一实数λ，使k a ＋2b ＝λ(2a －4b )．因为k a ＋2b ＝4(1，2)＋2(－3，2)＝ (k －6，2k ＋4)．2a －4b ＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)， 所以(k －6，2k ＋4)＝λ(14，－4)．所以⎩⎪⎨⎪⎧k －6＝14λ，2k ＋4＝－4λ，解得⎩⎨⎧λ＝－12，k ＝－1.即实数k 的值为－1.法二：因为k a ＋2b ＝k (1，2)＋2(－3，2)＝ (k －6，2k ＋4)，2a －4b ＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)， ka ＋2b 与2a －4b 平行， 所以(k －6)(－4)－(2k ＋4)×14＝0. 解得k ＝－1. 归纳升华1．向量与非零向量a 共线⇔存在唯一实数 λ使b ＝λa . 2.在解有关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[变式训练] 平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . 解：(1)因为a ＝mb ＋nc ， 所以(3，2)＝(－m ＋4n ，2m ＋n )． 所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)因为(a ＋k c )∥(2b －a )，a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)．所以2(3＋4k )＋5(2＋k )＝0，即k ＝－1613. 专题二 有关向量的夹角、垂直问题非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)的夹角为θ，则 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0， cos θ＝a·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 21. [例2] 已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13，求向量a ＋b 与a －b 的夹角θ的余弦值．解：由已知|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13，所以(a ＋b )2＝13. 所以a 2＋2a·b ＋b 2＝13，则(3)2＋2a·b ＋22＝13，得2a·b ＝6. (a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝(3)2－6＋22＝1，所以|a －b |＝1.所以cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b ||a －b |＝a 2－b 213×1＝（3）2－2213＝－1313. 归纳升华1．本例的实质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两对角线构成的向量的夹角，通过模的平方，沟通了向量的模与向量内积之间联系；2．两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不同的. [变式训练] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π (2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ⊥b ，则x ＝________．(1)解析：由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又因为|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，所以83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.所以cos θ＝22.又因为0≤θ ≤π，所以θ＝π4.(2)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即x ＋2(x ＋1)＝0，所以x ＝－23.答案：A (2)－23专题三 有关向量的模的问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a |2＝a 2＝a·a ； (2)|a ±b |2＝a 2±2a·b ＋b 2； (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2；(4)应用三角形或平行四边形法则．[例3] 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1(2)设向量a ＝(0，－1)，向量b ＝(cos x ，sin x )，则|a ＋b |的取值范围为________．解析：法一：因为BC →2＝16，所以|BC →|＝4. 又|AB →－AC →|＝|CB →|＝4，所以|AB →＋AC →|＝4，因为M 为BC 的中点，所以BM →＝－CM →. 所以AM →＝AB →＋BM →＝AC →＋CM →，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，所以|AM →|＝12|AB →＋AC →|＝12×4＝2.法二：如图所示，四边形ABDC 是平行四边形，又|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AD →|＝|CB →|，所以四边形ABDC 是矩形， 所以|AM →|＝12|BC →|，又BC →2＝16， 所以|BC →|＝4， 所以|AM →|＝2.(2)a ＝(0，－1)，b ＝(cos x ，sin x )， 所以a ＋b ＝(cos x ，sin x －1)．所以|a ＋b |＝cos2x ＋（sin x －1）2＝2－2sin x ＝ 2（1－sin x ）因为－1≤sin x ≤1，所以0≤|a ＋b |≤2. 答案：(1)C (2)[0，2] 归纳升华解答该类题目有以下几个关键点：1．根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，观察图形以便直观地得出一些结论．2．利用三角形法则、平行四边形法则求有关的向量，并注意一些公式性质的运用，例如模与向量的平方的关系，相反向量的和为0等．3．数形结合法的运用可使解题简捷．[变式训练] 已知向量a 和b 的模都是2，其夹角为60°，又知OP →＝a ＋2b ，OQ →＝－2a ＋b ，则|PQ →|＝________．解析：PQ →＝OQ →－OP →＝－3a －b ，|PQ →|2＝PQ →·PQ →＝(－3a －b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2. 因为|a |＝|b |＝2，a·b ＝|a ||b |cos 60°＝2， 所以|PQ →|2＝9a 2＋6a·b ＋b 2＝9×4＋6×2＋4＝52. 所以|PQ →|＝213. 答案：213专题四 数形结合思想平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合的思想．引入向量的坐标表示，使向量运算完全代数化，将数和形紧密结合起来．运用数形结合的思想解决了三点共线，两条线段平行、垂直、夹角、距离、面积等问题．[例4] 已知向量a 与b 不共线，且|a |＝|b |≠0，则下列结论正确的是( )A ．向量a ＋b 与a －b 垂直B ．向量a －b 与a 垂直C ．向量a ＋b 与a 垂直D ．向量a ＋b 与a －b 共线解析：如图所示，作OA →＝a ，OC →＝b ，以OA 和OC 为邻边作▱OABC .由于|a |＝|b |≠0，则四边形OABC 是菱形，所以必有AC ⊥OB .又因为a ＋b ＝OB →，a －b ＝CA →，所以(a ＋b )⊥(a －b )． 答案：A 归纳升华通过本题可以得出：模相等且不共线的两向量的和与两向量的差垂直．以上可以作为结论记住．[变式训练] 已知向量OB →＝(2，0)，向量OC →＝(2，2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12 解析：如图，向量CA →的终点A 在以点C (2，2)为圆心、半径为2的圆上，OA 1，OA 2是圆的两条切线，切点分别为A 1，A 2.在Rt △OCA 1中，|OC →|＝22， |CA 1→|＝2， 所以∠COA 1＝π6.所以∠COA 2＝∠COA 1＝π6.因为∠COB ＝π4，所以∠A 1OB ＝π4－π6＝π12，∠A 2OB ＝π4＋π6＝5π12，所以向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12.答案：D。