2019年甘肃省中考数学试题(含解析)

2019年甘肃省中考数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2019甘肃省，1，3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是( )
【答案】A
【解析】解：A ．此图案是中心对称图形，符合题意； B ．此图案不是中心对称图形，不合题意； C ．此图案不是中心对称图形，不合题意； D ．此图案不是中心对称图形，不合题意； 故选A ．
【知识点】中心对称图形
2. （2019甘肃省，2，3分）在0，2，3-，1
2
-这四个数中，最小的数是( )
A ．0
B ．2
C ．3-
D ．12
-
【答案】C
【解析】解：∵1
3022
-<-<<，∴最小的数是3-，故选C ．
【知识点】有理数大小比较
3. （2019甘肃省，3，3分）
有意义的x 的取值范围是( ) A ．4x B ．4x >
C ．4x
D ．4x <
【答案】D
【解析】
有意义，则40x ->，解得4x <，即x 的取值范围是：4x <，故选D ．
【知识点】二次根式有意义的条件
4. （2019甘肃省，4，3分）计算24(2)a a -的结果是( ) A ．64a - B ．64a
C ．62a -
D ．84a -
【答案】B
【解析】解：24246(2)44a a a a a -==，故选B ． 【知识点】单项式乘单项式；幂的乘方；积的乘方
5. （2019甘肃省，5，3分）如图，将一块含有30︒的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若148∠=︒，那么2
∠
的度数是( )
A ．48︒
B ．78︒
C ．92︒
D ．102︒
【答案】D
【解析】解：将一块含有30︒的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若148∠=︒， 231804830102∴∠=∠=︒-︒-︒=︒，故选D ．
【知识点】平行线的性质
6.（2019甘肃省，6，3分）已知点(2,24)P m m +-在x 轴上，则点P 的坐标是( ) A ．(4,0) B ．(0,4) C ．(4,0)- D ．(0,4)-
【答案】A
【解析】解：∵点(2,24)P m m +-在x 轴上， 240m ∴-=，
解得2m =， 24m ∴+=，
∴点P 的坐标是(4,0)． 故选A ．
【知识点】点的坐标
7. （2019甘肃省，7，3分）若一元二次方程2220x kx k -+=的一根为1x =-，则k 的值为( ) A ．1- B ．0
C ．1或1-
D ．2或0
【答案】A
【解析】解：把1x =-代入方程得2120k k ++=，解得：1k =-，故选A ． 【知识点】一元二次方程的解
8. （2019甘肃省，8，3分）如图，AB 是O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且126AOC ∠=︒，则(CDB ∠=
)
A ．54︒
B ．64︒
C ．27︒
D ．37︒
【答案】C
【解析】解：∵126AOC ∠=︒，∴18054BOC AOC ∠=︒-∠=︒，∴1
272
CDB BOC ∠=∠=︒，故选C ．
【知识点】圆的有关概念及性质
9.（2019甘肃省，9，3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是( )
A ．甲、乙两班的平均水平相同
B ．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同
C ．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
D ．甲班成绩优异的人数比乙班多 【答案】A
【解析】解：A 、甲、乙两班的平均水平相同；正确； B 、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；不正确； C 、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确； D 、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确； 故选A ．
【知识点】平均数，众数，中位数，方差
10. （2019甘肃省，10，3分）如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，对于下列说法：①0ac >，②20a b +>，③24ac b <，④0a b c ++<，⑤当0x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．③④⑤
【答案】C
【解析】解：①由图象可知：0a >，0c <，0ac ∴<，故①错误； ②由于对称轴可知：12b
a
-
<，20a b ∴+>，故②正确； ③由于抛物线与x 轴有两个交点，∴△240b ac =->，故③正确； ④由图象可知：1x =时，0y a b c =++<，故④正确； ⑤当2b
x a
>-
时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误； 故选C ．
【知识点】二次函数图象与系数的关系
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. （2019甘肃省，11，3分）分解因式：34x y xy -= ． 【答案】(2)(2)xy x x +-
【解析】解：34x y xy -2(4)xy x =-(2)(2)xy x x =+-． 【知识点】分解因式
12. （2019甘肃省，12，3分）不等式组20
21x x x -⎧⎨>-⎩
的最小整数解是 ．
【答案】0
【解析】解：不等式组整理得2
1x x ⎧⎨>-⎩
，∴不等式组的解集为12x -<，则最小的整数解为0，故答案为0.
【知识点】一元一次不等式组的整数解
13. （2019甘肃省，13，3分）分式方程35
12
x x =
++的解为 ． 【答案】
12
【解析】解：去分母，得3655x x +=+， 解得12
x =
， 经检验1
2
x =
是分式方程的解．
故答案为
12
． 【知识点】解分式方程
14. （2019甘肃省，14，3分）在ABC ∆中90C ∠=︒，tan A ，则cos B = ． 【答案】
12
【解析】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，tan A =，
设a =，3b x =，则c =， 1cos 2a B c ∴=
=． 故答案为
12
． 【知识点】特殊角的三角函数值
15. （2019甘肃省，15，3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为 ．
【答案】2(18cm +
【解析】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm ，三棱柱的高为3，所以，其表
面积为21
3232218)2
cm ⨯⨯+⨯⨯+．故答案为2(18cm +．
【知识点】三视图
16.（2019甘肃省，16，3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，点D 是AB 的中点，以A 、B 为圆心，AD 、BD 长为半径画弧，分别交AC 、BC 于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】24
π
-
【解析】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2CA CB ==，
AB ∴=45A B ∠=∠=︒，
D 是AB 的中点，
AD DB ∴=
12222224
ABC ADE
S S S π
∆∴=-⋅=⨯⨯-=-阴扇形， 故答案为：24
π
-
【知识点】扇形面积
17. （2019甘肃省，17，3分）如图，在矩形ABCD 中，10AB =，6AD =，E 为BC 上一点，把CDE ∆沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的F 处，则CE 的长为 ．
【答案】
103
【解析】解：设CE x =，则6BE x =-由折叠性质可知，EF CE x ==，10DF CD AB ===， 在Rt DAF ∆中，6AD =，10DF =， 8AF ∴=，
1082BF AB AF ∴=-=-=，
在Rt BEF ∆中，222BE BF EF +=，即222(6)2x x -+=， 解得103x =
， 故答案为
103
． 【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
18. （2019甘肃省，18，3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n = ．
【答案】1010
【解析】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个． 第2幅图中有2213⨯-=个．
第3幅图中有2315⨯-=个． 第4幅图中有2417⨯-=个．
⋯．
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n 幅图中共有(21)n -个． 当图中有2019个菱形时， 212019n -=， 1010n =，
故答案为1010．
【知识点】图形变化规律
三、解答题（本大题共8小题，满分66分，各小题都必须写出解答过程）
19.（2019甘肃省，19，4分）计算：201()(2019)60|3|2π--+-︒--．
【思路分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解题过程】解：原式413=+1=． 【知识点】实数的运算
20. （2019甘肃省，20，4分）如图，在ABC ∆中，点P 是AC 上一点，连接BP ，求作一点M ，使得点M 到AB 和AC 两边的距离相等，并且到点B 和点P 的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【思路分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可． 【解题过程】解：如图，点M 即为所求，
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质
21. （2019甘肃省，21，6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【思路分析】设共有x 人，根据题意列出方程，求出方程的解即可
【解题过程】解：设共有x 人， 根据题意，得
9
232
x x -+=
， 去分母，得212327x x +=-， 解得39x =， ∴
399
152
-=， ∴共有39人，15辆车． 【知识点】一元一次方程的应用
22. （2019甘肃省，22，6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260~300mm mm 含(300)mm ，高度的范围是120~150mm mm （含150)mm ．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ，各踏步互相平行，AB CD =，900AC mm =，65ACD ∠=︒，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm ，参考数据：sin650.906︒≈，cos650.423)︒≈
【思路分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM 和DM 的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题． 【解题过程】解：连接BD ，作DM AB ⊥于点M ， AB CD =，AB ，CD 分别垂直平分踏步EF ，GH ， //AB CD ∴，AB CD =，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
C AB
D ∴∠=∠，AC BD =， 65C ∠=︒，900AC =， 65ABD ∴∠=︒，900BD =，
cos659000.423381BM BD ∴=︒=⨯≈，sin659000.906815DM BD =︒=⨯≈， 3813127÷=，120127150<<，
∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，
8153272÷≈，260272300<<，
∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
23. （2019甘肃省，23，6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n ． （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有(,)m n 可能的结果；
（2）若m ，n 都是方程2560x x -+=的解时，则小明获胜；若m ，n 都不是方程2560x x -+=的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
【思路分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解． 【解题过程】解：（1）树状图如图所示：
（2）
m ，n 都是方程2560x x -+=的解，
2m ∴=，3n =，或3m =，2n =，
由树状图得：共有12个等可能的结果，m ，n 都是方程2560x x -+=的解的结果有2个，
m ，n 都不是方程2560x x -+=的解的结果有2个，
小明获胜的概率为
21126=，小利获胜的概率为21126
=， ∴小明、小利获胜的概率一样大．
【知识点】概率
24. （2019甘肃省，24，4分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下： 收集数据：
从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82
八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50
整理数据：
6080
x<8090
x<90100
x
1041
581
（说明：90分及以上为优秀，80~90分（不含90分）为良好，60~80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）
分析数据：
得出结论：
（1）根据上述数据，将表格补充完整；
（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；
（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．
【思路分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；
（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；
（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．
【解题过程】解：（1）七年级的平均数为
1
(748175767075757981707480916982)76.8
15
++++++++++++++=，
八年级的众数为81；
故答案为：76.8；81；
（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：
八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；
故答案为：八；
（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数
1
30020
15
=⨯=（人)．
【知识点】统计表，众数，中位数，方差，，
25.（2019甘肃省，25，7分）如图，一次函数y kx b
=+的图象与反比例函数
m
y
x
=的图象相交于(1,)
A n
-、(2,1)
B-
两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求ABD ∆的面积；
（3）若1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 是反比例函数m y x
=上的两点，当120x x <<时，比较2y 与1y 的大小关系．
【思路分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．
（2）根据对称性求出点D 坐标，发现//BD x 轴，利用三角形的面积公式计算即可．
（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．
【解题过程】解：（1）反比例函数m y x
=
经过点(2,1)B -， 2m ∴=-， 点(1,)A n -在2y x
-=
上， 2n ∴=， (1,2)A ∴-，
把A ，B 坐标代入y kx b =+，则有221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩
， 解得11k b =-⎧⎨=⎩
， ∴一次函数的解析式为1y x =-+，反比例函数的解析式为2y x
=-． （2）直线1y x =-+交y 轴于C ，
(0,1)C ∴， D ，C 关于x 轴对称，
(0,1)D ∴-，(2,1)B -
//BD x ∴轴，
12332
ABD S ∆∴=⨯⨯=． （3）1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 是反比例函数2y x
=-
上的两点，且120x x <<， 12y y ∴<．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点
26.（2019甘肃省，26，8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG ED
⊥交DE 于点F，交CD于点G．
（1）证明：ADG DCE
∆≅∆；
（2）连接BF，证明：AB FB
=．
【思路分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到90
ADG C
∠=∠=︒，AD DC
=，DAG CDE
∠=∠，即可得出ADG DCE
∆≅∆；
（2）延长DE交AB的延长线于H，根据DCE HBE
∆≅∆，即可得出B是AH的中点，进而得到AB FB
=．【解题过程】解：（1）四边形ABCD是正方形，
90
ADG C
∴∠=∠=︒，AD DC
=，
又AG DE
⊥，
90
DAG ADF CDE ADF
∴∠+∠=︒=∠+∠，
DAG CDE
∴∠=∠，
()
ADG DCE ASA
∴∆≅∆；
（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，
E是BC的中点，
BE CE
∴=，
又90
C HBE
∠=∠=︒，DEC HEB
∠=∠，
()
DCE HBE ASA
∴∆≅∆，
BH DC AB
∴==，
即B是AH的中点，
又90
AFH
∠=︒，
Rt AFH
∴∆中，
1
2
BF AH AB
==．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
27. （2019甘肃省，27，8分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，切线DE 交
AC 于点E ．
（1）求证：A ADE ∠=∠；
（2）若8AD =，5DE =，求BC 的长．
【思路分析】（1）只要证明90A B ∠+∠=︒，90ADE B ∠+∠=︒即可解决问题；
（2）首先证明210AC DE ==，在Rt ADC ∆中，6DC =，设BD x =，在Rt BDC ∆中，2226BC x =+，在Rt ABC ∆中，222(8)10BC x =+-，可得22226(8)10x x +=+-，解方程即可解决问题．
【解题过程】解：（1）证明：连接OD ， DE 是切线，
90ODE ∴∠=︒，
90ADE BDO ∴∠+∠=︒，
90ACB ∠=︒，
90A B ∴∠+∠=︒，
OD OB =，
B BDO ∴∠=∠，
ADE A ∴∠=∠．
（2）解：连接CD ．
ADE A ∠=∠，
AE DE ∴=， BC 是O 的直径，90ACB ∠=︒，
EC ∴是O 的切线，
ED EC ∴=，
AE EC ∴=，
5DE =，
210AC DE ∴==，
在Rt ADC ∆中，6DC =，
设BD x =，在Rt BDC ∆中，2226BC x =+，在Rt ABC ∆中，222(8)10BC x =+-， 22226(8)10x x ∴+=+-， 解得92
x =，
152
BC ∴==．
【知识点】圆周角定理；切线的性质
28. （2019甘肃省，28，10分）如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A 、(3,0)B ，与y 轴交于点C ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；
（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．
【思路分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；
（2）分当AB 为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；
（3）利用()12
D E AEBD S AB y y =-四边形，即可求解． 【解题过程】解：（1）用交点式函数表达式得：2(1)(3)43y x x x x =--=-+； 故二次函数表达式为：243y x x =-+；
（2）①当AB 为平行四边形一条边时，如图1，
则2AB PE ==，
则点P 坐标为(4,3)，
当点P 在对称轴左侧时，即点C 的位置，点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形， ∴点(4,3)P 或(0,3)；
②当AB 是四边形的对角线时，如图2，
AB 中点坐标为(2,0)
设点P 的横坐标为m ，点F 的横坐标为2，其中点坐标为：
22
m +， 即：222m +=，解得：2m =， 故点(2,1)P -；
故：点(4,3)P 或(0,3)或(2,1)-；
（3）直线BC 的表达式为：3y x =-+，
设点E 坐标为2(,43)x x x -+，则点(,3)D x x -+， ()22134332
D E AEBD S AB y y x x x x x =-=-+-+-=-+四边形， 10-<，故四边形AEBD 面积有最大值， 当32x =，其最大值为94，此时点3(2
E ，3)4-． 【知识点】二次函数的解析式；平行四边形的性质。