微分在近似计算中的应用

§2.8 微分在近似计算中的应用

一.利用微分进行近似计算

例1：半径为10厘米的金属圆片,加热后半径增大了0.05厘米,问这时圆片面积增大了多少?

例2：求的近似值.

例3：证明 当|x|<<1时,有近似公式

二.利用微分估计误差

利用公式(1)可解决测量问题中的估计误差问题,在测量问题中,有些量的大小由直接测量得出,叫直接测量数据{如球体的直径}.但有些量的大小不能或不易测量{如球的表面积、体积等}。必须通过另一些量的直接测量再用一些数字运行来求得，直接测量有误差{取决于量具的精确度}，利用这些数据来计算间接测量数据，则带来误差，称为间接测量误差，利用{1}能确定误差的关系。

1.绝对误差与相对误差

若某个量的精确值为A，它的近似值为a，那么|A-a|叫a的绝对误差，而绝对误差与|a|的比值叫a的相对误差。

由于实际工作中，某个量的精确值往往无法知道，于是绝对及相对误差无法求得，但由仪器的精度等原因，有时能确定误差在某一范围内。

2.误差估计方法

假若两个变量x,y，由函数y=f(x)联系，并假设x可由测量得到，而y由y=f(x)得到，由于x有测量误差|△x|，因此按y=f(x)计算y时也有计算误差|△y|，如何由|△x|来估计|△y|:

例1 若度量圆的半径r时绝对误差限为0.1厘米，测得的r值为21.5厘米,问圆面积的计算值时误差是多少?

例2 设从一批具有均匀密度的钢球中,要把所有直径等于1厘米的挑出来.如果挑出来的球在直径上容许有3%的相对误差,并且挑选方法是以重量为根据,那么在挑选时容许球的重量有多大的相对误差?