全等三角形(常见辅助线)用ppt课件
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全等三角形判定ppt课件
若两个三角形全等，则它们的周长也 相等。
对应角相等
在全等三角形中，任意两个对应 的角都相等。
若两个三角形全等，则它们的内 角和也相等，且均为180度。
可以通过测量两个三角形的三个 内角来判断它们是否全等。
面积相等
若两个三角形全等，则它们的面积也相等。 可以通过计算两个三角形的面积来判断它们是否全等。
1 2
定义
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
图形语言
若a=a'，∠B=∠B'，b=b'，则⊿ABC≌⊿A'B'C'。
3
符号语言
∵a=a'，∠B=∠B'，b=b'，∴⊿ABC≌⊿A'B'C'（ SAS）。
角边角判定法（ASA）
01
02
03
定义
两角和它们的夹边分别相 等的两个三角形全等。
图形语言
实例1
证明两个三角形全等并求出未知 边长
实例2
利用全等三角形判定方法证明两个 四边形面积相等
实例3
利用全等三角形判定方法解决一个 实际问题，如测量一个不可直接测 量的距离
06
总结与展望
判定全等三角形的方法总结
三边分别相等的两个三角形全等。这是最基本的判定 方法，通过比较三角形的三边长度来确定两个三角形
证明过程
可以通过AAS（角角边）全等条件进行证明，即 如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分 别相等，则这两个三角形全等。这也是一种常用 的全等三角形判定方法。
实际应用举例
在实际应用中，角角边判定法常用于解决与角度 和边长有关的问题。例如，在建筑设计中，如果 需要确保两个建筑结构的角度和边长完全相等， 就可以利用角角边判定法来进行验证。
13.2.7.2构造全等三角形的常见辅助线
延长FD至G,使DG=FD,连接BG, 连接EG
A F
E
B 1 2 D C
四、截长与补短
例1、已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2 A 求证:AB=AC+CD
1、在AB上取点E使得AE=AC，连接DE
E
•
1
2
B
D
C F
2、在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
四、截长与补短
例2、如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线 DC经过点E交AD于点D，交BC于点C。 求证：AD+BC=AB
13.2.7 构造全等三角形的常见辅助线
三、倍长中线
1 求证： AD ( AB AC) 例1.如图，若AD是△ABC的中线， 2 A
延长AD到点E，使DE=AD， 连结CE.
B
C D
E
三、倍长中线
例2、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥GF，交 AB于点E，连接EG、EF.求证：BE＋CF＞EF.
在AB上取点F使AF=AD, 连接EF
D
E
4
C
3
1 2
5
A
F
•
B
线段与角求相等，先找全等试试看。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段计算和与差，巧用截长补短法。 三角形里有中线，延长中线=中线。 想作图形辅助线，切莫忘记要双添。
A F
E
B 1 2 D C
四、截长与补短
例1、已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2 A 求证:AB=AC+CD
1、在AB上取点E使得AE=AC，连接DE
E
•
1
2
B
D
C F
2、在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
四、截长与补短
例2、如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线 DC经过点E交AD于点D，交BC于点C。 求证：AD+BC=AB
13.2.7 构造全等三角形的常见辅助线
三、倍长中线
1 求证： AD ( AB AC) 例1.如图，若AD是△ABC的中线， 2 A
延长AD到点E，使DE=AD， 连结CE.
B
C D
E
三、倍长中线
例2、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥GF，交 AB于点E，连接EG、EF.求证：BE＋CF＞EF.
在AB上取点F使AF=AD, 连接EF
D
E
4
C
3
1 2
5
A
F
•
B
线段与角求相等，先找全等试试看。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段计算和与差，巧用截长补短法。 三角形里有中线，延长中线=中线。 想作图形辅助线，切莫忘记要双添。
全等三角形的判定练习课件(共10张PPT)
全等三角形的判定练习课件
题目类型一：直接证明两个三角形全等
2、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是 否全等？试说明理由。
A
D
证明：∵AE=DB〔〕
2、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
求证：△ABC≌△DEF
例3：如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=CB,求证：∠ A= ∠ C.
ALeabharlann 证明：∵D是BC的中点∴BD=CD
B
C
D
在△ABD与△ACD中
AB=AC（已知）
BD=CD（已证）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
例3：如图，在四边形ABCD中， AB=CD,AD=CB,求证：∠ A= ∠ C.
你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？
2、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
∴AE+ =DB+
题目类型三：添加辅助线利用SSS
AC= 〔〕
题目类型二：间接利用SSS
• ：如图，AC=DF，CB=EF，AE=DB.求证： △ABC≌△DEF.
• 证明：∵AE=DB〔〕
• ∴AE+ =DB+
•即 =
.
• 在△ABC与△DEF中，
•
AC= 〔〕
•
= 〔已证〕
•
BC= 〔〕
• ∴△ABC≌△DEF〔 〕
题目类型三：添加辅助线利用SSS ：如图，AB=DC，AC=DB.
题目类型一：直接证明两个三角形全等
AD=CB ：如图AB=AD， BC=DC，求证：∠B=∠D
题目类型二：间接利用SSS
题目类型一：直接证明两个三角形全等
2、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是 否全等？试说明理由。
A
D
证明：∵AE=DB〔〕
2、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
求证：△ABC≌△DEF
例3：如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=CB,求证：∠ A= ∠ C.
ALeabharlann 证明：∵D是BC的中点∴BD=CD
B
C
D
在△ABD与△ACD中
AB=AC（已知）
BD=CD（已证）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
例3：如图，在四边形ABCD中， AB=CD,AD=CB,求证：∠ A= ∠ C.
你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？
2、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
∴AE+ =DB+
题目类型三：添加辅助线利用SSS
AC= 〔〕
题目类型二：间接利用SSS
• ：如图，AC=DF，CB=EF，AE=DB.求证： △ABC≌△DEF.
• 证明：∵AE=DB〔〕
• ∴AE+ =DB+
•即 =
.
• 在△ABC与△DEF中，
•
AC= 〔〕
•
= 〔已证〕
•
BC= 〔〕
• ∴△ABC≌△DEF〔 〕
题目类型三：添加辅助线利用SSS ：如图，AB=DC，AC=DB.
题目类型一：直接证明两个三角形全等
AD=CB ：如图AB=AD， BC=DC，求证：∠B=∠D
题目类型二：间接利用SSS
八年级数学上册 第十二章 全等三角形 专题训练(五)作辅助线构造三角形全等的常见技巧课件
第二十页，共二十二页。
(2)过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D，过点 C 作 CE⊥AD，垂足为 E.同(1) 可证△ACE≌△BAD，∴AE＝BD，CE＝AD.∵A(1，3)，B(－1，0)，∴BD ＝2，AD＝3.∴CE＝3，DE＝AD－AE＝1，∴C(4，1)
(3)过点 A 作 AD⊥x 轴，AE⊥ y 轴，垂足分别为 D， E.同(1)可证 △BAD≌△CAE，∴CE＝BD，AE＝AD.∵B(－4，0)，C(0，－1)，∴OB＝4， OC＝1，∴AE＝OB－BD＝OB－CE＝OB－(OC＋OE)＝3－AE，∴AE＝32 ， ∴A(－32 ，32 )
∠CFP＝∠DEP， 在△CFP 和△DEP 中，PF＝PE，
∠1＝∠2，
∴△CFP≌△DEP(ASA)，∴PC＝PD
第四页，共二十二页。
2．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD平分(píngfēn)∠ABC，求证：∠A ＋∠C＝180°.
第五页，共二十二页。
证明：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 交 BA 的延长线于 点 F，
(2)∵AB－BE<AE<AB＋BE，∴AB－AC<2AD<AB＋AC，又AB＝5，AC＝3， ∴2<2AD<8.∴1<AD<4
第十五页，共二十二页。
方法2：倍延过中点的线段 8．如图，在△ABC中，D是BC边上(biān shànɡ)的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF. 求证：BE＋CF＞EF.
(一)结合“ 过角平分线上一点作角两边的垂线”模型(móxíng)构造全等三角形 1．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线 OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PC＝PD.
(2)过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D，过点 C 作 CE⊥AD，垂足为 E.同(1) 可证△ACE≌△BAD，∴AE＝BD，CE＝AD.∵A(1，3)，B(－1，0)，∴BD ＝2，AD＝3.∴CE＝3，DE＝AD－AE＝1，∴C(4，1)
(3)过点 A 作 AD⊥x 轴，AE⊥ y 轴，垂足分别为 D， E.同(1)可证 △BAD≌△CAE，∴CE＝BD，AE＝AD.∵B(－4，0)，C(0，－1)，∴OB＝4， OC＝1，∴AE＝OB－BD＝OB－CE＝OB－(OC＋OE)＝3－AE，∴AE＝32 ， ∴A(－32 ，32 )
∠CFP＝∠DEP， 在△CFP 和△DEP 中，PF＝PE，
∠1＝∠2，
∴△CFP≌△DEP(ASA)，∴PC＝PD
第四页，共二十二页。
2．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD平分(píngfēn)∠ABC，求证：∠A ＋∠C＝180°.
第五页，共二十二页。
证明：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 交 BA 的延长线于 点 F，
(2)∵AB－BE<AE<AB＋BE，∴AB－AC<2AD<AB＋AC，又AB＝5，AC＝3， ∴2<2AD<8.∴1<AD<4
第十五页，共二十二页。
方法2：倍延过中点的线段 8．如图，在△ABC中，D是BC边上(biān shànɡ)的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF. 求证：BE＋CF＞EF.
(一)结合“ 过角平分线上一点作角两边的垂线”模型(móxíng)构造全等三角形 1．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线 OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PC＝PD.
初二数学《全等三角形》PPT课件
02
全等三角形判定方法
SSS判定法
定义
三边对应相等的两个三角 形全等。
符号语言
在△ABC和△A'B'C'中， AB=A'B'，AC=A'C'， BC=B'C' ⟹ △ABC≌△A'B'C' （SSS）
注意事项
在应用SSS判定法时，需 要确保三个边分别对应相 等，不能只满足其中两个 边相等。
SAS判定法
注意事项
在应用AAS判定法时，需要确保两个角和其中一个角的对边分别对应相等。同时，需要注意 的是，AAS判定法和ASA判定法的区别在于，AAS判定法中的两个角不是夹边所对的角，而 是任意两个角。
03
全等三角形证明技巧
已知条件梳理与分析
已知条件分类
01
边、角、高、中线、角平分线等。
已知条件之间的关系
能够灵活运用这些判定方法解决相关问题。
关键知识点回顾与总结
全等三角形的应用 了解全等三角形在几何证明和实际问题中的应用。
能够运用全等三角形的知识解决一些实际问题。
拓展延伸：相似三角形简介
相似三角形的定义与性质 了解相似三角形的定义，即两个三角形对应角相等、对应边成比例。
掌握相似三角形的性质，如相似比、面积比等。
符号语言
在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'， AB=A'B'，∠B=∠B' ⟹ △ABC≌△A'B'C'（ASA）
注意事项
在应用ASA判定法时，需要确保 两个角和它们之间的夹边分别对
应相等。
AAS判定法
定义
《全等三角形》ppt课件
《全等三角形》ppt课件•全等三角形基本概念与性质•判定全等三角形方法探讨•辅助线在证明全等过程中作用•相似三角形与全等三角形关系探讨目录•生活中全等三角形应用举例•总结回顾与拓展延伸全等三角形基本概念与性质全等三角形定义及判定方法定义SSS（边边边）SAS（边角边）HL（斜边、直角边）ASA（角边角）AAS（角角边）对应边相等对应角相等对应关系确定030201对应边、对应角关系全等三角形性质总结判定全等三角形方法探讨SSS判定法定义应用举例注意事项应用举例SAS判定法定义在证明两个三角形全等时，若已知两边及夹角相等，则可直接应用SAS判定法。
注意事项ASA判定法定义AAS判定法定义比较分析案例分析01020304ASA和AAS判定法比较与案例分析辅助线在证明全等过程中作用构造辅助线策略与技巧分享观察图形特征在证明全等三角形时，首先要仔细观察图形，分析已知条件和目标结论，从而确定需要构造的辅助线类型。
利用基本图形熟悉并掌握一些基本图形（如角平分线、中线、高线等）的性质，可以帮助我们更快地构造出合适的辅助线。
构造平行线或垂直线根据题目条件，有时需要构造平行线或垂直线来利用相关性质进行证明。
典型辅助线构造方法剖析角平分线法01中线法02高线法03复杂图形中辅助线应用实例在复杂图形中，有时需要综合运用多种辅助线构造方法才能解决问题。
例如，可以先构造角平分线，再利用中线或高线的性质进行证明。
在一些特殊情况下，可能需要构造多条辅助线才能找到解决问题的突破口。
这时需要仔细分析图形特点，灵活运用所学知识进行构造和证明。
通过学习和掌握典型辅助线的构造方法和应用实例，可以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
相似三角形与全等三角形关系探讨性质面积比等于相似比的平方。
定义：两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
周长比等于相似比；010203040506相似三角形定义及性质回顾相似三角形判定方法简介预备定理判定定理1判定定理2判定定理3相似三角形与全等三角形联系和区别联系区别全等三角形的性质在相似三角形中同全等三角形的性质更为严格和具体，而相似三角形的性质相对较为宽松和生活中全等三角形应用举例建筑设计中全等三角形应用稳定性美学效果美术创作中全等三角形构图技巧平衡感动态感其他领域（如工程、测量）中全等三角形应用工程测量机械设计地图制作总结回顾与拓展延伸全等三角形的判定方法熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS及HL等全等三角形的判定方法。
三角形全等中辅助线的常见类型课件
DOC 中，∠COF＝∠COD，CO＝CO，∠FCO＝∠DCO，∴△FOC≌△DOC(ASA)，
∴DC＝FC.∵AC＝AF＋FC，∴AC＝AE＋CD
第6页，共16页。
5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝BC， E，F分别在AD，CD上，且∠EBF＝60°.求证：EF＝AE＋CF.
第9页，共16页。
证明：过点B作BG∥AC，交CF的延长线于点G，∴∠G＝ ∠ACE.∵AC⊥BC，CE⊥AD，∴∠ACE＋∠DCE＝∠ADC＋∠DCE＝ 90°，∴∠ACE＝∠ADC，∴∠G＝∠ADC.又∵AC＝CB，∠ACD＝ ∠CBG＝90°，∴△ADC≌△CGB(AAS)，∴BG＝CD＝BD.在等腰直 角△ABC中，∠CAB＝∠ABC＝45°，∵BG∥AC，∴∠GBF＝∠CAB， ∴∠GBF＝∠DBF，又∵BF＝BF，BG＝BD，∴△GBF≌△DBF(SAS)， ∴∠G＝∠BDF，∴∠ADC＝∠BDF
第2页，共16页。
2 ． 如 图 ， AD 是 △ ABC 的 中 线 ， 点E 在 BC的 延 长 线 上 ， CE ＝ AB， ∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD. 解：延长AD至M，使DM＝AD，由SAS可证△ABD≌△MCD，∴∠B＝ ∠ MCD ， ∵ ∠ BAC ＝ ∠ BCA ， ∠ ACE ＝ ∠ B ＋ ∠ BAC ， ∴ ∠ ACM ＝ ∠ACE，再证△ACM≌△ACE，∴AE＝AM，∴AE＝2AD
第16页，共16页。
＋∠D＝180°，∴∠ABG＋∠ABE＝180°，即 G，B，E 共线．∵∠EAF＝12
∠
BAD
＝
1 2
∠
FAG
，
∴
∠
EAF
＝
数学八年级上人教版第十一章全等三角形复习课件
(A)∠DAB (B) ∠ DBA (C) ∠ DBC (D) ∠ CAD
三、解答题：
1 、 已 知 如 图 △ ABC≌△DFE ， ∠A=96º，∠B=25º，DF=10cm。
求 ∠E的度数及AB的长。
A
D
B
CE
F
2 已知如图 CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， △ ABE≌△ACD ， ∠ C=20º， AB=10 ， AD=4，G为AB延长线上的一点。 求 ∠EBG的度数及CE的长。
C E
F
A
D BG
3如图：已知△ABC≌△ADE，BC的延长 线 交 DA 于 F ， 交 DE 于 G ， ∠ ACB=105º， ∠CAD=10º，∠D=25º。 求 ∠EAC，∠DFE，∠DGB的度数。
D
G FC
E
A
B
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边， 最小的边是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角， 最小的角是 对应角；
2、引平行线构造全等三角形
例2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC， D在AB上，E是AC延长线上一点，且 BD＝CE，DE与BC交于点F． 求 证：DF=EF．
提示：此题辅助线作法 较多，如： ①作 DG∥AE交BC于G； ②作EH∥BA交BC的延 长线于H； 再通过 证三角形全等得DF＝ EF．
三角形中常见辅助线的作法
1.延长中线构造全等三角形
例1 如图1，已知△ABC中，AD 是△ABC的中线，AB=8，AC=6， 求AD的取值范围．
提示：延长AD至A＇，使 A＇D＝AD，连结 BA＇．根据“SAS”易证 △A＇BD≌△ACD，得AC ＝A＇B．这样将AC转移 到△A＇BA中，根据三角 形三边关系定理可解．
三、解答题：
1 、 已 知 如 图 △ ABC≌△DFE ， ∠A=96º，∠B=25º，DF=10cm。
求 ∠E的度数及AB的长。
A
D
B
CE
F
2 已知如图 CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， △ ABE≌△ACD ， ∠ C=20º， AB=10 ， AD=4，G为AB延长线上的一点。 求 ∠EBG的度数及CE的长。
C E
F
A
D BG
3如图：已知△ABC≌△ADE，BC的延长 线 交 DA 于 F ， 交 DE 于 G ， ∠ ACB=105º， ∠CAD=10º，∠D=25º。 求 ∠EAC，∠DFE，∠DGB的度数。
D
G FC
E
A
B
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边， 最小的边是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角， 最小的角是 对应角；
2、引平行线构造全等三角形
例2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC， D在AB上，E是AC延长线上一点，且 BD＝CE，DE与BC交于点F． 求 证：DF=EF．
提示：此题辅助线作法 较多，如： ①作 DG∥AE交BC于G； ②作EH∥BA交BC的延 长线于H； 再通过 证三角形全等得DF＝ EF．
三角形中常见辅助线的作法
1.延长中线构造全等三角形
例1 如图1，已知△ABC中，AD 是△ABC的中线，AB=8，AC=6， 求AD的取值范围．
提示：延长AD至A＇，使 A＇D＝AD，连结 BA＇．根据“SAS”易证 △A＇BD≌△ACD，得AC ＝A＇B．这样将AC转移 到△A＇BA中，根据三角 形三边关系定理可解．
八年级数学《全等三角形》证明题中常见的辅助线的作法(20200904121329)
八年级数学《全等三角形》证明题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种: 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ ABC中，AB=5, AC=3贝忡线AD的取值范围例2、如图，△ ABC中，E、F分别在AB AC上, DEL DE D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，△ ABC中, BD=DC=ACE是DC的中点，求证：A 应用:BAEFAB D AC1、(09崇文二模)以 ABC 的两边AB AC 为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等腰Rt ACE , BAD CAE 90 ,连接DE M N 分别是BC DE 的中点.探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系.(1)如图① 当ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 ，线段AM 与 DE 的数量关系是；(2)将图①中的等腰Rt ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转 (0< <90)后，如图②所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.二、截长补短三、平移变换 例1 ADABC 的角平分线，直线 MNL AD 于 A.E 为MN 上一点，△ ABC 周长记为P A , △ EBC 周长记为求证PB >巳. 例2如图，在△ ABC 的边上取两点1、如图, ABC 中，AB=2AC AD 平分 BAC ，且 AD=BD 求证：CDL AC2、 如图, AC// BD, EA,EB 分别平分/ CAB,/ DBA CD 过点 E ,求证;AB = AC+BD3、如图, 已知在香ABC 内，BAC 60° , C 40° ,上，并且 AP, BQ 分别是BAC , ABC 的角平分线。
人教版八年级数学上册 12.2 复习小专题(二)构造全等三角形常见辅助线的添法 课件(共20张
9
知识点二：利用“截补法”构造全等三角形
归纳总结
不管是截长法还是补短法,往往都需要连接 其他线段,构造全等三角形,利用全等三角形的性 质解决问题.
10
知识点三：利用“倍长中线法”构造全等三角形
典例分析
例3：如图，在△ABC中,AD是BC边上的中线,
求证:AD< (AB+AC)
A
通过添加辅助线,构造全等三角形,将
AD AB ,AC转化到同一个三角形中来求解. B D
C
E
11
知识点三：利用“倍长中线法”构造全等三角形
典例分析
A
例3：如图，在△ABC中,AD是BC边上的中线,
求证:AD< (AB+AC)
B
2
DC
证明:延长AD至点E,使得DE = AD,连接BE.
E
∵AD是BC边上的中线， ∴点D为BC的中点，∴BD=CD.
∴∠F=∠4.
6
知识点二：利用“截补法”构造全等三角形
大显身手
1.如图，AD为△ABC的角平分线,AB >AC,
A
求证:AB﹣AC> BD﹣DC.
E
B
DC
7
知识点二：利用“截补法”构造全等三角形
大显身手
2.如图，在△ABC中, B=2∠C,AD是BC边上的高.
求证:CD=AB+BD.
A
∟
E
BD
C
B
从结论出发,把较长的线段AB截成与 AC,BD分别相等的两条线段,或延长较短的线段AC, 使延长后的线段的长等于线段AB的长,再利用三角 形全等即可证明.
4
知识点二：
解：如图,在线段AB上截取AF=AC连接EF C ∵AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA
知识点二：利用“截补法”构造全等三角形
归纳总结
不管是截长法还是补短法,往往都需要连接 其他线段,构造全等三角形,利用全等三角形的性 质解决问题.
10
知识点三：利用“倍长中线法”构造全等三角形
典例分析
例3：如图，在△ABC中,AD是BC边上的中线,
求证:AD< (AB+AC)
A
通过添加辅助线,构造全等三角形,将
AD AB ,AC转化到同一个三角形中来求解. B D
C
E
11
知识点三：利用“倍长中线法”构造全等三角形
典例分析
A
例3：如图，在△ABC中,AD是BC边上的中线,
求证:AD< (AB+AC)
B
2
DC
证明:延长AD至点E,使得DE = AD,连接BE.
E
∵AD是BC边上的中线， ∴点D为BC的中点，∴BD=CD.
∴∠F=∠4.
6
知识点二：利用“截补法”构造全等三角形
大显身手
1.如图，AD为△ABC的角平分线,AB >AC,
A
求证:AB﹣AC> BD﹣DC.
E
B
DC
7
知识点二：利用“截补法”构造全等三角形
大显身手
2.如图，在△ABC中, B=2∠C,AD是BC边上的高.
求证:CD=AB+BD.
A
∟
E
BD
C
B
从结论出发,把较长的线段AB截成与 AC,BD分别相等的两条线段,或延长较短的线段AC, 使延长后的线段的长等于线段AB的长,再利用三角 形全等即可证明.
4
知识点二：
解：如图,在线段AB上截取AF=AC连接EF C ∵AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA
全等三角形(常见辅助线)课件
2. 由于DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD=90°。
3. 因为AD=AD（公共边），所以根据AAS全等条件，可 证△BED≌△CFD，从而得出BE=CF。
例题三：高线在全等三角形证明中的应用
题目描述
已知三角形ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC的平分线交AD于点E，EF⊥BC于 点F，求证：EF=ED。
掌握多种解题方法
加强实践应用
在学习全等三角形的过程中， 学生应尝试掌握多种解题方 法，培养灵活运用知识的能 力。
学生应多做一些与全等三角 形相关的练习题，通过实践 应用巩固所学知识，提高解 题能力。
拓展学习领域
在掌握全等三角形相关知识 的基础上，学生可以进一步 拓展学习领域，探索更广泛 的数学世界。
截长补短法
通过在长边上截取一段等于短 边，或将短边延长至等于长边
，从而构造出全等三角形。
利用已知条件构造辅助线
01
02
03
已知两边及夹角
可以通
可以通过作角平分线或截 长补短法来构造全等三角 形。
已知三边
可以通过作高、中线或截 长补短法来构造全等三角 形。
输标02入题
01
辅助线应用
03
若两角不直接相邻，可以通过作平行线来构造同位角 或内错角，再利用ASA判定。
04
当已知两角及夹边时，可以通过作角平分线或高来构 造全等三角形。
SSS判定与辅助线
SSS判定定理：三边对应相等的两个 三角形全等。
当已知三边时，可以通过作中线或高 来构造全等三角形。
辅助线应用
例题一：中线在全等三角形证明中的应用
解题步骤 1. 连接BD和CD，由于D是BC的中点，所以BD=CD。
八年级数学上册 第十三章 全等三角形 专题练习五 全等三角形中常见辅助线的作法课件
2．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD， ∠ABC＋∠AED＝180°.求证(qiúzhèng)：DA平分∠CDE.
第六页，共二十页。
证明：延长DE至点F，使EF＝BC，连结(lián jié)AC，AF. ∵∠ABC＋∠AED＝180°，∠AED＋∠AEF＝180°， ∴∠ABC＝∠AEF.∵AB＝AE，∴△ABC≌△AEF(SAS). ∴AC＝AF.∵BC＋DE＝CD，DE＋EF＝DF，∴CD＝DF. 又AD＝AD，∴△ACD≌△AFD(SSS). ∴∠CDA＝∠FDA，即DA平分∠CDE
第十二页，共二十页。
5．如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，并且 AE＝12 (AB＋AD)，求∠ABC＋∠ADC 的度数．
第十三页，共二十页。
解：过点 C 作 CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F.∵AE＝12 (AB＋AD)， ∴AB＋AD＝2AE.∵AC 平分∠BAD，即∠DAC＝∠CAB， 且 CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.又∵AC＝AC， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL).∴AF＝AE.∴AB＋AD＝AE＋AF. ∴AB－AE＝AF－AD，即 BE＝DF.∴Rt△CFD≌Rt△CEB(SAS). ∴∠ABC＝∠CDF.∴∠ABC＋∠ADC＝∠CDF＋∠ADC＝180°
第七页，共二十页。
3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量(shùliàng)关系，并加以证明．
第八页，共二十页。
解：BC＝BE＋CD，证明：在 BC 上截取 BF＝BE，连结 OF. ∵BD 平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO.∴△EBO≌△FBO(SAS). ∴∠EOB＝∠FOB.∵∠A＝60°，BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB， ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－12 ∠ABC－12 ∠ACB＝180° －12 (180°－∠A)＝120°.
三角形全等的判定ppt课件
∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）
5.HL（H.L.） 在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知）
BC=B1C1（已证） ∴△ABC≌△A1B1C1（HL）
例题精讲
例：已知:如图，点A，C，B，D在同一条直线上，
AC=BD，AM=CN，BM=DN 求证:AM∥CN，BM∥DN.
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
为BC边的中点，那么图中的全等三角形有哪几对?并选
择一对进行证明
△ABD≌△ACD
证明：∵D为BC边的中点
A
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
E
AB=AC
BD=CD
AD=AD
B
D
C
∴ △ABD≌△ACD（SSS)
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
证明：∵AC=BD ∴AC+CB=BD+BC 即AB=CD
M
N
在△AMB和△CND中 AM=CN
BM=DN
A
C
B
D
AB=CD
∴ △AMB≌△CND（SSS)
∴∠A=∠NCD,∠MBA=∠D ∴AM∥CN，BM∥DN
例：如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，
AE=FC
求证:△ABC≌△FDE.
（2）全等三角形对应角相等
PART II 全等三角形的判定 1.SSS（S.S.S.） 在△ABC与△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知） BC=B1C1（已知） AC=A1C1（已证）
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）
5.HL（H.L.） 在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知）
BC=B1C1（已证） ∴△ABC≌△A1B1C1（HL）
例题精讲
例：已知:如图，点A，C，B，D在同一条直线上，
AC=BD，AM=CN，BM=DN 求证:AM∥CN，BM∥DN.
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
为BC边的中点，那么图中的全等三角形有哪几对?并选
择一对进行证明
△ABD≌△ACD
证明：∵D为BC边的中点
A
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
E
AB=AC
BD=CD
AD=AD
B
D
C
∴ △ABD≌△ACD（SSS)
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
证明：∵AC=BD ∴AC+CB=BD+BC 即AB=CD
M
N
在△AMB和△CND中 AM=CN
BM=DN
A
C
B
D
AB=CD
∴ △AMB≌△CND（SSS)
∴∠A=∠NCD,∠MBA=∠D ∴AM∥CN，BM∥DN
例：如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，
AE=FC
求证:△ABC≌△FDE.
（2）全等三角形对应角相等
PART II 全等三角形的判定 1.SSS（S.S.S.） 在△ABC与△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知） BC=B1C1（已知） AC=A1C1（已证）
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）
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.
如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C。求证：AD+BC=AB
D
E 短C 截
1
2
A
4长
补 3
F
B
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
.
截长补短法
例1 如图，已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平 分线交BC于E. 求证：AB+BE=AC．
专题学习
----几何证明中常见的 “添辅助线”方法
----“周长问题”的转化
.
连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形 适用情况:图中已经存在两个点—A和B 语言描述:连结AB 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
.
连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
A
C
D
在证明过程中描述添法
.
角平分线上点向两边作垂线段
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
A
E
过点D作DE⊥AB
B
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
C D
.
角平分线上点向两边作垂线段
典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
A
过点D作DE⊥AB
构造了:
E
全等的直角三角形且距离相等
思考:
B
C
D
(1)若AB=15cm,则△BED的周长是多少?
(2)能否用截长补短法，在AB上截取AE=AC？
.
角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, B A
BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
F
=BC
B
D
E
C
.
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
3.如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称.
若A1
A 2
=6cm,求△ABC的周长.
AB+AC+BC
A1
M
=A 1
B+
A 2
C+BC
=A A
12
O
B A
N C
A2
.
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
4.如图, △ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, △ABM周长为13cm，求△ABC的周长.
BE+BD+DE
C D
=BE+BD+CD
=BE+BC
A
B E
=BE+AC
=BE+AE
=AB .
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
2.如图,△ABC中,∠C=90o, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
AD+AE+DE
A
=BD+CE+DE
AB+BC+AC
A
=AB+ BM+MC+6
=AB+ BM+AM+6
求证：EAF45o
A
D
F
BE
C
.
•如图，ΔABC中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，
ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交 BAC 的平分线ＡＤ
于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于 Ｎ． 求证：ＢＭ＝ＣＮ．
A
M
B
E
C
N D
.
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB, DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
.
Ⅳ.中线延长一倍
1.已知，如图AD是△ABC的中线，
求证 A： D 1(AB AC ) A 2
延长AD到点E，使DE=AE，
连结CE.
C B
D
思考：若AB=3,AC=5，求AD的取值范围？
E
.
截长 补短
已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2
求证:AB=AC+CD
A
E
12
B
D
Hale Waihona Puke C在AB上取点E使得AE=AC，连接DE F 在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
P C
E
A
D
B
.
联系生活
问题1:在某一乡村公路L的同侧，有两个村庄A、B，为
了便于两个村庄的人看病，乡政府计划在公路边上修建 一所医院，使得它到两村庄的距离相等，试问医院的院 址P应选在何处？
C A
B
P L
D
.
问题2:有三个村庄A、B、C，为了便于三个村庄的人 看病，乡政府计划修建一所医院，使得它到三个村庄 的距离相等，试问医院的院址P应选在何处？
A
F
D
P
B
E
想一想，P点与BC有
C
怎样的关系？
G
.
三角形三条边的中垂 线是交于一点的，这 个点到三个顶点距离 相等
Ⅳ.中线延长一倍
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN
和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
A
构造全等三角形
B
C
M
N
D
.
连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长.
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
.
角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点A和一条线MN 语言描述:过点A作AH⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
过点E作EF⊥BC
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 C
D
思考: 1.有没有其他辅助线的做法
2.你从本题中还能得到哪些结论?
.
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180o,
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB
F
构造了:
D
全等的直角三角形且距离相等
A
D
G
B
E
C
F
.
旋转法
对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试
用旋转方法构造全等三角形。
例3 如图所示，已知点 、 分别在正方形 的边
与 上.，并且 AF平分∠ EAD ，求证：
A
B E D F A E
D
F
G
B
EC
.
•如图，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上， ．•Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ．
1.连结AC
构造全等三角形
2.连结BD
构造两个等腰三角形
.
连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,
求证:点M是CD的中点.
连结AC、AD
A
构造全等三角形
B
E
C MD
.
连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC
连结AD
O
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
.
C P
G EB
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN
和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
.
如图：PD、PE分别垂直平分线段 AB、BC， 则PA____PC
如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C。求证：AD+BC=AB
D
E 短C 截
1
2
A
4长
补 3
F
B
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
.
截长补短法
例1 如图，已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平 分线交BC于E. 求证：AB+BE=AC．
专题学习
----几何证明中常见的 “添辅助线”方法
----“周长问题”的转化
.
连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形 适用情况:图中已经存在两个点—A和B 语言描述:连结AB 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
.
连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
A
C
D
在证明过程中描述添法
.
角平分线上点向两边作垂线段
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
A
E
过点D作DE⊥AB
B
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
C D
.
角平分线上点向两边作垂线段
典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
A
过点D作DE⊥AB
构造了:
E
全等的直角三角形且距离相等
思考:
B
C
D
(1)若AB=15cm,则△BED的周长是多少?
(2)能否用截长补短法，在AB上截取AE=AC？
.
角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, B A
BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
F
=BC
B
D
E
C
.
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
3.如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称.
若A1
A 2
=6cm,求△ABC的周长.
AB+AC+BC
A1
M
=A 1
B+
A 2
C+BC
=A A
12
O
B A
N C
A2
.
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
4.如图, △ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, △ABM周长为13cm，求△ABC的周长.
BE+BD+DE
C D
=BE+BD+CD
=BE+BC
A
B E
=BE+AC
=BE+AE
=AB .
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
2.如图,△ABC中,∠C=90o, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
AD+AE+DE
A
=BD+CE+DE
AB+BC+AC
A
=AB+ BM+MC+6
=AB+ BM+AM+6
求证：EAF45o
A
D
F
BE
C
.
•如图，ΔABC中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，
ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交 BAC 的平分线ＡＤ
于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于 Ｎ． 求证：ＢＭ＝ＣＮ．
A
M
B
E
C
N D
.
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB, DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
.
Ⅳ.中线延长一倍
1.已知，如图AD是△ABC的中线，
求证 A： D 1(AB AC ) A 2
延长AD到点E，使DE=AE，
连结CE.
C B
D
思考：若AB=3,AC=5，求AD的取值范围？
E
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截长 补短
已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2
求证:AB=AC+CD
A
E
12
B
D
Hale Waihona Puke C在AB上取点E使得AE=AC，连接DE F 在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
P C
E
A
D
B
.
联系生活
问题1:在某一乡村公路L的同侧，有两个村庄A、B，为
了便于两个村庄的人看病，乡政府计划在公路边上修建 一所医院，使得它到两村庄的距离相等，试问医院的院 址P应选在何处？
C A
B
P L
D
.
问题2:有三个村庄A、B、C，为了便于三个村庄的人 看病，乡政府计划修建一所医院，使得它到三个村庄 的距离相等，试问医院的院址P应选在何处？
A
F
D
P
B
E
想一想，P点与BC有
C
怎样的关系？
G
.
三角形三条边的中垂 线是交于一点的，这 个点到三个顶点距离 相等
Ⅳ.中线延长一倍
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN
和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
A
构造全等三角形
B
C
M
N
D
.
连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长.
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
.
角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点A和一条线MN 语言描述:过点A作AH⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
过点E作EF⊥BC
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 C
D
思考: 1.有没有其他辅助线的做法
2.你从本题中还能得到哪些结论?
.
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180o,
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB
F
构造了:
D
全等的直角三角形且距离相等
A
D
G
B
E
C
F
.
旋转法
对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试
用旋转方法构造全等三角形。
例3 如图所示，已知点 、 分别在正方形 的边
与 上.，并且 AF平分∠ EAD ，求证：
A
B E D F A E
D
F
G
B
EC
.
•如图，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上， ．•Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ．
1.连结AC
构造全等三角形
2.连结BD
构造两个等腰三角形
.
连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,
求证:点M是CD的中点.
连结AC、AD
A
构造全等三角形
B
E
C MD
.
连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC
连结AD
O
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
.
C P
G EB
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN
和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
.
如图：PD、PE分别垂直平分线段 AB、BC， 则PA____PC