基础解系相关分析

1、概念

求解AX=0的解时，人们先化为行最简式，然后求行最简式的xi的解（即AX=0的解），其中xi是由自由变量线性组合而成的。从而得出了该方程的通解，为x=c1[↓]+c2[↓]+…+c(n-r(A))[↓]，其中c为任意常数。因为各个确定的[↓]是线性无关的。因此把这些[↓]称为基础解系。

可见，基础解系是对于AX=0这个齐次线性方程组而言的。表示的是矩阵X的最大线性无关组。而非A的最大线性无关组。但X是A的解，因此两者的最大线性无关组有关系：R(X)=n-R(A),即基础解系的个数=A中自由量的个数=n-R(A)。

依据得到的通解，人们发现，其实只需要对A进行初等行变换，得出一个行阶梯矩阵（没必要化为行最简型（各行首个1所在的列其余元素为0）），即可确定基础的数量=自由量个数，然后只要把中的自由量依次每个赋值为1，其余为0，遍历全部，就可以得出各个[↓],[↓]的结构为：

2、计算

上图就是基础解系，算基础解系也没什么可说的了。

将各个[↓]乘个ci，再累加和即是齐次通解。

3、辨析

A各个列向量如何线性表示？这个和基础解系是不一样的概念。线性表示的时候，先把A 化为行最简型。这样一眼就能看出其他相关量如何被表示了。