形式语言与自动机理论-蒋宗礼-第一章参考答案
形式语言01章 预备知识
关系的克林闭包
R* = R0 R+
例1-14
设R1= {(a, b), (c, d), (b, d), (b, b), (d, e)} R2= {(a, a), (b, c), (d, c), (e, d), (c, a)} 则R1R2 ={ (a, c), (c, c), (b, c), (d, d)} R1+ = {(a, b), (c, d), (b, d), (b, b), (d, e),
6}, {1, 4, 5}, {2, 3, 5}, {1, 2, 3, 4}} 注意：没有{5，5}
习题评讲(续)
2(1) {x | x N且1 x 100} (3) 2{1, 2, 3, 4}={B | B {1, 2, 3, 4}} (5) {x | x > 0且 x mod 2 = 1}
1.2.1 二元关系
设A和B为两个集合，则A到B的关系是 A B的任何子集。
若A = B ，则称为A上的关系。 若R为A到B的关系，当(a, b) R时，
可记为aRb。
例1-7
例如，设A为整数集合，则A上的关系 “<”是集合
{(a, b) | a, b A,且a < b} = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), ...
n
Ai
差，注意它不要求两个集合存在子集 i1
关系
补集，论域的概念
几个结论
A = B iff A B且B A。 如果A是有穷集，且A B ，则|A| < |B|。 对于无穷集，这个结论并不适用。如奇
形式语言与自动机理论-蒋宗礼-第四章参考答案
1.写出表示下列语言的正则表达式。
（吴贤珺02282047）⑴{0, 1}*。
解：所求正则表达式为：(0+1)*。
⑵{0, 1}+。
解：所求正则表达式为：(0+1)+。
⑶{ x│x∈{0,1}+ 且x中不含形如00的子串 }。
解：根据第三章构造的FA，可得所求正则表达式为：1*(01+)*(01+0+1)。
⑷{ x│x∈{0,1}*且x中不含形如00的子串 }。
解：根据上题的结果，可得所求正则表达式为：ε+1*(01+)*(01+0+1)。
⑸{ x│x∈{0,1}+ 且x中含形如10110的子串 }。
解：所求正则表达式为：(0+1)*10110(0+1)*。
⑹ { x│x∈{0,1}+ 且x中不含形如10110的子串 }。
解：根据第三章的习题，接受x的FA为：要求该FA对应的正则表达式，分别以q0、q1、q2、q3、q4为终结状态考虑：q为终态时的正则表达式：(0*(11*0(10)*(ε+111*11*0(10)*)0)*)*q为终态时的正则表达式：0*1(1*(0(10)*111*1)*(0(10)*00*1)*)*1q为终态时的正则表达式：0*11*0((10)*(111*11*0)*(00*11*0)*)*2q为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*1(11*11*0((10)*(00*11*0)*)*1)*3q为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*11(1*(11*0((00*11*0)*(10)*)*11)*)*4将以上5个正则表达式用“+”号相连，就得到所要求的正则表达式。
⑺ { x│x∈{0,1}+ 且当把x看成二进制数时，x模5与3同余和x为0时，│x│=1且x≠0时，x的首字符为1}。
解：先画出状态转移图，设置5个状态q0、q1、q2、q3、q4，分别表示除5的余数是0、1、2、3、4的情形。
另外，设置一个开始状态q.由于要求x模5和3同余，而3模5余3,故只有q3可以作为终态。
形式语言与自动机理论--第一章(蒋宗礼)
差(difference)
• 属于A，但不属于B的所有元素组成的集合叫做A 与B的差，记作A-B。
A-B={a|a∈A且aB}
• “-”为减(差)运算符，A-B读作A减B。
• ⑴ A-A=Φ。
⑵ A-Φ=A。 ⑶ A-B ≠ B-A。 ⑷ A-B=A iff A∩B=Φ。 ⑸ A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C)。 ⑹ |A-B|≤|A|。
达式； ⑵ 归纳：如果E1、E2是表达式，则 +E1、-E1、
E1+E2、 E1-E2 、E1*E2 、E1/E2、E1**E2、 Fun(E1)是算术表达式。其中Fun为函数名。 ⑶ 只有满足(1)和(2)的才是算术表达式。
1.2.4 递归定义与归纳证明
立； ⑷ 对任意的i，j，i≠j，Si中的任意元素a和Sj中的任
意元素b，aRb恒不成立
1.2.1 二元关系(binary relation)
• 指数(index)
– 把R将S分成的等价类的个数称为是R在S上的 指数。如果R将S分成有穷多个等价类，则称R 具有有穷指数；如果R将S分成无穷多个等价类， 则称R具有无穷指数。
1.2.1 二元关系(binary relation)
⑴ R1R2≠R2R1。 ⑵ (R1R2)R3=R1(R2R3)。 ⑶ (R1∪R2)R3=R1R3∪R2R3。 ⑷ R3(R1∪R2)=R3R1∪R3R2。 ⑸ (R1∩R2)R3R1R3∩R2R3。 ⑹ R3(R1∩R2)R3R1∩R3R2。
形式语言与自动机理论--第一章 (蒋宗礼)
课程目的和基本要求
• 课程性质
–技术基础
• 基础知识要求
–数学分析（或者高等数学），离散数学
• 主要特点
形式语言与自动机理论-蒋宗礼-第四章参考答案
1.写出表示下列语言的正则表达式。
（吴贤珺02282047）⑴{0, 1}*。
解：所求正则表达式为：(0+1)*。
⑵{0, 1}+。
解：所求正则表达式为：(0+1)+。
⑶{ x│x∈{0,1}+ 且x中不含形如00的子串 }。
解：根据第三章构造的FA，可得所求正则表达式为：1*(01+)*(01+0+1)。
⑷{ x│x∈{0,1}*且x中不含形如00的子串 }。
解：根据上题的结果，可得所求正则表达式为：ε+1*(01+)*(01+0+1)。
⑸{ x│x∈{0,1}+ 且x中含形如10110的子串 }。
解：所求正则表达式为：(0+1)*10110(0+1)*。
⑹ { x│x∈{0,1}+ 且x中不含形如10110的子串 }。
解：根据第三章的习题，接受x的FA为：要求该FA对应的正则表达式，分别以q0、q1、q2、q3、q4为终结状态考虑：q为终态时的正则表达式：(0*(11*0(10)*(ε+111*11*0(10)*)0)*)*q为终态时的正则表达式：0*1(1*(0(10)*111*1)*(0(10)*00*1)*)*1q为终态时的正则表达式：0*11*0((10)*(111*11*0)*(00*11*0)*)*2q为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*1(11*11*0((10)*(00*11*0)*)*1)*3q为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*11(1*(11*0((00*11*0)*(10)*)*11)*)*4将以上5个正则表达式用“+”号相连，就得到所要求的正则表达式。
⑺ { x│x∈{0,1}+ 且当把x看成二进制数时，x模5与3同余和x为0时，│x│=1且x≠0时，x的首字符为1}。
解：先画出状态转移图，设置5个状态q0、q1、q2、q3、q4，分别表示除5的余数是0、1、2、3、4的情形。
另外，设置一个开始状态q.由于要求x模5和3同余，而3模5余3,故只有q3可以作为终态。
蒋宗礼送形式语言与自动机理论-资料
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补集(Complementary Set)
A是论域U上的一个集合，A补集是由U中的、 不在A中的所有元素组成的集合
AUA
U
U
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20
补集(Complementary Set)
如果AB，则 B A
AAU
AA
B A A B U & A B
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1.1.2 集合之间的关系
•集合相等
– 如果集合A，B含有的元素完全相同，则称集 合A与集合B相等(Equivalence)，记作A=B。
•对任意集合A、B、C： ⑴ A=B iff AB且BA。 ⑵ 如果AB，则|A|≤|B| ⑶ 如果AB，则|A|≤|B|。 ⑷ 如果A是有穷集，且AB，则|B|>|A|。
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交(Intersection)
• ⑷ A∩B=A iff A B • ⑸ Φ∩A=Φ • ⑹ |A∩B|≤min{|A|，|B|} • ⑺ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) • ⑻ A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) • ⑼ A∩(A∪B)=A • ⑽ A∪(A∩B)=A
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1.2.3递归定义与归纳证明
• 归纳证明
– 与递归定义相对应
– 归纳证明方法包括三大步
• 基础(Basis)：证明最基本元素具有相应性质
• 归纳(Induction)：证明如果某些元素具有相 应性质，则根据这些元素用所规定的方法得 到的新元素也具有相应的性质。
• 根据归纳法原理，所有的元素具有相应的性 质
形式语言与自动机理论
形式语言与自动机蒋宗礼答案
形式语言与自动机蒋宗礼答案形式语言与自动机蒋宗礼答案【篇一：形式语言第四章参考答案(蒋宗礼)】p> 解：所求正则表达式为：(0+1)*。
+⑵ {0, 1}。
解：所求正则表达式为：(0+1)+。
⑶ { x│x∈{0,1}且x中不含形如00的子串 }。
解：根据第三章构造的fa，可得所求正则表达式为：1*(01+)*(01+0+1)。
⑷ { x│x∈{0,1}*且x中不含形如00的子串 }。
++ +q1为终态时的正则表达式：0*1(1*(0(10)*111*1)*(0(10)*00*1)*)* q2为终态时的正则表达式：0*11*0((10)*(111*11*0)*(00*11*0)*)*q3为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*1(11*11*0((10)*(00*11*0)*)*1)* q4为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*11(1*(11*0((00*11*0)*(10)*)*11)*)* 将以上5个正则表达式用“+”号相连，就得到所要求的正则表达式。
⑺ { x│x∈{0,1}且当把x看成二进制数时，x模5与3同余和x为0时，│x│=1且x≠0时，x的首字符为1}。
解：先画出状态转移图，设置5个状态q0、q1、q2、q3、q4，分别表示除5的余数是0、1、2、3、4的情形。
另外，设置一个开始状态q.由于要求x模5和3同余，而3模5余3,故只有q3可以作为终态。
由题设，x=0时，│x│=1，模5是1，不符合条件，所以不必增加关于它的状态。
下面对每一个状态考虑输入0和1时的状态转移。
q: 输入1，模5是1，进入q1。
+q0: 设x=5n。
输入0，x=5n*2=10n，模5是0，故进入q0输入1，x=5n*2+1=10n+1，模5是1，故进入q1q1：设x=5n+1。
输入0，x=(5n+1)*2=10n+2，模5是2，故进入q2输入1，x=(5n+1)*2+1=10n+3，模5是3，故进入q3 q2：设x=5n+2。
形式语言与自动机答案蒋宗礼
形式语言与自动机答案蒋宗礼【篇一：形式语言第四章参考答案(蒋宗礼)】p> 解：所求正则表达式为：(0+1)*。
+⑵ {0, 1}。
解：所求正则表达式为：(0+1)+。
⑶ { x│x∈{0,1}且x中不含形如00的子串 }。
解：根据第三章构造的fa，可得所求正则表达式为：1*(01+)*(01+0+1)。
⑷ { x│x∈{0,1}*且x中不含形如00的子串 }。
++ +q1为终态时的正则表达式：0*1(1*(0(10)*111*1)*(0(10)*00*1)*)* q2为终态时的正则表达式：0*11*0((10)*(111*11*0)*(00*11*0)*)*q3为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*1(11*11*0((10)*(00*11*0)*)*1)* q4为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*11(1*(11*0((00*11*0)*(10)*)*11)*)*将以上5个正则表达式用“+”号相连，就得到所要求的正则表达式。
⑺ { x│x∈{0,1}且当把x看成二进制数时，x模5与3同余和x为0时，│x│=1且x≠0时，x的首字符为1}。
解：先画出状态转移图，设置5个状态q0、q1、q2、q3、q4，分别表示除5的余数是0、1、2、3、4的情形。
另外，设置一个开始状态q.由于要求x模5和3同余，而3模5余3,故只有q3可以作为终态。
由题设，x=0时，│x│=1，模5是1，不符合条件，所以不必增加关于它的状态。
下面对每一个状态考虑输入0和1时的状态转移。
q: 输入1，模5是1，进入q1。
+q0: 设x=5n。
输入0，x=5n*2=10n，模5是0，故进入q0输入1，x=5n*2+1=10n+1，模5是1，故进入q1q1：设x=5n+1。
输入0，x=(5n+1)*2=10n+2，模5是2，故进入q2输入1，x=(5n+1)*2+1=10n+3，模5是3，故进入q3 q2：设x=5n+2。
形式语言与自动机课后习题答案
形式语言与自动机课后习题答案第二章4•找出右线性文法，能构成长度为1至5个字符且以字母为首的字符串。
答：G={N,T,P,S}其中N={S,A,B,C,D} T={x,y} 其中x€ {所有字母} y € {所有的字符} P如下:4 x S f xA A f y A f yB4 y B f yC C f y C f yD D f y 6 •构造上下文无关文法能够产生L={ 3 / {a,b}*且3中a的个数是b的两倍}答: G={N,T,P,S}其中N={S} T={a,b} P 如下：S f aab S f aba S f baaS f aabS S f aaSbS f aSab S f SaabS f abaS S f abSaS f aSba S f SabaS f baaS S f baSaS f bSaa S f Sbaa7 •找出由下列各组生成式产生的语言(起始符为S)⑴ S f SaS S f b⑵ S f aSb S f c(3) S f a S f aE E f aS答：(1) b(ab) n /n > 0}或者L={(ba) n b /n > 0}(2)L={a n cb n /n > 0}(3)L={a2n+1 /n > 0}第三章1.下列集合是否为正则集，若是正则集写出其正则式。
(1)含有偶数个a和奇数个b的{a,b}*上的字符串集合(2)含有相同个数a和b的字符串集合(3)不含子串aba的{a,b}*上的字符串集合答：(1)是正则集，自动机如下b b b b⑵ 不是正则集，用泵浦引理可以证明，具体见17题(2)(3) 是正则集先看L '为包含子串aba的{a,b}*上的字符串集合显然这是正则集，可以写出表达式和画出自动机。
(略) 则不包含子串aba的{a,b}*上的字符串集合L是L'的非。
根据正则集的性质，L也是正则集。
4．对下列文法的生成式，找出其正则式(1)G=({SAB,C,D},{a,b,c,d},P,S), 生成式P如下：S f aA S —BA f abS A —bBB f b B f cCC fD D f bBD f d(2)G=({SAB,C,D},{a,b,c,d},P,S), 生成式P如下：S f aA S f BA f cC A f bBB f bB B f aC fD C f abBD f d答：(1) 由生成式得：S=aA+B ①A=abS+bB ②B=b+cC ③C=D ④D=d+bB ⑤③④⑤式化简消去CD得到B=b+c(d+bB)即B=cbB+cd+b =>B=(cb)*(cd+b) ⑥将②⑥代入①S=aabS+ab(cb)*(cd+b)+(cb)*(cd+b) =>S=(aab)*(ab+ & )(cb)*(cd+b)(2) 由生成式得：S=aA+B ①A=bB+cC②B=a+bB ③C=D+abB④D=dB ⑤由③得B=b*a ⑥将⑤⑥代入④ C=d+abb*a=d+ab+a ⑦将⑥⑦代入② A=b+a+c(d+b+a) ⑧将⑥⑧代入① S=a(b +a+c(d+ab +a))+b*a++=ab a+acd+acaba+b*a5. 为下列正则集，构造右线性文法：(1){a,b}*(2)以abb 结尾的由a 和b 组成的所有字符串的集合(3)以b为首后跟若干个a的字符串的集合(4)含有两个相继a和两个相继b的由a和b组成的所有字符串集合答：(1)右线性文法G=({S},{a,b},P,S)P: S f aS S f bS S(2)右线性文法G=({S},{a,b},P,S)P: S f aS S f bS S f abb(3)此正则集为{ba*}右线性文法G=({S,A},{a,b},P,S)P: S f bA A f aA A f£(4)此正则集为{{a,b}*aa{a,b}*bb{a,b}*, {a,b}*bb{a,b}*aa{a,b}*} 右线性文法G=({SAB,C},{a,b},P,S)P: S f aS/bS/aaA/bbBA f aA/bA/bbCB f aB/bB/aaCC f aC/bC/ &7.设正则集为a(ba)*(1)构造右线性文法⑵找出(1)中文法的有限自b动机答：(1)右线性文法G=({S,A},{a,b},P,S)P: S f aA A f bS A f&(2)自动机如下：(p2是终结状态)9.对应图(a) (b)的状态转换图写出正则式。
形式语言与自动机理论-蒋宗礼-第一章参考答案
第一章参考答案1.1请用列举法给出下列集合。
（吴贤珺02282047）⑴你知道的各种颜色。
解：{红，橙，黄，绿，青，蓝，紫}⑵大学教师中的各种职称。
解：{助教，讲师，副教授，教授}⑶你所学过的课程。
解：{语文，数学，英语，物理，化学，生物，历史，地理，政治}⑷你的家庭成员。
解：{父亲，母亲，妹妹，我}⑸你知道的所有交通工具。
解：{汽车，火车，飞机，轮船，马车}⑹字母表{a , b}上长度小于4的串的集合。
解：{a,b,aa,bb,ab,ba,aaa,aab,aba,abb,baa,bab,bba,bbb}⑺集合{1,2,3,4}的幂集。
解：{Φ,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4} }⑻所有的非负奇数。
解：{1,3,5,7,…}⑼0～100的所有正整数。
解：{1,2,3, (100)(10) 1～10之间的和为10的整数集合的集合。
解：设所求的集合为A，集合A中的元素为A i（i=1,2,3,…），A i也是集合，A i中的元素在1～10之间，并且和为10。
根据集合元素的彼此可区分性，可以计算出A i中元素的最多个数，方法是：把1开始的正整数逐个相加，直到等于10（即10=1+2+3+4），这样，A i中最多有4个元素。
原因是：从最小的1开始，每次加入新的元素都只依次增加1，这样相加的和最小，要加到10，元素个数就最多。
求出最大的∣A i∣＝4后，再求出元素个数为3，2，1的集合就可以了。
故A={{10},{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},{1,2,7},{1,3,6},{1,4,5},{2,3,5},{1,2,3,4}}1.2 请用命题法给出下列集合1.3 给出下列集合的幂集.（02282075 冯蕊）(1)Φ(2){Φ}(3){Φ,{Φ}}(4){ε,0,00}(5){0,1}解答:(1){Φ}(2){Φ,{Φ}}(3){Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}(4){Φ,{ε},{0},{00},{ε,0},{ε,00},{0,00},{ε,0,00}}(5){Φ,{0},{1},{0,1}}1.4.列出集合{0，1，2，3，4}中(褚颖娜02282072)（1）所有基数为3的子集{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{0，2，3，}，{0，2，4}，.{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{0，3，4}，{2，3，4}（2）所有基数不大于3的子集Ф，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{3，4}，{2，4}，{2，3}，{1，4}，{1，3}，{0，4}，{0，3}，{0，2}，{1，2}，{0，1}，{0，1，2}，{0，1，3}{0，1，4}，{0，2，3，}，{0，2，4}，.{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{0，3，4}，{2，3，4}1.5解答：1、3、8、10、11、12、16正确1.6证明下列各题目（02282081 刘秋雯）1）A=B，iff A是B的子集且B是A的子集证明：充分条件：∵A=B则由集合相等的定义知对于任何x∈A，有x∈B∴A为B的子集同理，B为A的子集必要条件：∵A为B的子集∴对于任何x∈A，都有x∈B又∵B为A的子集，∴对于任何x∈B有，x∈A由集合相等的定义知，A=B2）如果A为B的子集，则|A|〈=|B|证明：A为B的子集，则对于任何x∈A有x∈B,∴存在一个集合C 使B=A∪C 且A∩C为空集则|B|=|A|+|C||C|〉=0∴|A|〈=|B|3）如果A为B的真子集，则|A|〈=|B|证明：（1）当A为有穷集合时，因为A为B的真子集，且则对于任何x∈A有x∈B,且存在∈B的x，此x不∈A∴存在一个非空集合C ，使B=A∪C 且A∩C为空集则|B|=|A|+|C| 且|C|〉=1∴|A|〈|B|（2）当A为无穷集合，因为A为B的真子集，则B一定也为无穷集合，|A|＝∞，|B|＝∞∴|A|=|B|综合（1），（2）所述，|A|<=|B|4）如果A是有穷集且A为B的真子集则|A|〈|B|证明：见上题证明（1）5）如果A为B的子集，则对于任何x∈A，有x∈B证明：若A为B的子集，则由子集定义可知，对于任何x∈A，有x∈B6）如果A是B的真子集，则对于任何x∈A，有x∈B，并且存在x∈B，但x不∈A 证明：由真子集的定义可证7）如果A为B的子集，B为C的子集，则A为C的子集证明：A为B的子集，B为C的子集则对于任何x∈A，则x都∈B，且，又对于任何y∈B，则y∈C，∴对于任何x∈A，x∈C∴A为C的子集8）如果A为B的真子集，B为C的真子集，则A为C的真子集证明：A为B的真子集，B为C的真子集则对于任何x∈A，则x都∈B，且，存在x∈B但次x不∈A，又对于任何y∈B，则y∈C，存在y∈C但此y不∈B，∴对于任何x∈A，x∈C，存在x∈C.x不∈A∴A为C的真子集9）如果A为B的子集，B为C的真子集，则A为C的真子集证明：因为A为B的子集，B为C的真子集则对于任何x∈A，x都∈B，且x都∈C又对于任何y∈B，则y∈C，存在y∈C但此y不∈B，则y不∈A∴对于任何x∈A，x∈C，存在x∈C.x不∈A∴A为C的真子集10）如果A为B的真子集，B为C的子集，则A为C的真子集证明：A为B的真子集，B为C的子集则对于任何x∈A，则x都∈B，且存在x∈B但次x不∈A，又对于任何y∈B，则y∈C∴对于任何x∈A，x∈C，存在x∈C.x不∈A∴A为C的真子集11）如果A=B，则|A|=|B|证明：A=B，则A与B所含元素相同∴|A|=|B|12）如果A为B的子集，B为C的真子集，或如果A为B的真子集，B为C的子集，则A为C的真子集证明：证明见9，101.7 A = {1,2,3,4,5,6} B = {1,3,5} C = {2,4,6} U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A(1). B= {1,3,5} = B(2). C B A )(= {1,3,5} }6,4,2{={1,2,3,4,5,6} = A (3). )()(C U B A - = {1,3,5} }9,8,7,5,3,1,0{ ={0,1,3,5,7,8,9} = C(4).A-B-C= {2,4,6} – {2,4,6}=Φ(5).A × B × C ×Φ=ΦA ×Φ = Φ (6). A C AB A )(= {1,3,5} {0,7,8,9} {0,7,8,9}= {0,1,3,5,7,8,9} = C(7). C AB A ⨯⨯ =C B A ⨯⨯ =)},(),(),(|),{(C b B a C b B a C b B a b a A ∈∈∈∈∈∈⨯或或 =)},,(),,(),,(|),,{(C c B b A a C c B b A a C c B b A a c b a ∈∈∈∈∈∈∈∈∈或或 (8). C B A B A)( = C A A= C A= A={1，2，3，4，5，6}1．8 对论域U 上的集合A 、B 、C ，证明以下结论成立。
形式语言与自动机理论-蒋宗礼-第四章参考答案
1.写出表示下列语言的正则表达式。
（吴贤珺02282047）⑴{0, 1}*。
解：所求正则表达式为：(0+1)*。
⑵{0, 1}+。
解：所求正则表达式为：(0+1)+。
⑶{ x│x∈{0,1}+ 且x中不含形如00的子串 }。
解：根据第三章构造的FA，可得所求正则表达式为：1*(01+)*(01+0+1)。
⑷{ x│x∈{0,1}*且x中不含形如00的子串 }。
解：根据上题的结果，可得所求正则表达式为：ε+1*(01+)*(01+0+1)。
⑸{ x│x∈{0,1}+ 且x中含形如10110的子串 }。
解：所求正则表达式为：(0+1)*10110(0+1)*。
⑹ { x│x∈{0,1}+ 且x中不含形如10110的子串 }。
解：根据第三章的习题，接受x的FA为：要求该FA对应的正则表达式，分别以q0、q1、q2、q3、q4为终结状态考虑：q为终态时的正则表达式：(0*(11*0(10)*(ε+111*11*0(10)*)0)*)*q为终态时的正则表达式：0*1(1*(0(10)*111*1)*(0(10)*00*1)*)*1q为终态时的正则表达式：0*11*0((10)*(111*11*0)*(00*11*0)*)*2q为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*1(11*11*0((10)*(00*11*0)*)*1)*3q为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*11(1*(11*0((00*11*0)*(10)*)*11)*)*4将以上5个正则表达式用“+”号相连，就得到所要求的正则表达式。
⑺ { x│x∈{0,1}+ 且当把x看成二进制数时，x模5与3同余和x为0时，│x│=1且x≠0时，x的首字符为1}。
解：先画出状态转移图，设置5个状态q0、q1、q2、q3、q4，分别表示除5的余数是0、1、2、3、4的情形。
另外，设置一个开始状态q.由于要求x模5和3同余，而3模5余3,故只有q3可以作为终态。
形式语言与自动机理论FormalLanguagesandAutomataTheory
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笛卡儿积(Cartesian product)
❖ A与B的笛卡儿积(Cartesian product)是一个集合， 该集合是由所有这样的有序对(a，b)组成的：其中 a∈A，b∈B ，记作A× B。
A× B={(a，b)|a∈A& b∈B }。
❖ “× ”为笛卡儿乘运算符。A× B读作A叉乘B。
❖ A与B的并(union)是一个集合，该集合中的元素要么 是A的元素，要么是B的元素，记作A∪B。
A∪B={a|a∈A或者a∈B}
A1∪A2∪…∪An={a|i，1≤i≤n，使得a∈Ai} A1∪A2∪…∪An ∪…={a|i，i∈N,使得a∈Ai}
Ai
i 1
A {a | A S, a A}
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1.1.2 集合之间的关系
❖集合相等
如果集合A，B含有的元素完全相同，则称集合 A与集合B相等(equivalence)，记作A=B。
❖对任意集合A、B、C： ⑴ A=B iff AB且BA。 ⑵ 如果AB，则|A|≤|B|。 ⑶ 如果AB，则|A|≤|B|。 ⑷ 2020/7/10 如果A是有穷集，且AB，则|B|>|A|。 8
❖ 计算思维能力
逻辑思维能力和抽象思维能力
构造模型对问题进行形式化描述
理解和处理形式模型
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课程目的和基本要求
❖ 知识
掌握正则语言、下文无关语言的文法、识别模型 及其基本性质、图灵机的基本知识。
❖ 能力
培养学生的形式化描述和抽象思维能力。
使学生了解和初步掌握“问题、形式化描述、自 动化（计算机化）”这一最典型的计算机问题求 解思路。
形式语言与自动机理论--目录
形式语言与自动机理论（第2版）作者：蒋宗礼、姜守旭第1章绪论11.1集合的基础知识21.1.1集合及其表示21.1.2集合之间的关系51.1.3集合的运算61.2关系121.2.1二元关系121.2.2等价关系与等价类131.2.3关系的合成141.2.4递归定义与归纳证明151.2.5关系的闭包181.3图191.3.1无向图191.3.2有向图211.3.3树231.4语言241.4.1什么是语言241.4.2形式语言与自动机理论的产生与作用25 1.4.3基本概念281.5小结35习题35第2章文法422.1启示432.2形式定义482.3文法的构造582.4文法的乔姆斯基体系682.5空语句792.6小结82习题82第3章有穷状态自动机863.1语言的识别863.2有穷状态自动机893.3不确定的有穷状态自动机1023.3.1作为对DFA的修改1023.3.2NFA的形式定义1043.3.3NFA与DFA等价1063.4带空移动的有穷状态自动机1103.5FA是正则语言的识别器1153.5.1FA与右线性文法1153.5.2FA与左线性文法1203.6FA的一些变形1223.6.1双向有穷状态自动机1223.6.2带输出的FA1233.7小结125习题126第4章正则表达式1314.1启示1314.2正则表达式的形式定义1334.3正则表达式与FA等价1354.3.1正则表达式到FA的等价变换1354.3.2正则语言可以用正则表达式表示1444.4正则语言等价模型的总结1504.5小结152习题153第5章正则语言的性质1565.1正则语言的泵引理1565.2正则语言的封闭性1625.3Myhill Nerode 定理与DFA的极小化170 5.3.1Myhill Nerode 定理1705.3.2DFA的极小化1805.4关于正则语言的判定算法1895.5小结190习题191第6章上下文无关语言1946.1上下文无关文法1956.1.1上下文无关文法的派生树1956.1.2二义性2026.1.3自顶向下的分析和自底向上的分析2056.2上下文无关文法的化简2076.2.1去无用符号2086.2.2去ε 产生式2126.2.3去单一产生式组2166.3乔姆斯基范式2196.4格雷巴赫范式2236.5自嵌套文法2296.6小结230习题230第7章下推自动机2357.1基本定义2357.2PDA与CFG等价2427.2.1PDA用空栈接受和用终止状态接受等价243 7.2.2PDA与CFG等价2467.3小结257习题257第8章上下文无关语言的性质2608.1上下文无关语言的泵引理2608.2上下文无关语言的封闭性2678.3上下文无关语言的判定算法2738.3.1L空否的判定2738.3.2L是否有穷的判定2748.3.3x是否为L的句子的判定2768.4小结278习题278第9章图灵机2809.1基本概念2819.1.1基本图灵机2829.1.2图灵机作为非负整函数的计算模型2899.1.3图灵机的构造2939.2图灵机的变形3009.2.1双向无穷带图灵机3009.2.2多带图灵机3049.2.3不确定的图灵机3069.2.4多维图灵机3089.2.5其他图灵机3109.3通用图灵机3139.4几个相关的概念3159.4.1可计算性3159.4.2P与NP相关问题3169.5小结316习题317第10章上下文有关语言32010.1图灵机与短语结构文法的等价性32010.2线性有界自动机及其与上下文有关文法的等价性323 10.3小结325习题325附录A教学设计327附录B缩写符号338词汇索引340参考文献348。
形式语言与自动机理论-蒋宗礼-第三章参考答案
第三章作业答案1．已知DFA M1与M2如图3－18所示。
(敖雪峰 02282068)(1) 请分别给出它们在处理字符串1011001的过程中经过的状态序列。
(2) 请给出它们的形式描述。
Sq q1图3－18 两个不同的DFA解答：(1)M1在处理1011001的过程中经过的状态序列为q 0q 3q 1q 3q 2q 3q 1q 3; M2在处理1011001的过程中经过的状态序列为q 0q 2q 3q 1q 3q 2q 3q 1;(2)考虑到用形式语言表示,用自然语言似乎不是那么容易,所以用图上作业法把它们用正则表达式来描述:M1: [01+(00+1)(11+0)][11+(10+0)(11+0)]* M2: (01+1+000){(01)*+[(001+11)(01+1+000)]*}******************************************************************************* 2．构造下列语言的DFA ( 文婧 02282085 )（1）{0，1}*，1（2）{0，1}+，1（3）{x|x {0，1}+且x 中不含00的串}（设置一个陷阱状态，一旦发现有00的子串，就进入陷阱状态）（4）{ x|x∈{0，1}*且x中不含00的串}（可接受空字符串，所以初始状态也是接受状态）（5）{x|x∈{0，1}+且x中含形如10110的子串}（6）{x|x∈{0，1}+且x中不含形如10110的子串}（设置一个陷阱状态，一旦发现有00的子串，就进入陷阱状态）（7）{x|x∈{0，1}+且当把x看成二进制时，x模5和3同余，要求当x为0时，|x|=1,且x≠0时，x的首字符为1 }1.以0开头的串不被接受，故设置陷阱状态，当DFA在启动状态读入的符号为0，则进入陷阱状态2.设置7个状态：开始状态q s,q0:除以5余0的等价类，q1：除以5余1的等价类,q2:除以5余2的等价类，q3:除以5余3的等价类，q4:除以5余4的等价类，接受状态q t（8）{x|x∈{0，1}+且x的第十个字符为1}（设置一个陷阱状态，一旦发现x的第十个字符为0，进入陷阱状态）（9）{x|x∈{0，1}+且x以0开头以1结尾}（设置陷阱状态，当第一个字符为1时，进入陷阱状态）（10）{x|x∈{0，1}+且x中至少含有两个1}（11）{x|x ∈{0，1}+且如果x 以1结尾，则它的长度为偶数；如果x 以0结尾，则它的长度为奇数}可将{0，1}+的字符串分为4个等价类。
形式语言与自动机理论-蒋宗礼-参考答案
第三章作业答案1 已知 DFA M1与M2如图3- 18所示。
(1) 请分别给出它们在处理字符串 (2)请给出它们的形式描述。
图3- 18 两个不同的DFA解答：(1)M1在处理1011001的过程中经过的状态序列为M2在处理1011001的过程中经过的状态序列为 q °q 2q 3q 1q 3q 2q 3q 1；⑵考虑到用形式语言表示，用自然语言似乎不是那么容易，所以用图上作业法把它们用正则 表达式来描述M1: [01+(00+1)(11+0)][11+(10+0)(11+0)]* M2: (01 + 1+000){(01)*+[(001 + 11)(01 + 1+000)]*}*******************************************************************************2.构造下列语言的 DFA (陶文婧 02282085 )(1) {0 , 1}*1 0 011111(敖雪峰 02282068)1011001的过程中经过的状态序列。
q o q 3q 1q 3q 2q 3q 1q 3；(2) 0, 1+{0 , 1}(3) {x|x {0, 1}+且x中不含00的串}(设置一个陷阱状态，一旦发现有00的子串，就进入陷阱状态)(4) { x|x • {0 , 1}*且x 中不含00的串}(可接受空字符串，所以初始状态也是接受状态)(6) {x|x^{0, 1}+且x 中不含形如10110的子串}(设置一个陷阱状态，一旦发现有 00的子串，就进入陷阱状态)(7){x|x {0，1}+且当把x 看成二进制时，x 模5和3同余，要求当x 为0时，|x|=1,且x=0 时，x 的首字符为1 }1.以0开头的串不被接受，故设置陷阱状态，当 DFA 在启动状态读入的符号为 0,则进入陷阱状态2.设置7个状态：开始状态q s ,q °:除以5余0的等价类，除以5余1的等价类口2:除以5余2的等价类，q 3：除以5余3的等价类，q 4：除以5余4的等价类，接受状态 q t3.状态转移表为状态0 1 q 0 q 1 q 2 q 1 q 3 q 2 q 2 q 0 q 4 q 3q 1q 21(5){x|x ・{0, 1}+且x 中含形如10110的子串}q4 q3 q4 (8) {x|x {0 , 1}+且x的第十个字符为1}(设置一个陷阱状态，一旦发现x的第十个字符为(9){x|x • {0，1}+且x以0开头以1结尾}(设置陷阱状态，当第一个字符为1时，进入陷阱状态)0,进入陷阱状态)(10){x|x {0，1}+且x中至少含有两个1}(11) {x|x ■ {0 , 1}+且如果x以1结尾，则它的长度为偶数；如果为奇数}可将{0 , 1}+的字符串分为4个等价类。
形式语言与自动机理论-蒋宗礼-第三章参考答案
第三章作业答案1．已知DFA M1与M2如图3－18所示。
(敖雪峰 02282068)(1) 请分别给出它们在处理字符串1011001的过程中经过的状态序列。
(2) 请给出它们的形式描述。
Sq q1图3－18 两个不同的DFA解答：(1)M1在处理1011001的过程中经过的状态序列为q 0q 3q 1q 3q 2q 3q 1q 3; M2在处理1011001的过程中经过的状态序列为q 0q 2q 3q 1q 3q 2q 3q 1;(2)考虑到用形式语言表示,用自然语言似乎不是那么容易,所以用图上作业法把它们用正则表达式来描述:M1: [01+(00+1)(11+0)][11+(10+0)(11+0)]* M2: (01+1+000){(01)*+[(001+11)(01+1+000)]*}******************************************************************************* 2．构造下列语言的DFA ( 文婧 02282085 )（1）{0，1}*，1（2）{0，1}+，1（3）{x|x {0，1}+且x 中不含00的串}（设置一个陷阱状态，一旦发现有00的子串，就进入陷阱状态）（4）{ x|x∈{0，1}*且x中不含00的串}（可接受空字符串，所以初始状态也是接受状态）（5）{x|x∈{0，1}+且x中含形如10110的子串}（6）{x|x∈{0，1}+且x中不含形如10110的子串}（设置一个陷阱状态，一旦发现有00的子串，就进入陷阱状态）（7）{x|x∈{0，1}+且当把x看成二进制时，x模5和3同余，要求当x为0时，|x|=1,且x≠0时，x的首字符为1 }1.以0开头的串不被接受，故设置陷阱状态，当DFA在启动状态读入的符号为0，则进入陷阱状态2.设置7个状态：开始状态q s,q0:除以5余0的等价类，q1：除以5余1的等价类,q2:除以5余2的等价类，q3:除以5余3的等价类，q4:除以5余4的等价类，接受状态q t（8）{x|x∈{0，1}+且x的第十个字符为1}（设置一个陷阱状态，一旦发现x的第十个字符为0，进入陷阱状态）（9）{x|x∈{0，1}+且x以0开头以1结尾}（设置陷阱状态，当第一个字符为1时，进入陷阱状态）（10）{x|x∈{0，1}+且x中至少含有两个1}（11）{x|x ∈{0，1}+且如果x 以1结尾，则它的长度为偶数；如果x 以0结尾，则它的长度为奇数}可将{0，1}+的字符串分为4个等价类。
形式语言与自动机理论-蒋宗礼-参考答案
ij求索-百度文库2.1回答下面的问题：（周期律02282067）（1）在文法中，终极符号和非终极符号各起什么作用？/终结符号是一个文法所产生的语言中句子的中出现的字符,他决上了一个文法的产生语言中字符的范围。
/ 非终结符号又叫做一个语法变量，它表示一个语法范畴，文法中每一个产生式的左部至少要还有一个非终结符号，（二，三型文法要求更严，只允许左部为一个非终结符号）他是推导或归约的核心。
（2）文法的语法范畴有什么意义？开始符号所对应的语法范畴有什么特殊意义？/ 文法的非终结符号A所对应的语法范畴代表着一个集合L （A）,此集合由文法产生式中关于A的产生式推导实现的/ 开始符号所对应的语法范畴则为文法G = （V, T, P, S}所产生的语言L （G）*={ vvl w e 厂且S =► w }（3）在文法中，除了的变量可以对应一个终极符号行的集合外，按照类似的对应方法，一个字符串也可以对应一个终极符号行集合，这个集合表达什么意义？/字符串对应的终极符号行集合表示这个字符串所能推导到的终极字符串集合，为某个句型的语言。
（4）文法中的归约和推导有什么不同？/ 推导：文法G = {V, T, P, S},如果则称gd在G中推导岀了汐5。
/ 归约：文法G={V, T, P, S},如果则称汐5在G中归约到*7》。
/ 这他们的左义，我个人理解两个槪念从不同角度看待文法中的产生式，推导是自上而下（从产生式的左边到右边），而归约是自下而上（从产生式的右边到左边），体现到具体实际中，如编译中语法分析时语法树的建立，递归下降，LL （1）等分析法采用自开始符号向下推导识別输入代码生成语法树，对应的LR （1）, LALR等分析法则是采用自输入代码（相当于文法中语言的句子）自底向上归约到开始符号建立语法树，各有优劣。
（5）为什么要求左义语言的字母表上的语言为一个非空有穷集合？/ 菲空：根据字母表幕的立义：工°={£},£为字母表中0个字符组成的。
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第一章参考答案1.1请用列举法给出下列集合。
（吴贤珺 02282047）⑴你知道的各种颜色。
解：{红，橙，黄，绿，青，蓝，紫}⑵大学教师中的各种职称。
解：{助教，讲师，副教授，教授}⑶你所学过的课程。
解：{语文，数学，英语，物理，化学，生物，历史，地理，政治}⑷你的家庭成员。
解：{父亲，母亲，妹妹，我}⑸你知道的所有交通工具。
解：{汽车，火车，飞机，轮船，马车}⑹字母表{a , b}上长度小于4的串的集合。
解：{a,b,aa,bb,ab,ba,aaa,aab,aba,abb,baa,bab,bba,bbb}⑺集合{1,2,3,4}的幂集。
解：{Φ,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4} }⑻所有的非负奇数。
解：{1,3,5,7,…}⑼ 0～100的所有正整数。
解：{1,2,3, (100)(10) 1～10之间的和为10的整数集合的集合。
解：设所求的集合为A，集合A中的元素为A i（i=1,2,3,…），A i也是集合，A i中的元素在1～10之间，并且和为10。
根据集合元素的彼此可区分性，可以计算出A i中元素的最多个数，方法是：把1开始的正整数逐个相加，直到等于10（即10=1+2+3+4），这样，A i中最多有4个元素。
原因是：从最小的1开始，每次加入新的元素都只依次增加1，这样相加的和最小，要加到10，元素个数就最多。
求出最大的∣A i∣＝4后，再求出元素个数为3，2，1的集合就可以了。
故A={{10},{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},{1,2,7},{1,3,6},{1,4,5},{2,3,5},{1,2,3,4}}1.2 请用命题法给出下列集合1.3 给出下列集合的幂集.（02282075 冯蕊）(1)Φ(2){Φ}(3){Φ,{Φ}}(4){ε,0,00}(5){0,1}解答:(1){Φ}(2){Φ,{Φ}}(3){Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}(4){Φ,{ε},{0},{00},{ε,0},{ε,00},{0,00},{ε,0,00}}(5){Φ,{0},{1},{0,1}}1.4.列出集合{0，1，2，3，4}中(褚颖娜 02282072)（1）所有基数为3的子集{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{0，2，3，}，{0，2，4}，.{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{0，3，4}，{2，3，4}（2）所有基数不大于3的子集Ф，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{3，4}，{2，4}，{2，3}，{1，4}，{1，3}，{0，4}，{0，3}，{0，2}，{1，2}，{0，1}，{0，1，2}，{0，1，3}{0，1，4}，{0，2，3，}，{0，2，4}，.{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{0，3，4}，{2，3，4} 1.5解答：1、3、8、10、11、12、16正确1.6证明下列各题目（02282081 刘秋雯）1）A=B，iff A是B的子集且B是A的子集证明：充分条件：∵A=B则由集合相等的定义知对于任何x∈A，有x∈B∴A为B的子集同理，B为A的子集必要条件：∵A为B的子集∴对于任何x∈A，都有x∈B又∵B为A的子集，∴对于任何x∈B有，x∈A由集合相等的定义知，A=B2）如果A为B的子集，则|A|〈=|B|证明：A为B的子集，则对于任何x∈A有x∈B,∴存在一个集合C 使B=A∪C 且A∩C为空集则|B|=|A|+|C||C|〉=0∴|A|〈=|B|3）如果A为B的真子集，则|A|〈=|B|证明：（1）当A为有穷集合时，因为A为B的真子集，且则对于任何x∈A有x∈B,且存在∈B的x，此x不∈A∴存在一个非空集合C ，使B=A∪C 且A∩C为空集则|B|=|A|+|C| 且|C|〉=1∴|A|〈|B|（2）当A为无穷集合，因为A为B的真子集，则B一定也为无穷集合，|A|＝∞，|B|＝∞∴|A|=|B|综合（1），（2）所述，|A|<=|B|4）如果A是有穷集且A为B的真子集则|A|〈|B|证明：见上题证明（1）5）如果A为B的子集，则对于任何x∈A，有x∈B证明：若A为B的子集，则由子集定义可知，对于任何x∈A，有x∈B6）如果A是B的真子集，则对于任何x∈A，有x∈B，并且存在x∈B，但x不∈A 证明：由真子集的定义可证7）如果A 为B 的子集，B 为C 的子集，则A 为C 的子集证明：A 为B 的子集，B 为C 的子集则对于任何x ∈A ，则x 都∈B ，且，又对于任何y ∈B ，则y ∈C ，∴对于任何x ∈A ，x ∈C∴A 为C 的子集8）如果A 为B 的真子集，B 为C 的真子集，则A 为C 的真子集证明：A 为B 的真子集，B 为C 的真子集则对于任何x ∈A ，则x 都∈B ，且，存在x ∈B 但次x 不∈A ，又对于任何y ∈B ，则y ∈C ，存在y ∈C 但此y 不∈B ，∴对于任何x ∈A ，x ∈C ，存在x ∈C.x 不∈A∴A 为C 的真子集9）如果A 为B 的子集，B 为C 的真子集，则A 为C 的真子集证明：因为A 为B 的子集，B 为C 的真子集则对于任何x ∈A ， x 都∈B ，且x 都∈C又对于任何y ∈B ，则y ∈C ，存在y ∈C 但此y 不∈B ，则y 不∈A∴对于任何x ∈A ，x ∈C ，存在x ∈C.x 不∈A∴A 为C 的真子集10）如果A 为B 的真子集，B 为C 的子集，则A 为C 的真子集证明：A 为B 的真子集，B 为C 的子集则对于任何x ∈A ，则x 都∈B ，且存在x ∈B 但次x 不∈A ，又对于任何y ∈B ，则y ∈C∴对于任何x ∈A ，x ∈C ，存在x ∈C.x 不∈A∴A 为C 的真子集11）如果A=B ，则|A|=|B|证明：A=B ，则A 与B 所含元素相同∴|A|=|B|12）如果A 为B 的子集，B 为C 的真子集，或如果A 为B 的真子集，B 为C 的子集，则A 为C 的真子集证明：证明见9，101.7 A = {1,2,3,4,5,6} B = {1,3,5} C = {2,4,6} U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(1). B A= {1,3,5} = B(2). C B A )(= {1,3,5} }6,4,2{={1,2,3,4,5,6} = A (3). )()(C U B A= {1,3,5} }9,8,7,5,3,1,0{ ={0,1,3,5,7,8,9} = C(4).A-B-C= {2,4,6} – {2,4,6}=Φ(5).A × B × C ×Φ=ΦA ×Φ = Φ (6). A C AB A )(= {1,3,5} {0,7,8,9} {0,7,8,9} = {0,1,3,5,7,8,9} = C (7). C AB A ⨯⨯ =C B A ⨯⨯ =)},(),(),(|),{(C b B a C b B a C b B a b a A ∈∈∈∈∈∈⨯或或 =)},,(),,(),,(|),,{(C c B b A a C c B b A a C c B b A a c b a ∈∈∈∈∈∈∈∈∈或或 (8). C B A B A)( = C A A= C A= A={1，2，3，4，5，6}1．8 对论域U 上的集合A 、B 、C ，证明以下结论成立。
（02282047 吴贤珺）⑴ A ∪B ＝B ∪A证：对任意的x ， x ∈A ∪B⇔x ∈A ∨x ∈B⇔x ∈B ∨x ∈A ⇔x ∈B ∪A故A ∪B ⊆B ∪A 且 B ∪A ⊆A ∪B 则 A ∪B ＝B ∪A 。
⑵ (A ∪B)∪C ＝A ∪(B ∪C)证：对任意的x ，x ∈(A ∪B)∪C⇔x ∈(A ∪B)∨x ∈C⇔(x ∈A ∨x ∈B)∨x ∈C⇔x ∈A ∨x ∈B ∨x ∈C⇔x∈A∨(x∈B∨x∈C)⇔x∈A∨x∈(B∪C )⇔x∈A∪(B∪C)故(A∪B)∪C ⊆ A∪(B∪C) 且 A∪(B∪C) ⊆ (A∪B)∪C则 (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)。
⑶ A∪B＝A iff B⊆A证：①由B⊆A∪B及 A∪B＝A知 B⊆A。
②由B⊆A 知∀x∈B, x∈A则对任意的x，x∈A∪B⇒x∈A∨x∈B⇒x∈A故 A∪B⊆A，又A⊆A∪B，所以 A∪B＝A。
综合①②得到 A∪B＝A iff B⊆A。
⑷ A×(B∪C)＝(A×B)∪(A∪C)证：对任意的有序对(a, b)，(a, b)∈A×(B∪C)⇔a∈A∧b∈(B∪C)⇔a∈A∧(b∈B∨b∈C)⇔(a∈A∧b∈B)∨( a∈A∧b∈C)⇔(a, b)∈A×B∨(a, b)∈A×C⇔(a, b)∈(A×B)∪(A×C)故A×(B∪C) ⊆ (A×B)∪(A∪C) 且 (A×B)∪(A∪C) ⊆ A×(B∪C)则 A×(B∪C)＝(A×B)∪(A∪C)。
⑸ (B∩C)×A＝(B×A)∩(C×A)证：对任意的有序对(b, a)，(b, a)∈(B∩C)×A⇔b∈(B∩C)∧a∈A⇔(b∈B∧b∈C)∧a∈A⇔(b∈B∧a∈A)∧(b∈C∧a∈A)⇔(b, a)∈B×A∧(b, a)∈C×A⇔(b, a)∈(B×A)∩(C×A)故(B∩C)×A ⊆ (B×A)∩(C×A) 且 (B×A)∩(C×A) ⊆ (B∩C)×A则 (B∩C)×A＝(B×A)∩(C×A)。
⑹ A×(B－C)＝(A×B)－(A×C)证：对任意的有序对(a, b)，(a, b)∈A×(B－C)⇔a∈A∧b∈(B－C)⇔a∈A∧(b∈B∧b∉C)⇔(a∈A∧b∈B)∧( a∈A∧b∉C)⇔(a, b)∈A×B∧(a, b)∉A×C⇔(a, b)∈(A×B)－(A×C)故A×(B∪C) ⊆ (A×B)∪(A∪C) 且 (A×B)∪(A∪C) ⊆ A×(B∪C)则 A×(B∪C)＝(A×B)∪(A∪C)。