2020二次函数复习专题讲义
2020年中考一轮复习 二次函数的图像与性质 讲义
二次函数的图像与性质中考一轮复习教学目标1.理解懂得二次函数的图像的开口、对称轴、顶点坐标与a、b、c的关系；会根据图像推断a、b、c及相关式子的符号；2.能借助二次函数的图像进行推理探究；3.学会进行数形转化，能从图形中抽象出数量关系，建立方程模型和不等式模型求解.4.经典考题【例1】根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴( ) A.只有一个交点B.有两个交点，且它们分别在x轴两侧C.有两个交点，且它们均在y轴同侧D.无交点x…-1 0 1 2 …y…-174--274-…【解法指导】本题要先画出啊、二次函数的图像。
根据对称性知（1，-2）是抛物线的顶点，且其开口向上。
因而二次函数的图像与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧。
本题应选B。
【变式题组】1.2x…-2 -1 0 1 2 …y…162--4122--2122-…根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax+bx+c在x=3时，y= 。
2.已知二次函数2x…-1 0 1 2 3 4 …y…10 5 2 1 2 5 …(1)(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3)若两点A(m,y1),B(m+1,y2)都在该函数的图像上，试比较y1与y2的大小.【例2】函数y=ax+1与y=ax2+bx+c（0a≠）的图像可能是（）【解法指导】本题应用逐一排除法.解：两函数图像与y轴交于同一点（0,1），A不正确；B中直线中a>0，抛物线中a<0,不正确；D中直线的a<0，抛物线中a>0，不正确。
故应选C。
【变式题组】3.已知0a≠，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图像有可能是（）4.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数，且0m≠)的图像可能是（）5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数a b cyx++=在同一坐标系内的图像大致为（）【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点（-2,0）、（x1，0），且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方。
2020年九年级中考数学总复习：二次函数知识复习总结讲义
2020年中考数学人教版总复习：二次函数知识总结、二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c （a, b, c是常数，a用）的函数，叫做二次函数.、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c （a, b, c 为常数，a用）.（2）顶点式：y=a （x士）2+k （a, h, k为常数，a用），顶点坐标是（h, k）.（3）交点式：y=a （xx）（x二2）,其中xi, x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a照三、二次函数的图象及性质1.二次函数的图象与性质2a, b, c四、抛物线的平移1 .将抛物线解析式化成顶点式y=a （x-h）2+k,顶点坐标为（h, k）2 .保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h, k）处，具体平移方法如下:I——71向上假刘【或下俊中）】平移肉个单位一——7—1［ ------------------------- 1 -- ------------------ >jy=ajr+A向右啊., 向右"）平移I引个单位〃程渗& 平移回个单位艮* 扪I向上代浏［或卜（心）］平移密个单位"户""蛆也3.注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式.五、二次函数与一元二次方程的关系1 .二次函数y=ax2+bx+c （a希），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0 （a照）.2. ax2+bx+c=0 （a用）的解是抛物线y=ax2+bx+c （a照）的图象与x轴交点的横坐标.3.（1） b2Yac>0?方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2） b2』ac=0?方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2』ac<0?方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点.六、二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等;最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在.2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题.(2) 解答动点函数图象问题， 要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运 动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做 到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案.(3)解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动， 运动速度是 多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最 后结合题干中与动点有关的条件进行计算.考点一二次函数的有关概念1 .二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零.2. 一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化.典型例题典例2下列函数是二次函数的是【解析】直接根据二次函数的定义判定即可.A 、y=2x+2,是一次函数，故此选项错误;典例1)如果 y= ( m -2) x m2m是关于x 的二次函数，则 m=B.D. m 不存在【解析】依题意m2解得m = -1,故选A.【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意0.A. y=2x+2B. y=- 2xC. y=x 2+2D. y=x — 2B、y=- 2x,是正比例函数，故此选项错误;C 、y=x 2+2是二次函数，故此选项正确;D 、y=x- 2,是一次函数，故此选项错误.故选C.考点2二次函数的图象二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线， 叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点^典型例题典例3 函数y=ax 2+bx+a+b （a 用）的图象可能是【答案】C【解析】A,由图象可知，开口向下，贝U a<0,又因为顶点在 y 轴左侧，贝U b<0,则a+b<0,而图象与y 轴交点为（0, a+b ）在y 轴正半轴，与a+b<0矛盾，故此选项错误；B,由图象可知，开口向下，贝U a<0，又因为顶点在y 轴左侧，贝Ub<0,则a+b<0,而图象与 y 轴交点为（0, 1）在y 轴正半轴，可知a+b=1与a+b<0矛盾，故此选项错误；C, 由图象可知，开口向上，贝U a>0,顶点在y 轴右侧，贝U b<0, a+b=1可能成立，故此选项 正确；D, 由图象可知，开口向上，则a>0,顶点在y 轴右侧，则b<0，与y 轴交于正半轴，则a+b>0, 而图象与x 轴的交点为（1, 0）,则a+b+a+b=0,显然a+b=0与a+b>0矛盾，故此选项错误.故 选C.典例4 如果二次函数y=ax 2+bx+c （a 为）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是A. C.B.D.A. a>0C. ac<0D. bc<0【答案】Cb 【解析】..•抛物线开口向下，a<0, 抛物线的对称轴在y轴的右侧，x=-2 >0, b>0, 2a..•抛物线与y轴的交点在x轴上方，••• c>0, ac<0, bc>0.故选C.考点4二次函数的性质二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置.若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，贝U它们的二次项系数a必相等.典型例题典例5 由二次函数y=3 (x-4) 2- 2可知A.其图象的开口向下C.其顶点坐标为(4, 2)【答案】B【解析】Q y 3(x 4)22,a=3>0，抛物线开口向上，故A不正确;对称轴为x 4,故B正确；顶点坐标为(4, ~2),故C不正确；当x 4时，V随x的增大而增大，故D不正确; 故选B. B.其图象的对称轴为直线x=4 D.当x>3时，y随x的增大而增大B. b<0【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在y a(x h)2 k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴x h . a决定了开口方向.典例6 (2019福建厦门外国语学校初三期中)在函数y (x 1)23中，当y随X的增大而减小时，则X的取值范围是A. x 1B. x 0C. x 3D.x 1【答案】D【解析】二次函数y(x 1)23的对称轴为直线x 1,a 0, x1y随x的增大而减小.故选D.时，【名师点睛】本题考查了二次函数的单调性. 二次函数y=ax2+bx+c (a, b, c为常数，a乒0 ,当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小考点4二次函数的平移1 .抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.2.涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a (x-h) 2+k的形式.3.抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是(0, 0) , y=a (x士)2的顶点是(h, 0) , y=a (x-h) 2+k的顶点是(h, k).4.抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移.典型例题典例7如果将抛物线疗以2七向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是A. y= ^2-5B. y=^2+1C. y=-( xH3) 2 72D. y=-(x+3) 2T2【答案】C【解析】疗)2七的顶点坐标为(0,七)，：向右平移3个单位长度，平移后的抛物线的顶点坐标为(3, ~2) , 所得到的新抛物线的表达式是y= - (x -3) 2~2.故选C.【名师点睛】牢记抛物线的平移口诀可轻松解决此类问题.典例8如图，如果把抛物线y=x2沿直线y=x向上方平移2 J2个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，那么平移后的抛物线解析式是A. y= (x+2^2)2+2 厄B. y= (x+2) 2+2C. y= (x^ 72)2+2 扼D. y= (x%) 2+2【答案】D【解析】如图，过点A作AB± x轴于B, •.•直线y=x与x轴夹角为45° , OA=2j2 , .•.OB=AB=2也X—=2, 点A的坐标为(2, 2) , 平移后的抛物线解析式是y= (XT2) 2+2.故选2D.考点5二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y=ax 2+bx+c （a 希）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由 0b 2Nac决定.1.当A>0,即抛物线与x 轴有两个交点时，方程 ax 2+bx+c= 0有两个不相等的实数根，这两 个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根.2 .当00,即抛物线与x 轴有一个交点（即顶点）时，方程 ax 2+bx+c= 0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标.3.当A<0,即抛物线与x 轴无交点时，方程 ax 2+bx+c= 0无实数根，此时抛物线在 x 轴的上方（a>0时）或在x 轴的下方（a<0时）.典型例题典例9 二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表，则方程ax 2+bx+c=0 的一个解的范围是A. -0.03<x<-0.01 C. 6.18<x<6.19 【答案】C【解析】由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0,故x 应取对应的范围为：6.18<x<6.19, 故选C. x 6.17 6.18 6.19y-0.03 -0.01 0.02 D. 6.17<x<6.18B. -0.01<x<0.02典例10 如图是二次函数 y=a (x+1) 2+2图象的一部分，则关于 x 的不等式a (x+1) 2+2>0 的解集是A. x<2 D. x<-3 或 x>1【答案】C【解析】二次函数 y=a (x+1) 2+2的对称轴为x=-1, •.•二次函数y=a (x+1) 2+2与x 轴的一 个交点是(书，0) , ..•二次函数 y=a (x+1) 2+2与x 轴的另一个交点是(1, 0) , 由图 象可知关于x 的不等式a (x+1) 2+2>0的解集是-3<x<1.故选C.考点六二次函数的实际应用在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先 要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系， 再根据题目中 的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式， 然后运用数形结合的思想，根据函数性质去 解决实际问题.典型例题 典例11飞机着陆后滑行的距离 y (单位：m)关于滑行时间以(单位：)的函数解析式是 y=6t - j t 2.在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m 所用的时间是s. A. 10 B. 20 C. 30 D. 10 或 30【答案】A【解析】当y 取得最大值时，飞机停下来，贝U y=60t - 1.5t 2=- 1.5 (t- 20) 2+600,C. T<x<1 B. x> 书此时t=20,飞机着陆后滑行 600米才能停下来.因此 t 的取值范围是0WV 20 即当 y=600 - 150=450 时，即 60t - - t 2=450 2解得：t=10, t=30 (不合题意舍去)，滑行最后的150m 所用的时间是 20-10=10,故选A.【名师点睛】本题考查二次函数与一元二次方程综合运用，关键在于解一元二次方程 典例12如图，一段抛物线：y=- x (x-4) (0孑＜ 今记为G,它与x 轴交于两点 将G 绕A 1旋转180得到C 2,交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180得到C 3,交x 轴于 此变换进行下去，若点 P (17, m)在这种连续变换的图象上，则 m 的值为A. 2B. - 2C. - 3D. 3【答案】D【解析】y=-x (x- 4) (0孑＜4记为C 〔，它与x 轴交于两点O, A 1,• •点 A 1 (4, 0) , OA 1 =4,•, OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4 ； OA 1 =A 1A 2 =A 2A 3=A 3A 4 =4•••点P (17, m)在这种连续变换的图象上， 17+ 4=4……,1.••点P (17, m)在C 5上，x=17和x=1时的函数值相等， •••m=- 1X (1— 4) =— 1X(— 3) =3,故选 D.【名师点睛】本题考查二次函数的性质及旋转的性质，得出 x=17和x=1时的函数值相等是 解题关键. O, A1； A3； •-Cl。
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【最新整理，下载后即可编辑】二次函数性质二次函数的图象与性质的是二次函数重点内容，而与二次函数的图象与性质密切相关，是图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、对称性。
这些内容是中考二次函数重点考查内容，关于这些知识点的考查常以下面的题型出现。
一、确定抛物线的开口方向、顶点坐标例1、对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下，顶点坐标(53)，B ．开口向上，顶点坐标(53)， C ．开口向下，顶点坐标(53)-，D ．开口向上，顶点坐标(53)-，二、求抛物线的对称轴例2、二次函数322-+=x x y 的图象的对称轴是直线 。
三、求二次函数的最值例3、若一次函数(1)y m x m =++的图像过第一、三、四象限,则函数2y mx mx =-（ ） A.有最大值4m B.有最大值4m - C.有最小值4m D.有最小值4m- 四、根据图象判断系数的符号例4、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜0五、比较函数值的大小例5、若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+- 的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y << 六、二次函数的平移例6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A. 2(1)3y x =---B. 2(1)3y x =-+-C. 2(1)3y x =--+D. 2(1)3y x =-++例7将抛物线23x y =绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ）A.1)1(32---=x yB. 1)1(32-+-=x yC.1)1(32+--=x yD. 1)1(32++-=x y例8在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4)且过B(3,0).(1) 求该二次函数解析式;(2) 将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点,并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.（1）把二次函数2339424y x x =-++代成2()y a x h k =-+的形式． （2）写出抛物线2339424y x x =-++的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如2y ax =的抛物线经过怎样的变换得到的？（3）如果抛物线2339424y x x =-++中，x 的取值范围是03x ≤≤，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）．七、求代数式的值例9、已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式22008m m -+的值为（ ）A ．2006 B ．2007C ．2008D ．2009八、求与坐标轴的交点坐标例10、抛物线 y=x 2+x-4与y 轴的交点坐标为 ． 例11、如图是二次函数2)1(2++=x a y 图像的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 。
2020版高考数学历史专用讲义：第二章 2.4 幂函数与二次函数
§2.4 幂函数与二次函数最新考纲 1.通过实例，了解幂函数的概念.2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y＝1x ，y ＝12x 的图象，了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象性质定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇函数偶函数 奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点 (1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R R值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，写出f (x )≥0恒成立的条件． 提示 a >0且Δ≤0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × ) (2)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )(3)函数y ＝122x 是幂函数．( × )(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (5)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( × ) 题组二 教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析 由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝⎛⎭⎫12α.∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a <－3 D ．a ≤－3答案 D解析 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D. 题组三 易错自纠 4．幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2， f (x )＝2(5)2a x－－(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.5．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是______． 答案 －1解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减，∴y min ＝2－6＋3＝－1.6．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，∴m ∈(0,1)，∴m －1<0，∴f (m －1)>0.题型一 幂函数的图象和性质1．若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)答案 D解析 设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.2.若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c 答案 B解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B. 3．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2 答案 B解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.4．(2018·潍坊模拟)若(a ＋1)13－<(3－2a )13－，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32 解析 不等式(a ＋1)13－<(3－2a )13－等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 题型二 求二次函数的解析式例1 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________． 答案 f (x )＝x 2－2x ＋3 解析 由f (0)＝3，得c ＝3， 又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴b2＝1，∴b ＝2， ∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1， 得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .思维升华 求二次函数解析式的方法跟踪训练1 (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)， 又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3解析 因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象例2 (2018·重庆五中模拟)一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析 若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，选C. 命题点2 二次函数的单调性例3 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a 2a ＝－1，∴a ＝－3. 命题点3 二次函数的最值例4 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a <12即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max＝⎩⎨⎧4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题例5 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________． 答案 (－∞，－1)解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.(2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________． 答案 2解析 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以a 的最大值为2. 思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．跟踪训练2 (1)函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b >0 D ．b <0答案 A解析 ∵函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，∴图象的对称轴x ＝－b2在区间[0，＋∞)的左边或－b 2＝0，即－b2≤0，得b ≥0.(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －1或3解析 由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)， 所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4， 当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．例 设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数， 所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.1．幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 答案 D解析 设幂函数的解析式为y ＝x α，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得α＝12，∴y ＝12x ，故选D. 2.幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C 解析 ∵y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ， ∴m 2－4m 为偶数，∴m ＝2. 3．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x －＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2 答案 B解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0， 解得m ＝1.4．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，得a >120.5．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b2a＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A.6．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a 等于( ) A ．2 B ．0 C ．0或－1 D ．2或－1答案 D解析 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.7．已知f (x )＝x 2，g (x )＝12x ，h (x )＝x －2，当0<x <1时，f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．答案 h (x )>g (x )>f (x )解析 分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象如图所示，可知h (x )>g (x )>f (x )．8．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是________________．答案 f (x )＝－4x 2－12x ＋40解析 设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49(a ≠0)， 方程a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49＝0的两个实根分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|＝2 －49a＝7， 所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40.9．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______________．答案 [7，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.10．设函数f (x )＝－2x 2＋4x 在区间[m ，n ]上的值域是[－6，2]，则m ＋n 的取值范围是______________．答案 [0,4]解析 令f (x )＝－6，得x ＝－1或x ＝3；令f (x )＝2，得x ＝1.又f (x )在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴当m ＝－1，n ＝1时，m ＋n 取得最小值0；当m ＝1，n ＝3时，m ＋n 取得最大值4.11．(2018·河南南阳一中月考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－22，0 解析 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0， 解得－22<m <0. 12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3， ∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.13.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③ 答案 B解析 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b 2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误； 结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－5]解析 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立， 令y ＝x ＋4x ，x ∈(1,2)，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数．∴4<y <5，∴－5<－⎝⎛⎭⎫x ＋4x <－4，∴m ≤－5.方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，由f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.15．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，求实数m 的取值范围．解 当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m 2≤0，即m ≤0； 当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m 2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．16．是否存在实数a ∈[－2,1]，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由． 解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2，当－2≤a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1； 当0<a ≤1时，由⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－2，f (－1)＝2，得a 不存在； 综上可得，存在实数a 满足题目条件，a ＝－1.。
2020年中考数学人教版专题复习：二次函数复习讲义·
2020年中考数学人教版专题复习：二次函数复习讲义【知识梳理】（一）本节课知识点 1.二次函数解析式的三种形式一般式:2(0)y ax bx c a b c a =++≠，，是常数，顶点式:2()(0)y a x h k a h k a =−+≠，，是常数，双根式:若抛物线与x 轴有两个交点，交点坐标分别为1(,0)x ，2(,0)x 则12()()(0)y a x x x x a =−−≠2.二次函数的图象①二次函数图象关于一条平行y 轴的直线对称的抛物线②抛物线2(0)y ax bx c a b c a =++≠，，是常数，与y 轴必有一个交点，坐标为（0，c ）；与x 轴交点的个数则是由△=ac b 42−决定的。
（二）本节课的重、难点1．重点：能通过观察函数图象读取相关信息解决问题．2．难点：用函数观点看方程（组）与不等式（组）.【典例剖析】例 已知二次函数x x y 22−=.(1) 把它配成k h x a y +−=2)(的形式.(2) 写出函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴.(3) x 取何值时，函数有最值？是最大值还是最小值？求出最大值或最小值.(4) 求出函数图象与两条坐标轴的交点坐标.(5) 用五点法画出函数图象,并回答:当x 取何值时，y ＞0？y ＜0？(6) 当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？例 已知直线721−=x y 与抛物线c bx ax y ++=22，抛物线2y 与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点B （1，0），C （5，0）两点.（1）求抛物线的解析式并在同一坐标系中画出直线和抛物线的示意图.（2）结合图象回答:①02≥y 时,x 的取值范围；②50<<x 时，2y 的取值范围；③12y y ≥时，x 的取值范围；④关于x 的方程k c bx ax =++2有两个不等实根，k 的取值范围是什么？例 （1）已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，且P=b a c b a +++−2， Q=b a c b a −+++2，则P ，Q 的大小关系是_______________（2）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，有下列五个结论：①abc >0；②b <a +c ；③4a +2b +c >0；④2c <3b ；⑤)1)((≠+>+m b am m b a ，其中正确的结论有 。
2020届高考数学(理)复习课件：第三单元§3.1二次函数与幂函数
[-1,0)和[1,6].
点拨：解决二次函数的图象与性质的问题,关键是充分利用图象的对称
点拨
轴及图象与坐标轴的交点.
【追踪训练 1】若函数 f(x)=ax2+(a-3)x+1 在[-1,+∞)上单调递减,则实数 a
的取值范围是( D ).
A.[-3,0)
B.(-∞,-3]
C.[-2,0]
D.[-3,0]
是减函数,则 n 的值为( B ).
A.-3
B.1
C.2
D.1 或 2
【解析】因为 f(x)为幂函数,所以 n2+2n-2=1,解得 n=1 或
n=-3. 当 n=1 时,f(x)=x-2=������12,它在(0,+∞)上是减函数. 当 n=-3 时,f(x)=x18,它在(0,+∞)上是增函数. 所以 n=1 符合题意,故选 B.
D.2
【解析】∵二次函数的图象的顶点在 x 轴上,∴Δ=16+8t=0,可
得 t=-2.
答案 解析
3.已知幂函数 f(x)=xα 的图象过点(4,2),若 f(m)=3,则实数 m 的值
为9 .
【解析】由已知得
2=4α,则
α=12,所以
1
f(m)=������2
=3,解得
m=9.
4.已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方,则实数 a 的取值范围
【解析】设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由题意得
4������ + 2������ + ������ = ������-������ + ������ = -1, 4������������ -������2 = 8,
二次函数(复习课)课件
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
2020年中考数学复习 第22章 二次函数(专题复习讲义)
第二十二章 二次函数1．二次函数的概念及解析式(1)概念：形如y ＝ax 2＋bx ＋c(其中a ，b ，c 是常数，且a≠0) 的函数叫做二次函数，利用配方可以把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c表示成y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a.(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)；②交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ，x 1，x 2是常数，a≠0)(x 1，0)、(x 2，0)是函数与x 轴的交点坐标；③顶点式y ＝a(x ＋h)2＋k(a ，h ，k 是常数，a≠0)，其顶点坐标为 ． ④三种解析式之间的关系： 顶点式――→配方一般式――→因式分解交点式 ⑤解析式的求法：确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a ，b ，c(或a ，h ，k 或a ，x 1，x 2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件： a ．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式． b ．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式．c ．已知抛物线与x 轴两个交点的坐标(或横坐标x 1，x 2)时，选用交点式． 2．二次函数的图象和性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(其中a ，b ，c 是常数，且a≠0)的图象是抛物线． (1)当a ＞0时，抛物线的开口向上；对称轴是直线x ＝－b2a ； 当x ＝－b2a 时，y 有最小值，为4ac －b 24a；在对称轴左边(即x ＜－b2a )时，y 随x 的增大而减小；在对称轴右边(即x>－b2a )时，y 随x 的增大而增大；顶点(－b 2a ，4ac －b 24a)是抛物线上位置最低的点；(2)当a ＜0时，抛物线的开口向下；对称轴是直线x ＝－b2a；当x ＝－b 2a 时，y 有最大值，为4ac －b 24a ，在对称轴左边(即x<－b2a)时，y随x的增大而增大．在对称轴右边(即x>－b2a)时，y随x的增大而减小；顶点(－b2a，4ac－b24a)是抛物线上位置最高的点．4．二次函数函数的变换(1)二次函数图象的平移：①二次函数的平移可看作是二次函数的顶点坐标的平移，即解决这类问题先把二次函数化为顶点式，由顶点坐标的平移确定函数的平移．②平移规律：将抛物线y＝a(x－h)2＋k向左移m个单位得y＝a(x－h＋m)2＋k；向右平移m 个单位得y＝a(x－h－m)2＋k；向上平移m个单位得y＝a(x－h)2＋k＋m；向下平移m个单位得y＝a(x－h)2＋k－m．简记为“h：左加右减，k：上加下减”．(2)二次函数图象的对称：①两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 的符号相反；②两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称，a 的符号不变；(3)二次函数图象的旋转：开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反．5．二次函数与一元二次方程之间的关系方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k就是求二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k的交点的横坐标．(1)当b2＋4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实数根；(3)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，方程无实数根．6．二次函数与一元二次不等式之间的关系“一元二次不等式” 实际上是指二次函数的函数值“y＞0, y＜0或y≥0，y≤0”，一元二次不等式的解集从图象上看是指抛物线在x 轴上方或x 轴下方的部分对应x的取值范围【例题1】二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是．【答案】7【解析】y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，故答案为：7．【例题2】已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，其部分图象如图所示，下列说法中：①0abc <；②0a b c -+<；③30a c +=；④当13x -<<时，0y >，正确的是 （填写序号）．【答案】①③④【解析】根据图象可得：0a <，0c >， 对称轴：12bx a=-=， 2b a ∴=-， 0a <Q ， 0b ∴>，0abc ∴<，故①正确；把1x =-代入函数关系式2y ax bx c =++中得：y a b c =-+，由抛物线的对称轴是直线1x =，且过点(3,0)，可得当1x =-时，0y =， 0a b c ∴-+=，故②错误； 2b a =-Q ，(2)0a a c ∴--+=，即：30a c +=，故③正确； 由图形可以直接看出④正确． 故答案为：①③④．【例题3】某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x （元）与该士特产的日销售量y （袋）之间的关系如表：x （元） 15 20 30 … y （袋）252010…若日销售量y 是销售价x 的一次函数，试求：（1）日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元 【答案】见解析。
二次函数专题复习讲义
二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念,二次函数的图象性质,抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主,也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是-2b a,244ac b a -.例1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． 1求m 、c 的值；2求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大；当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3、二次函数的平移当k>0k<0时,抛物线y=ax 2+ka ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向上或向下平移|k|个单位得到；当h>0h<0时,抛物线y=ax-h 2a ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向右或向左平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是=3x+22=3x-22=3x 2+2 =3x 2-2 专题练习11.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是A.开口向下,顶点坐标为5,3B.开口向上,顶点坐标为5,3C.开口向下,顶点坐标为-5,3D.开口向上,顶点坐标为-5,3 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为0,-3,则下列说法不正确的是 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为-1,0,3,03.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.填序号专题复习二：二次函数表达式的确定图1图2本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1、如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙墙的长度不限的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y 单位：米2与x 单位：米的函数关系式为 不要求写出自变量x 的取值范围．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式：y=ax 2+bx+ca ≠0；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大小值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式：y=ax-h 2+ka ≠0； 3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式：y=ax-x 1x-x 2a ≠0. 例2 已知抛物线的图象以A-1,4为顶点,且过点B2,-5,求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A-2,0、B1,0,且经过点C2,8.1求该抛物线的解析式； 2求该抛物线的顶点坐标.专项练习21.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y 元,原价为a 元,则y 与x 之间的函数表达式为 =2ax-1 =2a1-x =a1-x 2=a1-x22.如图2,在平而直角坐标系xOy 中,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,点A 在x 轴负半轴,点B 在x 轴正半轴,与y 轴交于点C,且tan∠ACO=12,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是 ． 3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点0,-2,且x=1时,y=3；x=-1时y=1, 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，,(23)B -，,(10)C -，．1求此二次函数的关系式； 2求此二次函数图象的顶点坐标；3填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位,使得该图象的顶点在原点． 专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根,由图象判断一元二次方程根的情况,由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等,题型主要填空题、选择题和解答题. 考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.ABC D图1菜园墙图2例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0a ≠0,a,b,c,为常数的一个解x 的范围是Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________. 考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax 2相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax 2实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是专项练习31.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题：1写出方程20ax bx c ++=的两个根．2写出不等式20ax bx c ++>的解集．3写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．4若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围．图2专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型,根据二次函数的最值解决实际问题,能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：1理解问题；2分析问题中的变量和常量；3用函数表达式表示出它们之间的关系；4利用二次函数的有关性质进行求解；5检验结果的合理性,对问题加以拓展等.例1某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台．1假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式；不要求写自变量的取值范围2商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元3每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少专题训练41.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S单位：平方米随矩形一边长x单位：米的变化而变化．1求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；2当x是多少时,矩形场地面积S最大最大面积是多少2.某旅行社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满.旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数就会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高3.一座拱桥的轮廓是抛物线型如图1所示,拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m．1将抛物线放在所给的直角坐标系中如图2所示,求抛物线的解析式；2求支柱EF的长度；3拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽2m的隔离带,其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车汽车间的间隔忽略不计请说明你的理由．x图1。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
2020年中考数学一轮复习讲义(上海专版) 专题16 二次函数(解析版)
专题16 二次函数一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， (2)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，(3)当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
2020年九年级数学中考二轮复习 第一讲： 二次函数的图像和性质讲义
二次函数的图像和性质一、基础知识1、二次函数的三种形式:一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且 顶点式:)0()(2≠+−=a k h x a y ; 交点式:)0)()((21≠−−=a x x x x a y .2、一般地,抛物线k h x a y +−=2)(与2ax y =的形状相同,位置不同.把抛物线2axy =向上(下)向左(右)平移,可得到抛物线k h x a y +−=2)(.平移的方向、距离要根据h ,k 的值来决定.抛物线k h x a y +−=2)(有如下特点:(1)当0>a 时,开口向上,函数有最小值k ;当0<a 时,开口向下,函数有最大值k ; (2)对称轴是h x =; (3)顶点是),(k h .3、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且的图像是抛物线.○1顶点是：)44,(2ab ac a b −−，对称轴是：a b x 2−=. ○2开口方向：0>a 时，开口向上；0<a 时，开口向下. ○3增减性：当0>a ，在a b x 2−<时，y 随x 的增大而减小，在abx 2−>时,y 随x 的增大而增大；即离函数图像对称轴越远的点函数值越大 当0<a 时，在a b x 2−<时，y 随x 的增大而增大，在ab x 2−>时,y 随x 的增大而减小. 即离函数图像对称轴越远的点函数值越小○4最值:当0>a 时，函数有最小值,且当a b x 2−=时，y 有最小值是ab ac 442−；0<a 时，函数有最大值,且当a b x 2−=时，y 有最大值是ab ac 442−.○5开口大小:a 越大抛物线的开口越小,反之越大.4、我们可以利用根的判别式来判断函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且与x 轴交点的个数(1)当042>−=∆ac b 时,抛物线与x 轴有两个交点; (2)当042=−=∆ac b 时,抛物线与x 轴有一个交点; (3)当042<−=∆ac b 时,抛物线与x 轴无交点. 5、抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且与y 轴的交点是),0(c .6、函数图像与a 、b 、c 的关系（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2−=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.口诀---左同，右异 （a 、b 同号，对称轴在y 轴左侧）（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab.补充知识点、中考二次函数压轴题中常用到的公式（浙教版教材上没讲过，但是非常有用，一定要理解性地记忆）1、两点间距离公式：如图：点A 坐标为（x 1，y 1），点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x −+− （这实际上是根据勾股定理得出来的）2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为， ，中点的坐标为．由，得，同理，所以的中点坐标为．3、两平行直线的解析式分别为：y=k 1x+b 1，y=k 2x+b 2，那么k 1=k 2，也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k 值。
第四讲二次函数(讲义).doc
第四讲二次函数一、知识要点和基本方法 1、 二次函数解析式的三种形态(顶点式、零点式与一般式)2、 二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a^O)的图象与性质3、 一元二次方程o? +* + c•=0在某一开区间内外的实根分布问题(从△，对称轴与区间端点的函数值的符号这三个角度来考虑)(1) 两根均大于t()<=> (2) 两根均小于t()(3) 一根大于t(),另一根小于切 <=>(4) 其中一个根小于t|,另一个根大于t2 (ti<t 2)(5) 两根均在开区间(t ］, t 2)内，即两根X1,X2满足/, < %! < x 2 < t 2 = (6) 有旦仅有一个根在区间(t|, (2)内 o(7) 对于t^<t 2< t 3 ,两根尤］,尤2分别在区间(t ］, t 2)和(t 2, t 3)内说明：若avo,这时二次函数图像开口向下，不等式组要做相应变更，若a 的符号不能确定，则要加以 对论；若将开区间换为闭区间，不等组也要相应变形。
［典型例题］一、二次函数解析式的确定及相关问题例1、设二次函数y=ax?+bx+c 满足条件:f(0)=2, f(l)=-l,且图象在x 轴上所截得的线段长为2很， 求这个二次函数的表达式。
例2、已知二次函数y = (x)的图象以原点为顶点且过点(1, 1),反函数= f 2 (x)的图象与直线y=x 的两个交点的距离8, y(x) = /1(x) + /2(x)0 (1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x 的方程/(x)= f M 有三个实数解。
二、 二次函数的最值问题例3、己知定义在闭区间［0, a ］上的函数y=x 2—2x4-3,问：当a 在什么范围内取值时，y 的最大值是3, 且最小值是2o例4、如果抛物线y=x 2-(k-l)x-k-l 与x 轴的交点为A 、B,顶点为C,求AABC 的面积的最小值。
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1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.二次函数考点一：二次函数的概念【例1】下列函数中是二次函数的是（ ） 【例2】已知函数2234(2)3(1)m m y m m xmx m -+=--++是二次函数，则m =_____。
【针对训练】若函数22(2)m y m x mx -=-+是二次函数，则该函数的表达式为__________y =。
考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例1】已知点()8,a 在二次函数2ax y =的图象上，则a 的值是（） 【例2】若二次函数c bx ax y ++=2的x 与y 的部分对应值如下表，则当1-=x 时，y 的值为（）【针对训练】1、过()0,1-,()0,3,()2,1三点的抛物线的顶点坐标是（ ） 2、无论m 为何实数，二次函数2xy =()m x m +--2的图象总是过定点（ ）【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图象顶点为()2,2.--A ，且过点()2,0B ，则y 与x 的函数关系式为（ ）【针对训练】过()0,1-，()0,3，()2,1三点的抛物线的顶点坐标是_____。
考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数,,a b c 的关系）【例1】已知二次函数b x a y -+=2)1()0(≠a 有最小值1，则a 、b 的大小关系为（ ）.A b a > .B b a < .C b a = .D 不能确定【针对训练】 1、二次函数1422--=x x y 的最小值是 。
2、二次函数3)1(22+--=x y 的图象的顶点坐标是（ ） 3、抛物线)2(--=x x y 的顶点坐标是（ ）【例2】抛物线3)2(2-+=x y 可以由抛物线2x y =平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）.A 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 .B 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 .C 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 .D 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【针对训练】 1、已知下列函数：（1）2x y =；（2）2x y -=；（3）2)1(2+-=x y 。
其中，图象通过平移可以得到函数322-+=x x y 的图象的有 （填写所有正确选项的序号）。
2、将抛物线22-=x y 向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。
3、将抛物线2x y -=向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.【例3】二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） 【例4】（2011，山西）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，对称轴为直线1=x ，则下列结论正确的是（ ）.B 方程02=++c bx ax 的两根是11-=x ，32=x .D 当0>x 时，y 随x 的增大而减小【针对训练】1、（2013，呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数m mx y +=和函数222++-=x mx y （m 是常数，且0≠m ）的图象可能是（ ）2、已知抛物线c bx ax y ++=2)0(≠a 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） 考点四：二次函数的实际应用【例1】某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格1y （元）x 与月份（91≤≤x ，且x 取整数）之间的函数关系如下表： 月份x1 2 3 4 5 6 7 8 9 价格1y （元/件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格2y （元）与月份x （10≤x ≤12，且x 取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出1y 与x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出2y 与x 之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量1p （万件）与月份x 满足函数关系式1.11.01+=x p （1≤x ≤9，且x 取整数）10至12月的销售量2p （万件）与月份x 满足函数关系式9.21.02+-=x p （10≤x ≤12，且x 取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高%a ，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少%1.0a ．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a 的整数值．（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）【针对训练】在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲。
经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y （件）与销售价格x （元/件）满足一个以x 为自变量的一次函数。
（1）求y 与x 满足的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P 最大？【例2】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线1+=x y 与二次函数的图象交于B A ,两点，其中点A3文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.在y 轴上．（1）二次函数的解析式为y = ；（2）证明点)12,(--m m 不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若C 为线段AB 的中点，过C 点作x CE ⊥轴于E 点，CE 与二次函数的图象交于D 点．①y 轴上存在点K ，使以C D A K ,,,为顶点的四边形是平行四边形，则K K 点的坐标是 ； ②二次函数的图象上是否存在点P ，使得ABD POE S S ∆∆=2？求出P 点坐标；若不存在，请说明理由． 【针对训练】如图，O 为坐标原点，直线l 绕着点)2,0(A 旋转，与经过点)1,0(C 的二次函数h x y +=241的图象交于不同的两点Q P 、． （1）求h 的值；（2）通过操作、观察，算出POQ ∆的面积的最小值（不必说理）；（3）过点C P 、作直线，与x 轴交于点B ，试问：在直线l 的旋转过程中，四边形AOBQ 是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状． 【基础闯关】1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么这个函数的解析式为________。
2、已知二次函数131232+-=x x y ，则函数y 的最小值是________。
3、把抛物线22x y =向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为________。
4、将二次函数542+-=x x y 化成k h x y +-=2)(的形式，则=y ________。
5、如图，抛物线的函数表达式是（ ）6、已知函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）7、二次函数3122+--=）（x y 的图象的顶点坐标是（ ）.A （1，3） .B （1-，3） .C （1，3-） .D （1-，3-）8、对于抛物线3)1(212++-=x y ，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线1=x ；③顶点坐标为（﹣1，3）；④1>x 时，y 随x 的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 49、已知：直线b ax y +=过抛物线322+--=x x y 的顶点p ，如图所示． （1）顶点p 的坐标是____________________________（2）若直线b ax y +=经过另一点A （0，11），求出该直线的表达式；（3）在（2）的条件下，若有一条直线n mx y +=与直线b ax y +=关于x 轴成轴对称，求直线n mx y +=与抛物线322+--=x x y 的交点坐标．【拓展提高】1、将二次函数3)1(22--=xy的图象沿y轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是。
2、若抛物线mxxy +-=22的最低点的纵坐标为n，则nm-的值是。
3、抛物线cbxaxy++=2的顶点坐标是()3,1-，且过点()5,0，那么cbxaxy++=2的解析式为（）4、抛物线cbxxy++=2图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为322--=xxy，则b、c的值为（）.A2=b，2=c.B2=b，0=c.C2-=b，1-=c.D3-=b，2=c6、如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是（）.A k=n.B h=m.C k＜n.D h＜0，k＜07、将二次函数322+-=xxy化为khxy+-=2)(的形式，结果为（）9、在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OAOB⊥，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．(1)如图1，当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正方形；(2)如图2，当点A的横坐标为时，①求点B的坐标；②将抛物线2xy=作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过CBA,,三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.。