自考作业答案概率论与数理统计(山大)

自考作业答案概率论与数理统计(山大)
答案和题目
概率论与数理统计（经管类）综合试题一
（课程代码 4183）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.下列选项正确的是 ( B ).
A. A B A B +=+
B.()A B B A B +-=-
C. (A -B )+B =A
D. AB AB = 2.设
()0,()0
P A P B >>，则下列各式中正确的是
( D ).
A.P (A -B )=P (A )-P (B )
B.P (AB )=P (A )P (B )
C. P (A +B )=P (A )+P (B )
D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )
3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ).
A.
18 B. 16 C. 14 D. 12
4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ).
A.
1120 B. 160
C. 15
D. 12 5.设随机事件A ，B 满足B A ⊂，则下列选项正确的是 ( A ).
A.()()()P A B P A P B -=-
B. ()()P A B P B +=
C.(|)()P B A P B =
D.()()P AB P A =
6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足
( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续
C.
()1f x dx +∞-∞
=⎰
D. ()1f +∞=
7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b
P X k k ===，且0b >，则参数b
的
值为
( D ).
A.
12
B. 13
C. 1
5 D. 1
8.设随机变量X , Y 都服从[0, 1]上的均匀分布，则()E X Y += ( A ). A.1 B.2 C.1.5 D.0
9.设总体X 服从正态分布，21,()2EX E X =-=,1210,,...,X X X 为样本，则样本均值
10
1
110i
i X X ==∑~
( D ).
A.(1,1)N -
B.(10,1)N
C.(10,2)N -
D.1
(1,
)10
N - 10.设总体2123(,),(,,)X N X X X μσ:是来自X 的样本，又
12311
ˆ42
X aX X μ
=++ 是参数μ的无偏估计，则a = ( B ).
A. 1
B.
1
4 C. 12
D. 13
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.已知12
1(),(),()433
P A P B P C ===，且事件C ,B ,A 相互独立，则事件A ，B ，
C 至少有一个事件发生的概率为 6
.
12. 一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取两个球，则这两个球恰有一个白球一个黑球的概率是____0.6_______.
13.设随机变量X 的概率分布为
X 0 1 2 3 P
c 2c 3c 4c
)(x F 为X 的分布函数，则(2)F = 0.6 .
14. 设X 服从泊松分布，且3=EX ，则其概率分布律为
3
3(),0,1,2,...!
k P X k e k k -=== .
15.设随机变量X 的密度函数为22,0
()0,
0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,则E (2X +3) =
4 .
16.设二维随机变量(X , Y )的概率密度函数为2
2
21(,),2x y
f x y e π
+
-= (,)x y -∞<<+∞.则(X , Y )关于X 的边缘密度函数()X f x =
22
()2x x π
-
-∞<<+∞ .
17.设随机变量X 与Y 相互独立，且1
()0.5,(1)0.3,2
P X P Y ≤=≤=则
1
(,1)2
P X Y ≤≤= 0.15 .
18.已知,4,1,0.5X Y DX DY ρ===，则D (X -Y )= 3 . 19.设X 的期望EX 与方差DX 都存在，请写出切比晓夫不等式
2(||)DX P X EX εε-≥≤ 2(||)1DX
P X EX εε
-<≥- .
20. 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，方差为2.25，则在100轰炸中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率为 0.816 . (附：0(1.33)0.908Φ=)
21.设随机变量X 与Y 相互独立，且22(3),(5)X Y χχ::，则随机变量
53X
Y
: F (3，5) . 22.设总体X 服从泊松分布P (5)，12,,,n X X X L 为来自总体的样本，X 为样本均值，则E X = 5 .
23.设总体X 服从[0,θ]上的均匀分布,(1, 0, 1, 2, 1, 1)是样本观测值,则θ的矩估计为_____2_____ .
24.设总体),(~2σμN X ，其中2
02σσ=已知，样本12,,,n X X X L 来自总体X ，
X 和2S 分别是样本均值和样本方差，
则参数μ的置信水平为1-α的置信区间为 0
2
2
[,]X X n
n
αα+
.
25.在单边假设检验中，原假设为00:H μμ≤，则备择假设为H 1：
10:H μμ> .
三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
26.设A ，B 为随机事件，()0.3,(|)0.4,(|)0.5P A P B A P A B ===，求()P AB 及
()P A B +.
.解：()()(|)0.30.40.12P AB P A P B A ==⨯=；
由(|)0.5P A B =得：(|)10.50.5P A B =-=，而()
(|)()
P AB P A B P B =
，故 ()0.12
()0.24(|)0.5
P AB P B P A B =
==.
从而
()()()()0.30.240.120.42.P A B P A P B P AB +=+-=+-=
27.设总体0
()0x e x X f x λλ-⎧>=⎨⎩～其它，其中参数0λ>未知，),,,(21n X X X Λ
是来自X 的样本，求参数λ的极大似然估计. 解：设样本观测值0,1,2,...,.i x i n >=则 似然函数1
1
1
()()n
i
i i n n x x n i i i L f x e e
λ
λλλλ=--==∑===∏∏
取对数ln 得：1
ln ()ln n
i i L n x λλλ==-⋅∑，令1ln ()0n
i i d L n x d λλλ==-=∑，
解得λ的极大似然估计为1
1ˆn
i
i n
x
x
λ
===
∑.或λ的极大似然估计量为1ˆX λ
=.
四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28.设随机变量X 的密度函数为1,
022()0,
x x f x ⎧<<⎪=⎨
⎪⎩其它
，求：(1)X 的分布函
数F (x )；(2)1
(1)2
P X -<≤；(3) E (2X +1)及DX .
解：(1)当x <0时，F (x )=0. 当02x ≤<时，20
11
()()24
x
x
F x f t dt tdt x -∞
===⎰⎰
. 当2x ≥时，2
21
()()012
x
x F x f t dt tdt dt -∞
==+=⎰
⎰
⎰.
所以，X 的分布函数为： 20,01(),024
1,
2x F x x x x <⎧⎪⎪
=≤<⎨⎪≥⎪⎩.
(2)1(1)2P X -<≤=111
()(1)0.21616F F --=-=
或1(1)2
P X -<≤=11
221011
().216f t dt tdt -==⎰⎰
(3)因为22014()23EX xf x dx x dx +∞
-∞
===⎰
⎰222
301()2
2EX x f x dx x dx +∞-∞===⎰⎰
所以，11(21)213
E X EX +=+=； 222
()9
DX EX EX =-=.
29.二维离散型随机变量(X ,Y )的联合分布为
0 1 2 0 0.2 0.1 0 1
0.2
0.1
0.4
Y X
(1)求X 与Y 的边缘分布；(2)判断X 与Y 是否独立? (3)求X 与Y 的协方差
),(Y X Cov .
(1)因为(0)0.3,(1)0.7P X P X ====,
(0)0.4,(1)0.2,(2)0.4P Y P Y P Y ======,
所以，边缘分布分别为：
(2)因为(0,0)0.2P X Y ===,而(0)(0)0.30.40.12P X P Y ===⨯=,
(0,0)(0)(0)P X Y P X P Y ==≠==,所以X 与Y 不独立；
(3)计算得：0.7,1,()0.9EX EY E XY ===,所以
(,)()Cov X Y E XY EXEY =-=0.9-0.7=0.2.
五、应用题（10分）
30. 已知某车间生产的钢丝的折断力X 服从正态分布N (570, 82).今换了一批材料，从性能上看，折断力的方差不变.现随机抽取了16根钢丝测其折断力， 计算得平均折断力为575.2，在检验水平0.05α=下，可否认为现在生产的钢丝折断力仍为570？ (0.025 1.96u =)
解：一个正态总体，总体方差28σ=已知，检验01:570:570H H μμ=≠对检验统计量为~(01).8/16X U N =
，检验水平=0.05α临界值为0.052
1.96u =得拒绝
域：|u |>1.96.计算统计量的值：575.2570
575.2,|| 2.6 1.962
x u -===>所以拒绝H 0，即认为现在生产的钢丝折断力不是570.
X 0 1 P 0.3 0.7
Y 0 1 2 P
0.4 0.2 0.4
概率论与数理统计（经管类）综合试题二
（课程代码 4183）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.某射手向一目标射击3次，i A 表示“第i 次击中目标”，i =1,2,3，则事件“至 少击中一次”的正确表示为 ( A ). A. 123A A A U U B. 123A A A C. 123A A A D. 123A A A
2. 抛一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率为 ( C ). A.
12 B. 13 C. 14
D. 1
5 3. 设随机事件A 与B 相互对立，且0)(>A P ，0)(>B P ，则有 (C ).
A. A 与B 独立
B. ()()P A P B >
C. )()(B P A P =
D. ()()P A P B =
4. 设随机变量X 的概率分布为
X
-1
0 1 P
a
0.5
0.2
则(10)P X -≤≤= ( B ). A. 0.3 B. 0.8 C. 0.5 D. 1
5. 已知随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨
⎧≤≤=其他
10)(2
x ax x f ，则a =
(D ).
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6.已知随机变量X 服从二项分布，且44.14.2==DX EX ，，则二项分布中的参数n ,p 的值分别为 ( B ). A.6.04==p n ， B.4.06==p n ， C.3.08==p n ， D.1.024==p n ，
7. 设随机变量X 服从正态分布N (1，4)，Y 服从[0，4]上的均匀分布，则E (2X+Y )=
(D ).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 设随机变量X 的概率分布为
X
0 1 2 P
0.6
0.2
0.2
则D (X +1)= C
A. 0
B. 0.36
C. 0.64
D. 1
9. 设总体~(1,4)X N ，(X 1，X 2，…，X n ) 是取自总体X 的样本(1)n >，
2
211
11()1n n i i i i X X S X X n n ====--∑∑，分别为样本均值和样本方差，则有 B A.~(0,1)X N 4B.~(1,)X N n
22C.(1)~()n S n χ- 1
D.
~(1)X t n S
-- 10. 对总体X 进行抽样，0，1，2，3，4是样本观测值，则样本均值x 为B
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11. 一个口袋中有10个产品，其中5个一等品，3个二等品，2个三等品.从中任取三个，则这三个产品中至少有两个产品等级相同的概率是0.75___________.
12. 已知P (A )=0.3，P (B )=0.5，P (A ∪B )=0.6，则P (AB )=___0.2________. 13. 设随机变量X 的分布律为
X
-0.5 0 0.5 1.5 P
0.3
0.3
0.2
0.2
)(x F 是X 的分布函数，则=)1(F __0.8_________.
14.设连续型随机变量2,01~()0,x x X f x <<⎧=⎨⎩其它，则期望EX = 3 .
15.设1
02,01
(,)(,)20x y X Y f x y ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩:，，，其他，
则P (X +Y ≤1)
=0.25 .
16.设~(04)X N ，，则=≤}2|{|X P 0.6826 . ((1)0.8413Φ=) 17.设DX =4，DY =9，相关系数0.25XY ρ=，则D (X +Y ) = 16 . 18.已知随机变量X 与Y 相互独立，其中X 服从泊松分布，且DX =3，Y 服从参数λ=1的指数分布，则E (XY ) = 3 .
19.设X 为随机变量，且EX =0，DX =0.5，则由切比雪夫不等式得(||1)P X ≥= 0.5 .
20.设每颗炮弹击中飞机的概率为0.01，X 表示500发炮弹中命中飞机的炮弹数目，由中心极限定理得，X 近似服从的分布是 N (5，4.95) .
21.设总体1210~(0,1),,,...,X N X X X 是取自总体X 的样本，则10
21~i i X =∑
2(10)χ .
22.设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ是取自总体X 的样本，记
2211()n n
i i S X X n ==-∑，则2
n ES = 2n
.
23.设总体X 的密度函数是110()(0)00x e
x f x x θ
θθ
-⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩
，(X 1，X 2，…，X n )
是取自总体X 的样本，则参数θ的极大似然估计为 ˆX θ
= . 24.设总体),(~2σμN X ，其中2σ未知，样本12,,,n X X X L 来自总体X ，X 和
2S 分别是样本均值和样本方差，则参数μ的置信水平为1-α的置信区间为
22
[(1),(1)]X n X n n n αα-
-+- . 25.已知一元线性回归方程为1ˆˆ3y x β=+，且2,5x y ==，则1ˆβ= 1 . 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
26. 设随机变量X 服从正态分布N (2, 4)，Y 服从二项分布B (10, 0.1)，X 与Y 相互独立，求D (X+3Y ).
解：因为~(2,4),~(10,0.1)X N Y B ，所以4,100.10.90.9DX DY ==⨯⨯=. 又X 与Y 相互独立，故D (X+3Y )=DX +9DY =4+8.1=12.1.
27. 有三个口袋，甲袋中装有2个白球1个黑球，乙袋中装有1个白球2个黑球，丙袋中装有2个白球2个黑球.现随机地选出一个袋子，再从中任取一球，求取到白球的概率是多少？
解：B 表示取到白球，A 1，A 2，A 3分别表示取到甲、乙、丙口袋.
由题设知，1231
()()()3
P A P A P A ===. 由全概率公式：
112233()()(|)()(|)()(|)
P B P A P B A P A P B A P A P B A =++
12111213333342
=⨯+⨯+⨯=
四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28.设连续型随机变量X 的分布函数为20,
0()01,1,1x F x x kx x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
，
求：(1)常数k ； (2)P (0.3<X <0.7)； (3)方差DX .
.解：(1)由于连续型随机变量X 的分布函数F (x )是连续函数，所以
11lim ()lim ()1x x F x F x -+
→→==即k =1，故2
0,0
()01,1,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩
(2)(0.30.7)(0.30.7)(0.7)(0.3)P X P X F F <<=<≤=-)=0.4；
(3)因为对于()f x 的连续点，()()f x F x '=，所以2,01
()0,
x x f x <<⎧=⎨⎩其它
1
20
2
()23
EX xf x dx x dx +∞
-∞
===
⎰
⎰122301()22EX x f x dx x dx +∞-∞===
⎰⎰
22141
()2918
DX EX EX =-=
-=
29. 已知二维离散型随机变量(X ，Y )的联合分布为
求：(1) 边缘分布；(2)判断 X 与Y 是否相互独立；(3)E (XY ).
Y
X
1 2 3 0 1 0.2 0.1 0.1 0.3 0.1 0.2
解：(1) 因为(0)0.4,(1)0.6P X P X ====,
(1)0.5,(2)0.2,(3)0.3P Y P Y P Y ======,
所以，边缘分布分别为：
(2)因为(0,2)0.1,(0)(2)0.08,P X Y P X P Y ======
(0,2)(0)(2)P X Y P X P Y ==≠==所以，X 与Y 不独立；
(3)()110.3120.1130.2 1.1E XY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
五、应用题（本大题共1小题，共6分）
30.假设某班学生的考试成绩X (百分制)服从正态分布2(72,)N σ，在某次的概率论与数理统计课程考试中，随机抽取了36名学生的成绩，计算得平均成绩为x =75分，标准差s = 10分.问在检验水平0.05α=下，是否可以认为本次考试全班学生的平均成绩仍为72分？ (0.025(35) 2.0301t =)
解：总体方差未知，检验H 0：72μ=对H 1：72μ≠，采用t 检验法. 选取检验统计量：0
~(35)/X T t S n
=
由0.05α=，得到临界值0.025(35) 2.0301t =. 拒绝域为：|t |>2.0301 . 因|| 1.8 2.030110/36
t =
=<，故接受H 0.
即认为本次考试全班的平均成绩仍为72分.
X 0 1 P 0.4 0.6
Y 1 2 3 P
0.5 0.2 0.3
概率论与数理统计（经管类）综合试题三
（课程代码 4183）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设A ，B 为随机事件，由P (A +B )=P (A )+P (B )一定得出 ( A ).
A. P (AB )=0
B. A 与B 互不相容
C.AB =Φ
D. A 与B 相互独立
2.同时抛掷3枚硬币，则恰有2枚硬币正面向上的概率是 ( B ). A.
18 B. 38 C. 14 D. 1
2
3.任何一个连续型随机变量X 的分布函数F (x )一定满足 ( A ).
A.0()1F x ≤≤
B.在定义域内单调增加
C.()1F x dx +∞-∞
=⎰
D.在定义域内连续
4.设连续型随机变量23,01
~()0,x x X f x ⎧<<=⎨⎩其它
，则()P X EX <= ( C ).
A. 0.5
B.0.25
C.
27
64
D.0.75 5.若随机变量X 与Y 满足D (X +Y )=D (X -Y )，则 ( B ).
A. X 与Y 相互独立
B. X 与Y 不相关
C. X 与Y 不独立
D. X 与Y 不独立、不相关
6.设~(1,4),~(10,0.1)X N Y B -,且X 与Y 相互独立，则D (X +2Y )的值是 ( A ).
A. 7.6
B. 5.8
C. 5.6
D. 4.4
7.设样本1234(,,,)X X X X 来自总体~(0,1)X N ，则4
21
i
i X
=∑~
( B ).
A. (1,2)F
B.2(4)χ
C. 2(3)χ
D.(0,1)N
8.假设总体X 服从泊松分布()P λ，其中λ未知，2,1,2,3,0是一次样本观测值，则参
数
的
矩
估
计
值
为
( D ).
A. 2
B. 5
C. 8
D. 1.6
9.设α是检验水平，则下列选项正确的是 ( A ). A.00(|)P H H α≤拒绝为真
B.01(|)1-P H H α≥接受为真
C.0000(|)(|)1P H H P H H +=拒绝为真接受为假
D.1111(|)(|)1P H H P H H +=拒绝为真接受为假 10.在一元线性回归模型01y x ββε=++中，ε是随机误差项，则E ε= (C ). A. 1 B. 2 C. 0 D. -1
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.一套4卷选集随机地放到书架上，则指定的一本放在指定位置上的概率为
1
4
. 12.已知P (A +B )=0.9，P (A )=0.4，且事件A 与B 相互独立，则P (B )=
5
6
. 13.设随机变量X ~U [1，5]，Y =2X -1，则Y ~ Y ~ U[1，9] . 14.已知随机变量X 的概率分布为
X -1 0 1 P
0.5 0.2 0.3
令2Y X =，则Y 的概率分布为
.
15.设随机变量X 与Y 相互独立，都服从参
数
为1的指数分布，则当x >0,y >0时，(X ,Y )的概率密度f (x , y )= x y e -- .
16.设随机变量X 的概率分布为
X -1 0 1 2 P
0.1 0.2 0.3 k
则EX = 1 .
17.设随机变量X ~,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，已知2EX =，则λ= 1
2 .
18.已知(,)0.15,4,9,Cov X Y DX DY ===则相关系数,X Y ρ= 0.025 . 19.设R.V .X 的期望EX 、方差DX 都存在，则(||)P X EX ε-<≥
2
1DX
ε- .
20. 一袋面粉的重量是一个随机变量，其数学期望为2(kg)，方差为2.25，一汽车装有这样的面粉100袋，则一车面粉的重量在180(kg)到220(kg)之间的概率为 0.816 . (0(1.33)0.908Φ=)
21.设n X X X ,,,21Λ是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，则~/X T S n
=
______t (n -1)____. 22.评价点估计的优良性准则通常有 无偏性、有效性、一致性（或相合性） .
23.设(1, 0, 1, 2, 1, 1)是取自总体X 的样本，则样本均值x = 1 . 24.设总体),(~2σμN X ，其中μ未知，样本12,,,n X X X L 来自总体X ，X 和2
S 分别是样本均值和样本方差，则参数2σ的置信水平为1-α的置信区间为
22
2212
2
(1)(1)[,](1)(1)
n S n S n n ααχχ----- . 25.设总体2~(4,)X N σ，其中2σ未知，若检验问题为01:4,:4H H μμ=≠，
Y 0 1 P 0.2 0.8
则选取检验统计量为 /X T S n
=
. 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
26.已知事件A 、B 满足：P (A )=0.8，P (B )=0.6，P (B |A )=0.25，求P (A|B ).
解：P (AB )=P (A ) P (B |A )= 0.8×0.25=0.2.
P (A|B )=()()0.2
0.5()10.6
1()P AB P AB P B P B ===--.
27.设二维随机变量(X , Y )只取下列数组中的值：(0,0), (0,-1), (1,0), (1,1),且取这些值的概率分别为0.1,0.3,0.2,0.4.求：(X ,Y )的分布律及其边缘分布律.
解：由题设得，(X , Y )的分布律为：
从而求得边缘分布为：
四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28.设10件产品中有2件次品，现进行连续不放回抽检，直到取到正品为止.求：(1)抽检次数X 的分布律；
Y
X -1 0 1 0 1 0.3 0.1 0 0 0.2 0.4
X 0 1 P 0.4 0.6 Y -1 0 1 P 0.3 0.3 0.4
(2) X 的分布函数； (3)Y =2X +1的分布律. 解：(1)X
的所有可能取值为1，2， 3.且
84(1)105P X ==
=288
(2)10945P X ==⨯=
2181
(3)109845
P X ==
⨯⨯=
所以，X 的分布律为：
时，()()0F x P X x =≤=；
(2)当1
x <当12x ≤<时，4
()()(1)5
F x P X x P X =≤===
； 当23x ≤<时，44()()(1)(2)45
F x P X x P X P X =≤==+==
； 当3x ≥时，()()(1)(2)(3)1F x P X x P X P X P X =≤==+=+==. 所以，X 的分布函数为：
0,14
,125
()44,23451,3x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩
.
(3)因为Y =2X +1，故Y 的所有可能取值为：3，5，7.且
4
(3)(1),
58
(5)(2),451
(7)(3).
45
P Y P X P Y P X P Y P X ============
得到Y 的分布律为：
X 1 2 3 P
45 845 145
Y 3 5 7 P 45
845 145
29.设测量距离时产生的误差2~(0,10)X N （单位：m ），现作三次独立测量，记Y 为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知(1.96)0.975Φ=.
(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p ； (2)问Y 服从何种分布，并写出其分布律； (3)求期望EY .
解：(1) (|| 1.96)1(|| 1.96)p P X P X =>=-≤ 1[2(1.96)1]0.05=-Φ-=. (2)Y 服从二项分布B (3，0.05). 其分布律为： 33()(0.05)(0.95),0,1,2,3.k k k P Y k C k -=== (3)由二项分布知：30.050.15.EY np ==⨯=
五、应用题（本大题共10分）
30.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%；甲厂产品的合格品率为90%，乙厂的合格品率为95%，若在市场上买到一只不合格灯泡，求它是由甲厂生产的概率是多少？
解：设A 表示甲厂产品，A 表示乙厂产品，B 表示市场上买到不合格品. 由题设知：()0.6,()0.4,(|)10.90.1,(|)10.950.05.P A P A P B A P B A ===-==-= 由全概率公式得：
()()(|)()(|)0.60.10.40.050.08.P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=
由贝叶斯公式得，所求的概率为： ()(|)0.60.1
(|)0.750.08()(|)()(|)
P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+.
概率论与数理统计（经管类）综合试题四
（课程代码 4183）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设A ，B 为随机事件，且P (A )>0，P (B )>0，则由A 与B 相互独立不能推出(A ).
A. P (A +B )=P (A )+P (B )
B. P (A |B )=P (A )
C.(|)()P B A P B =
D.()()()P AB P A P B =
2.10把钥匙中有3把能打开门，现任取2把，则能打开门的概率为 ( C ).
A. 23
B. 35
C. 8
15 D. 0.5
3.设X 的概率分布为1
()(0,1,...,),0!
k
P X k c
k k λλ-===>，则c = ( B ).
A. e λ-
B. e λ
C. 1e λ--
D. 1e λ-
4.连续型随机变量X 的密度函数1,02
()0,kx x f x +<<⎧=⎨⎩
其它，则k = ( D ).
A. 0.5
B. 1
C. 2
D. -0.5
5.二维连续型随机变量(X ,Y )的概率密度为22,0,0
(,)0,
x y e x y f x y --⎧>>=⎨⎩其它，则(X ,Y )
关于X 的边缘密度
()X f x =
( A ).
A.22,00,0x e x x -⎧>⎨≤⎩
B.2,00,0x e x x -⎧>⎨≤⎩
C.,00,0x e x x -⎧>⎨≤⎩
D.,0
0,0y e y y -⎧>⎨≤⎩
6.设随机变量X 的概率分布为
X 0 1 2 P
0.5 0.2 0.3
则
DX =
( D ).
A. 0.8
B. 1
C. 0.6
D. 0.76
7.设~(1,4),~(1,1)X N Y N -，且X 与Y 相互独立，则E (X -Y )与D (X -Y )的值分别是 (B ).
A. 0，3
B. -2，5
C. -2，3
D.0，5 8.设随机变量~(,),1,2,...,n X B n p n =其中01p <<，则lim {
}(1)
n n P x np p →∞
≤=-
( B ). A.2
2
2t x dt π
-⎰
B.2
22t x dt π-⎰ C.2
22t dt π-⎰
D.2
2
2t dt π
+∞--∞
⎰
9.设样本1234(,,,)X X X X 来自总体2~(,)X N μσ，则122
34()
X X -~
( C ).
A.2(1)χ
B.(1,2)F
C.(1)t
D.(0,1)N
10.设样本12(,,...,)n X X X 取自总体X ，且总体均值EX 与方差DX 都存在，则DX 的矩估计量为 ( C ).
A.11n i i X X n ==∑
B.2
211()1n i i S X X n ==--∑ C.2
211()n n i i S X X n ==-∑ D.12
21
1()1n i i S X X n -==--∑ 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空
格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.设袋中有5个黑球，3个白球，现从中任取两球，则恰好一个黑球一个白球的概率为
15
28
. 12.某人向同一目标重复独立射击，每次命中目标的概率为p (0<p <1),则此人第4次射击恰好第二次命中目标的概率是 223(1)p p - .
13.设连续型随机变量X 的分布函数为11
()arctan 2F x x π
=+，则其概率密度为 2
1
()(1)
f x x π=
+ . 14.设随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,4),~(1,9)X N Y N -,则随机变量2X +Y ~ N (1，25)； .
15.设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为
则协方差Cov (X ,Y )= 0 .
16.设~(4)X P (泊松分布)，1
~()3Y E （指数分布），,0.3X Y ρ=，则
()D X Y -= 9.4 .
17.设二维随机变量(X , Y )~22(,,,,0)N μμσσ，则E (XY 2)= 22()μμσ+ . 18.设随机变量X ~N (2，4)，利用切比雪夫不等式估计(|2|3)P X -≥≤
4
9
. 19.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，且同分布(1,1)(1,2,3)i X N i -=:，则随机变量222123(1)(1)(1)~X X X +++++ 2(3)χ .
20.设总体X 服从[0,θ]上的均匀分布,(1, 0, 1, 0, 1, 1)是样本观测值,则θ的
矩估计为______4
3
____ .
21.设总体2~(,)X N μσ，X 1，X 2，X 3，X 4是取自总体X 的样本，若
Y
X
1 2 3 -1 0 1 0.1 0.2 0 0.1 0.1 0.2 0.2 0 0.1
1234111ˆ264X X X cX μ
=+++是参数μ的无偏估计，则c =____1
12______ .
22.设总体~(,4)X N μ，样本12(,,...,)n X X X 来自总体X ，X 和2S 分别是样
本均值和样本方差，则参数μ的置信水平为1α-的置信区间为
22
[,]X X n n αα-
+ . 23.设总体2~(,4)X N μ，其中μ未知，若检验问题222201:4,:4H H σσ=≠，样本12(,,...,)n X X X 来自总体
X ，则选取检验统计量为
2
2
2
(1)4n S χ-= .
24.在假设检验问题中，若原假设H 0是真命题，而由样本信息拒绝原假设H 0，则犯错误 .第一类错误 .
25.在一元线性回归方程01y x ββ=+中，参数1β的最小二乘估计是
1
1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
xy i n
xx
i
i x x y
y L L x x β==--==
-∑∑ .
三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
26. 甲乙丙三人独立地向某一飞机射击，他们的射击水平相当，命中率都是0.4.若三人中有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若三人中有两人同时击中，则飞机被击落的概率为0.5；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.
解：设B 表示飞机被击中，A i 表示三人中恰有i 个人击中，i =1,2,3. 由题设知：
31
2013
()0.60.216,()0.40.60.432P A P A C ===⋅⋅=, 2
23233()0.40.60.288,()0.40.064P A C P A =⋅⋅===.
0123(|)0,(|)0.2,(|)0.5,(|)1P B A P B A P B A P B A ====.
由全概率公式，得
00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++
0.21600.4320.20.2880.50.06410.2944.=⨯+⨯+⨯+⨯=
27. 设总体X 的密度函数为(1),01
(;),0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它
其中1θ>-是未知参数，求：(1)θ的矩估计；(2)θ的极大似然估计.
解：(1)1101
()(1)2EX xf x dx x dx θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰,
令
1,2X θθ+=+，解得θ的矩估计量为$211X X
θ
-=-. (2) 设12,,...n X X X ，的一次观测值为12,,...,n x x x ，且01,1,2,...,i x i n <<=.
则 1
1
1
()()(1)(1)()n n n
n
i i i i i i L f x x x θ
θθθθ=====+=+∏∏∏
取对数：1
ln ()ln(1)ln n
i i L n x θθθ==++∑，令
1ln ()ln 0,1n
i i d L n
x d θθθ==+=+∑ 解得：θ的极大似然估计值 $1
1ln n
i
i n
x
θ
==--∑，
θ的极大似然估计量$1
1ln n
i
i n
X
θ
==--∑
四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28.设随机变量X ～⎪⎩⎪
⎨⎧-=02)(x x
x f 其它2110≤<≤≤x x ，令Y =2X +1，求：(1)分布函数
F )(x ；(2) EY 与DX .
解：(1)当0x <时，()00x
F x dt -∞==⎰，
当01x ≤<时，2
1()()2
x
x
F x f t dt tdt x -∞
===
⎰
⎰，
当12x ≤<时，1
2011
()()(2)212
x
x
F x f t dt tdt t dt x x -∞
==+-=-+-⎰⎰⎰，
当2x ≥时，12
1
()()(2)1x F x f t dt tdt t dt -∞
==+-=⎰
⎰⎰.
所以，分布函数为：
220,
01,012
()121,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩
；
(2) 12
20
1
()(2)1EX xf x dx x dt x x dx +∞-∞
==+-=⎰
⎰⎰，
1
2
2
2
3
20
1
7
()(2)6
EX x f x dx x dt x x dx +∞-∞
==+-=
⎰⎰⎰， 所以，213EY EX =+=,221()6
DX EX EX =-=.
29.在某公共汽车站，甲、乙、丙三人分别独立地等1,2,3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0, 5]上的均匀分布，求(1)一个人等车不超过2分钟的概率；(2)三人中至少有两个人等车不超过2分钟的概率. 解： (1)设X 表示一个人等车的时间，则X ~U [0，5]，其概率密度为：
1
,05
~()50,
x X f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.
一个人等车不超过2分钟的概率为：2
1
(2)0.45
p P X dx =≤==⎰
； (2)设Y 表示三个人中等车不超过2分钟的人数，则Y ~B (3，0.4). 三人中至少有两个人等车不超过2分钟的概率为：
(2)(2)(3)P Y P Y P Y ≥==+=22333
30.40.60.40.352C C =⋅⋅+⋅=.
五、应用题（本大题共10分）
30.要测量A ，B 两地的距离，限于测量工具，将其分成1200段进行测量，设每段测量产生的误差(单位：千米)相互独立，且都服从(-0.5，0.5)上的均匀分
布，试求测量A ，B 两地时总误差的绝对值不超过20千米的概率.
(0(2)0.97725Φ=)
解：设X i “第i 段测量产生的误差”（i =1.,2,…,1200).
X i （i =1.,2,…,1200) 独立同分布，且EX i =0， DX i =1/12.
1200
1200
1
1
1
()0,()120010012
i i i i E X D X ====⨯
=∑∑ ， 由中心极限定理得：
1200
1
~(0,100)i
i X
N =∑近似.
所以，12001200
1
1
(||20)210
i i i i X P X P ==⎛⎫- ⎪
⎪≤=≤ ⎪ ⎪⎝
⎭
∑∑02(2)10.9545=Φ-=.。