随机变量及其分布-所有知识点集合

解：设 X～P（λ），
由 P（X=0）= P（X=1），知 0 e 1 e ,
0!
1!
故有 λ= 1 ， 因此所求概率为
P（X≥2） = 1―P（X=0）― P（X=1）
1 0 e 1 e 1 2e1 .
0!
1!
二项分布的泊松近似
The Poisson Approximation to the Binomial Distribution
F(x)是一个普
通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。
分布函数的性质
单调不减性 若x1 x2 ,则F(x1) F(x2 )
右连续性 非负有界性
F
( x0
0)
lim
x x0
F
(x)
F
( x0
)
0≤ F(x) ≤1
规范性
F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1
解：此例遇红灯即为三重贝努利试验，故 X B(3, 1 ),
4
所以，
PX
k
Ck3
1 k 4
3 3k 4
k 0,1, 2, 3;
即X的分布律为
X
0123
P（X= xi）
27 64
27 64
9 64
1 64
故至多遇到一次红灯的概率 P（X≤1） = P（X= 0）+P（X= 1） 27 32
• 概率的确定——函数的计算
• 这个函数就是随机变量的概率分布函数
概率
纯数学计算
样本点
随机变量
事件
区间/数集
二、 随机变量的分布函数
Distribution Function 分布函数的定义
设X为一随机变量,则对任意实数x，{X≤x} 是一个随机事件，称
F(x) P X x
为随机变量X的分布函数
成功次数服从二项概率 B(400, 0.01)
有百分之一的希望，就要做百分之百的努力
泊松分布 Poisson distribution
若随机变量 X 的分布律为:
P X k k e , k 0,1, 2...
k!
其中 >0, 则称X服从参数为的泊松分布
X～P()
举例
• 服务台在某时间段内接待的服务次数X； • 候车的旅客数Y; • 矿井在某段时间发生事故的次数; • 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； • 单位体积空气中含有某种微粒的数目
X
0
1
P
1－p
p
则称X服从参数为p 的二点分布或(0-1)分布,
△背景：样本空间可划分为两种结果的情况都可以 用两点分布来描述。
如：上抛一枚硬币。
二项分布
Binomial distribution
➢ 在n重贝努利试验中,若以X表示事件A发生的次数, 则X可能的取值为0,1,2,3,…,n.
➢ 随机变量X的分布律
体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏 分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由 观测值的平均值求出。
例10 在一个放射性物质的试验中，共观察了N=2608次，每次
观察的时间为7.5秒，并记录到达指定区域内的质点数。
观察到有i个质点的次数为Ni,则
fi
Ni N
表示有i个质点的频率，
而pi=P(i;3.870)表示参数为 3.870, X i 的概率
1
概率pi
0.0209 0.0807 0.1562 0.2015 0.1949 0.1509 0.0973 0.0538 0.0260 0.0112 0.0066
1
例11 设每分钟通过某交通道口的汽车流量X服从泊松分布，
且已知在一分钟内无汽车通过与恰有一辆汽车通过的概率相等， 求一分钟内至少有两辆汽车通过的概率。
故所求概率为
PX 2 1 PX 1 PX 0
1
C1 400
0.02 0.98399
C0 400
0.98400
0.9972
结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总 会发生的！
若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次， 则至少成功一次的概率为
P X 1 1 P X 0
=1 0.99400 0.9820
放射粒子数i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ≥10
总计
观察次数Ni
57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 16
2608
频率fi
0.0219 0.0778 0.1469 0.2013 0.2040 0.1564 0.1047 0.0533 0.0172 0.0104 0.0061
取出的两个球中白球的个数。在以下两种情形下，X
是如何表示的？
（1）观察取出的两个球的颜色 （2）观察取出的两个球的号码。
解 (1)试验的样本点和基本事件
53 4 12
1 ＝｛取出两个白球｝ 2 ＝｛取出两个黑球｝
X
2 0
1 2
3 ＝｛取出一个白球与一个黑球｝
1 3
(2)试验的样本点和基本事件
例2 设一袋中，依次有标着－1、2、2、2、3、3数字的6个球，
从中任取一球，令X表示所取球上的数字，求X的分布函数。
解 X可能取的值为－1,2，3，且
F(x) P(X x)
P( X 1) 1 6
P(X
2)
1 ,
2
P(X
3)
1 ,
3
当x＜-1时，｛X≤x｝是一个不可能事件，故 F( x) P( X x) 0,
1) 0.6, 1) P( X
2)
0.9,
1,
x 1, 1 x 2, 2 x 3,
3 x.
一般地，对离散型随机变量 X～P（X= xk）＝pk, k＝1, 2, …
其分布函数为
F( x) P X x pk k:xk x
分布律确定事件的概率
例2中，得到X的分布律为
P X k Cnk pk (1 p)nk
k 0,1, 2..., n;
其中0< p <1, 则称X服从参数为 n, p 的二项分布(也 称Bernoulli 分布）,记为
X～B( n, p)
例6 从学校乘汽车去火车站须经过3处红绿灯，设各处红绿灯的
出现相互独立，且每处遇红灯的概率都是0.25,用X表示遇到红灯 的次数，求X的分布律及至多遇到一次红灯的概率。
只元件含一级品的只数，则 X ~ B(20, 0.2)
故 P X k Ck20 0.2k 0.8 20k ,k 0,1, , 20
例8 设保险公司的某种人寿保险有1000人投保，每人一年内的
死亡率为0.005，求这1000人中死亡人数不超过10人的概率。
解：设X为这1000人中一年内的死亡数，
P（X= xi） = pi i = 1、2、… 其中 0 ＜ p ＜1 ，求 p 值。
解： 1 P( X xi ) i 1
pi
p
i 1
1 p
p 1 . 2
P46 1
例4 设袋中有5个球，编号分别为 1、2、…、5，从中同时取出3
个球，以X表示取出球的最小号码，求X的分布律与分布函数。
泊松定理
Cnk pk (1
p)nkBaidu Nhomakorabea
k
k!
e
np
实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即可 用泊松公式近似替换二项概率公式
几何分布
例12 在一个贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，失
x
x
F() P X
不可能事件
F() P X
必然事件
反之，具有上述四个性质的实函数，必是某个随机变量的 分布函数。故该四个性质是分布函数的充分必要性质。
F (x) 1 能否作为某一随机变量的分布函数？ 1 x2
不是
因为 lim F(x) 0 x
1
函数
G(
x)
1
x2
1
(x 0) 可作为分布函数 (x 0)
则
X～B（1000，0.005）,
故所求概率为
P（X≤10）=
10 k 0
1000
k
0.005k
0.995 1000k
≈ 0.986 .
例9 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400
次，试求至少击中两次的概率。
解： 记X为击中的次数，则
X ~ B(400, 0.02)
示的 可规定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上”
随机变量的定义
设随机试验的样本空间为Ω，如果对于每一
个样本点 ，均有唯一的实数X () 与
之对应，称 X X () 为样本空间Ω上
的随机变量。
R X ()
例1 从装有三个白球（记为1,2，3号）与两个黑球
（记为4,5号）的袋中任取两个球，设随机变量X表示
P(X<b) =F(b-0)
P(X≥b) =1-F(b-0) P(X＝b) =F(b)－F(b-0)
§4.2 离散型随机变量
一、离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 的X所有可能取值是
x1, x2 , , x，n ,而取值 的概率xk为
pk
即 P X xk pk , k 1, 2,
称此式为X的分布律（列）或概率分布 （Probability distribution)
例7 按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的
为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随
机地抽查20只，问20只元件中恰有k只(k=0,1,…，20)为一级
品的概率是多少？
由于元件的总数很大，而抽取的数相对较小，故可当作是 有放回抽样来处理。这时可认为每只元件是一级品的概率是 p=0.2,不是一级品的概率是1-p=0.8，而元件之间的检查是相互 独立的，故可将检查一只元件是否为一级品看作是一次伯努利 试验，检查20只元件相当于是做20重伯努利试验。现设X为20
离散随机变量分布律的表格表示法
公式法 表格法
P X xk pk ,k 1, 2,
X x1， x2， … xk， …
p1 ， p2 ，… p K …
随机变量X的概率分布全面表达了X的所有可能 取
值性以质及取各1个) 值p的k 概 率0 情况k 1, 2, 2) pk 1 k 1
例3 设离散型随机变量X的分布律为
2 i,j,且1 i＜j 3
i, j ＝｛取出第i号球与第j号球｝
X 1 i,j,且1 i 3,4 j 5
＝｛（i,j）｝ (1 i j 5)
0 i,j,且4 i 5,i<j 5
用随机变量表示事件
A { | X() L} {X L}
XL 也可以是等式或是不等式。
如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 A=“出现偶数点”可表示为：{X=2} {X=4} {X=6} B=P(“A)出=P现({X的=2点}数{X小=于4} ４{”X=可6})表=P示(X为=2：)+{PX(X<=44)+}P或(X{X=6)3}
P(B)=P(X< 4)=P(X3)
• 引入随机变量。随机事件由：样本点的集 合——随机变量的取值区间
解：X的所有可能取值为1,2，3，且由古典概率公式可得
P( X 1) C42 3 , C53 5
P( X 2)
C32 C53
3, 10
P( X 3)
1 C53
1, 10
即X的分布律为
X
123
P（X= xi） 0.6 0.3 0.1
故，X的分布函数
0,
F(x)
P( X
x)
P(X P(X
当-1 ≤x<2时，｛X ≤
x｝={X=－1}，故
F(x)
P( X
x)
P(X
1)
1 ,
6
当2 ≤x<3时， ｛X ≤ x｝ ={X=－1}∪{X=2}，故
F( x) P( X x) P( X 1) P( X 2) 2 , 3
当3 ≤ x时，｛X≤x｝是一个必然事件，故 F(x) P(X x) 1,
即，X的分布函数为
F(x)
0, 1 / 6, 2 / 3,
1,
x 1, 1 x 2, 2 x 3, 3 x.
分布函数表示事件的概率
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x) 的函数值来表示。
P(X≤b)=F(b) P(X>a)=1﹣ P (X≤a) =1 - F(a) P(a<X≤b)=F(b) ﹣ F(a)
X -1 2 3
pi
1/6 1/2
1/3
求 取得的球上的数字是非负的概率
∵｛取得的球上的数字是非负的｝＝{X≥0} ＝{X=2}∪{X=3}
∴P (0≤X) =P(X= 2)+P(X=3) =1/2+1/3=5/6
二、 几种常见的离散型分布
0-1分布(二点分布 )
△定义： 若随机变量X的分布律为:
第四章 随机变量及其分布
➢随机变量及其分布函数 ➢ 离散型随机变量及其分布律 ➢ 连续型随机变量
§4.1 随机变量及其分布函数
一、 随机变量
基本思想 将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果 有些随机试验的结果可直接用数值来表示. 例如: 在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示
有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化 例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表