高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性教案 新课标

高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性教案 新课标

一．知识点

1．定义: 设y=f(x)，定义域为A ，如果对于任意x ∈A，都有()()f x f x -=，称y=f(x)为偶函数。

设y=f(x) ，定义域为A ，如果对于任意x ∈A，都有()()f x f x -=-，称y=f(x)为奇函数。

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数y=()f x 具有奇偶性。

2.性质：

①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，

②y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称,

y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称,

③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，

奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，

④若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和 )]()([21

)]()([21

)(x f x f x f x f x f --+-+=

⑤奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇

[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称]

⑥对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数

若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数

若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数

3．函数奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称 ；②看f(x)与f(-x)的关系；

二．例题选讲

例1．判断下列函数的奇偶性 (1) 11)(--+=x x x f ； (2) x x

x x f -+-=11)1()( ; (3)221)(2

---=x x x f ; (4) ⎪⎩⎪⎨⎧

>+<-=)0()1()

0()1()(x x x x x x x f

解：（1）定义域为),(+∞-∞，对称于原点，又

)()11(11)(x f x x x x x f -=--+-=---+-=-，)(x f 为奇函数

（2）由011≥-+x x

得定义域为[)1,1-，关于原点不对称，所以)(x f 没有奇、偶性。

（3）由012≥-x 且022≠-+x 得定义域为[)(]1,00,1 -，对称于原点

x x x f 21)(-=，得)(1)(2

x f x

x x f -=--=-，知)(x f 是奇函数 （4）定义域为),0()0,(+∞-∞ ，对称于原点，

当0>x 时，0<-x ，所以)()1()(x f x x x f -=+-=-

当0-x ，所以)()1()(x f x x x f -=--=-，故)(x f 是奇函数

例2．已知g(x)为奇函数，x x g x x x f 2)()1(log )(22++-+=，且f(-3)=841，求f(3)； 解：8

412)3()310(log )3(32=+-++=--g f ， 322)3()310(log )3(++-=g f ，将两式相加，结合g(x)为奇函数，可得：

3)3(8

1822841)3(33=⇒+=+=+-f f ； 变式：已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x2+2x-1

① 若f(x)为R 上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。

② 若f(x)为R 上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。

解：① 可确定:⎪⎩

⎪⎨⎧>-+-=<-+=)0(12)0(0

)

0(12)(22x x x x x x x x f ②不可确定:0=x 处没有定义； 例3．函数)(x f 的定义域为D={}0|≠x x ，且对于任意的D x x ∈21,，都有

)()()(2121x f x f x x f +=⋅；（1）求)1(f 的值； （2）判断)(x f 的奇偶性并证明；

（3）如果1)4(=f ，3)62()13(≤-++x f x f ，且)(x f 在),0(+∞上是增函数，求x 的取值范围。

解：（1）令121==x x 可得：0)1(=f

（2）令121-==x x 可得：0)1(=-f ；再令x x x =-=21,1可得：)()(x f x f =-； 所以：)(x f 为偶函数

（3）2)4()4()44(=+=⨯f f f ，3)4()16()416(=+=⨯f f f

∴原不等式可化为：[])64()62()13(f x x f ≤-⋅+

又 )(x f 在),0(+∞上是增函数 ∴64)62()13(0≤-⋅+≠x x 解得：3137-<≤-x 或33

1<<-x 或53≤

证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f 2(0) ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1；

②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)；∴f(-y)=f(y) ； ∴y=f(x)是偶函数；

变式二：设函数)0)((≠=x x f y 是奇函数，且当),0(+∞∈x 时是增函数，若f(1)=0，求不等式0)]2

1([<-x x f 的解集； 解：由0)]21([<-x x f 可得：1)2

1(1)21(0-<-<-

0417*******<<-+<

171417121|{<<-+<

p x x f 是奇函数，（1）求m 的值；（2）当[]2,1∈x 时，求)(x f 的最大值与最小值。

解：（1）因为)(x f 是奇函数，所以0)()(=+-x f x f ，即0)()(=++++-+

-m x

p x m x p x ，得m=0 (2) 因为22)(x

p x x f -='， ①当p<0时，0)(>'x f ，所以)(x f 在[]2,1上是增函数， p f x f p f x f +==+==∴1)1()(,2

2)2()(min max ②当p>0时，知)(x f 在(]p ,0上是减函数，在[)

+∞,p 上是增函数； （A ） 当10<

p f x f p f x f +==+==∴1)1()(,2

2)2()(min max