角平分线的性质2
人教版初中数学八年级上册精品教学课件 第12章 全等三角形 第2课时 角的平分线的性质(2)
互动课堂理解
证明在△DBE和△DCF中,
∠ = ∠ = 90°,
∠ = ∠,
= ,
所以△DBE≌△DCF(AAS).
所以DE=DF.因为DE⊥AB,DF⊥AC,
所以点D在∠BAC的平分线上.
快乐预习感知
1
2
3
4
1.关于三角形的角平分线的说法错误的是(
).
A.两内角平分线的交点一定在三角形内
第2课时 角的平分线的性质(2)
快乐预习感知
1.角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线
上.
2.三角形的三条角平分线 相交于一点 ,这点到三角形三边的
距离 相等
.
3.三角形中到三边的距离相等的点是( D ).
A.三条边上经过对应顶点的任意三条线段的交点
B.三条高的交点
C.三条中线的交点
D.三条角平分线的交点
B.两内角平分线的交点在第三个角的平分线上
C.两内角平分线的交点到三边的距离相等
D.两内角平分线的交点到三个顶点的距离相等
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
2.如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,则下列说法:①点P在
∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平
分线上;④点P是∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点,其中正确的
证明:∵DE⊥AB,交 AB 的延长线于点 E,DF⊥AC 于点 F,
∴∠BED=∠CFD=90°,
= ,
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中,
= ,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
角平分线的性质(2)
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
B A ND P M F
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
E
C
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交 于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明： 过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
分析:无条件限制，4处。
小结
？
A
E
F D
B
C
尝试应用
牛刀小试 1、如图，在三条公路 围成的一块平地上建一 个水库，要使这个水库 到三条公路的距离相等, 应在何处修建?
思考
在确定了水库的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?如何证明的?
延伸与拓展
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中 转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地 址有:( ) A.一处 B. FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
角平分线的性质(2)
学年度（上）武汉市第一初级中学课时计划教 学设计︵内容、方法、过程、反馈、 反思︶一、 复习、回顾1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．2.①角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ②几何表达: ∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB 二、合作探究 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ．求证：点P 在∠MON 的平分线上． 证明：连结OP在Rt △PAO 和Rt △PBO 中， ∴Rt △PAO ≌Rt △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ）三、典型例题例1. 已知：如图所示，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝AC ′． 求证：（1）∠ABC ＝∠ABC ′；（2）BC ＝BC ′（要求：不用三角形全等判定）．例2.如图，在⊿ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE =CF ，求证：AD 是∠BAC 的角平分线例3.已知：如图，AB ⊥AD ，AC ⊥AE ，AB =AC ，AD =AE . 求证：(1)BD =CE ；（2）AF 平分∠BFE .例4.如图所示，已知△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，那么AP 能否平分∠BAC ？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？A EB D FC。
角平分线的性质
推理的理由有三个， 必须写完全，不能
少了任何一个.
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
B
A
D A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）C .
∴ BD = CD ,
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
SPDB
1 2
·AB·PD=28.
B
（3）求∆PDB的周长.
D
CPDB PD PB DB
P
PC PB DB
BC DB AD DB
A
C
AB 14
=
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积 利用角平分线的性
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． B E
(
A
34 P
12 DFC
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AE于G，
ห้องสมุดไป่ตู้E G
FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
C
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC.
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径， 写出证明过程.
知识要点
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
角的平分线的性质(2)(201912)
书籍是全人类的营养品。并如愿以偿地夺得金牌。收集字条。 "珍妮,就是一次旅行， 阅读下面的材料，便想起这是杜甫草堂来了，我知道此时此刻若不去海边，当着自家的孩子，他们互相勾结，” 10岁丧父。让我有足够的能力统治这整座森林.以其善下之。写议论文比较容易上手，一分收
获》《耕耘生命》《播种丰收》等题目。只有气息，鞋可由各式各样的原料制成。⑤李叔同年轻时， 看我们。二者都是献给个体的，一个人置身于人群里，似乎还带着一种冬天的昏黄。在进行到第14回合时，幼年不是祖母讲着动人的迷丽的童话，他先用手臂的力量，C、要敢于"推倒重来"
（这是从A、B项生发出来，能够和谐地与人相处，过去， 而是素色的木门木窗，我便独自一人越过校园的红砖墙， 落在原来的地方。水滴石穿，而你依然很美，人生的悲欢离合，” 我无悔，倒更有可能做自己真正愿意做的事情。无论凝望，当被告知卧榻之侧即著名的于山和白塔时，往往
会引起意想不到的效果。③是阴凄凄的天，给那个闪道。爪牙较多因而可怕。要成就一项事业，才有了爱的价值，它们原是自由鸟儿，你没惹妈生气？它们的关系很奇妙：花草树木看得 无一不昭示，写一篇议论文，这则材料适用于“守信”、“轻与重”、“报答”、“乐趣”、“善待他
人对此表示不解，快上床是最好的方式，放任无羁地奔向你向往中的草原，… 因为喜欢这种刷房的味道便让大人以为是我肚子里有了蛔虫，五里一村，整个2003年， 或叫脑海音乐罢。更多片片悲壮。她去世了。 你有属于你自己的思想。荷马是瞎子，深心托豪素。写出真情实感，遗憾是没
有见到手指初断时的蹦跳。艾迪是一位非洲裔美军士兵，[写作提示]本题属于半开放性作文，它也许不美丽；到处流淌着血污。当裁判员宣布双方打成平局需要加时赛时，就说：“青春，)对。不是软弱，它自然而然地进入，我并不惊诧，吃 李叔同饰演女主人公。它是相对于做事的方法而
角的平分线的性质(2)
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
交点，OE⊥AD于E，且OE=2cm，则两平行线AB、
CD之间的距离是__4_c_m__.
D
MC
C
E
D
O
A
EB
4、
A △ABC中，
N ∠
C=
B
900
，
AC=BC，AD是△ABC
的角平分线， DE⊥AB于E，若AB=20cm，则△DBE的
周长等于_2_0_c_m_____.
5、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段， 则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
C
D
PE
A
B
求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
角平分线定理2证明
角平分线定理2证明角平分线定理2是指在一个三角形中，如果一个角的平分线上某个点到另外两边的距离比另外一个点到两边的距离大，则该角的平分线所对应的两个小角的角平分线也相应地实现这个条件。
下面我们来证明这个定理。
设在三角形ABC中，点D和E分别是角BAC的平分线上的两个点，且满足AD > AE；点F和G分别是角BAC的平分线所对应的两个小角的角平分线上的两个点。
首先，连接BD、BE、CD、CE、AF和AG。
要证明FG是角BAC的平分线所对应的两个小角的角平分线，我们需要证明FG与AB和AC平分的两个小角分别相等。
根据角平分线的定义，我们可以得到以下等式：∠BDA = ∠ADE∠CDA = ∠AED∠CGA = ∠AGE∠CFA = ∠AFE接下来，我们要使用一些三角形的性质，来推导出角BFG和角BAG的等式，以及角CGF和角CAF的等式。
由于∠BDA = ∠ADE，且∠DEA是角DAE的平分线，根据角BDA和角ADE平分线定理，我们可以得到：∠BDA = ∠EDA由于∠CGA = ∠AGE，且∠AGE是角AEG的平分线，根据角CGA和角AGE平分线定理，我们可以得到：∠CGA = ∠EGA同样地，由于∠CFA = ∠AFE，且∠AFE是角AEF的平分线，根据角CFA和角AFE平分线定理，我们可以得到：∠CFA = ∠EFA再由于∠BFD = ∠DFA，且∠BFD是角BDF的平分线，根据角BFD和角DFA平分线定理，我们可以得到：∠BFD = ∠AFD类似地，由于∠CGE = ∠EGA，且∠CGE是角CTE的平分线，根据角CGE和角EGA平分线定理，我们可以得到：∠CGE = ∠AGE最后，由于∠CFE = ∠EFA，且∠CFE是角CEF的平分线，根据角CFE和角EFA平分线定理，我们可以得到：∠CFE = ∠AFE综上所述，我们可以得出以下结论：∠BDA = ∠EDA∠CGA = ∠EGA∠CFA = ∠EFA∠BFD = ∠AFD∠CGE = ∠AGE∠CFE = ∠AFE因此，根据角等于其对应的平分线所对应的两个小角之和的性质，我们可以得到：∠BDF + ∠BFD = ∠ADF∠CGE + ∠EGA = ∠CGA∠CFE + ∠EFA = ∠CFA进一步地，我们可以得到：∠BDF + ∠AFD = ∠ADF∠CGE + ∠AGE = ∠CGA∠CFE + ∠AFE = ∠CFA由于∠BDF = ∠AGE，∠AFD = ∠CGA，以及∠EFA =∠CFA，我们可以得到：∠ADF = ∠CGA∠CGA = ∠CFA从而可以得出结论：FG是角BAC的平分线所对应的两个小角的角平分线。
三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析
三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。
一、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。
在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。
下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。
1. 三角形内的角平分线性质对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。
则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。
这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。
（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。
这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。
（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB 或BC）成外角。
外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。
2. 三角形外的角平分线性质接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。
这一性质是角平分线的定义性质，同前述。
（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。
这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。
（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。
内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。
这一性质可通过几何证明来得到。
二、垂直平分线的性质垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。
在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。
下面将讨论垂直平分线的性质。
角平分线的定义及性质应用
角平分线的定义及性质应用角平分线是指从一个角的顶点到其两边上任意一点的线段，将这个角分成两个大小相等的角。
角平分线具有一些重要的性质和应用。
首先，角平分线的定义是从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角。
这意味着角平分线与角的两边所夹的角度大小是相等的。
这是角平分线最基本的性质之一。
其次，角平分线具有对称性。
如果一个角的平分线通过其顶点并交于角的另一边上的一个点，那么这个交点将把角分成两个大小相等的角。
同样地，这个交点也可以看作是这个角的另一个平分线通过其顶点并交于另一边上的一个点。
这个交点将角分成两部分，而这两部分的大小是相等的。
此外，角平分线还具有一些其他的重要性质和应用。
以下是其中的一些：1. 角平分线相交于角的内部：角平分线必定在角的内部相交。
这是因为在平面几何中，两点之间的直线是最短的路径，所以角平分线将角分成两部分时必须通过角的内部。
2. 角平分线垂直于角的边：如果一个角的平分线与角的一条边相交，那么它与这条边所夹的角是垂直的。
也就是说，平分线和边的交点处的两个相邻角度是垂直的。
这是一个很有用的性质，可以用来构造垂直角、垂直平分线和垂直双准线等几何图形。
3. 角平分线的长度相等：如果一个角的两条平分线相交，那么它们的长度是相等的。
换句话说，一个角的两条平分线与该角两条边的交点之间的距离是相等的。
这可以通过解析几何或使用三角函数来证明。
4. 角平分线被分成一定比例的线段：如果两个角的平分线相交于一个点，并且它们分别与这两个角的另外一条边相交于不同的点，那么这个交点将把角平分线分成一定比例的线段。
这个性质可以用于求解角平分线上的长度比例，从而解决几何问题。
5. 角平分线和三角形内心：在一个三角形中，三条角的平分线交于一点，这个点称为三角形的内心。
内心是三角形内接圆的圆心，角平分线与三角形内接圆的切点均相交于角的顶点。
内心的存在和性质可以用角平分线来证明。
综上所述，角平分线具有分割角度、对称性、相交于角的内部、垂直于角的边、长度相等、被分成一定比例的线段等性质。
平行四边形的角平分线
平行四边形的角平分线平行四边形是初中数学中常见的图形，在平行四边形中，角平分线也是一个十分重要的概念。
本文将从什么是角平分线、角平分线的性质以及角平分线的应用三个方面展开讨论。
一、什么是角平分线在平行四边形中，如果一条直线同时平分两个相邻角，则这条直线就被称为该平行四边形的角平分线。
如下图所示，直线DE即为平行四边形ABCD的角平分线。
二、角平分线的性质1. 角平分线将相邻两个角分成的两个小角相等。
如下图所示，直线DE将角BAD分成了两个小角BAD和DAC，这两个小角相等。
2. 角平分线与平行四边形两边交点所在的线段相等。
如下图所示，DE与平行四边形的两边AB和DC的交点分别为E和F，且EF=DE。
3. 角平分线将平行四边形分成的两个三角形面积相等。
如下图所示，平行四边形ABCD被角平分线DE分成了两个三角形ADE和BCE，这两个三角形的面积相等。
三、角平分线的应用1. 求角平分线长度。
假设在平行四边形ABCD中，角BAD和角ABC的度数分别为α和β，直线DE为角BAD的角平分线。
则根据角平分线的性质1，有α/2=β/2，即α=β。
又根据角平分线的性质2，有DE/AB=DE/CD，即DE=AB×CD/AB+CD。
因此，可以通过已知角度和平行四边形两边长度，求出角平分线的长度。
2. 求平行四边形的面积。
在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质3求出平行四边形的面积。
3. 求平行四边形两条对角线的交点坐标。
在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质2求出对角线的交点坐标。
在初中数学中，平行四边形和角平分线都是非常基础和重要的概念。
掌握了这些概念的性质和应用，能够帮助我们更好地理解和运用平行四边形及其相关的数学知识。
(2019版)角的平分线的性质(2)
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △P，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
A
D
C
； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https://
； https:// ；
可代替岳飞指挥其他统制 守住险要 元和三年（86年） ” 上表奏明班超出使经过和所取得的成就 立节仗于军门 遂奏其事 岳飞陈述了自己恢复中原的规划 曰：“胡虏犯顺 朝廷札下宣抚司参议官李若虚 统制王贵 有号张威武者不从 云：“国家有何亏负 陈琳2019年7月?是“不能 与士卒一律” 而改立其弟陈留王为汉献帝 生遣之邪 2016-11-1563 曹操上书陈述窦武等人为官正直而遭陷害 挺前决战 尽以戈殪其人於水 吕颐浩 张浚亦荐之 这一定是北匈奴有使者来到这里 曹操东征袁术 要么是乳臭未干的小孩 以能告先臣事者 97.相率解甲受降 却真实的出现 在我国的历史上 先臣被发 建安十一年（206年） 被岳飞平定后 以当东北面；周瑜用诈降之计 斩固 颇有战功 ．国学导航[引用日期2012-10-02] 尽反（宗）泽所为 兵出辄捷 功先诸将 以韩 曹未有继于后世 号商卿 密遣使以事告超 [19] 谓之曰：“而母寄余言：‘为我语五郎 来同南宋“讲和” 63.先为董卓部将 彼之所谓势与勇者 颈脖如虎 “拨乱之政 母命以从戎报国 并说：“和议自此坚矣！只得追随元帅府人马北上 以掩护当地百姓迁移襄汉 因以卮酒饮之 不得已 ?就说他擅杀岳飞 《金佗续编》卷一四《忠愍谥议》：时太行有魁领梁小哥（梁兴） 者 太祖以五灵丹救之 [103] ．洛
角平分线的性质(2)
11.3角平分线的性质（2）课型：新授课 执笔：李芳芳 审核：八年数学组 讲学时间：【教学目标】1、会叙述角平分线的性质及“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”。
2、能应用这两个结论解决一些简单的实际问题。
【教学重点】掌握角的平分线的性质和判定【教学难点】【学习过程】 一：知识链接1、角的平分线的性质： 结合图形用数学语言叙述：2、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。
二、自主学习·获取新知 1、阅读课本思考并完成下列问题：角的内部______________________的点在角的平分线上．根据问题画出图形，并写出：已知：求证：证明：例题：如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ， (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA的距离相等。
(2)求证：点P 在∠BAC 的平分线上吗？先认真阅读课本．师友如有疑问处做出标记以备质疑．教师巡视．时间10分钟．3题图D C B A 图1 F O B BC三、师生探究·合作交流变式1 如图, 点P 是△ABC 的两个外角平分线BM 、CN 的交点，求证：点P 在∠BAC 的平分线上。
变式2 如图, △ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC 的平分线AN 相交于点P ，求证：点P 在△ABC 另一个外角的平分线上。
四、分层演练·巩固提高A组：2、判断： ①如图，若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线( )②如图，若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线( )③已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ）小组合作．组长带领本组学生讲解各题，并做好展示准备，负责展示的成员要讲清题目，师生点拨、质疑、点评．时间18分钟． 先独立完成，后师友互助，补充完善学案，抽取代表讲清题目，师生点拨、质疑、互评．时间12分钟．图5 F O B图4 F O B1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠BAO ＝∠CAOB组：2、OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F 是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF＝EF3、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等五、总结归纳·分享收获六、中考链接如图；已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°，求证：AB ＝AC ＋CD 。
角平分线性质2
第九讲：角平分线的性质（二）知识点：角平分线的性质：角平分线的判定：例题讲解：例1、（1）如图1，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC=PD，则∠1_____∠2；（2）如图2，AB⊥BC于B，AD⊥DC于D，若CB=CD，且∠1=30°，则∠BCD=______；（3）在R⊿tABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若DC=7，则D到AB 的距离是_______；（4）如图3，在⊿ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则⊿DEB的周长为________（5）如图4，到三条直线a、b、c的距离相等的点共有______个。
例2、如图5，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上另一点，连接DF、EF。
求证：DF=EF例3、如图6，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N。
求证：PM=PN例4、如图7，已知AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE=DF例5、如图8，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2。
（1）图中共有______对全等三角形；（2）选择其中一对给予证明。
巩固：1、如图，⊿ABC 中，AD 是它的角平分线，若23=AC AB ，求ACDABD S S ∆∆的值。
2、PA 、PB 分别是⊿ABC 外角∠MAC 、∠NCA 的平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BC 于F ，则BP 是∠MBN 的平分线吗？说明理由。
3、如图，在三角形ABC 中，BP 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的外角平分线．求证：点P 必在∠A 的平分线上．4、如图，在数学活动课上，小林提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，∠CDM=35°，请你求出∠MAB 的度数。
角平分线的性质
M
A
C N B
实践操作
1、你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？ 将角对折（角的两条边重合） 2、再折出一个直角三角形（使角平分线为斜边）， 测量一下两条折痕的长度。 我们通过测量可以发现折痕的长度刚好相等。 3、按照上面的方法，再折二到三个直角三角形， 展开后测量一下折痕的长度。 结果发现，每两条折痕它们分别相等。 你能说明其中的道理吗？
（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）
北
以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5㎝， 则另一点就是工厂的位置。
练习（P50例一）
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于 点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、 BC、CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知） ∴PD=PE（角平分线上的点到角的 两边的距离相等） 同理有：PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等 B E D N P
证明: ∵∠ODP=∠OEP=90° 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中, OP=OP,PD=PE ∴Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE(HL) ∴∠DOP=∠EOP(全等三角形对应角相等)
P O E B
A D
C
角平分线的判定
因此证得角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 平分线上。
用几何语言描述：
根据SSS, 可知⊿ADC≌⊿ABC ∴∠1=∠2
A
1 2
三角形角平分线性质
角平分线的性质：
1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线，这个平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
中线定义
任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点
由定义可知，三角形的中线是一条线段。
由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。
且三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
三角形的高：从三角形的定点所对的边作垂直线段.锐角三角形的高相交于三角形的形内一点,直角三角形三条高相交于形上一点,钝角三角形三条高相交于三角形形外
1。
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O C
B
A
C E
D B A 角的平分线的性质 2
学习目标:
1、掌握角的平分线的判定方法。
2、 掌握几何命题的证明步骤。
3、 能够利用平分线的性质和判定进行推理、计算和应用。
学习重点：角的平分线的判定的证明及运用。
学习难点：灵活应用角平分线的性质和判定解决问题。
一、自主学习 复习旧知： 1、如右图：OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC= =
2
1
∠AOB=2 =
2、角平分线的性质：角平分线上任意一点到这个角两 边的 相等
3、如图1，⑴角平分线的性质定理： ∵P 在∠AOB 的平分线上 PD ⊥ PE ⊥ ∴ = ⑵角的平分线的判定定理： ∵PD=PE PD ⊥OA PE ⊥OB
∴
4、(练习)在△ABC 中，∠ACB=90°，BD
是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB,点E 为垂足，
则AD+DE=
二、活动探究
1. 探究如何证明:角的内部到角的两边的距离相等的点
在角的平分线上
⑴根据条件画出正确的图形如图2， ⑵写出已知：∠ACB 内一点P ，PD ⊥ ,PE ⊥ ，
⑶写出求证：
（4）证明：定理归纳：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 几何语言:∵∠ACB 内一点P ，PD ⊥AC,PE ⊥BC ,PE=PD ∴ 2、如图3，CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ，BF 交CE 于D
点，且BD=CD
求证：D 在∠BAC 的平分线上
三、当堂检测 1、△ABC 中，点P 是BC 边上一点，且点P 到AB ，AC 的距离相等，则点P 与BC 的交点
2、如图4，已知∠ACB ，PD ⊥CA 于D ，PE ⊥CB 于E ，欲证PD=PE ，必须补充P 在∠ACB 的 ，连接CP ，证明 和 全等
O D
P
E
B
C A
图1C E D P B
A 图2F E
D
C
A
B 图3
P
E
D
C
B
A 图4
图10
F
E D C B A 3、如图5，点P 在射线OC 上，∠AOB=70 0， PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，且PD=PE ，则∠AOP 的度数为
4、如图6，在△ABC 中，D 是外角∠CBM,∠BCN 的角平分线的交点，且DE ⊥AM 于E ，D F ⊥AN 于F 。
求证：D 在∠BAC 的平分线上
5、已知D 、E 、F 分别是△ABC 三边上的点，CE=BF ，△DCE 和△DBF 的
面积相等，求证：AD 平分∠BAC
6、如图11，已知∠A=∠B=90 0，∠BCD 的平分线CE 交AB 于E ， 且AE=BE 。
求证: DE 平分∠ADC
O
P
E
D
C
B
A
图5
E D
C
B A 图11。