加权残值法(全)
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（2）配点法（Collocation Method） ）配点法（ ）
4 1 qL4 qL4 ~ w2 max = 5 1 − = 0.013017 EI π 243 EI
1 qL4 qL4 ~ w1 max = 4 = 0.010266 EI EI π
qL 4 3+ 2 2 1 1 ~ 1 − w 2 max = 4 2 2 2+ 2 π δ 1( 3 + 2 ) EI qL 4 = 0 . 012366 EI
3.1 加权残值法的基本概念
~ RV = Lu − f ≠ 0 ~ Rs = Gu − g ≠ 0
（3.1.4） （3.1.5）
为了消除残值，选取内部权函数（Weighted function）WV和 边界权函数WS，使得残值RV和RS分别与相应权函数的乘积在 域内和边界上的积分为零，即：
∫ RWd ∫RWd
∫
Vi
Ri dv =0 （i=1，2，…N）
（3.2.9）
3.2 加权残值法的基本方法
（3）子域法（Subdomain Method） ）子域法（ ） 这里，N个子域共有N个方程，联立求解即得待定系数 Ci（i=1，2，…N）。 需要说明的是，每个子域的试函数的选取可以相同， 也可以不同。若各子域的试函数互不相同时，则必须 考虑各子域间的连接条件。
数学物理中的近代 分析方法
第三章 加权残值法
3.1 加权残值法的基本概念
设某一具体的工程定解问题： Lu－f=0（在域V内） Gu－g=0（在边界S上） （3.1.1） （3.1.2）
这里，u为待求的未知函数，L和G分别为控制方程（在域V 内）和边界条件（在边界S上）的微分算子。f和g分别是域 内和边界上的已知项。
由残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质， 不仅保证了解的收敛性，还使得伽辽金法精度高而计算 工作量又不算太大，所以该方法应用广泛。
3.2 加权残值法的基本方法
（5）矩量法（Method of Moment） ）矩量法（ ） 当权函数选取为xi（i=0，1，…N－1）时，就得到了矩量 法的基本方程为：
（3）子域法（Subdomain Method） ）子域法（ ）
1 qL4 qL4 ~ w1 max = 3 = 0.016126 EI 2π EI
~ w2 max
1 3+ 2 − qL4 27 = 3 4π (2 + 2 2 ) EI
2
（4）伽辽金法（Galerkin Method） ）伽辽金法（ ）
V V
S S S
V V
=0
=0
（3.1.6） （3.1.7）
S
据此，我们就可以得到关于待定系数Ci（i=1，2，…N）的 代数方程组，求得了Ci后，即确定了近似解（3.1.3）。
3.1 加权残值法的基本概念
按试函数是否满足控制方程和边界条件 试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法 试函数是否满足控制方程和边界条件 分为三类： 内部法 边界法 混合法
最小。为使J（Ci）最小，取极值条件：
3.2 加权残值法的基本方法
∂J (Ci ) = 0 （i=1，2，…N） ∂Ci
（3.2.2）
即可得到最小二乘法的基本方程：
∫
∂R ∂R R dv = 0 （i=1，2，…N） V ∂Ci
（3.2.3）
∂R ∂Ci
可见，最小二乘法就是将权函数取作
。式（3.2.3）将
∫
V
RWi dv =
∫
V
R( x， y )δ ( x − xi， y − yi )dv = R( xi， yi ) = 0
（i=1，2，…N） （3.2.7）
由残值R在N个配点xi（或二维（xi，yi））处为零。得到N个 代数方程，从而求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。配点法是 加权残值法中最简单的一种，只是其计算精度相对差一些。
给出N个代数方程，用于求解N个待定系数Ci（i=1， 2，…N）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。
3.2 加权残值法的基本方法
（2）配点法（Collocation Method） ）配点法（ ） 如果选用狄拉克δ函数（Dirac Delta Function）作为权 函数，即：
Wi = δ ( x − xi )
（3.2.4）
就得到了配点法。配点法的基本方程为：
∫ RW dv =∫ R( x)δ ( x − x )dv = R( x ) = 0
V i V i i
（3.2.6）
（i=1，2，…N）
3.2 加权残值法的基本方法
（2）配点法（Collocation Method） ）配点法（ ） 对于高维问题，例如二维问题的配点法基本方程为：
qL4 = 0.013677 EI
4 1 qL4 qL4 ~ w2 max = 5 1 − = 0.013017 EI π 243 EI
4 qL4 qL4 ~ w1 max = 5 = 0.013071 EI π EI
（5）矩量法（Method of Moment） ）矩量法（ ）
∫
V
Rx i dv =0 （i=0，1，…N－1）
（3.2.12）
由上式不难求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。
例2：简支梁的弯曲问题 ：
（1）最小二乘法（Least Square Method） ）最小二乘法（ ）
4 qL4 qL4 ~ w1 max = 5 = 0.013071 EI π EI
3.2 加权残值法的基本方法
（3）子域法（Subdomain Method） ）子域法（ ） 如果将待求问题的整个区域V按任意方式划分为N个子域 Vi（i=1，2，…N），并定义此时的权函数为：
1 (在Vi内) Wi = 0 不在Vi内)
（3.2.8）
于是在每个子域Vi内可列出消除残值的方程为：
3.1 加权残值法的基本概念
一般地，定解问题（3.1.1）、（3.1.2）的精确解难以求 得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u的 试函数：
~ u=
∑C v
i =1
N
i i
（3.1.3）
其中Ci为待定系数，vi为试函数项。 将（3.1.3）代入定解问题的两个微分方程中，一般不会精确 满足，于是就出现了内部残值（Residuals）RV和边界残值RS， 即：
3.2 加权残值法的基本方法
（4）伽辽金法（Galerkin Method） ）伽辽金法（ ） 伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出的并以他的名字而命名 的方法。 伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数，即： Wi=vi， （i=1，2，…N） （3.2.10） （3.2.11）
⇒
∫
V
Rvi dv =0 （i=1，2，…N）
~ w1 max
1 qL4 qL4 = 3 = 0.016126 EI 2π EI
1 1 3 3 1 π 2 qL4 ~ w2 max = 3 π − 1 − 1 − 2π 8 4 24 12 EI qL4 = 0.012786 EI
3.2 加权残值法的基本方法
据权函数的形式 权函数的形式分类，主要有以下五种方法： 权函数的形式 （1）最小二乘法（Least Square Method） ）最小二乘法（ ） 最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V内的 残值平方积分：
J (Ci ) = ∫ R 2 dv
V源自文库
（3.2.1）
4 1 qL4 qL4 ~ w2 max = 5 1 − = 0.013017 EI π 243 EI
1 qL4 qL4 ~ w1 max = 4 = 0.010266 EI EI π
qL 4 3+ 2 2 1 1 ~ 1 − w 2 max = 4 2 2 2+ 2 π δ 1( 3 + 2 ) EI qL 4 = 0 . 012366 EI
3.1 加权残值法的基本概念
~ RV = Lu − f ≠ 0 ~ Rs = Gu − g ≠ 0
（3.1.4） （3.1.5）
为了消除残值，选取内部权函数（Weighted function）WV和 边界权函数WS，使得残值RV和RS分别与相应权函数的乘积在 域内和边界上的积分为零，即：
∫ RWd ∫RWd
∫
Vi
Ri dv =0 （i=1，2，…N）
（3.2.9）
3.2 加权残值法的基本方法
（3）子域法（Subdomain Method） ）子域法（ ） 这里，N个子域共有N个方程，联立求解即得待定系数 Ci（i=1，2，…N）。 需要说明的是，每个子域的试函数的选取可以相同， 也可以不同。若各子域的试函数互不相同时，则必须 考虑各子域间的连接条件。
数学物理中的近代 分析方法
第三章 加权残值法
3.1 加权残值法的基本概念
设某一具体的工程定解问题： Lu－f=0（在域V内） Gu－g=0（在边界S上） （3.1.1） （3.1.2）
这里，u为待求的未知函数，L和G分别为控制方程（在域V 内）和边界条件（在边界S上）的微分算子。f和g分别是域 内和边界上的已知项。
由残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质， 不仅保证了解的收敛性，还使得伽辽金法精度高而计算 工作量又不算太大，所以该方法应用广泛。
3.2 加权残值法的基本方法
（5）矩量法（Method of Moment） ）矩量法（ ） 当权函数选取为xi（i=0，1，…N－1）时，就得到了矩量 法的基本方程为：
（3）子域法（Subdomain Method） ）子域法（ ）
1 qL4 qL4 ~ w1 max = 3 = 0.016126 EI 2π EI
~ w2 max
1 3+ 2 − qL4 27 = 3 4π (2 + 2 2 ) EI
2
（4）伽辽金法（Galerkin Method） ）伽辽金法（ ）
V V
S S S
V V
=0
=0
（3.1.6） （3.1.7）
S
据此，我们就可以得到关于待定系数Ci（i=1，2，…N）的 代数方程组，求得了Ci后，即确定了近似解（3.1.3）。
3.1 加权残值法的基本概念
按试函数是否满足控制方程和边界条件 试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法 试函数是否满足控制方程和边界条件 分为三类： 内部法 边界法 混合法
最小。为使J（Ci）最小，取极值条件：
3.2 加权残值法的基本方法
∂J (Ci ) = 0 （i=1，2，…N） ∂Ci
（3.2.2）
即可得到最小二乘法的基本方程：
∫
∂R ∂R R dv = 0 （i=1，2，…N） V ∂Ci
（3.2.3）
∂R ∂Ci
可见，最小二乘法就是将权函数取作
。式（3.2.3）将
∫
V
RWi dv =
∫
V
R( x， y )δ ( x − xi， y − yi )dv = R( xi， yi ) = 0
（i=1，2，…N） （3.2.7）
由残值R在N个配点xi（或二维（xi，yi））处为零。得到N个 代数方程，从而求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。配点法是 加权残值法中最简单的一种，只是其计算精度相对差一些。
给出N个代数方程，用于求解N个待定系数Ci（i=1， 2，…N）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。
3.2 加权残值法的基本方法
（2）配点法（Collocation Method） ）配点法（ ） 如果选用狄拉克δ函数（Dirac Delta Function）作为权 函数，即：
Wi = δ ( x − xi )
（3.2.4）
就得到了配点法。配点法的基本方程为：
∫ RW dv =∫ R( x)δ ( x − x )dv = R( x ) = 0
V i V i i
（3.2.6）
（i=1，2，…N）
3.2 加权残值法的基本方法
（2）配点法（Collocation Method） ）配点法（ ） 对于高维问题，例如二维问题的配点法基本方程为：
qL4 = 0.013677 EI
4 1 qL4 qL4 ~ w2 max = 5 1 − = 0.013017 EI π 243 EI
4 qL4 qL4 ~ w1 max = 5 = 0.013071 EI π EI
（5）矩量法（Method of Moment） ）矩量法（ ）
∫
V
Rx i dv =0 （i=0，1，…N－1）
（3.2.12）
由上式不难求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。
例2：简支梁的弯曲问题 ：
（1）最小二乘法（Least Square Method） ）最小二乘法（ ）
4 qL4 qL4 ~ w1 max = 5 = 0.013071 EI π EI
3.2 加权残值法的基本方法
（3）子域法（Subdomain Method） ）子域法（ ） 如果将待求问题的整个区域V按任意方式划分为N个子域 Vi（i=1，2，…N），并定义此时的权函数为：
1 (在Vi内) Wi = 0 不在Vi内)
（3.2.8）
于是在每个子域Vi内可列出消除残值的方程为：
3.1 加权残值法的基本概念
一般地，定解问题（3.1.1）、（3.1.2）的精确解难以求 得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u的 试函数：
~ u=
∑C v
i =1
N
i i
（3.1.3）
其中Ci为待定系数，vi为试函数项。 将（3.1.3）代入定解问题的两个微分方程中，一般不会精确 满足，于是就出现了内部残值（Residuals）RV和边界残值RS， 即：
3.2 加权残值法的基本方法
（4）伽辽金法（Galerkin Method） ）伽辽金法（ ） 伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出的并以他的名字而命名 的方法。 伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数，即： Wi=vi， （i=1，2，…N） （3.2.10） （3.2.11）
⇒
∫
V
Rvi dv =0 （i=1，2，…N）
~ w1 max
1 qL4 qL4 = 3 = 0.016126 EI 2π EI
1 1 3 3 1 π 2 qL4 ~ w2 max = 3 π − 1 − 1 − 2π 8 4 24 12 EI qL4 = 0.012786 EI
3.2 加权残值法的基本方法
据权函数的形式 权函数的形式分类，主要有以下五种方法： 权函数的形式 （1）最小二乘法（Least Square Method） ）最小二乘法（ ） 最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V内的 残值平方积分：
J (Ci ) = ∫ R 2 dv
V源自文库
（3.2.1）