新北师大版八年级下册数学知识点总结第一章 三角形的证明
新北师大版八年级下册数学知识点总结 第一章 三角形的证明 第 1 页 共 2 页
第一章 三角形的证明 一、全等三角形的判定定理 定理：三边分别相等的两个三角形全等.（SSS ） 定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS ） 定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA ） 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全 等.(AAS) 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(HL) 二、全等三角形的性质定理 全等三角形对应边相等、对应角相等. 三、等腰三角形的性质定理 1.等腰三角形的两腰相等； 2.等腰三角形的两底角相等.(等边对等角) 3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（等腰三角形的“三线合一”） 四、等腰三角形的判定定理 1.（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形； 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）； 五、等边三角形的性质定理 1.等边三角形的三条边相等； 2.等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°； 3. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质； 六、等边三角形的判定定理 1.（定义法）有三条边相等的三角形是等边三角形； 2.三个角都相等的三角形是等边三角形. 3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 七、反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 八、直角三角形的性质定理 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 3.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°； 4.（勾股定理）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
年级
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新北师大版八年级下册数学知识点总结 第一章 三角形的证明
第 2 页 共 2 页 九、直角三角形的判定定理
1.有一个角是直角的三角形是直角三角形.
2.有两个角互余的三角形是直角三角形.
3. （勾股定理的逆定理）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
十、线段垂直平分线
1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
2.线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3.三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
4.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线. 十一、角平分线
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
3.三角形三内角的平分线性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
4.如何用尺规作图法作出角平分线 十二、互逆命题和互逆定理 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 备注：1.一个命题一定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理. 2.真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题不一定是假命题. 3.互逆定理一定是互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理.
三角形的证明
三角形的证明 基本方法： 1、逆推综合法：从结论着眼，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，当然这种逆推的过程中，要不断地向已知条件靠拢，这就是“执果索因” 2、分析法：有时，这种逆推会遇到障碍，这时也可用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，这就是“由因导果” 3、综合分析法：顺推与逆推相结合，从问题的两头向中间靠拢，从而发现问题的突破口，这也叫“两头凑”。 基本思路 1、当条件都满足时，结合已知条件，顺推论证 2、当问题的条件不够时：添加辅助线构成新图形?形成新关系?使分散的条件集中?建立已知与未知的桥梁?把问题转化为自己能解决的问题。这是证明题目常用的基本思路。 一、边边关系：通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等 1、不等关系： 基本定理：三角形的两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；在同一个三角形中大角对大边 基本思路：通过构造全等、平移或者截取的方法，把三边集中到一个三角形中，利用以上基本定理来证明。 例1：已知：如图，P 是△ABC 内任一点，求证：AB+AC ＞BP+PC 。 如图，延长BP 交AC 于点D 在△BAD 中AB+AD>BD ， 即：AB+AD>BP+PD ① 在△PDC 中， PD+DC>PC ② ①＋②得AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC ， 即AB+AC>BP+PC 例2如图AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。 分析：要证AB ＋AC ＞2AD ，由图想到： AB ＋BD ＞AD,AC ＋CD ＞AD ，所以有AB ＋AC ＋ BD ＋CD ＞AD ＋AD ＝2AD ，左边比要证结论多BD ＋CD ，故不能直接证出此题，而由2AD 想到要构造2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，则AE ＝2AD ∵AD 为△ABC 的中线 （已知） ∴BD ＝CD （中线定义） 在△ACD 和△EBD 中 A B C D E
北师大版初一数学上期末考试题
(A) (B) (C) (D) 七年级上数学期末检测题 卷一 一、选择题： 1．右边几何体的俯视图是 （ ） 2．图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图？（ ） 3．下列各式运算，结果正确的是（ ） (A) 176-=-a a (B)xy y x 523=+ (C)2 222743n m mn n m =+ (D)222109x x x =+ 4.一件衣服标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件衣服的进价是（ ） (A)．100元 (B)．105元 (C)．108元 (D)．118元 5．8点47分，时钟的时针与分针所成的锐角是（ ） （A ）180 （B ）18.50 （C ）190 （D ）200 6．把27430用科学记数法表示应是（ ） （A ）．0.2743×103 （B ）． 27.43×103 （C ）． 274.3×10 （D ）． 2.743×104 7．多项式3x 2y 2﹣2x 3 y ﹣1是（ ） （A ）． 二次三项式 （B ）． 三次二项式 （C ）． 四次三项式 (D)． 五次三项式 8．如图，在A 、B 两处观测到的C 处的方位角分别是（ ） (A)． 北偏东60°，北偏西40° (B)． 北偏东60°，北偏西50° (C)． 北偏东30°，北偏西40° (D)． 北偏东30°，北偏西50° 9.阅读下列语句：①角只能用一种方法表示；②若AB AC =，则点A 为线段BC 的中点；③若点D 、E 分别在ABC ∠的两边上，则DBE ∠和ABC ∠表示同一个角；④射线的长度等于直线的一半。其中错误．．的个数为（ ） (A)．1 (B)．2 (C)．3 (D)．4 10．一杯可乐售价1.8元，商家为了促销，顾客每买一杯可乐获一张奖券，每三张奖券可兑换一杯可乐，则每张奖券相当于（ ） （A ）0.6元 （B ）0.5元 （C ）0.45元 （D ）0.3元 填空题 11. 多项式 与m 2＋m －2的和是m 2－2m ． 12．若144+n y x 与 25y x m -的和是单项式，则=+n m . 13．小明家在车站O 的北偏东18°方向300米A 处，学校B 在车站O 的南偏西10°方向200 米处，小明上学经车站O 所走的角∠AOB ＝ .(小于平角) 图1 图2 （D ） （B ） （C ） （A ）
北师大版八年级数学上册知识点总结
北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根
人教版初中数学全等三角形证明题
人教版初中数学全等三角形证明题（经典50题）（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD? 解析：延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 证明：连接BF 和EF 。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。连接BE 。在三角形BEF 中,BF=EF 。所以 ∠EBF=∠BEF 。又因为 ∠ABC=∠AED 。所以 ∠ABE=∠AEB 。所以 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则 ∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠D GE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE B C D B A B A C D F 2 1 E 《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版） 第一章 勾股定理 1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的 平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果2 b c a +=，那么a,b,c 就是一组勾股数. 如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2 2 2,1,1n n n -+ 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面 积…… （3）判定三角形形状： 222a b c +> 锐角三角形，222a b c +=直角三角形，222a b c +<钝角三角形 判定直角三角形 a..找最长边； b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系； c.确定形状 第二章 实数 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 初中数学-《三角形的证明》测试题 一、选择题 1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（） A．12 B．15 C．12或15 D．18 2．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（） A．18°B．24°C．30°D．36° 3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C 作射线OC．由此做法得△MOC≌△NOC的依据是（） A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 4．如图，△AEB、△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论错误的是（） A．∠EAM=∠FAN B．BE=CF C．△ACN≌△ABM D．CD=DN 5．已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（） A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为β B．两个角是β，它们的夹边为4 C．三条边长分别是4，5，5 D．两条边长是5，一个角是β 6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（） A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD 二、填空题 7．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=． 8．在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的（60°，60°），已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的（45°，45°），已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的（30°，30°）．由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的．马彪同学的结论是的．（填“正确”或“错误”） 9．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为． 10．如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是． 北师大版七年级数学(上) 《截一个几何体》教学设计 陕西汉中西乡三中白自宝 学习目标：1、知识与能力：通过用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，掌握空间图形与截面的关系，发展学生的空间观念，发展几何直觉。通过运用z+z智能教育平台制作的课件使学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳能力。2、解决问题：丰富对空间图形的认识和感受，发展空间观念和形象思维，通过总结，归纳，获得经验。3、情感态度与价值观：通过以教师为主导，引导学生观察发现、大胆猜想、动手操作、自主探究、合作交流，使学生在合作学习中体验到：数学活动充满着探索和创造。使学生获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。同时培养学生积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识，激发学生对空间与图形学习的好奇心 重点与难点：重点：引导学生经历用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，体会截面和几何体的关系，充分让学生动手操作、自主探索、合作交流。难点：1. 从切截活动中发现规律，并能用自己的语言合理清晰地来表达出自己的思维过程2. 能应用规律来解决问题，从理论上理解截出五边形、六边形的可能性，以及七边形的不可能性。 教法指导1、观察猜想培养学生观察想象的能力，通过观察生活中丰富的图片,联想这些截面图形与实际立体图形之间的关系，发展抽象概括能力和几何直觉。2、合作交流培养学生自主探究、主动与他人合作交流的能力，鼓励学生大胆阐述自己的观点。3、操作实验培养学生动手操作的能力，采用操作法可以大大激发学生的学习兴趣，这一方法也是适应新课标中所提出的：提高学生的动手操作能力的要求。4、说应用信息技术的依据和考虑：本节课的主要活动内容是利用一个平面对正方体进行切截，从活动中去体会空间几何体与截面的关系，寻找出截面产生的规律并能利用规律来解决实际问题，教学中首先利用实物来进行切截活动，学生会在多次的切截中得到一定的截面图形，但无法体会截面的产生和变化的整个过程，很难从实物切截活动中寻找出规律。 针对以上利用实物操作的不足，有针对性地设计了观看多媒体课件下的切截活动，让学生观看教师制作的课件对正方体进行多次的切截，让学生在观看过程中体会截面产生和变化的整个过程，发现截面产生和变化的规律。在课件设计中利用空间图形的动画，方 八年级上册数学试题卷 期末考试一 一、选择题（本大题共6小题，每小3分，共18分） 1.下列四组数据中，不能．．作为直角三角形的三边长是（ ） A ．6，8，10 B ．7，24，25 C ．2，5，7 D ．9，12，15 2. 在算式( (的中填上运算符号，使结果最大的运算符号是（ ） A ．加号 B ．减号 C ．乘号 D ．除号 3.下列数据是2013年3月7日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况： 则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．164和163 B ．163和164 C ．105和163 D ．105和164 4.下列各式中计算正确的是（ ） A ．9)9(2-=- B ．525±= C ．1)1(33 -=- D ．2)2(2-=- 5.右图中点P 的坐标可能是（ ） A ．(-5,3) B ．(4,3) C ．(5,-3) D ．(-5,-3) 6.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下 列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中， 正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题（本大题共8小题，每小3分，共24分） 7. 9的平方根是 . 8. 函数y=x -1中，自变量x 的取值范围是 . 9.万安县某单位组织34人分别到井冈山和兴国进行革命传统教育，到井冈山的人数是 到兴国的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x 人，到 兴国的人数为y 人，请列出满足题意的方程组 . 10.一个一次函数的图象交y 轴于负半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出满足条件的 一个函数表达式： . b 第6题 三角形内外角平分线 一.命题的证明及应用 在中考常有及三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下． 命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90° +∠A． 证明：如图１： ∵∠1＝∠，∠２＝∠， ∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°① ∠1＋∠2＋∠D=180°② ①－②得： ∠1＋∠2＋∠A＝∠D③ 由②得： ∠1＋∠2=180°－∠D④ 把③代入④得： ∴180°－∠D＋∠A＝∠D ∠D=90°+∠A． 点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明. 命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A． 证明：如图２： ∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线， ∴∠D=180°－∠1－∠2 =180°－（∠DBE+∠DCF） =180°－（∠A+∠4+∠A+∠3） =180°－（∠A+180°） =180°－∠A－90° =90°－∠A； 点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于及它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明. 命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线及一个外角平分线的交点，则∠E=∠A． 证明：如图3： ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∠A+2∠1=2∠4① ∠1+∠E=∠4② ①×代入②得： ∠E=∠A． 点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于及它不相邻两外角的和，很容易证明. 命题4 如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE及一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线. 证明：如图3： ∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF CE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF ∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等. 即EF=EG=EH ∵EG=EH ∴AE是△ABC的外角平分线． 点评利用角平分线的性质和判定能够证明． 应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看． 例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线． ①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数. ②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？ 解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60° 初中数学试卷 七年级数学试题及答案 ； ; . ~ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列四个图中，每个都是由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是……………………………（C ） & 2、下列各式中运算正确的是（D ） A ．156=-a a B ．422a a a =+ C ．532523a a a =+ D ．b a ba b a 22243-=- 3、将一张长方形纸如图所示对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系有（C ） # A 、平行 B 、垂直 C 、平行或垂直 D 、无法确定 4 .2009年7月22日，在我国中部长江流域发生了本世纪最为壮观的日食现象，据统计，观看本次日食的人数达到了2580000人，用科学计数法可将其表示为（ C ） - A.71058.2?人 B.710258.0?人 C.61058.2?人 D.6108.25?人 5.下列事件是必然事件的是（C ） A 、我校同学中间出现一位数学家； B 、从一副扑克牌中抽出一张，恰好是大王 C 、从装着九个红球、一个白球共十个球的袋中任意摸出两个，其中一定有红球 … D 、未来十年内，印度洋地区不会发生海啸 6. 小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是 2y-21=21y-●，怎么办呢小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y = -3 5 ，很快补好了这个常数，这个常数应是 ( C ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7.上午9点30分，时钟的时针和分针成的锐角为（A ） A 、 105 B 、 90 C 、 100 D 、 120 ） 8.点A 为直线外一点，点B 在直线上，若AB=5厘米，则点A 到直线的距离为（ D ） A 、就是5厘米； B 、大于5厘米； C 、小于5厘米； D 、最多为5厘米 9、一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件作服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本是（ B ） A 、120元 B 、125元 C 、135元 D 、140元 10.足球比赛的积分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。一个球队打了14场，负5场，共得19分，那么这个球队胜了（C ） . 场 B. 4场 场 场 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如果飞机离地面6000米记为+6000米，现在它又下降了1600米，那么现在飞机的高度可记为_+__4400_______米. 北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一 组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ()()341009161002510042 2 2 2 2 2 x x x x x x +=+===，，， ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶 端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ A A E C B D （1） （2） 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 在中，Rt ECD EC ED CD ?22222252225=-=-=.. ∴EC=1.5 ∴=-=-=AE AC EC 215 05.. 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°， AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分 初中数学-三角形的证明单元测试题 一、精心选一选,慧眼识金（每小题2分,共20分） 1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（）去配. A . ① B . ② C .③ D . ①和② 2．下列说法中,正确的是（）. A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D ．面积相等的两个三角形全等 3．如图2,AB ⊥CD ,△ABD 、△BCE 都是等腰三角形,如果CD =8cm,BE =3cm,那么AC 长为（）. A ．4cm B ．5cm C ．8cm D ．34cm 4．如图3,在等边ABC ?中,,D E 分别是,BC AC 上的点,且BD CE =,AD 与BE 相交于点P,则12∠+∠的度数是（）. A ．045 B ．055 C ．060 D ．075 5．如图4,在ABC ?中,AB=AC,036A ∠=,BD 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线,且相交于点P. 在图4中,等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）. A ．9个 B ．8个 C ．7个 D ．6个 6．如图5,123,,l l l 表示三条相互交叉的公路,现在要建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有（）. A ．1处 B ．2处 C ．3处 D ．4处 7．如图6,A 、C 、E 三点在同一条直线上,△DAC 和△EBC 都是等边三角形,AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N,有如下结论：①△ACE ≌△DCB ；② CM ＝CN ；③ AC ＝DN. 其中,正确结论的个数是（）. A ．3个 B ．2个 C ． 1个 D ．0个 8．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离,先在AB 的垂线BF 上取两点C,D,使CD=BC,再作出BF 的垂线DE,使A,C,E 在同一条直线上（如图7）,可以证明ABC ?≌EDC ?,得ED=AB. 因此,测得DE 的长就是AB 的长,在这里判定ABC ?≌EDC ?的条件是( ). A ．ASA B ．SAS C ．SSS D ．HL 9．如图8,将长方形ABCD 沿对角线BD 翻折,点C 落在点E 的位置,BE 交AD 于点F. 求证：重叠部分（即BDF ?）是等腰三角形. 证明：∵四边形ABCD 是长方形,∴AD ∥BC 又∵BDE ?与BDC ?关于BD 对称, ∴23∠=∠. ∴BDF ?是等腰三角形. 请思考：以上证明过程中,涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（）. ①12∠=∠；②13∠=∠；③34∠=∠；④BDC BDE ∠=∠ A ．①③ B ．②③ C ．②① D ．③④ 1.数怎么不够用了 一、选择题 1．下面说法中正确的是（）． A．一个数前面加上“－”号，这个数就是负数 B．0既不是正数，也不是负数 C．有理数是由负数和0组成 D．正数和负数统称为有理数 2．如果海平面以上200米记作＋200米，则海平面以上50米应记作（）． A．－50米 B．＋50米 C．可能是＋50米，也可能是－50米 D．以上都不对 3．下面的说法错误的是（）． A．0是最小的整数 B．1是最小的正整数 C．0是最小的自然数D．自然数就是非负整数 二、填空题 1．如果后退10米记作－10米，则前进10米应记作________； 2．如果一袋水泥的标准重量是50千克，如果比标准重量少2千克记作－2千克，则比标准重量多1千克应记为________； 3．车轮如果逆时针旋转一周记为＋1，则顺时针旋转两周应记为______. 三、判断题 １．0是有理数．（） ２．有理数可以分为正有理数和负有理数两类．（） ３．一个有理数前面加上“＋”就是正数．（） ４．0是最小的有理数．（） 四、解答题 1．写出5个数（不许重复），同时满足下面三个条件． （1）其中三个数是非正数；（2）其中三个数是非负数；（3）5个数都是有理数． 2．如果我们把海平面以上记为正，用有理数表示下面问题． 一架飞机飞行高于海平面9630米；（2）潜艇在水下60米深． 3．如果每年的12月海南岛的气温可以用正数去表示，则这时哈尔滨的气温应该用什么数来表示？ 4．某种上市股票第一天跌0.71％，第二天涨1.25％，各应怎样表示？ 5．如果海平面以上我们规定为正，地面的高度是否都可以用正数为表示？ 6．一学生参加一次智力竞赛，其中考五个题，记分标准是这样定的，如果答对一题得1分，答错或不答都扣1分，该生得了3分，问其答对了几个题？ 2.数轴 一、选择题1．一个数的相反数是它本身，则这个数是（） A．正数 B．负数 C．0 D．没有这样的数 2．数轴上有两点E和F，且E在F的左侧，则E点表示的数的相反数应在F点表示的数的相反数的（） A．左侧 B．右侧 C．左侧或者右侧 D．以上都不对 3．如果一个数大于另一个数，则这个数的相反数（） A．小于另一个数的相反数 B．大于另一个数的相反数 C．等于另一个数的相反数 D．大小不定 二、填空题 1．如果数轴上表示某数的点在原点的左侧，则表示该数相反数的点一定在原点的________侧； 2．任何有理数都可以用数轴上的________表示； 3．与原点的距离是5个单位长度的点有_________个，它们分别表示的有理数是_______和_______； 4．在数轴上表示的两个数左边的数总比右边的数___________． 三、判断题 1．在数轴离原点4个单位长度的数是4．（） 2．在数轴上离原点越远的数越大．（） 3．数轴就是规定了原点和正方向的直线．（） 4．表示互为相反数的两个点到原点的距离相等．（） 四、解答题 1．写出符合下列条件的数 （1）大于而小于1的整数； （2）大于－4的负整数； （3）大于－0.5的非正整数． 2．在数轴上表示下列各数，并把各数用“＜”连结起来． （1）7，－3.5，0，－4.5，5，－2，3.5； 北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝ CG B A C D F 2 1 E 七年级数学上册教材分析 本册学习内容牵涉到4个领域：数与代数、空间与图形、统计与概率、课题学习。基本要求是突出发展的阶段性：所有的知识学习都是一个起步和基础。 第一章丰富的图形世界 主要特点：提倡从操作到思考、想象的学习方式 本章是“空间与图形”学习领域的最基础部分，它与后面有关几何部分的内容都有着密切的关系，包括知识、方法与学习资源等方面。 整体思路：围绕认识基本几何体、发展空间观念展开教材。 其中包括三个方面：基础知识——圆柱、圆锥、长方体（正方体）、棱柱及其展开图的概念和基本性质，球的概念；基本活动——观察以及各种操作性活动（展开、折叠、切与截），及其内省化（想象、转换与推理）；发展空间观念——从直观到抽象、从实物操作到空间想象和转换。 初步发展学生的空间观念 具体过程：认识几何体（形状）——分析几何体的构成——对几何体进行分解与组合——视图——若干平面图形。 知识点分析： 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 2、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 3、生活中的立体图形（重点） 圆柱 柱 生活中的立体图形球棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、…… (按名称分) 锥圆锥 棱锥 4、棱柱及其有关概念： 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。 n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。 5、正方体的平面展开图：11种（难点） 6、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 7、三视图（重点） 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。 主视图：从正面看到的图，叫做主视图。 左视图：从左面看到的图，叫做左视图。 俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。 8、多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。 从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形 最新北师大版八年级数学上册知识点总结 第一章 勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即222 a b c +=。 2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。 3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角 三角形。满足222 a b c +=的三个正整数称为勾股数。 第二章 实数 1．平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果2 x a =，那么x 是a 的平方根，记作： a （2）性质：①当a ≥0≥0；当a ＝a a =。 2．立方根的概念及其性质： （1）概念：若3 x a =，那么x 是a （2a =；②3 a = 3．实数的概念及其分类： （1）概念：实数是有理数和无理数的统称； （2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。 4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 5 （a ≥0，b ≥0） a ≥0，b ＞0）。 第三章 1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。 2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。 3．作平移图与旋转图。 第四章 四边形性质的探索 1．多边形的分类： 2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别： （1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相=b a b = 三角形的证明 1.在△ABC 中，AC 垂直于BC ，点P 是∠A ，∠B 和∠C 的角平分线，从点P 分别向AC ，BC 和AB 作垂线，分别交AC ，BC 和AB 于点D ，E ，F 。已知AC=8，BC=6，AB=10。求PD ＝＿＿＿＿ 2.如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA=AB=2BC ，D 为AB 中点，有以下结论： (1)DE=AC ；(2)DE ⊥AC ；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE 。其中结论正确的是（ ） A 、(1)，(3) B 、(2)，(3) C 、(3)，(4) D 、(1)，(2)，(4) 1题 4、如图，在等边ABC ?中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则12∠+∠的度数是（ ）. A ．0 45 B ．0 55 C ．0 60 D ．0 75 3题 4题 5、如图，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）. A ．1处 B ．2处 C ．3处 D ．4处 6、如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论： ① AD =BE ； ② PQ ∥AE ； ③ AP =BQ ； ④ DE =DP ； ⑤ ∠AOB =60°． 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）． 7、如图，已知ABC △中，45ABC ∠=，4AC =，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ） A B ．4 C ． D ．5 8、如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点E 的 位置，BE 交AD 于点F. 求证：重叠部分（即BDF ?）是等腰三角形. 证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥ BC 第7题 A B C E D O P Q D C B A E H 北师大版七年级数学上册期末试卷及答案 一、填空题（2×14=28分） 1．（2分）计算=_________． 2．（2分）单项式﹣的系数是_________，次数是_________． 3．（2分）因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=_________． 4．（2分）如果2a m b2与﹣5a4b n是同类项，那么2m+3n=_________． 5．（2分）当x_________时，分式的值为0． 6．（2分）医学研究中心新发现的一种病毒的切面呈圆形，它的直径为0.000000043米，这个数值用科学记数法表示为_________． 7．（2分）如果4x2+mx+9是一个完全平方式，那么常数m=_________． 8．（2分）分式与的最简公分母是_________． 9．（2分）已知（x m）n=x5，则mn（mn﹣1）的值为_________． 10．（2分）如果，那么a m﹣n=_________． 11．（2分）已知A、B两地相距150千米，甲乙两人都要从A地前往B地．甲所用的时间比乙少1小时，且甲的速度是乙的1.5倍．求甲、乙各自的速度？解：设乙的速度为x千米/时，则所列方程为_________． 12．（2分）已知，那么=_________． 13．（2分）计算（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣1﹣y﹣1）=_________． 14．（2分）（2007?聊城）如图，一块等腰直角的三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，使A、C、B′三点共线，那么旋转角度的大小为_________度． 二、选择题（3×4=12分） 15．（3分）下列各式计算结果不为a 14 的是（ ） A ． a 7+a 7 B ． a 2?a 3?a 4?a 5 C ． （﹣a ）2?（﹣a ）3?（﹣a ）4 ?（﹣a ）5 D ． a 5?a 9 16．（3分）下列代数式不是分式的是（ ） A ． B ． C ． D ． 17．（3分）把分式 中的x 、y 的值都扩大2倍，那么分式的值是（ ） A ． 扩大到原来的2倍 B ． 扩大到原来的4倍 C ． 不变 D ． 缩小到原来的 18．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是旋转对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 三．解答题（6×6=36分） 19．（6分）10x 2y 3 ÷（﹣25xy ） 20．（6分）计算（x+2）?（x ﹣2）?（x 2 +4） 21．（6分）因式分解：x 4 ﹣10x 2y 2 +9y 4． 22．（6分）因式分解 x 2 ﹣y 2+2y ﹣1． 23．（6分）化简求值：，其中 ． 24．（6分）解方程 ．八年级数学上册知识点总结(北师大版)
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