2015年广东专插本考试《高等数学》试题
2002-2015广东专插本高数真题(无答案)
2002年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、填空题（每小题3分，共24分）1、函数xxy ++=11的定义域是 。
2、若)sin(ln x e y=，则=dxdy。
3、=-→)1ln(142lim e Dx x。
4、已知函数2x y =，在某点处的自变量的增量2.0=∆x ，对应函数的微分8.0-=dy ，则自变量的始值是 。
5、函数xe x xf 2)(=的n 阶麦克劳林展开式是=)(x f 。
6、如果点（1，3）是曲线23bx ax y +=的拐点，则要求a = 。
b = 。
7、若dt t y x x)cos(2cos sin ⎰=π则=dxdy。
8、设→→→→→→→-+=--=k j i b k f t a 2,23，则=⋅-→→b a 3)( 。
二、单项选择题（每小题3分，共24分）9、若11)(+-⋅=x xa a x x f ，则下面说法正确的是（ ）A 、)(x f 是奇函数B 、)(x f 是偶函数C 、)(x f 是非奇偶函数D 、)(x f 无法判断10、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=11)(2x bax x xx f ，为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，a和b 的取值应该是( )A 、a=2，b=1B 、a=1，b=2C 、a=2，b=-1D 、a=-1，b=211、若函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内一阶和二阶导数存在且均小于零，则)(x f 在[]b a ,内（ ）A 、单调增加，图形是凸的B 、单调增加，图形是凹的C 、单调减少，图形是凸的D 、单调减少，图形是凹的12、由方程0=-+e xy ey所确定的隐函数，y 在0=x 处的导数0=x dxdy是（ ）A 、eB 、e 1 C 、e - D 、e1-13、广义积分⎰+∞∞-++x x x dx22的值是（ ）A 、0B 、2πC 、πD 、π214、定积分⎰dx e x 10的值是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、315、幂级数∑=⋅+nn nn x n 1212的收敛区间是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 B 、[]1,1- C 、[]2,2- D 、[]+∞∞-,16、微分方程)0(,022≠=+k y k dx dy 满足初始条件0,====x x dxdy A y的特解是（ ）A 、kx A sin B 、kx A cos C 、Ax k sin D 、Axk cos三、计算题（每小题7分，共28分）17、求极限xt dte xtx cos 21cos 0lim--→⎰18、将函数12)(34+-=x x x f 展开为（x-1）的多项式。
广东专插本高等数学-试卷50_真题-无答案
广东专插本（高等数学）-试卷50(总分44,考试时间90分钟)1. 选择题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. y＝＋lg(χ＋2)的定义域为( )A. (－2，＋∞)B. (1，＋∞)C. (－2，－1]∪[1，＋∞)D. (－2，－1)2. 若f′(χ0)＝－3，则＝( )A. －3B. －6C. －9D. －123. 设∫f(χ)dχ＝χ2＋C，则∫χf(1－χ2)dχ＝( )A. －2(1－χ2)2＋CB. 2(1－χ2)2＋CC. －(1－χ2)2＋CD. (1－χ2)2＋C4. 设f(χ，y)在点(χ0，y0)处偏导数存在，＝( )A. f′χ(χ0，y0)B. f′y(2χ0，y0)C. 2f′χ(χ0，y0)D. f′χ(χ0，y0)5. 如果＝ρ(un＞0，n＝1，2，…)，则级数un的收敛条件是( )A. ρ＞1B. ρ≥1C. ρ＜1D. ρ≤12. 填空题1. 函数f(χ)＝的极值为_______．2. 已知f(χ)＝χ2lnχ，χ＝h(t)满足条件h(0)＝3，h′(0)＝7，则f[h(t)]｜t＝0＝_______．3. 设f(χ)在[a，b]上满足f(χ)＞0，f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0，令S1＝∫abf(χ)dχ，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(b)＋f(a)](b－a)，则S1，S2，S3的大小顺序为_______．4. 通解为y＝C1cos2χ＋C2sin2χ(C1，C2为任意常数)的二阶线性常系数齐次微分方程为_______．5. 设f(χ，y)＝2χ＋arcsin，则fχ(2，1)＝_______．4. 解答题解答题解答时应写出推理、演算步骤。
1. 设f(χ)＝试确定常数a，b的值，使f(χ)在点χ＝处可导．2. 求极限3. 设z＝uv＋sint，而u＝et，v＝cost，求．4. 计算不定积分∫χe2χdχ．5. 平面图形D是由曲线y＝eχ及直线y＝e，χ＝0所围成的，求平面图形D绕χ轴旋转一周所生成旋转体的体积．6. 计算dχdy，其中D是由y＝1，y＝χ，y＝2，χ＝0所围成的闭区域．7. 求微分方程y〞－2y′－3y＝0的通解．8. 判定级数的敛散性．5. 综合题1. 过点P(1，0)作抛物线y＝的切线，该切线与上述抛物线及χ轴围成一平面图形，求此图形绕χ轴旋转一周所成的旋转体的体积．2. 设函数y＝f(χ)在区间[a，b]上连续，且f(χ)＞0，F(χ)＝∫aχf(t)dt＋∫aχ，χ∈[a，b]，证明：(1)F′(χ)≥2；(2)方程F(χ)＝0在区间(a，b)内有且仅有一个实根．。
《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷
广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题只有一个选项符合题目要求）1．函数22()2x xf x x x -=+-的间断点是A ．2x =- 和0x =B ．2x =- 和1x =C ．1x =- 和2x =D ．0x = 和1x =2．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → A ．等于1 B ．等于2 C ．等于1 或2 D ．不存在 3. 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C=+=+⎰⎰C 为任意常数，则下列等式正确的是A ．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰B ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰C ．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰D ．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰4．下列级数收敛的是A ．11nn e ∞=∑ B ．13()2nn ∞=∑C ．3121()3n n n ∞=-∑ D ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．5．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件 A ．0,0a b b -=< B ．0,0a b b -=> C ．0,0a b b +=< D ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =7．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y =8．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,x xdz e ydx e ydy =+ ,则2zy x∂=∂∂ 9．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰10．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．求20sin 1lim x x e x x→-- 12．设(0)21x x y x x =>+，求dydx13．求不定积分221xdx x ++⎰14．计算定积分012-⎰15．设xyz x z e -=，求z x ∂∂和z y∂∂ 16．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ 17．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+- 判定级数1n n a ∞=∑的收敛性18．设函数()f x 满足(),xdf x x de -=求曲线()y f x =的凹凸区间 四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分） 19．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰（1）求()x ϕ；（2）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积20．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+（1）证明：()f x 在区间(0,) 内单调减少；（2）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；2019年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6.13x 7.2x 8.cos x e y 9.1310.π 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11.原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 12.解：21ln ln ln(21)12ln 1212(ln 1)2121xx x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =+∴=-+'∴=+-+∴=+-++Q13.解：22222211112(1)12112arctan ln(1)2x dxx dx d x x xx x C++=++++=+++⎰⎰⎰14.,t =则211,22x t dx tdt =-=20121214215311,,2211()221()2111()253115t x t dx tdtt t tdt t t dtt t-==-==-=-=-=-⎰⎰⎰g15.解：设(,,)xyzf x y z x z e=--(,,)1(,,)(,,)11,11xyzxxyzyxyzzxyz xyzxyz xyzf x y z yzef x y z xzef x y z xyez yze z xzex xye y xye∴=-=-=--∂-∂∴==-∂+∂+16.解：由题意得12,0rθπ≤≤≤≤2222ln()3(4ln2)23(4ln2)|2(8ln23)Dx y ddππσθθπ∴+==-=-=-⎰⎰⎰17.解：由题意得414(1),321nnb nb n n++=+-414(1)1lim lim1,3213nx xnb nb n n+→∞→∞+∴==<+-由比值判别法可知1nnb∞=∑收敛0,n n a b ≤≤Q 由比较判别法可知1n n a ∞=∑也收敛18．解()()()()(1)xx x x df x x dedf x xde f x xe f x e x ----=∴='∴=-''∴=-Q()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞19.（1）由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰()()()()0x x x x ϕϕϕϕ''∴=-''∴+=特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(0)1,0()cos sin C x x xϕϕ=∴=∴=+Q(2)由题意得2202022(cos sin )(1sin 2)1(cos 2)22x V x x dx x dx x x ππππππππ=+=+=-=+⎰⎰20.证明（1）()ln(1)(1)ln 1()ln(1)ln 111ln(1)ln ()1f x x x x x x x f x x x x x x x x x=+-++'∴=+-+-+=+--++Q 证明11ln(1)ln ()01x x x x +--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =Q 在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 111101x x x xξξ<<+∴<<<+Q 11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立11ln(1)ln ()01x x x x ∴+--+<+()f x ∴在(0,)+∞单调递减（2）设2019,2018a b ==则201820192019,2018ba ab ==比较,a b b a 即可，假设a bb a >即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x Q 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>广东省2018年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。
2015年数学真题答案
2015年专升本《高等数学》试卷参考答案11. ()1,1- 12. 1213. 320y ex e --= 14. 6 15. e 16.cos xtdt ⎰三、计算题17.解：()21212000lim lim 0x x x x x x →→→==-=- 18.解：因为()0f x x =在处连续，且()()220000lim limlim lim sin x x x x x ax x axf x x a a x x→→→→++===+= 所以()()0lim 02x f x f →==从而 2.a =19.解：方程x 两边同时对求导，得222y e y y xy x ''++=⋅所以222y x yy x e -'=+20.解： ()111111ln 1ln ln ln ln e e e e ex x dx dx dx x xd x x x x+=+==+⎰⎰⎰⎰ ()2111ln 22ee x e =+=+21.解：把直线L 的参数方程232x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩代入平面方程中得1t =-，所以交点为()1,1,1-，因为所求平面垂直于直线，所以平面的法向量为()1,2,1，故平面方程为()()()12110x y z -+-++=， 即220.x y z ++-= 22.解：此方程为一阶非齐次线性微分方程，()()2,2P x x Q x x ==通解222xdx xdxy e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰222x x e xe dx C -⎡⎤=+⎣⎦⎰2221x x x e e C Ce --⎡⎤=+=+⎣⎦.四、应用题23.解：（1） ()1120013.22xx S e x dx e x e ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰（2）()()1122232001115.2326x x V e x dx e x e ππππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰24.解：设水厂D 设在离C x km 处，铺设水管的总费用为y 万元，则依题意得：()()30505y x x =-+≤≤，300y y ''=-=令 得驻点32x =， ()0250y =（万元）， ()5y =（万元），32302y ⎛⎫= ⎪⎝⎭（万元）. 因此，当水厂D 设在离C 32km 处，铺设水管的总费用最省. 五、证明题25.（1）证明：因为 ()()20001sin 01112lim lim lim sin .022x x x x x f x f x x x x x →→→+-⎛⎫==+= ⎪-⎝⎭ 所以()f x 在0x =处可导.（2）解：因为()1112sin cos 02102x x x xf x x ⎧+-≠⎪⎪'=⎨⎪=⎪⎩所以，在0x =的任何领域中，()0f x '>或者()0f x '<不能恒成立， 从而，不存在0x =的一个领域，使得()f x 在该领域内单调.。
广东专插本(高等数学)-试卷44
广东专插本（高等数学）-试卷44(总分：44.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知函数f(2χ－1)的定义域为[0，1]，则函数f(χ)的定义域为 ( )（分数：2.00）1]B.[－1，1] √C.[0，1]D.[－1，2]解析：解析：由f(2χ－1)的定义域为[0，1]，可知－1≤2χ－1≤1，所以f(χ)的定义域为[－1，1]，故选B．3.若函数f(χ)χ＝0处连续，则a＝ ( )．（分数：2.00）A.0B.1C.－1√解析：解析：由f(χ)在χ＝0处连续可知f(χ)＝f(0)，于是有a＝f(0)D．4.f(χ)＝(χ－χ0 ).φ(χ)，其中φ(χ)可导，则f′(χ0 )＝ ( )（分数：2.00）A.0B.φ(χ0 ) √C.φ′(χ0 )D.∞解析：解析：f′(χ)＝φ(χ)＋(χ－χ0 )φ′(χ)，则f′(χ0 )＝φ(χ0 )，故选B．5.已知d[e -χ f(χ)]＝e χ dχ，且f(0)＝0，则f(χ)＝ ( )（分数：2.00）A.e 2χ＋e χB.e 2χ－e χ√C.e 2χ＋e －χD.e 2χ－e －χ解析：解析：由d[e －χf(χ)]＝e χdχ可得[e -χf(χ)]′＝e χ，两边同时积分刮∫[e －χf(χ)]′dχ＝∫e χ dχ，即有e -χ f(χ)＝e χ＋C，两边同时乘以e χ，即得f(χ)＝e 2χ＋Ce χ，又f(0)＝1＋C＝0．即得C＝－1．于是f(χ)＝e 2χ－e χ．故诜B．6. ( )（分数：2.00）√解析：解析：根据级数的性质有收敛级数加括号后所成的级数仍收敛，故选D．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.曲线y＝χarctanχ)的水平渐近线是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝－1）解析：解析：又y＝－1．8.设f(χ)在χ＝02，则f′(0)＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）f′(0)＝4．1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3）＝3．10.微分方程y〞－4y′－5y＝0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝C 1 e －χ C 2 e 5χ）解析：解析：微分方程的特征方程为λ2－4λ－5＝0，则λ1＝－1，λ2＝5，则微分方程通解为y ＝C 1 e －χ＋C 2 e 5χ (C 1，C 2为任意常数)．11.设函数f(χ)在点χ0处可导，且f′(χ0)≠0， 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2015年广东省3+证书高职高考数学试卷及解析PDF(真题)和答案
2015年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生考试数 学班级 学号 姓名本试卷共4页，24小题，满分150分，考试用时120分钟一、选择题：(本大题共15小题，每小题5分，满分75分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案1. 设集合{}1,4M =，{}1,3,5N =,则=M N U ( ). A.{}0 B. {}1 C. {}0,1,2 D. {}1,0,1,2−2. 函数()1f x x =+ ( ). A. (),1−∞ B. [)1,−+∞ C. (],1−∞ D. (,)−∞+∞3. 不等式2760x x −+>的解集是 ( ). A. ()1,6 B. ()(),16,−∞+∞U C. φ D. (,)−∞+∞4. 设0a >且1a ≠，,x y 为任意实数，则下列算式错误的是 ( ) .A. 01a = B. xyx ya a a +=g C. x x y y a a a−= D. ()22x x a a =5. 在平面直角坐标系中，已知三点()1,2A −,()2,1B −,()0,2C −，则AB BC +=u u u r u u u r( ).A. 1B. 2C. 3D. 46.下列方程的图像为双曲线的是 ( ). A. 220x y −= B. 22x y = C. 22341x y += D. 2222x y −=7.已知函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，则[]3(2)f −= ( ).A. 8−B. 1−C. 1D. 88. “01a <<”是“log 2log 3a a >”的 ( ). A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件9. 若函数()2sin f x x ω=的最小正周期为3π，则ω= ( ). A.13 B. 23C. 1D. 2 10. 当0x >时，下列不等式正确的是 （ ）. A. 44x x +≤ B. 44x x +≥ C. 48x x +≤ D. 48x x+≥11. 已知向量(sin ,2)a θ=r ，(1,cos )b θ=r，若a b ⊥r r ，则tan θ= ( ).A. 12− B.12C. 2−D. 2 12. 在各项为正数的等比数列{}n a 中，若1413a a =g ，则3233log log a a += ( ).A. 1−B. 1C. 3−D. 313. 若圆22(1)(1)2x y −++=与直线0x y k +−=相切，则k = ( ). A. 2± B. 2 C. 2± D. 4±14.七位顾客对某商品的满意度（满分10分）打出的分数为：8,5,7,6,9,6,8.去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的平均值为 （ ）. A. 6 B. 7 C. 8 D. 915.甲班和乙班各有两名男羽毛球运动员，从这四人中任意选取两人配对参加双打比赛，则这对运动员来自不同班的概率是 （ ）. A.13 B.12 C. 23 D. 43二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，满分25分。
广东省2010~2020年专插本考试《高等数学》真题及答案
广东省2010年普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）1．设函数()y f x =的定义域为(,)-∞+∞，则函数1[()()]2y f x f x =--在其定义域上是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．周期函数D ．有界函数2．0x =是函数1,0()0,0x e x f x x ⎧⎪<=⎨≥⎪⎩的（）A ．连续点B ．第一类可去间断点C ．第一类跳跃间断点D ．第二类间断点3．当0x →时，下列无穷小量中，与x 等价的是（）A ．1cos x-B ．211x +-C ．2ln(1)x x ++D ．21x e -4．若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则下列结论中正确的是（）A ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=B ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=C ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ-'=-D ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰5．设22(,)f x y xy x y xy +=+-，则(,)f x y y∂∂=（）A ．2y x-B ．-1C ．2x y-D ．-3二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．设a ，b 为常数，若2lim()21x ax bx x →∞+=+，则a b +=.7．圆²²x y x y =+＋在0,0()点处的切线方程是.8．由曲线1y x=是和直线1x =，2x =及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所构成的几何体的体积V =.9．微分方程5140y y y '--'='的通解是y =.10．设平面区域22{(,)|1}D x y x y =+≤D={x ，y ）x ²+y'≤1}，则二重积分222()Dx y d σ+=⎰⎰.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．计算22ln sin lim(2)x xx ππ→-.12．设函数22sin sin 2,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，用导数定义计算(0)f '.13．已知点1,1()是曲线12xy ae bx =+的拐点，求常数a ，b 的值.14．计算不定积分cos 1cos xdx x -⎰.15．计算不定积分ln 51x e dx -⎰.16．求微分方程sin dy yx dx x+=的通解.17．已知隐函数(,)z f x y =由方程231x xy z -+=所确定，求z x ∂∂和z y∂∂.18．计算二重积分2Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线²1y x =+和直线2y x =及0x =围成的区域.四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19.求函数0Φ()(1)xx t t dt =-⎰的单调增减区间和极值。
2015年广东专插本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)精选全文完整版
精选全文完整版2015年广东专插本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．若当χ→0时，kχ＋2χ2＋3χ3与χ是等价无穷小，则常数k＝( ) A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：＝k＝1，故本题选B．2．已知函数f(χ)在χ0处有二阶导数，且f′(χ0)＝0，f?(χ0)＝1，则下列结论正确的是( )A．χ0为f(χ)的极小值点B．χ0为f(χ)的极大值点C．χ0不是f(χ)的极值点D．(χ0，f(χ0))是曲线y＝f(χ)的拐点正确答案：A解析：由f(χ)在χ0处有二阶导数，f?(χ0)＝1＞0且f′(χ)＝0，则χ0为f(χ)的极小值点．3．设F(χ)是f(χ)的一个原函数，C为任意实数，则∫f(2χ)dχ＝( ) A．F(χ)＋CB．F(2χ)＋CC．F(2χ)＋CD．2F(2χ)＋C正确答案：C解析：∫f(2χ)dχ＝∫(2χ)d(2χ)＝F(2χ)＋C，故本题选C．4．若函数f(χ)＝＋kχ在区间[0，1]上满足罗尔(Rolle)定理的条件，则常数k＝( )A．－1B．0C．1D．2正确答案：C解析：由f(χ)在[0，1]上满足罗尔定理知，f(0)＝f(1)，即1＝k，故本题选C．5．下列级数中，收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：级数为公比小于1的几何级数，是收敛的；级数为p＞1的p-级数，也是收敛的，故级数是收敛的．填空题6．曲线y＝(1－)χ的水平渐进线为y＝_______．正确答案：e-5解析：＝e-5，则y＝e-5为曲线的一条水平渐近线．7．设函数y＝f(χ)由参数方程所确定，则＝_______．正确答案：2解析：8．广义积分＝_______．正确答案：解析：9．微分方程y′－χy＝0满足初始条件y｜χ＝0＝1的特解为y＝_______．正确答案：解析：对微分方程分离变量为χdχ，则ln｜y｜＝χ2＋C，C为任意常数．即y＝，又y｜χ＝0＝1，故C＝0，特解为y＝．10．设函数f(χ)＝log2χ(χ＞0)，则＝_______．正确答案：解析：解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(广东卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差s 2=1[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2],其中x 表示样本均值.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,理1)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M ∩N=( ) A.{1,4} B.{-1,-4} C.{0} D.⌀ 答案:D解析:由题意知集合M={-4,-1},N={4,1},M 和N 没有相同的元素.故M ∩N=⌀. 2.(2015广东,理2)若复数z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则z = ( )A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i 答案:A解析:因为z=i(3-2i)=3i -2i 2=2+3i,所以z =2-3i .3.(2015广东,理3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y= 2 B.y=x+1 C.y=2x +12x D.y=x+e x答案:D解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y= 2y=2x +1x 为偶函数,y=x+1为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D.4.(2015广东,理4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( ) A.5B.10C.11D.1答案:B解析:从15个球中任取2个球,其中白球的个数服从超几何分布,根据超几何分布的概率公式,得所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为C 101C 51C 152=10×5=10. 5.(2015广东,理5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+ =0或2x+y- =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+ 5=0或2x-y- 5=0 答案:A解析:设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m ≠1),因为直线2x+y+m=0与圆x 2+y 2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为 5,所以 5= 5,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.6.(2015广东,理6)若变量x ,y 满足约束条件 4x +5y ≥8,1≤x ≤3,0≤y ≤2,则z=3x+2y 的最小值为( )A.4B.235C.6 D.315答案:B解析:作出题中约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=3x+2y可得y=-32x+z2.z指的是直线y=-3x+z在y轴上的截距,根据图形可知当直线y=-3x+z通过点A时,可使z取得最小值,即z取得最小值.易知点A的坐标为1,45,所以z min=3×1+2×4=23.7.(2015广东,理7)已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.x 24−y23=1 B.x29−y216=1C.x 2−y2=1 D.x2−y2=1答案:C解析:因为双曲线C的右焦点为F2(5,0),所以c=5.因为离心率e=ca =54,所以a=4.又a2+b2=c2,所以b2=9.故双曲线C的方程为x 2−y2=1.8.(2015广东,理8)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5答案:B解析:特殊值法.当n=3时,正三角形的三个顶点之间两两距离相等,故n=3符合;当n=4时,联想正四面体的四个顶点之间两两距离相等,故n=4符合.由此可以排除选项A,C,D.故选B.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)9.(2015广东,理9)在(x-1)4的展开式中,x的系数为.答案:6解析:该二项展开式的通项为T r+1=C4r(x)4-r(-1)r,当x的指数为1时,4-r=2,解得r=2.故T3=C42(x)2(-1)2=6x,即x的系数为6.10.(2015广东,理10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=. 答案:10解析:根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10.11.(2015广东,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sin B=12,C=π6,则b=.答案:1解析:由sin B=12解得B=π6或B=5π6.根据三角形内角和定理,舍去B=5π,所以B=π6,A=2π3.根据正弦定理asin A =bsin B,得3sin2π3=bsinπ6,解得b=1.12.(2015广东,理12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案:1 560解析:该问题是一个排列问题,故共有A402=40×39=1560条毕业留言.13.(2015广东,理13)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=. 答案:13解析:根据二项分布的均值、方差公式,得E(X)=np=30,D(X)=np(1−p)=20,解得p=13.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsin θ−π4=2,点A的极坐标为A22,7π4,则点A到直线l的距离为.答案:522解析:2ρsin θ−π=2,即2ρsinθcosπ-2ρcosθsinπ=2,将其化为直角坐标方程为y-x=1.又点A的直角坐标为22cos7π4,22sin7π4=(2,-2),所以点A(2,-2)到直线y-x=1的距离d=2=522.15.(2015广东,理15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1,过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD=.答案:8解析:设OD交劣弧AC于点M,由OP∥BC,得OP=1,P为AC的中点,PM=3.由切割线定理得DC2=DM·(DM+4).①在△ABC中,AC为直角边,且AC=2−BC2=42−12=15,所以CP=152.在Rt△DCP中,DC2=(DM+PM)2+CP2, ②联立①②可求得DM=6,所以OD=8.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,理16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,−22,n=(sin x,cos x),x∈0,π.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为π3,求x的值.解:(1)∵m=2,−2,n=(sin x,cos x),且m⊥n,∴m·n=22,−2·(sin x,cos x)=2sin x-2cos x=sin x−π=0.又x∈0,π2,∴x-π4∈ −π4,π4.∴x-π=0,即x=π.∴tan x=tanπ4=1.(2)由(1)和已知得cosπ3=m·n|m|·|n|=sin x−π422+−22·sin2x+cos2x=sin x−π4=12,又x-π∈ −π,π,∴x-π4=π6,即x=5π12.17.(本小题满分12分)(2015广东,理17)某工厂36名工人的年龄数据如下表:(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2;(3)36名工人中年龄在x-s与x+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解:(1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2,公差为4的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得其样本的均值x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40,方差s2=19[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=19[42+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2]=100.(3)由(2)知s=10,所以x-s=3623,x+s=4313.因为年龄在x-s与x+s之间共有23人,所以其所占的百分比是2336≈63.89%.18.(本小题满分14分)(2015广东,理18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.(1)证明:∵PD=PC,且点E为CD边的中点,∴PE⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,∴PE⊥平面ABCD.又FG⊂平面ABCD,∴PE⊥FG.(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥平面PDC.∵PD⊂平面PDC,∴AD⊥PD.∴∠PDC即为二面角P-AD-C的平面角.在Rt△PDE中,PD=4,DE=1AB=3,PE= PD2−DE2=7,∴tan∠PDC=PEDE =73,即二面角P-AD-C的正切值为73.(3)解:如图所示,连接AC,∵AF=2FB,CG=2GB,即AF=CG=2,∴AC ∥FG ,∴∠PAC 即为直线PA 与直线FG 所成的角或其补角. 在△PAC 中,PA=2+AD 2=5, AC=2+CD 23 由余弦定理可得cos ∠PAC=PA 2+AC 2−PC 2=2 5)222×5×3 5=9 5, ∴直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9 525.19.(本小题满分14分)(2015广东,理19)设a>1,函数f (x )=(1+x 2)e x -a.(1)求f (x )的单调区间;(2)证明:f (x )在(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f (x )在点P 处的切线与x 轴平行,且在点M (m ,n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点),证明:m ≤a −2e3-1.解:(1)由题意可知函数f (x )的定义域为R ,f'(x )=(1+x 2)'e x +(1+x 2)(e x )'=(1+x )2e x ≥0,故函数f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间. (2)∵a>1,∴f (0)=1-a<0,且f (a )=(1+a 2)e a -a>1+a 2-a>2a-a=a>0. ∴函数f (x )在区间(0,a )上存在零点.又由(1)知函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增, ∴函数f (x )在(-∞,+∞)上仅有一个零点. (3)由(1)及f'(x )=0,得x=-1.又f (-1)=2e -a ,即P −1,2e −a ,∴k OP =2e−a−0−1−0=a-2e .又f'(m )=(1+m )2e m ,∴(1+m )2e m =a-2.令g (m )=e m -m-1,则g'(m )=e m -1,∴由g'(m )>0,得m>0,由g'(m )<0,得m<0.∴函数g (m )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. ∴g (m )min =g (0)=0,即g (m )≥0在R 上恒成立, 即e m ≥m+1.∴a-2e =(1+m )2e m ≥(1+m )2(1+m )=(1+m )3, 即 a −23≥1+m. 故m ≤ a −23-1.20.(本小题满分14分)(2015广东,理20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B. (1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)由x 2+y 2-6x+5=0,得(x-3)2+y 2=4,从而可知圆C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB 的中点M (x ,y ),由弦的性质可知C 1M ⊥AB ,即C 1M ⊥OM. 故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C 3,0 ,半径r=1|OC 1|=1×3=3, 其方程为 x −322+y 2= 322,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内, 所以 2+y 2<2. 又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>5. 易知x ≤3,所以5<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0 53<x ≤3 . (3)存在实数k 满足题意.由(2)知点M 的轨迹是以C 32,0 为圆心,32为半径的圆弧EF(如图所示,不包括两个端点), 且E 53,2 53 ,F 53,−2 53. 又直线L :y=k (x-4)过定点D (4,0), 当直线L 与圆C 相切时,由k 32−4 −0 k +1=32,得k=±34.又k DE =-k DF =-0− −2 534−53=2 5,结合上图可知当k ∈ −3,3 ∪ −2 5,2 5时,直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,理21)数列{a n }满足:a 1+2a 2+…+na n =4-n +22n−1,n ∈N *.(1)求a 3的值;(2)求数列{a n }的前n 项和T n ; (3)令b 1=a 1,b n =T n−1+ 1+1+1+⋯+1a n (n ≥2),证明:数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2+2ln n.解:(1)依题意知3a 3=(a 1+2a 2+3a 3)-(a 1+2a 2)=4-3+223−1− 4−2+222−1 =34,即a 3=14.(2)∵当n ≥2时,na n =(a 1+2a 2+…+na n )-[a 1+2a 2+…+(n-1)a n-1]=4-n +22n−1− 4−n +12n−2=n2n−1,∴a n = 12 n−1.又a 1=4-1+220=1也适合此式, ∴a n = 1n−1,即数列{a n }是首项为1,公比为12的等比数列.故T n =1− 12n1−12=2- 1n−1. (3)由b n =a 1+a 2+⋯+a n−1n + 1+12+⋯+1n a n ,且b 1=a 1,知b 2=a 12+ 1+12 a 2,b 3=a 1+a 23+ 1+12+13a 3,……∴S n =b 1+b 2+…+b n = 1+1+⋯+1 (a 1+a 2+…+a n )= 1+1+⋯+1T n= 1+1+⋯+1 2−12n−1 <2× 1+1+⋯+1.记f (x )=ln x+1x -1(x>1),则f'(x )=1−12=x−12>0,∴f (x )在(1,+∞)上是增函数, 又f (1)=0,即在(1,+∞)上f (x )>0.又k ≥2,且k ∈N *时,kk−1>1, ∴f k =ln k+1k k−1-1>0,即lnk >1.∴1<ln 2,1<ln 3,……,1<ln n,即有1+1+…+1<ln 2+ln 3+…+ln n=ln n. ∴2× 1+1+1+⋯+1<2+2ln n , 即S n <2+2ln n.。
高数专插本试题及答案
高等数学历年试题集及答案(2005-2016)2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）1、下列等式中，不成立．．．的是A 、1)sin(limx =--→πππx x B 、11sin lim x =∞→x xC 、01sin lim 0x =→x x D 、1sin 20x lim =→x x 2、设)(x f 是在（+∞∞-,）上的连续函数，且⎰+=c e dx x f x 2)(，则⎰dx xx f )(=A 、22x e -B 、c e x +2C 、C e x +-221D 、C e x +213、设x x f cos )(=，则=--→ax a f x f ax )()(limA 、-x sinB 、x cosC 、-a sinD 、x sin4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是A 、|)(=x f x |B 、2)(-=x x f C 、21)(x x f -=D 、3)(x x f =5、已知x xy u )(=，则yu ∂∂= A 、12)(-x xy x B 、)ln(2xy x C 、1)(-x xy x D 、)ln(2xy y 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限)1(1lim -∞→xx e x =。
7、定积分211sin x e xdx --⎰=。
8、设函数xxx f +-=22ln)(，则(1)f ''=。
9、若函数1(1),0,()(12),0.x a x x f x x x +≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩在x=0处连续，则a=。
10、微分方程222x xe xy dydx-=+的通解是。
三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11、求极限1(22n lim +-+∞→n n n )。
12、求极限202x 0ln (1)limxt dt x →+⎰。
【精校】2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学理
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A.{1，4}B.{﹣1，﹣4}C.[0}D.∅解析：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅.答案：D2.（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A.2﹣3iB.2+3iC.3+2iD.3﹣2i解析：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，答案：A3.（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A. y=B. y=x+C. y=2x+D. y=x+e x解析：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是奇函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确.答案：D4.（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A.B.C.D. 1解析：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=.答案：B5.（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A.2x+y+5=0或2x+y﹣5=0B.2x+y+=0或2x+y﹣=0C. 2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0D. 2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0解析：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2xy+5=0或2x+y﹣5=0.答案：A6.（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A. 4B.C. 6D.解析：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=.答案：B7.（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A. ﹣=1B. ﹣=1C. ﹣=1D. ﹣=1解析：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1.答案：C8.（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A. 至多等于3B. 至多等于4C. 等于5D. 大于5解析：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立；同理n＞5，不成立.答案：B二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.）（一）必做题（11～13题）9.（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为 6 .解析：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，答案：610.（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= 10 . 解析：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10.答案：1011.（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=，sinB=，C=，则b= 1 .解析：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾答案：112.（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560 条毕业留言.（用数字作答）解析：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条.答案：156013.（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D （X）=20，则P= .解析：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，答案：14.（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为.解析：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）.点A到直线l的距离为：=.答案：15.（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8 .解析：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8.答案：8三、解答题16.（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）.(1)若⊥，求tanx的值；(2)若与的夹角为，求x的值.答案：(1)若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；(2)∵||=1，||=1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos=，即sinx﹣cosx=，则sin（x﹣）=，∵x∈（0，）.∴x﹣∈（﹣，）.则x﹣=即x=+=.17.（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 40444041334045421011121314151617363138394345393819202122232425262743413734423744282930313233343534394338425337499 43 18 36 27 42 36 39(1)用分层抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；(3)36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？解析：(1)利用分层抽样的定义进行求解即可；(2)根据均值和方差公式即可计算(1)中样本的均值和方差s2；(3)求出样本和方差即可得到结论.答案：(1)由分层抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37.(2)由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40.由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=.(3)∵s2=.∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人.∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%.18.（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB.(1)证明：PE⊥FG；(2)求二面角P﹣AD﹣C的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.解析：(1)通过△POC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；(2)通过(1)及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；(3)连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC的余弦值.答案：(1)证明：在△POC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；(2)由(1)知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；(3)连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线FG所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===.19.（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a.(1)求f（x）的单调区间；(2)证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；(3)若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP 平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1.解析：(1)利用f'（x）≥0，求出函数单调增区间.(2)证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点.(3)利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂.答案：(1)f'（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数. (2)证明：由(1)问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数. 又f（0）=1﹣a，∵a＞1.∴1﹣a＜0…5分∴f（0）＜0.当x→+∞时，f（x）＞0成立.∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点(3)证明：f'（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=1将x0=1代入y=f（x）得y0=.∴，∴令；g（m）=e m﹣（m+1）g（m）=e m﹣（m+1），则g'（m）=em﹣1，由g'（m）=0得m=0.当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0∴g（m）的最小值为g（0）=0∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即：∴m≤20.（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.解析：(1)通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；(2)设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；(3)通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论.答案：(1)∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；(2)设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；(3)结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点.理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k）x+16k2=0，令△=（3+8k）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}.21.（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+.(1)求a3的值；(2)求数列{a n}的前 n项和T n；(3)令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn.解析：(1)利用数列的递推关系即可求a3的值；(2)利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前 n项和T n；(3)利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式.答案：(1)∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+.∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+.∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+.两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；(2)∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前 n项和T n==2﹣21﹣n.(3)b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n =（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣.即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f(1)=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）＜2+lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
高数2005-2016年专插本试题(卷)与答案解析
高等数学历年试题集及答案(2005-2016)2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分） 1、下列等式中，不成立．．．的是 A 、1)sin(lim x =--→πππx x B 、11sin lim x =∞→x x C 、01sin lim 0x =→x x D 、1sin 20x lim =→x x 2、设)(x f 是在（+∞∞-,）上的连续函数，且⎰+=c e dx x f x 2)(，则⎰dx xx f )(=A 、22x e - B 、c e x +2 C 、C e x +-221 D 、C e x +213、设x x f cos )(=，则=--→ax a f x f ax )()(limA 、-x sinB 、x cosC 、-a sinD 、x sin 4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是A 、|)(=x f x | B 、2)(-=x x f C 、21)(x x f -= D 、3)(x x f =5、已知xxy u )(=，则yu ∂∂= A 、12)(-x xy x B 、)ln(2xy x C 、1)(-x xy x D 、)ln(2xy y二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限)1(1lim -∞→xx ex = 。
7、定积分211sin x exdx --⎰= 。
8、设函数xxx f +-=22ln )(，则(1)f ''= 。
9、若函数1(1),0,()(12),0.x a x x f x x x +≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩在x=0处连续，则a= 。
10、微分方程222x xe xy dydx-=+的通解是 。
三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11、求极限1(22n lim +-+∞→n n n )。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(广东卷,含解析)
1 求直方图中 x 的值； 2 求月平均用电量的众数和中位数； 3 在月平均用电量为220, 240 ，240, 260 ，260, 280 ，280,300 的四组用户中，用 分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 220, 240 的用户中应抽取多少户？
【答案】（1） 0.0075 ；（2） 230 ， 224 ；（3） 5 ．
平面 D ，所以 C// 平面 D
（2）因为四边形 CD 是长方形，所以 C CD ，因为平面 DC 平面 CD ，平面 DC 平面 CD CD ， C 平面 CD ，所以 C 平面 DC ，因为 D 平面
DC ，所以 C D
（3）取 CD 的中点 ，连结 和 ，因为 D C ，所以 CD ，在 RtD 中，
0.6
，故选
B．
考点：古典概型．
8.已知椭圆
x2 25
y2 m2
1 （m
0 ）的左焦点为 F1 4, 0 ，则 m （
）
A． 9
B． 4
C． 3
D． 2
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得： m2 25 42 9 ，因为 m 0 ，所以 m 3 ，故选 C．
考点：椭圆的简单几何性质．
．
【答案】 2, 4
【解析】
试题分析：曲线 C1 的直角坐标方程为 x y 2 ，曲线 C2 的普通方程为 y2 8x ，由
x y 2 x 2
y
2
8x
得：
y
4
，所以
C1
与
C2
交点的直角坐标为
2,
4
，所以答案应填：
2,
4
．
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．
2015年普通高等学校招生全国统一考试广东卷(数学理)word版解析版
C.
10 21
D.
5 21
5. 平行于直线 2 x y 1 0 且与圆 x y 5 相切的直线的方程是(
2 2
).
A. 2 x y 5 0或2 x y 5 0 C. 2 x y 5 0或2 x y 5 0 答案: D
B. 2 x y 5 0或2 x y 5 0 D. 2 x y 5 0或2 x y 5 0
x2 y2 1 C. 9 16
x2 y2 1 D. 3 4
c 5 5 , a 4, 从而b2 c 2 a 2 9. a a 4
). D. 至多等于 3 B. 等于 5 C. 至多等于 4
8. 若空间中 n 个不同的点两两距离都相等,则正整数 n 的取值( A. 大于 5 答案: C.
4. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球,从袋中任取 2 个球,所取的 2 个球中 恰好有 1 个白球,1 个红球的概率为( A. 1 答案: C
1 1 C10 C5 50 2 10 . 提示: 所求概率为 2 C15 15 14 21
).
B.
11 21
a 2b cos
6
, 即 3 3b, b 1.
12. 某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_______条毕业留 言.(用数字 作答) 答案: 1560. 提示: 相当于从40人中选取两人的排列数, 故方法总数为A40 40 39 1560.
11. 设 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .若 a 3, sin B 答案:1 . 提示:
2005-2015广东专插本高数真题(无答案)
ax 3 的水平渐近线，则 a 2x 1
x 2sin t 1 y e
t
, 所确定的曲线在 t=0 相应点处的切线方程是
8. 积分 ( x cos x sin x )dx
9. 曲线 y e 及直线 x 0, x 1 和 y 0 所围成平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积 V = _________
2
B. D.
cos xf (sin x)dx F (sin x) C 2
x
2 xf ( x
1)dx F ( x 2 1) C
x
f (2 x )dx F (2 x ) C
4、设函数 ( x )
(t 1)dt ，则下列结论正确的是
0
A. ( x) 的极大值为 1 C. ( x) 的极大值为
x 0 1 x
B. e x e x =
C. e x e x
D. x sin x
A. e C. 1 3、函数在点 x0 处连续是在该点处可导的 A.必要非充分条件 C.充分必要条件 4、下列函数中，不是 e 2 x e 2 x 的原函数的是
2 1 x e ex 2 1 2x C. e e 2 x 2
2005 年广东省普通高等学校本科插班生招生考试
《高等数学》试题
一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列等式中，不成立 的是 ．．．
A.
lim
sin( x ) 1 x x
x 0
B.
lim x sin x 1
x
0
f (t )dt x 2 ，求 f ( x) .
高数专插本试题及答案
高等数学历年试题集及答案(2005-2016)2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）1、下列等式中，不成立．．．的是A 、1)sin(limx =--→πππx x B 、11sin lim x =∞→x xC 、01sin lim 0x =→x x D 、1sin 20x lim =→x x 2、设)(x f 是在（+∞∞-,）上的连续函数，且⎰+=c e dx x f x 2)(，则⎰dx xx f )(=A 、22x e -B 、c e x +2C 、C e x +-221D 、C e x +213、设x x f cos )(=，则=--→ax a f x f ax )()(limA 、-x sinB 、x cosC 、-a sinD 、x sin4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是A 、|)(=x f x |B 、2)(-=x x f C 、21)(x x f -=D 、3)(x x f =5、已知x xy u )(=，则yu ∂∂= A 、12)(-x xy x B 、)ln(2xy x C 、1)(-x xy x D 、)ln(2xy y 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限)1(1lim -∞→xx e x =。
7、定积分211sin x e xdx --⎰=。
8、设函数xxx f +-=22ln)(，则(1)f ''=。
9、若函数1(1),0,()(12),0.x a x x f x x x +≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩在x=0处连续，则a=。
10、微分方程222x xe xy dydx-=+的通解是。
三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11、求极限1(22n lim +-+∞→n n n )。
12、求极限202x 0ln (1)limxt dt x →+⎰。
《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷
广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 小题，每小题 分，共 分。
每小题只有一个选项符合题目要求）．函数22()2x xf x x x -=+-的间断点是．2x =- 和0x = ．2x =- 和1x = ．1x =- 和2x = ．0x = 和1x =．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → ．等于1 ．等于2 ．等于1 或2 ．不存在 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C =+=+⎰⎰C 为任意常数，则下列等式正确的是．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰ ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰．下列级数收敛的是．11nn e ∞=∑ ．13()2nn ∞=∑．3121()3n n n ∞=-∑ ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件．0,0a b b -=< ．0,0a b b -=>．0,0a b b +=< ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y = ．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,xxdz e ydx e ydy =+ 则2zy x∂=∂∂ ．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．求20sin 1lim x x e x x →--．设(0)21x x y x x =>+，求dydx．求不定积分221xdx x ++⎰．计算定积分012-⎰．设xyzx z e-=，求z x ∂∂和z y∂∂ ．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ ．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+- 判定级数1nn a ∞=∑的收敛性．设函数()f x 满足(),xdf x x de-=求曲线()y f x =的凹凸区间四、综合题（大题共 小题，第 小题 分，第 小题 分，共 分） ．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰（ ）求()x ϕ；（ ）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+ （ ）证明：()f x 在区间(0,)+∞内单调减少； （ ）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分） 二、填空题（本大题共 小题，每个空 分，共 分）13x2x cos xe y 13π 三、计算题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 解：21ln ln ln(21)12ln 1212(ln 1)2121xx x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =+∴=-+'∴=+-+∴=+-++解：22222211112(1)12112arctan ln(1)2x dxx dx d x x xx x C++=++++=+++⎰⎰⎰,t =则211,22x t dx tdt =-=20121021420153011,,2211()221()2111()253115t x t dx tdt t t tdtt t dtt t -==-==-=-=-=-⎰⎰⎰解：设(,,)xyzf x y z x z e=--(,,)1(,,)(,,)11,11xyz x xyz y xyzz xyz xyz xyz xyzf x y z yze f x y z xze f x y z xye z yze z xze x xye y xye ∴=-=-=--∂-∂∴==-∂+∂+解：由题意得12,0r θπ≤≤≤≤222020ln()3(4ln 2)23(4ln 2)|2(8ln 23)Dx y d d ππσθθπ∴+==-=-=-⎰⎰⎰ 解：由题意得414(1),321n n b n b n n ++=+-414(1)1lim lim 1,3213n x x nb n b n n +→∞→∞+∴==<+- 由比值判别法可知1nn b∞=∑收敛0,n n a b ≤≤由比较判别法可知1n n a ∞=∑也收敛．解()()()()(1)xx x x df x x de df x xde f x xe f x e x ----=∴='∴=-''∴=-()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞（ ）由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰()()()()0x x x x ϕϕϕϕ''∴=-''∴+=特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(0)1,0()cos sin C x x xϕϕ=∴=∴=+由题意得2202022(cos sin )(1sin 2)1(cos 2)22x V x x dx x dx x x ππππππππ=+=+=-=+⎰⎰证明（ ）()ln(1)(1)ln 1()ln(1)ln 111ln(1)ln ()1f x x x x x x x f x x x x x x x x x=+-++'∴=+-+-+=+--++ 证明11ln(1)ln ()01x x x x +--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 111101x x x xξξ<<+∴<<<+11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立11ln(1)ln ()01x x x x∴+--+<+()f x ∴在(0,)+∞单调递减（ ）设2019,2018a b ==则201820192019,2018b a a b ==比较,a b b a 即可，假设a bb a>即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>广东省 年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共 小题，每小题 分，共 分。