汽车保险费预测模型
保险费制定的预测模型介绍
⏹更多资料请访问.(...．.)⏹更多资料请访问.（.....)更多资料请访问.(....．)保险费制定的预测模型摘要本文所研究的问题为政府实行安全带法规后,因司机死亡率下降及医疗费用下降,从而引起保险公司所定汽车基本保险费变化的情况。
本文要解决的问题是：保险公司是否可以降低保险费,以及在实行安全带法规后五年如何确定保险费。
针对问题一,我们根据溶液性质均衡原理,利用总投保人数增长率与居民汽车拥有量平均增长率之间的比例关系,可以求得今后五年中各类投保人的数量,继而可以求得每年的死亡赔偿费、医疗费、修理费等各种支出费用，再将其代入，706.55百万元，即公司能盈利7０６.5５百万元。
因此,我们得出结论：保险公司可以下调基本保险费。
针对问题二，我们在问题一所建模型的基础上，改变医疗总费用，将其代入，可以分别求得实施安全法规后五年医疗费下降20%和40%情况下的总支出费用。
而在公司不亏损的情况下,总费用与最低保险费之间的关系为:。
其中，。
据此,我们可得出实施安全法规后五年的Ｗ值及医疗费分别下降2０%和４0%关键词溶液性质均衡原理总支出费用预测模型最低保险费预测模型比例关系一、问题重述某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内,若客户没有要求赔偿,则给予额外补助。
所有参保人被分为0,1,2,3四类。
类别越高，从保险费中得到的折扣越多。
在计算保险费时,新客户属于0类，在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别;若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别,否则为0类。
客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的,将退还其保险金的适当部分。
现在政府准备在下一年开始实施安全带法规,如果实施了该法规,虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降。
这是政府预计会出现的结果,从而期望减少保险费的数额。
这样的结果果真会出现吗？这是保险公司目前最关心的问题。
不同类型汽车的能耗和使用成本问题
不同类型汽车的能耗和使用成本问题不同类型汽车的能耗和使用成本问题摘要据发改委《2011年国民经济和社会发展统计报告》，随着人民生活水平的提高，我国已达到平均每百人拥有7.9辆民用汽车，随着我国经济的增长，人们对汽车的需求也越来越大，对汽车的要求也越来越高的同时，也对汽车的使用成本、舒适成度等提出了更高要求，关键词：传统汽油车混合电动汽车电动汽车能耗使用成本目录1 / 18一、问题背景与重述………………….................................................................................... 1．1问题背景…….................................................................................................................1．2问题重述...........................................................................................................二、模型假设与符号约定........................................................................................................... 2．1模型假设...........................................................................................................2．2符号说明...........................................................................................................三、问题分析...........................................................................................................四、模型的建立与求解：........................................................................................................... 4．1问题一的求解...........................................................................................................4．2问题二的求解........................................................................................................... 4．2．1传统汽车使用成本模型..................................................................................... 4．2．2电动汽车使用成本模型..................................................................................... 4．2．3混合汽车使用成本模型.....................................................................................4．3问题三的求解...........................................................................................................4．4问题四的求解..........................................................................................................五、模型的评价与推广：........................................................................................................... 5．1模型的评价. .......................................................................................................5．1．1模型的优点..............................................................................5．1．2模型的缺点..................................................................................5．2模型的推广.......................................................................................................... 参考文献..........................................................................................................附件..............................................................................2 / 18一、问题背景与重述1．1问题背景目前，人们常用的汽车类型有三种。
广义线性模型及其在车险定价中的应用
广义线性模型及其在车险定价中的应用作者：张天舒来源：《科技创新与应用》2015年第36期摘要：文章简单分析了传统非寿险精算方法存在的缺陷，引入了非寿险精算的经典模型——广义线性模型，并通过R语言对实例进行了分析，并给出广义线性模型在车险定价中的一般步骤。
关键词：非寿险；广义线性模型；车险定价广义线性模型（Generalized Linear Models，简称GLM）是1972年由Nelder和Wedderburn提出的，通过对经典线性回归模型进行了进一步的推广，建立了统一的理论和计算框架，推进了回归模型在统计学中的发展。
继20世纪80年代Nelder和MaCullagh将GLM 引入到精算学后，20世纪90年代，英国的精算师首次将广义线性模型引入到非寿险定价中，这大大解决了传统的非寿险定价方法--单项分析法所面临的局限性，直至现在汽车保险和商业保险等非寿险仍旧使用这一方法。
近年来，GLM在理论和应用方面都得到了快速的发展，包括在拓展模型，模型的诊断以及参数估计方法等方面的研究都不断趋近于成熟，适用与GLM 的计算机软件也日益增多，包含GLM专用程序GLIM（Genneralized Linear Interactive Modelling），SAS统计软件（Genmod模块），统计软件R中相应的程序包也可以完成GLM 常见模型的估计和假设检验问题。
在中国车险定价中，得益于保监会在2010年出台的《关于在深圳开展商业车险定价机制改革试点的通知》，为广义线性模型在车险定价方面提供了制度上的保障。
1 传统的非寿险定价方法1.1 单项分析法（One-Way Analysis）单项分析法是指每次仅计算一个费率因子对其保险产品价格的影响。
由于忽略各个费率因子之间的相互关系，容易导致定价结果的严重扭曲，只有当各个费率因子之间是相互独立的，这种方法所得到的结论才是稳定可靠的。
例如，在汽车保险定价中，对车龄进行单项分析，结果表明汽车时间越长，保险成本越高。
金融保险中的若干模型与分析【精美】
投资模型的风险控制与绩效评估
风险控制：通过建立风险模型，预测和评估投资风险 绩效评估：通过建立绩效评估模型，评估投资绩效 风险管理：制定风险管理策略，降低投资风险
第 壹 章
金融保险中的风险 型
风险管理模型的原理和类型
风险管理模型的原理：通过分析风险因素，预测风险发生 概率，制定应对策略，降低风险损失。
第 壹 章
金融保险中的投
投资模型的分类和特点
投资模型分类：
股票投资模型特
债券投资模型特
基
包括股票投资模
点：风险较高，
点：风险较低，
点
型、债券投资模
收益较高，适合
收益稳定，适合
收
型、基金投资模
风险承受能力强
风险承受能力较
风
型等
的投资者
低的投资者
中
投资模型的建立与优化
建立投资模型：根据金融保险的特点，建立相应的投资模型 优化投资模型：根据市场变化和投资需求，对投资模型进行优 风险管理：在投资模型中引入风险管理机制，降低投资风险
风险管理模型在证券业的应用：股票、债券、期货等风
第 壹 章
金融保险中的创
创新模型的定义和作用
定义：创新模型是指在金融保险领域中，通过创新思维、技术和方法，解决实际问题，提高效率和效益的模型 作用：创新模型可以帮助金融保险企业更好地应对市场变化，提高竞争力，降低风险，提高客户满意度，实现
创新模型的建立与实施
创新模型的定义： 创新模型的建立： 创新模型的实施： 创
基于金融保险领
包括模型设计、
包括模型推广、
包
域的新理念、新
模型验证、模型
模型应用、模型
模
技术、新方法，
基于机器学习的车险定价因子重要性测度比较研究
基于机器学习的车险定价因子重要性测度比较研究作者：朱倩倩吴学宁刘英男来源：《时代汽车》2024年第03期摘要：随着机器学习技术的快速发展，越来越多的保险公司开始应用机器学习方法来改进车险定价策略。
车险定价因素的重要性测度对于保险公司和车主来说具有重要意义，它可以揭示不同因素对保险费的影响程度，帮助制定更准确和个性化的保险策略。
本研究旨在比较不同机器学习方法在车险定价因素重要性测度方面的表现，重点关注广义线性模型（GLM）、随机森林、XGBoost等常用方法，并基于2组真实的车险数据集进行实证研究。
通过实验和数据分析，我们发现不同算法模型在车险定价因素重要性测度方面存在一致性和差异性。
某些因素在不同模型中的重要性测度结果一致，例如奖惩系数和厂商指导价。
然而，也存在部分因素在不同模型中的重要性测度结果不一致的情况，这可能是由于模型算法和数据特征的不同所导致的。
这些测度结果为保险公司提供了重要的参考，并为进一步改进车险定价模型和方法提供了指导。
关键词：机器学习车险定价重要性测度1 引言车险是保险行业的重要领域之一，其定价准确性和公正性对保险公司和车主都具有重要意义。
随着机器学习技术的快速发展和大数据的广泛应用，越来越多的保险公司开始采用机器学习算法来进行车险定价。
机器学习具有从大量数据中学习和发现模式的能力，可以更准确地捕捉车险定价中的复杂关系和非线性特征。
然而，随着机器学习算法的不断增多，如何选择合适的算法并评估不同因素对保险费的重要性成为一个关键问题。
因此，本研究旨在通过比较不同的机器学习方法，对车险定价因子的重要性进行测度，以提供更准确、可靠的车险定价模型。
文章的目标是通过比较不同的机器学习方法，研究车险定价因子的重要性测度。
具体来说，文章将进行以下工作：首先，收集真实的车险数据集，并进行数据预处理和特征选择，以保证数据的质量和可靠性。
其次，选择一组代表性的机器学习算法，文章主要应用集成学习方法中的随机森林和XGBoost，使用这些算法对车险数据集进行建模和训练，并以广义线性模型为基准，测度不同车险定价因子的重要性。
汽车保险索赔次数双泊松回归模型运用
汽车保险索赔次数双泊松回归模型运用随着汽车保险的普及，越来越多的人意识到汽车保险的重要性。
然而，在保险索赔过程中，经常会出现索赔次数多、金额高等问题。
为了解决这些问题，保险公司需要对索赔情况进行分析和预测。
在这方面，双泊松回归模型是非常有效的工具。
双泊松回归模型是一种针对计数数据的统计方法，它可以用于预测一段时间内的保险索赔次数，从而帮助保险公司预测资产损失和成本。
双泊松回归模型的核心思想是，针对每一个索赔次数，都有两种概率分布，分别是交通事故发生的概率分布和保险索赔的概率分布。
这两种概率分布是独立的，但是它们的参数之间存在相关性。
在双泊松回归模型中，分别对交通事故发生的次数和保险索赔的次数进行建模，并利用这两个模型之间的相关性来预测保险索赔的次数。
这种方法可以一定程度上避免误差的积累，从而提高了预测的准确性。
为了更好的解释双泊松回归模型，下面我们举个实例。
如果一个人的车险保单包括了车辆损失险和第三者责任险，那么在他开车的过程中，他有任何一方面的索赔都会计入保险索赔的次数中。
由于双泊松回归模型能够同时考虑发生交通事故的概率和保险索赔的概率，所以它能够准确地预测出这个人的保险索赔次数。
在双泊松回归模型中，最为重要的是建模。
对于这个问题，可以采用广义线性模型（GLM）的思想，来对交通事故发生的次数和保险索赔的次数进行建模。
具体来说，在实际操作中，我们可以采用泊松回归模型来建立交通事故发生的概率分布，用交通事故发生的次数作为因变量，以车辆里程数、驾龄、道路类型、气象条件等多个变量作为自变量，对模型进行回归分析，并进行参数估计和模型检验。
同样的，我们可以采用另一个泊松回归模型来建立保险索赔的概率分布，通过变量选择和参数估计，得到模型的最终形式。
在获得这两个泊松回归模型之后，我们需要建立双泊松回归模型。
在这个模型中，交通事故发生的次数和保险索赔的次数之间存在相关性，可以用相关矩阵来刻画这种关系。
同时，由于每个人的驾驶风格和车辆状态都不同，所以对于不同的人需要建立不同的模型，并进行模型的验证和修正。
合理购买私家车(六座位以下)车险
合理购买私家车（六座位以下）车险【摘要】本文列举私家车（六座位以下）的险种方案及其计算方法，根据有无发生有责任道路交通事故及年份，得出强制保险金额A。
结合自身车辆的需求和状况，选择合理的车险险种，确定购买的主险金额B和附加险金额 C后，并通过公式W =A + B + C得到其保费金额。
【关键词】强制保险、商业保险、浮动因素、浮动比率符号说明和内容解释：M：车的购买金额（元）W：保费金额（元）A(包括A1-A6)：强制保险金额（元）B：所选择的主险的总金额（元）C：所选择的附加险的金额（元）<i>：所选择的表2中的险种n：购买的年份强制保险：国家规定必须购买强制保险商业保险：包括主险和附加险数学模型的建立依照自身车辆的需求和状况，选择合理的主险和附加险，并计算出主险和附加险的投保金额。
由汽车保险保费的计算方法可得：W =A + B + C。
如表1：强制保险（国家规定以950元为基础，若五年或以上未发生有责任道路交通事故，则保持A3时的值，即A3=950*（1-30%）=665（元））表1：强制保险浮动因素浮动比例与道路交通事故相联系的浮动A A1 上一个年度未有责任道路交通事故-10% A2 上两个年度未有责任道路交通事故-20% A3 上三个年度未有责任道路交通事故-30% A4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0% A5 上一个年度发生两次及或两次以上有责任道路交通事故10% A6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故30%表2：商业保险险种所需金额(元)E1+M*[(1-0.1)^(n-1)]×N1<1>汽车损失险保费 (主险)D1<2>第三者责任险保费(主险)E2+M*[(1-0.1)^(n-1)]×N3<3>全车盗抢险保费(附加险)M*[(1-0.1)^(n-1)]×N4<4>新增加设备损失险保费(附加险)M×N5<5>玻璃单独破碎险保费(附加险)M*[(1-0.1)^(n-1)]×N6<6>自燃损失险保费(附加险)20000*N7<7>车上人员责任险保费(附加险)D2<8>车身划痕损失险保费 (附加险)（M*[(1-0.1)^(n-1)]×N1+ D1)×N9<9>不计免赔特约险保费(附加险)说明：此为九种基本的汽车保险种类的险种，通过表2，可以选择适当<i>进行投保。
基于GAM_Tweedie模型的车险定价研究
基于GAM_Tweedie模型的车险定价研究摘要：广义线性模型作为车险费率厘定的主流方法，其假设协变量的影响为预测函数的线性形式，但在实际的情况下，许多对索賠频率、索賠强度或纯保费的影响因素不仅仅是表现成线性形式的，单纯地用线性估计会造成一些变量的不显著而丢失重要影响因素。
本文以一组汽车保险损失数据为样本，建立Tweedie广义加法模型，通过与Tweedie广义线性模型对比，表明Tweedie广义加法模型可以更好的解释各因素对索赔额的影响。
关键词：广义线性模型，车险费率厘定，Tweedie分布，广义加法模型一、引言车险定价实则是对索赔频率、索赔强度或纯保费进行预测。
在车险定价实务中，经常假设索赔频率与索赔强度相互独立，并分别建立索赔频率和索赔强度的广义线性模型。
在独立的假设下，可以把索赔频率与索赔强度的预测值相乘从而求得纯保费的预测值。
这种方法简单易行，在非寿险精算实务中得到广泛的应用，但其忽略了索赔频率与索赔强度之间可能存在的相依关系，从而造成预测的偏差。
而在纯保费的预测中，主要是应用Tweedie广义线性模型。
Tweedie广义线性模型，是假定保单的累积赔付额服从Tweedie分布，对赔付额的均值函数建立回归模型。
其要求协变量的影响为预测函数的线性形式，但在实际的情况下，许多对纯保费的影响因素不仅仅是表现成线性形式的，如空间协变量，大多数情况下其对响应变量均值函数的影响是非线性的，如果单纯地用线性估计会造成一些变量的不显著而丢失重要的影响因素。
为了更好的拟合数据，从而有必要对其进行优化推广，在广义线性模型中纳入平滑预测项，将其推广到广义加法模型。
从线性和非线性两个方面去分析各因素对预测函数不同的影响程度。
本文以一组汽车保险损失数据为样本，建立Tweedie广义加法模型，利用R软件对模型的参数进行估计检验。
通过与Tweedie广义线性模型对比，表明Tweedie 广义加法模型可以更好的解释各因素对索赔额的影响，从而改进了传统广义线性模型对纯保费的预测精度。
数学建模 对汽车保险问题的研究
对汽车保险问题的研究摘要汽车保险的基本保险费与政府政策和保险公司的盈利目标与运作方式密切相关。
我们忽略了自然因素和人为因素对其的影响，经查阅相关资料，运用人口阻滞模型和泊松分布，建立了相应模型。
我们还了解到了中国汽车保险业的相关规则：在被保人从保险公司得到过赔偿之后将不能退保，即为注销人数等于死亡司机人数和自然退保人数之和。
基于此，我们首先利用Venn图梳理此公司投保人类别的关系，同时利用已知数据，对此公司的四类投保人的人数以及各项费用建立了相应的数学表达式，确定了安全带法规实施后的续保人数，注销人数，索赔人数，死亡司机人数及修理费，医疗费，赔偿费等费用。
从而可以计算出偿还退回的金额，以及总赔偿费。
进一步，我们还了解到，中国的汽车保险费用由净保费和附加保费两部份构成，附加保费用于支付保险公司的营业费用，这部分费用可假定不变。
我们假设公司的运营状况正常，即收支平衡，从而建立了颁布安全带法规之后该公司的总保险费的表达式，进而可计算出基本保险费金额。
在下一年度医疗费下降20%~40%的条件下，我们计算出基本保险费的金额幅度为：677~623。
由于政府的期望与保险公司的利益有一定冲突，在医疗费下降幅度确定为20%和40%的情况下，我们假定保险公司利益不变，基于此条件下，将相关模型运用C语言函数计算，我们得到在安全带法规实施后的五年里，每一年的基本保险费金额依次为677、676、675、675、674；623、622、622、621、621。
我们没有考虑保险公司自身运作方式和社会交通状况的发展，物价的变化以及众多偶然的和难以调和的因素对模型的影响，分析了动态中的静态情况，即只考虑了新投保人数的人口阻滞模型和投保人索赔概率的泊松分布对此模型的影响，在一定意义上对公司未来的基本保险费进行数学估算。
本模型对理想状况的分析和研究具有一定参考价值，但在应用于实际问题时，需整合更多的实际因素和市场信息，在较为准确的市场预测和估算的基础上，可得出对政府和公司具有建设性意义的结论和理论指导。
车险评分计算公式
车险评分计算公式
摘要：
1.车险评分计算公式的概述
2.车险评分计算公式的具体内容
3.车险评分计算公式的实际应用
4.车险评分计算公式对车主和保险公司的影响
正文：
车险评分计算公式是一种对汽车保险公司的客户进行风险评估的工具，它可以帮助保险公司确定客户的保险费率。
车险评分计算公式通常由多个因素组成，这些因素包括驾驶记录、车辆型号、车主年龄、车辆用途等等。
车险评分计算公式的具体内容通常由保险公司根据其特定的风险评估模型和算法确定。
例如，一些保险公司可能会使用以下公式来计算客户的得分：得分= (驾驶记录分数+ 车辆型号分数+ 车主年龄分数+ 车辆用途分数) / 4
驾驶记录分数通常是根据车主的违章记录、事故记录等因素确定的。
车辆型号分数可能是根据车辆的安全性能、维修成本等因素确定的。
车主年龄分数可能是根据车主的年龄和驾驶经验等因素确定的。
车辆用途分数可能是根据车辆的使用频率、行驶路线等因素确定的。
车险评分计算公式的实际应用可以帮助保险公司确定客户的保险费率，也可以帮助客户了解其风险程度，从而更好地管理其风险。
例如，保险公司可以根据客户的得分确定其保险费率，得分越高，保险费率越低。
客户可以根据其得分了解其风险程度，从而更好地管理其风险，例如，通过改善驾驶记录、选
择更安全的车型等方式降低风险。
车险评分计算公式对车主和保险公司都有重要的影响。
对车主来说，它可以帮助他们更好地管理其风险，从而降低保险费用。
广义线性模型在车辆保险风险评价中的应用
广义线性模型在车辆保险风险评价中的应用摘要本文以广义线性模型为基础，通过SAS软件中genmod过程对保险索赔数据进行了模拟。
SAS软件中genmod过程可以拟合各种各样的统计模型。
而该过程的一种典型用法就是进行Logistic回归泊松分布。
泊松分布可以用来模拟在一个多向列联表中单元计数的分布。
本文通过对一组车辆保险投保及索赔相关数据进行Logistic 回归，通过SAS软件中genmod过程对数据进行处理，对该输出结果结果进行统计分析，得到在汽车投保及索赔过程中，车型及投保人的年龄这两个因素对投保人投保及保险索赔数量的影响都是显著的结论。
关键词：Logistic回归车辆保险一、研究背景随着社会的进步，经济的发展，人们抵御风险的能力大提高。
保险的基本原则是累计千千万万人的财力，结成一个抵御化解风险的大集体，在这个大集体中每个人都是付出者，但同时也是受益者。
通过付出，在遭遇事故时，得到及时的救助，这就是保险的基本功能。
保险的作用是规避风险，买保险就是把自己的风险转移出去，而接受风险的机构就是保险公司。
保险公司接受风险转移是因为可保风险还是有规律可循的。
通过研究风险的偶然性去寻找其必然性，掌握风险发生、发展的规律，为众多有危险顾虑的人提供了保险保障。
机动车辆保险即“车险”，是以机动车辆本身及其第三者责任等为保险标志的一种运输工具保险。
其保险客户，主要是拥有各种机动交通工具的法人团体和个人；其保险标的，主要是各种类型的汽车，但也包括电车、电瓶车等专用车辆及摩托车等。
2012年3月份，中国保监会先后发布了《关于加强机动车辆商业保险条款费率管理的通知》和《机动车辆商业保险示范条款》，推动了车辆保险的改革。
二、数据来源通过对可能影响车辆保险投保及索赔情况的2个因素设计调查问卷，并应用随机抽样调查的方法，采取不记名问卷调查的形式，在某保险公司投保人及保险工作人员中进行随机抽样调查。
所调查的被调查者中一人一份问卷，最后共收回10份有效调查问卷。
中国汽车保险需求价格弹性的实证分析
中国汽车保险需求价格弹性的实证分析作者：孙靓燕来源：《商情》2016年第08期一、引言随着我国国民收入的持续快速增长，汽车作为家庭的交通工具普及率不断提高，对相关保险的需求日趋旺盛。
汽车保险作为财产保险中的第一大险种，对财产保险公司的经营发展，以及整个财产保险业的健康发展有着重要意义。
纵观我国实际，汽车保险市场发展迅速，始终在财产保险市场上占据业务主导地位。
研究汽车保险的需求价格弹性为对于认识影响汽车保险需求与消费的主、客观条件和具有一定的理论意义，对保险经营主体调整销售策略，转变经营观念也有一定的理论和指导意义。
二、概念界定汽车保险即机动车辆保险，简称车险。
其中车辆是指汽车、电车、电瓶车、摩托车、拖拉机、各种专用机械车、特种车。
汽车保险是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险。
汽车保险是伴随着汽车的出现和普及而产生和发展的。
需求价格弹性简称为价格弹性或需求弹性，它是指需求量对价格变动的反应程度，等于需求量变化的百分比除以价格变化的百分比。
由于需求规律的作用，价格和需求量是呈相反方向变化的。
三、汽车需求价格弹性的影响因素不同的商品其需求价格弹性系数的大小不同。
影响需求价格弹性系数的因素主要有：商品的可替代性、商品用途的广泛性；消费者对商品的需求程度等。
由于定性的因素存在量化困难，故替代性的选择是观察影响汽车需求的不同因素会如何影响汽车需求价格弹性。
影响汽车需求的因素主要经济因素和社会文化因素。
（一）经济因素1.国民生产总值和人均可支配收入。
二者衡量了整个社会的消费能力，社会的消费能力越高，政府、企业、个人购买汽车的能力就越大，投保汽车保险的需求就越高。
因此国民生产总值、人均可支配收入与汽车保险的需求量成正比例关系。
2.汽车销售量。
汽车保险是以汽车为保险标的的保险，汽车拥有量直接影响车险的保费收入，在投保率不变的情况下，汽车拥有量越高，保费收入就越高。
基于Logistics回归对车险续保率的预测模型
基于Logistics回归对车险续保率的预测模型作者：李冶秦嘉宁来源：《西部论丛》2019年第29期摘要：本文使用K-means聚类算法对数据进行分类，给同一属性的数据打上标签，从而形成对客户的精准画像，并根据已给公司车险业务的数据，运用了单因素敏感度分析法，筛选出具有解释能力的变量，继而选定广义线性模型中的Logistics多元回归模型，确定了模型结构和定量计算公式，建立了具有可操作性和可推广性的续保率预测模型，并使用VBA编程语言，实现了模型的自动化求解，对续保率进行了较为准确的预测。
最后还对模型进行评价，对模型优点和缺点进行了客观评价，对存在的不足进行了改进，最后，将模型进行了纵向和横向等多个方向的推广。
关键词：车险续保;Logistics回归;K-means聚类算法;画像一、研究背景随着经济的高速发展，汽车成为了人们不可缺少的交通工具，伴随着汽车行业的高速发展，出现了机动车的保险，即车险。
保险自身是一种分散风险、消化损失的经济补偿制度，车险即为分散机动车辆在行驶过程中可能发生的未知风险和损失的一种保障机制。
种类主要有国家强制的交强险和商业险，汽车保险是财产保险的一种，在财产保险领域中，汽车保险属于一个相对年轻的险种。
和其他保险险种一样，汽车保险为了扩大市场份额，在保证新客户的同时也要保证老客户的续保率。
二、研究现状综述据当前的研究现状表明，续保率主要受已续保年限、公司、车龄、被保险人年龄、NCD 等因素的影响。
车保的续保业务占比也逐年提升，长期将对行业竞争和发展模式产生重要影响。
随着新车销售放缓，车险市场中新车业务占比日渐下滑。
一些较大的保险公司，在续保方面仍占据了较大的市场，但已经呈现出一定的防守态势。
在整个车保险行业上，还未能对客户的续保率做出较为准确的预测，当在如何提高续保率方面已经有了一定的研究，在针对不同的客户提供一系列的福利方案也有了一定的战略，但在针对客户的具体画像方面还未有较为成熟的策略。
车险费率厘定的索赔概率预测模型及其比较分析
车险费率厘定的索赔概率预测模型及其比较分析卢志义;蔡静【摘要】As extensions of classical linear model,Generalized linear models and Generalized additive models recently have been widely used in non-life actuarial science.In this paper,by using eight variables including gender and vehicle type as the rating factors,the probability of claim is modeled applying Generalized linear models and Generalized additive models respectively.Furthermore,the estimation effects between the two models are compared by applying the data of Wasa insurance company of Swedish.It is shown that Generalized additive models does not has clear advantage in fitting the data of automobile insurance because of the existence of more discrete covariables.Therefore,Generalized linear models should be adopt in insurance practice when there are more discrete risk factors.%广义线性模型和广义可加模型作为经典线性模型的扩展,近年来在非寿险精算中得到了广泛的应用.本文在对2种模型进行简介的基础上,将驾驶员的性别、车型等8个变量作为费率因子,分别建立了车险索赔发生概率估计的广义线性模型和广义可加模型,并选取瑞典瓦萨(Wasa)保险公司的车险数据对2种模型的估计效果进行比较分析.结果表明,对于离散型费率因子占绝大多数的车险数据,广义可加模型并不具有明显的优势.因此,在车险费率厘定实务中,若离散型费率因子较多,应选择结构相对简单的广义线性模型.【期刊名称】《河北工业大学学报》【年(卷),期】2017(046)003【总页数】7页(P56-62)【关键词】广义线性模型;广义可加模型;索赔概率;Logit联结函数;比较分析【作者】卢志义;蔡静【作者单位】天津商业大学理学院,天津300134;天津商业大学理学院,天津300134【正文语种】中文【中图分类】F224.7;O212对非寿险产品进行分类费率厘定的传统方法包括单项分析法、最小偏差法以及多元回归模型．单项分析法是最早出现的分类费率模型，属确定性模型，其优点是直观易懂，计算方便，而其主要缺陷是当各个费率因子存在相依关系时，单项分析法得到的结论不可靠．最小偏差法最早是由Bailey R和Simon L于20世纪60年代首先提出的[1]，包括边际总和法、最小二乘法、最小χ2法、最大似然法等，其思想是设定一个目标函数，并在目标函数达到最优时得到相对费率的估计．最小偏差法可通过迭代公式求解，简便易行，因而也称为迭代法．最小偏差法虽然克服了单项分析法的不足，但和单项分析法一样，仍然缺少一个完整的统计分析框架对模型进行分析和评价[2]．作为统计模型，多元回归模型克服了以上2种方法的缺点，在非寿险分类费率厘定中得到了较多的应用，但其严格的假设条件通常无法满足[2-3]．1972年，Nelder对经典线性回归模型作了进一步推广，建立了统一的理论和计算框架，对回归模型的应用产生了重要影响，这种新的统计模型称作广义线性模型．与古典线性模型相比，广义线性模型将因变量的分布假设从正态分布扩展到包括正态分布在内的指数型分布，其方差随着均值的变化而变化，解释变量通过线性关系对因变量的期望值的某种变换产生影响．由于广义线性模型的模型假设满足了保险数据中特别是非寿险数据中非对称分布、非常值方差、非线性影响的典型特征，因而从其诞生起，便被广泛地用于包括费率厘定、准备金估计等非寿险精算的各个领域．广义线性模型理论的建立，极大地推动了以统计方法为基石的精算学的发展．近年来，广义线性模型在许多国家的保险实践中得到了广泛的应用，并逐渐成为行业标准模型．McCullagh和Nelder在文献[4]中首次对广义线性模型进行了全面的总结，并将其应用于一组汽车保险损失数据的分析．文献[5-7]介绍了广义线性模型及其在精算中的应用．文献[8]是最早讨论广义线性模型在非寿险费率厘定中应用的文献．文献[9]详细讨论了广义线性模型在费率厘定中的应用问题，该文分别讨论了对索赔概率（Claim frequency）和索赔额度（Claim severity）进行估计时，因变量的分布及联系函数（Link function）的选取等问题．文献[10]是关于广义线性模型在非寿险定价中应用的第1部专著．较早的文献中，都是假设索赔频率与索赔额度相互独立．在此假设下，纯保费就是索赔频率与索赔额度期望的乘积．大部分模型都对索赔频率与索赔额度分别建立模型进行估计，而文献[11-12]则通过建立基于Tweedie类分布的广义线性模型对总赔付额进行估计，但此类模型隐含了索赔频率与索赔额度之间是独立的假设．然而，在实务中，许多情况下索赔频率与索赔额度是不独立的．为了在模型中反映二者之间的相依性，学者提出了2类模型．一类是在建立平均索赔额的估计模型中将索赔次数作为解释变量而反映二者之间的相依关系，此方面的研究见文献[13-16]；另一类方法则分别对索赔频率与索赔额度建立模型，然后通过Copulas将二者联结起来，如文献[17-18]．文献[19]对以上2种方法的估计进行了对比分析．广义线性模型是经典线性回归模型的延伸和扩展，它将线性模型中的分布从正态分布推广到指数分布族，从而使模型的适用条件和范围得到了极大的扩展．然而，广义线性模型的一个主要缺陷是，其解释变量是以线性预测量的形式出现的．对于连续型的解释变量，当其对因变量存在非线性效应时，只有对其进行了适当的变换，才能使其非线性效应得到体现．但是，采取何种变换才能反映出这种效应是一个较难解决的问题．可加模型也是经典线性回归模型的扩展，它将线性回归模型中的预测变量的参数形式改为非参数的形式．可加模型在预测变量的效应上是可加的，为分别检验预测变量的效应提供了条件，并且克服了高维度带来的问题．广义可加模型是广义线性模型与可加模型的结合，它集成了二者的优点，因此是处理非线性关系的一种更加灵活而有效的工具．广义可加模型是由Hastie和Tibshirani于1990年提出的，文献[20]对广义可加模型进行了详细的介绍．文献[10]对广义可加模型在非寿险费率厘定中的应用进行了讨论．为了同时在模型中纳入离散型、连续型、分类变量以及空间效应因子，文献[21]采用更加灵活的Bayesian广义可加模型分别对索赔频率和索赔额度进行了预测．从经典线性模型扩展到广义线性模型，是非寿险费率厘定的一大进步．而广义可加模型又在广义线性模型的基础上，引入了非参数光滑技术，从而使模型的拟合具有更小的偏差和更大的灵活性．但是，对于车险费率的厘定，由于其风险因子大多是分类变量，使得广义可加模型的优势并不能得到充分发挥．因而，一个自然的问题是，在非寿险分类费率厘定中，广义可加模型是否比广义线性模型具有更大的适用性？本文拟在实证分析的基础上对这一问题进行探讨．由于对索赔概率和索赔额度分别建立的广义线性（可加）模型在模型结构上基本相同，因而本文只对索赔概率的广义线性模型和广义可加模型的估计效果进行讨论．本研究的着眼点在于不同模型预测效果的比较分析，因而在研究视角与研究内容上与前述文献有着本质的区别．本文在对广义线性模型和广义可加模型进行介绍的基础上，采用瑞典瓦萨（Wasa）保险公司的车险索赔数据，建立了索赔发生概率的广义线性模型和广义可加模型，并对2种模型进行了比较分析．研究表明，与广义线性模型相比，虽然对于连续型变量的非线性部分的拟合，广义可加模型具有其自身的优点，但对于离散型费率因子占绝大部分的车险数据，广义可加模型并没有特别明显的优势．因此，根据模型的简约性原则（Principle of parsimony.简约性原则是指在统计建模中，应通过较少的假设和较少的变量达到较大的解释和预测能力[22]）.在车险费率厘定实务中，若离散型费率因子较多，应选择结构相对简单的广义线性模型．1.1 广义线性模型广义线性模型假设因变量服从指数型分布族，其方差随着均值的变化而变化，解释变量通过线性相加关系对因变量的期望值的某种变换产生影响．广义线性模型包括3个部分.1）随机成分，即因变量Y或误差项的概率分布．因变量Y的每个观察值yi相互独立且服从指数型分布族中的某一分布．指数型分布族的概率密度函数可以表示为其中：yi表示第i个观察值；a（φ），b（θi），c（yi，φ）为已知函数．2）系统成分，即解释变量的线性组合，表示为η=β1x1+β2x2+…βpxp．系统成分与古典线性模型没有区别．3）联结函数，联结函数g单调且可导，它建立了随机成分与系统成分之间的非线性关系，即g（μ）=η或E（Y）=μ=g-1（η）．上式表明，在广义线性模型中，对解释变量的线性组合（ηi）通过函数g-1的变换之后即得对因变量的预测值．常用的联结函数包括恒等函数、对数函数、指数函数、logit函数等[4]．显然，在正态分布假设和恒等联结函数下，广义线性模型等价于古典线性回归模型．需要强调的的，广义线性模型采用的是线性结构来描述解释变量对连结函数作用后的响应变量均值的影响，它虽然也体现了二者之间的非线性关系，但其函数形式有限．当解释变量以更加复杂的非线性影响形式存在时，就会极大地限制广义线性模型的应用，特别是当解释变量为连续型变量时．1.2 广义可加模型广义可加模型是广义线性模型的扩展，它保留了广义线性模型的基本框架，只是在模型的参数估计中植入了非参数光滑技术，从而使部分解释变量的影响表示成非参数函数形式．与广义线性模型相类似，广义可加模型也是由随机部分、系统部分和联结函数3部分组成，具体形式如下：设Y为反应变量，服从指数族分布，X1，X2，…，XP为解释变量，广义可加模型一般可表示为如下形式：其中：μ=E（Y|X1，…，XP）；g（·）是联结函数；sj（·）是变量Xj的非参数光滑函数，并且假设sj（·）的二次导数存在且连续．实务中比较常用的模型是光滑函数可以采用各种类型的函数，如光滑样条函数、局部回归函数、自然三次样条函数、B－样条函数和多项式函数等．实务中常采用多项式函数反映非线性效应．但多项式函数的缺陷是当其次数较小时，模型不能灵活地反映数据的变化趋势；而次数较大又会导致估计的不稳健，特别是对于xj左右两边的极端点．因而最常用的就是样条函数．广义可加模型不仅体现了解释变量的线性影响，也包含了非线性影响，并且对解释变量的具体函数形式不作具体规定，体现了模型的灵活性．光滑函数sj（xj）可以根据实际情况采用任何形式，一般可使用光滑样条函数来进行拟合．对于光滑样条函数来说，一般采用惩罚最小二乘法来求解，也可以通过惩罚极大似然法求解．光滑样条的求解结合了粗糙度惩罚的思想，即找到合适的sj （xj）使得惩罚最小二乘函数或者惩罚极大似然函数最小化．其数学形式为：其中：λ表示光滑参数；n表示光滑节点数代表光滑度，当λj较大时，光滑度相对权重较大，拟合的曲线较平滑，反之，曲线较粗糙．2.1 数据及变量本文采用文[10]中的数据进行实证分析，该数据是1994-1998年瑞典瓦萨（Wasa）保险公司的车险数据．数据包含64 548个观测值，在观察期间，至少发生一次索赔的有670个，其中有27个索赔次数为2次，最大索赔额为365 347．数据包括9个变量，每个变量的含义如表1所示.文[8]采用此数据建立广义线性模型对索赔次数和索赔强度进行估计，并得出相对费率．本文分别建立广义线性模型和广义可加模型对索赔概率进行估计，并对2种模型的拟合效果进行对比分析．2.2 索赔概率的预测模型为估计索赔概率，本文仍采用常用的Logistic回归模型，即假设因变量服从二项分布，使用Logit联结函数．为了得到良好的估计效果，对于连续型费率因子，可采用多项式回归的思想，将费率因子的高次项加入线性预测部分．对于本文的数据，通过绘制散点图，发现索赔频率的logit函数与年龄呈非线性关系，于是，根据散点图，考虑将年龄的二次方项加入线性预测量，建立如下广义线性模型：采用SAS的GENMOD过程进行分析，输出结果见表2～表4.由表3和表4可知，7个费率因子变量总体效应是显著的，且各变量的等级因子大部分都通过了参数的显著性检验．以下采用广义可加模型对索赔概率进行拟合．同广义线性模型相同，在用广义可加模型拟合索赔发生概率时，假设因变量服从二项分布，使用Logit联结函数．考虑将驾驶员的年龄、性别、所在区域、车型、车龄、折扣以及保单持有期作为解释变量，索赔概率作为因变量，建立如下模型：其中，s（·）表示光滑函数．利用SAS软件进行数据拟合，程序运行结果见表5～表7.由此可知，所建立的广义可加模型的非参数部分的拟合优度较好，大部分分类变量的等级因子是显著的．2.32 种模型的比较分析考虑到2种模型在模型评价指标上的差异性和非一致性，本文主要采用模型的偏差（Deviance）对所建立的2种模型进行评价和比较．本例中，广义可加模型的偏差为6 659.04，而广义线性模型的偏差为6 699.54，由此可知广义可加模型的拟合结果稍好．这说明，较广义线性模型而言，广义可加模型的非参数特性增加了模型的灵活性和适应性，具有较好的拟合效果和更大的适用范围．但是，从数据可以看出，两模型的偏差并无明显的差别，因而广义可加模型比广义线性模型并未体现出明显的优势．事实上，广义可加模型也有其局限性，在样本量不变的情况下，当模型中的解释变量较多时，广义可加模型会因为“维度的灾难（curse of dimensionality）”而使方差急剧增加，从而导致拟合效果的下降．另外，虽然对连续型解释变量的非线性部分来说，广义可加模型具有更好的拟合优度和更大的灵活性．但是，车险数据大都比较复杂，既有只取少数几个值的分类变量，也有连续型的变量，并且一般情况下分类变量较多．对分类变量占绝大多数的车险数据进行拟合，采用对于连续变量非线性拟合有极强能力的广义可加模型并不是最佳的选择．因而，在实务中，应将2种模型结合使用，互相映衬．如可以采用两阶段法进行建模，即在第1阶段采用广义可加模型对各费率因子进行探索性研究，找出对具有非线性影响的费率因子及其影响形式；第2阶段，将不同类型（线性影响和非线性影响）的费率因子以不同的形式纳入模型，建立广义可加模型，并将其与广义线性模型的拟合效果进行对比，在兼顾模型复杂程度与拟合效果的基础上选择较好的模型．【相关文献】[1]孟生旺，刘乐平．非寿险精算学[M]．第2版.北京：中国人民大学出版社，2011．[2]孟生旺．广义线性模型在汽车保险定价中的应用[J]．数理统计与管理，2007，26（1）：24-28．[3]孟生旺．非寿险定价[M]．北京：中国财政经济出版社，2011．[4]McCullagh P，Nelder J．Generalized linear models[M]．London：Chapman and Hall，1983．[5]De Jong P，Heller G．Generalized linear models for insurance data[M]．New York：Cambridge University Press，2008．[6]Haberman S，Renshaw A E．Generalized linear models and actuarial science[J]．The Statistician，1996，45：407-436．[7]卢志义，刘乐平．广义线性模型在非寿险精算中的应用及其研究进展[J]．统计与信息论坛，2007，22（4）：26-31．[8]Brockman M J，Wright T S．Statistical motor rating:making effective use of yourdata[J].Journal of the Institute of 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汽车保险费预测模型数学建模协会编号：姓名1 ：李明宇姓名2：杨军姓名3：艾建行指导教师：李学文评阅编号：摘要本文为解决在国家实行安全带法规后可能引起的保险费变化，根据所给资料及国家统计数据建立了汽车保险费预测模型。
为解决未来五年新投保人数预测的问题，我们认为可以采用阻滞模型进行预测，但由于无法确定投保人数极限值，决定采取以汽车保有量预测新投保人数的思路。
首先根据近几年汽车保有量等相关统计资料建立汽车保有量阻滞模型并进行曲线拟合，根据新投保人数与汽车保有量之间的关系，得到新投保人数预测模型并得出未来五年新投保人数，运用泊松分布的相关知识建立了索赔人数预测模型。
在此基础上根据“基本保险费总收入=总偿还退回+总索赔支出+运营成本”建立问题一模型，在假定医疗费下调20% 40%时保险费预测结果为634.6341 579.0955元，发现保险费有很大下调的余地。
针对问题二，分别讨论了医疗费降低20%和40%时，未来五年内为保持公司收支平衡所需收取的最低保险费，结果如下表：最后，对模型优缺点进行了系统评价与改进关键字：阻滞模型曲线拟合泊松分布一问题重述某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内，若客户没有要求赔偿，则给予额外补助，所有参保人被迫分为0，1，2，3四类，类别越高，从保险费中得到的折扣越多。
在计算保险费时，新客户属于0类。
在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。
客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。
现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降，这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额。
这样的结果真会出现吗？这是该保险公司目前最关心的问题。
根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为，医疗费会减少20%到40%，假设当前年度该保险公司的统计报表如下表1和表2。
保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题，并为以表1和2的数据例，验证你的方法，并给出在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理？给出你的建议。
表1 本年度发放的保险单数基本保险费：775元类别没有索赔时补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数0 0 1280708 384620 18264 16653281 25 1764897 1 28240 17648982 40 1154461 0 13857 11544613 50 8760058 0 324114 8760058 总收入：6182百万元，偿还退回：70百万元，净收入：6112百万元；支出：149百万元；索赔支出：6093百万元，超支：130百万元。
表2 本年度的索赔款类别索赔人数死亡司机人数平均修理费（元）平均医疗费（元）平均赔偿费（元）0 582756 11652 1020 1526 31951 582463 23315 1223 1231 38862 115857 2292 947 823 29413 700872 7013 805 814 2321总修理费：1981（百万元），总医疗费：2218（百万元）；总死亡赔偿费：1894（百万元），总索赔费6093（百万元）。
二模型假设与符号说明一模型假设（1）新投保人数与中国汽车保有量成简单线性关系（2）注销人数等于自动退保人数与死亡人数之和（3）自动退保人数与总投保人数比例保持不变（4）下一年平均修理费用与平均死亡赔偿费用与本年度持平（5）注销人平均所得到的偿还退回金额不变（6）若不实行法规，则死亡人数与索赔人数比例不变（7）实行法规后，死亡人数比预计减少40%（8） 5年内国民经济发展基本稳定，无经济危机，不会给保险业带来太大影响（9）公司运营成本（即题中所给支出）保持不变二符号说明input下一年的总收入output下一年的总支出X 下一年的基本保险费。
s总i 下一年第i类投保中的总投保人数。
s自i 下一年第i类投保中注销的人数中自动退保的人数。
s自索i下一年第i类投保中注销的人数中自动退保的索赔过的人数。
s死i 下一年第i类投保中死亡的人数。
s索i 下一年第i类投保中索赔的人数。
s注i 下一年第i类投保中注销的人数。
F i 第i类投保的平均修理费。
G i第i类投保的平均死亡赔偿费.K i第i类投保的平均医疗费。
R i第i类投保中死亡人数占索赔人数的百分比。
m总i当年第i类投保中总的投保人数。
m自i 当年第i类投保中的注销人数中的自动退保人数m自索i 当年第i类投保中的注销人数中的自动退保的索赔过的人数。
m死i 当年第i类投保中死亡人数。
m索i 当年第i类投保中索赔人数。
m注i当年第i类投保中注销的人数。
n 下一年新投保的人数。
h汽车保有量。
r 总收入。
E第i年公司日常支出，i=0表示当年日常支出。
ib 当年偿还退回总数。
医疗费的下降率。
P i 自动退保人数占总投保人数的百分比。
βi i类投保人没有索赔时的补贴比例（即所交基本保险费的折扣率）。
[3]三模型建立1 新投保人数量预测模型鉴于问题一与问题二均需要预测以后各年新投保人数量，故此处先建立新投保人数量预测模型：以下是2004—2010年各年中国汽车保有量示意图（摘自国家统计局）：汽车保险属于财产险中一部分，且每年在财产险中所占比例基本恒定，加此处得出财产险数额与车辆关系：1=C 汽车保险数额常数财产险数额2C 财产险数额常数汽车保有量3=C 财产险数额常数投保人数量由以上三式有4=C 投保人数量常数汽车保有量综上可以得出结论：每年汽车保险新投保人数量与汽车保有量之间基本呈简单线性关系。
经过以上推导，我们得到预测以后5年新投保人数量的方法：预测出以后5年内的汽车保有量，再根据以上结论得出新投保人的数量。
对未来5年汽车保有量的预测模型：（1） 对汽车保有量的求解：令保有量为()x t ，其中t 为时间；()r t 为保有量的增长率。
由于汽车保有量不能无限增大，会受GDP 、社会承载能力等因素的影响而呈现快速上升后缓慢上升最后趋近于一个极限值的情况，如下图：其中，15000代表中国汽车保有量极限值约为一亿五千万辆（摘自新华网）。
因此()r t 为x 的减函数。
一个最简单的假定是设()r t 为x 的线性函数(),,0r t r sx r s =->。
这里r 相当于0x =时的增长率，称固有增长率。
显然对于任意的0x >，增长率()r x r <。
为了确定系数s 的意义，引入保有量的最大值m x ，称最大保有量。
当m x x =时增长率为零，即()0m r x =，由此确定出s 。
新投保人数增长率()r x 可表示为：()(1)mxr x r x =-在上式的假设下阻滞增长模型应为：0(1)(0)m d xx r x dtx x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 非线性微分方程可用分离变量法求解，结果为： 0()1(1)mrt mx x t x e x -=+- [7]2）求解汽车保有量：拟合曲线：以2004年汽车保有量为初值01481x=预测保有量最大值15000mx=及2004~2010年度汽车保有量带入上式拟合，可得0.2753r=-。
根据新华社报导的专家的预测，中国汽车保有量将于25~30内达到最大值一亿五千万辆，上图确实地预测出了25~30内达到最大值的专家预判。
因此可以认为曲线的拟合度是较好且可信的。
由此预测出未来五年汽车保有量如下表：根据新投保人数与汽车保有量成正比的结论，我们预测出未来五年的投保人数如下表：2 索赔人数预测模型对于第i类总投保人数中的每一个人，因为他由于发生事故而索赔的概率很小，所以这个索赔的事件是个小概率事件，从而服从泊松分布，所以他索赔k次的概率p为：!)()(k e k K p k i i ÷⨯==-λλ )0(>i λ（上式中K 为随机变量,即索赔这个事件,下同）所以，他至少索赔一次的概率μ为：ie K p K p i i i λμ-==-=≥=)0(1)1(所以在i m 总个投保者中有x 个人向保险公司索赔的概率为：k i m k i m x i m i x i x i m i e e C C x p ----⨯-⨯=-⨯⨯=总总总总)()1()1()(λλμμ索赔人数用它的期望来表示即为：)1(])([1i ie m x x p m i m x i i λ-=-⨯=⨯=∑总索总所以：)ln(ln i i i i m m m 索总总--=λ由上所述可得到索赔人数与总投保人数的关系为：[6])1(i e m m i i λ--⨯=总索即可得出索赔人数与总投保人数关系：3 注销人数中的自动退保的索赔过的人数i m 自索的计算设第i 类中某人在该年的第K 天自动退出 ，则该人在前K 天中索赔过的概率为： ri P (K) =( K ⨯μi )/365因K 是随机变量，且 1≤K ≤365 ，设 r P (K=k)=β ,易知 β=1/365 。
从而，第K 类中自动退出的某一个人索赔过的概率在这一年中的期望为：θi = ∑=3651(k ri P (k)⨯β)= ∑=3651(k μβ⨯⨯k i ÷365) = μi /2与前面计算索赔人数的期望同样的方法可求得该年中在第i 类的自动退出的人群中向保险公司索赔过的人数期望值是： i (1)/2i m m e λ-=⨯-自i 自索4 问题一的求解根据上表经计算结果如下所示：总收入r:8.1284X偿还退回费用67.078总修理费：1994.4医疗费2257.2（1-ω）总死亡赔偿费：1142.3日常支出：149（单位：百万）由以上两表可知，当公司利润最低，即公司收支平衡时，可建立基本保险费X与平均医疗费下降率ω的关系为：8.1284X+2257.2ω-5610.0=0当医疗费用减少20%到40%时，由上式可得其基本保险费为（634.6341 579.0955）。
即如果该保险公司只追求收支平衡，当使用安全带后，造成医疗费用下降20%-40%,其基本保险费只需（634.6341 579.0955）即可。
如果还要额外盈利，只需收取的费用大于此区间。
绘制出关系图所示。
分析验证通过对模型结论和关系图的分析，并考虑统计报表中的相关数据，可以得出：问题1设计的现象会出现。
考虑到本年度的基本保险费为775元，因此保险公司的降价余地很大。
5 问题二模型的建立与求解我们以“总收入input=总支出output ”为前提建立模型： 公司的收入只有一个途径：收取保险费，因此收入模块：Input=ii imX 总)1(3∑=-⨯β（其中X 为下一年的基本保险费，βi 为i 类投保人没有索赔时的补贴比例，i m 总为当年第i 类投保中总的投保人数。