最新浙江大学数学分析试题答案-考研试卷汇总
2001年浙江大学436数学分析考研真题【圣才出品】
2001年浙江大学436数学分析考研真题 浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析（436）一、（30分)()i 用“εδ-语言”证明2211lim 3233n n n n n →∞-+=+-；()ii 求极限tan 21lim(2)x x x π→-；()iii 设101(ln )1x f x x x <≤⎧'=⎨>⎩，且(0)0f =，求()f x .二、（10分) 设()y y x =是可微函数，求(0)y '，其中2sin 7x y y ye e x x =-+-.三、（10分) 在极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==之下，变换方程2222(,)z z f x y x y ∂∂+=∂∂.四、（20分)()i 求由半径为a 的球面与顶点在球心，顶角为2α的圆锥面所围成区域的体积； ()ii 求曲面积分222()()()s I y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-⎰⎰，其中S 是曲面 222(12)z x y z =--≤≤的上侧.五、（15分) 设二元函数(,)f x y 在正方形区域[][]0,10,1⨯上连续，记[]0,1J =. ()i 试比较inf sup (,)y J y J f x y ∈∈与supinf (,)y J y J f x y ∈∈的大小并证明之；()ii 给出一个使等式inf sup (,)supinf (,)y J y J y J y J f x y f x y ∈∈∈∈=成立的充分条件并证明之.六、（15分) 设()f x 是在[]1,1-上可积且在0x =处连续的函数，记 (1)01()10n n nx x x x e x ϕ⎧-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩ . 证明：11lim()()(0)2n n n f x x dx f ϕ-→∞=⎰.。
浙江大学2011-2012数学分析1-试卷及答案baidu
浙江大学20 11 -20 12 学年 秋冬 学期《 数学分析（Ⅰ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2012 年 1 月 11 日，考试时间： 120 分钟. 考生姓名： 学号： 所属院系： _一、6分）0002()()00013214()().lim ()..0min{1}00251251322.lim 3.111x x x f x U x A x x x x x x x x f x A f x x x x A f x x x A εδδεδεεδε→→∀>∃><-<<<<+<∀>∃=><-<----=<-<=+++-<=设在内有定义，如果存在常数，对，，当时，不妨令，则：对，，，当，有；则称在处有极限，记作：：因此二、 计算下列极限：（每题6分，共18分）1. ()21211cos 12cos 101lim cos lim 1(cos 1).x ux u u u x u u e x =--⋅-→∞→⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭令2.222303330003322200limlim limarcsin [()]()662arctan 26lim 6lim 4.33x x x x x x x x x x x x xx x o x xo x x x x xx +++++→→→→→==⋅-++-+===⎰⎰⎰ 3. tan 0.x x n x e e x n αα→-设当时，与为等价无穷小量，求：常数、的值tan tan 3330000(1)tan 1lim lim lim lim 1313.3x x x x x n n n n x x x x e e e e x x x x x x x x x n ααααα-→→→→---==⋅====，因此，，三、 导数及应用：（每题7分，共21分） 1.21211(1)11111..242x y x x x y x y x π='=⋅=-+-'===+-则：故，在处的切线方程为2.342242444cos 42(1)2.(2).2cos 2cos cos dy dy dy t t d y t dt dt t dx dx dx t t dx t t t dt dt'======3.(2012)2(2012)12(2011)22(2010)2012201220122201120102(2012)0(2)()(2)()(2)()(1)(2)(1)2012(22)(1)20122011(2)2012(22)20122011.=20122x x x x x x xxxx y x x e C x x e C x x e x x e x e e x x e x ee y ---------='''=-+-+-=--+--+-⨯=---+⨯⨯因此，013=4050156.四、 计算下列积分：（每题7分，共28分） 1.ln(1)x x dx +⎰222222111ln(1)ln(1)ln(1)2221111ln(1)1221111ln(1)(1)ln(1).242x x x dx x dx x x dx x x x x dxx x x x x C +=+=+-+⎛⎫=+--+ ⎪+⎝⎭=+---++⎰⎰⎰⎰2.66333(2(2(3)63(27.2x x x u u π--+=+-==+==⎰⎰⎰⎰令3.22222tan 1422220002124220002(1).1(1)2=2sin 1(1)3132.4228(2)sin 2sin cos .3sin tan 2sin cos 2sin .8u t u uu x dx du u u u u u du tdtu u x u dx u udu u u u udu udu ππππππ=+∞===++⋅⋅=++=⋅⋅⋅====⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，则：，则：令：，则：则：4. 211()().xt f x e dt f x dx -=⎰⎰设，计算：()22111111001()()().22xxe ef x dx xf x xf x dx xedx ----'=-=-==⎰⎰⎰五、(1)(2)2.D D x =计算：的面积；绕直线旋转一周所得立体的体积 （9分）322221111222001(1)(21).211(2)21.23144(3)212(22(1).335444(2)(1).335l y x A D S V x x dx V x dy y dy ππππππππππ==⋅⋅-=⎫=⋅⋅--=--=⎪⎭=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰切线的方程为，切点，的面积或：证明题：（每题6分，共18分）1.21121111311(1)()()0.().41(41)11111(2).1()().22222(3){}.2()().3{}{}.(4n n n n n n n n n n n n n x f x f x f x x x x x x x f x f x x x x x x f x f x x x x +-+--'==>-->=>>=>==<<=<=【方法一】：令，则：则：单调递增下面证明：显然；假设，则：下面证明：单调递减，假设，则：由此可得，单调递减且有下界，因此，数列收敛11121113111)lim .lim .41221(1){}.21113112110.2224122(41)11.{}.222(2){}.3n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x n N x x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞+++-+-==⇒==-∀∈>--•=>>-=-=>-->=<<设，则：故，【方法二】：数列有下界：对，；假设，则：因此，即：数列有下界数列单调递减，假设，则：111131310.{}.4141(41)(41)(3)(1)(2){}{}.3111lim .lim .4122n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----→+∞→+∞----=-=>-----==⇒==-因此，单调递减由、可得，数列单调递减有下界，因此，收敛令：，则：故，().()[)()f x I f x a g x +∞叙述函数在区间上一致连续的定义设在，上一致连续，[)lim[()()]0.()[).x a f x g x g x a →+∞+∞-=+∞在，上连续，且证明：在，上一致连续(1)00()()().li (2)()[)00()().300.m [()()]0()(300)x x x I x x f f x a x f x f x I f x g x f x g x x x f x f x G x G x x εδδεεδδεεδεε→+∞'''+∞'''''''''∀>∃>∈-<-<∀>∃>-<'''-<∀>∃->><'''=∀>->∃由于在，内一致连续，则对，，当时，由于对，，当时，则：对，对，，当、，且时，，当，则称在区间上一致连续，、()()()[1)()()()()()()()()()()()()()().()[1).()[1]()[).G x x g x g x g x f x f x f x f x g x g x f x f x f x f x g x g x G g x a G g x a δε'''∈++∞-<''''''''''''-=-+-+-'''''''''≤-+-+-<++∞++∞，，且时，因此，在，内一致连续而，在，上一致连续，因此，在，内一致连续2. 2240()[02](02)()2(2).x f x e f x dx f -=⎰设在，上连续，在，内可导，且 (02)()2().f f ξξξξ'∃∈=证明：，，使得()2222242(1)()()()()2().(2)(02)2()2(2)()(2).()(2).(3)()[2](2)(2)(02)()0.()2().x xF x e f x F x e f x xf x e f f e f e f F F F x Rolle F f f ηηηηηηηηξηξξξξ-----''==-∃∈=⇒==∃∈⊂''==令：，则：根据积分中值定理，，使得，即：又在，上连续，在，内可导，根据定理，，，使得即：友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。
浙江大学2000年研究生数学分析试题参考答案
浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限1(1)lim xx e x x→-+解：原式=12(1)ln(1)2(1)lim(1)xx x xe x x x x ++-+→+=(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-==== 求解：)(21211-----=-n n n n x x x x ，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以下求解就按照}{1--n n x x 这个数列来进行即可。
二．（共10分）1．设K ab a f b f K f b a =--=+-→→)()(lim,)0(0试证明‘证： K ab a f f f b f ab a f b f b a b a ==--+-=--+-+-→→→→ )()0()0()(lim )()(lim2．设()f x 在[,]a b 上连续，()f x ''在(,)a b 内存在，试证明存在(,)a b ξ∈，使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=+-+分析：考虑函数)()()(2x f x f x F b a -+=+即可三．（共15分）1．求数项级数∑∞=12n nn的和S分析：S=2S-S2．试证明∑∞==11)(n xnx s 在),1(∞上的连续函数四．（共15分） 1．设方程组⎩⎨⎧=+=+++0sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，试求yvx v du ∂∂∂∂,,分析：用隐函数组的方法求解； 2．设2)()d yx y F y x x=，求)1(F '分析：dt dx dx y F tty t y yxyx yxyx ⎰⎰⎰-=+=1cos cos 0cos 0cos 232222)(五．（共30分） 1．计算定积分2sin cos 1cos x x I dx xπ=+⎰分析：令t=cosx ，I=0。
2019年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
考研数学分析真题集目录 南开大学 北京大学 清华大学浙江大学华中科技大学一、,,0N ∃>∀ε当N n >时，ε<>∀m a N m ,证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k n a ，a a kn k =∞→lim ，所以，ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n二 、,,0N ∃>∀ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>∃>∀δε当1'''δ<-x x 时，ε<-)''()'(x f x f对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x xε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>∃>∀δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。
三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('<x f 所以)(x f 递减，又2))((''21))((')()(a x f a x a f a f x f -+-+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以)(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。
数学分析与高等代数考研真题详解--浙江大学卷
校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审
稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无
闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！
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博士家园 二零一零年二月
没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照标准，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的
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请给出反例。 二、（共 30％）
6
博士家园系列内部资料
（A）（5％）设
f (x) =
x x
+ +
2 1
，数列
{xn
}
由如下递推公式定义：
x0
= 1 ， xn+1
=
f (xn ) ，
(n = 0 ，1， 2 ，
)
，求证：
lim
n→∞
x
n
=
2。
（B）（5％）求 lxi→m∞⎜⎜⎝⎛
cos
1 x
⎟⎟⎠⎞ x2
∴(αT Aβ )2 = (α TCTCβ )2 = (Cα ,Cβ )2 ≤ (Cα ,Cα )(Cβ ,Cβ ) = (αTCTCα )(β TCTCβ ) = (α T Aα )(β T Aβ )
最新浙江大学数学分析试题及解答汇总
2005年浙江大学数学分析试题及解答浙江大学2005年数学分析解答一 （10分）计算定积分20sin x e xdx π⎰解：2sin xe xdx π⎰=()011cos 22x e x dx π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰ ()01x e dx e ππ=-⎰ 由分部积分法0cos 2xe xdx π=⎰()1e π-+20sin 2x e xdx π=⎰()1e π-04cos 2x e xdx π-⎰所以0cos 2x e xdx π=⎰()115e π-，所以20sin x e xdx π⎰=()215e π- 解毕 二 （10分）设()f x 在[0,1]上Riemann可积，且1()2f x dx =⎰，计算 11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑解：因为()f x 在[0,1]上Riemann 可积，所以0,()M f x M ∃>≤，所以1()0if n n→ 因为0ln(1)lim 1x x x →+=，所以114ln[1()]n i i f n n =+∑与114()ni i f n n =∑等价且极限值相等由Riemann 积分的定义：11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑=410()f x dx =⎰解毕三 （15分）设,,a b c 为实数，且1,0b c >-≠试确定,,a b c 的值，使得30sin limln(1)x x b ax xc t dtt →-=+⎰解：若0b ≠，显然30sin lim0ln(1)x x b ax xt dtt →-=+⎰，这与0c ≠矛盾，所以0b =计算300sin limln(1)x x ax xt dtt →-+⎰，利用洛必达法则：33000sin cos lim lim ln(1)ln(1)x x x ax x a xt x dt t x→→--=++⎰，易有30ln(1)lim0x x x→+=，若1a ≠， 33000sin cos limlim ln(1)ln(1)x x x ax x a x t x dt t x →→--==∞++⎰，矛盾，所以1a =.计算301cos lim ln(1)x xx x→-+，继续利用洛必达法则：33001cos cos limlim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x →→--=++24003321cos sin 2sin cos lim lim 3631(1)x x x x x x x x x x x x x →→-++==-++332243343cos sin 1lim(612)(1)6(63)(1)2(1)x x x x c x x x x x x x →-===-+--++ 解毕 四 （15分）设()f x 在[,]a b 上连续，且对每一个[],x a b ∈，存在[],y a b ∈，使得1()()2f y f x ≤，证明：在存在[,],a b ξ∈使得()0f ξ=证明:反证法,由于()f x 在[,]a b 上连续,由闭区间上连续函数的性质,不妨假设0()m f x M <<<对于任选的一点1x ,存在2,x 使得211()()2f x f x ≤, 存在3,x 使得321211()()()22f x f x f x ≤≤所以1111[,],()()0,()22n n n n Mx a b f x f x n --∈≤≤→→∞即lim ()0n n f x →∞=,但对所有的x, 0()m f x M <<<,矛盾.所以[,]a b 存在零点 证毕五 （20分）（1）设()f x 在[,)a +∞上连续，且()af x dx +∞⎰收敛。
完整word版,浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案,推荐文档
浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期《 数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ）课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！考生姓名： 学号： 所属院系： _一、 计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 )1. 2()(03)sin lim.x y xy x→，，求： 2222()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=⋅=，，，，2. (122)().f x y z gradf=，，设，，23(122)(122)(122)(122)11..2722.27271{122}.27f x x fr x r r r x ffyz gradf∂∂==-⋅=-=-∂∂∂∂=-=-∂∂=-，，，，，，，，令，则：则：同样，，因此，，，3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程.222()2320246.321(321){686}.343x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---===r 令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为：4. 2221.(2).4Cx C y L x y ds +=+⎰Ñ设曲线：的长度为计算： 222(2)(44)44.=0.CCCCx y ds x y xy ds ds L xyds +=++==⎰⎰⎰⎰蜒蜒其中：5.02z z z ∑===设为曲面和之间部分的下侧，计算： (1)(2).dS dxdy ∑∑⎰⎰⎰⎰；22224.4.x y x y x y z z z dS dxdy dxdy π∑+≤∑+≤======-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于因此，二、 计算题：（每题8分，共56分）1. 22()2()()()2x f x f x x f x ππππ=--≤≤设是周期为的函数，且，求：的211.n Fourier n+∞=∑级数，并计算的和22222020022112222211(1)()20.2522(1)()()cos (12).2325(1)()2cos .()(*)65(1)(1)(2)(*)0(0)2.61n n n nn n n n n f x b x x a dx a nxdx n nf x nx x R nx f n n ππππππππππππ∞=-+∞∞===-=-=-=-==-=-+∈--==-=-+⇒=⎰⎰∑∑∑L 由于是周期为的偶函数，则：，，，因此，式中，令，则：12222221111122122222211.21111(1)2.2.2(2)2(2)121.6511(*)2..266n n n n n n n n n n n n n n nx n n σσπσππππππ-+∞+∞+∞+∞∞=====+∞=+∞+∞==-==⇒=-====-=-+⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑令：，则：因此，【或】：在式中令，则：2. 211(2)1.44n n nn n x n n +∞+∞==-⋅⋅∑∑计算级数的收敛域及和函数，并计算的值 222112221111211()(2)4(2)(1)lim lim 10 4.()(1)4(2)4(2)12104.44(04).(2)(2)()()4n n n n n n n nn n n nn n n n n n n u x x n x x u x n x x x n n n n x t t S t S t t n +++→∞→∞+∞+∞+∞+∞====∞-=-⋅-=⋅=<<<+⋅--====⋅⋅-'===∑∑∑∑∑，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，，则：1222111.(11).1(2)(2)()ln(1).ln 1ln 4ln(4).440 4.14(3)3ln .43n n nn nn t t x x S t t x x n x x n ∞=+∞=+∞==-≤<-⎛⎫--=--=--=-- ⎪⋅⎝⎭<<==⋅∑∑∑其中：故，所以，其中：上式中令，可得，2111112211(2)lim lim 141(1)11.11.(2)(2)[11).110444.(04)n nn n n n n n n n n n nn n n a x t n t t n a n n t t n nt x x x n n ∞∞+→∞→∞==∞∞==∞+∞==-===+-=-=----≤<<<⋅∑∑∑∑∑∑【或】：令，对于级数而言，，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为，因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为，..下面与上同3. 222()2.y z zz f x y f x x x y∂∂=+∂∂∂设，，且具有阶连续偏导，计算：，12221112221222221112222232(1)2.111(2)222214(2).z y xf f x x z y x yf f f yf f x y x x x x y y xyf f f f x x x ∂=-∂∂⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=+---4. 2222(){()|}.Dx y dxdy D x y x y x y +=+≤+⎰⎰计算，其中，222222002212221cos 111()2()()..1222()sin 213cos sin ).281()1121.()()1()222u v x r x y D x y r r y r I d r r r rdr x u x y I u v dudv u v y v u v πθθθθθθπ+≤⎧=+⎪∂⎪-+-≤=⎨∂⎪=+⎪⎩=+++=⎧=+⎪∂⎪⎛⎫==+++⎨ ⎪∂⎝⎭⎪=+⎪⎩=++⎰⎰⎰，方法一、区域：令：，则：，，方法二、令：，则：，2222001233cos sin 344444344444204113).2281(cos sin )41313)]sin 2sin 2.444228u v uu v dudv d r rdr I d r dr d d udu udu πππθθπππθππππθπθθθθππθθπ+≤+--+=-⎛⎫++=+⋅= ⎪⎝⎭==+⋅=+===⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、5. 222{()|1}.ze dxdydz x y z x y z ΩΩ=++≤⎰⎰⎰计算三重积分：，其中，，()2222221(0)2110cos 0cos 2011012.241(sin )4sin cos 2422.22zzx y z z z u xxu z z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xedx ue du I e dzdxdy e ππθπππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为奇函数，因此，方法一、令：方法二、()120211cos 2cos 222011cos 20(1)2.2sin 4sin 44(1)2.z dz I d d ed de d ed e d πππρϕρϕπρϕρπθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三、6. 2222()M x y z a ξηζ++=设点，，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M ξηζ，，使曲面积分：⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz I 为最小，并求此最小值.22222226322262222222(1)()(cos cos cos )11.2cos 2(2).327SSS Sx y z a M x y z a xdydz ydzdx zdxdy x y z dSx y z a a a dS a dS a a a a a a ξηζξηζαβγξηζξηγξηζξηζξηζξηζξηζ++=++=++=++⎛⎫=++==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫++++=≤=⇒ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰球面在点，，处的切平面方程为：由于，则：333..2.Sxdydz ydzdx zdxdy x y z M ≤++≥===⎰⎰因此，等号在故，点为62222(1).30..2(2)xy yz zxxy yz zxxy yz zx S S S S S S S S S S S Guass I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdya a a a dV x y z a L ξηζξηζξηζ+++ΩΩ=++-++⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò++【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、、构造222222223min ()().20(1)20(2)20(3)0(4)02.(4)x y z agrange f x y z xyz x y z a f yz x f zx y f xy z f x y z a yz zx xy x y z x y z x y z x y z xyz I λλλλλλλ=+++-=+=⎧⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪=++-=⎩>===-======函数：，，，令：由于、、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当因此，3.=7. 22(0)cos (0)42Cxdy ydx xC A y B x y ππ-=-+⎰计算，其中曲线是从点，沿到点，，再从(2).B D ππ-点沿直线到点，2222222222222222222222224.44(4)4(0).444410arc 42CC DA L DA LLy x P y x QP Q x y x y y x y x DA L x y xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y dy xdy ydx y πδδδπππδπ++--∂-∂•====++∂+∂•+=>----=--++++=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ方法一、，，则：连接，作：，足够小，方向为顺时针则：222224221122332222222221tan2217.88(0)(2)(2)(2).444(4)x y ydxdyA A A A A A A D L y x P y x QP Q C Lx y x y y x y x P Q πδπδππδπδπππππππ-+≤+=-+⋅=----∂-∂====++∂+∂⎰⎰方法二、从点，沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，，则：；且在由曲线、所围区域内、都1122332222222222222222202442244444422arctan arctan arctan arctan 2242248C L AA A A A A AD xdy ydx xdy ydx x y x y dy dx dy dx y x y x y x y x πππππππππππππππππππππππππππππππππππ--------==+++++--=+++++++--=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有一阶连续连导数，因此，7.4448ππππ+++=三、 证明题：（每题9分，共18分）1. 210cos ()()1n n n nxu x D f x n +∞∞===+∑∑叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明： (02).π在，内连续，且有连续导数22220022022200cos 11cos (1)(02)1111cos (02)(02)1cos ()(02)1cos sin (2)(){}111n n n n n nx nxx n n n n nxn N n nxf x n nx n nx ng x n nn ππππ∞∞==+∞=∞∞==∀∈≤++++∀∈+=+'⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑由于对，，有，而收敛，故级数在，内一致收敛.另外，对，函数在，内连续，因此，在，内也连续.记，由于12200221cos()cos 1220()[2]sin .sin 2sin22sin sin [2](02)11.cos sin (02)()(0211nk n n xn x kx x n nx n nxDirichlet n n nx n nx f x n n δδπδπδδδπδπππ=∞∞==+-∀><∀∈-=≤-++'⎛⎫=- ⎪++⎝⎭∑∑∑单调趋向于零，且对，及，，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在，)内具有连续的导数.2. 0()()y f x δδδ>-=证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数， ()220(0)0sin ()2()cos 1..x dyf x f x f x x dx==+++=满足，且并计算的值22222222222()sin()2cos 1()(1)()(2)(00)0(3)2cos()2(4)(00)20(5)2cos()sin 0()()(0)0sin (y y x F x y x y y x F x y R F F y x y R F F x x y x R y f x f x f δδδ•=+++-==++=>=+->-==+令：，，*则：，在上连续；，；在上连续；，；在上连续.根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且()222222220)2()cos 1.sin()2cos 100.cos()(22)2sin 0.sin 2cos().0.22cos()x x f x x x y y x x x y x y x yy y x x x x y dy y y x y dx=++=•+++===''+++-=-+'==++在两边同时对求导，且当时，则：因此，故，。
浙江大学1999年——2008年数学分析
1 在 (1, ∞ ) 上连续可微． x n =1 n
x + y + z =R
2 2
∫∫
dS
2
x 2 + y 2 + ( z h) 2
，其中 h ≠ R ．
（2）设 a, b, c 为三个实数，证明：方程 e x = ax 2 + bx + c 的根不超过三个． 四、 （20 分）设 f n ( x) = cos x + cos 2 x +
四、 （20 分）设 f ( x ) 连续， ( x) = ∫ f ( xt )dt ，且 lim
0
x →0
1
论 '( x ) 在 x = 0 处的连续性． 五、 （10 分）定义 Pn ( x ) 为 Pn ( x) = 1 d n ( x 2 1) n ， n = 1, 2, 2n n ! dx n P0 ( x) = 1 ．
D
四、设 f (x ) 在 x > 0 时连续， f (1) = 3 ，并且 ∫
( x > 0, y > 0) ，试求函数 f (x ) ．
xy
1
f (t ) dt = x ∫ f (t ) dt + y ∫ f (t ) dt ，
1 1
y
x
五、设函数 f (t )在(a, b) 连续，若有数列 x n → a, y n → a ( x n , y n ∈ (a, b)) 使 lim f ( xn ) = A 及
2 2
五、 （15 分）设二元函数 f ( x, y ) 在正方形区域 [0,1] × [0,1] 上连续．记 J = [0,1] ． （1）试比较 inf sup f ( x, y ) 与 sup inf f ( x, y ) 的大小并证明之；
浙江师范大学数学分析考研试题答案
浙江师范大学数学分析考研试题答案一．计算题1.0x 2dt sin2xx e -x lim2x0t→⎰=0x dt x2te -x lim3x 02→⎰=0x 2x 6e -1limx 2→=0x x122xe -lim 2x→=-612.2n ）（！≥nn ，当n ≥10时，有∆=≤≤n n3n 30n ）（！np →0，其中p=103n 3≤<1,所以0n 3nlim =+∞→！x3.y y x x 1x y y xx y x x y x x x z ln ln x x xx x x x x x x ++=∂∂∂∂=∂∂=∂∂+∙）（）（）（）（ =）（y x 1x y ln ln x x ++ ）（x x y x yy z ∂∂=∂∂1-x 1x 1-x x y x xy x +== dt t t t x d x x x dx x x osx I tx ⎰=⎰⎰+-+-=+==∙1cos cos 1)1(cos cos cos 1sin c .423cos 2223dt ⎰⎰++=1t t-dt 1t t 22321I I -=∆ 1221))1ln((21)111(211112112122c u u du u du u u dt t t I u t ++-=+-=+-++=⎰⎰=⎰=122))cos 1ln(cos 21c x x ++-=（ ()222222)cos 1ln(211ln 21112111212c x c v dv v dt t I vt ++=++=++=⎰=⎰=所以为任意常数其中c c )cos 1ln(cos 212221++-=-=x x I I I 5.π()⎰++=Lydy x dx y y I cos sin()()()()[]d xx x x x x x x x ⎰--+-+-=πππππ02222cos sin ()()()321020222cos )sin(I I I dxx x x x dx x x dx x x ++=--+-+-=⎰⎰⎰πππππππ()()()()333022322021613121)(2cos sin sin 0ππππππππππππ=-=-==∴-=----=-=⎰⎰⎰dx x x I I I dx x x x x x x x dx x x I二.简答题1.（1）M x f X x X M >>>∃>∀)(,0,0 时，有当 （2）()00*)(,,*,0,0εδδε≥-+∈∃>∀>∃A x f a a x 但2.（1）偏导数存在，则函数不一定可微（2）f(x,y)在定义域的一点()00,y x 处可微，则f （x,y ）的偏导数在该点关于x,y 的偏导数存在。
浙江大学1数学分析考研试题解答
浙江大学 数学分析考研试题解答一、（1）证明 l i m c o s c o s c o s 222n n tt t →∞⋅⋅⋅ (cos cos cos )sin 2222limsin 2n nn nt t t t t→∞⋅⋅⋅= sin lim2sin2n n nt t →∞=sin sin limsin 22n n nt tt tt t-→∞-==； （2）利用1cos42π=，及111cos cos 2222n n ππ+=+， 2312lim coscoscos222n n ππππ+→∞=⋅⋅⋅，即得2111111111222222222π=+++。
二、解 101()()()xg x f xt dt f u du x==⎰⎰，（0x ≠）；显然10(0)(0)0g f dt ==⎰ 102000()1lim ()lim xx x f u du f xt dt x x →→=⎰⎰ 00()1()(0)15limlim (0)22022x x f x f x f f x x →→-'====- 。
三、解 令sin .n a nx =，111(1),2n b n n=+++ 由于1n n b b +-=111111(1)(1)2121n n n n +++-+++++1111111(1)(1)(1)12121n n n n n =++++-++++++1111111(1)(1)012(1)121n n n n n n >++++-+++>++++， 所以{}n b 单调递减. 又因为1lim0,n n →∞=所以111lim lim (1)0.2n n n b n n→∞→∞=+++= 而 1121|||sin |,|sin |nnk xk k a kx ===≤∑∑ (2)x k π≠ 即 1k k a ∞=∑的部分和有界，于是,由Dirichlet 判别法可知级数收敛； 当 2x k π=时，显然级数收敛。
2019年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
考研数学分析真题集目录 南开大学 北京大学 清华大学浙江大学华中科技大学一、,,0N ∃>∀ε当N n >时，ε<>∀m a N m ,证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k n a ，a a kn k =∞→lim ，所以，ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n二 、,,0N ∃>∀ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>∃>∀δε当1'''δ<-x x 时，ε<-)''()'(x f x f对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x xε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>∃>∀δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。
三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('<x f 所以)(x f 递减，又2))((''21))((')()(a x f a x a f a f x f -+-+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以)(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。
浙江大学99-06年研究生数学分析试题-12页word资料
浙江大学2019年研究生数学分析试题一．求极限)(ln )1(∞→-n nn n Limn 二．在xy 平面上求一点，使它到三条直线0,0==y x 及0162=-+y x 的距离平方和最小三．计算二重积分⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由曲线 y x y x +=+22 所围城的区域四．设)(x f 在0>x 时连续，3)1(=f ，并且⎰⎰⎰+=xy xy dt t f y dt t f x dt t f 111)()()(，)0,0(>>y x ，试求函数)(x f五．设函数),()(b a t f 在连续，若有数列)),(,(,b a y x a y a x n n n n ∈→→使)()()()(∞→=∞→=n B y Limf n A x Limf n n 及，则对A ，B 之间的任意数μ，可找到数列a x n →，使得μ=)(n z Limf六．设∑===<≤nk k n k a s n k a a 1,....,2,1,0令，证明不等式n nnk kk s n ns a a -≥-∑=11 七．设函数f 在nab v a f f f b a n n vn -=+=>δδ),(,0],[记上连续，且，试证明：)}()(ln 1exp{∞→-=⎰n dx x f a b ba并利用上述等式证明下式r dx r x r ln 2)cos 21ln(21202=+-⎰ππ )1(>r 八．从调和级数 +++++n131211中去掉所有在分母的十进表示中含数码9的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限10(1)limxx e x x →-+(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-====求二．（共10分）1．设Kab a f b f K f b a =--=+-→→)()(lim ,)0(00试证明‘2．设()f x 在[,]a b 上连续，()f x ''在(,)a b 内存在，试证明存在(,)a b ξ∈，使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=+-+三．（共15分）1．求数项级数∑∞=12n nn的和S2．试证明∑∞==11)(n xn x s 在),1(∞上的连续函数四．（共15分）1．设方程组⎩⎨⎧=+=+++0sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，试求y vx v du ∂∂∂∂,, 2．设2)()d yx y F y x x =，求)1(F '五．（共30分）1．计算定积分2sin cos 1cos x xI dx x π=+⎰2．求以曲面22y xez --=为顶，以平面0=z 为底，以柱面122=+y x 为侧面的曲顶柱体的体积V 3．设∑+表示半球面)1(12222≤+--=y x y x z 的上侧，求第二类曲面积分⎰⎰∑++-++=+dxdy y z x dzdx z y x dydz z y x J 222)2()2()(六．（共20分）1．将函数x x f =)( )(ππ≤≤-x 展开成Fourier 级数2．求级数∑∞=121n n 的和 3．计算广义积分⎰-10)1ln(dx xx浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限10(1)limxx e x x →-+解：原式=12(1)ln(1)2(1)lim(1)xx x xe x x x x ++-+→+=(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-====求解：)(21211-----=-n n n n x x x x ，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以下求解就按照}{1--n n x x 这个数列来进行即可。
浙大数学分析
浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限1(1)limxx e x x→-+(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-==== 求二．（共10分）1．设K ab a f b f K f b a =--=+-→→)()(lim,)0(0试证明‘2．设()f x 在[,]a b 上连续，()f x ''在(,)a b 内存在，试证明存在(,)a b ξ∈，使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=+-+三．（共15分）1．求数项级数∑∞=12n nn 的和S2．试证明∑∞==11)(n xnx s 在),1(∞上的连续函数四．（共15分） 1．设方程组⎩⎨⎧=+=+++0sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，试求yvx v du ∂∂∂∂,,2．设2)()d yx y F y x x=，求)1(F '五．（共30分） 1．计算定积分2sin cos 1cos x x I dx xπ=+⎰2．求以曲面22yx e z --=为顶，以平面0=z 为底，以柱面122=+y x 为侧面的曲顶柱体的体积V3．设∑+表示半球面)1(12222≤+--=y x y x z 的上侧，求第二类曲面积分⎰⎰∑++-++=+dxdyy z x dzdx z y x dydz z y x J 222)2()2()(六．（共20分）1．将函数x x f =)( )(ππ≤≤-x 展开成Fourier 级数2．求级数∑∞=121n n的和 3．计算广义积分⎰-1)1ln(dx xx浙 江 大 学二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目：数学分析一、（共30％）（A ）（10％）用“δε-语言”证明03)1)(2(lim1=---→x x x x ；（B ）（10％）给出一个一元函数f ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之；（C ）（10％）设),(y x f 为二元函数，在),(00y x 附近有定义，试讨论“),(y x f 在),(00y x 处可微”与“),(y x f 在),(00y x 附近关于x 、y 的偏导数都存在”之间的关系，必要时，请给出反例。
2004年浙江大学427数学分析考研真题【圣才出品】
2004年浙江大学427数学分析考研真题浙江大学2004年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析（427）考生注意：1．本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟；2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、（15分) 设函数()f x 在区间X 上有定义．试证明：()f x 在X 上一致连续的充要条件是：对区间X 上任意的两数列{}n x '与{}n x ''，当lim()0n n n x x →∞'''-=时，有()lim ()()0n n n f x f x →∞'''-=．二、（15分) 设函数()f x 在区间()1,1-内具有直到三阶的连续导数，且(0)0f =，0()lim 0x f x x →'=．试证明：21()n nf n ∞=∑绝对收敛．三、（15分) 设函数()f x 在区间[],a b 上可微，且()f x 在a 点的右导数()0f a +'<，在b 点的左导数()0f b -'<，()()f a f b c ==．证明：()f x '在(),a b 内至少有两个零点． 四、（15分) 设函数()f x 在区间[],a b 上Riemann 可积，且()0b a f x dx <⎰．试证明：存在闭区间 [][],,a b αβ⊂使得当[],x αβ∈时，()0f x <．五、（15分) 证明：若一开区间{}I α覆盖了闭区间[]0,1，则必存在一正数0δ>，使得[]0,1中任何两点,x x '''满足x x δ'''-<时，必属于某个开区间{}I I βα∈．六、（15分) 用球面坐标sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r θϕθϕθ===变换方程 2222220u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂．七、（10分) 计算220sin 1cos x x dx x π+⎰．八、（15分) 求222u x y z =++在条件2222221x y z a b c ++=下的最大最小值，其中0a b c >>>．九、（15分) 20(0)xy e dx x +∞-=>计算积分 2001sin()2x dx +∞+∞=⎰⎰ 的值．（说明计算过程中每一步的合理性）十、（20分) ()i 设Ω为3中光滑区域，∂Ω为其边界，,u v 在Ω+∂Ω上有连续二阶导数．证明：()()v u u v v u dxdydz uv dS n n Ω∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰．其中n ∂∂为沿边界∂Ω外法线方向的导数,dS 为边界上的面积元,222222x y z ∂∂∂∆=++∂∂∂． ()ii 3P ∈的坐标为(,,)ξηζ，函数()12222(,,)()()()r x y z x y z ξηζ=-+-+-． 证明：10r ∆=在{}3\P 上成立．()iii 设(,)B P δ是以P 为中心δ为半径的球，(,)B P δ∂为其边界．若在(,)B P δ上u 满足0u ∆=，则2(,)1()4B P u P udS δπδ∂=⎰⎰．。
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2004年浙江大学数学分析试题答案-考研试
卷
2004年浙江大学数学分析试题答案.
1.)(x f 必要性：在X 上一致收敛：,0,0>∃>∀δε当δ<-'''x x 时，
ε<-)''()'(x f x f ，
由0)(lim '
'=-∞
→m n n x x ，对上述,,0N ∃>δ当N n >时，δ<-''m n x x ，有ε<-)'()'(m n x f x f ，
所以0)'()'(lim =-∞
→m n n x f x f ，
充分性：反证：假设)(x f 在X 上不一致收敛；'',',0,00x x ∃>∀>∃δε尽管
δ<-'''x x ，但0)''()'(ε≥-x f x f ，不妨取,',',1m n x x n ∃=δ尽管n
x x m n 1
''<-，但
0)'()'(ε≥-m n x f x f
上述},'{},'{m n x x 满足0)(lim '
'=-∞
→m n n x x ，但是0)'()'(ε≥-m n x f x f ，与
0)'()'(lim =-∞
→m n n x f x f 矛盾。
2. 由0)
('lim
0=→x
x f x ，得0)0('',0)0('==f f ，
)()0('''61)0(''21)0(')0()(332x x f x f x f f x f ο++++=，)1
(161)1(2
2n n n nf ο+=，
级数∑
∞
=12
1
n n
绝对收敛，所以原级数绝对收敛。
3.由0)('<+a f ，存在c a f x f a x =<>)()(,11，由0)('<-b f ，存在
c b f x f b x =><)()(,22，由连续函数的介值定理：存在201x x x <<，c x f =)(0，在
由罗尔定理，知)('x f 在),(b a 至少存在两个零点。
4.反证：假设对任意的区间],[],[b a ⊂βα，有0)(≥x f ，把这些区间叠加覆盖区间[a,b]则
⎰
≥b
a
dx x f 0)(，与题设矛盾。
5.由有限覆盖定理：存在N ,,2,1 ，有N I I I ,,21覆盖[0，1]，记这N 个区间的长度的最小者为δ=0
j I ，当δ<-'''x x 时，}{'','αβI I x x ∈∈
6.参考数学物理方程的有关教材的推导
7. 21cos 1cos cos 1sin cos 1sin )(2cos 1sin 2cos 1sin )(cos 1sin 2
1120200
22022202πππππππππππππ
-=+=+=+-=+--=+-=++-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--t dt x x d dx x x dx x x x dx x x
x dx x x x dx x
x x 8.)1(22
22222
2
2
-+++++=c
z b y a x z y x L λ，
,022=+=∂∂x a x x L λ,
022=+=∂∂y b y y L λ
,022=+=∂∂z c z z L λ=∂∂λL 01222222=-++c
z b y a x ， 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====200a z y a x λ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====200b z b y x λ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-====20
c
c
z y x λ，所以最大值为2a ，最小值为2c 9. ⎰
⎰⎰
⎰
⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
∞
-∞
+=
=
=0
4
11
2
sin 2
sin 2sin 2
2
dy y dx xe dy dydx e x
dx x
x xy xy π
π
π
， ⎰⎰
∞∞
+=+04
20
4111dy y y dy y =⎰⎰⎰∞
∞
∞+--=++=++020
22
20422
)1()1
(21111211121y y y y d dy y
y y dy y y =2π，证完。
10.（1）
⎰⎰∂
=∂∂-∂∂dS n
u
v n v u
)(⎰⎰∂
∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂dxdy z
u
v z v u dzdx y u v y v u dydz x u v x v u
)()()(= dxdydz u v v u V
)(⎰⎰⎰∆-∆
（2）
r x r r x )(1)1(2
ξ--=∂∂，r y r r y )(1)1(2η--=∂∂，r z r
r z )(1)1(2ζ--=∂∂， 62322)(3)1(r x r r r x ξ---=∂∂，6
2322)(3)1(r
y r r r y η---=∂∂，62322)(3)1(r z r r r z ζ---=∂∂ 0331633=--=∆r
r r r
（3）主要用到第一型曲面积分的换元公式，高斯公式
,sin )cos ,sin sin ,cos sin ()(0
200020
ϕϕδϕδθϕδθϕδθδπ
π
⎰⎰⎰⎰+++==∂
d z y x u d udS I =
=∂∂
I δ,]sin 2sin )cos sin sin cos sin [(0220ϕϕδϕδϕθϕθϕθππ⎰⎰+++d u u u u d z y x = dS u z z u y y u x x u z y x )2)()()((1
000+-+-+-⎰⎰∂
δ
=
+
∆=+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂
dxdydz u dS u
dS n u V
δ2)(
dS u
⎰⎰∂
δ
2=dS u
⎰⎰
∂
δ
2=
)(2
δδ
I ,
=∂∂I δ)(2
δδI ,即)(2)('δδδI I =，所以0)')((2≡δδI ，所以 ==+→202)(lim )(δδδ
δδI I π4)(P u
则24)()(πδδP u I =。