矩阵论复习大纲

第一章
1 线性空间概念（封闭性）
2线性空间的基与维数 (教材P3例6) 3坐标概念、及求解（教材P3例8） 4 坐标在不同基下的过渡矩阵及坐标变换
5 子空间、列空间、和空间概念，维数定理以及求法（例1）；直和， 直和补空间
6 内积空间概念，标准正交基及标准正交化过程
7 线性变换概念、线性变换的矩阵（概念：教材P22定义1.13，性 质：教材P22定理1.13），计算、过渡矩阵以及不同基下的矩阵（例2, 3）
8 不变子空间，正交变换，酉交变化
例1 设112{,}W L αα=，212{,}W L ββ=，其中T )0121(1=α，
T )1111(1-=α，T )1012(1-=β，T )7311(1-=β，求12W W +与
12W W ⋂的维数，并求出12W W ⋂
解 [][][]2121212121,,,,ββααββααL L L W W =++=+
()⇒⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==71
1022-203-5-30
121
-17110
30111112
121
1,,,2121行变换
ββααA B =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000
310040101-0
0100
00
31007110121
-1
得r(A)=r(B)=3,dim(W 1+W 2)=3. 又因为dim W 1=2, dim W 2=2,由维数定理 dim (W 1 W 2)= dim W 1+ dim W 2-dim （W 1+W 2）=4-3=1 设,,4433221121ββααααx x x x W W +=+=∈ 化为齐次线性方程组0),,,(142121=--⨯X ββαα.即0711*******
121211=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡------X
解得
()(){}.
4,3,2,5,4,3,2,54,,3,4,21214321T
T
k W W k k k k x k x k x k x -==-=+-==-==-=αααα 即
例2 设3R 上线性变换T 为
,)2())((3132321213T T x x x x x x x x x x T +-++=
求T 在基
T
T T
)
111(,)110(,)101(321-===ααα
下的矩阵B.
解 在自然基321,,e e e 下，线性变换T 的坐标关系式为：
,
10111012123213132321⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++=x x x x x x x x x x Y 根据由变换的坐标式 Y=AX 得T 在自然基下矩阵
,
101110121⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-
又从C e e e )()(321321=ααα 得过渡矩阵
,111101112,1111101011⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-C C
所以
.4212204511
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡--==-AC C B
3.设3R 中，线性变换T 为：.3,2,1,==i T i i βα其
,)1,1,1(,)1,1,2(,)1,0,1(321T T T ==-=ααα与
.)1,2,1(,)0,1,1(,)1,1,0(321T T T =-==βββ求
（1）T 在基321,,ααα下的矩阵。

（2）T 在标准基T
T T e e e )
1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321===下的矩阵。

解
（1）由,),,(),,(321321A T T T αααααα=可得
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-==--101211110111110121),,(),,(1
3211
321ααααααT T T A
.
442231110101211110131121110⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----
(2) 若把已知向量321321,,,,,βββααα看做在标准基
321,,e e e 下的坐标，则T 在321,,e e e 下的矩阵A 可
由坐标表示式求得
⎪⎩⎪
⎨⎧===.
,,332211βαβαβαA A A ),,,(),,(321321βββααα=A =⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡
-==--1
1321321111110121101211110),,)(,,(αααβββA
.241251252131121110101211110⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡- 第二章
1 矩阵的对角化
2 Jordan 标准型的定义、计算以及变换矩阵P 的计算（例1）、性质
3 矩阵多项式概念、计算，化零多项式（caley-hamilton 定理），最小多项式概念、性质、计算（例2）
例1. 1,P AP J -=求可逆矩阵其中21-12-1-2-112A -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
解
()
()3
-+2-1
-1-+2-10
2-1--22-1--1-112--11
-+1
-+2-1
-+2-11-01-11-1
1
+1
A I λλλλ
λλλλλλλλλλ
λ-====--=---
1231λλλ===。

求解（A-I ）=0.确定1Jordan λ=对应的块数
1-1-12-2-20-111x ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()()(){
}
11211221,1,00,1,1,,,.=1T
T
T
x k k V k k k k λαλ=+-==+-得由于有两个线性无关
的特征向量，所以=1ordan J λ对应有两个块，
110010001J ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
求变换矩阵P 。

在12-=v A I λαβα中选取适当的特征向量，使（）有解（相容）即
()12122-,k A I k k k β⎡⎤
⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
有解。

对增广矩阵()A I
α-做初等行变换
1112122111111222000,1110000k k k k k k k ⎡--⎤⎡--⎤
⎢⎥⎢⎥--+⇒-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
()()()12121,0,1,=1,2-1.T
r A I r A I k k k k αα⎡-⎤=--===⎣⎦为使则取得特征向量，
由非其次线性方程组：
()()21,2-1T
A I β-=，
解得()2=1,0,0T
β
()=12=1,1,0,T
V P λα取中特征向量组成矩阵，
()1122111110,,201,010.100001P P AP J αβα-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则
例2. ()0
00
41
00-4=.010-30
014A A A m λ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦设，求矩阵的最小多项式 解
()()()2
112.I A λλλλ-=-+-
由于()12121,1f A Jordan Jordan λλλλλ==-为的单根，因此相应的标准形中关于，的块有
2 1.n n ==1
对()342,23,rank A I λλ==-=所以2λ=对于()2431n rank A I --=-=个Jordan
块，只能为21,02⎛⎫
⎪⎝⎭
所以32,n =，即有
11.212A J ⎛⎫ ⎪
- ⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
由定理2.9,得()()()()2
112A m λλλλ=-+-.
第三章
1 矩阵的LU,LDV 分解定义、性质以及计算
2 矩阵的满秩分解概念（教材定义 3.2）、计算（第二种方法例1，第三种方法）
3 矩阵的谱概念、性质、谱分解
4 矩阵的UR 分解，Schur 分解
5 正规矩阵的概念、性质，正规矩阵的谱分解
6 矩阵的奇异值概念（定义3.12，定义3.4），矩阵的奇异值分解（例2），逼近定理(定理3.15)，矩阵的极分解 例1 对A 做满秩分解
101
2121122212422A -⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥--⎢⎥---⎣⎦
解：用满秩分解的方法二： 由0C PA ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，
,求得P 与C 。

[]A I =
→
→
C P ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10
001100111002
01p ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
-⎢
⎥⎣⎦，10
0011001211022
01p ⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥-=⎢⎥
-⎢⎥-⎣⎦
取P -1的前两列构成B ，则
A =
BC =
2 201120A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
,求A 的奇异值分解。

解：（1） 计算A T 及A 的奇异值i σ，
.⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
T 522A A=240201
37I λλλλ-=--T A A （）（）
，故H
A A 的特征值为7,3,0，A 的正奇异值为i 7σ=，23σ=
（2）求T
A A 得n 个标准正交特征向量。

对于17λ=求得，1α=T
（3，2，1），114
ε=
T
（3，2，1） 对于23λ=求得，2α=T
（1，-2，1），26
ε=
T （1，-2，1）
对于30λ=求得，3α=T
（2，-1，-4）
，3ε=
T
2，-1，-4） 可得酉矩阵
123εεε V=（，，），12εε1V =（，）。

（3） 计算∆
=-1
11U =AV
02011200⎤⎥⎛⎫⎥= ⎪⎢⎝⎭⎢⎣ 1123,U U εεε=V=（，，）
，则有，0H
V ⎤
⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
A=U 。

第四章
1 满秩矩阵的左逆与右逆的概念（教材定义4.1，定理4.2, 4.3），单侧方程组
2 广义减号逆概念（教材定义4.2）、计算、性质
3 加法广义逆（M-P 广义逆）概念（教材定义4.3）、计算（教材定理4.10, 4.11，例1, 2）
例1 设⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=101220211A ，求A 的M-P 加法逆。

解：()⎥⎥
⎥⎦
⎤-⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/1102/10001
0001102111000100011012202113I A ，
解得，⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=-11102000112/1102/100011102111P P C 所以，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=110211112001112001BC A B 11()()H H H H A C CC B B B +--==1025110 111113120 2 -191221⎡⎤⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎢⎥ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎝⎭
⎣⎦ 13162118141527 5 -2 6-⎛⎫
⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
例2 求矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=000110101A 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100011B 的M-P 加法逆。

解：（1）λλλλ)1)(3(211110101--=-⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A A I A A H H
所以，.2)(,0,1,3321====A rank λλλ由此
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=∆===1003,0,1,3321σσσ
又A A H 的特征值,0,1,3321===λλλ对应的特征向量分别是
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111,011,211321ααα 由于A A H 是Hermite 矩阵，321,,ααα是交的，只需将其标准化， 解
得正交矩阵 ⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎣
⎡
--=310
6
2312161312161V
取 ⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡
-
==⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎣⎡===021211,021213
1
12221111Av u Av Av u σσ， 则 {}
0,000
21212121)(211211===⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎣
⎡-
==⊥
⊥⊥βββu u U u u U ，
取子空间⊥1U 的基⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100，得⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1002U , 从而 ()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎣
⎡-
==100
02
1210212121U U U . A 的奇异值分解 H V U A ⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=013
1030100000
10
H
A V U
V -+
⎤⎤⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎢
⎥⎛⎫∆⎥⎥===⎢⎥ ⎪⎥⎥⎢⎥⎝⎭
⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
111663112
200
0⎛⎫+
⎪ ⎪=-
⎪ ⎪⎝
⎭
(2) ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=100011011B B H 可计算得B B H 的特征值0,1,2321===λλλ，他们相应的标准正交的特征
向量⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎣
⎡=o v v v 2121,100,02121321。

A 的奇异值,2)(,0,1,2321====A rank σσσ
由此 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∑⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎣
⎡
-=010002,01
2102121021V 计算求U :
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==101001000111110102121100011211222111Bv u Bv u σσ 1u 与2u 已是2R 的标准正交基，因此，有
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1001U T V U B ∑=⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02
12110002
121010002
1001
1
1
0 0
02
10
01
00 1 0
012
00
0 0
0 1
010
H
B V U
-
+
⎡⎤
⎤⎢⎥
⎥⎢⎥
⎥
⎛⎫
∆⎛⎫
⎥⎢⎥
===
⎢⎥
⎪ ⎪
⎥⎢⎥
⎝⎭
⎝⎭⎢⎥
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
第五章
1 向量范数的概念（教材定义5.1），三种范数，向量的连续性和等价性
2 矩阵范数的概念（教材定义5.3），矩阵的一般范数、F-范数，矩阵范数与向量范数的相容性（教材定义5.4），诱导范数的定义及相容性（教材定理5.3）
3 矩阵收敛的概念及条件，谱半径的概念（教材定义5.11），圆盘定理，谱范围的估计
4 矩阵函数的概念，求法：Jordan标准型法，最小多项式法（教材例13, 14），矩阵微积分概念及性质，矩阵函数的应用：一阶线性常系数齐次方程组、一阶线性常系数非齐次方程组的求解（教材例17, 18）例1.求解微分方程组
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
=
.)1,1,1(
)0(
,
)(
2
1
1
1
2
1
1
3
)(
2
T
t
X
e
t
X
t
X
解)3
)(
2
(
2
1
1
1
2
1
1
3
-
-
-
=
-
-
-
-
-
-
=
-λ
λ
λ
λ
λ
λ
λI
A，
A有三个相异特征值3
,2
,0
3
2
1
=
=
=λ
λ
λ，它们对应的三个线性无关的特征向量为
T
T
T)1,1,2(
,
)0,1,1(
,
)2,5,1(
3
2
1
=
=
=α
α
α。

可得 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-320,42293311161,1021152111J P P
故得 ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢
⎣
⎡=----------τττττττττ
τττ
ττττt t t t t t t t t t A t t t t t t t
t
At e e e e e e e e e e e e e P e P e e P
e e e e e e e P e e e P X e 32322322222)(3)(221)(3)
(22)(33232132042495896
1491
61001
004243583161111)0(
求积分：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--++--++--==⎰-t
t t
t t t t t A e e e e t e e t d f e 3232320)(4314)239(258)2
159(2161)(ττητ
得解为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-=+=t
t t
t t t t e e e e t e e t X e X 3232328319)299(2516)2
219(2161)0(ηλ。