04功和能习题解答
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第四章 功和能
一 选择题
1. 如图所示,A 、B 两颗卫星在同一圆形轨道上运行,其质量分别为m A = 100kg, m B = 200kg, A 的速度为v A = 7.0⨯103 m ⋅ s –1,则A 和B 的动能之比为:( )
A. 2:1
B. 2:1
C. 1:2
D. 1:2
解:答案是D 。 简要提示:R m R GMm R m R GMm B B B A A A
2222 v v ==, 所以v A = v B ,动能之比即为质量之比m A : m B =1:2。
2. 如图所示,足够长的木条A 置于光滑水平面上,另一木块B 在A 的粗糙平面上滑动,则A 、B 组成的系统的总动能:( )
A. 不变
B. 增加到一定值
C. 减少到零
D. 减小到一定值后不变
解:答案是D 。
简要提示:B 在A 的粗糙平面上滑动,摩擦力最终使B 相对于A 静止下来,摩擦力是非保守内力,根据功能原理,它做的功使系统的总动能减少。当B 相对于A 不动时,摩擦力就不再做功。
3. 一辆汽车从静止出发,在平直公路上加速前进时,若发动机功率恒定,则正确的结论为:( )
A. 加速度不变
B. 加速度随时间减小
C. 加速度与速度成正比
D. 速度与路径成正比
解:答案是B 。
简要提示:在平直公路上,汽车所受阻力恒定,设为f 。发动机功率恒定,
则P =F v ,其中F 为牵引力。由牛顿运动定律得v
m f F =-,即:f P/m -v v = 。所以,汽车从静止开始加速,速度增加,加速度减小。
4. 一条长为L 米的均质细链条,如图所示,一半平直放在光滑的桌面上,A
B 选择题2图 地 A B 选择题1图
另一半沿桌边自由下垂,开始时是静止的,当此链条末端滑
到桌边时(桌高大于链条的长度),其速率应为: ( )
A .gL
B .gL 2
C .gL 3
D .gL 321 解:答案是D 。
简要提示:运动过程中机械能守恒,则以桌面为零势能点,初始时机械能为MgL 81-,其中M 为链条的质量;链条末端滑到桌边时机械能为MgL M 2
1212-v 。两者相等,得:gL 32
1=v 5. 人造卫星绕地球作圆周运动,由于受到稀薄空气的摩擦阻力,人造卫星的速度和轨道半径的变化趋势应为:( )
A. 速度减小,半径增大
B. 速度减小,半径减小
C. 速度增大,半径增大
D. 速度增大,半径减小
解:答案是D 。
简要提示:由于阻力做负功,根据功能原理可知系统的机械能将减少。功能原理可写成
r r
GMm m r GMm m E E E d d )21(d )(d d d 22p k +=-=+==⋅v v v r f 圆周运动动力学方程为 22r
GMm r m =v ,即r G M m m =2v 。对此式两边求微分得到 r r
GMm m d d 22-=v v 利用上式,可将功能原理表示成
r r GMm r r GMm r r GMm
d 2d d 2d 222=+-=⋅r f
还可将功能原理表示成
v v v v v v d d 2d d m m m -=-=⋅r f
因为 0d <⋅r f ,所以d r < 0,d v > 0 。即人造卫星的速度和轨道半径的变化趋势应为速度增大、半径减小。
6. 一颗卫星沿椭圆轨道绕地球旋转,若卫星在远
地点A 和近地点B 的角动量与动能分别为L A 、E k A
和L B 、E k B ,则有:( )
选择题4图 地球
B A
选择题6图
A. L B > L A , E k B > E k A
B. L B > L A , E k B = E k A
C. L B = L A , E k B > E k A
D. L B = L A , E k B = E k A
解:答案是C 。
简要提示:由角动量守恒,得v B > v A
二 填空题
1. 一摆长为L ,摆球质量为m 的单摆,在重力作用下摆动,摆动过程中,假设可忽略空气阻力,起初最大摆角为θ 0,当单摆摆经竖直位置的瞬时,摆长缩短为l ,则缩短后的单摆的最大摆角θ 等于__________。
解:答案是 )]cos 1(1arccos[03
3θθ--=l L 简要提示:当摆球从最大摆角处摆到竖直位置的过程中,机械能守恒,设摆球刚到达竖直位置的速率为v ,则有
)cos 1(2
102θ-=mgL m v 在竖直位置摆长由L 缩短为l 的瞬时,摆球所受到的重力和摆线的拉力均沿竖直方向,因此摆球在此瞬间对悬挂点的角动量守恒,设摆长缩短为l 时的速率为v ',则有
v v '=ml mL
当摆球以l 为摆长摆动的过程中,机械能也是守恒的,即
)cos 1(2
12θ-='mgl m v 利用前二式,可将第三式写成
)cos 1(cos 1033
θθ-=-l L
解出最大摆角
)]cos 1(1arccos[03
3θθ--=l L 2. 质量分别为m 和M 的两个粒子开始处于静止状态,且彼此相距无限远,在以后任一时刻,当它们相距为d 时,则该时刻彼此接近的相对速率为 。
解:答案是 d
m M G )(2+ 简要提示:设质量为m 和M 的两个粒子当它们相距为d 时的速率分别为v 1和v 2,显然速度的方向相反。在它们运动过程中只受到相互间的万有引力作用,因此系统的机械能和动量均守恒。根据题意,相距无限远时系统的总能量为零。因此有
021212221=-+d
GMm M m v v 21v v M m =
从以上两式解出 )
(22
1m M d GM +=v 因此两个粒子彼此接近的相对速率为
d
m M G m M d GM M m M M m M M m )(2)(22
11121+=++=+=+=+v v v v v 3. 如图所示,一质量为m 1的托盘挂在一劲度系数为k 的轻弹簧下端,一质量为m 2的粘土块从离盘底高h 处自由落下,假定落在盘底不回跳,
则托盘离开其平衡位置的最大距离为 。 解:答案是])(211[22g m m kh k g m +++ 简要提示:托盘在平衡位置时轻弹簧伸长:k g m x 11= 粘土块落到盘底时的速率为:gh 20=v
设托盘和粘土块在平衡位置的速率为v ,v v )(2102m m m +=
设托盘离开平衡位置的最大距离为x 2,则由机械能守恒定律
22121221221)(2121)()(21x x k kx gx m m m m +=++++v 由以上各式联立求解,得到最大距离])(211[222g
m m kh k g m x +++= 填空题3图