七年级数学上册第五章一元一次方程知识归纳新版北师大版

《第五章一元一次方程》知识归纳

（一）、方程的有关概念

1.方程:含有未知数的等式就叫做方程.

2.一元一次方程:只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程.

例如:1700+50x=1800,2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.

3.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.

注:⑴方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

（二）、等式的性质

等式的性质(1):等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等.

等式的性质(1)用式子形式表示为:如果a=b,那么a±c=b±c

等式的性质(2):等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,等式的性质(2)

用式子形式表示为:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么a b

c c .

（三）、移项法则:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项．

（四）、去括号法则

1.括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.

2.括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．（五）、解方程的一般步骤

1.去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数).

2.去括号(按去括号法则和分配律).

3.移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号).

4.合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)

5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=b

a

.

一、列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题:弄清题意．

（2）找出等量关系:找出能够表示本题含义的相等关系．

（3）设出未知数,列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程．

（4）解方程:解所列的方程,求出未知数的值．

（5）检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案．

二、一元一次方程的实际应用

1.和、差、倍、分问题:增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量

（1）倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现.

（2）多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

2. 等积变形问题: （1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为: ①形状面积变了,周长没变；②原料体积＝成品体积.

（2）常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变．①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝hr2

②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc

3. 工程问题:

工程问题:工作量＝工作效率×工作时间

完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

4.行程问题:

路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

（1）相遇问题: 快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题: 快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题:顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变,水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

5. 商品销售问题

（1）商品利润率＝商品利润/商品成本价×100%

（2）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（3）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（4）商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售．有关关系式:商品售价=商品标价×折扣率

（5）商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价

6.储蓄问题

⑴顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税

⑵利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率（20%）

（3）利润＝每个期数内的利息/本金×100%

7.数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法:一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c．十位数可表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9）

（2）数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1；偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.