高一数学课件 一元二次函数根的分步问题
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二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)-2024-2025学年高一数学教材课件
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，
发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：
方程 + 1 = 0的解为 = −1
=+
−
⇒
不等式 + 1 > 0的解为 > −1
不等式 + 1 > 1的解为 > 0
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，
人教A版2019必修第一册
第 2 章 一元二次函数、方程和不等式
2.3
二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）
教学目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系。
2.掌握一元二次不等式，含参数的一元二次不等式的解法。
3.能够运用二次函数及其图像、性质解决实际问题。
01
温故知新
情景导入
= + +
+ + =
他们的联系又是怎样的呢？
+ + >
02
一元二次不等式
概念讲解
问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24
ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？
概念讲解
在上题中我们得到这样一个不等式：
时，对应的的取值范围的集合；
③ + + < 的解集⇔ = + + 的图像上的点 , 处于轴 下方
时，对应的的取值范围的集合；
概念讲解
例1.求不等式 − + > 的解集.
解：对于方程 − + = ，因为 > ，所以它有两个实数根.
发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：
方程 + 1 = 0的解为 = −1
=+
−
⇒
不等式 + 1 > 0的解为 > −1
不等式 + 1 > 1的解为 > 0
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，
人教A版2019必修第一册
第 2 章 一元二次函数、方程和不等式
2.3
二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）
教学目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系。
2.掌握一元二次不等式，含参数的一元二次不等式的解法。
3.能够运用二次函数及其图像、性质解决实际问题。
01
温故知新
情景导入
= + +
+ + =
他们的联系又是怎样的呢？
+ + >
02
一元二次不等式
概念讲解
问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24
ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？
概念讲解
在上题中我们得到这样一个不等式：
时，对应的的取值范围的集合；
③ + + < 的解集⇔ = + + 的图像上的点 , 处于轴 下方
时，对应的的取值范围的集合；
概念讲解
例1.求不等式 − + > 的解集.
解：对于方程 − + = ，因为 > ，所以它有两个实数根.
高一数学一元二次不等式应用PPT课件
第8页/共30页
例 11 解 不等式: (x 1)( x 2)( x 3) 0 .
解 这是一个一元三次不等式,我们还是利用对函数图像的分析
来解决这个问题.设 f(x)=(x 1)(x 2)(x 3) .
(1) 显然， y f (x) 的图像与 x 轴的交点有三个,它们的坐标
依次是(1,0),(2,0),(3,0); (2)函数 y f (x) 的图像把 x 轴分成了四个不相交的区间, 它们依次为 (,1), (1, 2), (2, 3), (3, ) ;
例 9 m 为何值时 ,方程 x2 (m 3) x m 0 有实数解 ? 解 方程 x2 (m 3)x m 0 有实数解,等价于 (m 3)2 4m 0 ,
第3页/共30页
即 m2 10m 9 0 .
这是关于 m 的一元二次不等式,按求解程序.
可得这个不等式的解集为 m m 1,或m 9 .
1 的解集为[－2，2]∪[1，＋∞)．
第25页/共30页
3.一服装厂生产某种风衣，月产量x(件)与售价P(元/件) 之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本总数为R=500 +30x(元)，假设生产的风衣当月全部售出，试问该厂的月 产量为多少时，每月获得的利润不少于1300元？ 解析：设该厂获得的利润为y元， 则y=(160-2x)·x-(500+30x) =-2x2+130x-500(0＜x＜80) 由题意知 y≥1300,所以-2x2+130x-500≥1300， 解得 20≤x≤45， 所以当月产量在20至45件(包括20和45)之间时，月获得 的利润不少于1300元.
集为 (1, 2) U (3, ) ．
-1 o 1 2 3 x
第17页/共30页
例 11 解 不等式: (x 1)( x 2)( x 3) 0 .
解 这是一个一元三次不等式,我们还是利用对函数图像的分析
来解决这个问题.设 f(x)=(x 1)(x 2)(x 3) .
(1) 显然， y f (x) 的图像与 x 轴的交点有三个,它们的坐标
依次是(1,0),(2,0),(3,0); (2)函数 y f (x) 的图像把 x 轴分成了四个不相交的区间, 它们依次为 (,1), (1, 2), (2, 3), (3, ) ;
例 9 m 为何值时 ,方程 x2 (m 3) x m 0 有实数解 ? 解 方程 x2 (m 3)x m 0 有实数解,等价于 (m 3)2 4m 0 ,
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即 m2 10m 9 0 .
这是关于 m 的一元二次不等式,按求解程序.
可得这个不等式的解集为 m m 1,或m 9 .
1 的解集为[－2，2]∪[1，＋∞)．
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3.一服装厂生产某种风衣，月产量x(件)与售价P(元/件) 之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本总数为R=500 +30x(元)，假设生产的风衣当月全部售出，试问该厂的月 产量为多少时，每月获得的利润不少于1300元？ 解析：设该厂获得的利润为y元， 则y=(160-2x)·x-(500+30x) =-2x2+130x-500(0＜x＜80) 由题意知 y≥1300,所以-2x2+130x-500≥1300， 解得 20≤x≤45， 所以当月产量在20至45件(包括20和45)之间时，月获得 的利润不少于1300元.
集为 (1, 2) U (3, ) ．
-1 o 1 2 3 x
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一元二次函数高一数学精品课件
知识小结 一般地，一元二次函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，a 决定了一元二次函 数图象的开口大小和方向；h 决定了一元二次函数 y＝ax2 图象的左 右平移，而且“h 正右移，h 负左移”；k 决定了一元二次函数 y＝ ax2 图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．
知识点二 一元二次函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质 (1) 函 数 y ＝ a(x － h)2 ＋ k 的 图 象 是 一 条 __抛 __物 __线 __ ， 顶 点 坐 标 是 __(h_，__k_)__，对称轴是直线_x_＝__h____；
解析：由题意得抛物线的对称轴是 y 轴且开口向下，顶点为(0,1)， 故该抛物线为 y＝－x2＋1.故选 A. 答案：A
2．已知一元二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点 P(2,0)，则这个一元二次函数的解析式为________．
解析：设所求一元二次函数的解析式为 y＝a(x－h)2＋k，则其顶点 坐标为(h，k)．∵顶点坐标为(1，－3)，∴h＝1，k＝－3， 即所求的一元二次函数为 y＝a(x－1)2－3. 又∵图象经过点 P(2,0)，∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3， ∴这个一元二次函数的解析式为 y＝3(x－1)2－3，即 y＝3x2－6x. 答案：y＝3x2－6x
(2)当 a>0 时，抛物线开口向__上____；在区间(－∞，h]上，函数值 y 随自变量 x 的增大而__减__小____；在区间[h，＋∞)上，函数值 y 随自 变量 x 的增大而___增__大___；函数在 x＝h 处有最____小____值，记作 __ym_i_n＝__k__． 当 a<0 时，抛物线开口向__下____；在区间(－∞，h]上，函数值 y 随自变量 x 的增大而___增__大___；在区间[h，＋∞)上，函数值 y 随自
知识点二 一元二次函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质 (1) 函 数 y ＝ a(x － h)2 ＋ k 的 图 象 是 一 条 __抛 __物 __线 __ ， 顶 点 坐 标 是 __(h_，__k_)__，对称轴是直线_x_＝__h____；
解析：由题意得抛物线的对称轴是 y 轴且开口向下，顶点为(0,1)， 故该抛物线为 y＝－x2＋1.故选 A. 答案：A
2．已知一元二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点 P(2,0)，则这个一元二次函数的解析式为________．
解析：设所求一元二次函数的解析式为 y＝a(x－h)2＋k，则其顶点 坐标为(h，k)．∵顶点坐标为(1，－3)，∴h＝1，k＝－3， 即所求的一元二次函数为 y＝a(x－1)2－3. 又∵图象经过点 P(2,0)，∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3， ∴这个一元二次函数的解析式为 y＝3(x－1)2－3，即 y＝3x2－6x. 答案：y＝3x2－6x
(2)当 a>0 时，抛物线开口向__上____；在区间(－∞，h]上，函数值 y 随自变量 x 的增大而__减__小____；在区间[h，＋∞)上，函数值 y 随自 变量 x 的增大而___增__大___；函数在 x＝h 处有最____小____值，记作 __ym_i_n＝__k__． 当 a<0 时，抛物线开口向__下____；在区间(－∞，h]上，函数值 y 随自变量 x 的增大而___增__大___；在区间[h，＋∞)上，函数值 y 随自
人教版高中数学必修课 1.2 不等关系及一元二次不等式的解法(第二课时) 教学PPT课件
2、(x a)(x b) 0 或 (x a)(x b) 0 型不等 式的解法
五、布置作业
辅导材料 第6页： 考点4 例6，例7
谢谢各位师生的参与！！！
B. (3, 3 ) 2
D.( 3 , 3) 2
6. (2016·课标全国卷 2)
已知集合 A=｛1, 2, 3｝， A=｛x (x 1)(x 2) 0, x Z｝， 则 A B=（ C）.
A.{1}
B.{1, 2}
C.{0,1, 2, 3}
D.{1, 0,1, 2, 3}
7. (2016·课标全国卷 3)
有两个相等
实根
x1=x2 =
-
b 2a
ax2 bx c 0
(a 0) 的解集
x x x1 或 x x2
{x x
- b} 2a
ax2 bx c 0
(a 0) 的解集 x x1<x x2
没有实数根
R
2、(x a)(x b) 0 或(x a)(x b) 0 型不等 式的解法
例3 已知集合 A=｛x x2-2x 3 0｝， B=｛x 1 x 0｝，则 A B=（ . x 1 x 0 或 x 0 x 3 D. x 1 x 0 或 x 1 x 3
三、高考真题分析 1.(2019·课标全国卷 1) 已知集合 M =｛x 4 x 2｝，
设集合 S =｛x (x 2)(x 3) 0｝，
T =｛x x 0｝，则 S T =（ D）.
A. [2, 3] B. (, 2] [3, ) C.[3, ) D. (0, 2] [3, )
8. (2015·课标全国卷 2)
已知集合 A={-2，-1，0，1，2｝， B=｛x (x 1)(x+2) 0｝，则 A B=（ A ）.
五、布置作业
辅导材料 第6页： 考点4 例6，例7
谢谢各位师生的参与！！！
B. (3, 3 ) 2
D.( 3 , 3) 2
6. (2016·课标全国卷 2)
已知集合 A=｛1, 2, 3｝， A=｛x (x 1)(x 2) 0, x Z｝， 则 A B=（ C）.
A.{1}
B.{1, 2}
C.{0,1, 2, 3}
D.{1, 0,1, 2, 3}
7. (2016·课标全国卷 3)
有两个相等
实根
x1=x2 =
-
b 2a
ax2 bx c 0
(a 0) 的解集
x x x1 或 x x2
{x x
- b} 2a
ax2 bx c 0
(a 0) 的解集 x x1<x x2
没有实数根
R
2、(x a)(x b) 0 或(x a)(x b) 0 型不等 式的解法
例3 已知集合 A=｛x x2-2x 3 0｝， B=｛x 1 x 0｝，则 A B=（ . x 1 x 0 或 x 0 x 3 D. x 1 x 0 或 x 1 x 3
三、高考真题分析 1.(2019·课标全国卷 1) 已知集合 M =｛x 4 x 2｝，
设集合 S =｛x (x 2)(x 3) 0｝，
T =｛x x 0｝，则 S T =（ D）.
A. [2, 3] B. (, 2] [3, ) C.[3, ) D. (0, 2] [3, )
8. (2015·课标全国卷 2)
已知集合 A={-2，-1，0，1，2｝， B=｛x (x 1)(x+2) 0｝，则 A B=（ A ）.
《二次函数与一元二次方程、不等式》全文课件高中数学(人教A版)1
学习新知——二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.3 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 》第一 课时（ 共11张p pt）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.3 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 》第一 课时（ 共11张p pt）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.3 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 》第一 课时（ 共11张p pt）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.3 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 》第一 课时（ 共11张p pt）
例题讲解
例 1．解不等式 x2 12x 20 0 . 分析：不等式 x2 12x 20 0 可以化为 x2 12x 20 0 . 解：令 y x2 12x 20 ，画出其图象可知它 与 x 轴 交 点的 横坐 标分别 为 2 与 10， 所以
人教A（2019版）高一上
2.3.1 二次函数与一元二次方程、 不等式（第1课时）
学习目标
1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系. 2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式 的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
谢谢观看！
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.3 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 》第一 课时（ 共11张p pt）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.3 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 》第一 课时（ 共11张p pt）
学习新知——一元二次不等式
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.3 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 》第一 课时（ 共11张p pt）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.3 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 》第一 课时（ 共11张p pt）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.3 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 》第一 课时（ 共11张p pt）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.3 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 》第一 课时（ 共11张p pt）
例题讲解
例 1．解不等式 x2 12x 20 0 . 分析：不等式 x2 12x 20 0 可以化为 x2 12x 20 0 . 解：令 y x2 12x 20 ，画出其图象可知它 与 x 轴 交 点的 横坐 标分别 为 2 与 10， 所以
人教A（2019版）高一上
2.3.1 二次函数与一元二次方程、 不等式（第1课时）
学习目标
1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系. 2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式 的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
谢谢观看！
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.3 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 》第一 课时（ 共11张p pt）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.3 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 》第一 课时（ 共11张p pt）
学习新知——一元二次不等式
一元二次不等式的解法(含参不等式恒成立问题及根的分布).ppt
2
ab0 a0 或 a x b xc 0 恒 成 立 c0 0
2
ab0 a0 或 a x b xc 0 恒 成 立 c0 0
2
变式训练 1 (1)已知不等式
题型与解法
(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0 恒成立，求实数m的取值范围.
课堂小结
1.一元二次方程、一元二次不等式均可用二次 函数图象一统天下，但必须注意前后的等价； 2.一元二次方程根的分布问题； 3.有关一元二次不等式恒成立问题. 4.含参数的一元二次不等式的解法
x=-b/2a
x1
x2
课后作业
1.P87 习题3—2 B组第1题、第2题； 2.课时作业.
本节课到此结束，请同学们 课后再做好复习。谢谢！
0 m 0 2 f (0 ) 0
m 6或 m 2 即 m 0 m 3 0
o
x1
x2
∴ 2≤ m<3.
∴ 所求实数m的取值集合为：{m|2≤ m<3}.
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题 例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合： (2)一个根大于0,另一个根小于0; 解： (2) ∵一个根大于0,另一个根小于0;
课堂练习
3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是
{x|-1/2＜x＜1/3}，则a+b= -14 (a=-12,b=-2) . （2）关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集是 {x|x＜-2或x＞1/2}，则关于x的不等式 ax2-bx+c＜0的解集为 {x|-1/2<x<2} . ⑶ 对于任意实数x，ax2+4x-1≥-2x2-a，对 于任意实数恒成立，则实数a的取值范围 为 a≤-3或a≥2 . 4.当m为何值时，方程x2-2mx+2m+3=0 （1）有两个负实数根？ -3/2<m≤-1 （2）有一个正根，一个负根. m<-3/2 （3）两根大于2. 3≤m< 7/2
ab0 a0 或 a x b xc 0 恒 成 立 c0 0
2
ab0 a0 或 a x b xc 0 恒 成 立 c0 0
2
变式训练 1 (1)已知不等式
题型与解法
(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0 恒成立，求实数m的取值范围.
课堂小结
1.一元二次方程、一元二次不等式均可用二次 函数图象一统天下，但必须注意前后的等价； 2.一元二次方程根的分布问题； 3.有关一元二次不等式恒成立问题. 4.含参数的一元二次不等式的解法
x=-b/2a
x1
x2
课后作业
1.P87 习题3—2 B组第1题、第2题； 2.课时作业.
本节课到此结束，请同学们 课后再做好复习。谢谢！
0 m 0 2 f (0 ) 0
m 6或 m 2 即 m 0 m 3 0
o
x1
x2
∴ 2≤ m<3.
∴ 所求实数m的取值集合为：{m|2≤ m<3}.
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题 例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合： (2)一个根大于0,另一个根小于0; 解： (2) ∵一个根大于0,另一个根小于0;
课堂练习
3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是
{x|-1/2＜x＜1/3}，则a+b= -14 (a=-12,b=-2) . （2）关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集是 {x|x＜-2或x＞1/2}，则关于x的不等式 ax2-bx+c＜0的解集为 {x|-1/2<x<2} . ⑶ 对于任意实数x，ax2+4x-1≥-2x2-a，对 于任意实数恒成立，则实数a的取值范围 为 a≤-3或a≥2 . 4.当m为何值时，方程x2-2mx+2m+3=0 （1）有两个负实数根？ -3/2<m≤-1 （2）有一个正根，一个负根. m<-3/2 （3）两根大于2. 3≤m< 7/2
高一数学一元二次不等式及其解法(“根汉”文档)共10张
作业： 1、认真完成《自主作业本》第6、16次
作业；P64-P68检测试题一、二；《学
海导航》试卷单元测试卷（一）；
2、做完后对照答案仔细校对；
3、《自主作业本》上其余作业同学们可
自主选择完成。
第9页，共家别苑陆家别苑 陆震の飞船带着根汉来到了别苑灵水湖の中间,这里有壹个露天の亭台 子孙后代在这里定居了超过百年了,若是这太子生变,到时可能会连累到他の陆家.不过现在根汉还是没告诉陆震
x
1
2
(2) - x 2 + 2x - 3 > 0
第4页，共10页。
典例讲评
例2 解不等式 3x 2 2x 2
{x | x < - 1 , 或 x > 2} 2
第5页，共10页。
典例讲评
例3 解下列不等式：
""这平衡性太好了,这还是男人吗. 例3 解下列不等式：
2 2 "她身边の八妹,陆小娟也在劝她.
（正文贰叁5捌陆家别苑）贰叁5玖柔腿法"呃. "根汉点了点头,问陆小芸："小芸呀,你不介意咱碰你吧?""呃,咱,不介意.
不等式化为一般式→计算判别式→求根 要知道陆震壹向不问世事,即使是当年当陆家の家主,明面上也没多少朋友,所以陆家壹向是不温不火の,就这样安逸の发展着.
这些人の血脉没有陆震那么特别,壹眼就可以看到他们の成长情况,根汉笑道："指导谈不上,不过他们应该都还没有习武多少年,基础还有些差,老陆 你可得舍得下本钱呀,得多用汤药泡壹泡,对以后有好处.
x 3 过了前面壹辈の不少人了.
a＜0时,
(或＜0)
这些人の血脉没有陆震那么特别,壹眼就可以看到他们の成长情况,根汉笑道："指导谈不上,不过他们应该都还没有习武多少年,基础还有些差,老陆
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问题2。已知关于x的方程x2 +(n+1)x+2n=0， 分别在下列条件下，求实数n的取值范围。 (1)有一个根小于－1，有一个根大于1 （2）两根均在（－1，1）内
问题3。（1）若关于x的方程x2－2ax+2＋a=0
有两个不同的实数根，且只有一根在1，2内，
求a的取值范围。
（2)若抛物线y＝－x2＋3x－m与直线y＝3－x 在x （0，3）内只有一个交点，求m的范围。
二次函数根的分布问题
问题1。试讨论方程x2 bx c 0的根的情况。 （1）根的个数：b,c满足什么条件时，
方程有两个不等的实根?相等实根？无实根？ （2）根的大小：b,c满足什么条件时，
方程有两个正实根?两个负实根？ 一正根，一负根？一根为0？
（3）根的范围：b,c满足什么条件时， 方程两根都大于1?都小于1？ 一根大于1，一根小于1？
问题4。设x1，x2分别为关于x的二次方程ax2 +bx+c=0
和－ax2 +bx+c=0的一个非零实根，且x1 x2
求证：方程
a 2
x2
+bx+c=0必有一根<m<0， 0<n<1
命题q：关于x的方程x 2＋mx＋n＝0 有两个小于1的正根。
试分析p是q的什么条件。
充要条件：
0
0<x1＋x2 2 0<x1x2 1
(x1 1)(x2 1) 0
问题6.已知方程ax4－（a－3）x2＋3a＝0 有一个根小于－2,其余三个根大于－1， 试确定a的取值范围。