数值分析课后习题答案4

第一章

题12给定节点01x =−，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插

值余项：（1）（1）3()432f x x x =−+（2）（2）

43

()2f x x x =−解（1）

(4)()0f x =，由拉格朗日插值余项得(4)0123()

()()()()()()0

4!f f x p x x x x x x x x x ξ−=−−−−=；

（2）

(4)()4!f x =由拉格朗日插值余项得

01234!

()()()()()()

4!

f x p x x x x x x x x x −=

−−−−(1)(1)(3)(4)x x x x =+−−−.题15

证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差

012

10()()()max ()

8x x x x x f x p x f x ≤≤−′′−≤.

证由拉格朗日插值余项得01()

()()()()2!f f x p x x x x x ξ′′−=

−−，其中0

1x x ξ≤≤，01

0101max ()()()()()()()()

2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤′′′′−=−−≤−−01210()max ()

8x x x x x f x ≤≤−′′≤.

题22

采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式

()p x ：

（1）（1）用待定系数法；

（2）（2）

利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式

()p x .

解（1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2

123()23p x a a x a x ′=++，

代入得方程组

001231123010231

a a a a a a a a a =⎧

⎪+++=⎪⎨

=⎪

⎪++=⎩解之，得0123

0021

a a a a =⎧⎪=⎪⎨

=⎪⎪=−⎩

23()2p x x x ∴=−；

（2）先求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式()p x ，由0为二重零点，

可设2()p x ax =，代入(1)1p =，得1a =，2

()p x x ∴=；

再求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x ，可设

22()(1)p x x bx x =+−，2()22(1)p x x bx x bx ′=+−+∵，代入(1)1p ′=，得1b =−，2223()(1)2p x x x x x x ∴=−−=−.

题33设分段多项式

323

2

01

()2112x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤=⎨++−≤≤⎩是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数,b c 的值.

解由(1)2S =得212b c ++−=，1b c ∴+=；

22

3201

()6212x x x S x x bx c x ⎧+<<′=⎨++<<⎩，由(1)5S ′=得625b c ++=，21b c ∴+=−；

联立两方程，得2,3b c =−=，

且此时62

01()12212x x S x x b x +<<⎧′′=⎨

+<<⎩，(1)8(1)S S −+′′′′==，

()S x 是以0,1,2为节点的三次样条函数.

题35

用最小二乘法解下列超定方程组：24113532627

x y x y x y x y +=⎧⎪−=⎪⎨

+=⎪⎪+=⎩.

解记残差的平方和为

2222(,)(2411)(353)(26)(27)f x y x y x y x y x y =+−+−−++−++−令00f x f y ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得3661020692960x y x y −−=⎧⎨−+−=⎩

，解之得83027311391x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.题37

用最小二乘法求形如2

y a bx =+的多项式，使与下列数据相拟合：

x

1925313844y

19.0

32.3

49.0

73.3

97.8

解拟合曲线中的基函数为0()1x ϕ=，2

0()x x ϕ=，

其法方程组为0001010001(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠

⎝⎠，

其中

00(,)5ϕϕ=，0110(,)(,)5327ϕϕϕϕ==，11(,)7277699ϕϕ=，0(,)271.4f ϕ=，

1(,)369321.5f ϕ=，解之得5320.97265472850.055696a b ⎧==⎪⎪⎨

⎪==⎪⎩，2

0.97260.05y x ∴=+.

第二章

题3确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：

（2）

1

0120

113

()(()()

424

f x dx A f A f A f ≈++∫

（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，

11000013()(224()11133()()

4244x x A l x dx dx −−===

−−∫∫，11

110013()()144()11133()()2424x x A l x dx dx −−===−−−∫∫，

11

220011()242()31313()4442x x A l x dx dx −−===−−∫∫，

10211123()()()(343234f x dx f f f ∴≈−+∫，

当3()f x x =时，有

左边＝1

1

30

01

()d d 4f x x x x ==

∫∫，右边＝

3332111232111231()()()()()()3432343432344f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边＝右边，

当4()f x x =时，有

左边＝1

1

40

01

()d d 5f x x x x ==

∫∫，右边＝44421112321112337()()()()()()3

43234343234192f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.

题8已知数据表

x 1.1

1.3 1.5x

e

3.0042

3.6693

4.4817