大一高等数学期末考试试题参考
高数大一期末考试试卷
高数大一期末考试试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是：A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2D. x^2+2x2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 1B. 0C. -1D. 23. 若函数f(x)在x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. f(a)不存在C. f(a)=0D. f(a)=14. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 25. 函数y=ln(x)的不定积分是：A. x+CC. x^2+CD. e^x+C6. 以下哪个级数是发散的：A. 1+1/2+1/3+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1/2+1/4+1/8+...D. 1/2^2+1/3^2+1/4^2+...7. 以下哪个函数是奇函数：A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x+1D. f(x)=x-18. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的定积分是：A. 0B. 1/3C. 2/3D. 19. 以下哪个选项是洛必达法则的应用：A. lim(x→0) (x/sin(x))B. lim(x→0) (sin(x)/x)C. lim(x→0) (1/x)D. lim(x→0) (x^2/x)10. 以下哪个函数的导数是其本身：A. e^xB. ln(x)D. sin(x)二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的二阶导数是________。
2. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。
3. 函数f(x)=cos(x)的导数是________。
4. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是________。
5. 函数f(x)=ln(x)的定义域是________。
6. 函数f(x)=x^2+3x+2的根是________。
7. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是________。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分） 1. （6分）求20ln(15)lim.sin 3x x x x →+2. （6分）设2,1y x =+求.y '3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求3(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x xe x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程0cos 0y xt e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bbaab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰（二）一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()23122+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点.2．函数()21ln x y +=，则='y.3． =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x x 21lim.4．曲线xy 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线方程为 . 5．函数2332x x y -=在[]4,1-上的最大值 ，最小值 . 6．=+⎰dx x x 21arctan . 二、 单项选择题（每小题4分，共20分） 1．数列{}n x 有界是它收敛的（ ） .() A 必要但非充分条件； () B 充分但非必要条件 ； () C 充分必要条件； () D 无关条件.2．下列各式正确的是（ ） .() A C e dx e x x +=--⎰； () B C xxdx +=⎰1ln ； () C ()C x dx x +-=-⎰21ln 21211； () D C x dx xx +=⎰ln ln ln 1. 3． 设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为凹的；() C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且为凸的.4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（ ）.() A 等于1； () B 等于1-； () C 等于0； () D 不存在.5．已知()2lim 1=+→x f x ，以下结论正确的是（ ）.() A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去心邻域内有定义；() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.三、 计算（每小题6分，共36分） 1．求极限：xx x 1sin lim 20→. 2. 已知()21ln x y +=，求y '. 3. 求函数x x y sin =()0>x 的导数.4. ⎰+dx x x 221. 5. ⎰xdx x cos .6.方程yxx y 11=确定函数()x f y =，求y '.四、 （10分）已知2x e 为()x f 的一个原函数，求()⎰dx x f x 2.五、 （6分）求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、 （10分）设()()C e x dx x f x++='⎰1，求()x f .（三）一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） 210)(cos lim x x x → e1.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为1-=x y . （3）已知xxxeef -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f =)(x f 2)(ln 21x .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 .9131-=x y（5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为.)1()1(32227+++=x C x y二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分). （1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点. (B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点.(C) 1x 是极值点.，())(,22x f x(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点图1-1（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（ D ）.（A ）23e .x y y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .x y y y x '''+-= （D ）23e .xy y y '''+-= （4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）. (A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B) ()().=⎰df x f x (C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().fx dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）. 1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→ 1分=x x x x x ln 1ln lim1+-→ 2分= xx x x x x ln 1ln lim1+-→ 1分= 211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x 2分2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= （3分） .sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= （6分）3. 4. 计算不定积分.222(1) =2arctan 2 =2d x C =----------+------+---------⎰⎰分分（分4.计算定积分⎰++3011dx xx.解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x （3分）35)1(323323=++-=x （6分）（或令t x =+1）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*2-56012,31.1()111.21(1)1x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分代入解得，所以分2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图0220322203*********RRP g R x g R x g R ρρρρ=---------=--------=--------=----------------⎰⎰）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1b af x dx =⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222b b aabab ba axf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D. (1) (3) 求D 的面积A;(2) (4) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= 1分由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为.1x e y =1分平面图形D 的面积 ⎰-=-=10.121)(e dy ey e A y 2分（2） 切线xe y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π= 2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 2102)(⎰-=π， 1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ 1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1x e x ≥+.解法一：2112xe e x x xξ=++≥+解法二：设() 1.x f x e x =--则(0)0.f = 1分 因为() 1.xf x e '=- 1分 当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分 当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分 所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x e x ≥+。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期(第一学期)高数期末考试题及答案高等数学I（大一第一学期期末考试题及答案）1.当 $\alpha x$ 和 $\beta x$ 都是无穷小时，$\alpha(x)+\beta(x)$ 不一定是无穷小。
2.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin x+e^{2ax}-1}{x}$ 的值是 $2a$。
3.如果 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x},& x\neq 0\\ \quad\quad 1,& x=0\end{cases}$ 在 $x=a$ 处连续，则$a=e^{-1}$。
4.如果 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则$f'(a)=\dfrac{1}{3}(f(a+2h)-f(a-h))$。
5.极限 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\ln(x+a)-\ln a}{x}$ 的值是 $1/a$。
6.确定函数 $y(x)$，使得 $y(x)$ 的导函数为$y'(x)=\dfrac{y}{2\sin(2x)}+\dfrac{y e^{xy}}{x}-\dfrac{x}{y\ln x}$，则 $y(x)=\dfrac{1}{\ln x}$。
7.过点 $M(1,2,3)$ 且与平面 $x+2y-z=0$ 和 $2x-3y+5z=6$ 平行的直线 $l$ 的方程为 $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$。
8.函数 $y=2x-\ln(4x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$。
9.计算极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^{-e^x}-e}{x}$，结果为 $-1/2$。
10.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)=\int_a^x(x-t)f(t)dt$ 的二阶导数为 $F''(x)=f(x)$。
大一（第一学期）高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnn n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：112330()2xf x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一高数期末考试试题
一．填空题（共5 小题，每题4 分，合计20 分）11 x 1x 2005e x e x dx1．lim( e x x) x 2.2．1x 0.3．设函数yy( x) 由方程x y e t 2dtx1确立，则dyxtf (t )dtf ( x)x 0.4. 设f x， f(0) 1，dx可导，且1则fx..5．微分方程y4y4y的通解为二．选择题（共 4 小题，每题 4 分，合计 16 分）1．设常数 k0 ，则函数f ( x) ln xx k)内零点的个数为（e） .在(0,(A) 3 个;(B) 2 个;(C) 1 个 ;(D) 0 个.2． 微分方程y4 y3cos2 x 的特解形式为（ ） .（ A ） yAcos2 x ;（ B ）yAx cos2x ;（ C ）yAx cos2 x Bxsin 2x ;（ D ） y*A sin 2x.3．以下结论不必定建立的是（） .dbx dx（ A ）若c,da, b , 则必有f x dxf ; （ B ）若f ( x)0 在 a,b 上可cabx dxf是周期为 T 的连续函数 , 则对随意常数 a 都有积, 则 a; （ C ）若f xa Tf x dxTf x dxxt dtf x为奇函数 , 则t f a0 ;（ D ）若可积函数也为奇函数 .4. 设1f x 1 e x1则 x 0是f ( x)的（2 3e x , ） .(A) 连续点 ;(B) 可去中断点 ; (C)本页满分 12 分 跳跃中断点 ;(D) 无量中断点 .三．计算本页得 题（共 5 小题，每题6 分，合计 30 分）分22x 3 e x dx1． 计算定积分x sin xdx2． 2．计算不定积分cos5x.xa(t sin t),t求摆线ya(1 cost ), 在2 处的切线的方程 .xcos(x2t) dtF (x)设，求 F (x) .n(n 1)(n 2)(n 3) (2n)x nnlim x n5．设，求 n .四．应用题（共 3 小题，每题 9 分，合计27 分） 1．求由曲线yx 2与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积 .2．设平面图形 D 由 x 2y22x与y x所确立， 试求 D 绕直线 x 2 旋转一周所生成的旋转体的体积 .设 a 1, f (t) a tat 在 (, )内的驻点为t (a).问 a 为什么值时t(a)最小 ? 并求最小值 .五．证明题（ 7 分）f (0)= f (1) 1) 1，设函数f ( x)在[0,1]上连续，在(0,1) 内可导且0, f (2试证明起码存在 一 点(0,1) , 使 得f ()=1.一．填空题（每题4 分，5 题 共20 分）：111x 1 x 2005ex e xdx4lim( e x x) x 2y y( x) 由方程1．e 21e . 3 ．设函数 x 0.2．x yet 2dyxf ( x)dt xx 0e1.4. 设fx可导，且tf (t) dt1，1确立，则 dx1， f (0) 则fx1 x 2的通解为y(C 1 C 2 x)e 2x.二．选择e2. 5．微分方程y4 y4 yf (x) ln x x k在(0, )分）：1．设常数 ke 题（每题 4 分，4 题共 160 ，则函数内零点的个数为（B ）.(A) 3 个 ;(B) 2 个 ;(C) 1 个;(D)0 个 .2． 微分方程y4 y 3 cos2x 的特解形式为（C ）（ A ） yAcos2 x ；（ B ）yAx cos2x ；（ C ）yAx cos2 x Bxsin 2x ；（ D ） y *A sin 2x3．以下结论不必定建立的是 （ A ）dfx dxbx dx(A) (A) 若 c,da, b, 则必有f ;cab f x dx 0(B) (B) 若 f (x) 0在 a,b 上可积 , 则 a;(C)(C)若fx是周期为T的连续函数, 则 对 任 意 常 数 a 都 有a Tf x dxTf x dxa;xt dt(D) (D)若 可 积 函 数fx为奇函数, 则t f 也为奇函数.4.设1f x 1 e x10是f ( x)的（ C2 3e x , 则 x ） .(A) 连续点 (B) 可去中断点 ;(C)跳跃中断点 ; (D)无量中断点 .三． 计算题 （每题6分，5题共 30分）： 1．计算定积分2 x3 ex 2dx.设 x 2t , 则23 ex 22 1tdt 1 2 txdxte2 tde解：22-------21te t 2 tdt 2e-------2e21 t213 2x sin xeexdx.解：222--------22 ．计算不定积分cos5xsin x dx1xd ( 1) 1xdx5x4 4 4 cos 4x4coscos xcos x--------3x 1 (tan 2 x 1) d tan x4cos 4 x4x a(tsin t),x1tan 3x1tan x Cya(1 cost), 在4cos 4 x124-----------33 ．求摆线t(a(1), a)2 处的切线的方程 . 解：切点为 2-------2kdya sin tdxta(1cost ) t221-------2y ax a(1)y x (22) a切线方程为2 即.-------2F ( x)xt )dt4. 设cos(x 22xcos x2(2x 1) cos(x2 x).5．设，则F (x)n(n 1)( n2)(n3) (2n)x nn lim x n.，求 nln x n1nln( 1i )ni 1n解：---------2ni 11lim ln x nlimln(1)ln(1 x)dxnnn n 0--------------2i 1x) 1011xln(1xdx 2 ln 2 1------------2=0 1 xlim x ne 2 ln 2 149 分，3 题共 27 分）1．求故 n=e四．应用题（每题 由曲线yx2与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积 .解：y1x设切点为（ x 0, y0 )，则过原点的切线方程为2 x 0 2 ，（ x 0 , y 0 )在切线上，带入切线方程，解得切点为x 0 4, y 02.-----3因为点yx过原点和点( 4,2)的切线方程为2-----------------------------32面积s2( y 22 2 2 y)dy 2 2= 3-------------------3s21xdx4 1x2 22 2 (2x2 )dx或2232．设平面图形 D 由x 2y22x 与 yx所确立， 试求 D 绕直线 x2 旋转一周所生成的旋转体的体积 .解： 法一：VV1V 211 y22 1 2dy2 (1) dy( 2 y )21 y2( y 1)2dy 1-------621 ( y 1) 3 12 (1 )4433--------321x)( 2xx2x)dx(2法二： V=21 (2x) 2xx 2dx 21x 2)dx0 (2x------------------ 5( 2 2x) 2x x22 2 x x 2dx4132( 2x x 2) 2312 1 14 3432 1 24 1 2232323------------- 43.设a1, f (t)a tat 在 (,)内的驻点为 t (a).问 a 为什么值时t (a)最由 f (t )a t ln a a0得 t(a) 1ln ln a .小 ? 并求最小值 .解 :ln a --------------- 3又由 t (a)ln ln a 1 0得独一驻点 ae ea(ln a) 2------------3当 ae e 时 , t (a) 0;当 a e e时 , t (a)0,于是 ae e 为 t (a)的极小值点 . -----2 ae e 为 t (a)的最小值点 , 最小值为 t(e e ) 1ln e 1 1 . 故e e --------------1五．证明题（ 7 分）设函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1)内可导且f (0)= f (1) 0, f (1)1，2试证明至少存在一点(0,1) , 使得f ()=1.证明：设 F ( x)f ( x)x ， F ( x) 在 [0,1] 上连续在 (0,1) 可导，因 f (0)= f (1)=0 ,有 F (0) f (0) 00, F (1)f (1)11,--------------- 2f (111 1 1 1， [1 ，)=1F ( )=f ()- =1-=2 1]又由2，知2222 在 2 上F ( x)用零点定理，F (1)F(1)=-1依据22，--------------- 21，(1)可知在2内起码存在一点，使得1F( )=0，(2,1)(0,1), F(0)= F()=0由 ROLLE 中值定理得起码存在一点(0, )(0,1) 使得 F()=0 即 f () 1=0，证毕 . --------------3。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷及(Ji)答案详解一、选择题(Ti)（共12分）1. （3分(Fen)）若为连续函(Han)数,则的(De)值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分(Fen)）已知则(Ze)的(De)值为（）.(A)1 (B)3 (C)-1 (D)3. （3分）定积分的值为（）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2f x在该点处( ).4. （3分）若在处不连续,则()(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分）平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程为 .2. （3分） .3. （3分）= .4. （3分）的极大值为 .三、计算题（共42分）1.（6分）求2.（6分）设求3.（6分）求(Qiu)不定积分4.（6分(Fen)）求其(Qi)中5.（6分）设函(Han)数由方(Fang)程所(Suo)确定,求6.（6分(Fen)）设求(Qiu)7.（6分）求极限四、解答题（共28分）1.（7分）设且求2.（7分）求由曲线与轴所围成图形绕着x轴旋转一周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线在拐点处的切线方程.4.（7分）求函数在上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设在区间上连续,证明标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 2 3 0; 4 0.三、 1 解原式 5分1分2解 2分4分(Fen)3 解原(Yuan)式 3分(Fen)2分(Fen)1分(Fen)4解(Jie) 令则(Ze) 2分1分(Fen)1分1分1分5两边求导得 2分1分1分2分6解 2分4分7解原式= 4分= 2分四、1 解令则 3分= 2分2分1分2解(Jie) 3分(Fen)2分(Fen)2分(Fen)3解(Jie) 1分(Fen)令(Ling)得(De) 1分当时,当时, 2分为拐点, 1分该点处的切线为 2分4解 2分令得 1分2分最小值为最大值为 2分五、证明1分1分1分1分1分移项即得所证. 1分。
高数(大一上)期末试题及答案
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）1.。
(A）（B)（C）(D)不可导.2.。
（A)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小; (D）是比高阶的无穷小。
3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值;(C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。
（A）(B）（C）（D）。
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）4.。
5..6..7..三、解答题（本大题有5小题，每小题8分,共40分)8.设函数由方程确定，求以及.9.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.10.求微分方程满足的解。
四、解答题（本大题10分）11.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程。
五、解答题（本大题10分)12.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2）求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V。
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.14.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答一、单项选择题（本大题有4小题, 每小题4分，共16分）1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题,每小题4分，共16分）5.。
6。
.7. . 8.。
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分）9.解:方程两边求导,10.解：11.解:12.解:由，知。
，在处连续。
13.解：，四、解答题（本大题10分）14.解：由已知且，将此方程关于求导得特征方程：解出特征根:其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为:五、解答题(本大题10分）15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共12分）16.证明：故有：证毕.证:构造辅助函数：.其满足在上连续，在上可导。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．设函数 ，则 是 的第类间断点.
2．函数 ，则 .
3． .
4．曲线 在点 处的切线方程为.
5．函数 在 上的最大值，最小值.
6． .
二、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．数列 有界是它收敛的（）.
必要但非充分条件； 充分但非必要条件；
充分必要条件； 无关条件.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
1．设常数 ，则函数 在 内零点的个数为（B）.
(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.
2．微分方程 的特解形式为（C）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D）
3．下列结论不一定成立的是（A）
(A)(A)若 ,则必有 ;
(B)(B)若 在 上可积,则 ;
(C)(C)若 是周期为 的连续函数,则对任意常数 都有 ;
2．下列各式正确的是（）.
； ；
； .
3．设 在 上， 且 ，则曲线 在 上.
沿 轴正向上升且为凹的； 沿 轴正向下降且为凹的；
沿 轴正向上升且为凸的； 沿 轴正向下降且为凸的.
4．设 ，则 在 处的导数（）.
等于 ； 等于 ；
等于 ； 不存在.
5．已知 ，以下结论正确的是（）.
函数在 处有定义且 ； 函数在 处的某去心邻域内有定义；
大一高等数学期末考试试卷
（一）
一、选择题（共12分）
1. （3分）若 为连续函数,则 的值为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1
2. （3分）已知 则 的值为（ ）.
(A)1 (B)3 (C)-1 (D)
3. （3分）定积分 的值为（ ）.
大一高数 期末考试题及答案
f ( x ) cos
x dx
0 .
证明：在 0, 内至少存在两个不同的点1 ,2 ，使 f (1 ) f (2 ) 0.（提
x
F ( x ) f ( x )dx
示：设
0
）
解答
一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
M (x0 , y0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x x0 所围成
面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题（本大题 10 分）
15. 过坐标原点作曲线 y ln x 的切线，该切线与曲线 y ln x 及 x 轴围成
平面图形 D.
(1) 求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积
大一上学期 高数期末试题
一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)
1. 设 f ( x ) cos x ( x sin x ), 则在 x 0处有 (
) .
（A） f (0) 2 （B） f (0) 1 （C） f (0) 0 （D） f ( x) 不可导.
证：构造辅助函数：
0
,0 x 。其满足在[0, ] 上连续，在 (0, )
上可导。 F ( x) f ( x) ，且 F (0) F ( ) 0
0
f ( x)cos xdx
cos
xdF ( x)
F ( x)cos
x | 0
sin
x F ( x)dx
由题设，有 0
0
0
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有 4 小题 , 每题 4 分,共 16分)1. 设 f ( x )cos x ( x sin x ), 则 在 x0处 有() .（ A ） f (0)2（B ）f(0)1（ C ） f (0)（D ）f ( x )不行导 .2. 设 ( x)1 x， ( x ) 3 33 x ，则当 x 1时（） 1 x.（A ） ( x)与 (x) 是同阶无量小，但不是等价无量小； （B ） ( x)与 (x)是等价无量小；（C ） ( x)是比(x)高阶的无量小；（D ）( x)是比(x)高阶的无量小 .F ( x ) x ( 2t x ) f ( t ) dt3. 0， 此中 f ( x) 在 区 间 上 ( 1,1) 二阶可导且若f ( x ) 0 ，则（） .（A ）函数 F ( x)必在 x 0 处获得极大值；（B ）函数 F ( x)必在 x 0 处获得极小值；（C ）函数 F ( x) 在 x 0 处没有极值，但点 (0, F (0)) 为曲线 yF ( x) 的拐点；（D ）函数F ( x) 在 x 0 处没有极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 yF ( x) 的拐点。
设 f ( x )是 连续 函 数， 且 f ( x )x21)4. f ( t )dt , 则 f ( x ) (x 2x 22（A ） 2（B ）2（D ） x 2.（C ）x 1二、填空题（本大题有 4 小题，每题25.lim ( 13 x ) sin xx06. 已知cos x是 f ( x ) 的一个原函数 ,x.4 分，共 16 分）.则 f ( x )cos xd xxlim(cos 2 cos 2 2L cos 2 n 1 )7.nnnnn12x 2 arcsin x 1dx－ 11 x28..2三、解答题（本大题有 5 小题，每题 8 分，共 40 分）9. 设函数 y y(x) 由方程 ex ysin( xy )1确立，求y ( x )以及1 x 710.求x(1 x 7 ) dx ..y (0) .设 f ( x )xex，x求 1 f ( x )dx ．2 xx 2， 0 x1311.1lim f ( x)f (x)g( x )f ( xt ) dtA12.设函数 连续，，且xx， 为常数. 求Ag (x)并议论g ( x)在 x处的连续性 .y(1)113. 求微分方程xy2 y x ln x 知足 9的解.四、 解答题（本大题10 分），过点(01,)，且曲线上任一点14. 已知上半平面内一曲线yy( x )( x 0) M ( x 0 , y 0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、 y 轴、直线x x所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 .五、解答题（本大题 10 分）15. 过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线yln x及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A ；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2 小题，每题 4 分，共 8 分）16. 设函 数 f ( x ) 在 0,1上 连 续 且单 调 递减 ，证 明对 随意 的 q [ 0,1] ，q1 f ( x ) d xq f ( x)dx.17. 设函数f ( x )在0,f ( x ) d xf ( x ) cos x dx 0上连续，且 0，0 .证明：在 0, 内起码存在两个不一样的点1 ,2，使f ( 1 ) f ( 2 ) 0.（提x F ( x )f ( x )dx示：设）解答一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每题 4 分, 共 16分)1、 D2、 A3、 C4、C二、填空题（本大题有4 小题，每题 4 分，共 16 分）5. e 61 ( cos x )2 c 3..6. 2 x .7.2. 8. 三、解答题（本大题有5 小题，每题 8 分，共 40 分） 9. 解：方程两边求导e x y (1 y ) cos( xy )( xyy) 0y ( x )e x yy cos(xy )exy x cos(xy )x0, y0 ， y (0)110. 解：ux 7 7 x 6 dx du原式1 (1 u ) du 1 ( 12 )du 7 u(1 u) 7 u u 112ln | u 1|)c(ln | u |71ln | x 7|2ln |1 x 7 | C771f ( x )dxxe1 2x x 2dx11. 解：xdx33xd ( e x)12dx1 ( x 1)3xexex0 0cos2d (令 x1 sin )324 2e 3 112. 解：由f (0)0 ，知 g(0)0。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h→--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分）1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x→+2. （6分）设2,1y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求30(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y xt e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 31;y x =+ 2 2;33 0;4 0. 三、 1 解 原式205lim3x x x x →⋅= 5分 53= 1分 2 解22ln ln ln(1),12x y x x ==-++ 2分2212[]121x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式221ln(1)(1)2x d x =++⎰ 3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰ 2分 2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分1211(1)1cos t t dt e dt t -=+++⎰⎰ 1分 210[]t e t =++ 1分 21e e =-+ 1分5 两边求导得cos 0,y e y x '⋅+= 2分 cos y x y e '=-1分 cos sin 1x x =- 1分 cos sin 1x dy dx x ∴=- 2分 6 解 1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰ 2分 21sin(23)2x C =++ 4分7 解 原式=23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4分 =32e 2分四、1 解 令ln ,x t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分 (0)1,0,f C =∴= 2分().x f x x e ∴=+ 1分2 解 222cos x V xdx πππ-=⎰ 3分 2202cos xdx ππ=⎰ 2分 2.2π= 2分3 解 23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分 令0,y ''=得 1.x = 1分当1x -∞<<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分(1,3)∴为拐点, 1分该点处的切线为321(1).y x =+- 2分 4 解1y '=-= 2分 令0,y '=得3.4x = 1分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分∴ 最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分五、证明()()()()()()bba a x a xb f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分 [()()()]()[2()b b a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分[2()()b a x a b df x =--+⎰ 1分{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++⎰ 1分()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰ 1分移项即得所证. 1分。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案(完整版).doc
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷及答案详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）1.（3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为(). (A)1(B)2(C)3(D)-12.（3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h→--的值为（）. (A)1(B)3(C)-1(D)123.（3分）定积分22ππ-⎰的值为（）. (A)0(B)-2(C)1(D)24.（3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处().(A)必不可导(B)一定可导(C)可能可导(D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分）平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为.2.（3分）1241(sin )x x x dx -+=⎰. 3.（3分）201lim sin x x x→=. 4.（3分）3223y x x =-的极大值为. 三、计算题（共42分）1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+2. （6分）设y =求.y '3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求30(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y xt e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x =[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明标准答案一、1B;2 C;3D;4 A.二、131;y x =+22;330;40. 三、1解原式205lim 3x x x x →⋅=5分 53=1分2解22ln ln ln(1),12x y x x ==-++2分2212[]121x y x x '∴=-++4分 3解原式221ln(1)(1)2x d x =++⎰3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰2分 2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+1分 4 解令1,x t -=则2分3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰1分1211(1)1cos t t dt e dt t-=+++⎰⎰1分 210[]t e t =++1分 21e e =-+1分5 两边求导得cos 0,ye y x '⋅+=2分 cos y x y e '=-1分 cos sin 1x x =-1分 cos sin 1x dy dx x ∴=-2分 6 解1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰2分 21sin(23)2x C =++4分7 解原式=23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4分 =32e 2分 四、1解令ln ,x t =则,()1,t tx e f t e '==+3分 ()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++2分(0)1,0,f C =∴=2分().x f x x e ∴=+1分2 解222cos x V xdx πππ-=⎰3分 2202cos xdx ππ=⎰2分 2.2π=2分 3 解23624,66,y x x y x '''=-+=-1分令0,y ''=得 1.x =1分当1x -∞<<时,0;y ''<当1x <<+∞时,0,y ''>2分 (1,3)∴为拐点,1分该点处的切线为321(1).y x =+-2分4解1y '=-=2分 令0,y '=得3.4x =1分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭2分∴ 最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2分 五、证明()()()()()()bba a x a xb f x x a x b df x '''--=--⎰⎰1分 [()()()]()[2()bb a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰1分[2()()b a x a b df x =--+⎰1分{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++⎰1分 ()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰1分 移项即得所证.1分。
大一高数期末考试试题及答案word
大一高数期末考试试题及答案word一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=2x-3，求f(5)的值。
A. 7B. 5C. 13D. 11答案：C2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值。
A. 5B. 3C. 7D. 9答案：A3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A4. 设函数g(x)=x^3-6x^2+11x-6，求g(2)的值。
A. 1B. 5C. 9D. 13答案：B5. 求极限lim(x→0) (sin x)/x。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B6. 已知函数y=x^2-4x+c，当x=2时，y=0，求c的值。
A. 4B. 0C. -4D. 8答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-6x+8，求f(1)的值。
答案：32. 计算定积分∫(0到π) sin x dx。
答案：23. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。
答案：e4. 设函数h(x)=x^3+2x^2-9x+1，求h'(x)的值。
答案：3x^2+4x-9三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2x-1的导数。
解：y'=3x^2-6x+22. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的定积分。
解：∫(1到3) (x^2-4x+3) dx = (1/3x^3-2x^2+3x)|1到3 = 63. 求极限lim(x→0) (1-cos x)/x^2。
解：lim(x→0) (1-cos x)/x^2 = lim(x→0) (sin x/x) * (1/x) = 1 * 0 = 04. 设函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)在x=3处的切线方程。
解：f'(x)=2x-6，f'(3)=0，f(3)=1，切线方程为y=1。
5. 求函数g(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
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2019-2020
学年第二学期试卷（A 卷）
课程：《高等数学》
一、填空题：（每空 3分，共 30分）
（说明：将运算结果．．．．
填写在每小题相应的横线） 1．设函数22
()30
x x f x x b
x ⎧+<=⎨
+≥⎩ 在0x =处连续，则常数b = ． 2．如果0sin 3lim
1x x
kx
→=，则k = ．
3．如果()f x 在0x 处可导，则00(2)()
lim x h
f x h f x h
→+-= ．
4．设函数1
y x
=
，当x 时此函数为无穷小量，当x 时此函数为无穷大量． 5．曲线2
2
4x xy y ++= 在点(2,2)-处的切线方程为 ． 6．函数1
()lg(5)
f x x =
-定义域为 ．
7．曲线3
352y x x =-++的拐点是 ．
8．曲线1
2
x y x +=
-的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 ． 9．设x e -是()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰ ．
10． 1
31
5sin xdx -=⎰
．
二、选择题：（每题5分，共 15 分）
（说明：将认为正确答案的字母填写在每小题相应的括号内） 1．下列函数在1x =-处连续，但不可导的是【 】． A.1y x =+ B.2ln(1)y x =+ C. 1
1
y x =
+ D. 2(1)y x =+ 2．设2
11x y x
-=+，则1x =-是函数的【 】．
A.连续点
B. 可去间断点
C.跳跃间断点
D. 无穷间断点
3．下列等式不正确是【 】．
A. 1
2
lim(12)x
x x e →+= B. 110
lim(1)
x
x x e --→-=
C. sin lim
0x x x →∞= D. 0tan lim 1x x
x
→=
4．设
()(n f x x n =为自然数），则(1)()n f x +=【 】．
A. !n
B. (1)!n +
C. 0
D. ∞ 5．设 ()f x '存在且连续，则(())df x '=⎰
【 】．
A. ()f x
B. ()f x '
C. ()f x C '+
D. ()f x C +
三、计算与应用题：（每题4分，共40分）
1. 求3
4
lim sin 2x x π
→
．
2．求0sin 2lim
4x x
x
→．
3．求20
x →．
4．求33221
lim 43
x x x x x →∞+-++
5．已知 11()()y x x x x
=-+ ，求 y '．
6．设函数3
ln y x =，求dy ．
7．求方程 3
sin e x
y x y += 所确定的隐函数()y f x =的导数．
8．函数6
(1)y x =+ ，求(0)y ''．
四、应用题：（共15分）
1. 求函数3
2
()6152f x x x x =--+的极值和拐点．。