高三数学月考试卷

高三年级数学月考试卷

班级 姓名 学号

1．已知集合{}|12M x x =-<<，{}|13N x x =≤≤，则M N =（ ）

A ．(]1,3-

B ．(]1,2-

C ．[)1,2

D ．(]

2,3

【答案】C 解：

集合{}|12M x x =-<<，{}|13N x x =≤≤，

∴{}[)|121,2M N x x ⋂=≤<=.故选：C.

2．已知直线:210l x y a -+-=与圆()()2

2

129x y -++=相交所得弦长为4，则a =（ ） A ．1或2

B ．1或-9

C ．1或-2

D ．1或9

【答案】B 由条件得圆的半径为3，圆心坐标为()1,2-，因为直线:210l x y a -+-=与圆

()()

22

129x y -++=相交所得弦长为4，所以2

24925⎛⎫-= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，所以2

890a a +-=， 解得1a =或9a =-．故选：B. 3．设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“216

x

＋2

9y ≤1”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】 “|x |≤4且|y |≤3”表示的平面区域M 为矩形区域，“216x ＋29y ≤1”表示的平面区域N 为椭圆2

16x ＋2

9

y ≤1及其内部，则如图 显然N 在M 内，故选：A ．

4．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（ ）

A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1

B ．图像的对称轴在y 轴的右侧

C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小

D ．y 的最小值为-3

【答案】D 【详解】∵y =2x 2+4x -1=2（x +1）2-3，∴当x =0时，y =-1，故选项A 错误， 该函数的对称轴是直线x =-1，故选项B 错误，

当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误，

当x =-1时，y 取得最小值，此时y =-3，故选项D 正确，故选：D ．

5．在数列{}n a 中，112

a =，11

1n n a a -=-（2n ≥，n ∈+N ），则2020a =（ ）

A ．1

B ．

1

2

C ．1-

D ．2

【答案】解：2111121a a =-

=-=-，3211112a a =-=+=，431111122

a a =-=-=， 可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，20203673111

2

a a a ⨯+∴===

.故选：B. 6．函数2228(0)y x ax a a =-->，记0y ≤的解集为A ，若()1,1A -⊆，则a 的取值范围（ ）

A ．1,2⎡⎫

+∞⎪⎢⎣⎭

B ．1,4⎡⎫

+∞⎪⎢⎣⎭

C ．11,42⎛⎫

⎪⎝⎭

D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦

【答案】A 函数()()2

2

2824y x ax a x a x a =--=+-，抛物线开口向上，又0a >，所以24a a -<,

则

0y ≤的解集为[]

2,4A a a =-，得2141

a a -≤-⎧⎨≥⎩，解得1

2a ≥，所以正确选项为A ．

7．如果关于x 的不等式3210x ax -+≥在[]1,2-上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．32

a ≤

B ．2a ≤

C ．0a ≤

D ．1a ≤

解．C 【详解】当0x =时,不等式成立.

当0x ≠时,不等式3210x ax -+≥在[1,0)(0,2]-⋃上恒成立等价于2

1

,[1,0)(0,2]a x x x ≤+

∈-恒成立.令21,([1,0)(0,)2]g x x x x +∈=-则min ()a g x ≤.又333

()221x x x

g x '-==-,令()0g x '

≤，解得

x ∈.所以g()x 在[1,0)-上单调递增,

在上单调递减

, 单调递增.

又因为1

g(1)2

-==

.所以min g()0x =.所以0a ≤.故选：C.

8．过抛物线2:E y x =的焦点F 任作两条互相垂直的直线1l ，2l ，分别与抛物线E 交于A ，B 两点和C ，

D 两点，则4AB CD +的最小值为________． A ．4 B ．9

C ．5

D ． 8

【答案】B

法一：由题意知，抛物线2y x =的焦点为1,04⎛⎫

⎪⎝⎭

．

由直线1l ，2l 与抛物线E 分别交于两点且12l l ⊥，直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0， 故可设直线1l 的方程为14y k x ⎛⎫=-

⎪⎝⎭

，则直线2l 的方程114y x k ⎛⎫

=-- ⎪⎝⎭， 联立直线1l 和抛物线E 的方程，得2114y k x y x

⎧⎛

⎫=-⎪ ⎪

⎝

⎭⎨⎪=⎩

，消去y 得()2222168160k x k x k -++=，所以2222

8162162A B k k x x k k +++==，令1k -代替此式中的k ，得221

2

C D k x x ++=， 因为111442A B A B AB x x x x =+

++=++，12

C D CD x x =++， 所以()()222

22

5251||4||4221459222A B C D k AB CD x x x x k k k k

++=++++=+++=++， 当且仅当2

1

2

k =

时等号成立，所以||4||AB CD +的最小值为9． 法二 设直线AB 的倾斜角为θ，点A 在x 轴上方，作1AK 垂直抛物线E 的准线于1K ，2AK 垂直x 轴于

2K ，抛物线的准线交x 轴于点G ，易知1

1cos 22AF GF AK

AK AF p p GF p

θ⎧

⎪⋅+=⎪⎪

=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩

，所以||cos ||AF p AF θ⋅+=，所

以||1cos p AF θ=

-，同理||1cos p BF θ=+，所以22

22||||||1cos sin p p

AB AF BF θθ

=+==-． 又DC 与AB 垂直，所以直线DC 的倾斜角为

2

π

θ+，

所以

2222||cos sin 2p p

DC πθθ=

=

⎛⎫+ ⎪⎝⎭

．因为2y x =，所以21p =，所以 ()22

2222222222

4sin cos 1

4sin cos cos 4sin ||4||259sin cos sin cos sin cos AB DC p θθθθθθθθθθθθ++⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭

，当且仅当2

1

tan 2

θ=时等号成立，所以||4||AB DC +的最小值为9．故答案为：9 二、多选题

9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前4项的和为114a +，且2a ，31a +，4a 成等差数列，则q 的值可能为（ ） A ．

1

2

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】AC 解：因为2a ，31a +，4a 成等差数列，所以2432(1)a a a +=+，

因此，12341313214a a a a a a a +++=+=++，故34a =．又{}n a 是公比为q 的等比数列，所以由

2432(1)a a a +=+，得331

()2(1)a q a q +=+，即152

q q +=，解得2q

或

1

2

．故选：AC ． 10．设正实数,a b 满足1a b +=，则（ ）

A ．

11

a b

+有最小值4 B

有最小值

1

2 C

D ．22a b +有最小值

12

【答案】ACD

选项A ：因为,a b 是正实数，

所以有11224

a b a b b a a b a b a b +++=+=++≥+=（当且仅当a b =时取等号），故本选项是正确的；