第九章__湍流流动与换热分析

qty c p vt
t qz c p wt
步化简为
9-2 湍流微分方程


u v 0 x y
u
u u d p u v uv y dx y y x
(9-2-11) (9-2-12) (9-2-13)
第九章 湍流流动与换热
前面两章讨论的是外掠物体和管内流动的层流对流换
热，然而不可能在所有Re数下都能得到层流。 由流体力学可知，当Re数超过一定数值后，流体中会 出现脉动，层流可发展成为或诱导出更加复杂的流 动——湍流。 湍流传热问题包括湍流的流动行为、工程传热中的主 要应用以及湍流如何进行热量与动量传递。 本章将扼要介绍湍流的基本概念、湍流传热的基本处 理方法和一些经验关系式。

u
v v v 1 p v w v2 v uv v2 vw x y z x x y z （9-2-6）




u
w w w 1 p v w v2 w wu wv w2 （9-2-7） x y z x x y z
ห้องสมุดไป่ตู้



9-2 湍流微分方程
展开为
u v w u v w 0 x y z x y z
根据时均法则，脉动项的时均值为零，得
上式与层流具有同样的形式，只是速度采用时均值。 x方向的动量方程(6-2-8)很容易改写为
u v w 0 x y z
1877年布斯涅斯克提出，湍流应力与速度梯度的关系可以按粘性
应力的形式表示，即
u 2 u v w uu 2t t x 3 x y z
t xx
v 2 u v w vv 2t t y 3 x y z
9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
9-3-2 普朗特混合长度理论 根据1925年普朗特提出的动量混合长度理论，可以讨论湍流运动
粘度νt的数量级。如图9-3所示， 假设位于y层的流体微团的x方向的时均速度为 u y 。由于横向脉 动，微团移向壁面到达
y l 位置，此处微团的时均速度


（9-2-3）
9-2 湍流微分方程
展开上式，并应用时均法则，有
2 1 p 2 2 u uv vw v u u u v vw y x z x x y z




是 u y l ，l 是微团保持仍被识别的混合长度。假设流体微团 从y到 y l 仍保持x方向动量不变，x方向的速度脉动 u 的数量 级显然是 u y u y l ，即

O u l
u y
（9-3-5）
9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
u y
（9-3-8）
9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
不同的流动有不同的混合长度，不存在确定混合长度的通用准则，

t y
t y
（9-3-2）
9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
t qz c p wt c p at
t z
考虑上一节结出的湍流边界层时均方程，湍流应力和湍流热流可
以表示为

tot
u u uv t y y
（9-3-3）
t yy
ww 2t
t zz
w 2 u v w t z 3 x y z

t xy uv t
u y

v x
（9-3-1）
9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
u w u w t z x


9-2 湍流微分方程
同样可以获得时均形式的能量方程：
（9-2-8） 式(9-2-5)～(9-2-7)称为雷诺时均方程。与层流的N-S方程相比，湍
u
t t t v w a2 t ut vt wt x y z x y z
9-1 湍流的基本概念
9-1 湍流的基本概念
9-1-2 湍流结构及时均描述方法
湍流对流换热是近年来的主要研究课题之一，许多研究者对湍 流传热问题给出了系统的总结。纵观湍流传热的研究历史，一个 世纪以来，始终遵循雷诺、布斯涅斯克和普朗特提出的理论。 由层流到湍流的过渡是一个十分复杂的过程，对这个区域的研 究仍是当代学者的主要任务之一，目前尚无较准确的描述，因而 以后篇幅所涉及的均是旺盛湍流。 湍流是一种随机、非定常的、三维有旋流动，由各种尺寸的涡 组成。涡是三维的，其大小、强度及其产生的地点、周期均不规 则。Bejan认为湍流具有大尺度上的相同结构。一般解决湍流传热 问题的基本方式与过去讨论的层流问题一样、是基于时间平均法 则的描述。实验研究表明．湍流中涡团的尺度远大于分子平均自 由行程，连续介质假设仍然成立。


( )d
为稳态湍流。
9-1 湍流的基本概念
9-1 湍流的基本概念
时均法则的基本出发点是一段时间内脉动量的时均值为零，即
即
1


1 d


1 d


d 0

(9-1-3)

qtot
t t c p vt c p a at y y
（9-3-4） 显然，类比的概念与形式较容易接受，但物理本质上湍流应力与
湍流热流同粘性应力与分子扩散有根本的区别。对于湍流，ηt的大 小不仅同脉动有关，还与时均速度有关，已不是流体物性；同样， at也不是流体的特性，布斯涅斯克理论只是进一步简化时均方程以 使之便于封闭。
无论是湍流时均方程组还是湍流边界层时均方程组，均是不封闭的，除
层流方程中出现的u、v、w、p和t等未知量外，还增加了雷诺应力和雷诺 热流，因而解决湍流问题的途径必须附加相应数目的方程，使方程组封 闭。目前附加方程均是以半经验理论为依据的。
9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
9-3-1 湍流应力与湍流热流

9-1 湍流的基本概念
根据雷诺提出的时均化法则，描述湍流流动与换热的物理量的瞬
时值ф时可以用时均值 即

与脉动值 之和表示。如图9-2所示。
(9-1-1)
其中时均值定义为
1
(9-1-2) 时均值随时间变化的湍流称非稳态湍流，不随时间变化的湍流称
表示:
(9-1-4) 类似地可以得到一系列时均法规则。流体的湍流强度通常用下式
1


d 0

1 u u v v w w 3 若 uu vv ww ，则称为各向同性湍流。 J 1 V


1 2
t xz
v w vw t z y
t yz
其中ηt称为湍流动力粘度，
t t 称为湍流运动粘度或湍流动
t x
量扩散率。类似地，湍流热流可表示为
q c p ut c p at
t x

q c p vt c p at
t t t vw u w yz zy uv xz zx （9-2-9）
速度温度脉动有关的附加项，称为雷诺热流，即
t qx c p ut
（9-2-10） 若考虑的是不可压缩湍流，二维稳态的湍流边界层流动方程组进
9-1 湍流的基本概念
9-1-1 层流到湍流的过渡 1883年，雷诺通过对管内流动状态的观察和研究，首先发现了流
态分为本质上的不同的层流和湍流。由层流过渡到湍流的原因十 分复杂，一般可以理解为是微小的扰动在一定条件下被放大，使 层流失去稳定性，成为湍流。引起扰动的因素主要有来流的不均 匀性、流体中杂质引起的物性的突变、来流温度的不均匀。影响 层流过渡到湍流的因素还包括自由流的压力梯度、表面粗糙度、 传热量等以及湍流强度。层流过渡到湍流是在一个区域内逐渐完 成的，该区域称为过渡区。过渡开始时的雷诺数称为临界雷诺数 Recr，不同的流动方式有不同的临界雷诺数：一般管内流动取Recr = 2300～104，外掠物体时取Recr＝6×104～ 5×106。如果湍流强 度很低，表面很光滑，则临界雷诺数可以提高几个数量级。一些 研究者用激光对直管进行研究，发现临界雷诺数可达几十万。 层流向湍流的过渡有几个特征：边界层厚度迅速增加(如图9-1所 示)；速度分布由层流时的布劳修斯分布变得较平坦，最终趋于 1/7次方指数分布；边界层的位移厚度与动量厚度之比急剧下降。 粘性流体稳定性理论认为，层流向湍流的过渡是发生在局部地点 的现象，因而不少研究者采用边界层动量厚度作为临界雷诺数的 定型尺寸。
t t 1 t v c v t p x y c p y y 边界层外伯努利方程仍然适用，即 u
dU dp U dx dx 式(9-2-13)、(9-2-14)称为湍流边界层时均方程组。
(9-2-14)
(9-1-5)
9-2 湍流微分方程
对于常物性的不可压缩流体，其连续性方程为
湍流流动中，u、v、w均为瞬时值，按雷诺时均法则，它们可以
u v w 0 x y z
表示为时均值与脉动值之和，即
u u u
v v v
w w w
将以上各式代入连续性方程，并作时均运算得 u u v v w w 0 x y z


流的雷诺方程增加了由速度脉动值构成的附加项。由这些脉动引 起的附加应力称为雷诺应力或湍流应力： t t t v v yy zz w w uu
xx
t xy t yx
式(9-2-8)称为湍流能量方程。同样，与层流方程相比，增加了与
（9-2-1）
利用时均法则得到
u 2 1 p u uv vw v 2u t x y z x
（9-2-2）
2 1 p u uv vw v2 u x y z x
9-3 湍流半经验理论与湍流模型简介
由连续性力程可知，横向脉动速度 v 与 u 有相同的数量级：
O v l
显然有
u y
2
（9-3-6）
2 u u v l y
（9-3-7）
根据湍流应力定义，有
t l2
式中l为普朗特混合长度。
将式(9-2-1)代入上式，得
u
（9-2-4）
类似地可以得到y、z方向的时均形式的动量方程：
u u u 1 p v w v2 u u2 uv vw x y z x x y z


（9-2-5）