与圆有关的动点问题
与圆有关的动点问题[下学期] 浙教版(PPT)5-2
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AB上沿图示方向移动,当⊙O移动到与AC边相
23
切时,OA的长是 3 .
别人结婚。 【逼近】ī动靠近；接近：小艇～了岸边｜天色已经～黄昏｜脚步声从远处渐渐～。 【逼良为娼】ī逼迫良家妇女当娼妓，也比喻迫使正直安分的 人去做坏事。 【逼命】ī动①指用暴力威胁人。②比喻催促得十分紧急，使人感到紧张，难以应付：真～！这么重的任务，三天内怎能完成！ 【逼平】ī动体 育比赛中，处于劣势的一方经过努力，迫使； 少儿英语教育加盟 少儿英语教育加盟 ；对手接受平局。 【逼迫】ī动紧紧地催促； 用压力促使：在环境的～下，他开始变得勤奋了。 【逼抢】ī动紧逼着争抢（多用于足球、篮球等球类比赛）：～凶狠。 【逼上梁山】ī《水浒传》中有林冲 等人为官府所迫，上梁山造反的情节。后用来比喻被迫进行反抗或不得不做某种事。 【逼视】ī动向前靠近目标，紧紧盯着：光彩夺目，不可～｜在众人的～ 下，他显得局促不安了。 【逼问】ī动强迫被问者回答：无论怎么～，他就是不说。 【逼肖】ī〈书〉动很相似：虽是绢花，却与真花～。 【逼仄】ī〈书〉形 （地方）狭窄：～小径｜居室～。 【逼债】ī∥动逼迫人还债。 【逼真】ī形①极像真的：情节～｜这个老虎画得十分～。②真切：看得～｜听得～。 【??】 （鎞）ī〈书〉①钗。②篦子。 【鲾】（鰏）ī名鱼，身体小而侧扁，略呈卵圆形，青褐色，口小，鳞细。生活在近海。种类很多，有牙鲾、鹿斑鲾等。 【荸】 ［荸荠］（?）名①多年生草本植物，通常栽培在水田里，地下茎扁圆形，皮红褐色或黑褐色，肉白色，可以吃，也可制淀粉。②这种植物的地下茎。‖有的 地区叫地栗或马蹄。 【鼻】①名鼻子：～梁｜～音。②〈书〉开创：～祖。 【鼻翅儿】名鼻翼的通称。 【鼻窦】名鼻旁窦的通称。 【鼻化元音】ī见页〖元 音〗。 【鼻尖】（～儿）名鼻子末端最突出的部分。也叫鼻子尖儿。 【鼻疽】名马、驴、骡的一种传染病，由鼻疽杆菌引起，在内脏、鼻腔黏膜和皮下形成
与圆有关的动点问题课件
函数与导数
利用圆的性质和动点的运 动规律，研究函数的单调 性、极值和最值等问题。
立体几何
在立体几何中，涉及到球 体和球面上的动点问题， 如球体表面积、体积的计 算等。
THANKS
感谢观看
REPORTING
和。
内含
一个圆的全部都在另一 个圆的内部，这种情况
叫做内含。
圆与直线的位置关系
01
02
03
04
相切
直线与圆只有一个公共点，这 个公共点是直线与圆的切点，
这种情况叫做相切。
相交
直线与圆有两个公共点，这种 情况叫做相交。
平行
直线与圆没有公共点，且直线 不经过圆的内部，这种情况叫
做平行。
垂直
经过圆心的直线与该圆垂直。
动点在圆外
总结词
当动点位于圆外时，动点与圆心的距离大于圆的 半径。
总结词
动点在圆外时，动点的运动轨迹形成了一个双曲 线。
详细描述
当动点位于圆外时，动点与圆心的距离大于圆的 半径，此时动点的位置也是不确定的，并且动点 与圆心的连线与圆的半径不垂直。
详细描述
当动点在圆外运动时，其运动轨迹形成了一个双 曲线，这是因为动点与圆心的距离始终大于圆的 半径，并且随着动点的移动，其与圆心的距离不 断变化。
综合运用圆的性质和动点的性质解决问题
总结词
综合运用圆的性质和动点的性质，通过建立数学模型和方程组，求解与圆有关的 动点问题。
详细描述
在解决与圆有关的动点问题时，有时候需要综合运用圆的性质和动点的性质。例 如，在求解一个动点在圆上做变速圆周运动的问题时，需要同时考虑圆的性质和 动点的加速度、速度等性质，建立数学模型和方程组进行求解。
与圆有关的动点问题[下学期]--浙教版
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2
2
（0≤x≤1）．
F
若⊙O与CD相切必有OF OE AE
2
AE2=BE2+AB2 (2FO)2＝BE2+AB2
F
(2－x)2＝x2+12
4－4x＋x2＝x2＋1
x 3 4
(3)从(2)可得F是CD的中点
2
1H
(4)作FH⊥AE于H
（1）t为何值时，四边形APQD为矩形/
（2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么 t为何值时， ⊙P和⊙Q外切？
；图文快印 图文快印
；
别来无恙乎，挑帘入座，可对弈纵横、把盏擎歌，可青梅煮酒、红袖添香 国学大师陈寅恪，托十载光阴，毕暮年全部心血，著皇皇80万言《柳如是别传》。我想，灵魂上形影相吊，慰先生枯寂者，唯有这位300年前的秦淮女子了。其神交之深、之彻，自不待言。 6 古人尚神交古人，今 人当如何？ 附庸风雅的虚交、名利市场的攀交、蜂拥而上的公交、为稻粱谋的业交，甚嚣尘上，尤其炒栗子般绽爆的“讲坛热”“国学热”“私塾热”“收藏热”“鉴宝热”“拍卖热”。但人生意味的深交、挚交，纯粹的君子之交、私人的精神之恋，愈发稀罕。 读闲书者少了，读古人 者少了，读古心者更少。 星转斗移，今心性已大变。 有朋友曾说过一句：为什么我们活得如此相似？ 问得太好了。人的个体性、差异性越来越小。恰如生物多样性之锐减，人生多样性也急剧流失，精彩的生活个案、诗意的栖息标本，皆难搜觅。 某日，我半玩笑地对一同事说：“给我 介绍一两位闲人吧，有趣的人，和我们不一样的人，比我们有意思有意义 ”他长期做一档“讲述老百姓自己的故事”的节目，猎奇于民间旮旯，又兼话剧导演，脑筋活泛，当有这方面资源。他嘿嘿几声，皱眉半晌，摇头：“明白你的意思，但不骗你，这物种，还真绝迹了，恐怕得往古 时候找了。” 陋闻了
动点问题--圆初三数学
（ 1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等)（ 2）试用表示，并写出的取值范围；（相像）（ 3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相像）【答案】解：（ 1 ）如图 1 ，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有：在中，有在中，又解得：（2）如图 2，交于点，与对于对称，则有：，又又与对于对称，（ 3）如图 3，当的外接圆与相切时，则为切点.的圆心落在的中点，设为则有，过点作，连结，得则又解得：（舍去）①②③3.已知在平面直角坐标系 xOy中， O是坐标原点，以 P（1，1）为圆心的⊙ P与 x 轴， y 轴分别相切于点 M和点 N，点 F 从点 M出发，沿 x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结 PF，过点 PE⊥ PF交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（ t ＞0）（1）若点E在y轴的负半轴上（以下图），求证：PE=PF；（全等）（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（全等 +分类议论）（3）作点F对于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q，连结 QE．在点 F 运动过程中，能否存在某一时辰，使得以点Q、 O、E 为极点的三角形与以点、、为极点的三角形相像？若存在，请直接写出t 的值；若不存P M F在，请说明原因．（议论对称轴+全等 +相像）【剖析】：（1）连结PM， PN，运用△PMF≌△ PNE证明，（2）分两种状况①当t ＞1时，点 E 在 y 轴的负半轴上，0＜t≤1时，点 E 在y 轴的正半轴或原点上，再依据（1）求解，（3）分两种状况，当 1＜t＜2 时，当t＞2 时，三角形相像时还各有两种状况，依据比率式求出时间 t ．【解答】：证明：（ 1）如图，连结PM， PN，∵⊙P 与x轴，y轴分别相切于点和点，M N∴PM⊥ MF，PN⊥ ON且 PM=PN，∴∠ PMF=∠ PNE=90°且∠ NPM=90°，∵ PE⊥ PF，∠NPE=∠ MPF=90°﹣∠ MPE，在△ PMF和△ PNE中，，∴△ PMF≌△ PNE（ASA），∴PE=PF，（2）解：①当t＞ 1 时，点E在y轴的负半轴上，如图，由（ 1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，∴b=OF=OM+MF=1+t ，a=NE﹣ ON=t ﹣1，∴b﹣ a=1+t ﹣（ t ﹣1）=2，∴ b=2+a，②0＜t≤1时，如图 2，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证△ PMF≌△ PNE，∴b=OF=OM+MF=1+t ，a=ON﹣ NE=1﹣ t ，∴b+a=1+t +1﹣ t =2，∴b=2﹣ a，（3）如图 3，（Ⅰ）当 1＜t＜2 时，∵F（1+t ，0）， F 和 F′对于点 M对称，∴F′（1﹣t ，0）∵经过 M、E 和 F′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q，∴Q（1﹣t ，0）∴ OQ=1﹣t ，由（ 1）得△PMF≌△PNE[ 根源 : 学 , 科, 网 ]∴NE=MF=t ，∴ OE=t ﹣1当△ OEQ∽△ MPF∴=∴=，解得， t =，当△ OEQ∽△ MFP时，∴=，=，解得， t =，（Ⅱ）如图4，当t＞ 2 时，∵F（1+t ，0）， F 和 F′对于点 M对称，∴F′（1﹣t ，0）∵经过、和′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点，M E F Q∴Q（1﹣ t ，0）∴ OQ=t ﹣1，由（ 1）得△≌△∴ = =，∴= ﹣ 1PMF PNE NE MF t OE t当△ OEQ∽△ MPF∴=∴=，无解，当△ OEQ∽△ MFP时，∴= ，=，解得， t =2±，因此当t =，=，=2±时，使得以点、、为极点的三角形与以点、、t t Q O E P M F为极点的三角形相像．【评论】：本题主要考察了圆的综合题，解题的重点是把圆的知识与全等三角形与相像三角形相联合找出线段关系．3.木工黄师傅用长 AB=3，宽 BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心 O1、 O2分别在 CD、 AB上，半径分别是 O1C、 O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；（圆心距 +勾股）方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适合平移三角形并锯一个最大的圆；（相像 +设半径）方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形 AFED下边，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）经过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜ 1），圆的半径为y．（分类议论）①求 y 对于 x 的函数分析式；②当 x 取何值时圆的半径最大，最大部分径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．【考点】：圆的综合题【剖析】：（ 1）察看图易知，截圆的直径需不超出长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3， 2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）方案二、方案三中求圆的半径是惯例的利用勾股定理或三角形相像中对应边长成比率等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所求边长，尔后利用关系代入表示其余有关边长，方案二中可利用△O1O2 E为直角三角形，则知足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△ OFN后对应边成比率整理方程，从而可求r的值．（3）①近似（ 1）截圆的直径需不超出长方形长、宽中最短的边，固然方案四中新拼的图象不必定为矩形，但直径也不得超出横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由EC为 x，则新拼图形水平方向跨度为 3﹣x，竖直方向跨度为 2+x，则需要先判断大小，尔后分别议论结论．②已有关系表达式，则直接依据不等式性质易得方案四中的最大部分径．另与前三方案比较，即得最后结论．【解答】：解：（ 1）方案一中的最大部分径为1．剖析以下：2，则半径最由于长方形的长宽分别为3， 2，那么直接取圆直径最大为大为 1．（2）如图 1，方案二中连结O1， O2，过 O1作 O1E⊥ AB于 E，方案三中，过点O分别作 AB，BF的垂线，交于M，N，此时 M，N恰为⊙ O与 AB， BF的切点．方案二：设半径为 r ，在 Rt△ O1O2E中，∵O1O2=2r ， O1E=BC=2， O2E=AB﹣ AO1﹣CO2=3﹣2r ，∴（ 2r）2 =22+（ 3﹣ 2r）2，解得 r =．方案三：设半径为 r ，在△ AOM和△ OFN中，，∴△ AOM∽△ OFN，∴，∴，解得r =．比较知，方案三半径较大．（3）方案四：①∵ EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为 2+x．近似（ 1），所截出圆的直径最大为 3﹣x或 2+x较小的．1．当 3﹣x＜ 2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；2．当 3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=；3．当 3﹣x＞ 2+x时，即当x＜时，r=（2+x）．②当 x＞时，r=（3﹣x）＜（3﹣）=；当 x=时， r =（3﹣）=；当 x＜时， r =（2+x）＜（2+）=，∴方案四，当 x=时， r 最大为．∵1＜＜＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．【评论】：本题考察了圆的基天性质及经过勾股定理、三角形相像等性质求解边长及分段函数的表示与性质议论等内容，题目虽看似新奇不易找到思路，但认真察看每一小问都是惯例的基础考点，因此整体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习．4.如图，已知 l 1⊥ l 2，⊙ O与 l 1，l 2都相切，⊙ O的半径为2cm，矩形 ABCD的边 AD、AB分别与 l 1， l 2重合， AB=4 cm， AD=4cm，若⊙ O与矩形 ABCD沿 l 1同时向右挪动，⊙ O的挪动速度为 3cm，矩形ABCD的挪动速度为 4cm/ s，设挪动时间为t（s）（1）如图①，连结OA、 AC，则∠ OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形挪动一段时间后，⊙O抵达⊙O1的地点，矩形ABCD抵达A1B1C1D1的地点，此时点 O1， A1， C1恰幸亏同向来线上，求圆心 O挪动的距离（即 OO1的长）；（相像）（3）在挪动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不停变化，设该距离为d（cm），当 d＜2时，求 t 的取值范围（解答时能够利用备用图画出有关表示图）．（相像+切线）（数形联合 +分类议论）【考点】：圆的综合题．【剖析】：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠ DAC=60°，从而得出答案；（2）第一得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣ 2=t﹣2，求出t的值，从而得出 OO1=3t 得出答案即可；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设挪动时间为t 1，②当直线 AC与⊙O第二次相切时，设挪动时间为t 2，分别求出即可．【解答】：解：（ 1）∵l⊥ l，⊙ O与 l ， l2都相切，121∴∠ OAD=45°，∵ =4，=4 ，AB cm AD cm∴CD=4cm， AD=4cm，∴tan ∠ DAC===，∴∠ DAC=60°，[根源:ZXXK]∴∠ OAC的度数为：∠ OAD+∠ DAC=105°，故答案为： 105；（2）如图地点二，当O1，A1，C1恰幸亏同向来线上时，设⊙O1与 l 1的切点为 E，连结 O1E，可得 O1E=2， O1E⊥ l 1，在 Rt△ A1D1C1中，∵ A1D1=4， C1D1=4，∴tan ∠ C1A1D1=，∴∠ C1A1D1=60°，在Rt△ A1O1E 中，∠ O1A1E=∠ C1A1 D1=60°，∴A E==，1∵ 1 =1﹣1﹣2=﹣2，AE AA OO t∴t ﹣2=，∴t =+2，∴1=3 =2+6；OO t（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设挪动时间为t 1，如图，此时⊙O 挪动到⊙2 的地点，矩形挪动到2 2 2 2的地点，O ABCD ABCD设⊙ 2 与直线l 1， 2 2 分别相切于点，，连结2，2， 2 2，O A C F G OF OG OA ∴O2F⊥ l 1， O2G⊥ A2G2，由（ 2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠ O2A2F=60°，在Rt △ 2 2中， 2 =2，∴ 2 =，A OF OF A F∵OO=3t ， AF=AA+A F=4t +，2221∴4t 1+﹣ 3t1=2，∴t 1=2﹣，②当直线AC与⊙ O第二次相切时，设挪动时间为t 2，记第一次相切时为地点一，点 O1，A1，C1共线时地点二，第二次相切时为地点三，由题意知，从地点一到地点二所用时间与地点二到地点三所用时间相等，∴+2﹣（ 2﹣）=t2﹣（+2），解得： t 2=2+2，综上所述，当d＜2时， t 的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．【评论】：本题主要考察了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类议论以及数形联合 t 的值是解题重点．5.如图，平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y=﹣ x+b（ b 为常数， b＞0）的图象与 x 轴、 y 轴分别订交于点A、B，半径为4的⊙ O与 x 轴正半轴订交于点 C，与 y 轴订交于点D、E，点D在点 E 上方．（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠ CFE的度数；2②用含 b 的代数式表示FG，并直接写出 b 的取值范围；（垂径定理+直线方程）（2）设b ≥5，在线段上能否存在点，使∠=45°？若存在，恳求出P点坐标；若不AB P CPE存在，请说明原因．（相切 +圆周角）【考点】：圆的综合题【剖析】：（1）连结CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB点M，连结OF，利用两条直线垂直订交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出22FM，再求出FG，再依据式子写出 b 的范围，（3）当b=5 时，直线与圆相切，存在点P，使∠ CPE=45°，再利用两条直线垂直订交求出交点P的坐标，【解答】：解：（1）连结CD，EA，∵DE是直径，∴∠ DCE=90°，∵CO⊥ DE，且 DO=EO，∴∠ ODC=OEC=45°，∴∠ CFE=∠ ODC=45°，（2）①如图，作OM⊥ AB点 M，连结 OF，∵OM⊥ AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在的直线函数式为：y=x，∴交点 M（b，b）222∴OM=（b）+（b），∵OF=4，2222﹣（2﹣（2∴FM=OF﹣ OM=4b）b），∵FM=FG，∴2=42=4×[4 2﹣（）2﹣（）2]=64 ﹣2=64×（ 1﹣2），FG FM b b b b∵直线 AB与有两个交点F、 G．∴4≤b＜ 5，（3）如图，当 b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，[根源:]∴∠ DCE=90°，∵CO⊥ DE，且 DO=EO，∴∠ ODC=OEC=45°，∴∠ CFE=∠ ODC=45°，∴存在点 P，使∠ CPE=45°，连结 OP，∵P 是切点，∴OP⊥ AB，∴OP所在的直线为：y=x，又∵ AB所在的直线为：y=﹣x+5，∴P（，）．【评论】：本题主要考察了圆与一次函数的知识，解题的重点是作出协助线，明确两条直线垂直时 K的关系．6.如图，矩形 ABCD的边 AB=3cm，AD=4cm，点 E 从点 A出发，沿射线 AD挪动，以 CE为直径作圆 O，点 F 为圆 O与射线 BD的公共点，连结 EF、CF，过点 E作 EG⊥ EF，EG与圆 O订交于点 G，连结 CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止挪动，在点E挪动的过程中，①矩形 EFCG的面积能否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明原因；②求点 G挪动路线的长．【考点】：圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判断与性质；圆周角定理；切线的性质；相像三角形的判断与性质．【剖析】：（ 1）只需证到三个内角等于90°即可．FCE=∠ FDE，从而证到△CFE∽△ DAB，依据（2）易证点D在⊙ O上，依据圆周角定理可得∠S矩形ABCD 相像三角形的性质可获得S 矩形ABCD=2S△CFE=．而后只需求出CF的范围便可求出的范围．依据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠ FDE=定值，从而获得点G的挪动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．【解答】：解：（ 1）证明：如图1，∵CE为⊙ O的直径，[根源:学。
教案_圆动点问题
圆上的动点例题1： 如图(1)：已知⊙O 的半径为6cm ， 射 线PM 经 过点O ，OP=10cm ，射线PN 经过点⊙O 相切于点Q 。
A ，B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动，设运动时间为ts 。
求PQ 的长；（2）当为t 何值时，直线AB 与⊙O 相切。
练习：1.如图,⊙O 的半径为1,圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动,当⊙O 移动到与AC边相切时,OA 的长是.2.在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm,BC=5cm,AB 为圆O 的直径，动点P 沿AD 从点A 开始向点D 以1m/s,的速度运动，动点Q 沿CB 从点C 开始向点B 以2cm/s 的速度运动，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动。
是否存在某一时刻t,使直线PQ 与圆O 相切？若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由。
A B Q O P N M例题2（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.练习：如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t ≥0）． （1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米） 与时间t （秒）之间的函数表达式；（2）问点A 出发后多少秒两圆相切？例题3如图，在平面直角坐标系中，点1O 的坐标为(40) ，，以点1O 为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A B ，两点，过A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°的角，且交y 轴于C 点，以A B CO 图8H A BNM点2(135)O ，为圆心的圆与x 轴相切于点D ． （1）求直线l 的解析式；（2）将2O ⊙以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，当2O ⊙第一次与1O ⊙外切时，求2O ⊙平移的时间．练习：已知：如图所示，直线l 的解析式为334y x =-，并且与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 。
圆形的动点问题
圆形的动点问题
简介
圆形的动点问题是一个经典的数学问题，涉及到在一个固定半径的圆上找到一个动点的运动轨迹。
本文将探讨在给定的圆上找到一个动点的运动轨迹的一种简单策略。
策略
我们可以将圆形的动点问题简化为一个平面几何问题。
设定一个固定半径的圆，我们需要找到一个动点，在圆的周长上运动。
为了简化问题，我们将动点的速度设定为相等和恒定。
步骤
以下是解决圆形的动点问题的简单策略的步骤：
1. 确定圆的半径：首先，我们需要确定给定圆的半径。
这将帮助我们计算动点的运动轨迹。
2. 计算圆的周长：根据圆的半径，我们可以计算出圆的周长。
周长是动点在圆上运动的路径。
3. 确定动点的速度：我们需要确定动点的速度。
假设动点的速
度是相等和恒定的，以便简化问题。
4. 计算动点的运动轨迹：根据动点的速度和圆的周长，我们可
以计算出动点在给定圆上的运动轨迹。
5. 图形化运动轨迹：为了更直观地理解动点在圆上的运动轨迹，可以图形化展示。
结论
通过简化圆形的动点问题，我们可以使用上述策略找到动点的
运动轨迹。
这个问题对几何学及其应用具有重要意义，并且可以帮
助我们理解运动轨迹的计算方法。
请注意，以上策略是一种简化的方法，可能不适用于所有情况。
特殊情况下可能涉及更复杂的数学问题和计算方法。
以上是关于圆形的动点问题的简要介绍和解决策略。
希望这能
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与圆有关的动点问题.doc题
动点问题（4）------与圆有关的动点直线与圆相切1.如图,⊙O 的半径为1,圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动,当⊙O 移动到与AC 边相切时,OA 的长是 .2.如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP ，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ．（1）求PQ 的长； （2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？3如图，ABC ∆中，090C ∠=，4AC =，3BC =.半径为1的圆的圆心P 以1个单位/s 的速度由点A 沿AC 方向在AC 上移动，设移动时间为t （单位：s ）. （1）当t 为何值时，⊙P 与AB 相切；（2）作PD AC ⊥交AB 于点D ，如果⊙P 和线段BC 交于点E ，证明：当165t s=时，四边形PDBE 为平行四边形.4.（2012河北中考25）如图14，(50)(30).A B --，，，点C 在y 轴的正半轴上，CBO∠=45，CD AB ∥，90CDA = ∠.点P 从点(40)Q ，出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒.（1） 求点C 的坐标；（2） 当15BCP =∠时，求t 的值；（3） 以点P 为圆心，PC 为半径的P ⊙随点P 的运动而变化，当P ⊙与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．5.如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= 30°，BC=12cm。
半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC 上。
设运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。
（1）当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？(2)当⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与⊿ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
圆的动点问题方法总结
圆的动点问题方法总结
圆的动点问题涉及圆的运动轨迹和动点的位置变化。
在解决这类问题时，我们
可以采用以下方法：
1. 构建几何模型：首先，我们可以通过绘制几何图形来简化问题。
将圆和动点
在纸上画出来，有助于我们更清楚地理解问题。
2. 利用圆的性质：圆有很多重要的性质，我们可以利用这些性质来解决动点问题。
例如，圆的半径和直径之间的关系，圆的切线和切点的性质等。
3. 使用向量方法：在处理圆的动点问题时，向量方法很有用。
我们可以将动点
的位置表示为向量，并使用向量的运算规则来解决问题。
例如，我们可以用位置向量来表示动点的位置，并使用向量的加法和减法来计算动点的移动方向和距离。
4. 应用三角函数：如果涉及到角度的变化，我们可以使用三角函数来解决问题。
例如，如果动点绕圆心旋转，我们可以使用正弦和余弦函数来描述动点在不同位置的坐标变化。
5. 运用解析几何：解析几何是解决圆的动点问题的常用方法之一。
我们可以使
用坐标系和代数方程来描述圆和动点的运动轨迹。
通过求解方程组，我们可以得到动点的位置和移动方向。
总的来说，解决圆的动点问题需要充分利用圆的性质，运用几何、向量、三角
函数和解析几何等方法。
通过选择合适的方法，我们可以更好地理解问题并求解出准确的结果。
关于圆的动点问题常见解决方案[例谈圆中常见两解问题]
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关于圆的动点问题常见解决方案[例谈圆中常见两解问题] 由于圆具有对称性，以及点、弦、角等元素在圆中位置的相对性.因此，在解答没有给出图形的圆的有关计算题时，就要仔细审题，周密思考，以防漏解. 一、有关点与圆的位置关系问题例1:点P到⊙O的最大距离是8cm，最小距离是4cm，则⊙O的半径是.分析:题中并没有说明点P与圆的位置关系，故需分点P在圆内与点P在圆外两种情况求解.（如图1）当点P在圆内时，由已知，得PA=4, PB=8.（如图2）当点P在圆外时，由已知，得PA=4,PB=8.综上所述，⊙O的半径为6cm或2cm.二、有关平行弦问题例2:已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥CD，AB=8，CD=6.⊙O的半径等于5，求梯形ABCD的高.分析:求圆内接梯形的高就是求圆中两条平行弦间的距离.（如图3）当AB、CD在圆心的两侧时，过圆心O作EF⊥AB于E，交CD于F.∵AB∥CD，∴EF⊥CD.连结OA、OD，则△OAE、△ODF都是直角三角形.∴梯形的高EF＝OE+OF=3+4=7.（如图4）当AB、CD在圆心O的同侧时，作OF⊥CD于F，交AB于E，连结OA、OD.同理，求得OE＝3，OF＝4.∴梯形的高EF＝OF－OE＝4-3＝1.综上所述，⊙O的内接梯形ABCD的高为7或1.三、有关公共弦问题例3:⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，它们的半径AO1=20，AO2=15，公共弦AB＝24，则△AO1O2的周长为 .分析:因为已知两圆的半径不等，所以，圆心可能在公共弦AB 的两侧（如图5），也可能在AB的同侧（如图6）.分别在Rt△AO1C和Rt△AO2C中，由勾股定理求得O1C=16,O2C=9.∴O1O2=16+9=25.∴△AO1O2的周长为20+15+25＝60.在图6中，同理求得O1C=16,O2C=9.∴O1O2=16－9=7.∴△AO1O2的周长为20+15+7＝42.综上所述，△AO1O2的周长为60或42.四、有关两条弦的夹角问题分析：连结OA，则弦AC、AD可能在半径OA的两侧（如图7），也可能在OA的同侧（如图8）.在图7中，连结OC.∴∠OAD=30°.∴∠CAD=∠CAO+∠OAD=45°+30°＝75°.在图8中，同理求得∠OAD=30°，∠OAC＝45°.∴∠CAD=∠OAC－∠OAD＝45°-30°＝15°.综上所述，∠CAD等于75°或15°.五、有关圆周角问题例5 ：PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∠APB＝78°，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则∠ACB=.分析：如图9，因为C是⊙O上异于A、B的任意一点，所以点C可能在优弧AB上，也可能在劣弧 AB上.当点C在优弧AB上时，连结OA、OB,则OA⊥PA，OB⊥PB.又∠APB＝78°，∴∠AOB＝360°-90°-90°-78°＝102°.当点C"在劣弧AB上时，四边形AC"BC是圆内接四边形.∴∠AC"B=180°-∠ACB＝180°-51°＝129°.综上所述，∠ACB等于51°或129°.六、有关圆的相切问题例6：以O为圆心的两个同心圆的半径分别9cm和5cm,若⊙A 与这两个圆都相切，则⊙A的半径为 .分析：因为相切分内切和外切两种，所以⊙A可能与大圆内切，与小圆外切（如图10），也可能与两个圆都内切（如图11）.综上所述，⊙A的半径为2cm或7cm.本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文内容仅供参考。
圆动点问题的常见思路
圆动点问题的常见思路
圆动点问题是一种经典的运动学问题，通常涉及到一个固定圆周上有一动点，且该动点以某种方式移动，例如作简谐振动或绕圆周做匀角速度运动等。
这类问题的求解思路可以归纳为以下几种：
1、构造与分解法：将动点的运动分解成沿圆周方向和垂直于圆周方向的两个独立的运动，然后对它们进行分别处理，最后再合并起来得出完整的解。
2、向量法：将圆周运动转换为向量运算，通过向量的代数运算求解。
3、几何法：利用圆的性质和三角函数，构造相应的几何图形，从而得出所需的解。
4、分析法：根据运动学基本公式，列出运动学方程，然后通过求解方程组来得出所需的解。
5、能量守恒法：对于一些特殊的圆动点问题，可以利用机械能守恒原理来求解。
八上圆形动点问题
八上圆形动点问题
圆形动点问题是初中数学中的重要知识点之一，让我们一起来了解一下吧。
问题描述
假设有一个圆形轨道，上面有一个动点P。
动点P在轨道上运动，每个位置的坐标都会发生变化。
我们需要研究动点P的运动规律和性质。
基本概念
在解决圆形动点问题时，我们需要了解以下几个基本概念：
1. 动点：动点是指在圆形轨道上运动的点。
在每个时刻，动点的位置和坐标都可能发生变化。
2. 圆心：圆心是圆形轨道的中心点，通常用字母O表示。
3. 圆心角：圆心角是指以圆心为顶点的角度。
在圆形动点问题中，我们常常通过圆心角来描述动点的位置和运动状态。
4. 弧长：弧长是指圆形轨道上两个点之间的弧的长度。
在解决圆形动点问题时，我们常常用弧长来表示动点在轨道上的位置。
问题解答
在解答圆形动点问题时，我们需要根据具体的问题描述，采取合适的方法和策略进行分析和计算。
注意事项
在研究圆形动点问题时，需要保持独立思考，不依赖于其他人的帮助。
我们应该利用自身的知识和经验，采用简单明了的策略，避免出现复杂的法律问题。
此外，在引用内容时，应确保能够进行确认，避免引用不可靠的信息。
以上是关于八上圆形动点问题的基本介绍和解答要点。
希望对你有所帮助！。
与圆有关的动点问题
与圆有关的动点问题
与圆有关的动点问题
初三数学组
1.如图,⊙O 的半径为1,圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动,当⊙O 移动到与AC 边相
切时,OA 的长是.
2.如图,从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB,AC,切点分别为B、C，⊙O 的直径BD 为6，连结CD，AO.
(1)求证:CD∥AO;
(2)设CD=x,AO=y,求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围;
(3)若AO+CD=11,求AB 的长.
3.如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm，BC=4cm，点p 从A 开始折线A——B——C——D 以4cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q 分别从A、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t（秒）
（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形/
（2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm，那幺t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？
4.例如图,点E 为正方形ABCD 中BC 上一动点，正方形
边长为1，以AE 为直径作圆，圆心为O．(1)设BE＝x，⊙O 的面积为y，求y 与x 的函数关系及定义域．(2)BE 为何值时⊙O 与CD 相切．(3)在(2) 的条件下切点F 在CD 的位置如何，并加以证明．(4)问以CD 为直径的圆是否与(2)条件下的AE 相切，说明理由．。
2017武汉元调与圆有关的动点问题(答案)
1.【答案】D 【解析】如解图，点D 运动的路径是以AO 中点M 为圆心，AO 一半的长为半径的圆，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝8，∴AO ＝12AB ＝4，∴点D 运动的路径长为：π×4＝4π．2.【答案】B 【解析】如解图，过A 作⊙O 的直径AE ，连接ED ，AD ，∴∠ADE ＝90°，∵∠E ＝∠B ＝30°，∴∠EAD ＝60°．在Rt △ADE 中，AD ＝12AE ＝6，∵AC 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC ＝90°，∴∠CAD ＝90°－60°＝30°，过点D 作AC 的垂线，垂足为C ＇，在Rt △DA C ＇中，∵∠DAC ＇＝30°，∴DC ＇＝12AD ＝3，∴当点C 在C ＇点时，CD 有最小值，最小值为3．3.【答案】D 【解析】如解图，连接OA ，OB ，∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝60°．∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝6．当GH 为⊙O 的直径时，GE ＋FH 有最大值．∵当GH 为直径时，E 点与O 点重合，∴AC 也是直径，AC ＝12．∵∠ABC 是直径所对的圆周角，∴∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，∴AB ＝12AC ＝6．∵点E 、F 分别为AC 、BC 的中点，∴EF ＝12AB ＝3．∴GE ＋FH ＝GH －EF ＝12－3＝9． 4.【答案】D 【解析】∵AB ＝15，AC ＝9，BC ＝9，∴2AB ＝2AC ＋2BC ，∴△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，点C 在圆上，所以EF 为圆的直径，若求线段EF 的最值，即要使圆最小，圆与AB 的切点为D ，如解图，连接CD ，当CD 垂直于AB 时，即CD 是圆的直径时，EF 长度最小，即最小值是斜边AB 上的高CD ，利用三角形面积可得：12AB ·CD ＝12AC ·BC ＝12×15×CD ＝12×12×9，解得CD ＝365． 5.【答案】C 【解析】当点C 为劣弧AB 的中点时，△ABC 内切圆半径r 最大，如解图，连接OC 交AB 于D 点，⊙M 为△ABC 内切圆，作ME ⊥AC 于E 点，∵点C 为劣弧AB 的中点，∴OC ⊥AB ，AD ＝BD ＝12AB ＝3，AC ＝BC ，∴点M 在CD 上，∴ME 和MD 都为⊙M 的半径，设ME ＝MD ＝r ，∵∠ACB ＝120°，∴∠A ＝30°，∠ACD ＝60°，在Rt △ACD 中，CD在Rt △CEM 中，∠ECM ＝60°，∠CME ＝30°，CEEM，∴CM ＝2CE，CM ＋DM ＝CD＋rr ＝6－第1题解图B第2题解图第3题图D第4题解图AF E CB6.【答案】C 【解析】由题可知=ABC ACD ABCD S S S + 四边形，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，如解图，则1=2ABCD S AC BF ∙四边形＋12AC DE ∙＝12＋12DE，当点D 为劣弧 AC 的中点时，DE 取得最大值，此时∠DAC ＝∠ACD ＝∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，在Rt △ADE 中，AE ＝12AC，DE ＝12AD ，由勾股定理可得DE ＝12，∴此时12ABCD S 四边形7.【答案】B 【解析】如解图，作直径BD ，连接CD ，OC ，BM ，CM ，OM ，则∠BCD ＝90°，则∠BAC ＝∠D ，∵BC ＝BD ＝2OB ＝4，∴CD2，∴CD ＝12BD ，∴∠DBC ＝30°，∴∠BAC ＝∠D ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∵P 点是△ABC 的内心，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12（∠ABC ＋∠ACB ）＝60°，∴∠BPC ＝120°＝∠BOC ，∴点O 在⊙M 上，∴OM ＝CM ，∵BM ＝CM ，∴ BM＝ CM ，∴∠BOM ＝∠COM ＝60°，∴△OCM 是等边三角形，∴CM ＝OC ＝2，即⊙M 的半径不变等于2．故选B ． 8.【答案】B 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵∠ACB ＝45°，∴∠AOB ＝90°，又∵OA =OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∵AB ＝6，∴OA =OB =6M 、N 分别是AB 、BC 的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，∴MN =12AC ，要使MN 最大，即AC 最大，而AC 是⊙O 的弦，故AC 是⊙O 的直径时，值最大，此时AC=2OA MN 长的最大值是12AC =12⨯9.【答案】B 【解析】如解图，将⊙O 补全，延长BO 交⊙O 于点C ，连接AC 交MO 于点P ，连接BP ，∵CB ⊥MN ，OB =OC ，∴BP =CP ，∴PA +PB =PA +PC ，根据两点之间线段最短可知所作点P 即为所求，此时PA +PC =AC ．∵CB 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC中，AB =4，BC =2OB=10，∴AC10.【答案】C 【解析】如解图，∵AC 为其直径，∠ACB ＝30°，∴∠A ＝60°，∵点A ＇在AC第5题解图A第6题解图第7题解图第8题解图上运动，∴∠A ＇＝∠A ＝60°，∵C ＇B ⊥A ＇B ，∴∠C ＇＝90°－60°＝30°，∵∠C ＇是定值，∴点C ＇的运动路径是一个圆，当点C ＇运动到C ''时，C C ''＝2BC ，∵⊙O 的半径为7，∴AC ＝14，AB ＝7 ，∴BC ＝C C ''＝C ＇以在C C ''中点M 为圆心，BC ＇的最大值为11.【答案】A 【解析】连接AE ，如解图①，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝AB ＝AC ＝4，∵AD 为直径，∴∠AED ＝90°，∴∠AEB ＝90°，∴点E 在以AB 为直径的⊙O 的上，∵⊙O 的半径为2，∴当点E 为线段OC 与⊙O 的交点时，CE 最小．如解图②，在Rt △AOC 中，∵OA ＝2，AC ＝4，∴OCCE ＝OC －OE＝－2．即线段CE长度最小值为2．当点E 为射线CO 与⊙O 的交点时，CE 最大，最大值为+2，∴－2≤CE ≤＋2．12.【答案】A 【解析】如解图，连接OQ ，∵MN ＝OP （矩形对角线相等），⊙O 的半径为2，OQ ＝12MN ＝12OP ＝1，可得点Q 的运动轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆．当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 也是转过45°．∴Q 运动过的长度为45360︒︒×2π＝4π．故选A ． 13.【答案】C 【解析】如解图，连接CE ，∵点E 是AD 的中点，A ＇E ＝AE ＝12AD ，点F 为动点，则随着F 的运动，A ＇的运动轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径在矩形ABCD 内的圆弧，则C A ＇、A ＇E 和CE 围成三角形，根据三角形的三边关系，即A ＇E + C A ＇＞CE ，当E 、A ＇、C 在同一直线上时，则A ＇E + C A ＇＝CE ，此时C A ＇最小．在Rt △CDE 中，CD ＝3，DE ＝1，则CEC A ＇1．14.【答案】A 【解析】过点A 、B 作圆P ，且使OA 、OB 交⊙P 于A 、B 两点，如解图，连接第9题解 图第10题解图②图B①图第12题解图CF第13题解图第14题解图第15题解图AP ，BP ，∵OA ＝OB ＝AB ＝4，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°，∵BD ⊥BC ，∴∠D ＝60°，∵AB ＝4，是一个定值，∴点D 在圆P 上，要使△ABD 面积的最大，∴点D 到AB 的距离要最大时，此时D 为圆P 优弧AB 的中点，此时△ABD 为等边三角形，D 到AB 的距离为ABD S ∆＝12△ABD 面积的最大值为15.【答案】B 【解析】当点C 运动到A 点处时，点D 在如解图D ＇的位置处，当点C 运动到B 点处时，点D 与点B 重合，∵△BCD 是等边三角形，∴∠CDB ＝60°，又∵CO ＝BO ，∴△CDO ≌△BDO ，∴∠ODB ＝30°，∴点C 在半圆AB 上运动时，点D 在以BD ＇为直径的圆上运动，当点O ，D 与BD ＇的中点M 共线时，线段OD 最长，为⊙M 的直径，∴OD 的长随点C 的运动而变化，最大值为16.【答案】B 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵∠AMB ＝45°，∴∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，∵⊙O 的半径是2，∴AB＝＝，∵A M BA NM A N B S S S ∆∆=+四边形,∴要使四边形MANB 面积最大，则需两个三角形的高的和最大，当MN 为直径时，NM 最大，∴由垂径定理可知MN ⊥AB 时，四边形MANB 面积有最大值，∴MANB S 四边形＝12·AB ·MN ＝1217.【答案】C 【解析】如解图，取劣弧 CB的中点D ，连接AD ，BD ，∵∠BCA ＝90°，AB ＝2AC ＝4，∴CA ＝2，则∠ABC ＝30°，∴∠BAC ＝60°，∵D 为劣弧 CB的中点，∴BD ＝CD ，∴∠BAD ＝30°，∴BD ＝12AB ＝2，∠BPC ＝60°，∴∠BDC ＝120°，∵I 为△PBC 的内心，∴∠PBI ＝∠IBC ，∵BD ＝CD ，∴∠BPD ＝∠DBC ，∴∠PBI +∠BPD ＝∠IBC +∠DBC ，即∠BID ＝∠IBD ，∴ID ＝BD ，∵BD ＝CA ＝2，∴ID ＝2，∴动点I 到定点D 的距离为2，即点I 的轨迹是以点D 为圆心，2为半径的弧 CIB （不含C 、B ），弧 CIB的长为1202180π⨯＝43π，则l 的取值范围是：0＜l ＜43π18.【答案】A 【解析】如解图，分别作∠A 与∠B 的角平分线，交点为P ，∵△ACD 和△BCE第16题解图第17题解图第18题解图B第19题解图都是等边三角形，∴AP 与BP 为CD 、CE 的垂直平分线．又∵圆心O 在CD 、CE 垂直平分线上，则交点P 与圆心O 重合，即圆心O 是一个定点，连接OC ，若半径OC 最短，则OC ⊥AB ．又∵∠OAC ＝∠OBC ＝30°，AB ＝4，∴OA ＝OB ＝2OC ，∴AC ＝BC ＝2，∴在Rt△AOC 中，2OC =2AO －2AC ，即2OC =42OC －4，解得OC19.【答案】C 【解析】如解图，连接OP ，∵PM ⊥CD ，PN ⊥AB ，∴∠PMO ＝∠PNO ＝90°，∴点M 、N 在以OP 为直径的圆上，∴∠MPN ＝90°，MN 有最大值2．20.【答案】B 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点P ′，由圆的性质知，当点P运动到点P ′时，DP 的值最大．∵△ABC 为等腰直角三角形，且AB＝∴BC＝根据勾股定理得8AC ==，∵点D 、O 分别为AB 、AC 的中点，∴DO为△ABC的中位线，∴12DO BC ==DP ′＝DO ＋OP ′＝4，故DP 的最大值为4．第20题解图第22题解图第23题解图 21.C 【解析】如解图，点P 运动的路径是以G 为圆心的劣弧，在⊙G 上取一点H ，连接EH 、FH ，∵四边形AOCB 是正方形，∴∠AOC ＝90°，∵∠CEA ＝12∠COA ＝45°，∴∠AFP ＝45°，∵EF 是⊙O 的直径，∴∠AFP ＝45°，∵EF 是⊙O 的直径，∴∠EAF ＝90°，∴∠APF ＝∠AFP ＝45°，∴∠H ＝∠APF ＝45°，∴∠EGF ＝2∠H ＝90°，∵EF ＝4，GE ＝GF ，∴GE ＝GF＝ EF=22.A 【解析】作DH ⊥BC 于H ，如解图，∵四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，∴四边形ABHD 为矩形，∴AB 为直径，∴AD 和BC 为⊙O 的切线，∵CD 和MN 为⊙O 切线，∴DE ＝DA ，CE ＝CB ，NE ＝NF ，MB ＝MF ，∵四边形ABHD 为矩形，∴BH ＝AD ＝2，DH ＝AB ＝6，设BC ＝x ，则CH ＝x －2，CD ＝x ＋2，在Rt △DCH 中，∵222CH DH DC +=，∴222(2)6(2)x x -+=+,解得x ＝92，∴CB ＝CE ＝92，∴△MCN 的周长＝CN ＋CM ＋MN ＝CN ＋CM ＋NF ＋MF ＝CE ＋CB ＝923.A 【解析】如解图，当点D 在⊙O 上运动时，点E 在以AO 为直径的圆上，当点D 运动C到点C 处时，AE ′＝12AC ；当点D 运动到点B 处时，AE ′′＝12AB ，∴E ′E ′′为△ABC 的中位线，∴E ′E ′′＝12BC ＝2，∵∠A ＝45°，∴ E E '''所对的圆心角为90°，点E 所在圆的半径rD 在优弧 BAC上运动，∴点E=．24.A 【解析】如解图，当点D 在⊙O 上运动时，点E 在⊙M 上，点D 运动到D ′处时，D ′、O 、B 、M 共线，此时D ′B 为⊙O 的直径，∵BE ＝12BD ，∴BM ＝12BO ，在Rt △ABC 中，∵BC ＝AB ＝4，∴AC＝BO ＝AO＝BMD 与点A 重合时，点E 运动到E ′′处，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠C ＝45°，∴∠BOA ＝90，∴∠E ′′MB ＝90°，∴当点D 从点A 运动至点B 时，点E的运动路径长为901802=．第24题解图第25题解图25.C 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥OM ，交直线l 同侧的⊙O 于点F ，连接OF ，记OF 的中点为G ，∵CM ⊥直线l ，∴∠MCO ＝∠OPF ＝90°，在Rt △CMO 和Rt △POF ，∴∠POF ＝∠CMO ，OF ⊥直线l ，∵点G 是OF 的中点，∴OG =GP =GF ，∴点P 在以点G 或G ′为圆心，OG 或OG ′长为半径的圆上，当点M 运动一周时，点P 的运动路程是⊙G 周长的2倍，∵OF ＝OM ＝10，∴点P 运动路程为2×10π＝20π．。
与圆有关的动点问题[下学期]--浙教版
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(2)当△ABC的一边与半圆O所在的圆相切时,如果半圆O与 直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分, 求重叠部分的面积.
小结：
1．复习整理所学圆的知识，注意前后知识的衔接．
2．解题要注重审题．在了解所用知识和产生解题方 案过程中，适时关注数学思想方法运用．
与圆有关的动点 问题
初三数学组
1.如图,⊙ O的半径为1,圆心O在正三角形的边
AB上沿图示方向移动,当⊙ O移动到与AC边相
23
切时,OA的长是 3 .
2.如图,从⊙ O外一点A作⊙ O的切线AB,AC,切点 分别为B、C， ⊙ O的直径BD为6，连结CD，AO.
(1)求证:CD∥AO;
(2)设CD=x,AO=y,求y与x之间的函数关系式,并写 出x的取值范围;
(3)若AO+CD=11,求AB的长.
3.如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从 A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的 速度 移动， 点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q 分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也 随之停止运动，设运动的时间t（秒）
OF FH 1 AE AB 2
∴AE与以CD为直径的圆F相 切．
如图,半圆O直径DE=12,Rt△ABC中,BC=12,∠ACB=900, ∠ACBC=300.半圆O以每秒2个单位从左到右运动,在运动 过程中,点D,E始终在直线BC上,设运动时间为t秒.当t=0 时,半圆O在△ABC的左侧,OC=8.
y ( X 2 1) X 2
4
4
4
(2)作OF⊥CD，垂足为F，
圆中的动点问题
为！盯
（） ｌ Ｍｚ Ａ ２过点 作Ｍ， ／ Ｂ ￣Ｏ ＂ ／ ｆ
３
３
形 ＡＢ Ｄ 的 Ｃ
一
在 Ｒｔ ＨＦ中 。 Ｈ Ｃ △Ｃ 明 ＝ ＋
Ｆ ＋
边 于 点 Ｒ，
Ｃ Ｄ ：在 Ｒ ＡＨＦ ｔ Ｄ中 。 叫 ＨＦ 一
９
点 ， 善
Ａ ，Ｍ２易得 Ｓ ： Ｍ２Ｏ ， △
出 的值 盟
Ｑ Ｒ
图４
图５
蕊
（当 Ｒ 边 时 １ 点在 Ｄ 上 ， ）
Ｑ． Ｒ 所以鱼 值为１ 的 ＿
Ｑ Ｒ
（ ） 点Ｒ在 Ｃ ２当 Ｄ边 上 时 ， 图５ 如 所 示 ， 易 证 △Ａ Ｐ Ｂ △Ｂ Ｒ． 所 以 Ｃ
／ Ｐ ＿Ｂ Ａ＝／ Ｃ ＲＢ． Ｒ＝ １ Ｂ Ａ Ｑ
数 譬公开 Ｉ翘 学 专数
蓠 研 点， 运 过 究 ｐ的 动 程 尺
发现 ， 随着 点９在 线段ＡＰ 上运 动 ， Ｒ 点Ｊ 也在 四边 形ＡＢ Ｄ边 上运 动 ，即落在 Ｃ
四 边 形ＡＢＣ Ｄ的 边 Ｄ或 边 Ｃ Ｄ上 ． 画 可
出图 形 ， 应 用 全 等 、 似 等知 识 求 再 相
１０ — ２ ： ８
订 ．所 以 ， 点 运 动 到 时 ， 当
删 ， 此 时 点 经 过 的 弧 长 为
所形半＝角ｃ （ 示０径， Ｉ一Ｕ ，黧Ａ ｚ 扇的 即一Ｕ 心 、 Ｏ ３ 广 蠹 圆 Ｊ
所示
Ｓ
８
３
ＡＯ ９ 。 Ｂ＝ ０ ，点 Ｃ 弧ＡＢ上异 于Ａ， 是 日 的 动点 ，过 点Ｃ Ｃ 作 Ｄ上Ｏ Ａ于 点Ｄ， 作 Ｃ Ｅ上Ｏ Ｂ于点 ， 结ＤＥ， Ｇ， 线 连 点 Ｈ在 段Ｄ 上 ，且ＤＧ Ｇ Ｅ ＝ 日 Ｅ 求证 ： Ｄ Ｃ ％ ３ Ｈ２ｚ 值． Ｃ ￣定
初三圆动点问题练习题
初三圆动点问题练习题圆动点问题是初中数学中的一个基础知识点，涉及到平面几何中圆的性质和相关定理的运用。
通过解决这类问题，可以提高学生对于几何形态的理解和分析问题的能力。
下面将给出一些初三圆动点问题的练习题，帮助学生巩固相关知识，并提供一些解题思路。
练习题一：已知半径为4cm的圆O，圆上一点A不动，圆按逆时针方向匀速转动。
点P从圆上某一位置出发，按顺时针方向匀速运动，经过3秒钟到达圆上另一点B。
求点P的速度大小。
解答思路：根据题目所给信息，可知点A和点B在圆上的位置是变化的，但速度大小是恒定的。
由于点A不动，所以可以通过计算点A的线速度来确定点P的速度大小。
设圆心O的角速度为ω，则点A的线速度为v=ω×r，其中r为圆的半径。
根据题目中的信息，点P经过3秒钟到达点B，所以可以计算出点B到点A的弧长为s=ω×r×3。
由于点P匀速运动，所以点B到点P的弧长也为s。
将s代入线速度公式中，即可求得点P的速度大小v。
练习题二：已知半径为6cm的圆O以7π弧度/秒的角速度顺时针转动。
设圆上一动点P的轨迹方程为x=-3sin(t)，y=3cos(t)（t为时间），求动点P的速度大小和速度方向。
解答思路：根据题目中给出的动点P的轨迹方程，可以确定动点P的坐标与时间的关系。
通过对x和y的导数，可以求得动点P在任意时刻的速度向量。
速度向量的大小即为速度大小，速度向量的方向即为速度方向。
x=-3sin(t)，y=3cos(t)，对t求导可得：dx/dt=-3cos(t)，dy/dt=-3sin(t)。
由此可知，动点P在任意时刻的速度向量为v=(-3cos(t)，-3sin(t))。
求速度大小|v|，可以应用勾股定理，即|v|=√((-3cos(t))^2+(-3sin(t))^2)=3√(cos^2(t)+sin^2(t))=3。
由此可知，动点P的速度大小为3，且恒定不变。
速度方向可以由速度向量的方向角来表示，即tanθ=(-3sin(t))/(-3cos(t))=tan(t)，所以速度方向为动点P所对应弧上的切线的斜率。
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与圆有关的动点问题GDMDC 06B(1)求/ APC 与Z ACD 的度数⑶OD动点M 从点F 出发，按逆时针方向运动半周Z A = 60o,以点D 为圆心的OD 与边AB 相切于点ES A HD M 3 S △ MDF 时，求动点 M2、如图，在菱形 ABCD 中, A 吐⑴求证：OD 与边BC 也相切向左移动正 M , N 分别是边BC , AD⑵设OD 与BD 相交于点H,与边CD 相交于点F ,连接HF,求图中阴影部分的面积(结果保留二) 经过的弧长(结果保留二)(2)当点P 移动到CB 弧的中点时，求证：四边形 OBP (是菱形 DC 在I 上.过点B 作的一条切线BE , E 为切点.如图1,当点A 在。
O 上时，Z EBA 的度数是 __________ 2,当E , A , D 三点在同一直线上时，求线段 OA 的长 以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置， (图3),至边BC 与OF 重合时结束移动 MON 的面积的范围. (3) P 点移动到什么位置时，△ APW A ABC 全等，请说明理由1、如图,©O 的直径AB=4 C 为圆周上一点,AC=2过点C 作。
0的切线DC , P 点为优弧CBA 上一动 3、半径为2cm 的与O O 边长为2cm 的正方形ABCD 在水平直线I 的同侧O O 与I 相切于点F (1) ① 填空：如图1,当点 ②如图2,当E ,A , I (2)以正方形ABCD 方形(图3),至边BC 与O O 的公共点，求扇形 D C團2 与AB 、过点 、AD 及O O 半径的长 求y 关于x 的函数关系式 求相应的y 值. &旦刈 AB点(不与A. C 重合)F D C (F 图14、如图，Rt △ ABC 的内切圆O O BC=3，点P 在射线AC 上运动 (1) 直接写出线段AC (2) 设 PH=x , PC=y , (3) 当PH 与O O 相切时DFC /图3BC 、CA 分别相切于点 D 、E 、F ,且Z ACB=90 ° °AB=5 P 作PH 丄AB ,垂足为H .t7』 B\/1X I-0\AM DB5、如图1,正方形ABCD 的边长为2,点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点(不与 M 、 C 重合)，以AB 为直径作。
0,过点P 作。
O 的切线，交AD 于点F ,切点为E . (1) 求证：OF // BE ;(2) 设BP=x , AF=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；(3) 延长DC 、FP 交于点G,连接0E 并延长交直线DC 与H (图2),问是否存在点卩,使厶EFO ^^ EHG (E 、F 、0与E 、H 、G 为对应点)？如果存在，试求(2)中x 和y 的值；如果不存在，请说明理 由.6 如图0的半径为1,直线CD 经过圆心0,交。
0于C 、D 两点，直径AB 丄CD ，点M 是直 线CD 上异于点C 、0、D 的一个动点，AM 所在的直线交于。
0于点N ，点P 是直线CD 上另一点, 且 PM=PN . (1) 当点M 在。
0内部，如图一，试判断PN 与。
0的关系，并写出证明过程；(2) 当点M 在。
0外部，如图二，其它条件不变时，(1)的结论是否还成立？请说明理由； (3) 当点M 在。
0外部，如图三，/ AM0=15 °求图中阴影部分的面积.<E1>A -------------------------C1•/ AB=4 二 0A=0B=0C= AB=2=2D又••• AC=2 ••• AC=0A=0G \A AC0 为等边三角形。
•••/ A0C M AC0M 0AC=60 ,答案:1、解：(1)连接AC 如图所示：•••/ APC=1/ AOC=30。
2又DC与圆O相切于点C,「. OCL DC DCO=90。
•••/ ACDM DCOZ ACO=90 - 60° =30°。
(2)连接PB, OP•/ AB 为直径，/ AOC=60，•/ COB=120。
当点P移动到弧CB的中点时，/ COP M POB=60。
•••△ COP^n^ BOP 都为等边三角形。
• AC=CP=OA=OP•四边形AOP(为菱形。
(3)当点P与B重合时，△ ABC与厶APC重合，显然△ ABC^^ APC当点P继续运动到CP经过圆心时，△ ABC^^CPA理由为：V CP与AB都为圆O的直径，•/ CAP/ ACB=90。
在Rt△ ABC与Rt △ CPA中，AB=CP AC=AC• Rt△ ABC^Rt△ CPA( HL)。
综上所述，当点P与B重合时和点P运动到CP经过圆心时，△ ABC^^CPA2、解：(1)证明：连接DE,过点D作DN丄BC,垂足为点N。
•••四边形ABCD是菱形，• BD平分/ ABC。
VO D与边AB相切于点E,「. DE丄AB。
二DN=DE。
•O D与边BC也相切。
(2)V四边形ABCD 是菱形，AB = 2 3,二AD = AB = 2 3。
又V/ A = 60o,「. DE = ADsin60 0= 3，即O D 的半径是3。
1又V/ HDF = / HADC = 60o, DH = DF, •△ HDF 是等边三角形。
2过点H作HG丄DF，垂足为点G,则HG = 3si n60°= 3 3。
21 3 厂' 9 1—• SH D F S 3 2 “43, S60汉兀汉32扇形HDF :…S阴影=S扇形HDF 一S.HDF3609 —6二-9匸3- 3 =。
4(3)假设点M运动到点M i时,=3二。
24满足S^ HDF = ^/3S^MDF , 过点M1作M i P丄DF，垂足为点P,则9灯3=却3 1 3 M1P，解得M P=-。
4 2 2••• M1P= DM 1。
•/ MQF = 30Q2此时动点M经过的弧长为: 30 二3 _ ■:180 2。
过点M^,作MM2// DF交O D于点M2,则满足S HDF = 3S M1DF =3S'M2DF ,此时/ M2DF = 150o,动点M经过的弧长为: 150 ■: : <35'：3•解：（1）①•••半径为2cm的与O O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线I的同侧, 点B作的一条切线BE , E为切点，••• OB=4 , EO=2，/ OEB=90 ,•••/ EBA的度数是：30°A在O O上时，过②如图2,•••直线I与O O相切于点F,•••/ OFD=90 ,•••正方形ADCB 中，/ ADC=90•OF // AD ,•/ OF=AD=2 ,•四边形OFDA为平行四边形，•••/ OFD=90 ,•平行四边形OFDA为矩形，•DA 丄AO ,•••正方形ABCD中，DA丄AB ,•O , A, B三点在同一条直线上;•EA 丄OB ,•••/ OEB= / AOE ,•△ EOA BOE ,•OA OEOE - OB，•OE2=OA?OB ,•OA (2+OA ) =4 ,解得：OA=-1土5,•/ OA > 0 ,• OA= 5 -1 ;方法二：在Rt △ OAE 中，cos / EOA= 在Rt △ EOB 中，cos / EOB= OA _ 0A 0E 一2，0E _ 2 0B 一0A 2• 0A 二22 一0A 2'解得：OA=-1土「5 ,OA > 0 ,• OA= n/5 -1 ;方法三：•/ OE 丄EB , EA 丄OB ,•由射影定理，得OE2=OA?OB , • OA (2+OA ) =4 ,解得：0A=-1土 •/ 0A > 0 , ••• 0A=、5-1 ；n i ° ■ 2(2)如图 3，设/ MON=° , S 扇形 MON =---------- X2 = — n (cm ),36090S 随n 的增大而增大，/ MON 取最大值时，S 扇形MON 最大， 当/ MON 取最小值时，S 扇形MON 最小， 如图，过O 点作OK 丄MN 于K ,•••/ MON=2 / NOK , MN=2NK , NK在 Rt △ ONK 中，sin / NOK=——ONNOK 随NK 的增大而增大，•/ MON 随MN 的增大而增大, MN 最大时/ MON 最大，当 MN 最小时/ MON 最小， N , M , A 分别与 D , B , O 重合时，MN 最大，MN=BD , ,S扇形MON 最大=n (cm ), MN 最小，4、(1)连接AO 、DO •设O O 的半径为r .AC= , - ' _卜；-’=4，则O O 的半径r= (AC+BC - AB ) = (4+3 - 5)=1 ; 2 2••• CE 、CF 是O O 的切线，/ ACB=90 ° •••/ CFO= / FCE= / CEO=90 ° CF=CE , •四边形CEOF 是正方形， • CF=OF=1 ;又••• AD 、AF 是O O 的切线， • AF=AD ;• AF=AC - CF=AC - OF=4 -仁3 ,即 AD=3;•••当 ① 当/ MON= / BOD=90② 当MN=DC=2时，• ON=MN=OM ,•••/ NOM=6° ,2 2、S 扇形MON 最小 ------- n ( cm ),3NK在Rt △ ABC 中，由勾股定理得 图3(2)在Rt△ ABC 中，AB=5 , AC=4 , BC=3 , •••/ C=90 ° PH 丄AB ,•••/ C=Z PHA=90 °•••/ A= / A ,• △ AHP s\ ACB ,• FH= AP = AC - PC•莎- AB-，即：'=——-,• y= - x+4，即y与x的函数关系式是3 5 3(3)如图，P'H'与O O相切.•••/ OMH =Z MH 'D= / H'DO=90 °OM=OD ,•四边形OMH D是正方形，•MH =OM=1 ;由(1)知，四边形CFOE是正方形，CF=OF=1 ,•P H =P M+MH =P 'F+FC=P 'C, 即卩x=y ;又由(2)知，y= - x+4 ,3FE、FA是O O的两条切线•/ FAO= / FEO=90 °在Rt△ OAF 和Rt△ OEF 中，r FO=FO\OA=OE•Rt△ FAO也Rt△ FEO (HL ),•/ AOF= / EOF= / AOE ,2•/ AOF= / ABE ,•OF// BE , y= - x+4;3/• PQ=BP - BQ=x - y PF=EF+EP=FA+BP=x+y •/在 Rt △ PFQ 中 2 2 2FQ +QP =PF2 2 .2 + (X - y ) = (x+y ) 化简得：匸 (1 v X V 2);K(3)存在这样的P 点， 理由：I/ EOF= / AOF , •••/ EHG= / EOA=2 / EOF ,当/ EFO= / EHG=2 / EOF 时， 即/ EOF=30。