二进制小数
将十进制数小数转换成二进制数小数的方法
将十进制数小数转换成二进制数小数的方法在计算机科学和信息技术领域中，二进制数是最为常见和重要的数值系统之一。
而将十进制数小数转换成二进制数小数，则是计算机科学和信息技术领域中非常基础和重要的运算。
具体而言，将十进制数小数转换成二进制数小数，需要按照以下步骤进行。
1. 首先，将十进制数小数部分乘以 2，得到的结果即为二进制数小数的第一位。
2. 将上一步所得的结果与原始小数部分比较，如果结果大于等于 1，则将其减去 1，并将二进制数小数的第一位设置为 1；否则，将二进制数小数的第一位设置为 0。
3. 重复执行步骤 1 和步骤 2，得到二进制数小数的下一位。
4. 重复执行步骤 1 和步骤 2，直到所有小数位都已转换成二进制数小数。
需要注意的是，在实际计算过程中，可能会出现舍入误差。
这时，可以通过额外的校验步骤来检查计算结果是否正确。
同时，由于二进制数小数的精度可能受到位数的限制，因此在进行计算时，需要根据具体情况设置合适的位数。
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二进制小数的表示方法
二進制演算成十進制(三)
1011.101(2)
= 23 + 21 + 20 + 2-1 + 2-3
二進制演算成十進制(三)
1011.101(2)
= 23 + 21 + 20 + 2-1 + 2-3 = 8 + 2 +1 + 0.5 + 0.125
二進制演算成十進制(三)
1011.101(2)
二進制小數的 表示方法
表示方法
•利用小數點分開整數部份及小數部份
•與十進制一樣運用負指數來表達，即小數 點後的位值是2-1, 2-2, 2-3, …
位值表
位值
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5
十進制值
0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125
二進制演算成十進制(一)
0.1011(2)
十進制演算成二進制(一)
0.5625(10)
= 0.5 + 0.0625 = 2-1 + 2-4 = 0.1001(2)
十進制演 + 0.1875 = 0.25+0.125+0.0625
= 2-2 + 2-3 + 2-4
= 0.0111(2)
無窮盡小數
二進制演算成十進制(一)
0.1011(2)
= 2-1
二進制演算成十進制(一)
0.1011(2)
= 2-1 + 2-3
二進制演算成十進制(一)
0.1011(2)
= 2-1 + 2-3 + 2-4
二進制演算成十進制(一)
0.1011(2)
二进制下小数右移的规律
二进制下小数右移的规律在计算机科学中，二进制是一种非常重要的数制。
而在二进制中，不仅存在整数表示方式，还存在小数表示方式。
小数在计算机中的表示方式和计算规则与整数有所不同，其中包括右移操作。
在本文中，将会探讨二进制下小数右移的规律。
通过深入研究和讨论，我们将能够全面理解这个主题，并获得一定的见解。
1. 什么是小数在二进制中的表示方式？在计算机中，二进制小数通常使用浮点数来表示。
浮点数的表示方法包括符号位、指数位和尾数位。
其中，尾数位表示小数的具体数值，而指数位则表示小数点应该向左或向右移动的位数。
尾数位和指数位的组合决定了小数在计算机中的精度和范围。
2. 右移操作在二进制小数中的意义是什么？在二进制小数中，右移操作意味着将小数点向右移动指定的位数。
这种操作通常用于对小数进行缩小或截断。
当我们需要对小数进行精度调整或位数截断时，可以使用右移操作来实现。
3. 右移操作对二进制小数的影响是怎样的？右移操作会导致小数的位数减少，从而使小数的表示范围变得更小。
右移操作还会使小数的数值变得更小。
具体而言，右移一位相当于将小数的值除以2，右移n位相当于将小数的值除以2的n次方。
4. 右移操作的规律是什么？在二进制下，右移操作的规律可以总结如下：- 右移1位，小数的值除以2；- 右移n位，小数的值除以2的n次方。
通过以上规律，我们可以看出右移操作对小数的影响和变化。
在我们探讨了二进制下小数右移的规律后，让我们进一步思考一下这个概念的意义和应用。
小数右移操作在实际问题中有许多应用场景，如数据压缩、图像处理等。
了解小数右移规律可以帮助我们更好地理解这些应用领域，并能够灵活应用于解决实际问题。
总结回顾：通过本文的探讨，我们全面理解了二进制下小数右移的规律和作用。
我们了解了在二进制中如何表示小数以及小数右移操作的含义。
右移操作会导致小数的位数减少，从而使小数的值变小。
我们总结了小数右移操作的规律，即右移一位相当于将小数的值除以2，右移n位相当于将小数的值除以2的n次方。
8位二进制定点小数原码的最大值与最小值
8位二进制定点小数原码的最大值与最小值在计算机科学中，定点小数是一种用于表示小数的方式。
定点小数是指小数点位置固定的小数，可以是整数或小数。
在二进制中，定点小数通常用固定位数的二进制数来表示。
本文将讨论8位二进制定点小数原码的最大值与最小值。
首先，我们需要了解什么是二进制定点小数原码。
二进制定点小数原码是用二进制表示的小数，其中小数点的位置是固定的。
在8位二进制定点小数原码中，最高位表示符号位，0表示正数，1表示负数。
接下来的7位表示小数的值，其中最左边的位表示2^-1，依次递减，最右边的位表示2^-7。
最大值为正数的情况下，最高位为0，其余位全为1，即01111111。
将其转换为十进制，可得到最大值为0.9921875。
最小值为负数的情况下，最高位为1，其余位全为0，即10000000。
将其转换为十进制，可得到最小值为-1。
通过以上分析，我们可以得出8位二进制定点小数原码的最大值为0.9921875，最小值为-1。
接下来，我们将详细讨论如何得出最大值和最小值。
对于最大值，我们可以通过将所有位都设为1来表示。
最高位为符号位，表示正数，其余位全为1。
将其转换为十进制时，我们可以根据二进制数的权重计算出十进制的值。
最高位的权重为2^0，次高位的权重为2^-1，依次递减。
将每一位的权重与其对应的二进制位相乘，然后将结果相加，即可得到最大值的十进制表示。
在8位二进制定点小数原码中，最大值的十进制表示为0.9921875。
对于最小值，我们可以通过将最高位设为1，其余位全为0来表示。
最高位为符号位，表示负数，其余位全为0。
同样地，将其转换为十进制时，我们可以根据二进制数的权重计算出十进制的值。
最小值的十进制表示为-1。
通过上述分析，我们可以得出8位二进制定点小数原码的最大值为0.9921875，最小值为-1。
在计算机科学中，定点小数原码的表示方式非常重要。
它可以用于各种计算和应用中，如图像处理、音频处理、模拟电路仿真等领域。
float 0.2的二进制表达
float 0.2的二进制表达0.2是一个十进制小数，需要被转换成二进制小数。
转换过程如下：0.2(十进制) = 0.001100110011...(二进制)因此，0.2的二进制表示是0.001100110011...。
在计算机中，浮点数被存储为IEEE 754 标准所规定的格式。
在这种格式中，浮点数被分为三个部分：符号位、指数位和尾数位。
对于一个二进制小数，它的指数位决定了它的大小，而尾数位决定了它的精度。
因此，将0.2转换为IEEE 754标准的浮点数表示，可以按照以下步骤进行：1. 符号位：0（因为0.2是一个正数）2. 指数位：由于0.2是一个小数，所以需要使用浮点数的指数表示法。
将0.2转换为二进制小数，得到0.00110011...。
这个二进制小数的后半部分是一个循环小数，循环周期为2的负4次方（即1/16）。
因此，可以使用指数表示法来表示这个循环小数。
具体来说，可以将这个二进制小数写成0.25 + 0.045*2的负一次方+ 0.045*2的负二次方+ ...的形式。
在这个表达式中，2的负一次方和2的负二次方都对应于指数位上的一个值，而后面的项对应于尾数位上的一个值。
3. 尾数位：由于0.2是一个循环小数，所以它的尾数位是一个循环的二进制小数。
将这个循环小数的后半部分重复一遍，得到一个长度为4的循环序列。
因此，可以将这个循环序列存储在尾数位上，以便在计算时使用。
总之，将0.2转换为IEEE 754标准的浮点数表示，可以得到以下结果：符号位：0指数位：由于0.2是一个小数，所以需要使用浮点数的指数表示法。
将0.2转换为二进制小数，得到0.00110011...。
这个二进制小数的后半部分是一个循环小数，循环周期为2的负4次方（即1/16）。
因此，可以使用指数表示法来表示这个循环小数。
具体来说，可以将这个二进制小数写成0.25 + 0.045*2的负一次方+ 0.045*2的负二次方+ ...的形式。
二进制循环小数转换为十进制分数的方法
二进制循环小数转换为十进制分数的方法一、介绍二进制循环小数是指二进制小数部分中出现循环的数字。
在数学中，我们经常会遇到这样的循环小数，如果能够将其转换为十进制分数，就可以更加方便地进行计算和比较。
本文将介绍如何将二进制循环小数转换为十进制分数的方法，希望能够对读者有所帮助。
二、基本原理在进行二进制循环小数转换为十进制分数的过程中，我们需要利用到以下基本原理：1. 二进制小数转十进制小数：二进制小数转换为十进制小数的方法是根据小数点右侧的位数，分别乘以2的负整数次幂，然后相加得到十进制小数。
2. 循环小数转分数：对于循环小数，我们可以通过一定的算法将其转换为一个分数。
假设循环节长度为n，循环节部分的数字为x，则循环小数对应的分数可以表示为x / (10^n - 1)。
三、转换步骤下面我们将详细介绍如何将二进制循环小数转换为十进制分数的具体步骤：步骤1：将二进制循环小数表示为分数形式。
假设二进制循环小数的循环节长度为n，循环节部分的数字为x，则循环小数对应的分数可以表示为x / (2^n - 1)。
步骤2：根据以上公式，计算出循环小数对应的分数。
步骤3：化简分数。
将步骤2得到的分数进行化简，得到最简分数形式。
步骤4：将最简分数转换为十进制小数。
利用十进制小数转换公式，将最简分数转换为十进制小数。
得到最终结果。
四、示例为了更加直观地理解二进制循环小数转换为十进制分数的方法，我们来看一个具体的示例。
示例：将二进制循环小数0.xxx转换为十进制分数。
步骤1：根据循环小数转分数公式，循环节长度为n=4，循环节部分的数字为1101，则循环小数对应的分数表示为1101 / (2^4 - 1)。
步骤2：计算得到分数为1101 / 15。
步骤3：化简分数，得到最简分数形式为73 / 5。
步骤4：将最简分数73 / 5转换为十进制小数，得到最终结果为14.6。
五、总结通过以上步骤和示例，我们可以得出将二进制循环小数转换为十进制分数的方法。
二进制表示小数方法
二进制表示小数方法在计算机科学和数字电子技术中，二进制是一种常用的数字表示方法。
除了可以表示整数，二进制也可以用来表示小数。
本文将介绍几种常见的以二进制表示小数的方法。
一、定点表示法定点表示法是一种常见的以二进制表示小数的方法。
它将小数点固定在一个位置上，将小数的整数部分和小数部分分别用二进制表示。
定点表示法可以分为两种形式：定点小数和定点定数。
1. 定点小数定点小数是指小数点位于二进制数的某个固定位置的表示方法。
例如，假设小数点位于二进制数的第三位，那么一个定点小数0.101表示的就是0.625。
定点小数的范围和精度取决于小数点的位置。
2. 定点定数定点定数是指小数点位于二进制数的最高位的表示方法。
例如，假设小数点位于二进制数的最高位，那么一个定点定数0.1101表示的就是-0.6875。
定点定数可以表示负数，但是范围和精度仍然受限于小数点的位置。
二、浮点表示法浮点表示法是一种更灵活的以二进制表示小数的方法。
它将小数点位置和指数部分分开表示，可以表示较大范围和较高精度的小数。
浮点表示法一般由三个部分组成：符号位、尾数部分和指数部分。
符号位表示正负，尾数部分表示小数的有效数字，指数部分表示小数点的位置。
浮点表示法可以根据需求调整尾数部分和指数部分的位数，以实现不同的精度和范围。
三、IEEE 754标准IEEE 754是一种广泛使用的浮点表示法标准，用于在计算机中表示浮点数。
它定义了单精度浮点数和双精度浮点数的表示方法，并规定了浮点数的运算规则。
单精度浮点数由32位组成，包括1位符号位、8位指数位和23位尾数位。
双精度浮点数由64位组成，包括1位符号位、11位指数位和52位尾数位。
IEEE 754标准可以表示非常大和非常小的浮点数，并且可以进行精确的浮点运算。
四、优缺点比较定点表示法和浮点表示法各有优缺点。
定点表示法简单直观，适用于对精度要求不高的场景，但是范围较小。
浮点表示法适用于对范围和精度要求较高的场景，但是计算复杂度较高。
小数点转换二进制
小数点转换二进制
在计算机科学中，二进制是一种基于2的数字系统，它只使用两个数字0和1来表示所有数字和字符。
在二进制中，每个数字位都表示2的幂次方，从右到左依次为2^0、2^1、2^2、2^3等等。
因此，二进制数可以表示为每个数字位上的权值乘以该位上的数字，然后将所有结果相加。
但是，当我们需要将小数转换为二进制时，就需要使用小数点来表示小数部分。
在小数点左边的数字部分可以使用整数转换二进制的方法，但是小数部分需要使用不同的方法。
将小数部分乘以2，如果结果大于等于1，则该位为1，否则为0。
然后将结果的整数部分作为下一位的数字，再将小数部分乘以2，重复这个过程直到小数部分为0或者达到所需的精度。
例如，将0.625转换为二进制，首先将小数部分0.625乘以2得到1.25，因为1.25大于等于1，所以第一位为1。
然后将0.25作为下一位的小数部分，继续乘以2得到0.5，因为0.5小于1，所以第二位为0。
接着将0.5作为下一位的小数部分，继续乘以2得到1，因为1大于等于1，所以第三位为1。
最后得到的二进制数为0.101。
需要注意的是，小数部分的转换可能会出现无限循环的情况，例如将1/3转换为二进制时，小数部分会一直重复0.01010101...，因此需要设置一个精度限制来避免无限循环。
在计算机科学中，二进制是一种非常重要的数字系统，它被广泛应用于计算机硬件和软件中。
因此，了解如何将小数转换为二进制是非常有用的技能。
小数的十进制二进制转换
小数的十进制二进制转换
小数的十进制二进制转换指的是将一个小数转换为二进制数。
在进行小数的二进制转换时，我们需要将小数的整数部分和小数部分分别转换为二进制数，并将它们组合在一起。
对于小数的整数部分，我们可以采用除2取余法来将它转换为二进制数。
具体而言，我们不断将整数部分除以2，每次将余数记录下来，直到商为0为止。
然后，将记录下来的所有余数倒序排列起来，就得到了整数部分的二进制表示。
对于小数部分，我们可以采用乘2取整法来将它转换为二进制数。
具体而言，我们不断将小数部分乘以2，每次将整数部分记录下来，直到小数部分为0或达到所需的精度为止。
然后，将记录下来的所有整数部分排列起来，就得到了小数部分的二进制表示。
最后，将整数部分的二进制表示和小数部分的二进制表示用小数点连接起来就得到了小数的二进制表示。
需要注意的是，小数部分的二进制表示可能会无限循环，因此需要设定一个精度来控制转换的结果。
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小数的反码
小数的反码小数是一种在科学、计算机技术和工程中使用的数值表示形式。
它可以表示一个数字在某个范围内的表达形式，而这个范围可以是任意大。
它们也被称为十进制表示法，因为它们采用十进制系统来表示数字。
小数的反码（又称为二进制小数）是计算机系统中使用的一种表示形式，它是小数在二进制系统中的表示形式。
小数的反码是如何工作的呢？事实上，它是一种“二进制代码”，它将每一位十进制数字都表示为一个二进制位（0或1）。
这样的话，一个十进制小数，比如0.125，可以表示为二进制数0000000.001。
反码本身也有两种形式，即直接反码和补码。
前者是一个具有反码符号的二进制数字，而后者是一个具有反码符号和十进制点之后的零位的数字。
直接反码类似于普通的十进制小数，比如，直接反码0.125可以写作0.10001001，它代表的十进制小数是0.125。
另一方面，补码是一个带有补码符号的二进制数字，其表示的小数由于受到掩码的影响而发生变化。
例如，补码0.10001001的表示十进制小数是0.125 - 0.0625 = 0.0625。
在计算机系统中，小数的反码一般用于表示实数，这种表示法用于表示一个实数所需要的最小长度。
同时，它还可以用于表示浮点数，即使用小数点来表示浮点数，比如1.2345，在计算机系统中可以表示为0001.1101化为二进制小数反码。
小数的反码在计算机科学中是非常重要的，它可以用来表示一个数值在计算机系统中的实际表示。
因此，它是计算机系统的一种重要的表示形式，非常有用。
总的来说，小数的反码是一种在计算机科学中使用的表示法，它可以用来表示十进制小数以及一些浮点数，它可以用来掩盖某些数，并在计算机系统中使用。
十进制小数转二进制计算方法
十进制小数转二进制计算方法在计算机科学中，将十进制小数转换为二进制小数是非常常见的需求。
转换十进制小数为二进制小数的一种常用方法是将小数部分乘以2，并分离整数和小数部分的方法。
下面我将详细介绍在计算机中将十进制小数转换为二进制小数的计算方法。
首先，我们将以小数部分0.75为例进行说明。
将小数部分乘以2，得到1.5、取得的整数部分1，作为二进制小数的第一位。
再将小数部分0.5乘以2，得到1.0。
取得的整数部分1，作为二进制小数的第二位。
继续将小数部分0.0乘以2，得到0.0，此时小数部分为0，结束计算。
因此，0.75的二进制表示为0.11、这个过程可以总结为以下步骤：1.将十进制小数的小数部分乘以22.取得的整数部分作为二进制小数的下一位。
3.若小数部分不为0，重复步骤1和2；若小数部分为0，结束计算。
接下来，我们将以十进制小数0.375为例进行更复杂的计算。
第一步，将小数部分0.375乘以2，得到0.75、取得的整数部分0，作为二进制小数的第一位。
第二步，将小数部分0.75乘以2，得到1.5、取得的整数部分1，作为二进制小数的第二位。
第三步，将小数部分0.5乘以2，得到1.0。
取得的整数部分1，作为二进制小数的第三位。
第四步，将小数部分0.0乘以2，得到0.0。
此时小数部分为0，结束计算。
因此，0.375的二进制表示为0.011在计算二进制小数时，需要注意以下几点：1.小数部分计算时可能出现循环小数的情况，可以通过观察计算结果的重复性来判断是否存在循环。
例如，1/3的二进制表示是0.0101（循环）。
2.若小数部分超过计算机能够表示的位数，可能需要进行舍入或截断处理。
接下来，我们将以小数部分为0.1的十进制数0.1进行计算。
将小数部分0.1乘以2，得到0.2、取得的整数部分0，作为二进制小数的第一位。
继续将小数部分0.2乘以2，得到0.4、取得的整数部分0，作为二进制小数的第二位。
接下来将小数部分0.4乘以2，得到0.8、取得的整数部分0，作为二进制小数的第三位。
进制转换方法小数
进制转换方法小数
小数的进制转换跟整数稍有不同，需要将小数部分按照进制的规律进行转换。
首先将小数部分乘以进制，然后取出整数部分作为新的数位，将小数部分再次乘以进制，重复上述步骤直到小数部分为0或达到所需的精度。
以将十进制小数0.625转换为二进制为例：
1. 将小数部分0.625乘以2得到1.25，取整数部分1作为新的数位，小数部分变为0.25。
2. 将小数部分0.25乘以2得到0.5，取整数部分0作为新的数位，小数部分变为0.5。
3. 将小数部分0.5乘以2得到1，取整数部分1作为新的数位，小数部分变为0。
4. 最终结果为0.625转换为二进制是0.101。
同理，将二进制小数0.101转换为十进制：
1. 将小数部分0.101乘以2得到0.202，取整数部分0作为新的数位，小数部分变为0.202。
2. 将小数部分0.202乘以2得到0.404，取整数部分0作为新的数位，小数部分变为0.404。
3. 将小数部分0.404乘以2得到0.808，取整数部分0作为新的数位，小数部
分变为0.808。
4. 最终结果为0.101转换为十进制是0.625。
将十进制数小数转换成二进制数小数的方法
将十进制数小数转换成二进制数小数的方法将十进制数小数转换成二进制数小数是一种常见的数学运算方法，可以通过以下步骤完成：
步骤一：将十进制小数乘以2，得到的结果分为整数部分和小数部分。
步骤二：将整数部分写在二进制数的对应位置上，小数部分再次乘以2，重复步骤一，直到小数部分为0或达到所需精度为止。
步骤三：将得到的二进制数小数与整数部分组合起来，即为所求的二进制数小数。
例如，将0.625转换成二进制数小数，按照上述步骤进行计算： 0.625 × 2 = 1.25，整数部分为1，小数部分为0.25
0.25 × 2 = 0.5，整数部分为0，小数部分为0.5
0.5 × 2 = 1，整数部分为1，小数部分为0
因此，0.625的二进制数小数为0.101。
需要注意的是，如果小数部分不能精确为0，则需要设定一个精度值，计算到小数部分达到该精度值为止。
另外，在实际应用中，可以使用计算机等工具进行快速计算。
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小数转二进制算法
小数转二进制的常用方法有两种：定点存储法和浮点存储法。
以0.625为例，定点存储法的转换过程如下：1. 将小数部分乘以2，得到0.625 * 2 = 1.25，整数部分为1。
2. 将小数部分继续乘以2，得到0.25 * 2 = 0.5，整数部分为0。
3. 继续将小数部分乘以2，得到0.5 * 2 = 1，整数部分为1。
4. 此时，已经计算到小数点后三位，可以停止计算，从后向前读取整数部分，得到的二进制数为0.101。
而浮点存储法则更常用于计算机内部表示小数，以0.625为例，转换过程如下：1. 用定点存储法计算出0.625的二进制表示为0.101（在计算机中用二进制表示时，需要保留小数点后几位）。
2. 由于计算机中的浮点数表示法通常采用IEEE 754标准，因此需要将定点表示转换为浮点表示。
在IEEE 754标准中，一个单精度浮点数（32位）的表示格式为：符号位（1位）+指数位（8位）+尾数位（23位）。
3. 将0.101转换为对应的指数位和尾数位。
在IEEE 754标准中，指数位的偏移量为127（即偏移量+1=128），因此0.101的指数位为-1，尾数位为0.101乘以2的-1次方等于0.5。
4. 将指数位和尾数位转换为二进制数，并将符号位与指数位和尾数位组合起来，得到浮点表示法的二进制数为：1 0000001 11111010000100000000000。
其中，符号位为1表示负数，指数位为-1加上偏移量127等于-126，尾数位为0.5乘以2的-1次方等于0.101。
5. 在计算机中存储该浮点数时，将符号位、指数位和尾数位分别存储在对应的寄存器或内存单元中。
需要注意的是，由于计算机中的浮点数表示法存在精度限制，因此在进行浮点数运算时可能会存在精度损失的问题。
此外，IEEE 754标准中的指数位的偏移量也可能因不同的计算机系统而有所不同。
二进制小数及IEEE浮点表示
⼆进制⼩数及IEEE浮点表⽰1、⼆进制⼩数 前⾯这篇博客我们已经讲过了各个进制数的表⽰。
现在我们复习⼀下： 进位计数制的要素： ①、数码：⽤来表⽰进制数的元素。
⽐如⼆进制数的数码为：0,1。
⼗进制数的数码为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。
⼗六进制数的数码为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A,B,C,D,E,F ②、基数：数码的个数。
⽐如⼆进制数的基数为2。
⼗进制数的基数为10。
⼗六进制数的基数为 16. ③、位权：数制中每⼀固定位置对应的单位值称为位权。
例如⼗进制第2位的位权为101即10，第3位的位权为102即100；⽽⼆进制第1位的位权为20即1，第3位的位权为4，对于 N进制数，整数部分第 i位的位权为N(i-1)，⽽⼩数部分第j位的位权为N-j。
那么我们可以说：每个数码所表⽰的数值=该数码值 * 所处位置的位权。
⽐如⼗进制数：(123.45)10＝1×102+2×101+3×100+4×10-1+5×10-2 ⼆进制数：(1010)2 =l× 23+0 × 22+l× 21+0 × 20=(10)10 ⼗六进制数：(BAD)16 =11× 162+10×161+13×160=(2989)10 ⼆进制⼩数（10010.1110）2 = 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2-1 + 1 * 2-2 + 1 * 2-3 + 0 * 2-4 = 16 + 2 + 1/2 + 1/4 + 1/8 总结来说 ⼗进制表⽰公式： 对于⼀个形式为b m....b0.b-1....b-n的⼆进制⼩数b来说，⼆进制表⽰公式： 从上⾯的⼆进制公式我们可以看出，⼩数点向左移动⼀位，则相当于（∑ 2i * b i）/2。
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第九讲二进制小数
我们曾经学了二进制以及八，十六及各种进制的整数，以及它们的加减乘除四则运算．大家必然会提问：与十进制分数、小数类似的二进制分数、小数，如何推广过来？
一个二进制小数，不妨先讲纯小数：0＜n＜1，
n＝0.b1b2b3…b i…，每个b i或为0，或为1．（b i不全为0，也不全为1）．
……
二进制小数的运算也和十进制小数运算相类似，差别在于这里是“逢二进一”，“退一还二”．
十进制小数化为二进制小数，主要通过分数作中间媒介．
例将（0.3）10化为二进制小数．（用（a）k表示k进位数）．
这表示十进制有限小数可能化成二进制循环小数．
本节重点讲二进制循环小数如何化为二进制分数．回忆十进制循环小数化分数，一是要学习推理中的思想方法，二是最好归纳成一个易用易记的公式．
十进制循环小数化分数一般公式：
这些公式的推导过程如下，请体会思想方法．
齐，消去了让人“害怕”的无限长（虽然是循环）的小数）：
至于混循环，只要借用已证得的公式①，因为
其实公式②中，当s＝0时，就是公式①，复杂的公式②是借用简单情况下的公式①推来．推出后①包含在②之中．
对于二进制循环小数化二进制分数，也可同样推导．
至于二进制混循环小数：也记这小数的整体为S．
从推导和记忆规则看，公式（1）和（2）与十进制公式①和②相仿．那么读者一定会归纳出任意进制的循环小数化分数的公式．
解：用公式（1）
例3 化（0.100111011）2为二进制分数．
解：由公式（2）
直接检验
现在再看推导公式的方法，关键是把循环小数的值设为S，好比列方程设未知数，而10k S－S恰好消去了“烫手”的无限长的小数部分，
推出“方
这样的思想，在研究等比数列时也用到了．以前讲过有限项数列：a1，a2，a3，…，a i，…，a n．所谓等比数列，即它每一项都是前一项乘上一公共值q，也即：
a1，a2＝a1q，a3＝a2q，…，a i＝a i－1q，…，a n＝a n－1q，
或
a1，a2＝a1q，a3＝a1q2，…，a i＝a1q i－1，…，a n＝a1q n－1．
现在要求出a1＋a2＋a3＋…＋a i＋…＋a n．
思想方法：第一步：
设S＝a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1．
上式两边乘上q，作为第二步：
qS＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1＋a1q n．
当q＜1时，用上式两边减下式两边，得到
S－qS＝a1－a1q n，
公式（3）称为公比小于1的等比级数前n项求和公式．它叙述为：前n项和等于首项与首项乘公比的n次幂的差除以1与公比之差．
例4
最后以一个很精彩的例来结束本节（本例选自美国1993年第四十四届高中数学竞赛第30题．虽是高中竞赛题，但本讲知识可解此题）
例5 x0是任意取定的数，满足0≤x0＜1，对于所有的自然数n，x n 由下述递推的关系式确定：
求使得x0＝x5的x0的个数．
分析所谓递推关系式，就是一旦给定了一个初始值x0，例如取x0＝
总之，后项取决于前项的2倍值，当前项2倍值大于1时，就取该值；不小于1时（决不会超过2）就取它与1的差值．）
如果我们设x0是一个二进制小数，即设x0＝（0.d1d2d3…）2，那么
2x0＝（10）2×（0.d1d2d3...）2＝（d1.d2d3d4 (2)
即2x0。
只是把x0的二进制表示中的小数点向右移一位．因此
2x0<1相当于d1＝0，2x0≥1相当于d1＝1；那么按递推关系式的规定，x1变得特别简明：
x1＝（0.d2d3d4d5 (2)
因为如果d1＝0，即2x0＜1，则x1＝2x0＝（0.d2d3d4…）2；如果d1＝1，即2x0≥1，则x1＝2x0－1＝（1.d2d3d4…）2－1＝（0.d2d3d4…）2，同样的规律，在由x i求x i＋1时也成立，i＝1，2，…，即
x2＝（0.d3d4d5d6...）2；x3＝（0.d4d5d6 (2)
x4＝（0.d5d6d7...）2；x5＝（0.d6d7d8 (2)
按条件应有x0＝x5，即：
（0.d1d2d3d4d5d6d7d8d9d10...）2＝（0.d6d7d8d9d10d11d12d13 (2)
这相当于x0是循环节为5的二进制纯循环小数，即
由于每一个d i的值，只有0，1两种可能，所以：
x0有25＝32个可能值，它们依小到大排成：
但别忘了题设限定0≤x0＜a，x0小于1，而由公式（1）知循环小数
习题九
1．请你写出把三进制循环小数化为分数的公式：
2．把下列十进制小数化二进制小数．
（0.1）10（0.01）10
3．把下面各循环小数化为分数，注意进制，并请把4个数由小到大排序．
4．循环小数化十进制分数：
6．仿例5，设x0是0≤x0＜1的数，并对所有自然数n有递推式：
求使得x0＝x3的x0的所有可能值（用三进制求解），并把最小的和最大的非零数化十进制数验证．这里[x]表示取x的下整数．即不超过x的最大整数．
7．同本讲最后一例中各条件，0≤x0＜1，递推式
当2x n－1＜1时，
当2x n－1≥1时，（n为自然数）．改动为：求使x0＝x3的所有十进制的x0值．。