高等数学第三章导数与微分续教学案例
高等数学教案-第三章-微分中值定理与导数应用
例6. ( 型未定式)
当然,罗必达法则可与其它的方法结合起来用,对有些问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ更简单(先化简).
例7. (先进行无穷小等价代换)
有些未定式,洛必达法则是无效的,但并不能说明极限不存在,可用其它方法来求.
例8.
………………………………………………………………………………………42分钟
注：称使 的点为驻点。
例2罗尔定理：如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导；
（3） .
则在（a,b）内至少有一点 ,使 .
几何解释:
二、拉格朗日中值定理
1.拉格朗日中值定理:如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导.
则在（a,b）内至少有一点 ,使等式
例10．判断 的凹凸性．
例11．判断 的凹凸性．
3．拐点
拐点定义（画图说明，注意拐点是连续点）：凹凸区间的分界点称为拐点．
拐点的判断：１二阶导数为零的点；２二阶导数不存在的点．
例12．求曲线 的拐点．
例13．求曲线 的凹凸区间与拐点．
例14．指出 是否有拐点．
例15．指出 的拐点．
………………………………………………………………………………………42分钟
（1）若 ，则 点是极大值点；
（2）若 ，则 点是极小值点。
（由凹凸性分析。）
求极值的步骤：
（1）求出一阶导数；
（2）求出一阶导数为零或不存在的点；
（3）判断上述可疑点处的二阶导数或其左右邻域的符号；
（4）判断出极值点并求出极值。
高中数学《导数与微分》教案
高中数学《导数与微分》教案第一章引言1.1 课程背景与目标在高中数学课程中，学习导数与微分是非常重要的内容之一。
通过本章的学习，学生将掌握导数的定义、求导规则以及应用导数解决实际问题的方法，为以后学习更深入的微积分内容打下坚实基础。
1.2 教学目标- 理解导数的几何与物理意义；- 掌握一元函数的导数定义；- 掌握常见函数的导数公式；- 理解导数的运算法则；- 能够利用导数求解实际问题。
第二章导数的引入2.1 导数的几何意义导数描述的是一个函数在某一点上的变化率。
引导学生通过直观的图像理解导数的几何意义，并通过练习题巩固理解。
2.2 导数的物理意义导数在物理中的应用非常广泛，例如速度、加速度等概念，都与导数有着紧密的关联。
通过一些生动的物理例子，帮助学生理解导数的物理意义。
第三章导数的定义3.1 函数的变化率介绍函数的变化率的概念，并引入导数的定义。
通过一些实例，帮助学生掌握导数的定义及其计算方法。
3.2 导数的基本性质探讨导数的基本性质，如导数恒为常数的函数、求导法则等内容，帮助学生建立导数的基本概念与技巧。
第四章常见函数的导数公式4.1 常数函数的导数介绍常数函数的导数及其求导方法，并通过练习巩固学生对此的掌握。
4.2 幂函数的导数探讨幂函数的导数计算方法，并引导学生通过求导计算出各种幂函数的导数。
4.3 指数函数的导数引入指数函数的导数定义，并通过练习题帮助学生掌握指数函数的导数规律。
4.4 对数函数的导数介绍对数函数的导数计算方法，并通过实例演示对数函数的导数求解过程。
第五章导数的运算法则5.1 导数的四则运算法则介绍导数的四则运算法则，即导数的和、差、积、商的计算方法，并通过练习题加深学生对运算法则的理解。
5.2 复合函数的导数探讨复合函数的导数计算方法，即复合函数的链式法则，并通过实例演示链式法则的应用过程。
第六章应用导数解实际问题6.1 极值问题介绍如何通过导数求解函数的极大值和极小值，并引导学生通过例题巩固应用能力。
《高等数学(上)》教学教案—03微分中值定理与导数的应用
第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01授课序号02授课序号03!n +!n +()()!n x n +!n +!n +[cos ((2x m θ+=+21)2!!x n α-++)(1(1)!n n αθ-++()nx R x +授课序号04（1）在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原材料最省”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.（2）对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数()f x 在定义区间内部存在着最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，而最值又存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最值点，0()f x 即为相应的最值． 四．例题讲解例1.讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调增减区间． 例2.判断函数3()=f x x 的单调性.例3.设3,0,()arctan ,0.x x f x x x x ⎧-<=⎨≥⎩确定()f x 的单调区间.例4.证明：当0x >时，e 1x x >+． 例5.求函数32()(1)f x x x =-的极值．例6.求函数22()ln f x x x =-的极值．例7.求函数233()2f x x x =+在区间1[8]8-，上的最大值与最小值．例8.水槽设计问题有一块宽为2a 的长方形铁皮如图3.8所示，将宽所在的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大（流量与横截面积成正比）． 图3.8例9.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积V 是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省？ 例10.面积最大问题将一长为2L 的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大．授课序号05授课序号06教学基本指标教学课题第3章第6节弧微分与曲率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点曲率的计算公式教学难点曲率的计算参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
导数与微分教案
《微积分》教案（上册）章节名称：第三章导数与微分第三章导数与微分本章教学目标与要求理解导数的概念，会利用导数定义求导数。
了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导教学目的与要求1.理解函数导数的概念及其几何意义.2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系. 教学重点与难点1. 函数导数的概念、基本初等函数的导数思考：已知一质点的运动规律为)(t s s =，0t 为某一确定时刻，求质点在0t 时刻的速度。
在中学里我们学过平均速度ts∆∆，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛22gt s =， 按照上面的公式，可知自由落体运动在0t 时刻的瞬时速度为000202000000)21(lim 21)(21lim )()(lim )(0gt t g gt t gt t t g t t s t t s t v t t t =∆+=∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆→∆。
这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.2．切线的斜率思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只根据切线的定义可知，当点N 沿曲线C 趋于M 时，即0x ∆→，割线的斜率趋向于切线的斜率。
也就是说，如果0x ∆→时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为k ，即0000()()tan limlim x x f x x f x yk x xα∆→∆→+∆-∆===∆∆ （2）3.边际成本设某产品的成本C是产量x的函数()=，试确定产量为C C xx个单位时的边际成本。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)
第三章
函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
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一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
1)
y
(
x
2 1)3
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6）绘图
x (,1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无 定 义
0
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O1 2 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
x0
1 1
e e
x2 x2
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2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
,
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
y
1
(
1
,1
e
1 2
)
2
O
(
《高等数学》教案第三章导数与微分
《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。
三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。
2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。
3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。
五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。
在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。
同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。
希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
大一高数第三章 导数与微分 课件
x0
x
lim C C 0 x0 x
即(C)' 0,通常说成 : 常数的导数等于零.
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例2 求y x的导数.并求y |x1 .
解 因为 lim y lim f (x x) f (x)
x0 x x0
x
x x x
lim
y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率,即
f(x0) =tan ( /2)， 其中是切线的倾角． 于是有
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为
y-f(x0 )=f(x0) (x-x0)．
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线方程为
y-f(x0)=
1 f ( x0 )
别 为 dy1 =______2_x__13__________
，
dx
3
dy2 dx
=____x_23________
.
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4、 设 f ( x) x 2,则 f f ( x) _____4__x_2________；
5、 曲 线 y e x 在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 _____x___y___1___0____.
x0
x
lim
1
1.
x0 x x x 2 x
y |x1
1 2x
|x1
1. 2
一般地，对于幂函数 y= x 有公式
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( x )′ = x 1
对于基本初等函数中的y ax , y loga x, y sin x, y cosx都可以仿例1，例2的方法求得导数如下：
f
高数)第3章：微分中值定理与导数的应用教案资料
yf(x)
1
2
x
5
证明: 只就f (x)在x0达到最大值证明。
由f于 (x)在 x0达到最大值x， 0所 x在 (以 a,b)内 只 , 要
就f有 (x0x)f(x0), 即 f(x 0 x ) f(x 0 ) 0 ,
从f(而 x 0 x )f(x 0)0 ,当 x0 时 ; x
即 方 程 在 (a ,b )内 至 少 有 一 根 .
16
分析问题的条件, 作出辅助 函数是证明的关键 .
17
• 对于罗尔定理中的第三个条件 f(a)f(b) 很多函数都不满足，这样就限制了罗尔定
f(x0 x)f(x0)0,当 x0时 ; x
这 f(x 样 0 0 ) lx 0 im f(x 0 x x ) f(x 0 ) 0 f(x 0 0 ) lx i0 m f(x 0 x x )f(x 0) 0 .
而f(x)在点 x0可导， 所f以 (x0)0.
6
观察与思考：
右图，区间[a, b]上 一条光滑曲线弧，且两 端点处的函数值相等， 除区间端点外处处有不 垂直于x 轴的切线，在 最高点和最低点处切线 有何特点？
第三章
微分中值定理与 导数的应用
1
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
2
第一节 微分中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。
1. 预备定理——费马(Fermat)定理
(1, 2)及(2, 3)内。
可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。
高等数学导数与微分教案
高等数学导数与微分教案一、页高等数学导数与微分教案二、目录1.页2.目录3.摘要4.背景和现状分析4.1数学教育的重要性4.2导数与微分的在现代数学中的地位4.3当前教育方式与挑战5.项目目标5.1教学内容的深化与拓展5.2教学方法的创新与改进5.3学生能力的提升与评估6.教学内容安排7.教学方法与策略8.教学评估与反馈9.教学资源与材料三、摘要四、背景和现状分析4.1数学教育的重要性在当今科技迅速发展的时代，数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维、抽象能力和创新能力具有不可替代的作用。
高等数学作为大学教育的重要组成部分，其深度和广度都对学生未来的学术和职业生涯产生深远影响。
4.2导数与微分的在现代数学中的地位导数与微分是高等数学中的核心概念，它们不仅是后续学习积分学、微分方程等高级数学课程的基础，而且在物理学、工程学、经济学等多个领域有着广泛的应用。
掌握导数与微分的基本原理和方法对于学生理解和解决实际问题至关重要。
4.3当前教育方式与挑战目前，高等数学的教学多采用传统的讲授方式，这种方式往往导致学生被动接受知识，缺乏主动探索和思考的机会。
由于导数与微分概念较为抽象，学生普遍感到难以理解和应用，这对教师的教学方法和学生的接受能力都提出了更高的要求。
五、项目目标5.1教学内容的深化与拓展本教案的目标之一是对导数与微分的教学内容进行深化与拓展。
除了涵盖基本概念、性质和计算方法外，还将引入一些高级主题和应用实例，以增强学生对导数与微分理解的深度和广度。
5.2教学方法的创新与改进教案将探索和实施一系列创新的教学方法，如翻转课堂、小组合作学习、问题导向学习等，以激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和自主学习能力。
5.3学生能力的提升与评估教案将注重学生能力的培养和评估，通过设计多样化的练习题和实际应用案例，帮助学生将理论知识转化为解决实际问题的能力。
同时，教案将包含定期的学习评估和反馈机制，以确保教学目标的达成。
《高等数学B》第三章 导数、微分、边际与弹性 第1节 导数的概念
其中 α → 0 ( ∆ x → 0) . 则
∆ y = f ′( x 0 ) ∆ x + α ∆ x
∆x → 0
lim ∆ y = lim [ f ′( x0 )∆ x + α ∆ x ] = 0 ,
N 沿曲线C → M , x → x0 ,
切线 MT 的斜率为
由上可得: 由上可得: 1) 变速直线运动的瞬时速度
2) 曲线切线的斜率
两个问题的共性: 两个问题的共性: 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 函数增量
二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 定义 设函数 y = f ( x)在点x0的某个邻域内有定义,
当自变量 x在 x0处取得增量∆x(点 x0 + ∆x仍在该邻域 ) 内 时, 相应地函数 y取得增量∆ y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ); 如果∆ y与∆x 之比当∆x → 0 时的极限存在, 则称函数 y = f ( x)在点x0处可导,并称这个极限为函数 y = f ( x) 在点x0处的导数, 记为
1 1 = ( )′ 1 = − 2 x x= 2 x
1 x= 2
= −4 .
1 所求切线方程为 y − 2 = −4( x − ) , 即 4 x + y − 4 = 0 . 2 1 1 法线方程为 y − 2 = ( x − ) , 即 2 x − 8 y + 15 = 0 . 4 2
四、函数可导性与连续性的关系 定理 凡可导函数都是连续函数 . 证 设函数 f ( x ) 在点 x0 可导 , 得
大学导数与微积分教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解导数的概念和几何意义。
2. 掌握导数的计算方法，包括基本导数公式和求导法则。
3. 学会运用导数解决实际问题，如求函数的单调性、极值等。
4. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
教学重点：1. 导数的概念和几何意义。
2. 基本导数公式和求导法则。
教学难点：1. 导数的概念理解。
2. 复杂函数的求导。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 教学辅助工具（如白板、黑板等）。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初等函数的概念和性质。
2. 提出问题：如何研究函数在某一点的局部性质？二、导数的概念和几何意义1. 介绍导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点附近的瞬时变化率。
2. 利用极限的思想推导导数的定义公式。
3. 结合图形，解释导数的几何意义：导数表示函数在某一点切线的斜率。
三、基本导数公式1. 介绍基本导数公式：常数的导数为0，幂函数的导数为n次幂减1的幂函数，指数函数的导数为指数函数乘以底数的对数，对数函数的导数为对数的导数乘以原函数的倒数。
2. 举例说明如何运用基本导数公式进行求导。
四、求导法则1. 介绍求导法则：和差法则、乘法法则、除法法则、链式法则。
2. 通过例题讲解求导法则的应用。
五、课堂小结1. 总结本节课所学内容：导数的概念、几何意义、基本导数公式和求导法则。
2. 强调导数在解决实际问题中的应用。
第二课时一、复习导入1. 回顾上节课所学内容：导数的概念、几何意义、基本导数公式和求导法则。
2. 提出问题：如何运用导数解决实际问题？二、运用导数解决实际问题1. 介绍函数的单调性：函数在某个区间上单调递增或递减。
2. 介绍函数的极值：函数在某一点取得局部最大值或最小值。
3. 通过例题讲解如何运用导数判断函数的单调性和极值。
三、复合函数的求导1. 介绍复合函数的概念：由两个或多个函数复合而成的函数。
2. 介绍链式法则：复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。
高等数学教案 第3章 导数与微分
第三章 导数与微分17世纪上半叶（整整半个世纪），当时天文学、力学等领域发展酝酿着微积分的发展，伽利略天文望远镜的发明使天文学的高涨，1619年开普勒通过观测归纳出运动的三大定律，对定律进行证明成为当时最中心的课题之一，1638年伽利略建立自由落体定律，动量定律等，他本人也倡导自然科学数学化，他的著作激起了人们对他确立的动力学概念与定律做精确的数学表述的巨大热情．这一蓬勃发展的自然科学在迈入综合与突破的阶段时面临的是数学困难，使微分学的基本问题成为人们关注的焦点：确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任一点切线问题变得不可回避．微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分．其中导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢程度，而微分则反映出当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少．本章主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法．第一节 导数的定义一、导数的引例1、变速直线运动的瞬时速度设某物体做变速直线运动，在[0,t]内所走过的路程为()s s t =，其中0t >为时间，求物体在时刻0t 的瞬时速度0()v v t =．我们知道，当物体做匀速直线运动时，若物体所走过的路程为s ，所用时间为t ，则可知该段时间内的平均速度为s v t=由于是匀速运动，因此在t 时刻的瞬时速度v v =，但变速直线运动物体的速度()v t 是随时间的变化而变化的，不同时刻的速度可能都不同，因此平均速度v 不能很好的反映物体在时刻0t 的瞬时速度．为解决此问题，我们先求出物体在00[,]t t t +∆这一小段时间内的平均速度，因此有路程变化表达式00()()s s t t s t ∆=+∆-平均速度为00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆ 通常速度在段时间内变化不会很大，因此这里的v 可以作为0()v t 的近似值，容易看出，t ∆越小，则v 越接近0()v t ，试想，当t ∆无限变小时，v 将无限接近0()v t ．即00000()()()lim lim lim t t t s t t s t sv t v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆2、曲线的切线斜率首先说明什么是曲线的切线，在中学，我们曾定义圆的切线为“与圆只有一个交点的直线”，但对于一般曲线而言，这一定义不合适，很明显，与一曲线只有一个交点的直线很多，但不是切线．一般地，设连续曲线C 及C 上一点M 如图3—1所示，在M 点外任取一点N C ∈，做割线MN ，如果点N 沿曲线C 趋向M 点时，如果割线MN 趋向与它的极限位置MT ，则称直线MT 为曲线C 在M 处的切线，如图所示．设M 点的坐标为00(,)x y ，则N 点的坐标为00(,)x x y y +∆+∆，割线MN 的倾角为ϕ，切线MT 的倾角为θ，则割线MN 的斜率 tan NP yk MP xϕ∆===∆ 00()()f x x f x x+∆-=∆ 当0x ∆→时，点N 沿曲线C 趋于M ，由切线的定义知MN 趋于MT ，从而ϕθ→，有t a n t a n ϕθ→，即切线的斜率00tan lim tan limx x y k x θϕ∆→∆→∆===∆000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆ 以上两个问题，尽管实际意义不同，但是有着相同的本质，都是归结于要求函数的改变量与自变量的改变量的比值，当自变量的改变量区域0时的极限，可见这种形式的极限问题是非常重要的而且普遍存在，因此有必要将其抽象出来，进行重点讨论和研究，这种形式的极限就是函数的导数．二、导数的定义定义 设函数)(x f y =在点0x 及其近旁有定义, 当自变量x 在点0x 有增量x ∆时, 函数)(x f 有相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，当x ∆0→时，若xy∆∆的极限存在，即 0lim x yx ∆→∆∆000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆． 存在，则称此极限值为函数)(x f 在点0x 处的导数，记作)(0x f ', y '0x x =, 0x x dx dy =, 0)(x x dxx df =．xy∆∆x x f x x f ∆-∆+=)()(00反映的是自变量x 从0x 改变到+0x Δx 时, 函数)(x f 的平均变化速度, 称为函数的平均变化率．而导数0()f x '=0lim →∆x xy∆∆则反映的是函数在0x 处的变化速度, 称为函数在0x 处的瞬时变化率．图3—1函数()f x 在点0x 处有导数，则称函数()f x 在点0x 处可导．定义 如果函数)(x f 在区间),(b a 内每一点处都可导，则称)(x f 在区间),(b a 内可导．此时，对于区间),(b a 内每一个确定的x , 都有一个导数的值与它对应，这样就定义了一个新的函数，称为函数)(x f y =的导函数（derivative function ）．在不致发生混淆的情况下，导函数也简称为导数，记作)(x f ', y ′,dx dy , dxx df )(． 显然()f x '=0limx y x ∆→∆∆0()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆． 函数)(x f y =在点0x 处的导数()f x '，就是导函数()f x '在点0x 处的函数值，即0()()x x f x f x =''=．注意'0()f x 与'0[()]f x 的区别：'0()f x 表示函数)(x f 在点0x 的导数，即函数在一点的导数；而'0[()]f x 表示点0x 处函数值0()f x 的导数，即一个常数的导数，结果为零．基于此，要求一个函数)(x f 在一个点0x 的导数，应先求出这个函数的导函数()f x '，再把点0x 代入即得'0()f x ．三、与导数有关的问题有了导数的定义，实际中很多问题都可以用导数来表示，导数引例中的两个问题分别用导数可以表示为：（1） 变速直线运动的速度是路程()s t 对时间t 的导数，即()()dsv t s t dt'==． （2） 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率，即0()tan k f x α'==其中α是切线的倾斜角，2πα≠．这也是导数的几何意义．除了这两个以外，还有如下问题分别可以用导数来表示： （3）在经营管理中，收益函数()R x 对销售量x 的导数dRdx称为边际收益． （4）利润函数()L x 对产量x 的导数dLdx称为边际利润． （5）在电工学中，电量()Q t 对时间t 的导数dQdt 称为电流．（6）在热学中，热量Q 对温度T 的导数dTdQ称为比热等．（7）在化学反应中，物质A 的浓度()A N t 对时间t 的导数()A dN t dt称为反应速率，一般为了使反应速率为正值，如果物质A 是反应物，则A dN dt 前加负号，即AdN dt-；物质A 是产物，则速率就是AdN dt． （8）在干燥物体的时候，单位干燥面积上汽化水分量()W t 对时间t 的导数dWdt称为干燥速率．（9）某种传染病传播的人数量()N t 对时间的导数()dN t dt称为传染病的传播速度． ……四、几个求导数实例例1 求3x y =在1-=x 处的导数． 解 由于函数改变量00()()y f x x f x ∆=+∆-(1)(1)f x f =-+∆--33(1)(1)x =-+∆-- 2323133()()133()()x x x x x x =-+∆-∆+∆+=∆-∆+∆所以1x y =-'=x yx ∆∆→∆0lim=20lim 33()3x x x ∆→⎡⎤-∆+∆=⎣⎦ 例2 求函数sin y x =的导数．解 因为 sin()sin 2cos()sin22x xy x x x x ∆∆∆=+∆-=+，所以 ()f x '=0limx y x ∆→∆=∆0lim →∆x 2cos(x x ∆+)=∆∆22sinx x 0lim →∆x 2cos(x x ∆+)0lim →∆x =∆∆22sinxxx cos ． 即x x cos )(sin ='．类似地, 可求得x x sin )(cos -='．例3 求函数x y a log =(0,1)a a >≠的导数．解 因为 log ()log a a y x x x ∆=+∆-=)1(log xxa ∆+，所以 ()f x '=0lim x y x ∆→∆=∆01lim x x ∆→∆log (1)a x x∆+01lim x x ∆→=log (1)x x a x x ∆∆+0lim 1→∆=x x x xa x x ∆∆+)1(log e x a log 1=ax ln 1=． 即=')(log x a a x ln 1． 特别地, 当e a =时=')(ln x x1． 五、可导与连续的关系定理 如果函数)(x f y =在点x 处可导, 则它在点x 处一定连续．（证明略）这个定理的逆命题不成立, 即如果函数)(x f y =在点x 处连续, 但在x 处不一定可导． 例如函数3x y =在区间),(+∞-∞内处处连续，但它在0=x 处不可导．是因为在0=x 处有x x x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆330000lim lim 20lim ()x x -∆→=∆=∞， 即曲线3x y =在原点有垂直于x 轴的切线，从而导数不存在．如图3—2所示．又例如函数||y x =，图形如图3—3所示，这样的图形在原点是没有切线的，所以就不存在斜率，也就没有导数，但是连续，所以像这种点也是不可导的，它的理论推导留给读者在习题中完成．习题训练1．物体作直线运动的方程为223s t =+，求：（1）物体在2秒到2t +∆秒的平均速度； （2）物体在2秒时的瞬时速度； （3）物体在0t 秒到0t t +∆秒的平均速度； （4）物体在0t 秒时的瞬时速度． 2．根据导数定义证明：(cos )sin x x '=-．3．已知每公斤铁由0C ︒加热到T C ︒所吸收的热量Q 由下式确定：20.10530.0000712(0200)Q T T T =+≤≤求T C ︒时铁的比热．4．用导数定义证明连续函数y x =在点0x =处不可导． 5．用导数定义证明函数()f x =0x =处连续，但()f x 在点0x =处不可导．6．用导数定义讨论函数2()1f x x =-在点1x =处的可导性．图3—2yxO图3—3yxO7．结合你自己的专业，查找除了本节中给出的可以用导数表示的外，还有哪些可以用导数表示？第二节 求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则上面，我们利用导数的定义求出了一些简单函数的导数，但是当函数比较复杂时，那么用导数的定义来求这些复杂函数的导数时就会变得相当麻烦．由于导数在数学形式上就是一种特殊的函数的极限，我们可以利用函数极限的四则运算法则导出函数求导的四则运算法则．设)(x u u =、)(x v v =在点x 处具有导数)(x u u '='，)(x v v '='.根据导数定义和函数极限的四则运算法则很容易得到下面函数的和、差、积、商的求导法则（证明略）．法则1 ()u v u v '''±=±．这个公式可以推广到有限多个函数代数和的情形='±±±±)(321n u u u u n u u u u '±±'±'±' 321． 法则2 ()uv u v uv '''=+． 法则3 v c cv '=')( (c 为常数)．法则4 2u u vu v v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭（0≠v ）． 例1 求函数2(1)ln y x x =-的导数．解 22(1)ln (1)ln y x x x x '''=-+-212ln x x x x -=-+12ln x x x x=-+-．例2 求函数1122+-=x x y 的导数．解 y '222222)1()1)(1()1()1(+'+--+'-=x x x x x =+--+=2222)1()1(2)1(2x x x x x 22)1(4+x x．例3 求函数tan y x =的导数．解 因为sin tan cos xx x=，所以2sin (sin )cos sin (cos )()cos cos x x x x x y x x''-''==22222sin cos 1sec cos cos x xx x x +===． 即2(tan )sec x x '=．类似的，可以求出2(cot )csc x x '=-．例4 求函数sec y x =的导数． 解 因为1sec cos x x =，所以 221(1)cos 1(cos )sin ()sec tan cos cos cos x x x y x x x x x''-''====． 即(sec )sec tan x x x '=．类似的 可以求出(csc )csc cot x x x '=-．例5 求函数sin tan y x x x =的导数．解 ()s i n t a n (s i n )t a n s i ny x x x x x x x x x ''''=++ x x x x x x x x 2sec sin tan cos tan sin ++=．例6 一个可变电阻R 的电路中的电压为6253R U R +=+，求在7R =Ω时电压U 对可变电阻R 的变化率．解 根据导数的本质可知，电压U 关于可变电阻R 的变化率为226256(3)(625)7()3(3)(3)R R R U R R R ++-+''===-+++,2770.0710R U ='=-=-． 即当7R =Ω时，电压关于可变电阻R 的变化率为0.07-．二、反函数的导数定理 设函数()x y ϕ=在),(b a 内单调、可导，且()0y ϕ'≠，则它的反函数)(x f y =在对应的区间内也单调、可导，且1()()f x y ϕ'='或y xx y '='1． （证明略）例7 求函数)11(arcsin <<-=x x y 的导数． 解 因为x y arcsin =的反函数是y x sin =（22ππ<<-y ），且0cos >=y dydx，所以y dydx dx dy cos 11==2211sin 11xy -=-=． 即()='x arcsin 211x-()11<<-x ． 类似的 可以求出()='x arccos 211x--()11<<-x ．例8 求函数arctan y x = ()x -∞<<∞的导数． 解 因为x y arctan =的反函数是y x tan =（22ππ<<-y ），且2sec dxy dy=，所以 y dydx dx dy 2sec 11==2211tan 11x y +=+=．即()211arctan xx +=' )(∞<<-∞x ． 类似的 可以求出()'x arc cot 211x +-= )(∞<<-∞x ． 例9 求函数x a y =)1,0(≠>a a 的导数．解 因为xa y =的反函数是y x a log = )0(+∞<<y ，且0ln 1≠=ay dy dx ，所以 a a a y y a x a x ln ln )(log 1)(=='='．即a a a x x ln )(='．特别地，指数函数xe y =的导数是x x e e =')(．三、复合函数的导数定理 设函数[()]y f x ϕ=是由)(u f y =及()u x ϕ=复合而成的函数，如果()u x ϕ=在点x 处有导数=dx du ()x ϕ'，而)(u f y =在对应点()u x ϕ=处有导数=dudy )(u f '，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处的导数也存在, 且dy dy du dx du dx=⋅． 或写成()()()y x f u x ϕ'''=⋅或x u x y y u '''=⋅．其中x y '表示y 对x 的导数，u y '表示y 对中间变量u 的导数，而x u '表示中间变量u 对自变量x 的导数．（证明略）复合函数的导数可以推广到有限次复合的函数情形．例如 )(u f y =，()u v ϕ=，)(x v ω= 则x v u v u y y '⋅'⋅'='，这样的复合函数的求导方法则称为链式法则．例10 求函数4(12)y x =-的导数．解 设4y u =，则12u x =-，因为34u y u '=，2x u '=-，所以33)21(8)2(4x u u y y xu x --=-⋅='⋅'='．例11 求y =解 设y =21u x =+，因为141551155u y u u --'==，2x u x '=，所以44255112(1)255x u x y y u u x x x --'''=⋅=⋅=+⋅=．当运算熟练后，求复合函数的导数时，就不必再写出中间变量，可以按照复合的前后次序，层层求导直接得出结果．例1,2 求2cos y x =的导数．解 2[(c o s )]2c o s (c o s )y x x x '''==⋅2s i n c o s s i n2x x x =-=-． 计算函数的导数时，有时需同时运用函数的和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则．例13求y x=的导数．解22()y x x ''=22(1)xx '=-22x=2=． 例14 求21arcsin x y -=的导数． 解 函数的定义域为]1,1[-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=--⋅='---='011110111221)1()1(1122222x xx x x x x x x y ．例15对电容器充电的过程中，电容器充电的电压为(1)tRCcu E e -=-,求电容器的充电速度表达式.解 根据题意可知充电速度为cdudt，根据复合函数的求导法则，有 (1)t t c RCRC du E E e e dt RC--'==-=． 四、初等函数的求导公式到现在为止，我们已经求出了全部基本初等函数的导数．由于初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合运算构成的，因此可以利用函数的和、差、积、商的求导法则、复合函数的求导法则以及基本初等函数的导数公式求出任何初等函数的导数．从而可以得出下面的结论：一切初等函数都是可导的，而且可导的初等函数的导数仍为初等函数． 为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：()u v u v '''±=± ()uv u v uv'''=+()cu Cu ''=；（C 是常数） 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭()0v ≠．3 复合函数的求导法则设()y f u =，而()u x ϕ=且()f u 及()x ϕ都可导，则复合函数[]()y f x ϕ=的导数为dy dy dudx du dx=⋅或u x y y u '''=⋅习题训练1．求下列函数在给定点的导数： （1）53sin y x x =+在0x =及2x π=；（2）23cos 1y xx x =+-在x π=-及x π=； （3）1sin cos 2ρϕϕϕ=+在4πϕ=； （4）()f t =在4t =． 2．指出下列复合函数的复合过程，并求出其导数．（1）210(31)y x =+； （2）y =（3）cos(5)4y x π=+； （4）3sin(35)y x =+；（5）ln(1)y x =-； （6）2sin y x =； （7）2ln(y x =； （8）y =3．求下列函数的导数：（1）sin y nx =； （2）2(ln )y x =；（3）523(21)y x x =-+；（4）cos(32)y x =+；（5）y = （6）ln(ln )y x =；（7）2(arcsin )y x =； （8）arccos y x x =-（9）sin 222(arctan )xy x =+； （10）2sec (ln )y x =；（11）32sec ()xy e =； （12）1arctan 1x y x-=+．4．曲线2(1)(1)y x x =-+在0x =处的切线斜率是多少？曲线上哪些点的切线平行x轴？5．过点(0,2)引抛物线21y x =-的切线，求此切线方程，并作图．6．数a 为何值时，直线x y =才能与对数曲线x y a log =相切？在何处相切？第三节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数前面我们遇到的函数，例如x y sin =，21ln x x y -+=等，两个变量y 与x 之间的对应关系用()x f y =表示，用这种方式表达的函数称为显函数．但有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在(,)-∞+∞内取值时，变量y 有确定的值与之对应．例如，当0=x 时，1=y ；当1-=x 时，32=y ，等等．这种由含有x 和y 的方程(,)0F x y =所确定的函数称为隐函数．把一个隐函数化为显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程013=-+y x 解出31x y -=，就把隐函数化成了显函数．但是隐函数的显化有时是有困难的，有时甚至是不可能的．例如，要将函数e e xy y=+显化显然是不可能的．但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数．因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来．求隐函数0),(=y x F 的导数时，可以两边逐项对x 求导，0)],([=y x F dxd．遇到y 时，就视y 为x 的函数，遇到y 的函数时，就看成为x 的复合函数，y 为中间变量．然后从所得的等式中解出y '，即得隐函数的导数．下面通过具体例子来说明这种方法．例1 求由方程222r y x =+所确定的隐函数的导数y '． 解 将方程222x y r +=的两边同时对x 求导，)()(222r dxdy x dx d =+， 即2()d x dx 0)(2=+y dxd．注意到y 是x 的函数，则2y 是x 的复合函数，由复合函数的求导法则, 先求2y 对y 的导数，然后乘以y 对x 的导数．所以上式可以写为022='+y y x ，解出y '，得y '=-yx ． 例2 求由方程0=-+e xy e y所确定的隐函数在0=x 处的导数0=x dxdy ．解 两边对x 求导，得(dx d )0()dxd e xy e y =-+， 即+)(y e dx d ()d xy dx -0)(=e dxd ． 注意到y 是x 的函数，ye 是x 的复合函数，由复合函数的求导法则，得0=++dxdy x y dx dy e y ，解出dxdy ，得(0)y y dy y x e dx x e=-+≠+． 因为0=x ，可求得1=y ，所以edx dy x 1-==．例3 求椭圆22194x y +=在点(1,3P 处的切线方程． 解 两边对x 求导，得22094x y y '⋅+=， 解出y '，得49x y y'=-．把点P 的坐标1x =，3y =代入，得切线斜率为1|6x dy k dx ===-从而所求切线方程为1)36y x -=--， 即90x +-=．例4 求xy x =(0)x >的导数． 解 对等式两边取自然对数，得ln y ln x x =两边对x 求导，得1ln 1+='x y y， 解出y '，得)1(ln +='x y y ，或)1(ln +='x x y x ．由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积、开方的求导运算，通过取对数得到简化．例5 求()()()()4321----=x x x x y （4>x ）的导数． 解 两边取对数，得()()()()[]4ln 3ln 2ln 1ln 21ln -----+-=x x x x y ， 两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-='41312111211x x x x y y ， 即⎪⎭⎫⎝⎛-----+-='413121112x x x x y y .像例4、例5，我们先对函数)(x f y =两边取对数化为隐函数，然后再按隐函数求导法来求函数的导数，称为对数求导法．二、由参数方程所确定的函数的导数一般情况下，参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩ ()t αβ≤≤确定了y 是x 的函数关系，在参数方程中，如果函数()x t ϕ=具有单调连续的反函数1()t x ϕ-=，则由参数方程所确定的函数y 可以看成是由)(t y ψ=和1()t x ϕ-=复合而成的函数1[()]y x ψϕ-=．假定()x t ϕ=，)(t y ψ=都可导，且()0t ϕ'≠，则由复合函数的求导法则和反函数的求导法则，得()()1t dy dy dt dy dx dx dt dx dt t dtψϕ'=⋅=⋅='， 即()()t dy dx t ψϕ'=' 或 dtdx dt dydxdy =． 例6 求由参数方程所确定的函数⎩⎨⎧==tb y ta x 33sin cos 的导数．解t t a t t a dt dxsin cos 3))(cos cos 3(22-='=， t t b t t b dtdycos sin 3))(sin sin 3(22='=． 则t a b t t a t t b t t dx dy tan sin cos 3cos sin 3)()(22-=-=''=φψ． 例7 求由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x 确定的函数在4πθ=处切线的斜率．解 )c o s 1(θθ-=a d dx ，θθsin a d dy =，则θθθθcos 1sin )cos 1(sin -=-=a a dx dy ， 则21222221224cos14sin4+=-=-=-===πππθdxdy k ．例8 求椭圆⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos 在4π=t 的切线方程和法线方程．解 t abt a t b t x t y dx dy cot sin cos )()(-=-=''=，则切线的斜率为ab a b dxdyk t -=-===4cot 4ππ，当4π=t 时，椭圆上点的坐标为)22,22(0b a M , 过0M 的切线方程为)22(22a x a b b y --=-， 过0M 的法线方程为)22(22a x b a b y -=-．习题训练1．求由下面的方程所确定的隐函数的导数：（1）2216x y -=； （2）33653x xy y ++=； （3）cos sin()x y x y =+； （4）()1xx y x=+ (0)x >；（5）tan (sin )xy x =； （6）43)(5)x y x -=+．2．求由下列方程所确定的隐函数在指定点的导数：（1）ln()y xy e =+，点(0,1)； （2）221y x x y=-+，点(0,1)．3．求曲线221x x y y +-=在点(1,1)的切线方程．4．求下列由参数方程所确定的函数的导数：（1）221,x t y t t ⎧=-⎨=-⎩； （2）sin ,x t y t =⎧⎨=⎩ ； （3）(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩． 5．已知参数方程sin cos t tx e t y e t ⎧=⎨=⎩，求当3t π=时的导数dydx ． 6．求曲线22122x t t y t⎧=+-⎨=⎩在点(1,8)的切线方程与法线方程． 第四节 高阶导数一、高阶导数的概念如果函数()y f x =的导数)(x f '仍是x 的函数，若)(x f '仍可求导，则称)(x f y '='的导数])([)(''=''x f y 为函数()f x 的二阶导数．记作)(x f '', y '',22dx y d 或22()d f x dx ． 相应地，把()y f x =的导数()f x '称作函数()y f x =的一阶导数．类似地, 如果函数()f x 的二阶导数()f x ''仍是x 的函数，若()f x ''仍可求导，则称()f x ''的导数为函数()f x 的三阶导数．记作)(x f ''', y ''', 33dx y d 或33()d f x dx ． 一般地，如果函数()f x 的)1(-n 阶导数(1)()n fx -仍是x 的函数，若(1)()n f x -仍可求导，则称(1)()n fx -的导数为函数()f x 的n 阶导数．记作f )(n (x ), y )(n ,nn dx y d 或()n n d f x dx ． 函数)(x f y =具有n 阶导数，也常说成函数()f x 为n 阶可导．如果函数()f x 在点x 处具有n 阶导数，那么()x f 在点x 的近旁内必定具有一切低于n 阶的导数．二阶及二阶以上的导数统称高阶导数．根据高阶导数的意义，求高阶导数时仍用前述的求导方法． 例1 求下列函数的二阶导数．（1）2ln ++=x e y x； （2）2cos2x y =； （3）x x y 3sin 2=． 解 （1）x e y x1+='， 21xe y x-=''．（2） x x x y sin 2121)2sin (2cos 2-=⋅-='， x y c o s 21-=''． （3）x x x x y 3cos 33sin 22+='，x x x x x x x y 3sin 93cos 63cos 63sin 22-++=''x x x x 3cos 123sin )92(2+-=．例2 求由方程222x y r +=确定的隐函数的二阶导数． 解 由本章第三节例1，可知yx y -='， 上式两边再对x 求导，注意到y 仍是x 的函数，则2y y x y y '--=''2)(y y xx y ---=322y x y +-=32y a -=． 例3 求由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x 确定的函数的二阶导数．解 由本章第三节例7，可知θθθθcos 1sin )cos 1(sin -=-=a a dx dy ＝2cot θ， 所以dx d d dx dy d dx dy dx d dx y d θθ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=22θθd dx d dx dy d 1⋅⎪⎭⎫⎝⎛=1cot 2(sin )a θθθ'⎛⎫=⋅ ⎪'-⎝⎭ 24111csc 22(1cos )4sin 2a a θθθ=-⋅=--． 例4 求xe y =的n 阶导数．解 x e y ='， x e y =''， xe y ='''， ()x e y =4, ……依此类推，得()x n x e e =)(．例5 求x y sin =的n 阶导数． 解 )2sin(cos π+=='x x y ， )22s i n (s i n π⋅+=-=''x x y ， )23sin(cos π⋅+=-='''x x y ， )24s i n (s i n )4(π⋅+==x x y ，……．依此类推，得)2sin()(sin )(π⋅+=n x x n ．同样x y cos =的n 阶导数为)2cos()(cos )(π⋅+=n x x n ．二、二阶导数的物理意义 若某物体作变速直线运动，其运动方程为()s s t =，则物体运动的速度v 是路程s 对时间t 的导数，即()ds v s t dt'==． 此时若速度v 仍是时间t 的函数，我们可以求速度v 对时间t 的导数，用a 表示，即22()()d sa v t s t dt'''===．物理学中，我们称a 为加速度，也就是说物体运动的加速度a 是路程s 对时间t 的二阶导数．例6 已知某物体作变速直线运动，其运动方程为cos()s A t ωϕ=+（,,A ωϕ是常数）求物体运动的加速度．解 因为cos()s A t ωϕ=+， 则)sin()(ϕωω+-='=t A t s v ，)cos()(2ϕωω+-=''=t A t s a ．习题训练1．求下列函数的二阶导数（1）105335y x x =++； （2）5(3)y x =+； （3）22x e y ex =+； （4）cos y x x =；（5）2ln(1)y x =-； （6）2y =2．求由方程所确定的隐函数y 对x 的二阶导数．（1）tan()y x y =+； （2）arctan y x=． （3）xy e y=3．求由参数方程所确定的函数y 对x 的二阶导数．（1）cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩（,a b 为常数）； （2）32t tx e y e -⎧=⎨=⎩． （3）2arctan ln(1)x t t y t =-⎧⎨=+⎩4．验证函数12cos sin y c x c x =+（12,c c 为常数）满足关系式0y y ''+=． 5．求)1ln(x y +=的n 阶导数．*第五节 用Matlab 求函数导数导数在科技领域中的用途是非常大的，对于复杂的函数如果能用计算机来求导数，对我们来说是再好不过了，下面介绍如何用Matlab 来求导数．例1 求ln(1)y x =-的一阶导数． 解 在命令窗口中输入： >> syms x>> f=log(1-x); >> diff(f) 输出结果为：ans =-1/(1-x)即ln(1)11d x dx x-=-- 例2 求ln(1)y x =-的二阶导数解 在命令窗口中输入：>> syms x >>f=log(1-x); >>diff(f,2)输出结果为：ans =-1/(1-x)^2即222ln(1)1(1)d x dx x -=--例3 已知sin 0yxe y x e +-=所确定的隐函数()y y x =求dy dx解 在命令窗口中输入： >> syms x y>> f=exp(y)+y*sin(x)-exp(x); >> dfx=diff(f,x); >> dfy=diff(f,y); >> dyx=-dfx/dfy; >> dyx输出结果为：dyx =(-y*cos(x)+exp(x))/(exp(y)+sin(x))即 c o s s i n x y d y y x e d x e x-+=+ 例4 已知一参数方程为sin ,(1cos )x t t y t t =⎧⎨=-⎩求dydx ． 解 在命令窗口中输入：>> syms t >> x=t*sin(t); >> y=t*(1-cos(t)); >> dx=diff(x,t); >> dy=diff(y,t); >> dx>> dy >> dy/dx 输出结果：dx =sin(t)+t*cos(t)dy =1-cos(t)+t*sin(t)ans =(1-cos(t)+t*sin(t))/(sin(t)+t*cos(t))即 1cos sin sin cos dy t t tdx t t t-+=+习题训练1．用Matlab 求下列函数的导数：（1）22235y x x=-+； （2）2(2y x =+； （3）2(1)sin y x x =+； （4）53y =（5）2(15)y x =-； （6）sin sin cos t S t t =+；（7）ρϕ=； （8）1cos 1cos xy x+=-；（9）223log 5 1.3xy x x=+-+； （10）22sec 4tan y x x x =+．2．用Matlab 求由下面的方程所确定的隐函数的导数： （1）2216x y -=； （2）33653x xy y ++=．3．已知参数方程sin cos t tx e t y e t ⎧=⎨=⎩，用Matlab 求当3t π=时的导数dydx ．第六节 函数的微分函数的导数是表示函数在点x 处的变化率, 它表示函数在点x 处的变化的快慢程度．有时我们还需要了解函数在某一点当自变量取得一个微小的增量x ∆时, 相应地函数有多大变化的问题．一、微分的定义我们先来分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由0x 变到x x ∆+0（如图3－4），问此薄片的面积改变了多少？设正方形边长为x ，面积为y ，则2)(x x f y ==． 而金属薄片受温度变化的影响时，面积的改变量可以看 作当自变量x 在0x 取得增量x ∆时，函数的增量y ∆220)(x x x -∆+=20)(2x x x ∆+∆=． 它由两部分组成，第一部分x x ∆02是x ∆的线性函数， 当0→∆x 时，它是x ∆的同阶无穷小，是y ∆的主要部分．第二部分2)(x ∆，当0→∆x 时，它是较x ∆高阶无穷小，很明显，当x ∆很小时，2)(x ∆在y ∆中所起的作用的很小，可以忽略不计，因此y ∆≈x x ∆02，而)(200x f x '=，因此上式可改写成y ∆≈x x f ∆')(0．下面说明这里得到的简单关系，对一般可导函数也是成立的． 一般地, 如果函数)(x f y = 在点0x 处可导, 即=∆∆→∆xyx 0lim )(0x f ',根据具有极限的函数与无穷小量的关系, 得xy∆∆α+'=)(0x f （其中α是当Δx 0→时的无穷小量） 于是y ∆+∆'=x x f )(0αx ∆．由上面式子可知，函数的增量y ∆是由)(0x f 'x ∆ 和αx ∆两部分组成, 当)(0x f '≠0时,)(0x f 'x ∆是x ∆的同阶无穷小，是y ∆的主要部分，称)(0x f 'x ∆是y ∆的线性主部．而αx ∆是较x ∆更高阶无穷小. 所以当x ∆很小时, 有y ∆≈)(0x f 'x ∆．下面我们给出微分的定义：定义 如果函数)(x f y =在点0x 处有导数)(0x f '，则)(0x f 'x ∆称作函数)(x f y =在点0x 处的微分（Differential ），记为0x x dy=．即==0x x dy)(0x f 'x ∆．一般地, 函数)(x f y =在点x 处的微分叫函数的微分．记为dydy =)(x f 'x ∆．图3－445如果设x y =，则有x x x dx dy ∆=∆'== 即自变量的微分dx 就是它的增量x ∆， 于是函数的微分可写成dy ()f x dx '=．即函数的微分就是函数的导数与自变量的微分之积，由上面式子亦可以看出函数的微分与自变量的微分之商，等于函数的导数，所以导数也叫微商．例1 求函数2x y = 当x 由3改变到 3.01时的dy 和y ∆． 解 因为x x dy ∆=2，所以当01.0,3=∆=x x 时，06.001.032=⨯⨯=dy ．222)(2)(x x x x x x y ∆+∆=-∆+=∆0601.0)01.0(01.0322=+⨯⨯=．例2求函数的微分．（1）x y sin ln =； （2）x x y sin =． 解 （1）xdx xdx xdx x x d dy cot cos sin 1)sin (ln )sin (ln =='==； （2）dx x x x dx x x x x d dy )cos (sin )sin ()sin (+='==．二、微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义． 如图3－5，在曲线)(x f y =上取一点),(00y x M ，过M 作曲线的切线MT ，它的倾斜角为α．当自变量x 有微小增量x ∆时，就得到曲线上另一点()y y x x N ∆+∆+00，.从右图可以看出x MQ ∆=， y QN ∆=．)(tan 0x f x MQ QP '⋅∆=⋅=α，即QP dy =．这就是说，函数)(x f y =的微分dy ，等于曲线)(x f y =在点()00y x M ，的切线MT 的纵坐标对应于x ∆的增量，这就是微分的几何意义．又因为dy y QP QN PN -∆=-=，当0→∆x 时，PN 是比x ∆的高阶无穷小，即当x ∆很小时，dy y -∆比x ∆小得多．因而曲线弧MN 与切线段MP 将十分接近，因此在点M的邻近，我们可以用切线段MP 来近似代替曲线弧 MN． 三、微分基本公式与微分的运算法则由函数微分的定义dy dx x f )('=,可以知道，要求函数微分只要求出函数的导数)(x f '再乘以自变量的微分dx 就行了．我们可以从导数的基本公式和运算法则直接导出微分的基本公式和运算法则．图3—5462．函数的和、差、积、商微分法则()d u v du dv ±=± ()d uv vdu udv =+()d cu Cdu =；（C 是常数） 2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭()0v ≠．3．复合函数的微分法则 (微分形式的不变性)由函数()y f u =，()u x ϕ=复合而成的函数)]([x f y ϕ=的微分为{}dx x u f dx x f dy )()()]([ϕϕ'⋅'='=，由于du dx x =')(ϕ，因此复合函数)]([x f y ϕ=的微分公式也可写为du u f dy )('= 或 du y dy u'=． 这个公式与dy ()f x dx '=在形式上完全一样．由此可见, 无论u 是自变量, 还是中间变量，)(u f y =的微分dy 总可以用du u f )('来表示．这一性质称为微分形式的不变性．例3 用微分形式的不变性，求下列函数的微分：（1）)23sin(2+=x y ； （2）2bx ax ey +=．解 （1）222cos(32)(32)6cos(32)dy x d x x x dx =++=+；（2）=dy 22()ax bxed ax bx ++=dxe bx a bx ax 2)2(++． 四、微分在近似计算中的应用由前面的讨论可知，如果函数)(x f y =在点0x 处的导数0)(0≠'x f , 那么当x ∆→0时, 函数的微分dy 是函数的增量y ∆的线性主部．因此当x ∆很小时, 忽略高阶无穷小量, 函数)(x f y =在0x 处的函数的增量y ∆可用函数的微分dy 来代替．即x x f x f x x f y ∆'≈-∆+=∆)()()(000由此可得x x f y ∆'≈∆)(0x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000上面两个公式常用来计算函数的增量的近似值和函数)(x f y =在0x 附近函数值的近似值．例4 半径为10cm 的金属圆片加热后，半径伸长了0.05cm ，问面积大约增大了多少？解 设金属圆片面积为A ，半径为r ，则2r A π=．自变量在10=r cm 时有增量47cm r 05.0=∆时，面积A 的微分为05.010=∆=r r dA =∆==∆=05.0102r r rr π2)(14.305.0102cm ≈⨯⨯π．例5 一个外直径为20cm 的球, 球壳的厚度为2mm , 试求球壳体积的近似值． 解 半径为r 的球的体积为=V 343r π,由题设100=r ，2.0-=∆r ，于是 r r r r V dV ∆=∆'=2004)(π．将r r ∆,0的值代入，得球壳体积的近似值2.251)2.0(1014.342=-⨯⨯⨯≈∆V 3)(cm ．例6 求98.0arctan 的近似值． 解 设()f x =x arctan ，则211)(x x f +='．取10=x ，02.0-=∆x ．则 )02.0(1111arctan )02.01arctan(98.0arctan 2-⋅++≈-= 7754.001.04≈-=π．习题训练1．已知x x y -=3，计算在2=x 处当01.0=∆x 时的y ∆及dy ． 2．求下列函数的微分：（1）x x y 2sin =； （2） x xy 21+=； （3）12+=x x y ； （4）2ln (1)y x =-．3．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：（1）dx d 2)(=； （2）xdx d 3)(=； （3）dx e d x2)(-=； （4）dx xd +=11)(； （5）dx x d 1)(=； （6）)()(22x d e d x =；（7）)(sin )()(sin 2x d x d =； （8） dx x d x d )()32()()]32[ln(=+=+．4．计算当x 由45变到/1045时，函数tan y x =的增量的近似值．5.某一正立方形金属体的边长为2m ，当金属受热边长增加0.01m 时，体积的微分是多少？体积的改变量又是多少？。
高中数学微分和导数教案
高中数学微分和导数教案引入篇：激发兴趣，构建桥梁想象一下，你正在观察一辆汽车在公路上行驶，它的速度是如何变化的？如果把这个问题转化为数学语言，我们该如何描述速度的变化率呢？这时，导数和微分便成为了我们手中的有力工具。
通过实际问题的引入，学生们的兴趣被激发，对接下来学习的内容充满了期待。
概念篇：明晰基础，奠定基石导数，从字面上理解，就是“引导”变量的数。
在数学中，导数描述的是函数在某一点处的变化率。
而微分，则是导数的一个应用，它描述了当自变量发生微小变化时，函数值的近似变化量。
为了让学生更好地理解这两个概念，我们可以通过图像来展示。
例如，曲线上一点的切线斜率，就是该点的导数值；而沿着切线移动一小段距离，所对应的函数值变化，就是微分的实际意义。
应用篇：联系实际，深化理解掌握了基本概念后，是时候将理论应用于实践了。
我们可以讨论一些生活中的例子，如物理中的速度与加速度问题，经济学中的成本与收益分析等。
这些例子不仅能帮助学生看到数学在现实世界中的应用，还能加深他们对导数和微分概念的理解。
练习篇：巩固知识，提升能力理论与实践相结合后，紧接着的就是大量的练习。
通过不同类型的题目，如求导数、计算微分、解决实际问题等，学生可以在实践中巩固知识点，提高解题能力。
总结篇：回顾反思，展望未来在课程的我们需要对所学内容进行回顾和总结。
导数和微分不仅是高中数学的重要组成部分，也是进入高等数学的基础。
通过本次教案的学习，学生们应该能够掌握导数和微分的基本概念，理解它们的实际应用，并能够熟练地进行相关的数学操作。
拓展篇：延伸思考，激发探究为了激发学生的探究精神和创新思维，我们可以提出一些拓展性的问题或话题，比如探讨导数在计算机图形学中的应用，或者研究微分方程在控制论中的作用等。
这些问题不仅能够引导学生们走向更深层次的数学世界，还能够帮助他们建立起跨学科的思维模式。
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于是 y (x1) x1( 1 1 2 1). (x4)2ex x1 2(x1) x4
4.2由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x (t ),
y
(t)
确定 y为 x的函数，则称此函数关系所表达的函数
为由参数方程所确定的函数。
dydydtdy 1 (t) dx dt dx dt dx (t)
设 y f(u),u(x)则复合函数 yf[(x)]
的微分为：d y f(x )(x )d x
由于 f( x ) f( u ), ( x ) d d xu
dyf(u)du 一阶微分形式不变性
例2 求函数 ye2xsi3 nx的微分.
解 d y d2 xe d s3 ix n 2 e 2 xd x 3 c3 o xs d
∴ 函数的微分为：
d y = (60x4 – 39x2 – 6x – 4 ) dx
例5 求函数 y esin2 x的微分.
解 d ydsei2 nxesi2 nxdsi2n x 2 sx is n e 2 ix n d sx i n s2 ix n se 2 ix n d. x
2. 在下列等式左端的括号内填入适当函数，
u
u
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 对数求导法同时适用于积与商的函数求导数：
例5
求
y
(x1) x1 (x 4)2ex
(x
1)
的导数。
解 两边取对数，得 ln y ln x ( 1 ) 1 ln x ( 1 ) 2 ln x ( 4 ) x
2
两边对 x求导，得
1y 1 1 2 1, y x1 2(x1) x4
d d
y xt4((a bc siott))nst4 ba csotitnst4b a.
即得椭圆在 M 0 点的切线方程
yb22baxa22.
或 bxay 2ab0.
若函数 xy ((tt))二阶可 , 导则
d2 y dx2
d (dy) dx dx
d ((t)) dt dt (t) dx
(t)( t) 2( t)(t)(t)1 (t)
说明:一般地
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
另解 将幂指函数表示为
y evlnu.
直接求导得
y e v ln u (v lu n v u ) u v(v lu n v u ).
解 方程两边对 x求导,得
exeydyyxdy0
dx dx
解得
dy dx
y ex ey x
.
因为当 x 0时，由原方程得 y 0 ，所以
dy dxx0
eyyexx
x0 y0
1.
例2 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2 x0x
故 A2x0x 称为函数在 x 0 的微分
1.定义
函数 y = f (x) 可微的条件
二、微分四则运算法则
d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdudv
d(u)vvdu udv
d( ) v
v2
三、复合函数的微分法则 及一阶微分形式不变性
1.
于是所求切线方程为
y1(x1),
即
xy20.
例4求由下列方程确定的隐函数 y = f (x) 的导数： 求
对数求导法
观察 y xsinx
5
另解 将幂指函数表示为
y esinxlnx.
直接求导得
yesixlnn x(cxolsn xsixn 1) x
xsixn(co xlsnxsixn1). x
(2e2x3co3xs)d.x
例3 求函数 y sin x 的微分. x2
解 d yd(sixn)x2dsixnsixnd2 x
x2
x4
xcoxs2sinxd.x x3
例4 求下列函数的微分 y = (3x2 – 4) (4x3 + x – 1 )
解： ∵ y′= (3x2 – 4)′ (4x3 + x – 1 ) + (3x2 – 4) (4x3 + x – 1 )′ = 6x (4x3 + x – 1 ) + (3x2 – 4) (12x2 + 1 ) = 60x4 – 39x2 – 6x – 4
(2t) (arct)a n
2 1
2(1t2).
1t2
§5 函数的微分
5.1 微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
得增量x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x2 2x0x(x)2
dt
即
dy (t) . dx (t)
或
y (t) . (t)
例6 已知椭圆的参数方程为
x解椭当圆t 在 相4 时应,的椭点圆上t 的4 相处应的点切M线0方的程坐.标是：
a2
x0
ac
o
s 4
2
,
b2
y0
bsin 4
2
.
曲线在 M 0 的切线斜率为：
得
5 y 4 d y 2 d y 121x6 0
dx dx
dy dx
15y421x26
因x=0时y=0,
故
dy dx
x
0
1 2
例3 求曲线 x3y32xy0在点M01,1
处的切线方程.
解 方程两边分别对x求导，得
解得
3x23y2d y2y2xd y0.
dx dx
ddyx32yy232xx2
x1 y1
第 三章
导数与微分
求导法则与导数公式
导数的四则运算
§4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
4.1 隐函数的导数
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
例1求由方程 exeyxy2所确定的隐函数
y在 x 0处的导数
dy dx
x0 .
即d d22 yx(t)( t) 3( t)(t)(t).
例8
设
x arctant, y ln(1t2)
求 dy , d 2 y . dx dx 2
2t
解
dy ln1( t2) 1t2 2t
dx (arctatn) 1
1t2
d d2y 2xd d(xd d)y x(d d)y xtd dx t(xy(t))t